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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg. Miguel Angel Macetas Hernndez08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezMedia aritmticaMedianaModaPercentilesRangoVarianzaDesviacin estndarDesviacin mediaAsimetraCurtosis Regresin lineal simpleRegresin lineal ponderadaRegresin lineal mltipleCorrelacin linealCoeficiente de correlacinMedidas EstadsticasQue pueden serUnivariantesComoMedidas de tendencia centralMedidas de dispersinMedidas de asimetra y apuntamientoComoComoBivariantesRegresin y correlacinComoComoComo08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezPOR QU SON IMPORTANTES LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL?

Porque la mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un dato central.Las medidas de tendencia central son puntos en una distribucin, los valores medios o centrales de sta y nos ayudan a ubicarla dentro de la escala de medicin.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezCADECO Lic. Adm. Aldo Romero Correa Facultad de Estudios de la EmpresaMEDIA O PROMEDIOEsta es una de las medidas de tendencia central ms usadas. Existen 3 tipos de medias: Media aritmtica, Media geomtrica, Media harmnicaLa media aritmtica tal como se define, se puede calcular a partir de:a) Datos No Agrupados:La media que se obtiene a partir de n datos originales Xi se denomina MEDIA ARITMETICA SIMPLE.Simbologa: Tamao Media aritmticaMuestra n (equis barra)Poblacin N (mu)08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezClculos a partir de datos no agrupados, se utilizan las siguientes formulas. Para una muestra donde: : media muestral : suma de todos los datos : nmero de datos (muestra)

Para una poblacin donde: : media poblacional : suma de todos los datos : nmero de datos (poblacin)

N08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemploEn una muestra de presupuestos familiares, se ha obtenido la siguiente informacin respecto al numero de hijos de 21 familias

322211412123333023132La variable es el numero de Hijos por familias, es decir Xi= N de hijos/ familia, donde los 21 valores de la variable serian X1, X2 ... X21

N = 21Entonces el valor de la media (N de los hijos) ser:

Redondeando por se variable discreta, se tiene que el numero de hijos promedio por familia es = 208/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez

Calculo en Excel08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez b) DATOS AGRUPADOS EN TABLASLos datos se pueden presentar o agrupar en tablas sin intervalos y en tablas con intervalos , en ambos casos se usa la Media Aritmtica Pondera.

Tablas sin Intervalo (Ejemplo)N hijosXiN de familiasniXi*ni

01015527143721414TOTAL2144

Hijos por familia08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez Clculo a partir de datos agrupados.El clculo de la media aritmtica, cuando los datos disponibles se encuentran en tablas de distribucin de frecuencias, se realiza utilizando la formula siguiente

donde::media muestral :frecuencia absoluta de la clase i :marca de la clase i

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo: La distribucin de frecuencias siguiente, representa los puntajes obtenidos en una evaluacin del desempeo, aplicado al personal tcnico de un Centro de Salud. El puntaje mximo en la prueba es 50. Calcule e interprete en media.

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezPrimero se calcularn las marcas de clase ( );es decir, el valor intermedio de cada clase

IntervaloMarca de Clase (Xi)Frecuencia Absoluta121614.04162118.58212623.515263128.523313633.510Total6008/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezInterpretacin: Si se elige al azar a un trabajador tcnico de este hospital, se espera que tenga un puntaje de 25.93 en su evaluacin de desempeo.La media aritmtica ponderada ( )donde:

= factor de ponderacin = datos

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo: Una empresa comercializadora de Seguros Mdicos dispone de 3 representantes para la zona de Miraflores, cada uno de los cuales cobra diferente comisin por pliza vendida, y realiza diferente nmero de contratos. Calcule e interprete el valor medio de la comisin

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezInterpretacin:Si se elige al azar un representante se espera que cobre una comisin de $38.67 por pliza vendida.

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezTablas con intervalosEl calculo de la media es a partir del uso de la marca de clase Yi para representar el valor de cada elemento incluido en su respectivo intervalo.N de cromosomasMarca de claseN de herbceasN de cromosomas ponderadas(Li-1 - Li]XinIXini232624,55122,5262927,5401100293230,527823,5323533,511368,5353836,53109,5384139,53118,5414442,5142,5total902685

crom.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez Ventajas y desventajas de la media aritmticaVentajas: Concepto familiar para muchas personas Es nica para cada conjunto de datos Es posible comparar medias de diferentes muestrasDesventajas Se ve afectada por los datos extremos Si la muestra es grande y los datos no estn agrupados, su clculo es tedioso Si los datos estn agrupados en clases con extremos abiertos, no es posible calcular la media.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezLa MedianaEs la medida que divide en dos subconjuntos iguales a datos, de tal manera que 50% de los datos es menor a la mediana y el otro 50% es mayor a la mediana.

a) Obtencin: Se obtiene ordenando la serie de datos (en forma ascendente o descendente) y ubicando el dato central.

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo:Los siguientes datos se refieren al sueldo de 7 trabajadores . Calcule e interprete la mediana.425, 440, 500, 323, 445, 428, 432Primero se ordenan lo datos: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 323, 425, 428, 432, 440, 445, 500 7 datos menores 4 datos mayoresmediana

Interpretacin Significa que de los 7 trabajadores, hay 4 trabajadores (50% de n) que tienen sueldos inferiores o iguales a 432 dlares, en tanto que los 4 trabajadores restantes (el otro 50% de n) tienen sueldo superior a 432 dlares 08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez

Calculo en Excel08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez Ejemplo: 8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

3 Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar, de la serie previamente ordenada.

2 Si la serie es par, la mediana se obtiene de la semisuma de los dos valores centrales de la serie previamente ordenada.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez

Calculo en Excel08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezClculo a partir de datos agrupados.

donde:: mediana: limite real (o frontera) inferior de la clase mediana.: nmero total de datos.: suma de todas las frecuencias hasta, pero sin incluir, la clase mediana.: frecuencia de la clase mediana: amplitud de clase

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia laboral (aos) del personal de seguridad que labora en una compaa. Calcule e interprete la mediana.

Lugar de la mediana:

Mediana = 11,08 aos

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezInterpretacin:

La mitad del personal de seguridad que labora en esta compaa tienen una experiencia laboral igual o menor a 11 aos. La otra mitad de este personal tiene una experiencia laboral igual o mayor a 11 aos.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezVentajas y desventajasVentajas:Los valores extremos no afectan a la mediana como en el caso de la media aritmtica.Es fcil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos, registrados bajo una escala ordinal.

Desventajas:Como valor central, se debe ordenar primero la serie de datos.Para una serie amplia de datos no agrupados, el proceso de ordenamiento de los datos demanda tiempo y usualmente provoca equivocaciones.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezLa ModaLa moda es el valor que ms se repite dentro de un conjunto de datos.a) Obtencin: se obtiene organizando la serie de datos y seleccionando el o los datos que ms se repiten.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38Ejemplo: 08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndezb) Clculo a partir de datos agrupados

donde:: moda: limite real (o frontera) inferior de la clase modal (la de mayor frecuencia): frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior: frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente: amplitud de clase

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezLas clases mediana y modal pueden coincidir pero conceptualmente son diferentes.Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturacin durante un mes, en una Compaa. Calcule e interprete la moda.

Interpretacin: Durante un mes, el nmero ms frecuente de errores de facturacin en esta Compaa es 5.

Clase moda : (4 - 7)

Mo = 5,4

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndeze) Ventajas y desventajas de la moda.Ventajas:Se puede utilizar tanto para datos cualitativos como cuantitativos.No se ve afectada por los valores extremos.Se puede calcular, a pesar de que existan una o ms clases abiertas.Desventajas:No tiene un uso tan frecuente como la media.Muchas veces no existe moda (distribucin amodal).En otros casos la distribucin tiene varias modas, lo que dificulta su interpretacin.08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezLos PercentilesSon los valores que dividen en 100 partes iguales a un conjunto de datos

a) Clculo: para datos agrupados.

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndezdonde: : percentil : el percentil buscado : nmero de datos : frecuencia acumulativa hasta la clase anterior a la clase donde se ubica el percentil K : frecuencia absoluta de la clase donde se ubica el percentil K : amplitud de clase

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezSobre qu edad se ubica el 25% de las enfermeras de mayor experiencia?Para saber en cul clase se halla este dato, se calcul la frecuencia acumulativa.MenorExperienciaMayorExperiencia75 %25 %P75K = 75

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez

Interpretacin: Para que una enfermera est comprendida dentro del 25% de mayor experiencia laboral debe tener al menos 15 aos, 7 meses y 24 das.

En esta clasese localizan del249 - 288F=24808/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezMEDIDAS DE DISPERSIN08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezVarianza Es el estadgrafo de dispersin ms importante. y expresa el grado de dispersin de las observaciones respecto a la media aritmtica. Se denota por s2; V(X); V(Y); 2; etc.La varianza se define como:"La varianza es la media o promedio del cuadrado de las desviaciones de la variable respecto a su media".La expresin de la definicin, tambin se escribe:

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo: Varianza para datos no agrupadosLa siguiente muestra representa las edades de 25 personan sometidas a un anlisis de preferencias para un estudio de mercado.

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezEjemplo: Varianza para datos agrupadosCalcular la varianza a partir de la siguiente tabla de frecuencia (suponga que los datos son poblacionales).

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas Hernndez[Li-1 Li) Xinixi nixi2 ni0,2 7,23,7311,141,077,2 14,210,7553,5572,4514,2 21,217,78141,62506,3221,2 28,224,75123,53050,4528,2 35,231,71031710048,935,2 42,238,74154,85990,7642,2 49,245,75228,510442,45Total 40103032652,4

08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezDesviacin Estndar o Tpica (s)

La desviacin estndar o tpica, se define como la raz cuadrada de la varianza

Es uno de los estadgrafos de dispersin de mayor uso, en si cual las unidades de la variable ya no estn elevadas al cuadrado. La desviacin estndar, al igual que la varianza, es no negativa (s 0), puesto que es la raz cuadrada positiva de la varianza. A mayor dispersin le corresponder una mayor desviacin estndar08/01/2015NMg. Miguel Angel Macetas HernndezCoeficiente de Variacin (CV)Est definido por la expresin:

El valor se expresa en trminos porcentuales. Una regla emprica, cuando el CV < 33% los datos no presentan dispersin en los datos recolectados los datos son ms homogneos

Datos presentan dispersin0%