example kkt

PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM

MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS

SKRIPSI

AMALIA

050803033

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.

PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM

MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

AMALIA

050803033

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009


ii

PERSETUJUAN

Judul : PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN QQQQQQQQQQQQQQQQQ.gTUCKER DALAM MENYELESAIKAN QQQQQQQQQQQQQQQQQ .PEMROGRAMAN KUADRATIK Katagori : SKRIPSI Nama : AMALIA Nomor Induk Mahasiswa : 050803033 Program Studi : PROGRAM (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkUTARA Diluluskan di Medan, Desember 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. H. Haludin Panjaitan Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 194603091979021001 NIP. 194612251974031001 Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 196401091988031004


iii

PERNYATAAN

PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Desember 2009 AMALIA 050803033


iv

PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT karena atas berkah dan rahmat-Nya kepada penulis hingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada : 1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Bapak Drs. H. Haludin Panjaitan,

selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan bimbingan, pengarahan serta pemeriksaan terhadap skripsi ini sehingga dapat selesai dengan baik.

2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. DR. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh Staf Pengajar jurusan Matematika yang telah mendidik penulis selama mengikuti perkuliahan.

4. Ayahanda dan Ibunda tercinta, abang dan kakak, serta seluruh keluarga yang telah memberikan semangat dan dukungan yang tak ternilai harganya.

5. Rekan-rekan mahasiswa Matematika stambuk 2005, khususnya Depi, Feby, Nenna, Rima, Sundari, Yuni, Andika, Radhi, Santri, dan masih banyak lagi yang tidak mungkin disebutkan satu persatu, terima kasih atas bantuannya.


v

ABSTRAK Salah satu bentuk khusus dari permasalahan pemrograman nonlinier adalah masalah pemrograman kuadratik. Dimana pemrograman kuadratik ini memiliki fungsi tujuan yang berbentuk kuadratik dan fungsi kendala berbentuk linier. Dalam penelitian ini dirancang sebuah penyelesaian permasalahan pemrograman kuadratik dengan menggunakan persyaratan Karush Khun Tucker. Syarat yang harus dipenuhi untuk optimum adalah bahwa turunan parsial pertama dari fungsi tujuan terhadap semua variabel dan pengali lagrange bernilai nol. )0)(( =xgii


vi

ABSTRACT

One particular form of nonlinear programming is a quadratic programming problem. This quadratic programming where the objective function which has a quadratic form and the constraint function is a linear. In this research we proposed a quadratic programming problem solving using Karush Khun Tucker requirements. The condition that must be met for the optimum is that the first partial derivative of the objective function of all variables and Lagrange multiplier is zero. )0)(( =xgii .


vii

DAFTAR ISI

Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstract vi Daftar Isi vii Daftar Tabel viii Daftar Gambar ix Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 3 1.4 Tujuan Penelitian 5 1.5 Kontribusi Penelitian 6 1.6 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 2.1 Pemrograman Nonlinier 7 2.1.1 Pemrograman Nonlinier Tak Berkendala 7

2.1.2 Pemrograman Nonlinier Berkendala 8 2.2 Permasalahan Pemrograman Kuadratis 12 2.2.1 Pemilihan Portofolio dengan Sekuritas Beresiko 12 2.2.2 Masalah Transportasi dengan Diskon Volume pada 14

Biaya Pengiriman Barang 2.3 Konveksitas Fungsi 16

2.6.1 Fungsi Konveks atau Konkaf Satu Variabel 17 2.6.2 Fungsi Konveks dan Konkaf untuk Beberapa Variabel 17

2.4 Matriks Hessian 19 2.5 Matriks Definite Positif 22 2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker 24 2.7 Masalah Komplementaritas 27

Bab 3 Pembahasan 3.1 Pemrograman Kuadratis Tak Berkendala 29

3.2 Pemrograman Kuadratis Berkendala modifikasi simpleks 30 3.3 Pemrograman Kuadratis Karush Kuhn Tucker 37

Bab 4 Penutup 4.1 Kesimpulan 41 4.2 Saran 42 Daftar Pustaka 43


viii

DAFTAR TABEL

Halaman Table 1.1 Uji Konveksitas untuk Fungsi Dua Variabel 19 Tabel 1.2 Tabel Simpleks iterasi 0, 1, 2, dan 3 39


ix

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.1 Bentu Himpunan Konveks dan bukan Konveks 16 Gambar 1.2 Plot dari 642),( 22

21

32

3121 ++++= xxxxxf 21

Gambar 1.3 Grafik dari ( ) 2224 xxxf = 29


1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi membuat matematika

menjadi sangat penting artinya. Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa perkembangan

ilmu pengetahuan dan teknologi tersebut tidak lepas dari peranan matematika. Hampir

dapat dipastikan bahwa setiap bagian dari ilmu dan teknologi baik dalam unsur kajian

umum ilmu murni maupun terapannya memerlukan peranan matematika sebagai ilmu

bantunya.

Salah satu bagian dari matematika terapan adalah program linear (linear

programming) yang merupakan suatu model dari penelitian operasional (operation

research) yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi. Dalam masalah

optimasi ini kita diminta untuk menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai

minimum) dari suatu fungsi matematik. Namun dalam pemograman linier semua

fungsi yang terlibat (fungsi tujuan dan fungsi kendala) adalah linier. Meskipun pada

dasarnya diaplikasikan pada banyak masalah praktis, asumsi ini sering kali tidak

sesuai. Pada kenyataannya, banyak ahli ekonomi menemukan drajat nonlinearitas

yang merupakan suatu aturan dan bukan merupakan suatu perkecualian dalam

berbagai masalah. Oleh sebab itu, sering kali memang perlu untuk segera

mengarahkan pada masalah pemrograman nonlinier, sehingga kita memfokuskan

perhatian pada area yang penting ini.

Terdapat banyak jenis masalah pemrograman nonlinier, tergantung pada

karakteristik fungsi tujuan dan fungsi kendala. Salah satunya adalah pemograman

kuadratis yang merupakan bentuk khusus dari pemrograman nonlinier. Dimana

masalah pemrograman kuadaratis ini memiliki kendala linier, tetapi fungsi tujuan


2

berbentuk kuadratis. Oleh karena itu, satu-satunya perbedaan antara pemrograman ini

dengan pemrograman linier terletak di fungsi tujuannya yang melibatkan pangkat dua

dari variabel atau perkalian dari dua variabel.

Beberapa metode telah dikembangkan untuk menyelesaikan kasus

pemrograman kuadratis dengan asumsi tambahan fungsi tujuan merupakan fungsi

konkaf. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratis

adalah dengan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker. Metode ini sangat efektif untuk

permasalahan optimasi nonlinier dengan kendala pertidaksamaan.

1.2 Perumusan Masalah

Dengan pendekatan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dapat diperoleh

optimasi dari pemrograman kuadratis. Dalam hal ini kondisi yang perlu diperhatikan

adalah mengikuti syarat cukup agar mendapatkan nilai-nilai variabel yang optimal

untuk mencapai hasil yang diinginkan.

1.3 Tinjauan Pustaka

1. Pemrograman Kuadratis

Pemrograman kuadratis adalah masalah optimasi dimana memaksimumkan

atau meminimumkan fungsi tujuan yang berbentuk kuadratis dengan fungsi

kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.

Bentuk fungsi kuadratis dengan variabel ( )nxxxx ,...,, 21= adalah : ( ) jkn

k

n

jkj

n

jjj xxqxcxf

= ==+=

1 11 21

Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat

disederhanakan menjadi


3

( ) Qxxcxxf T21+=

Dengan kendala bAx dan 0x

Dimana: nxnQ = matriks simetris (nxn) yang dikenal juga dengan matriks Hessian mxnA = matriks kendala

nx = vektor kolom dari variabel keputusan nc = vector baris dari fungsi tujuan mb = vector kolom dari kendala bagian kanan

T = transposisi matriks

Adanya faktor 21 pada fungsi tujuan merupakan konstanta ijq (elemen dari

Q ) dimana jiij qq = . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka fungsi tujuannya dinyatakan dalam ijq , jc (elemen c) dan untuk tiap suku dengan

ji = dalam penjumlahan ganda 2jji xxx = sehingga - 21

ijq merupakan koefisien dari

2jx . Ketika ji maka ( )ijijjiij xxqxxq + 21 , sehingga ijq adalah koefisien total

untuk perkalian ix dan jx .

Ketika fungsi objektif f (x) adalah cembung sempurna (konkaf) untuk semua

daerah layak diperoleh titik yang merupakan minimum lokal dan juga global. Maka

dalam kondisi seperti ini menjamin bahwa Q adalah definite positif.

2. Kondisi Karush-Kuhn-Tucker

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang

dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala.

Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang

optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier

atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam


4

pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat

digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier.

Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk :

Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = dengan tnxxxX },...,,{ 21= Dengan kendala : ( ) 0/ Xgi dengan m,1,2,3, = i 0X

nm (jumlah kendala lebih kecil dari variabel)

Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti

0,...,0,0 21 nxxx , sehingga himpunan kendalanya adalah nm + persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama

dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang 222

22

1 ,...,, mnnn xxx +++ berturut-

turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap-

tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack

variables) yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin

bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange :

( ) ( )[ ] [ ]21

11

2ini

nm

mi

m

iinii xxxXgXfL +

+

+==+ +

Untuk nm+ ,...,, 21 adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan

0=

jxL ( )mnj += 2,...,2,1

0=

i

L ( )nmi += ,...,2,1

0i ( )nmi += ,...,2,1

Persamaan-persamaan diatas membentuk persyaratan Karush-Kuhn-Tucker

untuk maksimasi ataupun minimasi program liner dan nonlinier.


5

3. Kondisi Optimal dalam Pemrograman Kuadratis

Prosedur menggunakan Kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk memecahkan

suatu masalah optimasi dalam pemrograman kuadratis dengan kendala berupa suatu

pertidaksamaan, secara essensial melibatkan langkah-langkah yang sama seperti

halnya dalam menggunakan teorema Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi

dengan kedala berupa persamaan, yaitu pertama bentuklah suatu Lagrangean L.[3]

Jadi dalam hal ini dibentuk suatu fungsi

( ) ( )bAxycxQxxyxL T ++=21,

Dimana y adalah baris vektor dimensi m . Maka kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk

lokal minimum memenuhi

0

jxL , nj ,...,2,1= 0++ yAQxc T

0

iyL , mi ,...,2,1= 0 bAx

0=

jj x

Lx , nj ,...,2,1= ( ) 0=++ yAQxcx TTT ( ) 0=xgy ii , mi ,...,2,1= ( ) 0= bAxy 0jx , nj ,...,2,1= 0x 0iy , mi ,...,2,1= 0y

Dimana ny = surplus variabel nonnegatif mv = slack variabel nonnegatif.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penulisan ini adalah menguraikan cara dan persyaratan Karush-

Kuhn-Tucker untuk mendapatkan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum)

dari pemrograman kuadratis.


6

1.5 Kontribusi Penelitian

Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca mengenai metode

yang dapat digunakan dalam menentukan nilai optimum dari pemograman kuadratis,

dalam bidang ekonomi penelitian ini juga bermanfaat untuk membantu

memformulasikan pemrograman kuadratis dalam pemilihan portofolio dan

sekuritasnya yang beresiko.

1.6 Metode Penelitian

Metode penelitian dalam tulisan ini adalah :

1. Membuat formulasi model pemrograman kuadratis dalam bentuk persyaratan

Karush-Kuhn-Tucker

2. Fungsi tujuan yang telah dimodifikasi menjadi

( ) ( ) ( )XgXfxL imi=

+=1

1, ; harus sesuai pada titik tersebut

3. Menghitung titik-titik kritis dan menguji nilai untuk fungsi objektif pada setiap

titik-titik kritis tersebut yang membuat nilai fungsi objektif menjadi optimum.

4. Mencari semua solusi ( ),x dalam himpunan persamaan berikut ( ) 0, =

xxL

j

; nj ,...,2,1=

Dimana

( ) 0, xL

i

; 0

( ) 0, = xL

ii ; li ,...,2,1=

5. Diperoleh titik-titik kritis yang merupakan solusi optimal dari pemrograman

kuadratis.


7

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Nonlinier

Pemrograman nonlinier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya

saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk nonlinier yaitu pangkat dari

variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umun masalah pemrograman nonlinier

adalah untuk menentukan ( )nxxxx ,...,, 21= sehingga mencapai tujuan untuk: Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 0xgm dan 0x Dengan ( )xf dan ( )xg m merupakan fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan.

Terdapat banyak jenis masalah pemrograman nonlinier dalam berbagai bentuk.

Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya. Pemrograman

nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendala.

2.1.1 Pemrograman Nonlinier Tak Berkendala

Pemrograman nonlinier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang

tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( )nxxxx ,...,, 21= mempunyai fungsi tujuan adalah

Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf

Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian x = x* merupakan

penyelesaian optimal saat f(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah


8

0=

jxf Pada x = x* , untuk nj ,...,2,1=

Dimana ( )xf merupakan fungsi konkaf, kondisi ini juga mencukupi, sehingga mencari solusi untuk x* tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem n persamaan

yang diperoleh dengan n turunan parsial sama dengan nol.

Ketika variabel jx memiliki kendala nonnegativitas atau 0jx , kondisi yang diperlukan dan mungkin cukup akan berubah menjadi

=

00

jxf

padapada

,,

*

*

xxxx

==

jikajika

00

*

*

>=

j

j

xx

Untuk setiap .j

Setelah titik kritis yang memenuhi kondisi diketahui, masing-masing titik

digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal jika fungsi tersebut bersifat

konveks ataupun konkaf disekitar titik tersebut. Maksimum dan minimum global akan

ditemukan dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal dan

kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut dengan sebagian variabel mendekati atau + . Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritisnya pastilah merupakan minimum global maupun mkasimum globalnya.

2.1.2 Pemrograman Nonlinier Berkendala

Pemrograman nonlinier berkendala merupakan masalah optimasi yang

memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( )nxxxx ,...,, 21= , maka bentuk standard untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan

(equality) adalah

Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 01 =xg

( ) 0=xgm


9

Disini nm (jumlah kendala lebih kecil daripada variabel) , jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Pada program minimasi dapat

diubah ke dalam bentuk program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.

Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini

adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dipilih karena prinsip

kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan

fungsi Lagrangian yang didefinisikan sebagai:

( ) ( ) ( )XgXfXL mj

mj=

+=1

,

Teorema:

Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gi(X)=0, dengan mj ,...,2,1= agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari

fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai ( )mnxxxLL ,...,,,,...,, 2121= terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

Teorema:

Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau maximum)

relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai

jin

i

n

j ji

xxxxLQ

= = =1 1

2

dievaluasi pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang

memenuhi semua kendala.

Syarat perlu agar jin

i

n

j ji

xxxxLQ

= = =1 1

2

menjadi definit positif (atau negatif) untuk

setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial, iz , yang didapat dari

determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).


10

( )( )

( )

000

000000

321

2232221

1131211

21321

222122232221

121111131211

KKMKMMMKMMM

KKKKKK

MKMMMKOMMKKKK

mnmmm

n

n

mmnnnnn

nn

nn

gggg

gggggggg

gnggzLLLL

gggLLzLLgggLLLzL

Dengan ( )ji

ij xxXLL

= ,*2

dan ( )

j

iij x

Xgg =

*

Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan

terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:

Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) bxg =

Fungsi Lagrange-nya adalah

( ) ( ) ( )( )XgbXfXL += ,

Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah :

0=

ixL untuk ni ,...,2,1= dan

0=L

Persamaan diatas menghasilkan :

0=

ii x

gxf untuk ni ,...,2,1=

( ) 0= Xgb atau gb =


11

Maka :

0=

i

ii

i

xxgx

xf untuk ni ,...,2,1=

atau 011

=

i

n

i ii

n

i i

xxgx

xf

atau in

i ii

n

i i

xxgx

xf

=

11

atau 4342143421

dg

i

n

i i

df

i

n

i i

xxgx

xf

=

11

Menghasilkan hasil yang final yaitu : dbdf = atau dbdf *=

Dari Persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa: pada penyelesaian

optimum, perubahan fungsi tujuan f, berbanding lurus dengan perubahan kendala b

dengan faktor sebesar pengali Lagrange .

Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya

kendala-kendala ketidaksamaan adalah :

Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 0xgi untuk ni ,...,2,1= 0x

Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala

pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack. Masalah

pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya

dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala ( )xgi adalah linier, tetapi fungsi tujuan ( )xf berbentuk nonlinier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi nonlinier yang diperhitungkan, bersama dengan

daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas

perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan

yang nonlinier.


12

2.2 Permasalahan Pemrograman Kuadratis

Masalah pemrograman kuadratis memiliki fungsi tujuan yang berbentuk

kuadratis yang melibatkan 2jx dan ( )jxx iji dan memiliki kendala berbentuk linier. Pemrograman kuadratis sangat penting karena dapat diterapkan pada berbagai

masalah yang ada. Beberapa contoh kasus yang merupakan masalah dari

pemrograman kuadratis ini adalah :

2.2.1 Pemilihan Portofolio dengan Sekuritas Beresiko

Saat ini para manjer professional dari portofolio besar biasa menggunakan

model komputer berbasis pemrograman nonlinier untuk memandu pekerjaan mereka.

Oleh karena itu inverstor harus memperhatikan baik ekspetasi pendapatan maupun

resiko investasi, pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio yang

pada asumsi tertentu dapat menghasilkan keseimbangan optimal antara kedua factor

tersebut. Pendekatan ini sebagian besar merupakan hasil riset yang dilakukan oleh

Harry Markowitz dan William Sharpe, pemenang hadiah nobel tahun 1990 dalam

bidang ekonomi karena hasil risetnya tersebut.

Model pemrograman nonlinier untuk masalah ii dapat dirumuskan sebagai

berikut. Misalkan terdapat n senis saham/sekuritas yang sedang dipertimbangkan

untuk masuk dalam portofolio, dan variabel keputusan ( )njx j ,...,2,1= adalah share dari saham j yang masuk dalam portofolio. i dan jj adalah (estimasi) rata-rata dan varians masing-masing untuk pendapatan setiap share dari saham j , dengan jj sebagai ukuran resiko dari saham ini. Untuk ( )jini = ,...,2,1 , adalah ij kovariansi dari pendapatan setiap share antara saham i dan saham j . Oleh karena itu sulit

mengestimasi seluruh nilai ij , langsung dari ii dan jj . Kemudian, nilai ekspetasi ( )xR dan variansi ( )xV dari total pendapatan keseluruhan portofolio adalah

( ) jnj

j xxR =

=1 Dan ( ) jn

ii

n

jij xxxV

= ==

1 1


13

Dengan ( )xV mengukur resiko yang terasosiasi dengan portofolio. Salah satu cara untuk mempertimbangkan keseimbangan antara dua faktor adalah dengan

menggunakan ( )xV sebagai fungsi tujuan untuk diminimalkan dan menggunakan kendala yang memastikan ( )xR tidak lebih kecil dari ekspetasi pendapatan minimum yang dapat diterima. Model pemrograman nonlinier yang lengkap adalah

Minimumkan ( ) jni

i

n

jij xxxV

= ==

1 1

Dengan kendala Lx jn

jj

=1

Bxp jn

jj

=1

0jx untuk nj ,...,2,1=

dengan L adalah ekspetasi pendapatan minimum yang dapat diterima, jP adalah

harga tiap share dari saham j dan B adalah jumlah uang yang dianggarkan untuk

portofolio.

Untuk memilih nilai L yang sesuai agar tercapai keseimbangan terbaok antara

( )xR dan ( )xV relatif sulit. Jadi daripada berhenti dengan satu pilihan nilai L , pendekatan pemrograman nonlinier parametric biasa digunakan untuk membangkitkan

solusi optimal sebagai fungsi L pada kisaran nilai L yang lebar. Langkah selanjutnya

adalah mengevaluasi ( )xR dan ( )xV untuk solusi optimal tersebut dan memilih solusi yang memberikan keseimbangan antara dua nilai itu. Prosedur ini sering disebut

pembangkitan solusi pada batas efisien dari grafik dua dimensi titik-titik

( ) ( )},{ xVxR untuk nilai x yang layak. Alasannya adalah titik ( ) ( )},{ xVxR yang optimal untuk x (pada beberapa nilai L ) pasti terletak pada batas daerah layak setiap

nilai optimal x disebut efisien karena tidak ada solusi layak lain yang sekurang-

kurangnya memiliki satu nilai ukuran yang sama R atau V dan lebih baik pada

ukuran yang lain (nilai V yang lebih kecil atau nilai R yang lebih besar).


14

2.2.2 Masalah Transportasi dengan Diskon Volume pada Biaya Pengiriman

Barang

Jenis aplikasi dari masalah transportasi dengan volume pada biaya pengiriman

barang adalah menentukan rencana yang optimal untuk mengirimkan barang dari

berbagai sumber ke berbagai tempat tujuan pengiriman, dengan kendala sumber dan

permintaan, dengan tujuan untuk meminimalkan total biaya pengiriman. Kita

asumsikan biaya pengiriman per unit dari sumber tertentu ke tujuan pengiriman adalah

tetap, tanpa memperhatikan jumlah pengiriman. Pada kenyataannya, biaya ini

mungkin tidak tetap. Diskon volume kadang tersedia untuk pengiriman dalam jumlah

yang besar sehingga biaya marginal pengiriman satu atau lebih unit mungkin akan

mengikuti pola bila jumlah pengiriman besar maka biaya marginal juga akan semakin

besar begitu juga sebaliknya.

Dengan demikian hasilnya adalah biaya yang terjadi dari pengiriman x unit

diberikan dalam bentuk fungsi nonlinier ( )xC , yang merupakan fungsi poongan linier sama dengan biaya marginal.. konsekuensinya, jika setiap kombinasi dari sumber dan

tujuan memiliki fungsi biaya pengiriman yang sama maka biaya pengiriman ijx unit

dari sumber ),...,2,1(1 mi == ke tujuan ),...,2,1(1 nj == dinyatakan dengan funsi nonlinier )( ijij xC sehingga keseluruhan fungsi tujuan diminimalkan adalah

( ) = =

=m

i

n

jijij xCxf

1 1)(

Meskipun dengan funsi tujuan yang nonlinier, kendala dari permasalahan ini

adalah kendala linier khusus yang sesuai dengan model permasalahan tranportasi.

Dari contoh-contoh kasus diatas maka dapat kita tuliskan bentuk standard dari

pemrograman kuadratis yaitu

Minimumkan : ( ) jini

n

jij

n

jjj xxqxcxf

= ==+=

1 11 21


15

Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat

disederhanakan menjadi

Minimumkan : ( ) Qxxcxxf T21+=

Dengan kendala: bAx dan 0x

Dimana:

nxnQ = matriks simetris (nxn) yang dikenal juga dengan matriks Hessian mxnA = matriks kendala nx = vektor kolom dari variabel keputusan nc = vector baris dari fungsi tujuan

mb = vector kolom dari kendala bagian kanan T = transposisi matriks

Adanya faktor 21 pada fungsi tujuan merupakan konstanta ijq (elemen dari

Q ) dimana jiij qq = . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka fungsi tujuannya dinyatakan dalam ijq , jc (elemen c) dan untuk tiap suku dengan

ji = dalam penjumlahan ganda 2jji xxx = sehingga - 21

ijq merupakan koefisien dari

2jx . Ketika ji maka ( )ijijjiij xxqxxq + 21 , sehingga ijq adalah koefisien total

untuk perkalian ix dan jx .

Beberapa algoritma telah dikembangkan untuk khasus pemrograman kuadratis

dengan funsi tujuan merupakan fungsi konkaf. Satu cara untuk membuktikan bahwa

fungsi tujuan merupakan fungsi konkaf adalah dengan membuktikan kondisi yang

sepadan dengan 0QxxT . Untuk semua x yaitu Q merupakan matriks definite positif. Penyelesaian dari masalah pemrograman kuadratis ini dapat dilakukan dengan

pendekatan kondisi persyaratan Karush Kuhn Tucker kemudian dinyatakan ulang

dalam bentuk yang mirip dengan program linier, sehingga mempermudah mencari

solusi optimalnya.


16

2.3 Konveksitas Fungsi

Konsep konveksitas sering digunakan dalam bidang penelitian operasianal,

terutama dalam ruang lingkup pemrograman nonlinier. Konsep fungsi konveks

berhubungan langsung dengan himpunan konveks. Jadi, jika ( )nxxxf ,...,, 21 adalah fungsi konveks maka kumpulan titik-titik yang terletak diatas atau pada grafik

( )nxxxf ,...,, 21 membentuk himpunan konveks. Hal yang sama, kumpulan titik yang terletak di bawah atau pada grafik fungsi konkaf adalah himpunan konveks.

Himpunan konveks mempunyai sifat penting yaitu untuk beberapa himpunan

konveks, kumpulan titik yang berada dalam semua himpunan (irisan dari himpunan

konveks) juga merupakan himpunan konveks. Dengan demikian, kumpulan titik yang

terletak di atas atau pada fungsi konveks dan di bawah atau pada fungsi konkaf adalah

merupakan himpunan konveks juga. Jadi, himpunan konveks dapat dilihat secara

intuitif sebagai kumpulan titik dengan batas atas fungsi konveks dan batas bawah

fungsi konkaf.

Sebuah himpuan vektor berdimensi- m adalah konveks jika untuk dua vektor

yang termasuk dalam himpunan ini berlaku bahwa penggal garis (line segment) antara

kedua vektor juga termasuk dalam himpunan ini.

Gambar 1.1 Bentuk Himpunan Konveks dan Bukan Konveks

Q P

R

S

Penggal garis antara P dan Q

C C


17

2.3.1 Fungsi Konveks atau Konkaf Satu Variabel Definisi :

Fungsi satu variabel ( )xf disebut fungsi konveks jika setiap pasangan nilai x , katakanlah x dan ( )xxx dxxfd untuk setiap nilai x yang mungkin.

Uji konveksitas untuk fungsi satu variabel :

Pertimbangkan fungsi satu variabel ( )xf yang memeiliki turunan kedua untuk setiap nilai x yang mungkin. Dengan demikian, fungsi ( )xf dapat bersifat: 1. Konveks jika dan hanya jika ( ) 02

2

dx

xfd untuk setiap nilai x yang mungkin.

2. Konveks ketat jika dan hanya jika ( ) 022

>dx


3. Konkaf jika dan hanya jika ( ) 022

dx


4. Konkaf ketat jika dan hanya jika ( )

022

0>

0>

0

0

0

0>

0<

0<

( )nxxxf ,...,, 21 adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hessian nyann positif definite untuk semua nilai ( )nxxx ,...,, 21 yang mungkin. Uji

konveksitas selalu diperlukan sebagai sifat umum fungsi. Akan tetapi, beberapa fungsi

nonkonveks memenuhi syarat konveksitas pada interval tertentu dari variabel. Dengan

demikian, penting untuk membicarakan fungsi yang menjadi konveks pada daerah

tertentu.

2.4 Matriks Hessian

Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan

parsial kedua dari suatu fungsi. Milsalkan f(x) fungsi dengan n variabel yang memiliki

turunan parsial kedua dan turunan-turunannya kontinu, Matriks Hessian dari f(x)

ditulis H adalah

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

nnn

n

n

xf

xxf

xxf

xxf

xf

xxf

xxf

xxf

xf

H

LLOLL

L

L


20

Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turuanan kedua fungsi

lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi

tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan

Matriks Hessian misalkan f(x)= F(x1,......,xn) adalah fungsi bernilai real

dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalkan 0x adalah titik stasioner dari F

dan kita definisikan H = H( 0x ) dengan persamaan

)( 0xFH ji yxij = dimana )(xtH adalah Hessian dari F pada 0x

Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut :

1. 0x adalah suatu minimum relatif dari F jika H ( 0x ) definite positif

2. 0x adalah suatu maksimum relatif dari F jika H ( 0x ) definite negatif

3. 0x adalah suatu titik pelana dari F jika H ( 0x ) indefinite

Teorema 2.2 :

Misalkan nilai eigen dari matriks Hnxn adalah 1, 2 , 3, , n yang didefinisikan oleh

0= HI dengan I adalah matriks identitas ukuran nxn. Maka :

(i) H adalah definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu 1, 2 ,

3, , n kesemuanya bertanda negatif.

(ii) H adalah definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu 1, 2 ,

3, , n kesemuanya bertanda positif.

(iii) H adalah Semi definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu

i 0, i = 1, 2, 3, , n

(iv) H adalah Semi definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu

i 0, i = 1, 2, 3, , n

Contoh :

642),( 222

13

23

121 ++++= xxxxxxf Titik-titik ekstrem harus memenuhi syarat:


21

( ) 04343 111211

=+=+= xxxxxf

( ) 08383 222222

=+=+= xxxxxf

Persamaan di atas dipenuhi oleh titik-titik (0, 0); (0, 8/3); (4/3, 0); dan (4/3, 8/3)

Untuk mengetahui titik yang mana yang maximum dan yang mana yang minimum,

harus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adalah:

,46 121

2

+= xx

f ,86 222

2

+= xx

f dan 021

2

=

xxf

Jadi matrik Hessiannya menjadi

+

+=860

046

2

1

xx

H sehingga [ ]46 11 += xH dan

+

+=860

046

2

12 x

xH

Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik ekstrem disajikan di bawah ini.

( )21 , xx Matriks H 1H 2H Sifat H Sifat ( )21 , xx ( )21 , xxf

( )0,0

8004

4+ 32+ Definite positif

Minimum 6

38,0

8004

4+ 32 Tak tentu Titik belok 27418

0,34

8004

4 32 Tak tentu Titik belok 27

194

38,

34

80

04

4 32+ Definite

negatif Maksimum

350

Gambar 1.2 Plot dari 642),( 222

13

23

121 ++++= xxxxxf


22

2.5 Matriks Definite Positif

Bentuk kuadrat pada ( )nxxx ,...,, 21 adalah ekspresi yang dapat kita tulis

sebagai [ ]

n

n

x

xx

Axxx M2

1

21 ..,...,, . Dengan A adalah matriks simetrik nxn . Jadi misalkan

=

nx

xx

X M2

1

maka bentuk ini dapat ditulis sebagai AXX t

Definisi

Bentuk kuadrat AXX t disebut definite positif jika AXX t > 0 untuk semua x 0,

sedangkan matriks simetrik A kita sebut matriks definit positif jika AXX t adalah

bentuk kuadrat definit positif.

Contoh :

Dipunyai matriks simetrik berikut :

=

210121

012a

Untuk mengkaji apakah matriks A bersifat definte positif, maka:

[ ]321 xxxAXX t =

210121

012

3

2

1

xxx

= [ ]321 xxx

++

32

322

21

22

2

xxxxx

xx

)x2x(x)xx2x(x)xx2(x 3233212211 ++++= 233232

222121

21 2xxxx2xxxx2 xxx ++=

2332

2221

21 2xx22xx22 xxx ++=


23

= 232332

22

2221

21

21 )2()2( xxxxxxxxxx +++++

23

232

221

21 )()( xxxxxx +++=

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi:

0)()( 232

322

2121 >+++ xxxxxx kecuali jika 0321 === xxx

Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat AXX t disebut :

1. Definite negatif jika AXX t < 0 , untuk semua x 0 .

2. Semidefinite positif jika AXX t 0 , untuk semua x.

3. Semidefinite negatif jika AXX t 0 , untuk semua x.

4. Indefinite bila tidak termasuk golongan diatas.

Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk-bentuk definit positif

dan negatif. yaitu :

1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite positif.

Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AXX t sebagai definite

positif adalah

011 >h , 02221

1211 >hhhh

, 0

333231

232221

131211

>hhhhhhhhh

, . . . , 0>A

Jika n minor dari A adalah positif, maka AXX t adalah definite positif. Dan AXX t hanya definite positif, jika minor-minor ini positif.

2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite negatif

Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AXX t menjadi definite

negatif atau setaranya untuk XAX t )( sebagai definite positif adalah

011 hhhh

, 0

333231

232221

131211

An

Dimana ija adalah elemen-elemen dari A (bukan A)


24

2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang

dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala.

Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang

optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier

atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam

pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat

digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier.

Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk :

Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = dengan tnxxxX },...,,{ 21= Dengan kendala : ( ) 0/ Xgi dengan m,1,2,3, = i 0X

nm (jumlah kendala lebih kecil dari variabel)

Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti

0,...,0,0 21 nxxx , sehingga himpunan kendalanya adalah nm + persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama

dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang 222

22

1 ,...,, mnnn xxx +++ berturut-

turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap-

tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack

variables) yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin

bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange :

( ) ( )[ ] [ ]21

11

2ini

nm

mi

m

iinii xxxXgXfL +

+

+==+ +

Untuk nm+ ,...,, 21 adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan


25

0=

ixL ( )mni += 2,...,2,1

0=

i

L ( )nmi += ,...,2,1

0i ( )nmi += ,...,2,1

Untuk fungsi konveks, syarat perlu dan cukup untuk mencapai titik minimum

dapat dicari menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker. Tetapi untuk fungsi

nonkonvek, syarat Karush Kuhn Tucker merupakan syarat perlu saja, tetapi belum

cukup untuk mencapai optimal. Jadi untuk masalah jenis konveks, syarat Karush

Kuhn Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimum/maksimum

global.

Teorema 1 (Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994)

Misalkan f(x,y) merupakan fungsi 2 variabel. f(x,y) merupakan fungsi konveks jika

dan hanya jika dipenuhi ketiga syarat berikut :

(i) 2

22

21

212

22

212

21

212 ),(),(.),(

=

dxdxxxfd

dxxxfd

dxxxfd

(ii) 0),(

21

212

dx

xxfd

(iii) 0),(

22

212

dx

xxfd


Suatu fungsi 2 variabel f(x,y) merupakan fungsi konkaf jika tidak memenuhi paling

tidak satu dari ketiga syarat pada teorema 1, atau dengan kata lain f(x,y) merupakan

fungsi konveks.


Untuk permasalahan dengan asumsi f(x) konkaf dan gj(x) konveks, maka syarat perlu

dan cukup keoptimalannya berdasarkan teorema berikut. Misalkan

)(),...,(),(),( 21 xgxgxgxf m merupakan fungsi-fungsi yang dapat diturunkan maka


26

),...,,( 21*

nxxxx = merupakan penyelesaian optimal untuk masalah program nonlinier apabila terdapat sejumlah i untuk mi ,...,2,1= sehingga semua syarat terpenuhi :

(i) 01

=+

= i

jm

ji

i xg

xf ni ,...,2,1=

(ii) 0=jj g mj ,...,2,1= (iii) 0jg mj ,...,2,1= (iv) 0j mj ,...,2,1=

Syarat Karush Kuhn Tucker untuk program nonlinier berkendala :

Teorema

Diasumsikan )(),...,(),(),( 21 xgxgxgxf m merupkan fungsi yang dapat diturukan

maka ),...,,( 21*

nxxxx = menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah m bilangan m ,...,, 21 sehingga semua syarat kondisi Karush Kuhn Tucker berikut ini terpenuhi :

(i) 01

= j

m

ii

j xg

xf pada *xx = untuk nj ,...,2,1=

(ii) 01

=

= j

m

ii

jj x

gxfx pada *xx = untuk nj ,...,2,1=

(iii) 0)( * ii bxg untuk mj ,...,2,1= (iv) [ ] 0)( * = iii bxg untuk mj ,...,2,1= (v) 0* jx untuk mj ,...,2,1= (vi) 0j untuk mj ,...,2,1=

Dapat dilihat darik kondisi (ii) dan (iv) memerlukan hasil perkalian dua

kuantitas sama dengn nol. Oleh karena itu, tiap kondisi ini menyatakan bahwa

setidaknya salah satu dari kuantitas itu harus sama dengan nol. Akibatnya, kondisi (iv)

dapat digabung dengan kondisi (iii) untuk menyatakan mereka dalam bentuk lain

sebagai berikut.:

0)( * = ii bxg (atau 0 jika 0=i ) untuk mi ,...,2,1=


27

Demikian pula kondisi (ii) dapat digabung dengan kondisi (i) menjadi :

01

=

= j

im

ii

j xg

xf (atau 0 jika 0* =jx ) untuk mj ,...,2,1=

Ketika m=0 (tidak ada kendala yang berbentuk fungsi), jumlahan berbilai 0

dan fungsi gabungan (i,ii) menjadi kondisi yang ada. Oleh karena itu, untuk m>0, tiap

suku dalam jumlahan mengubah kondisi untuk m=0 dengan memasukkan pengaruh

dari kendala berbentuk fungsi yang bersangkutan.

Dalam kondisi diatas, i setara dengan variabel dual dalam pemrogramana linier dan memiliki interpretasi ekonomi yang juga dapat diperbandingkan. Akan

tetapi, i juga ada dalam penurunan matematika seperti dalam faktor pengali Lagrange. Pada kondisi (iii) dan (v) hanya melakukan penegasan kelayakan dari

solusi. Kondisi yang lainnya menghilangkan sebagian besar solusi layak lainnya

menjadi kandidat yang mungkin untuk menjadi solusi optimal.

Corollary

Diasumsikan bahwa ( )xf merupakan fungsi konkaf dan )(),...,(),( 21 xgxgxg m merupakan fungsi konveks (misalakan saja masalah ini merupakan masalah

pemrograman konveks), dengan semua fungsi ini memenuhi kondisi biasa. Lalu

),...,,( *2*1** nxxxx = adalah solusi optimal jika dan hanya jika semua kondisi teorema terpenuhi.

2.7 Masalah Komplementaritas

Saat kita berhadapan dengan pemrograman kuadratis, maka kita harus

mengetahui terlebih dahulu bagaimana menyelesaikan permasalahan pemrograman

nonlinier tertentu dapat direduksi menjadi memecahkan masalah komplementaritas.

Dengan variabel pwww ,...,, 21 dan pzzz ,...,, 21 , masalah komplementaritas bertujuan

menemukan solusi layak untuk kendala

)(zFw = 0w 0z


28

Yang juga memenuhi kendala komplementaritas

0=zwT Disini, w dan z adalah vektor kolom. F adalah fungsi bernilai vektor yang diketahui,

dan T menandakan transpose matriks. Masalah ini tidak memiliki fungsi tujuan,

sehingga secara teknis bukanlah murni masalah pemrograman nonlinier. Hal ini

disebut masalah komplementaritas karena hubungan komplementernya.

0=w atau 0=iz (atau kedua-duanya) untuk pi ,...,2,1= Suatu kasus khusus yang penting yaitu masalh komplementaritas linier dengan

MzqzF +=)( Dengan q merupakan vektor kolom yang diketahui dan M adalah matriks pxp yang

diketahui. Algoritma yang efisien telah dikembangkan untuk pemecahan masalah ini

dengan asumsi tertentu tentang sifat matriks M. satu jenis algoritma menggunakan

pemutaran (pivoting) dari satu solusi BF (Basic Feasible) kesolusi BF selanjutnya,

seperti metode simpleks dalam pemrograman linier.

Masalah komplementaritas ini memiliki aplikasi dalam teori permainan,

masalah keseimbangan ekonomi, dan masalah keseimbangan teknik sebagai tambahan

sebagai aplikasi dari pemrograman nonlinier.


29

BAB 3

PEMBAHASAN

Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu, optimasi fungsi

tak bersyarat dan optimasi fungsi bersyarat. Kita sudah mengenal beberapa cara untuk

menyelesaikan bentuk yang pertama seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua,

untuk fungsi satu variabel, serta uji parsial kedua untuk fungsi dua variabel, semuanya

telah diuraikan pada bab sebelumya. Sedangkan untuk jenis yang kedua merupakan

jenis yang paling banyak kita jumpai dalam kehidupan nyata. Banyak aplikasi dari

pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi

atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan

fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Bentuk

umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah tentukan nilai dari variabel

keputusan (nilai ekstrim) ( )nxxxx ,...,, 21= yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi dari permasalahan:

Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = Dengan kendala : ( ) 11 )/ ( bXg

. . . . . . . . . .

( ) ii bXg )/( dengan m,1,2,3, = i Dimana f(X) merupakan fungsi tujuan (objective function), dan ( ) ii bXg ) , ,( = merupakan fungsi kendala.

3.1 Pemrograman Kuadratis Tak Berkendala

Contoh :

Maksimalkan ( ) 2224 xxxf = Dengan kendala 0x


30

420-2-4

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

24 - x^2 - 2*x

Gambar 1.3 Contoh yang mengambarkan solusi optimal dapat terletak pada titik

dengan nilai turunan negatif, bukan nol, karena titik tersebut terletak pada batas

kendala nonnegativitas.

Solusi optimal untuk suatu masalah dengan satu variabel terletak pada 0=x meskipun turunannya bernilai negatif. Oleh karena itu setiap permasalahan yang

memiliki fungsi konkaf untuk dimaksimalkan pada kendala nonnegativitas,

mempunyai turunan yang kurang dari satu atau sama dengan nol untuk 0=x adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk 0=x menjadi optimal.

3.2 Pemrograman Kuadratis Berkendala Modifikasi Simpleks

Contoh :

Maksimalkan : 2221212121 4243015),( xxxxxxxxf ++=

Dengan kendala : 302 21 + xx 01 x

02 x Penyelesaian : Dalam kasus ini diperoleh

[ ]3015=c

=2

1

xx

x

=8444

Q

Maksimum global karena ( )xf adalah konkaf dan 02 =

xf pada 0=x

Jadi, 0=x adalah optimal.


31

[ ]21=A [ ]30=b Catat bahwa :

=QxxT [ ]21 xx

8444

2

1

xx

= [ ( )11 44 xx ( )21 84 xx + ]

2

1

xx

= 221212121 8444 xxxxxx +

= 22122211221212111 xqxxqxxqxq +

Mengalikan dengan 21 mengghasilkan

2221

21 4422

1 xxxxQxxT += Yang merupakan bagian nonlinier dari fungsi tujuan untuk contoh ini. Oleh karena

411 =q dan 822 =q ini menggambarkan bahwa jjq21 merupakan koefisien dari 2jx

dalam fungsi tujuan. Fakta bahwa 42112 == qq menggambarkan bahwa baik ijq maupun jiq adalah koefisien total untuk perkalian ix dan jx .

Kondisi KKT untuk Pemrograman Kuadratis

Untuk konkritnya, kita mulai dengan membentuk kondisi Karush Kuhn Tucker adalah

sebagai berikut :

1. )1( =j . 04415 112 + xx 2. )1( =j . 0)4415( 112 =+ xxx j 1. )2( =j . 028430 121 + xx 2. )2( =j . 0)28430( 1212 =+ xxx 3. 0302 21 + xx 4. 0)302( 211 =+ xx 5. 01 x , 02 x 6. 01


32

Untuk mulai menyatakan ulang kondisi ini di dalam bentuk yang lebih tepat,

kita memindahkan konstanta dalam kondisi 1 )1( =j ,1 )2( =j , dan 3 ke sisi sebelah kanan dan lalu menambahkan slack variabel nonnegatif yang dilambangkan dengan

121 ,, vyy untuk mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan.

1. )1( =j . 1544 1121 =++ yxx 1. )2( =j . 30284 2121 =+ yxx 3. 302 121 =++ vxx

Perhatikan bahwa kondisi 2 )1( =j sekarang dapat dinyatakan ulang secara sederhana, yaitu memerlukan syarat 01 =x atau 01 =y , yaitu 2 )1( =j . 011 =yx Dengan cara yang sama, kondisi 2 )2( =j dan 4 dapat digantikan dengan 2 )2( =j . 022 =yx 4. 011 =v Untuk setiap dari tiga pasang variabel ini ).( 11 yx , ).( 22 yx , ),( 11 v dua variabel tersebut disebut variabel komplementer,karena hanya satu dari dua variabel ini yang

dapat bernilai selain nol. Bentuk baru kondisi 2 )1( =j ,2 )2( =j ,dan 4 ini dapat digabung menjadi satu kendala yaitu :

11 yx + 22 yx + 11v = 0 Yang disebut kendala komplementaritas.

Setelah mengalikan dengan -1 persamaan untuk kondisi 1 )1( =j dan 1 )2( =j untuk mendapat ruas kanan nonnegatif, kita sekarang memiliki bentuk yang

diinginkan untuk keseleruhan kondisi seperti yang ditunjukkan sebagai berikut.

1544 1121 =+ yxx 30284 2121 =++ yxx 302 121 =++ vxx 01 x , 02 x , 01 , 01 y , 02 y , 01 v 11 yx + 22 yx + 11v = 0


33

Bentuk ini cukup baik karena, kecuali untuk kendala komplementaritas,

kondisi ini adalah kendala pemrograman linier .

Untuk setiap masalah pemrograman kuadratis, kondisi Karush Kuhn Tucker-

nya dapat direduksi menjadi bentuk inidengan hanya mengandung kendala

pemrograman linier ditambah satu kendala komplentaritas. Dalam notasi matriks

dapat dituliskan bentuk umumnya adalah

TT cyuAQx =+ bvAx =+ 0x , 0u , 0y , 0v 0=+ vuyx TT

Dengan element vektor u adalah iu dari bagian sebelumnnya dan elemen-

elemen vektor kolom y dan v adalah slack variabel. Oleh karena fungsi tujuan

masalah asli diasumsikan konkaf dan fungsi kendalanya linier sehingga konveks maka

corollary teorema pada kondisi Karush Kuhn Tucker dapat digunakan. Oleh karena

itu, x optimal jika dan hanya jika uy, dan v memiliki nilai sehingga semua empat

vektor memenuhi kondisi di atas. Masalah asli tereduksi menjadi masalah untuk

mencari solusi layak untuk kendala ini.

Metode Modifikasi Simpleks

Metode modifikasi simpleks memanfaatkan kata kunci bahwa, dengan

perkecualian pada kendala komplementer bentuk kondisi Karush Kuhn Tucker yang

telah diperoleh tidak lebih daripada kendala pemrogramn linier. Lebih jauh lagi,

kendala komplementer menyatakan secara sederhana dan tidak langsung bahwa tidak

mungkin bagi pasangan variabel komplementer untuk keduanya menjadi variabel

basis (satu-satunya variabel >0) saat solusi BF menjadi pertimbangan. Oleh karena itu,

masalah ini menjadi masalah pencarian solusi BF awal pada tiap masalah

pemrograman linier yang memeiliki kendala ini, dengan kendala tambahan ini atas

identitas dari variabel basis.


34

Pada kasus sederhana pencarian BF awal relatif langsung dengan 0jc (tambahkan variabel tersebut pada ruas kiri) atau 0

35

Dari contoh di atas maka diketahui ),( 21 xxf adalah fungsi konkaf dengan matriks

=8444

Q adalah definite positif, maka algoritma dapat diterapkan. Titik awal

untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah kondisi Karush Kuhn Tucker yang telah

diperoleh sebelumnya. Setelah memasukkan variabel artificial yang diperlukan,

masalah pemrograman linier yang harus diselesaikan dengna metode modifikasi

simpleks adalah

Minimalkan : 21 zzZ += Dengan kendala : 1544 11121 =++ zyxx 30284 22121 =+++ zyxx 302 121 =++ vxx 01 x , 02 x , 01 , 01 y , 02 y , 01 v , 01 z , 02 z

Kendala komplementer tambahan adalah

11 yx + 22 yx + 11v = 0

Kendala komplementer tambahan ini tidak termasuk secara eksplisit dalam

masalah, karena algoritma akan memaksakan kendala ini secara otomatis dengan

adanya turan masuk-terbatas. Khususnya, untuk setiap dari tiga pasang variabel

komplementer ).( 11 yx , ).( 22 yx , ),( 11 v kapan pun jika salah satu dari dua variabel ini menjadi variabel basis, variabel yang lain tidak dapat diikutsertakan menjadi calon

untuk variabel basis yang masuk. Variabel yang tidak nol merupakan variabel basis.

Oleh karena variabel basis awal untuk masalah ini 121 ,, vzz memberikan solusi BF

awal yang memenuhi kendala komplementer, maka tidak mungkin kendala ini

dilanggar oleh solusi BF yang berikutnya.

Tabel berikut menunjukkan hasil dari penerapan metode modifikasi simpleks

pada masalah pemrograman kuadratis di atas.


36

Iterasi 0

Variabel

Basis 1x 2x 1 1y 2y 1v 1z 2z Ruas

Kanan

1z 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15

2z -4 8 2 0 -1 0 0 1 30

1v 1 2 0 0 0 1 0 0 30

Z 0 -4 -3 1 1 0 0 0 -45

Iterasi 1

Variabel


Kanan

1z 2 0 2 -1 21 0 1

21 30

2x - 21 1

41 0 -

81 0 0

81

433

1v 2 0 21 0

41 1 0

41

2122

Z -2 0 -2 1 21 0 0

21 -30

Iterasi 2

Variabel


Kanan

1z 0 0 25 -1

43 -1 1

43

217

2x 0 1 81 0 -

161

41 0

161

839

1x 1 0 41 0

81

21 0

81

4111

Z 0 0 25 1

43 1 0

41

217


37

Iterasi 3

Variabel


Kanan

1u 0 0 1 - 25

103 -

25

25

103 3

2x 0 1 0 201 -

401

103 -

201

401 9

1x 1 0 0 - 101

201

25

101

201 12

Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Hasil solusi optimal dari permasalahan kuadratis di atas adalah 121 =x , 92 =x , 31 =u , dengan sisa variabel yang ada bernilai nol. Solusi optimal ini

memenuhi kondisi Karush Kuhn Tucker untuk masalah asal ketika ditulis dengan

bentuk yang ada. Oleh karena itu, solusi optimal untuk pemrograman kuadratis adalah

yang termasuk hanya variabel 1x dan 2x yaitu 121 =x dan 92 =x . Dengan demikian diperoleh nilai fungsi maksimumnya adalah

),( 21 xxf = 15(12) + 30(9) + 4(12)(9) - 2(12)2 - 4(9)2

= 180 + 270 + 432 288 324

= 270

3.3 Pemrograman Kuadratis Karush Kuhn Tucker

Sebagai ilustrasi tentang penggunakan kondisi Karush Kuhn Tucker dalam

pemrograman kuadratis di atas dapat juga di selesaikan sebagai berikut :


Dengan kendala : 302 21 + xx 01 x , 02 x

Agar dapat menggunakan persyaratan Karush Kuhn Tucker, maka persoalan di

atas dirumuskan kembali sebagai berikut :


38


Dengan kendala : )(1 xg = 0302 21 + xx )(2 xg = 01 x

)(3 xg = 02 x

Terlihat bahwa kendala dalam masalah pemrograman nonlinier perlu diubah

dalam bentuk 0)(

39

Dari persamaan-persamaan di atas maka diketahui variabel 1x dan 2x tidak

mungkin sama dengan nol. Maka agar kondisi 0)(22 =xg dan 0)(33 =xg terpenuhi haruslah 02 = . Karena )(2 xg = 01 x dan juga 03 = karena

0)(3 xg . Kemudian agar kendala ketiga dapat dipecahkan serta kondisi 0)(11 =xg terpenuhi, maka perlu dibuat 01 , maka 0)(1 =xg . Jika 0)(1 =xg berarti diperoleh

0502)( 211 =+= xxxg . Dengan demikian kita peroleh 3 sistem baru sebagai berikut :

1. 01544 121 =+++ xx 2. 030284 121 =++ xx 3. 0302 21 =+ xx (dengan 032 == )

Langkah selanjutnya adalah memecahkan sistem persamaan 1,2, dan 3 di atas

dengan teknik aljabar untuk mendapatkan nilai 21 , xx dan 1 .

Persamaan 1 dan 2

121 44 ++ xx = -15 121 284 + xx = 30

12 34 + x = - 45 Persamaan 4

Persamaan 1 dan 3

1544 121 =++ xx 1 21 2xx + = 30 4

1544 121 =++ xx 21 84 xx + = 120

12 2x + 1 = 105 Persamaan 5

-

21 4453 x+=

21 12105 x=

+


40

Dari persamaan 4 dan 5 di atas diperoleh nilai 2x adalah

22 445)12105(3 xx += 315 - 236x = 2445 x+ 360 = 240x

92 =x Dari persamaan 4 dengan mensubtitusikan nilai 2x diperoleh nilai 1 adalah

1 = 105 - 12 2x 1 = 105 12(9) 1 = -3

Dengan mensubtitusikan nilai 2x ke persamaan 3 maka diperoleh nilai 1x adalah

0302 21 =+ xx 030)9(21 =+x

121 =x

Dengan demikian berdasarkan persyaratan Karush Kuhn Tucker diperoleh solusi

)0,0,3,9,12(),,,,( 32121 =xx

Karena 01

41

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari pembahasan sebelumnya dalam menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik

dengan persyaratan Karush Kuhn Tucker, dapat disimpulkan bahwa :

a. Untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala dapat

dilakukan dengan metode modifikasi simpleks ataupun dengan persyaratan

langsung dari persyaratan Karush Kuhn Tucker.

b. Syarat cukup yang harus dipenuhi dalam persyaratan Karush Kuhn Tucker ini

adalah mengikuti salah satu sifat yaitu untuk masalah maksimasi nilai

0i dan untuk masalah minimasi 0i . c. Dalam contoh kasus di atas merupakan kasus maksimasi oleh karena itu nilai

i harus 0 . Dalam contoh kita peroleh 31 = . Hal ini sesuai dengan 0i sehingga persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dapat diterapkan.

d. Solusi optium yang diperoleh dalam menggunakan modifikasi simpleks dan

juga persyaratan Karush Kuhn Tucker adalah sama saja yaitu variabel 121 =x dan variable 92 =x .

e. Kelebihan persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dibandingkan dengan metode

modifikasi simpleks adalah dengan menggunakan persyaratan Karush Kuhn

Tucker kita dapat langsung menemukan titik-titik ekstrim yang merupakan

solusi dari masalah yang ada dan pengkualifikasian kendala dipenuhi. Dengan

demikian prosedur berhasil digunakan.

f. Pemrograman kuadratik dengan persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dapat

diterapkan dalam berbagai bidang ekonomi seperti dalam pemilihan

portofolio/bursa saham.


42

4.2 Saran

a. Penelitian yang dilakukan hanya sebatas 2 variabel, akan lebih baik apabila

juga membahas mengenai beberapa variabel.

b. Dalam menggunakan persyaratan Karush Kuhn Tucker perlu diperhatikan

titik-titik ekstrimnya karena disinilah diperoleh nilai untuk solusi optimal yang

merupakan variael pengambilan keputusan.

c. Aplikasi yang dirancang masih sangat manual, akan lebih baik jika kita

menggunakan sofware sehingga lebih memudahkan untuk memperoleh hasil

yang optimal.


43

DAFTAR PUSTAKA

1. Bradley, Stephen P. 1999. Applied Methematical Programming. Graduate

aaaaaaaaaSchool of Business Administration, Harvard University.

2. Bronson, Richard Ph.D. 1996. Theory and Problem of Operations Research.

aaaaaaaaaUSA : McGrow-Hill,lnc.

3. De Klerk, E, D.V. Pasechnik. 2005. Journal : a Linier Programming of the Standard

aaaaaaaaaQuadratic Optimization Problem. Tilburg University.

4. Fletcher, R. 1987. Practical Methods of Optimization. Departement of Scotland :

aaaaaaaaMathematic University of Undee.

5. Gass, Saul I. 2008. Linier Programming methods and applications. Maryland :

mmmmbCollege of Business and Management.

6. Gunawan, Gani. 2002. Journal : Faktor Pengali Kuhn Tucker dalam Teori

aaaaaaaaOptimasi. Bandung : Universitas Islam Bandung.

7. Giannessi, F. 1990. Journal : Quadratic Programing Problems and Linier

aaaaaaa.Complementary Problems. Vol.65, No.2

8. Hillier, Frederick S & Lieberman, Gerald J. 2005. Introduction to Operations

aaaaaaaaResearch. USA : McGrow-Hill Companies,lnc.

9. Jensen, Paul A and Jonathan F.Bard. Journal : Operation Research Models and

aaaaaaaaMethods. www. me. utexas. Edu /~ jensen / ORMM / supplements/ S2

aaaasaaaquadratic.pdf. Diakses : 15 Oktober 2009.

10.aLuknanto, Ir.Djoko M.sc.,Ph.D. 2000. Pengantar Optimasi Nonlinier.

aaaaaaaaYogyakarta: Universitas Gajah Mada.

11. Minoux, M. 1983. Mathematical Programming Theory ang Algorithms. Paris :

aaaaaaaaBordas Dunot Gouthier-Villars.

12. Nasendi, B.D dan Anwar. A. 1985. Program Linier dan Variasinya. Jakarta :

aaaaaaaaGramedia.

13. Overton, L. 1997. Journal : Linier Programming. America : Draf for

aaaaaaaaEncyclopedia Americana.

14. Peter, Carbonetto. 2007. Journal : Intuition Behind Primal-Dual For Linear and

aaaaaaaaQuadratic Programming. Colombia: Department of Computer Science,

aaaaaaaaUniversity of British Colombia.


44

15. Rao, S.S. 1978. Optimization. Deptt.of Machanical Engg. USA : San Diego

aaaaaaa.State University.

16. Rardin, Ronald L. 1998. Optimization in Operations Research. New Jersey :

aaaa. Prantice Hall.International, Inc,.

17. Saunders, Michael A and John A Tomlin. Journal : Stable Reduction to KKT

aaaaaaaaSystem in Barrier Methods for Linier and Quadratic Programming.

aaaaaaaawww.stanford.edu/group/SOL/papers/kkt.pdf.. Diakses : 16 Oktober

aaaaaaaa2009.

18. Utam, Ngakan Putu Satria. 2005. Journal : Aplikasi metode Extended Quadratic

sssssssssInterior Point, Bali : Universitas Udayana.

19. Vanderbei, Robert J. 2001. Linear Programming: Foundation and Extension.

aaaaaaaaPrinceton : Departement of Operations Research and Financial

aaaaaaaaEngineering Princeton University.

20. Wegner, P, Journal : a Quadratic Programming Formulation of the Portfolio

aaaaSelection.Model.www.actuaries.org.uk/data/assets/pdf_file/0020/../46847

aaaa6.pdf. Diakses : 20 Oktober 2009.


lia-belum-mandi-2lia-belum-mandi-1lia-belum-mandi

example kkt

Documents