example kkt
DESCRIPTION
KKTTRANSCRIPT
-
PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM
MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS
SKRIPSI
AMALIA
050803033
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM
MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
AMALIA
050803033
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
ii
PERSETUJUAN
Judul : PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN QQQQQQQQQQQQQQQQQ.gTUCKER DALAM MENYELESAIKAN QQQQQQQQQQQQQQQQQ .PEMROGRAMAN KUADRATIK Katagori : SKRIPSI Nama : AMALIA Nomor Induk Mahasiswa : 050803033 Program Studi : PROGRAM (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkUTARA Diluluskan di Medan, Desember 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. H. Haludin Panjaitan Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 194603091979021001 NIP. 194612251974031001 Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 196401091988031004
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
iii
PERNYATAAN
PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Desember 2009 AMALIA 050803033
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
iv
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT karena atas berkah dan rahmat-Nya kepada penulis hingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada : 1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Bapak Drs. H. Haludin Panjaitan,
selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan bimbingan, pengarahan serta pemeriksaan terhadap skripsi ini sehingga dapat selesai dengan baik.
2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. DR. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh Staf Pengajar jurusan Matematika yang telah mendidik penulis selama mengikuti perkuliahan.
4. Ayahanda dan Ibunda tercinta, abang dan kakak, serta seluruh keluarga yang telah memberikan semangat dan dukungan yang tak ternilai harganya.
5. Rekan-rekan mahasiswa Matematika stambuk 2005, khususnya Depi, Feby, Nenna, Rima, Sundari, Yuni, Andika, Radhi, Santri, dan masih banyak lagi yang tidak mungkin disebutkan satu persatu, terima kasih atas bantuannya.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
v
ABSTRAK Salah satu bentuk khusus dari permasalahan pemrograman nonlinier adalah masalah pemrograman kuadratik. Dimana pemrograman kuadratik ini memiliki fungsi tujuan yang berbentuk kuadratik dan fungsi kendala berbentuk linier. Dalam penelitian ini dirancang sebuah penyelesaian permasalahan pemrograman kuadratik dengan menggunakan persyaratan Karush Khun Tucker. Syarat yang harus dipenuhi untuk optimum adalah bahwa turunan parsial pertama dari fungsi tujuan terhadap semua variabel dan pengali lagrange bernilai nol. )0)(( =xgii
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
vi
ABSTRACT
One particular form of nonlinear programming is a quadratic programming problem. This quadratic programming where the objective function which has a quadratic form and the constraint function is a linear. In this research we proposed a quadratic programming problem solving using Karush Khun Tucker requirements. The condition that must be met for the optimum is that the first partial derivative of the objective function of all variables and Lagrange multiplier is zero. )0)(( =xgii .
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
vii
DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstract vi Daftar Isi vii Daftar Tabel viii Daftar Gambar ix Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tinjauan Pustaka 3 1.4 Tujuan Penelitian 5 1.5 Kontribusi Penelitian 6 1.6 Metode Penelitian 6
Bab 2 Landasan Teori 2.1 Pemrograman Nonlinier 7 2.1.1 Pemrograman Nonlinier Tak Berkendala 7
2.1.2 Pemrograman Nonlinier Berkendala 8 2.2 Permasalahan Pemrograman Kuadratis 12 2.2.1 Pemilihan Portofolio dengan Sekuritas Beresiko 12 2.2.2 Masalah Transportasi dengan Diskon Volume pada 14
Biaya Pengiriman Barang 2.3 Konveksitas Fungsi 16
2.6.1 Fungsi Konveks atau Konkaf Satu Variabel 17 2.6.2 Fungsi Konveks dan Konkaf untuk Beberapa Variabel 17
2.4 Matriks Hessian 19 2.5 Matriks Definite Positif 22 2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker 24 2.7 Masalah Komplementaritas 27
Bab 3 Pembahasan 3.1 Pemrograman Kuadratis Tak Berkendala 29
3.2 Pemrograman Kuadratis Berkendala modifikasi simpleks 30 3.3 Pemrograman Kuadratis Karush Kuhn Tucker 37
Bab 4 Penutup 4.1 Kesimpulan 41 4.2 Saran 42 Daftar Pustaka 43
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
viii
DAFTAR TABEL
Halaman Table 1.1 Uji Konveksitas untuk Fungsi Dua Variabel 19 Tabel 1.2 Tabel Simpleks iterasi 0, 1, 2, dan 3 39
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1.1 Bentu Himpunan Konveks dan bukan Konveks 16 Gambar 1.2 Plot dari 642),( 22
21
32
3121 ++++= xxxxxf 21
Gambar 1.3 Grafik dari ( ) 2224 xxxf = 29
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi membuat matematika
menjadi sangat penting artinya. Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa perkembangan
ilmu pengetahuan dan teknologi tersebut tidak lepas dari peranan matematika. Hampir
dapat dipastikan bahwa setiap bagian dari ilmu dan teknologi baik dalam unsur kajian
umum ilmu murni maupun terapannya memerlukan peranan matematika sebagai ilmu
bantunya.
Salah satu bagian dari matematika terapan adalah program linear (linear
programming) yang merupakan suatu model dari penelitian operasional (operation
research) yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi. Dalam masalah
optimasi ini kita diminta untuk menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai
minimum) dari suatu fungsi matematik. Namun dalam pemograman linier semua
fungsi yang terlibat (fungsi tujuan dan fungsi kendala) adalah linier. Meskipun pada
dasarnya diaplikasikan pada banyak masalah praktis, asumsi ini sering kali tidak
sesuai. Pada kenyataannya, banyak ahli ekonomi menemukan drajat nonlinearitas
yang merupakan suatu aturan dan bukan merupakan suatu perkecualian dalam
berbagai masalah. Oleh sebab itu, sering kali memang perlu untuk segera
mengarahkan pada masalah pemrograman nonlinier, sehingga kita memfokuskan
perhatian pada area yang penting ini.
Terdapat banyak jenis masalah pemrograman nonlinier, tergantung pada
karakteristik fungsi tujuan dan fungsi kendala. Salah satunya adalah pemograman
kuadratis yang merupakan bentuk khusus dari pemrograman nonlinier. Dimana
masalah pemrograman kuadaratis ini memiliki kendala linier, tetapi fungsi tujuan
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
2
berbentuk kuadratis. Oleh karena itu, satu-satunya perbedaan antara pemrograman ini
dengan pemrograman linier terletak di fungsi tujuannya yang melibatkan pangkat dua
dari variabel atau perkalian dari dua variabel.
Beberapa metode telah dikembangkan untuk menyelesaikan kasus
pemrograman kuadratis dengan asumsi tambahan fungsi tujuan merupakan fungsi
konkaf. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratis
adalah dengan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker. Metode ini sangat efektif untuk
permasalahan optimasi nonlinier dengan kendala pertidaksamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Dengan pendekatan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dapat diperoleh
optimasi dari pemrograman kuadratis. Dalam hal ini kondisi yang perlu diperhatikan
adalah mengikuti syarat cukup agar mendapatkan nilai-nilai variabel yang optimal
untuk mencapai hasil yang diinginkan.
1.3 Tinjauan Pustaka
1. Pemrograman Kuadratis
Pemrograman kuadratis adalah masalah optimasi dimana memaksimumkan
atau meminimumkan fungsi tujuan yang berbentuk kuadratis dengan fungsi
kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Bentuk fungsi kuadratis dengan variabel ( )nxxxx ,...,, 21= adalah : ( ) jkn
k
n
jkj
n
jjj xxqxcxf
= ==+=
1 11 21
Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat
disederhanakan menjadi
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
3
( ) Qxxcxxf T21+=
Dengan kendala bAx dan 0x
Dimana: nxnQ = matriks simetris (nxn) yang dikenal juga dengan matriks Hessian mxnA = matriks kendala
nx = vektor kolom dari variabel keputusan nc = vector baris dari fungsi tujuan mb = vector kolom dari kendala bagian kanan
T = transposisi matriks
Adanya faktor 21 pada fungsi tujuan merupakan konstanta ijq (elemen dari
Q ) dimana jiij qq = . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka fungsi tujuannya dinyatakan dalam ijq , jc (elemen c) dan untuk tiap suku dengan
ji = dalam penjumlahan ganda 2jji xxx = sehingga - 21
ijq merupakan koefisien dari
2jx . Ketika ji maka ( )ijijjiij xxqxxq + 21 , sehingga ijq adalah koefisien total
untuk perkalian ix dan jx .
Ketika fungsi objektif f (x) adalah cembung sempurna (konkaf) untuk semua
daerah layak diperoleh titik yang merupakan minimum lokal dan juga global. Maka
dalam kondisi seperti ini menjamin bahwa Q adalah definite positif.
2. Kondisi Karush-Kuhn-Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang
dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala.
Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang
optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier
atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
4
pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat
digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier.
Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk :
Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = dengan tnxxxX },...,,{ 21= Dengan kendala : ( ) 0/ Xgi dengan m,1,2,3, = i 0X
nm (jumlah kendala lebih kecil dari variabel)
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti
0,...,0,0 21 nxxx , sehingga himpunan kendalanya adalah nm + persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama
dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang 222
22
1 ,...,, mnnn xxx +++ berturut-
turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap-
tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack
variables) yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin
bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange :
( ) ( )[ ] [ ]21
11
2ini
nm
mi
m
iinii xxxXgXfL +
+
+==+ +
Untuk nm+ ,...,, 21 adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan
0=
jxL ( )mnj += 2,...,2,1
0=
i
L ( )nmi += ,...,2,1
0i ( )nmi += ,...,2,1
Persamaan-persamaan diatas membentuk persyaratan Karush-Kuhn-Tucker
untuk maksimasi ataupun minimasi program liner dan nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
5
3. Kondisi Optimal dalam Pemrograman Kuadratis
Prosedur menggunakan Kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk memecahkan
suatu masalah optimasi dalam pemrograman kuadratis dengan kendala berupa suatu
pertidaksamaan, secara essensial melibatkan langkah-langkah yang sama seperti
halnya dalam menggunakan teorema Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi
dengan kedala berupa persamaan, yaitu pertama bentuklah suatu Lagrangean L.[3]
Jadi dalam hal ini dibentuk suatu fungsi
( ) ( )bAxycxQxxyxL T ++=21,
Dimana y adalah baris vektor dimensi m . Maka kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk
lokal minimum memenuhi
0
jxL , nj ,...,2,1= 0++ yAQxc T
0
iyL , mi ,...,2,1= 0 bAx
0=
jj x
Lx , nj ,...,2,1= ( ) 0=++ yAQxcx TTT ( ) 0=xgy ii , mi ,...,2,1= ( ) 0= bAxy 0jx , nj ,...,2,1= 0x 0iy , mi ,...,2,1= 0y
Dimana ny = surplus variabel nonnegatif mv = slack variabel nonnegatif.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penulisan ini adalah menguraikan cara dan persyaratan Karush-
Kuhn-Tucker untuk mendapatkan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum)
dari pemrograman kuadratis.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
6
1.5 Kontribusi Penelitian
Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca mengenai metode
yang dapat digunakan dalam menentukan nilai optimum dari pemograman kuadratis,
dalam bidang ekonomi penelitian ini juga bermanfaat untuk membantu
memformulasikan pemrograman kuadratis dalam pemilihan portofolio dan
sekuritasnya yang beresiko.
1.6 Metode Penelitian
Metode penelitian dalam tulisan ini adalah :
1. Membuat formulasi model pemrograman kuadratis dalam bentuk persyaratan
Karush-Kuhn-Tucker
2. Fungsi tujuan yang telah dimodifikasi menjadi
( ) ( ) ( )XgXfxL imi=
+=1
1, ; harus sesuai pada titik tersebut
3. Menghitung titik-titik kritis dan menguji nilai untuk fungsi objektif pada setiap
titik-titik kritis tersebut yang membuat nilai fungsi objektif menjadi optimum.
4. Mencari semua solusi ( ),x dalam himpunan persamaan berikut ( ) 0, =
xxL
j
; nj ,...,2,1=
Dimana
( ) 0, xL
i
; 0
( ) 0, = xL
ii ; li ,...,2,1=
5. Diperoleh titik-titik kritis yang merupakan solusi optimal dari pemrograman
kuadratis.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
7
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Nonlinier
Pemrograman nonlinier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya
saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk nonlinier yaitu pangkat dari
variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umun masalah pemrograman nonlinier
adalah untuk menentukan ( )nxxxx ,...,, 21= sehingga mencapai tujuan untuk: Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 0xgm dan 0x Dengan ( )xf dan ( )xg m merupakan fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan.
Terdapat banyak jenis masalah pemrograman nonlinier dalam berbagai bentuk.
Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya. Pemrograman
nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendala.
2.1.1 Pemrograman Nonlinier Tak Berkendala
Pemrograman nonlinier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang
tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( )nxxxx ,...,, 21= mempunyai fungsi tujuan adalah
Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian x = x* merupakan
penyelesaian optimal saat f(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
8
0=
jxf Pada x = x* , untuk nj ,...,2,1=
Dimana ( )xf merupakan fungsi konkaf, kondisi ini juga mencukupi, sehingga mencari solusi untuk x* tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem n persamaan
yang diperoleh dengan n turunan parsial sama dengan nol.
Ketika variabel jx memiliki kendala nonnegativitas atau 0jx , kondisi yang diperlukan dan mungkin cukup akan berubah menjadi
=
00
jxf
padapada
,,
*
*
xxxx
==
jikajika
00
*
*
>=
j
j
xx
Untuk setiap .j
Setelah titik kritis yang memenuhi kondisi diketahui, masing-masing titik
digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal jika fungsi tersebut bersifat
konveks ataupun konkaf disekitar titik tersebut. Maksimum dan minimum global akan
ditemukan dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal dan
kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut dengan sebagian variabel mendekati atau + . Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritisnya pastilah merupakan minimum global maupun mkasimum globalnya.
2.1.2 Pemrograman Nonlinier Berkendala
Pemrograman nonlinier berkendala merupakan masalah optimasi yang
memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( )nxxxx ,...,, 21= , maka bentuk standard untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan
(equality) adalah
Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 01 =xg
( ) 0=xgm
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
9
Disini nm (jumlah kendala lebih kecil daripada variabel) , jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Pada program minimasi dapat
diubah ke dalam bentuk program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.
Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini
adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dipilih karena prinsip
kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan
fungsi Lagrangian yang didefinisikan sebagai:
( ) ( ) ( )XgXfXL mj
mj=
+=1
,
Teorema:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gi(X)=0, dengan mj ,...,2,1= agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari
fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai ( )mnxxxLL ,...,,,,...,, 2121= terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
Teorema:
Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau maximum)
relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai
jin
i
n
j ji
xxxxLQ
= = =1 1
2
dievaluasi pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang
memenuhi semua kendala.
Syarat perlu agar jin
i
n
j ji
xxxxLQ
= = =1 1
2
menjadi definit positif (atau negatif) untuk
setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial, iz , yang didapat dari
determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
10
( )( )
( )
000
000000
321
2232221
1131211
21321
222122232221
121111131211
KKMKMMMKMMM
KKKKKK
MKMMMKOMMKKKK
mnmmm
n
n
mmnnnnn
nn
nn
gggg
gggggggg
gnggzLLLL
gggLLzLLgggLLLzL
Dengan ( )ji
ij xxXLL
= ,*2
dan ( )
j
iij x
Xgg =
*
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan
terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) bxg =
Fungsi Lagrange-nya adalah
( ) ( ) ( )( )XgbXfXL += ,
Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah :
0=
ixL untuk ni ,...,2,1= dan
0=L
Persamaan diatas menghasilkan :
0=
ii x
gxf untuk ni ,...,2,1=
( ) 0= Xgb atau gb =
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
11
Maka :
0=
i
ii
i
xxgx
xf untuk ni ,...,2,1=
atau 011
=
i
n
i ii
n
i i
xxgx
xf
atau in
i ii
n
i i
xxgx
xf
=
11
atau 4342143421
dg
i
n
i i
df
i
n
i i
xxgx
xf
=
11
Menghasilkan hasil yang final yaitu : dbdf = atau dbdf *=
Dari Persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa: pada penyelesaian
optimum, perubahan fungsi tujuan f, berbanding lurus dengan perubahan kendala b
dengan faktor sebesar pengali Lagrange .
Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya
kendala-kendala ketidaksamaan adalah :
Maksimumkan / Minimumkan : ( )xf Dengan kendala : ( ) 0xgi untuk ni ,...,2,1= 0x
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala
pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack. Masalah
pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya
dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala ( )xgi adalah linier, tetapi fungsi tujuan ( )xf berbentuk nonlinier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi nonlinier yang diperhitungkan, bersama dengan
daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas
perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan
yang nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
12
2.2 Permasalahan Pemrograman Kuadratis
Masalah pemrograman kuadratis memiliki fungsi tujuan yang berbentuk
kuadratis yang melibatkan 2jx dan ( )jxx iji dan memiliki kendala berbentuk linier. Pemrograman kuadratis sangat penting karena dapat diterapkan pada berbagai
masalah yang ada. Beberapa contoh kasus yang merupakan masalah dari
pemrograman kuadratis ini adalah :
2.2.1 Pemilihan Portofolio dengan Sekuritas Beresiko
Saat ini para manjer professional dari portofolio besar biasa menggunakan
model komputer berbasis pemrograman nonlinier untuk memandu pekerjaan mereka.
Oleh karena itu inverstor harus memperhatikan baik ekspetasi pendapatan maupun
resiko investasi, pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio yang
pada asumsi tertentu dapat menghasilkan keseimbangan optimal antara kedua factor
tersebut. Pendekatan ini sebagian besar merupakan hasil riset yang dilakukan oleh
Harry Markowitz dan William Sharpe, pemenang hadiah nobel tahun 1990 dalam
bidang ekonomi karena hasil risetnya tersebut.
Model pemrograman nonlinier untuk masalah ii dapat dirumuskan sebagai
berikut. Misalkan terdapat n senis saham/sekuritas yang sedang dipertimbangkan
untuk masuk dalam portofolio, dan variabel keputusan ( )njx j ,...,2,1= adalah share dari saham j yang masuk dalam portofolio. i dan jj adalah (estimasi) rata-rata dan varians masing-masing untuk pendapatan setiap share dari saham j , dengan jj sebagai ukuran resiko dari saham ini. Untuk ( )jini = ,...,2,1 , adalah ij kovariansi dari pendapatan setiap share antara saham i dan saham j . Oleh karena itu sulit
mengestimasi seluruh nilai ij , langsung dari ii dan jj . Kemudian, nilai ekspetasi ( )xR dan variansi ( )xV dari total pendapatan keseluruhan portofolio adalah
( ) jnj
j xxR =
=1 Dan ( ) jn
ii
n
jij xxxV
= ==
1 1
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
13
Dengan ( )xV mengukur resiko yang terasosiasi dengan portofolio. Salah satu cara untuk mempertimbangkan keseimbangan antara dua faktor adalah dengan
menggunakan ( )xV sebagai fungsi tujuan untuk diminimalkan dan menggunakan kendala yang memastikan ( )xR tidak lebih kecil dari ekspetasi pendapatan minimum yang dapat diterima. Model pemrograman nonlinier yang lengkap adalah
Minimumkan ( ) jni
i
n
jij xxxV
= ==
1 1
Dengan kendala Lx jn
jj
=1
Bxp jn
jj
=1
0jx untuk nj ,...,2,1=
dengan L adalah ekspetasi pendapatan minimum yang dapat diterima, jP adalah
harga tiap share dari saham j dan B adalah jumlah uang yang dianggarkan untuk
portofolio.
Untuk memilih nilai L yang sesuai agar tercapai keseimbangan terbaok antara
( )xR dan ( )xV relatif sulit. Jadi daripada berhenti dengan satu pilihan nilai L , pendekatan pemrograman nonlinier parametric biasa digunakan untuk membangkitkan
solusi optimal sebagai fungsi L pada kisaran nilai L yang lebar. Langkah selanjutnya
adalah mengevaluasi ( )xR dan ( )xV untuk solusi optimal tersebut dan memilih solusi yang memberikan keseimbangan antara dua nilai itu. Prosedur ini sering disebut
pembangkitan solusi pada batas efisien dari grafik dua dimensi titik-titik
( ) ( )},{ xVxR untuk nilai x yang layak. Alasannya adalah titik ( ) ( )},{ xVxR yang optimal untuk x (pada beberapa nilai L ) pasti terletak pada batas daerah layak setiap
nilai optimal x disebut efisien karena tidak ada solusi layak lain yang sekurang-
kurangnya memiliki satu nilai ukuran yang sama R atau V dan lebih baik pada
ukuran yang lain (nilai V yang lebih kecil atau nilai R yang lebih besar).
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
14
2.2.2 Masalah Transportasi dengan Diskon Volume pada Biaya Pengiriman
Barang
Jenis aplikasi dari masalah transportasi dengan volume pada biaya pengiriman
barang adalah menentukan rencana yang optimal untuk mengirimkan barang dari
berbagai sumber ke berbagai tempat tujuan pengiriman, dengan kendala sumber dan
permintaan, dengan tujuan untuk meminimalkan total biaya pengiriman. Kita
asumsikan biaya pengiriman per unit dari sumber tertentu ke tujuan pengiriman adalah
tetap, tanpa memperhatikan jumlah pengiriman. Pada kenyataannya, biaya ini
mungkin tidak tetap. Diskon volume kadang tersedia untuk pengiriman dalam jumlah
yang besar sehingga biaya marginal pengiriman satu atau lebih unit mungkin akan
mengikuti pola bila jumlah pengiriman besar maka biaya marginal juga akan semakin
besar begitu juga sebaliknya.
Dengan demikian hasilnya adalah biaya yang terjadi dari pengiriman x unit
diberikan dalam bentuk fungsi nonlinier ( )xC , yang merupakan fungsi poongan linier sama dengan biaya marginal.. konsekuensinya, jika setiap kombinasi dari sumber dan
tujuan memiliki fungsi biaya pengiriman yang sama maka biaya pengiriman ijx unit
dari sumber ),...,2,1(1 mi == ke tujuan ),...,2,1(1 nj == dinyatakan dengan funsi nonlinier )( ijij xC sehingga keseluruhan fungsi tujuan diminimalkan adalah
( ) = =
=m
i
n
jijij xCxf
1 1)(
Meskipun dengan funsi tujuan yang nonlinier, kendala dari permasalahan ini
adalah kendala linier khusus yang sesuai dengan model permasalahan tranportasi.
Dari contoh-contoh kasus diatas maka dapat kita tuliskan bentuk standard dari
pemrograman kuadratis yaitu
Minimumkan : ( ) jini
n
jij
n
jjj xxqxcxf
= ==+=
1 11 21
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
15
Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat
disederhanakan menjadi
Minimumkan : ( ) Qxxcxxf T21+=
Dengan kendala: bAx dan 0x
Dimana:
nxnQ = matriks simetris (nxn) yang dikenal juga dengan matriks Hessian mxnA = matriks kendala nx = vektor kolom dari variabel keputusan nc = vector baris dari fungsi tujuan
mb = vector kolom dari kendala bagian kanan T = transposisi matriks
Adanya faktor 21 pada fungsi tujuan merupakan konstanta ijq (elemen dari
Q ) dimana jiij qq = . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka fungsi tujuannya dinyatakan dalam ijq , jc (elemen c) dan untuk tiap suku dengan
ji = dalam penjumlahan ganda 2jji xxx = sehingga - 21
ijq merupakan koefisien dari
2jx . Ketika ji maka ( )ijijjiij xxqxxq + 21 , sehingga ijq adalah koefisien total
untuk perkalian ix dan jx .
Beberapa algoritma telah dikembangkan untuk khasus pemrograman kuadratis
dengan funsi tujuan merupakan fungsi konkaf. Satu cara untuk membuktikan bahwa
fungsi tujuan merupakan fungsi konkaf adalah dengan membuktikan kondisi yang
sepadan dengan 0QxxT . Untuk semua x yaitu Q merupakan matriks definite positif. Penyelesaian dari masalah pemrograman kuadratis ini dapat dilakukan dengan
pendekatan kondisi persyaratan Karush Kuhn Tucker kemudian dinyatakan ulang
dalam bentuk yang mirip dengan program linier, sehingga mempermudah mencari
solusi optimalnya.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
16
2.3 Konveksitas Fungsi
Konsep konveksitas sering digunakan dalam bidang penelitian operasianal,
terutama dalam ruang lingkup pemrograman nonlinier. Konsep fungsi konveks
berhubungan langsung dengan himpunan konveks. Jadi, jika ( )nxxxf ,...,, 21 adalah fungsi konveks maka kumpulan titik-titik yang terletak diatas atau pada grafik
( )nxxxf ,...,, 21 membentuk himpunan konveks. Hal yang sama, kumpulan titik yang terletak di bawah atau pada grafik fungsi konkaf adalah himpunan konveks.
Himpunan konveks mempunyai sifat penting yaitu untuk beberapa himpunan
konveks, kumpulan titik yang berada dalam semua himpunan (irisan dari himpunan
konveks) juga merupakan himpunan konveks. Dengan demikian, kumpulan titik yang
terletak di atas atau pada fungsi konveks dan di bawah atau pada fungsi konkaf adalah
merupakan himpunan konveks juga. Jadi, himpunan konveks dapat dilihat secara
intuitif sebagai kumpulan titik dengan batas atas fungsi konveks dan batas bawah
fungsi konkaf.
Sebuah himpuan vektor berdimensi- m adalah konveks jika untuk dua vektor
yang termasuk dalam himpunan ini berlaku bahwa penggal garis (line segment) antara
kedua vektor juga termasuk dalam himpunan ini.
Gambar 1.1 Bentuk Himpunan Konveks dan Bukan Konveks
Q P
R
S
Penggal garis antara P dan Q
C C
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
17
2.3.1 Fungsi Konveks atau Konkaf Satu Variabel Definisi :
Fungsi satu variabel ( )xf disebut fungsi konveks jika setiap pasangan nilai x , katakanlah x dan ( )xxx dxxfd untuk setiap nilai x yang mungkin.
Uji konveksitas untuk fungsi satu variabel :
Pertimbangkan fungsi satu variabel ( )xf yang memeiliki turunan kedua untuk setiap nilai x yang mungkin. Dengan demikian, fungsi ( )xf dapat bersifat: 1. Konveks jika dan hanya jika ( ) 02
2
dx
xfd untuk setiap nilai x yang mungkin.
2. Konveks ketat jika dan hanya jika ( ) 022
>dx
xfd untuk setiap nilai x yang mungkin.
3. Konkaf jika dan hanya jika ( ) 022
dx
xfd untuk setiap nilai x yang mungkin.
4. Konkaf ketat jika dan hanya jika ( )
022
0>
0>
0
0
0
0>
0<
0<
( )nxxxf ,...,, 21 adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hessian nyann positif definite untuk semua nilai ( )nxxx ,...,, 21 yang mungkin. Uji
konveksitas selalu diperlukan sebagai sifat umum fungsi. Akan tetapi, beberapa fungsi
nonkonveks memenuhi syarat konveksitas pada interval tertentu dari variabel. Dengan
demikian, penting untuk membicarakan fungsi yang menjadi konveks pada daerah
tertentu.
2.4 Matriks Hessian
Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan
parsial kedua dari suatu fungsi. Milsalkan f(x) fungsi dengan n variabel yang memiliki
turunan parsial kedua dan turunan-turunannya kontinu, Matriks Hessian dari f(x)
ditulis H adalah
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
nnn
n
n
xf
xxf
xxf
xxf
xf
xxf
xxf
xxf
xf
H
LLOLL
L
L
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
20
Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turuanan kedua fungsi
lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi
tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan
Matriks Hessian misalkan f(x)= F(x1,......,xn) adalah fungsi bernilai real
dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalkan 0x adalah titik stasioner dari F
dan kita definisikan H = H( 0x ) dengan persamaan
)( 0xFH ji yxij = dimana )(xtH adalah Hessian dari F pada 0x
Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut :
1. 0x adalah suatu minimum relatif dari F jika H ( 0x ) definite positif
2. 0x adalah suatu maksimum relatif dari F jika H ( 0x ) definite negatif
3. 0x adalah suatu titik pelana dari F jika H ( 0x ) indefinite
Teorema 2.2 :
Misalkan nilai eigen dari matriks Hnxn adalah 1, 2 , 3, , n yang didefinisikan oleh
0= HI dengan I adalah matriks identitas ukuran nxn. Maka :
(i) H adalah definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu 1, 2 ,
3, , n kesemuanya bertanda negatif.
(ii) H adalah definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu 1, 2 ,
3, , n kesemuanya bertanda positif.
(iii) H adalah Semi definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
i 0, i = 1, 2, 3, , n
(iv) H adalah Semi definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
i 0, i = 1, 2, 3, , n
Contoh :
642),( 222
13
23
121 ++++= xxxxxxf Titik-titik ekstrem harus memenuhi syarat:
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
21
( ) 04343 111211
=+=+= xxxxxf
( ) 08383 222222
=+=+= xxxxxf
Persamaan di atas dipenuhi oleh titik-titik (0, 0); (0, 8/3); (4/3, 0); dan (4/3, 8/3)
Untuk mengetahui titik yang mana yang maximum dan yang mana yang minimum,
harus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adalah:
,46 121
2
+= xx
f ,86 222
2
+= xx
f dan 021
2
=
xxf
Jadi matrik Hessiannya menjadi
+
+=860
046
2
1
xx
H sehingga [ ]46 11 += xH dan
+
+=860
046
2
12 x
xH
Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik ekstrem disajikan di bawah ini.
( )21 , xx Matriks H 1H 2H Sifat H Sifat ( )21 , xx ( )21 , xxf
( )0,0
8004
4+ 32+ Definite positif
Minimum 6
38,0
8004
4+ 32 Tak tentu Titik belok 27418
0,34
8004
4 32 Tak tentu Titik belok 27
194
38,
34
80
04
4 32+ Definite
negatif Maksimum
350
Gambar 1.2 Plot dari 642),( 222
13
23
121 ++++= xxxxxf
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
22
2.5 Matriks Definite Positif
Bentuk kuadrat pada ( )nxxx ,...,, 21 adalah ekspresi yang dapat kita tulis
sebagai [ ]
n
n
x
xx
Axxx M2
1
21 ..,...,, . Dengan A adalah matriks simetrik nxn . Jadi misalkan
=
nx
xx
X M2
1
maka bentuk ini dapat ditulis sebagai AXX t
Definisi
Bentuk kuadrat AXX t disebut definite positif jika AXX t > 0 untuk semua x 0,
sedangkan matriks simetrik A kita sebut matriks definit positif jika AXX t adalah
bentuk kuadrat definit positif.
Contoh :
Dipunyai matriks simetrik berikut :
=
210121
012a
Untuk mengkaji apakah matriks A bersifat definte positif, maka:
[ ]321 xxxAXX t =
210121
012
3
2
1
xxx
= [ ]321 xxx
++
32
322
21
22
2
xxxxx
xx
)x2x(x)xx2x(x)xx2(x 3233212211 ++++= 233232
222121
21 2xxxx2xxxx2 xxx ++=
2332
2221
21 2xx22xx22 xxx ++=
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
23
= 232332
22
2221
21
21 )2()2( xxxxxxxxxx +++++
23
232
221
21 )()( xxxxxx +++=
Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi:
0)()( 232
322
2121 >+++ xxxxxx kecuali jika 0321 === xxx
Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat AXX t disebut :
1. Definite negatif jika AXX t < 0 , untuk semua x 0 .
2. Semidefinite positif jika AXX t 0 , untuk semua x.
3. Semidefinite negatif jika AXX t 0 , untuk semua x.
4. Indefinite bila tidak termasuk golongan diatas.
Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk-bentuk definit positif
dan negatif. yaitu :
1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite positif.
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AXX t sebagai definite
positif adalah
011 >h , 02221
1211 >hhhh
, 0
333231
232221
131211
>hhhhhhhhh
, . . . , 0>A
Jika n minor dari A adalah positif, maka AXX t adalah definite positif. Dan AXX t hanya definite positif, jika minor-minor ini positif.
2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite negatif
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AXX t menjadi definite
negatif atau setaranya untuk XAX t )( sebagai definite positif adalah
011 hhhh
, 0
333231
232221
131211
An
Dimana ija adalah elemen-elemen dari A (bukan A)
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
24
2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang
dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala.
Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang
optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier
atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam
pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat
digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier.
Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk :
Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = dengan tnxxxX },...,,{ 21= Dengan kendala : ( ) 0/ Xgi dengan m,1,2,3, = i 0X
nm (jumlah kendala lebih kecil dari variabel)
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti
0,...,0,0 21 nxxx , sehingga himpunan kendalanya adalah nm + persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama
dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang 222
22
1 ,...,, mnnn xxx +++ berturut-
turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap-
tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack
variables) yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin
bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange :
( ) ( )[ ] [ ]21
11
2ini
nm
mi
m
iinii xxxXgXfL +
+
+==+ +
Untuk nm+ ,...,, 21 adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
25
0=
ixL ( )mni += 2,...,2,1
0=
i
L ( )nmi += ,...,2,1
0i ( )nmi += ,...,2,1
Untuk fungsi konveks, syarat perlu dan cukup untuk mencapai titik minimum
dapat dicari menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker. Tetapi untuk fungsi
nonkonvek, syarat Karush Kuhn Tucker merupakan syarat perlu saja, tetapi belum
cukup untuk mencapai optimal. Jadi untuk masalah jenis konveks, syarat Karush
Kuhn Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimum/maksimum
global.
Teorema 1 (Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994)
Misalkan f(x,y) merupakan fungsi 2 variabel. f(x,y) merupakan fungsi konveks jika
dan hanya jika dipenuhi ketiga syarat berikut :
(i) 2
22
21
212
22
212
21
212 ),(),(.),(
=
dxdxxxfd
dxxxfd
dxxxfd
(ii) 0),(
21
212
dx
xxfd
(iii) 0),(
22
212
dx
xxfd
Teorema 2 (Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994)
Suatu fungsi 2 variabel f(x,y) merupakan fungsi konkaf jika tidak memenuhi paling
tidak satu dari ketiga syarat pada teorema 1, atau dengan kata lain f(x,y) merupakan
fungsi konveks.
Teorema 3 (Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994)
Untuk permasalahan dengan asumsi f(x) konkaf dan gj(x) konveks, maka syarat perlu
dan cukup keoptimalannya berdasarkan teorema berikut. Misalkan
)(),...,(),(),( 21 xgxgxgxf m merupakan fungsi-fungsi yang dapat diturunkan maka
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
26
),...,,( 21*
nxxxx = merupakan penyelesaian optimal untuk masalah program nonlinier apabila terdapat sejumlah i untuk mi ,...,2,1= sehingga semua syarat terpenuhi :
(i) 01
=+
= i
jm
ji
i xg
xf ni ,...,2,1=
(ii) 0=jj g mj ,...,2,1= (iii) 0jg mj ,...,2,1= (iv) 0j mj ,...,2,1=
Syarat Karush Kuhn Tucker untuk program nonlinier berkendala :
Teorema
Diasumsikan )(),...,(),(),( 21 xgxgxgxf m merupkan fungsi yang dapat diturukan
maka ),...,,( 21*
nxxxx = menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah m bilangan m ,...,, 21 sehingga semua syarat kondisi Karush Kuhn Tucker berikut ini terpenuhi :
(i) 01
= j
m
ii
j xg
xf pada *xx = untuk nj ,...,2,1=
(ii) 01
=
= j
m
ii
jj x
gxfx pada *xx = untuk nj ,...,2,1=
(iii) 0)( * ii bxg untuk mj ,...,2,1= (iv) [ ] 0)( * = iii bxg untuk mj ,...,2,1= (v) 0* jx untuk mj ,...,2,1= (vi) 0j untuk mj ,...,2,1=
Dapat dilihat darik kondisi (ii) dan (iv) memerlukan hasil perkalian dua
kuantitas sama dengn nol. Oleh karena itu, tiap kondisi ini menyatakan bahwa
setidaknya salah satu dari kuantitas itu harus sama dengan nol. Akibatnya, kondisi (iv)
dapat digabung dengan kondisi (iii) untuk menyatakan mereka dalam bentuk lain
sebagai berikut.:
0)( * = ii bxg (atau 0 jika 0=i ) untuk mi ,...,2,1=
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
27
Demikian pula kondisi (ii) dapat digabung dengan kondisi (i) menjadi :
01
=
= j
im
ii
j xg
xf (atau 0 jika 0* =jx ) untuk mj ,...,2,1=
Ketika m=0 (tidak ada kendala yang berbentuk fungsi), jumlahan berbilai 0
dan fungsi gabungan (i,ii) menjadi kondisi yang ada. Oleh karena itu, untuk m>0, tiap
suku dalam jumlahan mengubah kondisi untuk m=0 dengan memasukkan pengaruh
dari kendala berbentuk fungsi yang bersangkutan.
Dalam kondisi diatas, i setara dengan variabel dual dalam pemrogramana linier dan memiliki interpretasi ekonomi yang juga dapat diperbandingkan. Akan
tetapi, i juga ada dalam penurunan matematika seperti dalam faktor pengali Lagrange. Pada kondisi (iii) dan (v) hanya melakukan penegasan kelayakan dari
solusi. Kondisi yang lainnya menghilangkan sebagian besar solusi layak lainnya
menjadi kandidat yang mungkin untuk menjadi solusi optimal.
Corollary
Diasumsikan bahwa ( )xf merupakan fungsi konkaf dan )(),...,(),( 21 xgxgxg m merupakan fungsi konveks (misalakan saja masalah ini merupakan masalah
pemrograman konveks), dengan semua fungsi ini memenuhi kondisi biasa. Lalu
),...,,( *2*1** nxxxx = adalah solusi optimal jika dan hanya jika semua kondisi teorema terpenuhi.
2.7 Masalah Komplementaritas
Saat kita berhadapan dengan pemrograman kuadratis, maka kita harus
mengetahui terlebih dahulu bagaimana menyelesaikan permasalahan pemrograman
nonlinier tertentu dapat direduksi menjadi memecahkan masalah komplementaritas.
Dengan variabel pwww ,...,, 21 dan pzzz ,...,, 21 , masalah komplementaritas bertujuan
menemukan solusi layak untuk kendala
)(zFw = 0w 0z
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
28
Yang juga memenuhi kendala komplementaritas
0=zwT Disini, w dan z adalah vektor kolom. F adalah fungsi bernilai vektor yang diketahui,
dan T menandakan transpose matriks. Masalah ini tidak memiliki fungsi tujuan,
sehingga secara teknis bukanlah murni masalah pemrograman nonlinier. Hal ini
disebut masalah komplementaritas karena hubungan komplementernya.
0=w atau 0=iz (atau kedua-duanya) untuk pi ,...,2,1= Suatu kasus khusus yang penting yaitu masalh komplementaritas linier dengan
MzqzF +=)( Dengan q merupakan vektor kolom yang diketahui dan M adalah matriks pxp yang
diketahui. Algoritma yang efisien telah dikembangkan untuk pemecahan masalah ini
dengan asumsi tertentu tentang sifat matriks M. satu jenis algoritma menggunakan
pemutaran (pivoting) dari satu solusi BF (Basic Feasible) kesolusi BF selanjutnya,
seperti metode simpleks dalam pemrograman linier.
Masalah komplementaritas ini memiliki aplikasi dalam teori permainan,
masalah keseimbangan ekonomi, dan masalah keseimbangan teknik sebagai tambahan
sebagai aplikasi dari pemrograman nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
29
BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu, optimasi fungsi
tak bersyarat dan optimasi fungsi bersyarat. Kita sudah mengenal beberapa cara untuk
menyelesaikan bentuk yang pertama seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua,
untuk fungsi satu variabel, serta uji parsial kedua untuk fungsi dua variabel, semuanya
telah diuraikan pada bab sebelumya. Sedangkan untuk jenis yang kedua merupakan
jenis yang paling banyak kita jumpai dalam kehidupan nyata. Banyak aplikasi dari
pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi
atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan
fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Bentuk
umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah tentukan nilai dari variabel
keputusan (nilai ekstrim) ( )nxxxx ,...,, 21= yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi dari permasalahan:
Maksimumkan / minimumkan : ( )XfZ = Dengan kendala : ( ) 11 )/ ( bXg
. . . . . . . . . .
( ) ii bXg )/( dengan m,1,2,3, = i Dimana f(X) merupakan fungsi tujuan (objective function), dan ( ) ii bXg ) , ,( = merupakan fungsi kendala.
3.1 Pemrograman Kuadratis Tak Berkendala
Contoh :
Maksimalkan ( ) 2224 xxxf = Dengan kendala 0x
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
30
420-2-4
25
20
15
10
5
0
x
y
x
y
24 - x^2 - 2*x
Gambar 1.3 Contoh yang mengambarkan solusi optimal dapat terletak pada titik
dengan nilai turunan negatif, bukan nol, karena titik tersebut terletak pada batas
kendala nonnegativitas.
Solusi optimal untuk suatu masalah dengan satu variabel terletak pada 0=x meskipun turunannya bernilai negatif. Oleh karena itu setiap permasalahan yang
memiliki fungsi konkaf untuk dimaksimalkan pada kendala nonnegativitas,
mempunyai turunan yang kurang dari satu atau sama dengan nol untuk 0=x adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk 0=x menjadi optimal.
3.2 Pemrograman Kuadratis Berkendala Modifikasi Simpleks
Contoh :
Maksimalkan : 2221212121 4243015),( xxxxxxxxf ++=
Dengan kendala : 302 21 + xx 01 x
02 x Penyelesaian : Dalam kasus ini diperoleh
[ ]3015=c
=2
1
xx
x
=8444
Q
Maksimum global karena ( )xf adalah konkaf dan 02 =
xf pada 0=x
Jadi, 0=x adalah optimal.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
31
[ ]21=A [ ]30=b Catat bahwa :
=QxxT [ ]21 xx
8444
2
1
xx
= [ ( )11 44 xx ( )21 84 xx + ]
2
1
xx
= 221212121 8444 xxxxxx +
= 22122211221212111 xqxxqxxqxq +
Mengalikan dengan 21 mengghasilkan
2221
21 4422
1 xxxxQxxT += Yang merupakan bagian nonlinier dari fungsi tujuan untuk contoh ini. Oleh karena
411 =q dan 822 =q ini menggambarkan bahwa jjq21 merupakan koefisien dari 2jx
dalam fungsi tujuan. Fakta bahwa 42112 == qq menggambarkan bahwa baik ijq maupun jiq adalah koefisien total untuk perkalian ix dan jx .
Kondisi KKT untuk Pemrograman Kuadratis
Untuk konkritnya, kita mulai dengan membentuk kondisi Karush Kuhn Tucker adalah
sebagai berikut :
1. )1( =j . 04415 112 + xx 2. )1( =j . 0)4415( 112 =+ xxx j 1. )2( =j . 028430 121 + xx 2. )2( =j . 0)28430( 1212 =+ xxx 3. 0302 21 + xx 4. 0)302( 211 =+ xx 5. 01 x , 02 x 6. 01
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
32
Untuk mulai menyatakan ulang kondisi ini di dalam bentuk yang lebih tepat,
kita memindahkan konstanta dalam kondisi 1 )1( =j ,1 )2( =j , dan 3 ke sisi sebelah kanan dan lalu menambahkan slack variabel nonnegatif yang dilambangkan dengan
121 ,, vyy untuk mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan.
1. )1( =j . 1544 1121 =++ yxx 1. )2( =j . 30284 2121 =+ yxx 3. 302 121 =++ vxx
Perhatikan bahwa kondisi 2 )1( =j sekarang dapat dinyatakan ulang secara sederhana, yaitu memerlukan syarat 01 =x atau 01 =y , yaitu 2 )1( =j . 011 =yx Dengan cara yang sama, kondisi 2 )2( =j dan 4 dapat digantikan dengan 2 )2( =j . 022 =yx 4. 011 =v Untuk setiap dari tiga pasang variabel ini ).( 11 yx , ).( 22 yx , ),( 11 v dua variabel tersebut disebut variabel komplementer,karena hanya satu dari dua variabel ini yang
dapat bernilai selain nol. Bentuk baru kondisi 2 )1( =j ,2 )2( =j ,dan 4 ini dapat digabung menjadi satu kendala yaitu :
11 yx + 22 yx + 11v = 0 Yang disebut kendala komplementaritas.
Setelah mengalikan dengan -1 persamaan untuk kondisi 1 )1( =j dan 1 )2( =j untuk mendapat ruas kanan nonnegatif, kita sekarang memiliki bentuk yang
diinginkan untuk keseleruhan kondisi seperti yang ditunjukkan sebagai berikut.
1544 1121 =+ yxx 30284 2121 =++ yxx 302 121 =++ vxx 01 x , 02 x , 01 , 01 y , 02 y , 01 v 11 yx + 22 yx + 11v = 0
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
33
Bentuk ini cukup baik karena, kecuali untuk kendala komplementaritas,
kondisi ini adalah kendala pemrograman linier .
Untuk setiap masalah pemrograman kuadratis, kondisi Karush Kuhn Tucker-
nya dapat direduksi menjadi bentuk inidengan hanya mengandung kendala
pemrograman linier ditambah satu kendala komplentaritas. Dalam notasi matriks
dapat dituliskan bentuk umumnya adalah
TT cyuAQx =+ bvAx =+ 0x , 0u , 0y , 0v 0=+ vuyx TT
Dengan element vektor u adalah iu dari bagian sebelumnnya dan elemen-
elemen vektor kolom y dan v adalah slack variabel. Oleh karena fungsi tujuan
masalah asli diasumsikan konkaf dan fungsi kendalanya linier sehingga konveks maka
corollary teorema pada kondisi Karush Kuhn Tucker dapat digunakan. Oleh karena
itu, x optimal jika dan hanya jika uy, dan v memiliki nilai sehingga semua empat
vektor memenuhi kondisi di atas. Masalah asli tereduksi menjadi masalah untuk
mencari solusi layak untuk kendala ini.
Metode Modifikasi Simpleks
Metode modifikasi simpleks memanfaatkan kata kunci bahwa, dengan
perkecualian pada kendala komplementer bentuk kondisi Karush Kuhn Tucker yang
telah diperoleh tidak lebih daripada kendala pemrogramn linier. Lebih jauh lagi,
kendala komplementer menyatakan secara sederhana dan tidak langsung bahwa tidak
mungkin bagi pasangan variabel komplementer untuk keduanya menjadi variabel
basis (satu-satunya variabel >0) saat solusi BF menjadi pertimbangan. Oleh karena itu,
masalah ini menjadi masalah pencarian solusi BF awal pada tiap masalah
pemrograman linier yang memeiliki kendala ini, dengan kendala tambahan ini atas
identitas dari variabel basis.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
34
Pada kasus sederhana pencarian BF awal relatif langsung dengan 0jc (tambahkan variabel tersebut pada ruas kiri) atau 0
-
35
Dari contoh di atas maka diketahui ),( 21 xxf adalah fungsi konkaf dengan matriks
=8444
Q adalah definite positif, maka algoritma dapat diterapkan. Titik awal
untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah kondisi Karush Kuhn Tucker yang telah
diperoleh sebelumnya. Setelah memasukkan variabel artificial yang diperlukan,
masalah pemrograman linier yang harus diselesaikan dengna metode modifikasi
simpleks adalah
Minimalkan : 21 zzZ += Dengan kendala : 1544 11121 =++ zyxx 30284 22121 =+++ zyxx 302 121 =++ vxx 01 x , 02 x , 01 , 01 y , 02 y , 01 v , 01 z , 02 z
Kendala komplementer tambahan adalah
11 yx + 22 yx + 11v = 0
Kendala komplementer tambahan ini tidak termasuk secara eksplisit dalam
masalah, karena algoritma akan memaksakan kendala ini secara otomatis dengan
adanya turan masuk-terbatas. Khususnya, untuk setiap dari tiga pasang variabel
komplementer ).( 11 yx , ).( 22 yx , ),( 11 v kapan pun jika salah satu dari dua variabel ini menjadi variabel basis, variabel yang lain tidak dapat diikutsertakan menjadi calon
untuk variabel basis yang masuk. Variabel yang tidak nol merupakan variabel basis.
Oleh karena variabel basis awal untuk masalah ini 121 ,, vzz memberikan solusi BF
awal yang memenuhi kendala komplementer, maka tidak mungkin kendala ini
dilanggar oleh solusi BF yang berikutnya.
Tabel berikut menunjukkan hasil dari penerapan metode modifikasi simpleks
pada masalah pemrograman kuadratis di atas.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
36
Iterasi 0
Variabel
Basis 1x 2x 1 1y 2y 1v 1z 2z Ruas
Kanan
1z 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15
2z -4 8 2 0 -1 0 0 1 30
1v 1 2 0 0 0 1 0 0 30
Z 0 -4 -3 1 1 0 0 0 -45
Iterasi 1
Variabel
Basis 1x 2x 1 1y 2y 1v 1z 2z Ruas
Kanan
1z 2 0 2 -1 21 0 1
21 30
2x - 21 1
41 0 -
81 0 0
81
433
1v 2 0 21 0
41 1 0
41
2122
Z -2 0 -2 1 21 0 0
21 -30
Iterasi 2
Variabel
Basis 1x 2x 1 1y 2y 1v 1z 2z Ruas
Kanan
1z 0 0 25 -1
43 -1 1
43
217
2x 0 1 81 0 -
161
41 0
161
839
1x 1 0 41 0
81
21 0
81
4111
Z 0 0 25 1
43 1 0
41
217
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
37
Iterasi 3
Variabel
Basis 1x 2x 1 1y 2y 1v 1z 2z Ruas
Kanan
1u 0 0 1 - 25
103 -
25
25
103 3
2x 0 1 0 201 -
401
103 -
201
401 9
1x 1 0 0 - 101
201
25
101
201 12
Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0
Hasil solusi optimal dari permasalahan kuadratis di atas adalah 121 =x , 92 =x , 31 =u , dengan sisa variabel yang ada bernilai nol. Solusi optimal ini
memenuhi kondisi Karush Kuhn Tucker untuk masalah asal ketika ditulis dengan
bentuk yang ada. Oleh karena itu, solusi optimal untuk pemrograman kuadratis adalah
yang termasuk hanya variabel 1x dan 2x yaitu 121 =x dan 92 =x . Dengan demikian diperoleh nilai fungsi maksimumnya adalah
),( 21 xxf = 15(12) + 30(9) + 4(12)(9) - 2(12)2 - 4(9)2
= 180 + 270 + 432 288 324
= 270
3.3 Pemrograman Kuadratis Karush Kuhn Tucker
Sebagai ilustrasi tentang penggunakan kondisi Karush Kuhn Tucker dalam
pemrograman kuadratis di atas dapat juga di selesaikan sebagai berikut :
Maksimalkan : 2221212121 4243015),( xxxxxxxxf ++=
Dengan kendala : 302 21 + xx 01 x , 02 x
Agar dapat menggunakan persyaratan Karush Kuhn Tucker, maka persoalan di
atas dirumuskan kembali sebagai berikut :
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
38
Maksimalkan : 2221212121 4243015),( xxxxxxxxf ++=
Dengan kendala : )(1 xg = 0302 21 + xx )(2 xg = 01 x
)(3 xg = 02 x
Terlihat bahwa kendala dalam masalah pemrograman nonlinier perlu diubah
dalam bentuk 0)(
-
39
Dari persamaan-persamaan di atas maka diketahui variabel 1x dan 2x tidak
mungkin sama dengan nol. Maka agar kondisi 0)(22 =xg dan 0)(33 =xg terpenuhi haruslah 02 = . Karena )(2 xg = 01 x dan juga 03 = karena
0)(3 xg . Kemudian agar kendala ketiga dapat dipecahkan serta kondisi 0)(11 =xg terpenuhi, maka perlu dibuat 01 , maka 0)(1 =xg . Jika 0)(1 =xg berarti diperoleh
0502)( 211 =+= xxxg . Dengan demikian kita peroleh 3 sistem baru sebagai berikut :
1. 01544 121 =+++ xx 2. 030284 121 =++ xx 3. 0302 21 =+ xx (dengan 032 == )
Langkah selanjutnya adalah memecahkan sistem persamaan 1,2, dan 3 di atas
dengan teknik aljabar untuk mendapatkan nilai 21 , xx dan 1 .
Persamaan 1 dan 2
121 44 ++ xx = -15 121 284 + xx = 30
12 34 + x = - 45 Persamaan 4
Persamaan 1 dan 3
1544 121 =++ xx 1 21 2xx + = 30 4
1544 121 =++ xx 21 84 xx + = 120
12 2x + 1 = 105 Persamaan 5
-
21 4453 x+=
21 12105 x=
+
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
40
Dari persamaan 4 dan 5 di atas diperoleh nilai 2x adalah
22 445)12105(3 xx += 315 - 236x = 2445 x+ 360 = 240x
92 =x Dari persamaan 4 dengan mensubtitusikan nilai 2x diperoleh nilai 1 adalah
1 = 105 - 12 2x 1 = 105 12(9) 1 = -3
Dengan mensubtitusikan nilai 2x ke persamaan 3 maka diperoleh nilai 1x adalah
0302 21 =+ xx 030)9(21 =+x
121 =x
Dengan demikian berdasarkan persyaratan Karush Kuhn Tucker diperoleh solusi
)0,0,3,9,12(),,,,( 32121 =xx
Karena 01
-
41
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari pembahasan sebelumnya dalam menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik
dengan persyaratan Karush Kuhn Tucker, dapat disimpulkan bahwa :
a. Untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala dapat
dilakukan dengan metode modifikasi simpleks ataupun dengan persyaratan
langsung dari persyaratan Karush Kuhn Tucker.
b. Syarat cukup yang harus dipenuhi dalam persyaratan Karush Kuhn Tucker ini
adalah mengikuti salah satu sifat yaitu untuk masalah maksimasi nilai
0i dan untuk masalah minimasi 0i . c. Dalam contoh kasus di atas merupakan kasus maksimasi oleh karena itu nilai
i harus 0 . Dalam contoh kita peroleh 31 = . Hal ini sesuai dengan 0i sehingga persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dapat diterapkan.
d. Solusi optium yang diperoleh dalam menggunakan modifikasi simpleks dan
juga persyaratan Karush Kuhn Tucker adalah sama saja yaitu variabel 121 =x dan variable 92 =x .
e. Kelebihan persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dibandingkan dengan metode
modifikasi simpleks adalah dengan menggunakan persyaratan Karush Kuhn
Tucker kita dapat langsung menemukan titik-titik ekstrim yang merupakan
solusi dari masalah yang ada dan pengkualifikasian kendala dipenuhi. Dengan
demikian prosedur berhasil digunakan.
f. Pemrograman kuadratik dengan persyaratan Karush Kuhn Tucker ini dapat
diterapkan dalam berbagai bidang ekonomi seperti dalam pemilihan
portofolio/bursa saham.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
42
4.2 Saran
a. Penelitian yang dilakukan hanya sebatas 2 variabel, akan lebih baik apabila
juga membahas mengenai beberapa variabel.
b. Dalam menggunakan persyaratan Karush Kuhn Tucker perlu diperhatikan
titik-titik ekstrimnya karena disinilah diperoleh nilai untuk solusi optimal yang
merupakan variael pengambilan keputusan.
c. Aplikasi yang dirancang masih sangat manual, akan lebih baik jika kita
menggunakan sofware sehingga lebih memudahkan untuk memperoleh hasil
yang optimal.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
43
DAFTAR PUSTAKA
1. Bradley, Stephen P. 1999. Applied Methematical Programming. Graduate
aaaaaaaaaSchool of Business Administration, Harvard University.
2. Bronson, Richard Ph.D. 1996. Theory and Problem of Operations Research.
aaaaaaaaaUSA : McGrow-Hill,lnc.
3. De Klerk, E, D.V. Pasechnik. 2005. Journal : a Linier Programming of the Standard
aaaaaaaaaQuadratic Optimization Problem. Tilburg University.
4. Fletcher, R. 1987. Practical Methods of Optimization. Departement of Scotland :
aaaaaaaaMathematic University of Undee.
5. Gass, Saul I. 2008. Linier Programming methods and applications. Maryland :
mmmmbCollege of Business and Management.
6. Gunawan, Gani. 2002. Journal : Faktor Pengali Kuhn Tucker dalam Teori
aaaaaaaaOptimasi. Bandung : Universitas Islam Bandung.
7. Giannessi, F. 1990. Journal : Quadratic Programing Problems and Linier
aaaaaaa.Complementary Problems. Vol.65, No.2
8. Hillier, Frederick S & Lieberman, Gerald J. 2005. Introduction to Operations
aaaaaaaaResearch. USA : McGrow-Hill Companies,lnc.
9. Jensen, Paul A and Jonathan F.Bard. Journal : Operation Research Models and
aaaaaaaaMethods. www. me. utexas. Edu /~ jensen / ORMM / supplements/ S2
aaaasaaaquadratic.pdf. Diakses : 15 Oktober 2009.
10.aLuknanto, Ir.Djoko M.sc.,Ph.D. 2000. Pengantar Optimasi Nonlinier.
aaaaaaaaYogyakarta: Universitas Gajah Mada.
11. Minoux, M. 1983. Mathematical Programming Theory ang Algorithms. Paris :
aaaaaaaaBordas Dunot Gouthier-Villars.
12. Nasendi, B.D dan Anwar. A. 1985. Program Linier dan Variasinya. Jakarta :
aaaaaaaaGramedia.
13. Overton, L. 1997. Journal : Linier Programming. America : Draf for
aaaaaaaaEncyclopedia Americana.
14. Peter, Carbonetto. 2007. Journal : Intuition Behind Primal-Dual For Linear and
aaaaaaaaQuadratic Programming. Colombia: Department of Computer Science,
aaaaaaaaUniversity of British Colombia.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
-
44
15. Rao, S.S. 1978. Optimization. Deptt.of Machanical Engg. USA : San Diego
aaaaaaa.State University.
16. Rardin, Ronald L. 1998. Optimization in Operations Research. New Jersey :
aaaa. Prantice Hall.International, Inc,.
17. Saunders, Michael A and John A Tomlin. Journal : Stable Reduction to KKT
aaaaaaaaSystem in Barrier Methods for Linier and Quadratic Programming.
aaaaaaaawww.stanford.edu/group/SOL/papers/kkt.pdf.. Diakses : 16 Oktober
aaaaaaaa2009.
18. Utam, Ngakan Putu Satria. 2005. Journal : Aplikasi metode Extended Quadratic
sssssssssInterior Point, Bali : Universitas Udayana.
19. Vanderbei, Robert J. 2001. Linear Programming: Foundation and Extension.
aaaaaaaaPrinceton : Departement of Operations Research and Financial
aaaaaaaaEngineering Princeton University.
20. Wegner, P, Journal : a Quadratic Programming Formulation of the Portfolio
aaaaSelection.Model.www.actuaries.org.uk/data/assets/pdf_file/0020/../46847
aaaa6.pdf. Diakses : 20 Oktober 2009.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
lia-belum-mandi-2lia-belum-mandi-1lia-belum-mandi