límites de funciones. continuidad.. límite de una función en un punto. límites laterales. ...
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Límites de funciones. Continuidad.
Límite de una función en un punto. Límites laterales.
Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia
a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe:
Ejemplo.-
limx a
f x L
2
2
4Si lim 4
2 x
xf x f x
x
Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y
se representan simbólicamente por: lim limx a x a
f x y f x
Ejemplo.-
1
1
1Si
2 1
lim 1
lim 2x
x
x si xf x
si x
f x
f x
El límite limx af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos
son iguales, o sea: lim limx a x a
f x f x L
s ≤
Límites en el infinito. Asíntotas.
Si
Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se
aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla)
lim o limx x
f x k f x k
Ejemplo.- Si como
Si
Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se
aproxima la función, pero nunca llega a cortarla)
lim o limx a x a
f x f x
12
1f x
x
1 1
lim 2 lim ; lim ; limx x x x
f x f x f x f x
La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1
2,01 2,001 2,0001
4.41 4.0401 4.004001 4.00040001
Cálculo de límites en un punto.
Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con
sustituir en la función f(x)
Ejemplo.-2 2
3 33
2 3 2.3 15 3lim
2 3 2 25 5x
x x
x
Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán -
y/o +, resultado una asíntota vertical en dicho punto
Ejemplo.-3
3
3
2lim
32 5lim ;
3 0 2lim
3
x
x
x
x
xx
x x
x
Cálculo de límites en un punto.
Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar
cada caso en particular (en ocasiones simplificando)
Ejemplo.-
22
22 2 2
24 4 2 0lim lim lim 0
2 8 2 4 4 6x x x
xx x x
x x x x x
Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar
cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado)
Ejemplo.-
5 5 5
5
1 2 1 21 2 5lim lim lim
5 5 1 2 5 1 2
1 1 1lim
41 2 5 1 2
x x x
x
x xx x
x x x x x
x
Cálculo de límites en el infinito.
Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera
inmediata
Ejemplos.- ya que en el
primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -
3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en
valor absoluto, 1/x es mas pequeño.
3 1lim ; lim 3 2 ; lim 0;x x xx x x
x
Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el
denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se
calcula el límite en cada uno de los términos del numerador y
denominador.
Ejemplo.-3 2 3
3 2
3
3 413 4 1 0 0 1
lim lim4 62 4 6 2 0 0 22
x x
x x x xx x
x x
Cálculo de límites en el infinito.
Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /.
Ejemplo.-
2 2 32 3
2 2
4 3 2 2 3
3 2
2 3
3 2 5 4 1 3 5 13 3 5 1lim lim
1 2 5 4 1 2 5 4
5 9 1122 5 9 11 2 0 0 0
lim lim7 9 42 7 9 4 2 0 02
x x
x x
x x x x x xx x x
x x x x x x
xx x x x x x xx x x
x x x
0
Cálculo de límites en el infinito.
Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y
divide por la expresión conjugada
Ejemplo.-
1 1 1 1lim 1 1 lim
1 1
2lim 0
1 1
x x
x
x x x xx x
x x
x x
Límites trigonométricos
Veamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas
Ejemplos.-
0 0
Teniendo en cuenta:
sen tg 11
sen sen sen cos1
lim lim 1sen cosx x
x x x
x x x xx
x x
2
22 2
2 2
2
20 0
Teniendo en cuenta que:
cos 1 cos 1cos 1 cos 1
cos 1 cos 1
1
cos 1 cos 1 cos 1
cos 1 1 1lim lim 0 1 02cos 1x x
x xx x
x x x x x
x sen xsen x sen xx
x x x x x x
x sen xx
x x x
-- lim
- 1
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Matemática de GAUSS del Ministerio
de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
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lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
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Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msa
daall/geogebra/)
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