clase 2. operatoria racionales

Operatoria con

fracciones

Profesor José Luis Gajardo


Prioridad de las operaciones(PAPOMUDAS)

1º Paréntesis (partiendo de los interiores a los exteriores).

2º Potencias.

3º Multiplicación y división, de izquierda a derecha.

3º Adición y sustracción, de izquierda a derecha.


Operatoria en los racionales

Adición y Sustracción:


Multiplicación:


División:


Todo número racional tiene un elemento inverso multiplicativo

o recíproco del divisor:


Fracción propia e impropia

Fracción Propia: aquella en que el numerador es menor que el denominador, representa, por lo tanto, un decimal menor que uno.

Ejemplo: 3/4

Fracción Impropia: aquella en que el numerador es mayor que el denominador, representa, por lo tanto, un decimal mayor que uno.

Ejemplo: 4/3


Número mixto:

Una fracción impropia puede expresarse como número mixto, es decir, como una expresión compuesta por una parte entera y una fracción propia:


Simplificar una fracción:

Consiste en dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor entre ellos, de modo que el resultado sea una fracción irreductible.

Dividimos numerador y denominador por 5, ya que este es el máximo común divisor entre 15 y 25. como resultado obtenemos 3/5, dos números primos (sin divisores comunes entre ellos)


Números decimales

Los números decimales son una forma de expresar números no enteros, esto es, números racionales e irracionales.

• En el caso de los número racionales podremos establecer una biyección entre una fracción y un número decimal.

• En el caso de los irracionales los números decimales servirán para acotarlos y dar una aproximación del número.


Conversión de fracción a decimal

Para convertir una fracción a decimal, basta con entender dicha fracción como una división del numerador en el denominador. En general, todas las fracciones pueden convertirse a fracción de esa forma.


Clasificación de decimales:

Los decimales los podemos clasificar en:

• Decimales finitos o exactos: son aquellos que tienen un número finito de cifras decimales. Los números enteros se pueden entender como decimales exactos. Ejemplo: 2,33 ; 5,6789.

• Decimales periódicos: Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número infinito de cifras que se repiten siguiendo un patrón, llamado periodo. Se subdividen en Decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos.


i) Decimales periódicos puros: conocidos simplemente como decimales periódicos. Son los números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente, inmediatamente después del separador decimal. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal superior. Por ejemplo:

ii) Decimal periódico mixto: Conocidos también como decimales semiperiódicos. Son los números decimales en cuya parte decimal hay una parte no periódica, denominada antiperiodo, y otra periódica. La parte periódica se suele señalar con una línea horizontal superior. Por ejemplo:


• Decimales no periódicos

Los números decimales no periódicos son los que contienen una parte decimal infinita y que no se repite. Estos números corresponden al conjunto de los números irracionales, y no pueden ser representados por medio de una fracción.Algunos de ellos son:

, etc.


Conversión de decimal a fracción

• Decimal exacto a fracción:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción


Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción

Paso 1: Escribe:

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

Paso 3: Simplifica la fracción:

Nota: 75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común


• Decimal Periódico Puro a fracción:

Esta conversión es un poco más complicada. Tomamos por ejemplo el decimal x = 2.1414141414... o también se escribe x = 2.14

i) X = 2,141414….

Multiplicamos este decimal por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con 0.14141414.... para que podamos restar las dos "colas":

X = 2,141414…. / 100

ii) 100X = 214,1414….

Restando ii) – i) se obtiene: 100x – x = 214, 1414…. – 2,1414… (se elimina la parte decimal)

Despejando X temenos: X = 212/99

99X = 212


Se procede de manera muy similar al caso anterior. Por ejemplo, Convertimos x = 0.55619619619619... ó x = 0.55619 en una fracción.

• Decimal Periódico mixto a fracción:

X = 0.55619619619...

Otra vez lo multiplicamos por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con la cola 619619.... para que podamos restar las dos "colas". Se necesita observar cuidadosamente cuando lo pasa.

X = 0.55619619619... / 100 X = 0.55619619619... / 100000

i) 100X = 55,619619619... ii) 100000X = 55619,619619...

Restando ii) – i) se obtiene: 100000x – 100x = 55619,619619…. – 55,619619…

(se elimina la parte decimal)

99900X = 55564

Despejando X temenos: X = 55564/99900 = 13891/ 24975

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