cinematica - istituto nazionale di fisica nucleare · cinematica (iii) • principio di relativit...

Cinematica

Progetto CO-META

Forlì, ITIS G. Marconi, 20 novembre 2009

Cinematica

• La meccanica studia i moti dei corpi e le leggi che li governano.

• Cinematica: approccio descrittivo. Studio delle grandezze fisiche e dei metodi che servono per descrivere i possibili movimenti di un oggetto, senza curarsi delle cause che li determinano.

• Punto materiale: è l’oggetto mobile più semplice. Ha dimensioni trascurabili nel contesto considerato. – P. es.: nel sistema solare la Terra può essere considerata un

punto materiale, in quanto ha dimensioni piccole rispetto alle orbite dei pianeti e i suoi moti di rotazione, precessione, ecc. possono essere tralasciati nella descrizione del moto di rivoluzione.

DOMENICO GALLI - Cinematica 2

Cinematica (II)

• Oggetti estesi: possono essere suddivisi in tante parti, sufficientemente piccole per il dettaglio richiesto, e considerati come sistemi di punti materiali.

• Il moto è relativo: si può descrivere il moto soltanto quando si è stabilito rispetto a che cosa il movimento è valutato.

• Sistema di Riferimento (SdR): sistema di corpi, in quiete gli uni rispetto agli altri (distanza reciproca immutata nel tempo), rispetto a cui si descrive il moto.

• Terna cartesiana di riferimento: terna cartesiana, fissa rispetto al SdR, utilizzata per descrivere quantitativamente il moto.


Cinematica (III)

• Principio di Relatività: Non esiste un SdR privilegiato. Le leggi della Fisica sono uguali in tutti i SdR. – La diatriba tra punto di vista tolemaico (geocentrico) e

copernicano (eliocentrico) è superata nella fisica moderna: • i due punti di vista non sono in antitesi (è altrettanto corretto

dire che la Terra si muove rispetto al Sole o che il Sole si muove rispetto alla Terra).

• La descrizione copernicana è più semplice ma non più “vera”: con opportuni strumenti di calcolo si può pure descrivere il moto dei pianeti nel SdR terrestre.


Tempo

• Per decidere se un punto si muove occorre controllare se la sua posizione cambia col passare del tempo.

• Se si vuole considerare il tempo come grandezza fisica occorre darne una definizione operativa, ovvero bisogna stabilire qual è il procedimento con cui si misurano gli intervalli di tempo.

• Gli strumenti per la misura del tempo (orologi, cronometri) si basano su di un fenomeno periodico (che si ripete continuamente, come il moto di un pendolo). Gli intervalli di tempo tra due successive ripetizioni sono supposti uguali e uno qualunque di questi intervalli è assunto come unità di misura. – Es.: passaggio del Sole o di una stella dal meridiano locale (giorno

solare e giorno sidereo). – Es.: oscillazioni di un pendolo o di un bilanciere collegato a una molla

a spirale. Oscillazioni di un quarzo piezoelettrico. Oscillazioni della radiazione elettromagnetica emessa in determinate transizioni atomiche.


Giorno solare e giorno sidereo

• Giorno solare: intervallo di tempo tra due successivi passaggi del Sole dal meridiano locale: – Istante in cui il Sole è più alto sull’orizzonte.

• Giorno sidereo: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una stella fissa dal meridiano locale: • Istante in cui la stella è più alta sull’orizzonte.

• In un anno la Terra compie una rivoluzione completa attorno al Sole. – In un anno 1 giorno solare in meno dei giorni

siderei; – Giorno solare è più lungo del giorno sidereo di

circa 4 minuti (3’ 56”):

• Giorno solare: 86400 s; • Giorno sidereo: 86164.1 s.

DOMENICO GALLI - Cinematica

1 giorno sidereo 1 giorno solare

Terra

Sole

Stella

6

Breve storia dell’unità di tempo

• I giorni siderei sono di lunghezza uguale tra loro, i giorni solari no, a causa del moto della Terra attorno al Sole, che non avviene a velocità costante: – Più veloce d’inverno, quando la Terra è più vicina al Sole. – Niente a che vedere con la diversa durata del giorno illuminato e

della notte. • Tuttavia, poiché la vita quotidiana è basata sul Sole, si

preferì riferire l’unità di tempo al giorno solare medio (media calcolata in un anno): 1 s = 1/86400 di giorno solare medio.

• Con il progredire della tecnica degli orologi atomici (nata nel 1949) si osservarono discrepanze rispetto alla periodicità terrestre (il giorno sidereo, misurato da un orologio atomico, aumenta di 2 ms in un secolo).


Breve storia dell’unità di tempo (II)

• 2 possibilità: – “Sbaglia” l’orologio atomico:

• Improbabile data la stabilità del fenomeno periodico su cui si basa tale orologio.

– “Sbaglia” la rotazione terrestre: • Possibile. • Infatti la rotazione della Terra rispetto alla Luna (e al Sole)

determina il moto delle maree, nel quale una parte piccola ma non del tutto trascurabile dell’energia di rotazione della Terra è trasferita alla massa di acqua in movimento e quindi dissipata in calore.

• In tal modo il moto di rotazione della Terra rallenta un poco nel tempo:

– 2 ms (millisecondi) in un secolo.


Breve storia dell’unità di tempo (III)

• Il secondo fu perciò ridefinito (1960) come una frazione di un anno particolare (l’anno 1900).

• Nel 1967 il secondo fu nuovamente ridefinito, come multiplo del periodo di oscillazione (9.192.631.770 oscillazioni) della radiazione elettromagnetica emessa dagli atomi di Cesio 133 in una particolare transizione. – Transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale

dell’atomo di Cesio 133.

– La precisione di un orologio atomico è circa una parte su 1013: • Ovvero esso sbaglia al massimo 1 secondo ogni 300000 anni.


Breve storia dell’unità di tempo (IV)


bilanciere di un orologio meccanico

orologio al cesio

10

orologio a pendolo

Breve storia dell’unità di tempo (IV)

• Oggi è possibile avere in casa o al polso un orologio sincronizzato con un orologio atomico. – Un orologio atomico, presso il Physikalisch-Technischen

Bundesanstalt (PTB) a Braunschweig, (Berlino-Charlottenburg, Germania) è collegato a un’antenna radio situata a Mainflingen, a 24 km da Francoforte;

– L’antenna trasmette il segnale orario (DCF77) sulla frequenza di 77.5 kHz con una potenza di 50 kW fino a una distanza di 1500-2000 km.

• L’orologio ricevitore è in grado di sincronizzarsi con l’orologio atomico con uno scarto di circa 2 ms.


Breve storia dell’unità di tempo (V)

• È anche possibile sincronizzare gli orologi dei computer via Internet con un orologio atomico. – Lo scarto tipico di è di alcune decine di millisecondi.

• L’operazione è consentita dal protocollo NTP (Network Time Protocol) che si appoggia su TCP/IP (lo stack di protocolli utilizzati da Internet). – Client NTP sono disponibili in tutte le distribuzioni Linux in

MacOS e in Windows. • Una lista dei time-server pubblici si può trovare all’URL

http://www.ntp.org/.


Breve storia dell’unità di lunghezza

• Il metro fu definito nel 1791 dall’Accademia delle Scienze di Parigi, come la 1/40.000.000 parte del meridiano terrestre. – Un campione concreto fu realizzato nel 1799 con un regolo di

platino di sezione rettangolare di lunghezza pari a 1 m alla temperatura di fusione del ghiaccio.

• Si verificarono discrepanze tra le due definizioni e nel 1875 fu deciso di non riferire il metro alla Terra (che ha dimensione variabile in modo non prevedibile per i cambiamenti di forma della superficie terrestre) ma di riferirsi a un nuovo campione: – Una sbarra con sezione a X di platino-iridio (lega 90%-10%) con

due tacche alla distanza di 1 m a 0°C (precisione 0.2 μm). Nel 1889 ne vennero costruite 30 copie, poi diffuse per il mondo.


Breve storia dell’unità di lunghezza (II)

• Nel 1960 si definì il metro come un multiplo della lunghezza d’onda nel vuoto della luce rosso-arancione emessa dal Cripton 86 in una particolare transizione (errore 0.01 μm).

• Nel 1983 si è infine deciso di definire il metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299.792.458 di secondo: – In questo modo si riducono le misure di lunghezza a misure di

tempo. – Inoltre si fissa per convenzione (per legge giuridica, non fisica)

la velocità della luce nel vuoto a c = 299.792.458 m/s.


Descrizione intrinseca del moto

• Consideriamo un punto materiale che si muove (la sua posizione P si modifica nel tempo: P = P(t)) o, in maniera equivalente, il suo vettore posizionale:

• Traiettoria: linea geometrica costituita da tutte le posizioni assunte dal punto durante il suo moto.

• Scegliendo sulla traiettoria un’origine O e un verso di percorrenza, si indica con s la lunghezza dell’arco OP (positiva se P segue O nel verso di percorrenza definito)

• Legge oraria: è la funzione . • Da traiettoria e legge oraria si ha una descrizione

completa del moto del punto (descrizione intrinseca).


r t( ) = P t( ) O

P t( )

Os t( )s = s t( )

15

Descrizione cartesiana del moto

• Una descrizione alternativa consiste nell’assegnare le 3 coordinate cartesiane x, y e z del punto P in funzione del tempo (descrizione cartesiana).

• Le equazioni parametriche, se il parametro è il tempo, forniscono una descrizione completa del moto del punto, diversa ma equivalente alla descrizione intrinseca.

• Se si sceglie l’origine degli assi cartesiani nel punto fisso O e si considera il corrispondente vettore posizionale, si ha:


x = x t( )y = y t( )z = z t( )

(equazioni parametriche con il tempo t come parametro)

r t( ) = P t( ) O = x t( ) ı + y t( ) ˆ + z t( ) k16

Il moto uniforme

• Moto uniforme: è il moto di un punto materiale che percorre archi di traiettoria di ugual lunghezza in intervalli di tempo uguali. La legge oraria si può perciò scrivere soltanto nella forma:

dove s0 è il valore di s all’istante t = 0 e v è un parametro (costante). Se la funzione s(t) non fosse di primo grado in t gli archi di traiettoria percorsi in intervalli di tempo uguali potrebbero non essere uguali.


s t( ) = vt + s

0

17

s0= OP 0( )

s(t) = OP t( ) P 0( ) P t( )

O

Velocità nel moto uniforme

• La velocità è un concetto introdotto per descrivere la “rapidità” con cui un punto materiale si sposta.

• Nel moto uniforme si ha:

per cui l’arco di traiettoria percorso nell’intervallo di tempo [t, t + t] è:


s0= OP 0( )

s(t) = OP t( )

s t + t( ) = OP t + t( )

P 0( ) P t( )

O

P t + t( )

s = s t + t( ) s t( ) = v t + t + s

0vt s

0= v t

funzione moltiplicazione

18

s t( ) = vt + s

0

Velocità nel moto uniforme (II)

• Il moto è tanto più rapido quanta più distanza s si percorre nello stesso intervallo di tempo t.

• Dall’espressione è evidente che il moto è tanto più rapido quanto maggiore è il parametro v.

• Chiamiamo perciò velocità nel moto uniforme il parametro v.

• Dall’espressione segue che il parametro v si può esprimere come:


s0= OP 0( )

s(t) = OP t( )

s t + t( ) = OP t + t( )

P 0( ) P t( )

O

P t + t( )

19

s = v t

s = v t

v =

s

t=

s t + t( ) s t( )t

(velocità nel moto uniforme)

Velocità nel moto vario (non uniforme)

• Nel moto vario (cioè non-uniforme) possiamo definire la velocità media:

tuttavia vm dipende, oltre che da t, anche da t (durante il tempo t la velocità può cambiare).

• Introduciamo allora la velocità istantanea:

• In simboli:

• La velocità istantanea è la derivata di s rispetto a t. DOMENICO GALLI - Cinematica 20

v

m=

s

t=

s t + t( ) s t( )t

v = lim

t 0v

m= lim

t 0

s

t= lim

t 0

s t + t( ) s t( )t

v =

d s

d t= s

La misura della velocità istantanea

• Volendo misurare sperimentalmente la velocità istantanea di un punto materiale utilizzando la formula:

occorre precisare operativamente il procedimento di misura, considerando la sensibilità, sempre limitata, degli strumenti di misura.

• L’intervallo di tempo t non può essere scelto piccolo ad arbitrio: – se t è più piccolo della sensibilità del cronometro utilizzato per la

misura, la misura di t dà risultato nullo. – se t è molto piccolo, può anche accadere che lo spostamento s sia

inferiore alla sensibilità dello strumento di misura della lunghezza. Di conseguenza la misura di s dà risultato nullo.


v = limt 0v

m= lim

t 0

s

t= lim

t 0

s t + t( ) s t( )t

21

La misura della velocità istantanea (II)

• Per misurare la velocità istantanea di un punto materiale utilizzando la formula:

occorre scegliere gli intervalli t e s in modo che: – Tali intervalli siano sufficientemente piccoli che lo stato di moto in

essi non subisca variazioni apprezzabili nel contesto che stiamo considerando (cioè data la precisione di cui abbiamo bisogno).

– Tali intervalli siano sufficientemente grandi da potere essere misurati con gli strumenti di misura di cui disponiamo.


v = limt 0v

m= lim

t 0

s

t= lim

t 0

s t + t( ) s t( )t

22

La velocità istantanea e la traiettoria nella fisica

microscopica

• La limitazione del concetto di velocità istantanea non è dovuta soltanto nella limitazione della sensibilità degli strumenti di misura.

• I concetti di velocità istantanea (derivata dello spostamento rispetto al tempo) e di traiettoria (linea geometrica costituita da tutte le posizioni assunte dal punto durante il suo moto) di un punto materiale hanno senso soltanto se un punto materiale ha una posizione definita in ogni istante di tempo.

• Lo studio sperimentale del moto delle particelle atomiche e sub-atomiche mostra che esse non hanno una ben definita posizione in un certo istante di tempo:

– I concetti di traiettoria e di velocità istantanea perdono significato nel caso delle particelle atomiche e sub-atomiche.


La velocità istantanea di un elettrone libero

• In particolare, risolvendo le equazioni del moto della meccanica quantistica (equazioni di Heisemberg) si trova che la misura di una componente della velocità istantanea di un elettrone libero può dare come risultato soltanto ± c (dove c è la velocità della luce nel vuoto).

• La velocità osservata degli elettroni, che è sempre una velocità media, è invece sempre minore di c.

• Segue che la velocità istantanea di un elettrone libero non è affatto costante, ma oscilla rapidamente (con velocità che può avere soltanto i valori ± c) attorno a un valore medio che è il valore osservato (zitterbewegung).


vm=

P t + t( ) P t( )t

Velocità vettoriale

• In un moto curvilineo la direzione del moto varia nel tempo. v contiene informazioni sulla rapidità di spostamento, ma non sulla direzione.

• Si può compendiare in un’unica grandezza fisica la rapidità del moto e la sua direzione.

• Consideriamo lo spostamento di un punto P in un intervallo t, ma invece di misurare lo spostamento lungo la traiettoria, consideriamo lo spostamento “in linea d’aria”, ovvero il segmento orientato:

• Possiamo ora definire la velocità media vettoriale:


P = P t + t( ) P t( )

O

P t( ) P t + t( )

P

25

Velocità vettoriale (II)


• Essa ha la stessa direzione dello spostamento e modulo tanto più grande quanto maggiore lo spostamento (“in linea d’aria”) compiuto in un intervallo di tempo fissato.

• Si può definire anche la velocità istantanea vettoriale:

che dunque è la derivata del punto (o del vettore posizionale) rispetto al tempo.

• La direzione di è tangente alla traiettoria nel punto P(t):

v

v t( ) P t( )

O26

v = lim

t 0v

m= lim

t 0

P t + t( ) P t( )t

=d P

d t= P

Velocità vettoriale (III)

• Poiché nel limite di un arco infinitesimo, la corda approssima l’arco, si ha:

per cui il modulo della velocità vettoriale è uguale alla velocità scalare prima definita:


s=v

P t + t( ) P t( ) t 0s t + t( ) s t( )

corda arco

P t( )

P t + t( )s t + t( ) s t( )

P t + t( ) P t( )

arco

corda 27

Rappresentazioni della velocità

• Se chiamiamo un versore tangente alla traiettoria, col verso concorde a quello del moto, si ha:

(rappresentazione intrinseca della velocità). • Se deriviamo l’espressione:

considerando che i versori cartesiani sono costanti:

(rappresentazione cartesiana della velocità).


t

ˆst=v

P O = x ı + y ˆ + z k

v = x ı + y ˆ + z k

d

d xf x( )g x( ) = f x( )g x( ) + f x( )g x( )

d

d txı = xı + xı =

ı costante

xı

28

Velocità areolare

• Si definisce velocità areolare l’area spazzata dal vettore posizionale nell’unità di tempo:


P t + t( )

P t( )

O H

v

S

P t + t( )

P t( )

O

A = limt 0

S

t

S1

2P t( ) O

base

P t + t( ) H

altezza

=

=1

2P t( ) O P t + t( ) P t( ) sin

A limt 0

1

2P t( ) O

P t + t( ) P t( )t

sin =

=1

2P t( ) O lim

t 0

P t + t( ) P t( )t

sin( ) =

=1

2P O v sin

t 0

sin( ) = sin

29

Velocità areolare (II)

• Possiamo definire la velocità areolare come vettore:

• In tal caso essa risulta perpendicolare al piano del moto. • La velocità areolare è pari alla metà del momento della

velocità rispetto al centro di riduzione O.


A =

1

2P O( ) v

30

S

P t + t( )

P t( )

O

Accelerazione

• Rappresenta quantitativamente la rapidità con cui varia la velocità di un punto.

• Possiamo quindi definire accelerazione media il rapporto:

e accelerazione istantanea il limite:

• In simboli:


a

m=

v

t=

v t + t( ) v t( )t

a = lim

t 0

v

t= lim

t 0

v t + t( ) v t( )t

a = v =dv

d t= P =

d2 P

d t2

31

Espressione intrinseca dell’accelerazione

• Derivando rispetto al tempo l’espressione:

• Si ottiene (derivata di un prodotto di funzioni):

• Dobbiamo valutare , che si può anche scrivere nella forma:

• Consideriamo inizialmente una traiettoria circolare e cerchiamo di determinare:


t

t =d t

d t=

d t

d s

d s

d t=

d t

d ss

v = st

a = st + st

d t

d s= lim

s 0

t

s

d

d xf x( )g x( ) = f x( )g x( ) + f x( )g x( )

N.B.:t = tempo

t = versore tangente alla traiettoria

32

Espressione intrinseca dell’accelerazione (II)


t

P s + s( ) P s( )=

t s( )r

=1

r

t =P s + s( ) P s( )

r

t s + s( )

triangoli isosceli simili (hanno gli angoli rispettivamente uguali:

, ( )/2, ( )/2).

t s( )

t = t s + s( ) t s( )

O

P s + s( )

P s( )

t s + s( )

t s( )

r

r

O s = 0( )

P s + s( ) P s( )

33

Espressione intrinseca dell’accelerazione (III)


t s( )

t = t s + s( ) t s( )

O

P s + s( )

P s( )

t s + s( )

t s( )

r

r

O s = 0( )

P s + s( ) P s( )

t s + s( )

=2

lim0

= lim0 2

=2

s 00 t t

s 0

34

Espressione intrinseca dell’accelerazione (IV)

• dove è il versore radiale centripeto, detto normale alla traiettoria.

• Vogliamo ora passare da una traiettoria circolare a una traiettoria curvilinea qualunque.


d t

d s= lim

s 0

t

s= lim

s 0

1

s

P s + s( ) P s( )r

=

=1

rlims 0

P s + s( ) P s( )s

=1

r

n

d t

d s=

1

r

t ts 0

d t

d s=

1

rn, n = vers t( )

t s( )t s + s( )

tO

P s + s( )

P s( )

t s + s( )

t s( )

r

r

O s = 0( )

P s + s( ) P s( )

n

corda

arco

35

Piano osculatore e circonferenza osculatrice

• Si può passare da una traiettoria circolare a una traiettoria generica approssimandone ogni tratto infinitesimo con un arco di circonferenza.

• La geometria analitica dimostra che in generale questo arco infinitesimo esiste: – Fa parte di una circonferenza detta osculatrice alla traiettoria in P, – Giace su di un piano detto piano osculatore della traiettoria in P; – Ha un raggio detto raggio di curvatura della traiettoria in P.

• Per individuare piano osculatore e circonferenza osculatrice: – Si prendono 3 punti sulla traiettoria:

• Infinitamente vicini ma non coincidenti; – Per 3 punti non coincidenti passa un solo piano

(piano osculatore) e una sola circonferenza (circonferenza osculatrice).


P

n

tb = t n

Espressione intrinseca dell’accelerazione (V)

• Dato un punto P su di una traiettoria curvilinea definiamo 3 versori che indicano 3 direzioni notevoli: – Vesore tangente il versore tangente alla traiettoria nel punto P. – Versore normale il versore perpendicolare alla traiettoria con verso

centripeto (diretto verso il centro della circonferenza osculatrice). – Versore binormale il versore perpendicolare al piano

osculatore. • Indicando con il raggio di curvatura, si ha, per una

traiettoria qualunque:


d t

d s=

1n

37

P

n

tb = t n

n

b = t n

t

Espressione intrinseca dell’accelerazione (VI)

• L’espressione intrinseca dell’accelerazione diviene quindi:

• Mentre la velocità è sempre tangente alla traiettoria, l’accelerazione possiede una componente tangenziale e una normale. – Se il moto è rettilineo ( ) la componente normale si annulla e

rimane soltanto la componente tangenziale. – Se il moto è uniforme ( costante) la componente tangenziale si annulla

e rimane soltanto la componente normale.


a = st + st = st + sd t

d s

d s

d t= st + s2 d t

d s= st + s2 1

n

s

a = st +s2

nLa componente binormale dell’accelerazione, ovvero componente in direzione è sempre nulla. b = t n

38

Nota bene

• Si osservi che, per le grandezze cinematiche vettoriali vale:

mentre per le grandezze cinematiche scalari non vale altrettanto:


v = r = P

a = v = r = P

v = v = s

a = a = aia = st + s2 1n • st + s2 1

n =

= s2+

s4

2s

39

Espressione cartesiana dell’accelerazione

• Derivando rispetto al tempo l’espressione cartesiana della velocità:

essendo i versori cartesiani costanti, si ottiene l’espressione cartesiana dell’accelerazione:


v = x ı + y ˆ + z k

a = x ı + y ˆ + z k

ı, ˆ e k

d

d xf x( )g x( ) = f x( )g x( ) + f x( )g x( )

d

d txı = xı + xı =

ı costante

xı

40

Esercizio 1

• Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea. • Al tempo t = 0 il punto materiale si trova in quiete. • Il punto materiale accelera con accelerazione:

• Trovare la velocità istantanea raggiunta e lo spazio percorso dopo:

• = 775.


a t( ) = kt2 , con k =

+1

1000m s4

2 +1

100s

41

Esercizio 1 (II)

• La velocità raggiunta si trova integrando l’accelerazione:

• Lo spazio percorso si trova integrando la velocità:

• Nel nostro caso:


v t( ) = a t( )d t0

t

= kt 2 d t0

t

= kt 3

30

t

= kt3

3

s t( ) = v t( )d t0

t

= kt 3

3d t

0

t

= kt 4

120

t

= kt4

12

k =+1

1000m s4

=775+1

1000m s4

= 0.776m s4

t =2 +1

100s =

2 775+1

100s = 15.51s

42

Esercizio 1 (III)

• Da cui:


v = kt3

3= 0.776

15.513

3= 965m s

s = kt4

12= 0.776

15.514

12= 3740m

43

Esercizio 2

• Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio r = 3 m, su cui può scorrere senza attrito.

• Esso si muove secondo la legge oraria:

con:

• Calcolare la componente tangenziale e la componente normale dell’accelerazione dopo 1 s.

• = 384.


s t( ) = kt3

k =

+1

200m/s3

44

Esercizio 2 (II)

• Le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione si scrivono:

• Troviamo le derivate di s:

• Nel nostro caso:


at= s

an=

s2

r

s t( ) = kt3

s t( ) = 3kt2

s t( ) = 6kt

k =+1

200m/s3

= 1.925m/s3

45

Esercizio 2 (III)

• Avremo perciò:


at

t( ) = s t( ) = 6kt

an

t( ) =s2 t( )

r=

9k 2t4

r

at

t( ) = 6 1.925 1= 11.6m s2

an

t( ) =9 1.9252 14

3= 11.1m s2

46

Esercizio 3

• Un punto materiale viene lanciato dalla superficie terrestre con velocità v0 = 100 m/s, a un angolo di rispetto alla verticale.

• Calcolare il raggio di curvatura del punto materiale subito dopo il lancio.

• = 239.


=9

100°

v0

47

Esercizio 3 (II)

• Come per tutti i corpi liberi in prossimità della superficie terrestre, l’accelerazione ha modulo g = 9.81 m/s2 ed è diretta lungo la verticale, verso il centro della terra (vedi figura).

• L’accelerazione si può pertanto scomporre in due componenti ortogonali: la componente tangenziale at, con la stessa direzione della velocità e la componente normale an, con direzione perpendicolare alla velocità.

• La componente normale è legata al raggio di curvatura dalla relazione:

• Conoscendo an si può quindi calcolare il raggio di curvatura.


v0

a = g

at= g cos

an= g sin

an=

v2

48

Esercizio 3 (III)

• Nel nostro caso abbiamo:


= 9

100° = 9

100239° = 21.51°

an= g sin = 9.81 sin 21.51°( ) = 3.60m s2

=v

2

an

=100 100

3.60= 2780m

49

v0

a = g

at= g cos

an= g sin

Esercizio 4

• Un punto materiale si muove in un piano seguendo la legge oraria:

• Trovare il raggio di curvatura della traiettoria nei due seguenti casi: – Il modulo dell’accelerazione è costante: a = 2k. – Il modulo dell’accelerazione cresce con il tempo, secondo la legge:


s t( ) = kt2 , con k = 0.25m s2

a t( ) = 2k 1+t

T

4

, con T = 7s

50

Esercizio 4 (II)

• Nella sua espressione intrinseca, l’accelerazione si può scrivere come:

• Essendo i versori e perpendicolari tra loro, si ha:

• Da questa relazione possiamo ricavare il raggio di curvatura:


a = st +s2

n

a2= a ia = st +

s2

n i st +s2

n = s2 t i t

1

+s4

2ni n

1

+ 2ss2

ni t

0

=

= s2+

s4

2

a2 s2=

s4

2=

s2

a2 s2

51

Esercizio 4 (III)

• Nel nostro esercizio, abbiamo:

• Nel primo caso l’accelerazione è costante (a = 2k) e avremo:

• Poiché raggio di curvatura è infinito, la traiettoria è rettilinea.


s t( ) = kt2 , con k = 0.25m s2

s t( ) = 2kt

s t( ) = 2k

=s2

a2 s2=

4k 2t2

a2 4k 2

=4k 2t2

a2 4k 2 a 2k

52

Esercizio 4 (IV)

• Nel secondo caso il modulo dell’accelerazione aumenta col tempo secondo la legge:

• Avremo:

• Poiché il raggio di curvatura è costante, la traiettoria è circolare.


a t( ) = 2k 1+t

T

4

, con T = 7s

=4k 2t2

a2 4k 2=

4k 2t2

4k 2 1 +t

T

4

4k 2

=4k 2 t2

2 kt2

T 2

= 2kT 2 cost

53

Esercizio 4 (V)

• Il raggio di curvatura è dato da:


k = 0.25m s2

T = 7s

= 2kT 2= 2 0.25

m

s249 s2

= 24.5m

54

Esercizio 5

• Un punto materiale si muove in un piano. • A partire da un certo istante i moduli della velocità e

dell’accelerazione diminuiscono con il tempo secondo le leggi:

• Trovare: – la legge oraria. – la forma della traiettoria per tutti i valori ammissibili di k.


v t( ) =L

t + T, a t( ) =

kL

t + T( )2

55

Esercizio 5 (II)

• Troviamo innanzitutto la legge oraria:


s t( ) = v t( ) =L

t + T

s t( ) = s t( )d t0

t

=L

t + Td t

0

t

= L ln t + T( )0

t

= L ln t + T( ) L lnT =

= L lnt + T

T= L ln 1+

t

T

s t( ) = L ln 1+t

T

56

Esercizio 5 (III)

• Troviamo ora la traiettoria. Ricordiamo dall’esercizio 4 che:

• In questo esercizio:


=s2

a2 s2

s t( ) = v t( ) =L

t + Ts t( ) =

dv

d t=

L

t + T( )2

a t( ) =kL

t + T( )2

=s2

a2 s2=

L2

t + T( )2

k 2 L2

t + T( )4

L2

t + T( )4

=L

k 2 1

57

Esercizio 5 (IV)

• Come si vede, per il raggio di curvatura risulterebbe immaginario, per cui non si ha né una traiettoria, né un moto reale.

• Per si ha:

il raggio di curvatura è infinito, e la traiettoria è rettilinea. • Per il raggio di curvatura è costante e finito e la

traiettoria è circolare.


=L

k 2 1

k 1,1 k 2 1< 0

k = ±1

=L

k 2 1k ±1

k 1,1

58

Esercizio 6

• Un punto materiale A si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità di modulo v = v0 = 3.0 m/s, lungo la retta y = d, con d = 30 m.

• Un secondo punto materiale B parte dall’origine, con velocità nulla e accelerazione costante, di modulo a = a0 = 0.40 m/s2, nello stesso istante in cui il punto materiale A attraversa l’asse y.

• Per quale angolo i due punti materiali collidono?


v

a

59

Esercizio 6 (II)

• Per quanto riguarda il punto A, si ha:

• Per quanto riguarda il punto B si ha invece:


vA

t( ) = v0ı

rA

t( ) rA

0( )d ˆ

= v d t0

t

= v0ı d t

0

t

= v0ı d t

0

t

= v0tı

rA

t( ) = v0tı + d ˆ

vB

t( ) vB

0( )0

= aB

t( )d t0

t

= a0ı sin d t

0

t

+ a0ˆcos d t

0

t

=

= a0ı sin d t

0

t

+ a0ˆcos d t

0

t

=

= a0

ı sin + ˆcos( )t

a

Bt( ) = a

0ı sin + a

0ˆcos

60

v

a

Esercizio 6 (III)

• La collisione si verifica se e soltanto se esiste un istante t in cui:


vB

t( ) = a0

ı sin + ˆcos( )t

rB

t( ) rB

0( )0

= vB

t( )d t0

t

= a0

ı sin + ˆcos( )td t0

t

= a0

ı sin + ˆcos( ) td t0

t

=

= a0

ı sin + ˆcos( )t2

20

t

=1

2a

0ı sin + ˆcos( )t2

rB

t( ) =1

2a


rA

t( ) = rB

t( )

v0tı + d ˆ =

1

2a


61

v

a

Esercizio 6 (IV)

• Questo sistema di equazioni deve essere risolto nelle incognite t e :


v0tı + d ˆ =

1

2a


v0t =

1

2a

0t2 sin

d =1

2a

0t2 cos

v0t =

1

2a

0t2 sin

t = 0

t =2v

0

a0sin

d =1

2a

0t2 cos

d = 0 (impossibile)

d =1

2a

0cos

2v0

a0sin

2

sin2=

2v0

2

a0d

cos

62

v

a

Esercizio 6 (V)


sin2=

2v0

2

a0d

cos 1 cos2=

2v0

2

a0d

cos

cos2+

2v0

2

a0d

cos 1= 0 cos =v

0

2

a0d±

v0

2

a0d

2

+1

cos =32

0.4 30±

32

0.4 30

2

+1 = 0.75 ± 0.752+1 = 0.75 ± 1.5625

cos = 0.75 ±1.25 =0.5

2 impossibile, cos 1,1( )

cos = 0.5 = 60° =3

rad

63

v

a

Esercizio 7

• Un punto materiale viene lanciato in direzione orizzontale da un’altezza h0 rispetto al suolo, con velocità v0.

• Trascurando la resistenza dell’aria si calcolino le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione del punto materiale, in un generico punto di altezza h;


Esercizio 7 (II)

• Il punto materiale è soggetto all’accelerazione di gravità, costante, diretta lungo la verticale e con verso in basso:

• Integrando e scegliendo, per semplicità, t0 = 0, si ha:

• Integrando nuovamente:


v0

a

a t( ) = gk

v t( ) v0= v t( ) v0

ı = a t( )d t =t0

t

gk d t =t0

t

gk d t =t0

t

gk t t0( )

v t( ) = v0ı g t t

0( ) k = v0ı gtk

r t( ) r0= v t( )d t

t0

t

= v0ı gtk( )d t

t0

t

= v0ı d t

t0

t

gk t d tt0

t

=

= v0ı t

t0

t

gkt2

2t0

t

= v0t ı

gt2

2k

65

Esercizio 7 (III)

• Per rispondere alla domanda, occorre scrivere a e v in funzione di z. a è costante, mentre, per quanto riguarda v si ha:


r t( ) r0= r t( ) h

0k = v

0t ı

1

2gt2k

r t( ) = v0t ı + h

0

1

2gt2 k

r t( ) = v0t ı + h

0

1

2gt2 k

x t( ) = v0t

z t( ) = h0

1

2gt2 t =

2

gh

0z

v t( ) = v0ı gtk = v

0ı g

2

gh

0z t( ) k

v z( ) = v0ı 2g h

0z k

66

v0

a

Esercizio 7 (IV)

• I componenti tangenziale e normale dell’accelerazione si possono scrivere come:

• Avremo dunque:


at= aiv( )v componente di a nella direzione v( )

an= a aiv( )v essendo a

n+ a

t= a a

n= a a

t( )

at= aiv =

aiv

v

=

gki v0ı 2g h

0z k( )

v0ı 2g h

0z k

=g 2g h

0z

v0

2+ 2g h

0z

at= aiv( )v = aiv( )

v

v

=g 2g h

0z

v0

2+ 2g h

0z

v0ı 2g h

0z k

v0

2+ 2g h

0z

=

=

g 2g h0

z v0ı 2g h

0z k( )

v0

2+ 2g h

0z

67

v0

a

Esercizio 7 (V)


at=

g 2g h0

z v0ı 2g h

0z k( )

v0

2+ 2g h

0z

an= a a

t= gk

g 2g h0

z v0ı 2g h

0z k( )

v0

2+ 2g h

0z

=

=gk v

0

2+ 2g h

0z( ) g 2g h

0z v

0ı + g 2g h

0z 2g h

0z k

v0

2+ 2g h

0z

=

=gv

0

2k g 2g h0

z v0ı

v0

2+ 2g h

0z

an= a

n=

gv0

2( )2

+ g 2g h0

z v0( )

2

v0

2+ 2g h

0z

68

v0

a

Esercizio 8

• Un dardo viene lanciato orizzontalmente nella direzione del centro di un bersaglio, alla velocità di 10 m/s.

• Dopo 0.19 s essa si conficca nel punto Q, sotto il centro P. • Quanto vale la distanza PQ? • Quanto dista il lanciatore dal bersaglio?


Esercizio 8 (II)

• Le equazioni parametriche del moto si scrivono:

• All’istante t = 0.19 s si ha:

• Avremo perciò:


v0 P

Q

r t( ) = v

0t ı

1

2gt2 ˆ

r 0.19s( ) = 10m s 0.19s ı1

29.81m s

20.192 s2 ˆ =

= 1.9m ı 0.177 m ˆ

70

Esercizio 9

• Un punto materiale si muove lungo una guida circolare di raggio pari a r = 3.64 m.

• L’accelerazione del punto materiale è costante in modulo e forma un angolo = 22.0º, costante, con la direzione radiale.

• A un certo istante la velocità del punto materiale ha modulo pari a 17.4 m/s. – Di quanto aumenta, in mezzo secondo il modulo della velocità? – Quanto vale il modulo dell’accelerazione?


v

a

71

Esercizio 9 (II)

• Ricordando l’espressione intrinseca dell’accelerazione:

si capisce che l’aumento del modulo della velocità ( ) dipende soltanto dalla componente tangenziale dell’accelerazione.

• Noi conosciamo la componente normale dell’accelerazione (perché conosciamo la velocità e il raggio) e la sua inclinazione rispetto al raggio; da questi dati possiamo calcolare la componente tangenziale dell’accelerazione.

• La componente normale dell’accelerazione vale:


a = att + a

nn = st +

s2

n

an=

s2

=17.4m s( )

2

3.64m=

302.76 m 2 s2

3.64 m= 83.18 m s2

72

v

a

Esercizio 9 (III)

• Sappiamo inoltre che:

• L’aumento in 0.5 s del modulo della velocità sarà, essendo costante la componente tangenziale dell’accelerazione:


an= acos

at= asin

a =a

n

cos

at=

an

cossin = a

ntan

at= a

ntan = 83.18m s2 tan22° = 83.18m s2 0.40 = 33.6m s2

a =a

n

cos=

83.18m s2

cos22°=

83.18m s2

0.927= 89.7m s2

v = s t = at

t = 33.6m s 2 0.5 s = 16.8m s

73

v

a

https://lhcbweb.bo.infn.it/twiki/pub/GalliDidattica/WebHome/CO-META-cinematica.pdf

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected]

http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

cinematica - istituto nazionale di fisica nucleare · cinematica (iii) • principio di relativit...

Documents