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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Límites
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Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezanecesarias para calcular límites de formadirecta.
Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán resueltos paso apaso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.
Es importante recalcar que este tema, esuno de los casos que se pueden encontraral calcular límites.
Presentación
2
Tema: Límites, Unidad I
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Índice
Presentación 2
Concepto intuitivo de límite 4
Existencia de límite 6
Propiedades de límites 8
Técnicas para el cálculo de límites 9
Límites de la forma 0
011
Créditos 13
3
Tema: Límites, Unidad I
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Concepto intuitivo de límite
Se dice que el límite de una función 𝑓(𝑥)cuando "𝑥" tiende a "𝑐", es igual a "𝐿", siconforme la "𝑥" se aproxima a “𝑐" tantopor la izquierda como por derecha, losvalores de 𝑓 𝑥 se aproximan a "𝐿"
Esto se representa simbólicamentecomo:
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿
4
Tema: Límites, Unidad I
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5
Ejemplo #1
Tema: Límites, Unidad I
Considere la siguiente función:
𝑓 𝑥 =𝑥2 − 9
𝑥 + 3
Es importante conocer el comportamiento de
las imágenes de la función 𝑓 cuando 𝑥 se
acerca a 2.
Se puede acercar a 2 por la izquierda
Se puede acercar a 2 por la derecha
𝒙 𝟑 𝟐, 𝟓 𝟐, 𝟏 𝟐, 𝟎𝟏 𝟐, 𝟎𝟎𝟏
𝑦 0 −0,5 −0,9 −0,99 −0,999
2
−1
𝒙 𝟏 1, 𝟓 𝟏, 𝟗 𝟏, 𝟗𝟗 𝟏, 𝟗𝟗𝟗
𝑦 −2 −1,5 −1,1 −1,01 −1, 001
2
−1
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6
Ejemplo #1
Tema: Límites, Unidad I
Se observa que para valores muy cercanos a
2, tanto por la izquierda (valores menores a
2) como por la derecha (valores mayores a
2), las imágenes se aproximan a −1.
Esto se representa mediante límites
laterales:
lim𝑥→2−
𝑓 𝑥 = −1 (límite lateral izquierdo)
lim𝑥→2+
𝑓 𝑥 = −1 (límite lateral derecho)
Como los límites coinciden, entonces:
Ejemplo #1
lim𝑥→2
𝑓 𝑥 = −1
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Existencia de límite
Si 𝑓 una función, "𝑐" y "𝐿", son número reales, entonces se dice que:
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 si y sólo si
lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 =𝐿
En caso que los límites laterales den comoresultado valores diferentes, entonces ellímite no existe.
7
Tema: Límites, Unidad I
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8
Ejemplo #2
Tema: Límites, Unidad I
Considere la siguiente función:
𝑔 𝑥 = ቐ4𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −27 𝑠𝑖 𝑥 = −21 + 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −2
¿Qué sucede con las imágenes de la función
𝑔 cuando 𝑥 se acerca a −2?
Al ser una función a trozos, se tiene que
para los valores más pequeños que −2 se
utiliza el criterio 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 3, pero para
los valores más grandes que −2 se utiliza el
criterio 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥2.
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9
Ejemplo #2
Tema: Límites, Unidad I
Se puede acercar a −2 por la izquierda
Se puede acercar a −2 por la derecha
lim𝑥→−2−
𝑓 𝑥 = −5 lim𝑥→−2+
𝑓 𝑥 = 4
Como los límites laterales son diferentes,entonces el límite no existe.
𝒙 −𝟏 −𝟏, 𝟓 −𝟏, 𝟗 −𝟏, 𝟗𝟗
𝑦 2 3,25 4,61 4, 9601
−2
−5
𝒙 −𝟑 −𝟐, 𝟓 −𝟐, 𝟏 −𝟐, 𝟎𝟏
𝑦 −9 −7 −5,4 −5,04
−2
5
lim𝑥→−2
𝑓 𝑥 = ∄
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Propiedades de límite
Si lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 y lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝑀, con "𝑐",
"𝐿"y "𝑀" son número reales y "𝑘" una
constante, entonces se cumple que:
1. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝐿 +𝑀
2. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 𝐿 −𝑀
3. lim𝑥→𝑐
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝐿
4. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
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Tema: Límites, Unidad I
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Propiedades de límite
5. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 𝑛 = lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥𝑛= 𝐿𝑛
6. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, con 𝑀 ≠ 0
7. lim𝑥→𝑐
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) =𝑛𝐿
8. lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
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Tema: Límites, Unidad I
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Técnicas para calcular límites
Sustitución directa
Las propiedades de límites y algunas otraspropiedades, permiten calcular límitesmediante la técnica de sustitución directa.
Dicha técnica, consiste en evaluar la funciónal valor que tiende el límite.
Seguidamente se anotan las propiedades delímites.
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Tema: Límites, Unidad I
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Técnicas para calcular límites
Propiedades:
1. lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘 con 𝑘 constante
2. lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑥
3. lim𝑥→𝑐
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)
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Tema: Límites, Unidad I
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Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
1) lim𝑥→−3
𝑥+2
𝑥2−𝑥−7
=−3 + 2
(−3)2− −3 − 7=−1
5
2) lim𝑥→5
33+𝑥+1
2+𝑥
=
33 + 5 + 1
2 + (5)=3
7
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15
Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
3) lim𝑥→
1
2
2𝑥−1
5𝑥+𝑥2+2
=2
12 − 1
5−12 +
12
2
+ 2
=0
−14
= 0
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Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
4) Considera la función
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
4𝑥 + 3 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 3
𝑥2 − 5𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Determine:
a) lim𝑥→−1
𝑓(𝑥)
b) lim𝑥→2
𝑓(𝑥)
c) lim𝑥→3
𝑓(𝑥)
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Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
En este caso, la función 𝑓(𝑥) es una función atrazos, es decir, dependiendo del valor de lavariable 𝑥 el criterio de la función pudecambiar. Se puede representar mediante unarecta numérica.
Para los valores más pequeñoa o iguales a −1se utiliza el criterio 2𝑥2 + 3𝑥 y para losvalores más grandes −1 más pequeños que 3se utiliza el criterio 4𝑥 + 3.
Para los valores más pequeños que 3 pero másgrane que −1 se utiliza el criterio 4𝑥 + 3 ypara los valores más grandes o iguales a −3 seutiliza el criterio 𝑥2 − 5𝑥.
−1 3
2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3
4𝑥 + 3 𝑥2 − 5𝑥
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Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
Paso 1Definir el vecindario
a) lim𝑥→−1
𝑓(𝑥)
−1 3
2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3
4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥
El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓, involucra dos criterios diferentes.
El criterio 2𝑥2 + 3𝑥 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que −1) y el criterio 4𝑥 + 3 para el límite
lateral derecho (valores más grandes que −1)
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Ejemplos
Tema: Límites, Unidad I
Paso 2Determinar límites laterales
lim𝑥→−1−
2𝑥2 + 3𝑥 = 2 −1 2 + 3 −1 = −1
lim𝑥→−1+
4𝑥 + 3 = 4 −1 + 3 = −1
Paso 3Dar la respuesta
Como los límites laterales dan el mismo resultado, entonces el límite existe y es −1
lim𝑥→−1
𝑓(𝑥) = −1
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EjemplosTema: Límites, Unidad I
Paso 1Definir el vecindario
a) lim𝑥→−1
𝑓(𝑥)
−1 3
2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3
4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥
El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓, involucra dos criterios diferentes.
El criterio 2𝑥2 + 3𝑥 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que−1) y el criterio 4𝑥 + 3 para el límite
lateral derecho (valores más grandes que −1)
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21
EjemplosTema: Límites, Unidad I
Paso 2Calcular el límite
lim𝑥→2
4𝑥 + 3 = 4 2 + 3 = 9
Paso 3Dar la respuesta
lim𝑥→2
𝑓 𝑥 =2
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EjemplosTema: Límites, Unidad I
Paso 1Definir el vecindario
c) lim𝑥→3
𝑓(𝑥)
−1 3
2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3
4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥
2
El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓,involucra dos criterios diferentes.
El criterio 4𝑥 + 3 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que −1) y el criterio 𝑥2 − 5𝑥 para el límite lateral
derecho (valores más grandes que −1)
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EjemplosTema: Límites, Unidad I
Paso 2Determinar límites laterales
lim𝑥→3−
4𝑥 + 3 = 4(3) + 3 = 15
lim𝑥→3+
𝑥2 − 5𝑥 = (3)2−5 3 = −6
Paso 3Dar la respuesta
Como los límites laterales dan como resultadovalores distintos, entonces el límite no existe
lim𝑥→3
𝑓(𝑥) = ∄
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Límites de la forma 𝟎
𝟎
Al aplicar la técnica de sustitución directa,se puede presentar el caso que algunoslímites sean indeterminados, es decir, de la
forma0
0.
Para poder calcular el límite, es necesariotrabajar algebraicamente la expresión,factorizando o racionalizando.
24
Tema: Límites, Unidad I
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25
Tema: Límites, Unidad I
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→−1
3𝑥2 − 2𝑥 − 1
2𝑥2 − 2
Paso 1Evaluar el límite
=3(−1)2 − 2(−1) − 1
2(−1)2 − 2=0
0
Paso 2Factorizar el numerador y denominador la expresión.
= lim𝑥→−1
3𝑥 + 1 𝑥 − 1
2 𝑥2 − 1
Ejemplo #1
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Ejemplo #1
26
Tema: Límites, Unidad I
= lim𝑥→−1
(3𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
Paso 3Simplificar la expresión
= lim𝑥→−1
(3𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= lim𝑥→−1
3𝑥 + 1
2 𝑥 − 1
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Ejemplo #1
27
Tema: Límites, Unidad I
Paso 4Evaluar el límite
=3 −1 + 1
2( −1 − 1)
=1
2
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→−1
3𝑥2 − 2𝑥 − 1
2𝑥2 − 2=1
2
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Ejemplo #2
28
Tema: Límites, Unidad I
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→−1
𝑥3 + 1
5𝑥2 + 4𝑥 − 1
Paso 1Evaluar el límite
=(−1)3+1
5(−1)2+4(−1) − 1=0
0
Paso 2Factorizar el numerador y denominador la expresión.
= lim𝑥→−1
𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1
5𝑥 − 1 𝑥 + 1
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Ejemplo #2
29
Tema: Límites, Unidad I
Paso 3Simplificar la expresión
= lim𝑥→−1
𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1
5𝑥 − 1 𝑥 + 1
= lim𝑥→−1
𝑥2 − 𝑥 + 1
5𝑥 − 1
Paso 4Evaluar el límite
=(−1)2−(−1) + 1
5(−1) − 1
=−1
2
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Ejemplo #2
30
Tema: Límites, Unidad I
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→−1
𝑥3 + 1
5𝑥2 + 4𝑥 − 1=−1
2
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Ejemplo #3
31
Tema: Límites, Unidad I
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→𝑎
5𝑥 + 3𝑎
2𝑥2 − 3𝑎
Paso 1Evaluar el límite
=5 𝑎 + 3𝑎
2(𝑎)2−3𝑎
=8𝑎
4𝑎2 − 3𝑎
=8𝑎
𝑎(4𝑎 − 3)
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Ejemplo #3
32
Tema: Límites, Unidad I
=8
4𝑎 − 3
Paso 2Dar la respuesta
lim𝑥→𝑎
5𝑥 + 3𝑎
2𝑥2 − 3𝑎=
8
4𝑎 − 3
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Ejemplo #4
33
Tema: Límites, Unidad I
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑤→𝑎
2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤
𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎
Paso 1Evaluar el límite
=2(𝑎)3−𝑎 𝑎 2 − 𝑎2 𝑎
(𝑎)2+𝑎(𝑎) + 3(𝑎) − 2𝑎2 − 3𝑎
=2𝑎3 − 𝑎3 − 𝑎3
𝑎2 + 𝑎2 + 3𝑎 − 2𝑎2 − 3𝑎
=0
0
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Ejemplo #4
34
Tema: Límites, Unidad I
Paso 2Factorizar el numerador y el denominador
lim𝑤→𝑎
2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤
𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤2 − 𝑎𝑤 − 𝑎2)
(𝑤2+𝑎𝑤 − 2𝑎2) + (3𝑤 − 3𝑎)
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎
(𝑤 − 𝑎) 𝑤 + 2𝑎 + 3(𝑤 − 𝑎)
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎
(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)
Para factorizar el denominador, se aplica el método de agrupamiento. 𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎 = (𝑤2+𝑎𝑤 − 2𝑎2) + (3𝑤 − 3𝑎)
Al primer subgrupo se le aplica inspección y al segundo subgrupo factor común.
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Ejemplo #4
35
Tema: Límites, Unidad I
Paso 3Simplificar la expresión
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎
(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎
(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)
= lim𝑤→𝑎
𝑤(2𝑤 + 𝑎)
𝑤 + 2𝑎 + 3
Paso 4
Evaluar el límite
=𝑎(2𝑎 + 𝑎)
𝑎 + 2𝑎 + 3
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Ejemplo #4
36
Tema: Límites, Unidad I
=𝑎(3𝑎)
3𝑎 + 3
=3𝑎2
3 𝑎 + 1
=3𝑎2
3 𝑎 + 1
=𝑎2
𝑎 + 1
Paso 4
Dar la respuesta
lim𝑤→𝑎
2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤
𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎=
𝑎2
𝑎 + 1
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Al finaliza el recurso, se espera que losejercicios le sean de utilidad para reforzarlos conceptos necesarios para calcularlímites, y al mismo tiempo, pueda construirlos nuevos conocimientos de Cálculo I.
“La matemática es el alfabeto con que Dios escribió al mundo.”
Galileo Galilei
Factorizar la expresión
37
Tema: Límites, Unidad I
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Créditos
38
Universidad Técnica NacionalCoordinación de Matemáticas y Estadística
Contenido
Autor: Evelyn Delgado Carvajal
Producción del recurso didáctico:
Productora académica: Yetty Lara Alemán
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de Autor
Queda prohibida la reproducción, transformación, distribución y comunicación pública de la obra multimedia [Límites], por cualquier medio o procedimiento, conocido o por conocerse, sin el consentimiento previo de los titulares de los derechos, así como de las obras literarias, artísticas o científicas particulares que contiene.
Tema: Límites, Unidad I