1

Čísla v počítači

Přednáška z předmětu Počítače IDana Nejedlová

Katedra informatiky EF TUL

2

Celá čísla• Jejich jiný název je čísla s pevnou řádovou čárkou (fixed-

point numbers).• Mají pevný maximální počet míst před i za desetinnou

čárkou.– Když je tento maximální počet míst dostatečně nízký, je

nejvýhodnější čísla v počítači ukládat jako celá čísla.– Číslo v desítkové soustavě se vynásobí konstantou rovnou 10 na

maximální počet desetinných míst.– Například pro maximálně 4 desetinná místa

• 1,23 se uloží jako 12300.• 0,456 se uloží jako 4560.• Pro zobrazení čísla použijeme konstantu 104.

– Dělíme uložené číslo 10000, tedy– umístíme desetinnou čárku pevný počet míst od konce uloženého čísla.

• Aritmetické operace lze provádět s takto uloženými čísly bez využití informace o maximálním počtu desetinných míst.– Takže se dál budeme bavit jen o celých číslech.

3

Reprezentace kladných celých čísel• Uchovávají se v určitém počtu bajtů.

– 1 bajt (byte) má 8 bitů.• Číslo se převede do dvojkové (binární) soustavy a z levé strany

se doplní nulami.– 11 v desítkové soustavě je 1011 binárně.– V 8 bitech se uloží jako 0000 1011.

• Převod čísla c do binární soustavy– Využijeme vzorec c = 2 ∙ d + z, kde

• d je výsledek celočíselného dělení (kolikrát se 2 vejde celé do c),• z je zbytek po celočíselném dělení.

– 11 = 2 5 + ∙ 1 – binárně1011 = 10 101 + ∙ 1– 5 = 2 2 + ∙ 1 – binárně 101 = 10 10 + ∙ 1– 2 = 2 1 + ∙ 0 – binárně 10 = 10 1 + ∙ 0– 1 = 2 0 + ∙ 1 – binárně 1 = 10 0 + ∙ 1– 1110 = 10112

• Převod zpět: 1110 = 1 2∙ 3 + 0 2∙ 2 + 1 2∙ 1 + 1 2∙ 0 = 8+2+1

4

Sčítání• Procesor má pro jeho provedení obvod.• 11 = 0000 1011• 7 = 0000 0111• 18 = 0001 0010

• 11 = 0000 1011• 24 = 0001 1000• 35 = 0010 0011

5

Odčítání• Má v matematice jiný algoritmus než sčítání.• 11 = 0000 1011• –7 =– 0000 0111• 4 = 0000 0100• Procesor by pro odčítání dle algoritmu shodného s

matematickým musel mít jiný obvod.• Efektivnější je ale využít i pro odčítání sčítací obvod.

– Je to možné?– Ano, pokud budeme záporná čísla správně reprezentovat.

• Jak má v počítači vypadat záporné číslo?– Může se od kladného odlišovat tím, že by mělo nejvyšší bit roven 1

místo 0.• Potom by se ale pro odčítání nemohl použít stejný algoritmus jako pro sčítání.

– Záporná čísla lze reprezentovat tak, aby odčítání A – B bylo v počítači realizováno jako A + (reprezentace záporného B).• Výsledky budou zase buďto kladná čísla nebo reprezentace záporných čísel.

6

Reprezentace záporných celých čísel• Nejefektivnější vzhledem k algoritmizaci je

takzvaný dvojkový doplněk (two's complement).

• Jeho teoretickým základem je modulární aritmetika, kde se čísla v řadě periodicky opakují.

• V následující řadě se cyklicky opakují poslední 3 bity po 8 hodnotách.

7

• Souvislá řada binárních čísel• Každému binárnímu číslu

přiřadíme dekadickou hodnotu jeho nejnižších 3 míst.

• Každému binárnímu číslu přiřadíme záporné číslo, pokud je jeho 3. nejnižší bit roven 1, tak, aby vznikla souvislá řada od nejnižšího čísla (-4) k nejvyššímu číslu (3).

Binární čísla a cyklická řada0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4

-3

8

• Budeme počítat v cyklické aritmetice s 8 možnými hodnotami 0 až 7 nebo -4 až 3.

• Bude to tedy aritmetika modulo 23.• Stejný výpočet uvedeme nejdřív v periodické řadě

nezáporných čísel a potom v něm nahradíme všechny hodnoty hodnotami na stejném řádku v řadě znaménkových čísel.

• 2 + 4 = 6• 2 – 4 = –2• 2 + 7 = 1 (Ne 9, protože to je mimo náš rozsah.)• 2 – 1 = 1• 6 + 7 = 5 (Ne 13, protože to je mimo náš rozsah.)• –2 – 1 = –3• Pokud byla čísla v rozsahu, tak výsledky byly správné.• Máme tedy systém, kde odčítání realizujeme sčítáním. V

tomto systému se dá i násobit.• Sčítají se nebo násobí binární vyjádření čísel.• Periodicita je vyjádřena ignorováním 1. bitu (neboli 4.

nejnižšího bitu).• Zbývá dořešit převod kladného čísla na záporné.

Binární čísla a cyklická řada0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4

-3

9

• U všech bitů kladného čísla změníme (přehodíme) hodnotu a k výsledku přičteme 1.

• V následujících příkladech budeme počítat s 3 nejnižšími bity.

• 5 = 101 → 010 + 1 = 011 = 3.• 4 = 100 → 011 + 1 = 100 = –4.• 3 = 011 → 100 + 1 = 101 = –3.• 1 = 001 → 110 + 1 = 111 = –1.• 0 = 000 → 111 + 1 = 000 = 0.

Převod na dvojkový doplněk čísla0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4

-3

10

Dvojkový doplněk v počítači• 8 bitové celé číslo –11• 1111 0101 = dvojkový doplněk čísla 11• + 0000 1011 = číslo 11• 1 0000 0000 = 28

• 16 bitové celé číslo –11• 1111 1111 1111 0101 = dvojkový doplněk 11• + 0000 0000 0000 1011 = číslo 11• 1 0000 0000 0000 0000 = 216

• Záporné číslo je uloženo jako– 2 na počet bitů – kladné číslo.

• Dvojkový doplněk čísla c v n bitech = 2n – c.

11

Výpočty s dvojkovým doplňkem• Na příkladech s 8 bitovými čísly• 0001 1000 = 24• + 1111 0101 = –11 neboli dvojkový doplněk 11• 1 0000 1101 = 13 + 28, 28 není součástí výsledku

• 0000 1011 = 11• + 1110 1000 = –24 neboli dvojkový doplněk čísla 24• 0 1111 0011 = –13 neboli dvojkový doplněk čísla 13

• 1111 0101 = –11 neboli dvojkový doplněk čísla 11• + 1110 1000 = –24 neboli dvojkový doplněk čísla 24• 1 1101 1101 = –35 neboli dvojkový doplněk čísla 35 + 28, 28 není

součástí výsledku.• Takže vše můžeme počítat v 8 bitech a bity, které se do nich při

součtech nevejdou, můžeme zahodit.

12

Detekce chyb při výpočtech• Je založena na tom, že čísla ve dvojkovém doplňku mají nejvyšší bit roven

1. Podle něj lze chybu detekovat.• Chyba může vzniknout jen při součtu 2 čísel se stejným znaménkem.• Přetečení (overflow)• 0110 0100 = 100• + 0011 0010 = 50• 0 1001 0110 = 150

– Pokud je výsledek interpretován neznaménkově, je výpočet správně.– Pokud je výsledek interpretován znaménkově, vyjde záporné číslo, dvojkový

doplněk čísla 106, protože 8. bit je roven 1.– Součet dvou kladných čísel vyjde záporně.– 150 + 106 = 256 = 28 = modulo tohoto sčítání.

• Podtečení (underflow)• 1001 1100 = –100• + 1100 1110 = – 50• 1 0110 1010 = 28 + 106, 28 není součástí výsledku.

– Součet dvou záporných čísel vyjde kladně.– –150 – 106 = –256 = –28.

13

Rozsah dvojkového doplňku v 8 bitech• Maximální číslo 127 = 27 – 1 = 0111 1111• 1 1 = 20 = 0000 0001• 0 0 = 20 – 1 = 0000 0000• –1 –1 = 28 – 1 = 1111 1111• Minimální číslo –128 = 27 = 1000 0000

• Čísla ve více bitech jsou tomu analogická.

14

Co je třeba umět do testu• Převést konkrétní celé číslo na jeho dvojkový

doplněk.• Jaké chyby vznikají při výpočtech s celými

čísly?

15

Reálná čísla• Jejich jiný název je čísla s pohyblivou řádovou čárkou (floating-point

numbers).• Potřebujeme jediným datovým typem reprezentovat čísla s velkým

rozsahem počtu míst před nebo za desetinnou čárkou.– čísla blížící se nekonečnu, neboli s velkou vzdáleností od nuly na reálné

ose– čísla blížící se nule, neboli s velkým záporným řádem

• Datový typ– Je určitý formát, ve kterém je uložena informace v počítači.– Určuje

• přípustné hodnoty informace a• přípustné operace, které se s informací mohou provádět.

– Celá čísla v určitém počtu bitů a s určitým rozsahem (znaménková, neznaménková) jsou určitým datovým typem neboli formátem.

– Reálná čísla mají také své formáty.– Je záležitostí dohody mezi výrobci technologií neboli standardem.– Nejrozšířenější standard pro reprezentaci reálných čísel ve výpočetních

systémech je IEEE 754.

16

Teoretické základy standardu IEEE 754• Semilogaritmický tvar (vědecká notace) čísla

– Počítače nebo kalkulačky tak zobrazují příliš malá nebo velká čísla.• Zápis čísla se skládá ze

– znaménka,– mantisy (significand),– exponentu a– základu umocňování.

• 23,125 = 2,3125 10∙ 1 = 2312,5 10∙ –2 = 0,23125 10∙ 2 …– Číslo může být zapsáno mnoha způsoby.

• Může být různé umístění čárky a různý základ exponentu.• Tyto různé možnosti mohou být standardizovány.

• IEEE 754– Před čárkou je 1 místo.

• normalizace

– Základ exponentu je 2.

17

Mantisa (significand) v IEEE 754• Když je základ exponentu 2, tak se mantisa skládá z řetězce nul a jedniček a

vždy začíná na 1. Proto se vynechá, aby se ušetřil 1 bit.– leading bit convention, implicit bit convention, hidden bit convention

• Převedeme číslo 3,8125 do binární soustavy:– Bude se převádět zvlášť část čísla před čárkou a za čárkou.– 3 = 2 1 + ∙ 1– 1 = 2 0 + ∙ 1– Před čárkou je 11.– Zlomková část binárního čísla se řídí vzorcem

• c = k–1 2∙ –1 + k–2 2∙ –2 + k–3 2∙ –3 + k–4 2∙ –4 + ...

• k = {0, 1}• Násobení číslem 2 způsobí, že před desetinnou čárku se dostane koeficient

čísla 2–1.– 0,8125 2 = ∙ 1,625– 0,625 2 = ∙ 1,25– 0,25 2 = ∙ 0,5– 0,5 2 = ∙ 1– Za čárkou je 1101.– 3,8125 = 11,1101 = 1,11101 2∙ 1. Zelené hodnoty se uloží.

18

Znaménko a exponent v IEEE 754• Znaménko je uloženo v prvním bitu čísla.

– 1 znamená mínus, 0 znamená plus.• Exponent je celé číslo, které může být kladné nebo záporné.

– Neukládá se jako dvojkový doplněk, aby šla jednodušeji porovnávat jeho velikost.

– K jeho skutečné hodnotě se připočte kladné celé číslo dané standardem IEEE 754 zvané posunutí (bias) a potom se zakóduje jako kladné celé číslo.• Exponenty v přípustném rozsahu tak jsou vždy kladné.• Vyšší exponent je vyšší neznaménkové číslo než nižší exponent.

– Maximální exponent určuje rozsah čísla neboli jeho maximální vzdálenost od nuly.

• Komponenty formátu IEEE 754 jsou v pořadí znaménko, exponent, mantisa, což umožňuje porovnávání čísel se stejným znaménkem pomocí obvodů pro celočíselnou aritmetiku.

19

IEEE 754 a aritmetické operace• Jsou výpočetně náročnější a proto by se měly

reálné datové typy využívat jen, když jsou opravdu nutné.

• Vznikají při nich zaokrouhlovací chyby.– Řádově nejnižší číslice výsledku výpočtu nejsou správné.– Nemůžeme testovat rovnost reálných čísel.

• Místo (a = b) se musí testovat stylem abs(a – b) < 0,00001.

• Počet bitů vyhrazený pro exponent je konečný, takže může vzniknout i přetečení.

• Podtečení znamená, že číslo se blíží nule.• Čísla, která mají v jiné třeba desítkové soustavě

konečný počet desetinných míst, nemusí mít konečný počet míst ve dvojkové soustavě.

20

IEEE 754 a zaokrouhlovací chyby• Převedeme číslo 0,1 v desítkové soustavě do dvojkové soustavy:• 0,1 2 = ∙ 0,2• 0,2 2 = ∙ 0,4• 0,4 2 = ∙ 0,8• 0,8 2 = ∙ 1,6• 0,6 2 = ∙ 1,2• 0,2 2 = ∙ 0,4 Odtud se to opakuje.• 0,4 2 = ∙ 0,8• 0,110 = 0,0 0011 0011 …2

• Když číslo opakovaně násobíme 2 a ztratí se z něj desetinná část, tak je číslo ve dvojkové soustavě vyjádřitelné bez chyb.

• Násobení nebo dělení– Vynásobí se mantisy a sečtou nebo odečtou se exponenty.

• Sčítání a odčítání– Dochází při něm k větším zaokrouhlovacím chybám než u násobení.– Číslo s nižším exponentem se musí denormalizovat.– 1,2345 10∙ 5 + 6,78 10∙ –2 =– = 1,234500000 10∙ 5

– + 0,000000678 10∙ 5

– = 1,234500678 10∙ 5

– Výsledek se nemusí vejít do mantisy, takže se uříznou řádově nejnižší číslice.– Může se stát, že číslice řádově nižšího sčítance se uříznou všechny.

21

Rozdíl mezi sousedními hodnotami reálných čísel

• V matematice je nekonečně malý.• Formát IEEE 754 má fixní počet bitů pro mantisu.• Máme například mantisu, kam se vejde jen 5 číslic:

– 1,2345 10∙ 5 má sousední vyšší číslo 1,2346 10∙ 5.• Rozdíl je 0,0001 10∙ 5.

– 1,2345 10∙ –5 má sousední vyšší číslo 1,2346 10∙ –5.• Rozdíl je 0,0001 10∙ –5.

– Na rozdíl od celočíselných datových typů je rozdíl mezi sousedními reálnými čísly různý.• Reálná čísla by se neměla používat jako řídící proměnná cyklu nebo

index prvku pole.

• Čím větší je počet bitů vyhrazený pro mantisu, tím blíže se může číslo uložené v počítači přiblížit teoretické matematické hodnotě čísla.– Velikost mantisy určuje přesnost čísla.

22

Co je třeba umět do testu• Jaké chyby vznikají při výpočtech s reálnými

čísly?• Jaká část formátu IEEE 754 určuje– rozsah čísla a– přesnost čísla?

• Rozpoznat, zda je dané reálné číslo v desítkové soustavě reprezentovatelné v počítači ve formátu IEEE 754 bez ztráty přesnosti.

• Jak se liší rozdíl mezi sousedními možnými hodnotami čísla ve formátu IEEE 754 od čísla ve formátu dvojkového doplňku?

23

Znaky• Znak (character) je počítačová reprezentace

jednotlivého písmena tak, aby byla možná práce s textem, například vyhledávání.

• Abeceda znaků, znaková sada (character set), mapuje množinu znaků na množinu celých čísel.– Čísla jsou kódy znaků.

• Stejný znak může být počítačem zobrazen různou velikostí, tvarem, fontem (například tučně, kurzívou…).

• Na světě je spousta abeced a spousta mapování znaků na čísla, neboli kódování.

24

Kód ASCII• American Standard Code for Information Interchange• Vznikl v 60. letech 20. století.• Byl původně určen pro dálnopis a tiskárny.

– Proto jsou jeho součástí řídící znaky s kódem 0-31.• Je 7 bitový.

– Mapuje 128 znaků.• interpunkce• číslice (0-9)• znaky anglické abecedy

– velké (uppercase letters) A-Z– malé (lowercase letters) a-z

• Je to nejstarší kód rozšířený v informačních a komunikačních technologiích.– Omezení se na ASCII zaručí co nejmenší komplikace s kompatibilitou při

sdílení dat na různých platformách.• jména souborů, adresy WWW stránek, adresáře SW projektů…• Při pojmenovávání souborů je třeba myslet i na pravidla operačních systémů.

– Nepoužívat mezeru, otazník, hvězdičku, lomítko, dvojtečku …

25

Národní abecedy• Dle vzoru ASCII vznikaly kódové tabulky národních

abeced, které se někdy také nesprávně nazývaly ASCII.

• Původně se využívalo jen 7 bitů, takže národní abecedy musely přemapovat některé často užívané znaky původního amerického ASCII.– Vzniklo tak mnoho nekompatibilních kódování.

• Kompatibilní řešení je to, kdy původní ASCII zůstane zachováno a přidají se k němu znaky národních abeced.– Tabulka národní abecedy by měla 8 bitů.

• K původní ASCII tabulce s prvním bitem z 8 rovným nule se přidá dalších 128 kódů pro národní znaky s prvním bitem z 8 rovným jedné.

26

Tvůrci standardů pro kódování znaků• Národní organizace– například ANSI

• Mezinárodní organizace– například ISO

• Soukromé firmy– například IBM, Microsoft, Apple– proprietární standardy závislé na platformě (víceméně na

určitém operačním systému)• Pro stejnou národní abecedu tak může existovat více

nekompatibilních kódování.– Nekompatibilita se projeví, když mezi sebou komunikují

různé systémy pracující s odlišným kódováním.• Například e-mail je zpracován různými servery a různými

klientskými programy.

27

Problémy národních kódování• Moderní software– Vyrábí se pro mnoho národních prostředí.

• lokalizace

• Šíření informace přes Internet– Když na Internetu začínala služba WWW, byly nutné

různé varianty stránek pro různá kódování nebo se požadovaná stránka před jejím zobrazením překódovala nějakým programem.

– V současnosti je kód stránky součástí jejích metadat pro internetový prohlížeč.

• Elektronické dokumenty odkudkoliv by mělo být možné číst kdekoliv.– Software pro jejich zobrazení by měl umět všechna

kódování.

28

Unicode• Standard pro kódování všech národních abeced v jediné

společné tabulce prvně publikován roku 1991• Jeho tvůrce je společnost Unicode Consortium sdružující

nejvýznamnější světové firmy z oblasti informačních technologií.• Poskytuje prostor pro více než milión kódů.• Má několik variant.

– UTF-8 má proměnlivou délku kódu.• V současnosti je to nejpoužívanější kódování pro psaní WWW stránek.• ASCII znaky jsou kódovány pomocí 8 bitů s nulou na začátku.

– zpětná kompatibilita s ASCII

• Ostatní znaky jsou kódovány pomocí 2 až 4 bajtů.

– UTF-32 má fixní délku kódu.• Kóduje každý znak pomocí 4 bajtů.• Reprezentace znaků není efektivní z hlediska potřebné paměti.• Znaky jsou indexovatelné.

– Díky fixní délce kódu je n-tý znak přímo přístupný pomocí n-tého indexu.– Přístup k n-tému znaku při kódování s proměnlivou délkou musí být sekvenční, je tudíž

výpočetně náročnější.

29

Řetězce znaků• vektory (jednorozměrná pole) znaků reprezentující

text• Mají 2 nejčastější způsoby realizace.– řetězce ukončené nulou (null-terminated strings)

• Mohou být libovolně dlouhé (omezeny jen dostupnou pamětí).

– řetězce s předponou určující délku (length-prefixed strings).• Délka je omezená maximálním číslem, které se vejde do

fixního počtu bitů určeného pro předponu.• Řetězec může být binární.

– Binární data mohou kdekoliv obsahovat libovolné hodnoty bajtů.– Na rozdíl od binárních dat textová data jsou tvořena jen znaky textu.

Žádný znak textu nemá kód rovný nule.

• Je-li předpona jiného (zpravidla delšího) datového typu než znak (element textu), je řetězec tvořen jako objekt.

30

Co je třeba umět do testu• Jaké problémy jsou spojeny s používáním

různých kódovacích tabulek pro různé abecedy národních znaků?– Jak jsou tyto problémy v současnosti řešeny?

• Jaké kódování má variabilní délku kódu?• Jak jsou v počítači reprezentovány řetězce?