CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

1. CIRCUITO RLC (RESISTENCIA-INDUCTANCIA-CAPACIDAD) SERIE

Consideremos un circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensin alterna senoidal

e(t) = Emaxsen(!t); como indica la gura siguiente:

Se tiene que ! = 2f es la pulsacin angular o frecuencia angular, donde f = T1 es

la frecuencia, siendo T el perodo. Las unidades MKSA de estas magnitudes fsicas son:

[!] = s1; [f ] = Hz (Hertz) y [T ] = s:

En este pas la frecuencia utilizada para el consumo domiciliario es de 50Hz: En Estados

Unidos se usa 60Hz:

La ecuacin diferencial del circuito es

Ri+ Ldi

dt+1

Cq = Emaxsen(!t);

de donde, teniendo en cuenta que i = dq=dt; tenemos

Ld2i

dt2+R

di

dt+1

Ci = !Emax cos(!t):

La solucin general de esta ecuacin viene dada por

i = iGH + iP ;

donde iGH es la solucin general de la ecuacin homognea asociada e iP una solucin

particular de la no homognea.

Las races correspondientes al polinomio caracterstico de la ecuacin homognea asociada

son

r1;2 =R

qR2 4L

C

2L;

1

de donde

iGH(t) = C1 exp(r1t) + C2 exp(r2t)

si r1 6= r2 y

iGH(t) = C1 exp(r1t) + C2t exp(r1t)

si r1 = r2:

Si R24LC 0 entonces r1 y r2 son negativos y si R24LC h0 entonces Re(r1) = Re(r2)h0:

Por lo tanto, en cualquier caso, iGH(t) ! 0 cuando t ! +1: As, vemos que esta partede la solucin representa el rgimen transitorio del circuito.

Como solucin particular de la ecuacin no homognea proponemos

iP (t) = A cos(!t) +Bsen(!t):

Reemplazando esta expresin en dicha ecuacin, se obtiene

1

C !2L

A+ !RB !Emax

cos(!t) +

1

C !2L

B !RA

sen(!t) = 0:

Debido a que las funciones cos(!t) y sen(!t) son linealmente independientes, nos queda el

sistema de ecuaciones 8

8

dada una cantidad de calor igual a la que liberara la corriente alterna en dicha resistencia

en un perodo.

Para ver esto, considerando nuevamente i(t) = Imaxsen(!t); tenemos

W = R

TZ0

i2(t)dt =1

2RI2maxT:

Por otro lado, como tambin

W = RI2T;

obtenemos nuevamente la expresin anterior para el valor ecaz.

Por supuesto, valen idnticas relaciones para las tensiones.

En este pas la tensin utilizada para el consumo domiciliario es de 220V ecaces. En

Estados Unidos se usa 110V ecaces.

Los multmetros o testers de uso ordinario miden en valores ecaces.

3. LEY DE OHM EN CORRIENTE ALTERNA

Para poder generalizar la ley de Ohm en el caso de circuitos de corriente alterna debemos

introducir el concepto de impedancia.

Adems, para facilitar los clculos se trabaja con nmeros complejos y se introducen los

fasores.

Consideremos un circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensin alterna senoidal

_"; con expresin temporal e(t) = Emaxsen(!t); como indica la gura siguiente:

Se dene la impedancia del circuito como

_Z = R + _X;

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donde

_X = _XL + _XC

es la reactancia, siendo _XL = j!L = !L90o la reactancia inductiva y _XC = j 1!C = 1!C90ola capacitiva (el punto denota nmeros complejos). Por lo tanto, nos queda

_Z = R + j

!L 1

!C

;

la cual se denomina forma binmica de la impedancia (en la prctica se usar tambin su

forma polar). Las unidades MKSA de estas magnitudes fsicas son: [R] = [X] = [Z] = :

De esta manera, podemos escribir la ley de Ohm en corriente alterna en la forma siguiente:

_" = _Z _I;

donde _" e _I son fasores, esto es, vectores rotantes en el plano complejo, cuya representacin

grca se denomina diagrama fasorial. Los fasores corresponden a todas las tensiones y

corrientes que aparecen en el circuito; la resistencia, la reactancia y la impedancia no lo son.

La demostracin de esta ltima ecuacin se realiza escribiendo la ecuacin diferencial de

partida

Ri+ Ldi

dt+1

Cq = e(t)

en forma fasorial, teniendo en cuenta que8>>>>>>>>>>>:

e(t) = Emaxsen(!t) = IIm [Emax exp(j!t)] = IIm _";

i(t) = Imaxsen(!t ') = IIm [Imax exp j(!t ')] = IIm _I;didt(t) = IIm [j!Imax exp j(!t ')] = IIm

j! _I

;

q(t) =Ri(t)dt = IIm

hImaxj!exp j(!t ')

i= IIm

_Ij!

:

En el tratamiento de circuitos de corriente alterna se suele trabajar con valores ecaces.

As, tenemos 8>:I = Eq

R2+(!L 1!C )2 =

EZ;

' =arctg!L1!C

R;

de acuerdo a lo visto anteriormente.

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A ' se lo denomina ngulo del circuito:8>>>>>:'i0 inductivo,' = 0 resistivo puro,

'h0 capacitivo.Ejemplos de cargas inductivas son transformadores y motores de induccin y de cargas

capacitivas bancos de condensadores y cables enterrados.

Considerando, por ejemplo, un circuito inductivo, el diagrama fasorial correspondiente es

el siguiente:

donde en t = 0 hemos considerado _" = E+ j0: Para completar el diagrama fasorial debemos

representar las tensiones sobre cada uno de los componentes del circuito, _VR = R _I; _VL = _XL _I

y _VC = _XC _I:

Consecuentemente, los valores instantneos de las corrientes y tensiones se obtienen como

proyecciones de los respectivos fasores sobre los ejes real o imaginario (en valores mximos).

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4. TRINGULO DE IMPEDANCIAS

Se suele representar a la resistencia, la reactancia y la impedancia en un tringulo rec-

tngulo, denominado tringulo de impedancias, en la forma

circuito inductivo

circuito capacitivo

5. RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE

Se llama resonancia en un circuito de corriente alterna a un rgimen para el cual la

reactancia del circuito se anula, es decir,

X0 = 0:

As, en esta situacin, el circuito se vuelve resistivo puro (' = 0) y, por ende, la corriente se

hace mxima.

En el caso particular de un circuito RLC serie esto ocurre cuando !0L = 1!0C ; o sea

cuando la frecuencia vale

f0 =1

2

1pLC

;

la cual se denomina frecuencia de resonancia del circuito.

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6. POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Supongamos tener un circuito alimentado con una fuente de tensin alterna.

La potencia instantnea suministrada por la fuente viene dada por

p = vi;

siendo v e i los valores instantneos de tensin y de corriente en la fuente, respectivamente.

Por otro lado, sabemos que la potencia media se dene como

P =W

T;

siendo W =

TZ0

p(t)dt la energa suministrada por la fuente en el perodo T:

Escribiendo v(t) = Vmaxsen(!t) e i(t) = Imaxsen(!t '); tenemos

P =VmaxImax

T

TZ0

sen(!t)sen(!t ')dt;

de donde, teniendo en cuenta que senasenb = 12[cos (a b) cos (a+ b)] ; encontramos que

P =VmaxImax

2cos' = V I cos':

La potencia media es la que se consume en la resistencia, ya que, observando el tringulo

de impedancias, es cos' = R=z y as

P = V IR

z= I2R:

Por esta razn, a esta potencia se la denomina tambin potencia activa.

Si bien es a esta potencia a la que haremos referencia en la prctica, debemos introducir

las otras potencias presentes en todo circuito de corriente alterna.

Se dene la potencia aparente como

_S = P + jQ;

donde

8

Q = V Isen'

es la potencia reactiva. Consecuentemente, S = V I:

Las unidades MKSA de estas magnitudes fsicas son [P ] =W; [Q] = V AR y [S] = V A:

7. TRINGULO DE POTENCIAS

Se suele representar a la potencia activa, la reactiva y la aparente en un tringulo rec-

tngulo, denominado tringulo de potencias, en la forma

circuito inductivo

circuito capacitivo

8. FACTOR DE POTENCIA

A la magnitud cos' se la denomina factor de potencia de un circuito de corriente alterna.

Un factor de potencia bajo origina, para una misma potencia activa, una mayor intensidad

de corriente, lo que implica la necesidad de utilizar cables de mayor seccin.

La potencia aparente, para una misma potencia activa, es tanto mayor cuanto ms bajo

sea el factor de potencia, lo que origina una mayor dimensin de los generadores.

Ambas conclusiones nos llevan a un mayor costo de generacin.

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Por otro lado, las prdidas de energa elctrica en las lneas de distribucin aumentan

con el incremento de la intensidad de corriente y, por lo tanto, disminuyen la eciencia de

la red.

Por todo esto, un factor de potencia bajo resulta inconveniente para las compaas sum-

inistradoras de electricidad. Es por ello que dichas compaas penalizan la existencia de un

factor de potencia bajo, obligando a su mejora o imponiendo pagos adicionales.

Es posible corregir el factor de potencia de un circuito mediante la conexin de bancos

de condensadores, para corregir efectos inductivos, o de inductores, para corregir efectos

capacitivos.

El dispositivo utilizado para medir el factor de potencia se denomina cofmetro.

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