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Compilacin de Problemas KKT

Esta es una compilacin de problemas hechos por diferentes autores y fuentes. Yo solo me he dedicado a ordenarlos en el

presente documento, con el fin de ser usado como apoyo a cursos de optimizacin.

- Juan Pablo Cavada

Problema 1

Sea (P) el siguiente problema de optimizacin

( )

( )

Responda o comente segn corresponda

a)Puede existir x punto factible de (P) que cumpla las condiciones KKT y no sea mnimo local ni

global? Justifique.

b) Puede existir y mnimo local de (P) que no cumpla las condiciones de KKT? Justifique.

c) Un punto interior de espacio de soluciones factibles con gradiente nulo cumple las condiciones

de KKT. Justifique.

d) Nunca un punto factible que no sea optimo local o global puede cumplir KKT. Justifique.

Solucin

a) Si, siempre que o no sean convexas. b) S, siempre que no sea regular. c) Se trata de un punto factible, luego

( )

( )

Si adems cumple con:

( ) ( ) ( )

d) Pueden existir puntos factibles que cumplan KKT. Estas condiciones son necesarias y no suficientes.

2

Problema 2

Considere el siguiente problema de optimizacin.

a) Grafique el problema y postule 4 puntos como posibles ptimos del problema.

b) Pruebe las condiciones necesarias y suficientes de KKT en los puntos escogidos y

concluya acerca de los resultados obtenidos.

c) Debieran existir direcciones de descenso para los puntos no ptimos? Investigue

grficamente.

d) Muestre para el punto ptimo, el cono fornado por los gradientes de las restricciones

activas. Qu condicin debe cumplir el gradiente de la funcin objetivo?

Solucin

3

Punto A: se activan las restricciones y

3 9,

2 4A

Resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente a cada par de restricciones activas se

calculan los otros puntos.

Punto B: Se activan las restricciones y

5 2

,7 7

B

Punto C: Se activan las restricciones y

0,1C

Punto D: Se activan las restricciones y

30,

2D

b) Se debe pasar el problema a la forma estndar, quedando

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

min 2

. .

5 2 3 0

1 0

3 2 3 0

2 3 0

0

0

x x

s a

x x

x x

x x

x x

x

x

Calculamos los elementos que componen la condicin KKT.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

En este caso no qued ninguno explcitamente en funcin de y .

4

Probamos la condicin de suficiencia para los 4 puntos propuestos.

1 4

1 5 1 0:

2 2 2 0A

No puede ser ptimo

1 2

5 0:

2

1 1

2 01B

Cumple condicin necesaria, puede ser ptimo

2 5

1 1 1:

2 0

0

1 0C

No puede ser ptimo

4 5

1 1 1

2 2

0

0:

0D

No puede ser ptimo

B puede ser ptimo. Se debe cumplir la condicin suficiente de KKT:

i) convexa. ii) convexa iii) El punto debe cumplir la condicin necesaria de KKT

Como acabamos de probar iii) y tanto la funcin objetivo como las restricciones son convexas.

Luego el punto BH es el ptimo global del problema.

c)

Debieran existir direcciones factibles las cuales permitan mejorar la funcin objetivo. Estas

direcciones debieran formar un ngulo agudo con y no debieran pertenecer al cono formado por las restricciones activas en dichos puntos (es recomendable que grafiquen dichos vectores para

poder ver esto ms claramente).

d)

Grficamente, el cono corresponde a todos los vectores que estn entre y para el punto B. Si graficamos en el mismo punto, podemos ver que a diferencia de los puntos A, C y D, ahora s pertenece al cono mencionado (la interpretacin es que para disminuir la funcin objetivo en dicho punto, la nica forma es ir en contra de las restricciones y como esto no se puede, estamos en

el ptimo).

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Problema 3

Considere el siguiente problema (P) de optimizacin

( ) ( )

( ) ( )

a) Muestre el problema grficamente e identifique cual deber ser el punto ptimo.

b) Desarrolle las condiciones de KKT para el problema P en torno al punto elegido en a).

Explique el resultado obtenido.

Solucin

( )

( )

( )

Dada la condicin de

crecimiento de ,

propondremos el punto A

como posible ptimo.

6

Debemos verificar si se cumple KKT en ( ) ( )

Dado que existe una restriccin de igualdad, la relacin a utilizar es:

( ) ( )

( )

( )

Pasando el problema a forma estndar.

( ) ( )

( ) ( )

Calculamos los gradientes correspondientes.

( )

( )

( )

( )

( )

Sabemos por el grfico que en punto ( ), las restricciones son activas. Luego solo

( ) (1)

( ) (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) resulta

Luego reemplazamos:

(1)

(2)

(1) y (2) son l.d., existen infinitas soluciones, pero se puede demostrar que:

7

Luego existe un par que satisface KKT en . En particular (

).

Problema 4

A) Dado el siguiente problema (P):

(P)

i) Encuentre grficamente el ptimo

ii) Verificar grfica y analticamente que el punto ptimo cumple con las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).

iii) Puede haber otro punto que verifique KKT. En caso que s, encuntrelo. En caso que no, justifique.

B) Supongamos que la funcin objetivo del problema (P) cambia como lo muestra el siguiente

problema:

(P1)

Resuelva los mismos puntos que en A.

8

00

0)5,0()5,0()5,0(

2211

2211

gg

ggf

)1,2(

)1,2(

)2,2(

12

11

21

xg

xg

xxf

222

2

12

112

2

11

0)550(0)5(

0)50(0)(

xx

xx

Solucin

A) Grficamente

ii) Calculemos los gradientes del problema expresado segn la forma estndar de un problema

de KKT

(P)

Gradientes

Condiciones de KKT

De la segunda ecuacin se tiene que

9

10

0)1,0()10.0(

0)5,0()5,0(

2

2

22

gf

As se tiene que:

Luego Analticamente cumple KKT

Veamos grficamente: Tenemos los vectores:

)1,0()5,0(

)10,0()5,0(

2

g

f

Grficamente se puede ver que menos el gradiente de la funcin objetivo es una combinacin lineal

(en particular una ponderacin) de la restriccin activa.

iv) Puede haber otro punto que verifique KKT. Justifique.

Si, el (0,0) verifica, y puede darse porque al no ser la funcin f convexa no podemos

afirmar que los puntos que verifican KKT sean ptimos globales del problema.

10

)1,2(

)1,2(

)1,10(

12

11

xg

xg

f

B) Supongamos que la funcin objetivo del problema (P) cambia como lo muestra el siguiente

problema:

(P1)

Grficamente el nuevo problema queda:

ii) Verificar grfica y analticamente que el punto ptimo cumple con las condiciones de

Karush-Kuhn-Tucker (KKT).

Calculemos los gradientes del problema expresado segn la forma estndar de un problema de KKT

(P) (P1)

Gradientes

11

00

0)5.2,58.1()5.2,58.1()5.2,58.1(

2211

2211

gg

ggf

222

2

12

112

2

11

0)55.25.2(0)5(

)55(0)(

xx

xx

08.208.1

0)1,16.3()1,16.3()1,10(

0)5.2,58.1()5.2,58.1()5.2,58.1(

12

21

2211

ggf

Condiciones de KKT

De la segunda ecuacin se tiene que

As se tiene que:

Luego Analticamente cumple KKT

Veamos grficamente: Tenemos los vectores:

)1,16.3()5.2,58.1(

)1,16.3()5.2,58.1(

)1,10()5.2,58.1(

2

1

g

g

f

Grficamente se puede ver que menos el gradiente de la funcin objetivo es una combinacin lineal

(en particular una ponderacin) de la restriccin activa.

12

iii) Puede haber otro punto que verifique KKT. Justifique.

No, no puede haber otro punto que verifique KKT pues la regin es convexa y tambin lo es

la nueva funcin objetivo, por lo tanto solo un punto verifica KKT y ste es el ptimo global.

Problema 5

Sea el siguiente problema de minimizacin:

a) Desarrolle las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para el problema

b) Revise el cumplimiento de las condiciones KKT para los siguientes puntos:

(0,0); (2, 0); (0,2)

c) Qu podemos concluir para cada uno de estos puntos?

d) Muestre las restricciones, el conjunto de soluciones factibles y la funcin objetivo

grficamente.

e) Determine un candidato para ser solucin ptima analizando el grafico. Verifique si este

candidato cumple con las condiciones de KKT.

f) De la solucin ptima y el valor de la funcin objetivo asociado.

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Solucin:

a) Primero se lleva el problema a la forma estandar:

( ) ( ) ( )

( )

( )

Ahora calculamos los gradientes de

1

0;

0

1;

1*2

*2;

*2

1*2;

4*2

4*233

2

1

2

2

1

1

2

1gg

x

xg

x

xg

x

xf

As, se tiene que las condiciones de KKT son las siguientes:

1

0*

0

1*

1*2

*2*

*2

1*2*

4*2

4*243

2

1

2

2

1

1

2

1 x

x

x

x

x

x

Y

0*

0*

011*

011*

24

13

2

2

2

12

22

2

11

x

x

xx

xx

b) Analizamos las condiciones de KKT para cada punto. Punto (0,0):

Entonces,

14

Pero notemos que

0

1

0

2y son linealmente dependientes, al igual que

2

0 y

1

0, por lo

tanto basta con:

De donde

Como son menores que 0, no cumplen KKT.

Punto (2,0):

Entonces,

De donde

Como 4

15

Punto (0,2):

Entonces

De donde

Como 3

16

e).

El candidato para ser solucin ptima se encuentra entre la interseccin de las restricciones ms

cercanas al (4,4).

Utilizando entonces g1 y g2 (restricciones activas) para obtener el punto (x1, x2) correspondiente,

llegamos a que el candidato a ptimo es el (1,1).

Cumple KKT?

Entonces,

De donde

Ambos son positivos, entonces se cumple KKT.

f)

La solucin ptima es el valor encontrado en la parte anterior, como se observa grficamente, la

regin es convexa, pues los puntos que conforman la lnea que une a cualquier par de puntos dentro

de la regin pertenecen a ella.

As como la regin es convexa, tambin lo son las restricciones asociadas y funcin objetivos

asociadas. Luego el punto ptimo es: (x1, x2) = (1,1).

Y la funcin objetivo: f(1,1)=9+9=18