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COLEGIO “24 DE MAYO”

“Creatividad, responsabilidad y espíritu científico son vida del colegio”

ÁREA DE MATEMÁTICA

MATERIA: MATEMÁTICA

REPASO PARA LA EVALUACIÓN SOBRE LÍMITES AÑO ACADÉMICO 2016 - 2017

Nombre:

Curso: Tercero

Paralelo: ____

Tiempo: 80 minutos

Profesores: Lic. Luis Castillo

Lic. Alicia Andrade

Fecha de publicación: 2017 – 02 – 09

INDICACIONES

El presente repaso está destinado para la preparación previa a rendir la evaluación sobre límites a ser

aplicada por la Universidad Central del Ecuador a partir del día 13 de febrero de 2017.

El presente trabajo no hace falta presentar al/la docente por cuanto no involucra una calificación, pero

se recuerda que el puntaje obtenido en dicha evaluación será considerada un aporte a lecciones para el

primer parcial del segundo quimestre en la asignatura de Matemática.

Definición dinámica de límite de una función en un punto

Sea f una función y x0

un número real, el número L es el límite de la función f en x0, y se escribe

limx→x0

f(x) =L, (límite de f(x) cuando x tiende a x0

es L), si cuando x tiende a x0

por la derecha y

por la izquierda más que cualquier otra aproximación, siendo distinto de x0, sus imágenes, f(x),

tienden a L por arriba y por abajo más que cualquier otra aproximación.

A. Análisis en representación numérica

X 1.7 1.8 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 2,4

f(x) 2.89 3.24 3.61 3.96 3.996 4,004 4,04 4.41 4.84 5.29 5.76

1.1) ¿A qué valor se acercan los números para la variable x, por derecha y por izquierda?

Se aproximan al valor 2.

1.2) ¿A qué valor se acercan los números para f(x), por derecha y por izquierda?

Se aproximan al valor 4

1.3) ¿Cómo se relacionan estas aproximaciones?

Mientras los valores de x se aproximan a 2, los valores de f(x) se aproximan a 4.

1.4) ¿Existe Límite?

Si existe y su valor es 4.

1.5) Si existe el límite escribe formalmente.

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 4

B. Análisis en representación gráfica



3.2) ¿A qué valor se acercan los números para f(x), por abajo y por arriba?







lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 4

Ejemplo 2:

A. Análisis en representación numérica

1. ¿A qué valor se acercan los números para la variable x, por derecha y por izquierda?


2. ¿A qué valor se acercan los números para f(x), por la derecha y por la izquierda?

Se aproximan a 1 por la izquierda y a -1 por la derecha.

3. ¿Cómo se relacionan estas aproximaciones?

Mientras los valores de x se aproximan a 3, los valores de f(x) se aproximan a 1 y a -1.

4. ¿Existe Límite?

No.

5. Si existe el límite escribe formalmente.

lim𝑥→3

𝑓(𝑥) = no existe

B. Representación algebraica

x → f(x)= {x

3+1, si x≤0

1, si 0<x<3

-x+2, si x≥3

6.1) ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x se acerca a 0?

si x≤0, f(x) = x3

+1,f(0)=1 por la izquierda se acerca a 1

si 0<x<3, f(x) =1 por la derecha se acerca a 1


si 0<x<3, f(x) =1 por la izquierda se acerca a 1

si x≥3, f(x)= -x+2, 𝑓(3) = −1 por la derecha se acerca a -1

6.3) ¿Qué sucede con las aproximaciones laterales de f(x) cuando x se aproxima a 0?



Mientras los valores de x se aproximan a 3, los valores de f(x) se aproximan a -1 y a 1.

6.5) ¿Existe Límite de la función cuando x tiende a 0?



No existe


lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 1

X 2.6 2.7 2.8 2.9 2.99 3.01 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

f(x) 1 1 1 1 1 -1.01 -1.1 -1.2 -1.3 -1.5 -1.6

Definición métrica de límite de una función en un punto

Sea f una función real f(x) que tiene como límite un número (L), cuando x tiende a un valor (a),

tiene un número real positivo ε mayor que cero, donde existe un número positivo ẟ (depende de

ε), tal que todos los valores de tome x siendo distinto de (a), cumplen la condición |x-x0|˂ε, si cumplen la anterior condición también cumplen la condición |f(x)-L| entonces tenemos que:

limx→a

f(x)=L ↔ ∀ ε > 0,∃ > 0/ si 0 <|x -a| < →|f(x) - L| < ε.

Ejemplo1:

Sea la función f(x)=x2-1, si x tiende a 2

Completa la tabla

X f(x)

|x-2| |f(x)-3|

ẟ ε

1,8 2,24 0,2 0,76

1,9 2,61

1,99 2,96

1,999 2,996

2,001 3,004

2,01 3,04

2,1 3,41

2,2 3,84

1. ¿A qué valor se acercan los números para la variable x, por derecha y por izquierda?


2. ¿A qué valor se acercan los números para f(x), por derecha y por izquierda?


3. ¿Cómo se relacionan estas aproximaciones?


4. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝑓(𝑥) − 3|? Se puede apreciar que en la función f(x) que las distancias al realizar la diferencia de valor absoluto

|f(x)-3| van acercándose a cero.

5. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝑥 − 2|? Se puede apreciar que en la función f(x) que las distancias al realizar la diferencia de valor absoluto

|x-2| van acercándose a cero.



7. Si existe el límite escribe formalmente.

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 3

Ejemplo2:

Sea f(x)=

Completa la tabla

X f(x)

si x ˂ 1

f(x)

si x ≥ 1

|x-1| |f(x)-1| |f(x)-4|

ẟ ε ε

0,8 0,64 - 0,2 0,36

0,9 0,81 - 0,1

0,99 0,98 - 0,01

0,999 0,998 - 0,001

1,001 - 4,003 0,001

1,01 - 4,03 0,01

1,1 - 4,3 0,1

1,2 - 4,6 0,2

1. ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x<1?

Se aproxima a 1

2. ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x >=1?

Se acerca a 4

3. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒙 − 𝟏|? Se puede apreciar que en la función f(x) que las distancias al realizar la diferencia de valor absoluto

|x-2| van acercándose a cero.

4. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒇(𝒙) − 𝟏|? Las distancias que corresponden al valor absoluto |f(x)-1| van acercándose a cero pero solo cuando

x<1.

5. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒇(𝒙) − 𝟒|? Las distancias que corresponden al valor absoluto |f(x)-4| van acercándose a cero pero solo cuando

x>=1.


No existe límite.

En el gráfico se observa la representación de y .

Mientras más pequeño es siempre existe un también

más pequeño.

x2 si, x ˂ 1

3x+1 si, x ≥ 1

Mediante el grafico se puede observar que se trata

de una función definida por partes, cuando x tiende

a un valor (a) se puede observar que los valores de

f(x) tienden a diferentes valores, por lo tanto no hay

límite.

EJERCICIOS DE REPASO

1) Análisis en representación numérica

X 2,7 2.8 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,2 3,3 3,4

f(x) -4,29 -4,84 -5,41 -5,94 -5,994 -6,006 -6,06 -6,61 -7,24 -7,89 -8,56


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X - 0,3 - 0,2 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4

f(x) 11,11 25 100 10 000 1 000 000 1 000 000 10 000 100 25 11,11 6,25


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3) Análisis en representación gráfica


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3.2) ¿A qué valor se acercan los números para f(x), por abajo y por arriba?

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𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑

𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ

𝑹𝒂𝒏(𝒇) = ]−∞, 𝟑]


X 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 2,4

f(x) 3,4 3,6 3,8 3,98 3,998 - 4,002 -4, 02 -4,2 -4,4 -4,6 -4,8


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X 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,4

f(x) 3,33 4,00 9,00 99 999 1000 100 10 5 3,33 2,5


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6) Representación algebraica y gráfica

x → f(x)= {

−2𝑥, si x≤-11, si -1<x<3

√3𝑥, si x≥3

6.1) ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x se acerca a -1?

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6.5) ¿Existe Límite de la función cuando x tiende a -1?

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7) Sea la función f(x)=-x2+2, si x tiende a -1

Completa la tabla

X f(x)

|x-2| |f(x)-3|

ẟ Ε

-0,8

-0,9

-0,99

-0,999

-1,001

-1,01

-1,1

-1,2


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7.4) ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒇(𝒙) − 𝟑|?

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7.5) ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒙 − 𝟐|?

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8) Sea 𝒇(𝒙) = {𝒙𝟐 − 𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐

|𝟐 − 𝟑𝒙|, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐

Completa la tabla

X f(x)

si x ˂ 2

f(x)

si x ≥ 2

|x-2| |f(x)- | |f(x)- |

ẟ ε Ε

1,8

1,9

1,99

1,999

2,001

2,01

2,1

2,2

1. ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x<2?

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2. ¿A qué valor se acercan los valores f(x), cuando x ≥2?

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3. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒙 − 𝟐|?

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4. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒇(𝒙) − |?

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5. ¿A qué valor se acercan las distancias |𝒇(𝒙) − |?

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