cinemática, dinâmica e equilibrio de motores

8/17/2019 Cinemática, Dinâmica e Equilibrio de Motores

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Cinemática, dinâmica e equilíbriode motores

Conteúdo:

- Cinemática do mecanismo biela manivela. Conceitos fundamentais e designações- As relações cinemáticas no mecanismo da biela e manivela central- As relações cinemáticas no mecanismo da biela e manivela descentralizado- Dinâmica do mecanismo biela manivela- Redução de massa- Forças que atuam sobre o mecanismo biela manivela

- Ordem de funcionamento do motor- Equilibrado de motor de um cilindro- Equilibrado de motores em línea- Equilibrado de motores em V- Uniformidade de giro do motor- Cálculo dinâmico de um motor de combustão


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Cinemática do mecanismo biela manivela. Conceitos fundamentais e designações.

Figura 153. Mecanismo biela manivela do motor alternativo

O mecanismo biela manivela do motor alternativo (Fig. 153,a), constituído pela manivela 1, a biela 2 eo pistão 3, serve para transformar o movimento alternativo do pistão em movimento de rotação damanivela.A manivela é um dos cotovelos do virabrequim do motor e está formada pelos mancais de apoio 4, quegiram nas bronzinas, e pelo mancal de biela 5, unido rigidamente aos mancais de apoios pelos dois braços 6 da manivela.Existem estruturas de motores nos quais entre dois mancais de apoio se encontram duas manivelas. Na prolongação dos braços estão os contrapesos 7 . A biela está articulada por sua cabeça com o mancal de biela da manivela e por seu pé com o passador do pistão.De acordo com os diferentes esquemas estruturais se distinguem os seguintes tipos de mecanismos biela manivela:

1. Central ou axial (Fig. 153,a), no qual o eixo do cilindro corta o eixo do virabrequim.2. Descentrado (Fig. 153,b), no qual o eixo do cilindro nao corta o eixo do virabrequim. O eixo do

cilindro do motor com mecanismo de biela manivela descentrado está deslocados com relação aoeixo do virabrequim, na direção da rotação, uma magnitude e (descentrado). O valor de estedeslocamento não supera o 10% do deslocamento do pistão.

3. Mecanismos viela manivela em VA velocidade angular do virabrequim se define como a primeira derivada do deslocamento angular comrelação ao tempo. Para velocidades constantes, pode-se expressar em função das rpm (n):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈== s

rad n

n

dt

d 1047,0

60

2π ϕ ω

O deslocamento angular da manivela quando ω = const., se determina por:


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[ ]rad t = ou:

[ ]ont t nt 630

180180=⋅==

π

π ω

π ϕ

A velocidade circular do eixo do mancal de biela é: Rva =

Ao girar a manivela se produz uma aceleração centrípeta, de magnitude constante e em direção ao centroseguindo o radio da manivela:

Ra2

ω ϖ =

Cinemáticas no mecanismo da biela e manivela central.Deslocamento do pistão de um mbm central

Curso SAE Brasil

Quando o virabrequim gira um ângulo α , o pistão se desloca do PMS a magnitude:

Se = Bo B = B

oO - (OC + CB), (1)


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onde:

BoO = L + R, (2)

OC = OA cosα = R cosα , (3)

CB = AB cos β = L cos β . (4) Se tem que:

Se = L + R – (R cosα + L cos β ). (5)

Tirando R do parêntesis obteremos que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+= β α coscos1 R

L

R

L RSe , (6)

considerando que

L

R=λ , (7)

e substituindo (7) em (6) se tem:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +−+= β λ

α λ

cos1

cos1

1 RSe . (8)

Para simplificar a equação obtida, podemos expressar cos β em função do ângulo α . Pelos

triângulos ACB e ACO se tem que:

CA = R senα = L sen β , (9)

de onde:

sen β = λ senα .. (10)

De trigonometria se sabe que:

sen2 β + cos2 β = 1, (11)

pelo que:

β β 2sen1cos −= . (12)

Substituindo (10) em (12):

α λ β 22 sen1cos −= . (13)

Substituindo (13) em (8):


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⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−+= α λ λ

α λ

22 sen11

cos1

1 RSe . (14)

A equação (14) é a dependência exata do deslocamento do pistão com o ângulo de giro do

virabrequim. A dupla derivada desta expressão, necessária para calcular a aceleração do pistão, resulta

muito grande e incomoda para sua utilização. Por esse motivo se simplifica a equação substituindo-a por

uma expressão aproximada, porem, o suficientemente exata. Para isso a expressão

( )21

2222 sen1sen1 α λ α λ −=− , (15)

que está na equação (14), se desenvolve em serie com o binômio de Newton.

Para casos gerais a serie binomial tem a forma:

( ) ( ) ( )( )

......321

21

21

1 33221 +⋅⋅

−−−

⋅−

+−=− −−− bannn

bann

bnaaba nnnnn (14)

Neste caso: a =1, b = λ 2 sen2α e n = ½, pelo que:

( )

( )α λ α λ α λ 44222

122 sen

21

121

21

sen2

11sen1

⋅

−+−=− (15)

de onde:( ) ( )

8

10.125

2

25.0

22

12

1

21

121

21

=−=−=−

=⋅

−.

Observa-se que nas condições mais desvantajosas, λ = 1/3 e α = 90o, o terceiro termo desta serie

será: 1/8(1/3)4 = 0,00154 e o segundo 1/2(1/3)2 = 0,055555. Então, o segundo termo representa um 5% do

primeiro e o terceiro um 0.154 %.

Pelo tanto, com suficiente aproximação, se podem tomar os dois primeiros termos só:

( ) α λ α λ 222122 sen211sen1 −=− (16)

Substituindo a eq. (16) em (14):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−+= α λ λ

α λ

22 sen2

11

1cos

11 RSe . (17)

É muito útil simplificar ainda mais a expressão de Se. Para isso podemos deixar ela em função só

de cosα :


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Lembrando de trigonometria que o sen quadrado da metade de qualquer ângulo é:

2

cos1

2sen 2

α α −= , (18)

então, para todo o ângulo, o sen quadrado do ângulo completo teria a mesma forma porem o cos seria para

o dobro de dito ângulo:

2

2cos1sen 2

α α

−= , (19)

pelo tanto, substituindo (19) em (17):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+−+=2

2cos1

2

11

1cos

11 2

α λ

λ α

λ RSe (20)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+−+=2

2cos

2

1

2

11

1cos

11 2

α λ

λ α

λ RSe (21)

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +−+−+=4

2cos

4

11

1cos

11 22

α λ λ

λ α

λ RSe (22)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+−+= α λ λ λ

α λ

2cos4

1

4

11cos

11 RSe (23)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−−+= α λ λ λ

α λ

2cos4

1

4

11cos

11 RSe (24)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+= α λ

α λ

2cos4

cos4

1 RSe (25)

Que pode ser representada da forma seguinte:

α λ

α λ

2cos4

cos4

1 R R RSe −−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += .

A Figura a seguir se dão as curvas de deslocamento do pistão e seus componentes, assim como o

deslocamento do pistão que corresponde a cada grau de giro do virabrequim para diferentes valores de λ:


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Comprovemos se a equação aproximada (25) é válida:

Quando α = 0o, cos 0o = 1, pelo tanto 04

14

1 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+= λ λ

RSe .

Quando α = 90o, cos 90o = 0 e cos 180 = 0, pelo tanto ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=2

1 λ

RSe .

Quando α = 180o, cos 180o = -1 e cos 360 = 1, pelo tanto

R R RSe 21

11

14

14

1 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−+=λ λ

λ λ .

Por conseguinte, quando girar o virabrequim os primeiros 90o, o deslocamento do pistão desde seu

PMS é consideravelmente maior que quando gira os seguintes 90o (α = 180o). Isto se explica porque o

pistão se movimenta influenciado por duas causas:

• o deslocamento da biela ao largo do eixo do cilindro

• o desvio do eixo da biela do eixo do cilindro.

Velocidade do pistão

Com exatidão suficiente para os cálculos, a equação da velocidade do pistão ve , se obtém,

derivando com relação ao tempo a equação (25):

α λ

α λ

2cos4

cos4

R R R RSe −−+=


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⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−−=⋅==

α

α λ α

α

λ

α

α α

α ω

α

α

d

d R

d

Rd

d

d R

d

dR

d

dSe

dt

d

dt

dSeve

2cos

42cos4

coscos

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=⋅== α λ

α ω α

α λ

α

α ω

α

α 22

4

2cos

4

cos sen R Rsen

d

d R

d

d R

d

dSe

dt

d

dt

dSeve

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += α λ

α ω 22

sen sen Rve . (26)

α λ

ω α ω 22

sen R sen Rve +=

Na figura a seguir se apresentam as curvas da velocidade do pistão e seus componentes. A

velocidade do pistão se considera positiva quando o pistão desce.

Da equação (26) se deduz que quando α = 0o (PMS) e α = 180o (PMI) ve = 0. Lógico, estes valores

de ângulos correspondem aos PMS e PMI respectivamente, onde o pistão se detém. Já para α = 90o, ve =

ω R. Esta seria a velocidade máxima do pistão?. A resposta é NÃO. Para determina o ângulo

correspondente à velocidade máxima do pistão, se deriva a equação (26) com relação a α e se iguala a

zero:

( ) 02coscosmaxmax

2 =+=ee vv

e Rd

dvα λ α ω

α (27)

Dos cálculos se deduze que:


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quando 33,03

1==λ ,

o

ve5,73

max=α e ω Rve 05,1max ≈

quando 25,04

1==λ ,

o

ve75

max=α e Rve 03,1max ≈

quando 01

=∝

=λ ,o

ve90

max=α e ω Rve ≈max

A velocidade media do pistão, que é um parâmetro de classificação, é um dos fundamentos da

teoria da semelhança dos motores. Este parâmetro se utiliza com freqüência para apreciar a qualidade do

motor.

Durante 1 minuto o virabrequim do motor da n voltas e o pistão recorre um caminho igual a 2Sn,

por tanto:

.2

3060

2ω

π R

SnSnv

med e ===

Para os motores de automóvel [ ] smv med e /1610 ÷= . Nos motores dos automóveis de carreira a velocidademedia do pistão alcança 22-36 m/s a 6000 - 14000 rpm.

Aceleração do pistão

Com exatidão suficiente para os cálculos, a equação da aceleração do pistão se pode obter

derivando a equação (26) com respeito ao tempo t :

( )α λ α ω α

α ϖ 2coscos2 +=⋅== R

d

dv

dt

d

dt

dv eee . (28)

Na Figura a seguir se representa a curva da aceleração do pistão e seus componentes (primeira e

segunda harmônica) em função do ângulo de giro do virabrequim.


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A aceleração do pistão é positiva se seu vetor esta dirigido para o eixo do virabrequim. No PMS a

aceleração é sempre positiva e no PMS é negativa independentemente da direção em que se mova o

pistão. No instante em que a biela e a manivela formam um ângulo reto a aceleração do pistão é nula.

Os valores extremos da aceleração do pistão se podem encontrar pela equação (28), igualando a

zero a sua derivada:

( ) ( ) .0cos4122 =+−=+−= α λ α ω α λ α sen sen sendt d e

Dos cálculos se deduz que quando:

ϕ =0o ( )λ ω ϖ += 12max Re ;

quando ϕ=180o ( )λ ω ϖ −−= 12.min Re ;

e quandoλ

ϕ 4

1cos −= .

8

12 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−= λ λ

ω ϖ Re

Nos motores de ciclo Otto de automóvel a aceleração do pistão chega a 22.000 m/s2, e nos motores

dos automóveis de competição, até 36.000-93.000 m/s2 a 6.000-14.000 rpm.

Para acelerar os cálculos dos parâmetros cinemáticos do mecanismo de biela e manivela central, os

valores das magnitudes( )

β

β α

ω cos;

2

+ sene

R R

S ee , de acordo com o ângulo de giro do virabrequim α para

diferentes valores de λ, se determinam por umas tabelas especiais.


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Cinemáticas no mecanismo da biela e manivela descentralizado

Introduzindo o descentralizado se consegue:1) Diminuir a pressão do pistão sobre a parede do cilindro durante o percurso de trabalho e aumentar a

dita pressão durante o percurso de compressão, o que contribui para que o desgaste do motor seja maisuniforme;

2) Um pequeno aumento do percurso do pistão, que permite aumentar a cilindrada do motor e porconseguinte, sua potencia;

3) Diminuir a velocidade do pistão nas proximidades do PMS, com o que melhora o processo dacombustão a volume constante;

4) Aumenta a distancia entre o virabrequim e o comando de válvula, o que aumenta também o espaçonecessário para que a cabeça da biela possa girar sem dificuldade;

5) Melhorar a distribuição dos gases e diminuir as deformações do carter do motor (este ultimo problemanão esta todavia suficiente estudado).

A medida que aumenta o número de revoluções do motor perdem importância algumas dasvantagens indicadas, já que o trabalho de atrito depende consideravelmente do valor das forças de inércia,na qual não influencia o descentrado.Os motores com mecanismo de biela e manivela na qual o passador do pistão esta deslocado com relaçãoao eixo deste (estando os eixos do cilindro e do virabrequim situados em um mesmo plano) oferecem as

mesmas vantagens que os motores em que este mecanismo esta descentrado. A descentralização deles éda ordem de 0,01 – 0,03 de seu diâmetro.

Quando o valor desta descentralização é muito pequeno, o cálculo cinemático do mecanismo bielamanivela descentralizado se pode fazer pelas mesmas formulas que o do mecanismo central.

Na continuação se utilizará as seguintes designações: ϕ , ângulo de rotação da manivela, a partir dadireção do eixo do cilindro no sentido horário de rotação do virabrequim; ω , velocidade angular dovirabrequim, que se adota constante, ω = d ϕ /dt ; β , ângulo que forma o eixo da biela, no plano de seumovimento, com o eixo do cilindro; S , percurso do pistão, S=2R [onde R é o raio da manivela; L, acomprimento da biela, L=R/ λ (onde λ é um parâmetro adimensional)]; e, deslocamento do plano domovimento do eixo do passador com relação ao eixo do virabrequim, e=kR (onde k é o descentralizadorelativo).


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Fig. 216. Esquema dos mecanismos biela-manivela: a – central; b – descentralizado.

Os mecanismos biela-manivela se caracterizam por dois parâmetros adimensionais: a relação entreo raio da manivela e o comprimento da biela

30,0...25,0== L

Rλ

e o descentralizado relativo

15,0...0== R

ek .

O cálculo cinemático do mecanismo biela-manivela se realiza fundamentalmente para determinaro deslocamento, a velocidade e a aceleração do pistão.

O deslocamento do pistão S , desde seu ponto de partida A’ no PMS para o caso geral de ummecanismo descentralizado (Fig. 216, b) é

( ) .coscoscos'' 1 β R L R L DE AD E A A AS −−+=−−== (258)A obliqüidade β da biela pode encontrar-se na equação

e Lsen RsenCB +== β ,ou

( ) ( )k sen Le sen sen −=−= λ λ β / , (259)e

( ) .1cos 22 k sen −−= ϕ λ β


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Tomando em consideração os pequenos valores dos parâmetros λ e k , a expressão (259) éconveniente desenvolver-la em uma série segundo expoentes do pequeno parâmetro λ 2 e limitar-se aostermos de ordem λ 2 e k λ 2:

( ) ( ) ( ) .2cos14

12

1...82

1cos 22

222

44

22

ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ

ϕ λ

ϕ λ

β senk senk senk senk sen +−−=+−≈−+−−= .(260)

Substituindo a equação (258) a expressão aproximada obtida (260) encontramos:

( ) ( ) .2cos14

coscos 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+−= ϕ λ ϕ λ

ϕ ϕ senk RS (261)

O ângulo ϕ 1 correspondente a posição do pistão no PMS se fará a partir do triangulo A’EO:λ

λ

λ ϕ k

k

R L

e sen ≈

+=

+=

11.

Analogamente se determina o ângulo ϕ 2 para o PMI. no triangulo A’’EO:

.12

λ λ

λ ϕ k

k

R L

e sen −≈

−−=

−−=

Com uma precisão salvo as magnitudes de segunda ordem incluídas λ 2 e k λ ,3,571

ok ⋅= λ ϕ oo k 3,571802 ⋅+= λ ϕ

e .1coscos 21 == A carreira do pistão é

( ) ( ) .22

12coscos22

21 Rk

R R L R LS ≈⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≈−++=

λ ϕ ϕ

O deslocamento do pistão pode representar-se como a soma de dois componentes harmônicos –dos deslocamentos de primeira e segunda ordem: S=S I +S II .

Com a precisão anteriormente desenvolvida, o primeiro harmônico é:( ) ( )[ ],cos1cos1 λ ∆−−=−−= R senk RS I

ondeok 3,57⋅=∆ λ ϕ .

O segundo harmônico

( ).2cos4

ϕ λ λ

−= RS II

A magnitude do deslocamento do primeiro harmônico ∆ϕ é pequena e praticamente se podedepreciar.

A velocidade do pistão é igual à derivada com relação ao tempo das expressões (258) e (261):( )

,cos22cos 1 II

k sen sen R sen R

dt

d

dt

dsυ υ ϕ λ ϕ

λ ϕ ω

β

β ϕ ω ϕ υ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+≈+

=⋅= (262)

onde


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( ) ( )

.22

;cos

ϕ λ

ω υ

ϕ ϕ ω ϕ λ ϕ ω υ

sen R

sen Rk sen R

II

I

=

∆−=−=

A velocidade do pistão se faz igual a zero nos pontos mortos, quer dizer, quando ϕ = ϕ 1 e ϕ = ϕ 2.Sendo ϕ igual a 90

e 270o, a biela realiza um movimento de deslocamento e a velocidade do pistão é iguala velocidade circular do eixo do mancal de biela do virabrequim (υ = ± u = ± Rω ). Esta velocidade seria amáxima velocidade do pistão para λ = 0. O segundo harmônico υ II que tem em conta a distancia finita da biela desloca a máxima velocidade υmax. na direção do PMS. Com a precisão adotada, a velocidade

( )2/12

max λ ω υ υ +== R paraoo

3,5790 ⋅−= λ ϕ eoo

3,57270 ⋅+= λ ϕ .A velocidade media do pistão durante seu movimento entre os pontos mortos é

30/. Sn pm =υ .

Derivando com respeito ao tempo a expressão (262) da velocidade do pistão, obteremos aaceleração

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+===

β

ϕ λ

β

β ϕ ω

ϕ

ϕ

υ υ 2

22

cos

cos

cos

cos

` R

dt

d

d

d

dt

d a

( ) II I aa senk R +=++≈ ϕ λ ϕ λ ϕ ω 2coscos2

onde

( ) ( )ϕ ϕ ω ϕ λ ϕ ω ∆−=+= coscos22

R senk Ra I ;.2cos2 ϕ λ ω Ra II =

A aceleração máxima segundo seu valor absoluto ( ) 2.max 1 ω λ Ra += se alcança quando .λ k = Aaceleração tende a zero naqueles pontos, nos quais a velocidade do pistão tem seu máximo valor. Para λ >0,25, perto do PMI quando ( )λ ϕ 4/1cos180 ar o ±= aparecem dois extremos adicionais da aceleração.


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Fig. 217. Construção das curvas com uma precisão salvo as magnitudes de segunda ordem: a- deslocamento do pistão; b- velocidade do pistão; c- aceleração do pistão

As funções de deslocamento, velocidade e aceleração do pistão com respeito ao ângulo de giro damanivela é mais cômodo construí-las somando os harmônicos respectivos. Esta construção se ilustra na

Fig. 217 para um mecanismo cujo valor de k=0 e com uma magnitude de λ mais elevada (λ = 0,4) paramaior claridade.

A influencia do descentralizado relativo k ≠ 0, com a precisão adotada, se refere somente aodeslocamento dos primeiros harmônicos S I , υ I e a I em um pequeno ângulo ( )ok 3,57⋅=∆ λ ϕ .

A cinemática da biela se determina por seu ângulo de rotação β , que integra a expressão (259).Diferenciando esta equação em relação ao tempo, obteremos a relação

dt

d

dt

d ϕ λ

β β coscos = ,

da qual se obtém a velocidade angular da biela


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( )ϕ ϕ ωλ β

ωλ β

ω ∆−≈== coscos

cos

dt

d b .

A aceleração angular da biela será

( ).cos

cos

cos2

3

22 ϕ ϕ λ ω

β

β ϕ λ

β

ϕ λ ω

ω ε ∆−−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−−== sen

sen sen

dt

d bb


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Dinâmica do mecanismo biela manivela

FORÇAS QUE ATUAM NO MECANISMO BIELA-MANIVELA CENTRALIZADO EDESCENTRALIZADO

A análise das forças que atuam no mecanismo biela-manivela é indispensável para calcular aresistência mecânica das peças do motor e para determinar as cargas sobre as bronzinas. Esta análise se

efetua para um determinado regime de funcionamento do motor. Em concordância com o métodocinético-estático, ao calcular o mecanismo biela manivela do motor se consideram as cargas provenientesdas forças de pressão dos gases no cilindro e as forças de inércia das massas em movimento, mesmo queas forças de fricção se depreciam. O caráter do motor se considera imóvel e se adota que o virabrequimgira com velocidade angular constante. Ademais, as forças de inércia das massas em movimento domecanismo biela manivela se dividem em forças de inércia das massas com movimento alternativo (sub-índice i) e forças de inércia com movimento giratório (sub-índice R).

A pressão dos gases sobre o pistão p g = f (S ) e, respectivamente, a força de pressão dos gases P g = p g F p (onde F p é a área do pistão) se determinam do diagrama indicado, a qual se constrói a partir dosresultados do cálculo térmico (que geralmente se faz para a potencia nominal e a velocidade de rotaçãorespectiva). Para reconstruir graficamente este diagrama, obtendo o desenvolvimento em função do

ângulo de rotação do virabrequim p g = f (ϕ ), aplicando a equação (258) se calcula o deslocamento do pistão S e se traçam no diagrama desde o PMS (Fig. 218, a e b) os valores correspondentes a cada ângulodeterminado (praticamente cada 15 ou 30o) de rotação do virabrequim.


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Fig. 218. Construção das curvas das forças que atuam no mecanismo biela manivela em função do giro dovirabrequim: a- força de pressão dos gases P g e a soma das forcas P g + P i, que atuam sobre o pé da biela;

b- força de inércia P i; c- força lateral N ; d- força normal Z ; e- força tangencial T .

A pressão dos gases no cilindro do motor (Fig. 219) origina a força P ’ g , aplicada no cabeçote. Esta forçaatua no comprimento do eixo do cilindro, sua magnitude e igual, mas esta em sentido contrario à força P g que atua sobre o pistão.


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Fig. 219. Forças P g e P i que atuam no mecanismo biela manivela.

Para determinar as forças de inércia e necessário conhecer as massas das peças do mecanismo biela manivela. Com a finalidade de simplificar os cálculos, o mecanismo real biela manivela ésubstituído por um sistema dinâmico equivalente de massas concentradas. Todas as peças moveis sesubdividem em grupos de acordo com o caráter de seu movimento:

1. Peças que efetuam um movimento alternativo ao longo do eixo do cilindro (grupo pistão). Amassa do pistão com os anéis e o passador se considera concentrada no eixo deste último e sedesigna por m p.

2. Partes giratórias do virabrequim. As massas destas peças se substituem por uma massa que esta

reduzida ao raio R da manivela e se designa por m R. A redução se efetua mantendo ascondições de igualdade entre as forças centrifugas de inércia das massas reais e a massareduzida. A massa do mancal de biela mm.b com as partes adjacentes dos braços (Fig. 220, a ) se adotaconcentrada no meio do eixo do mancal e visto que seu centro de gravidade está a um distancia R do eixo do virabrequim, não se requer a redução desta massa.A massa da parte central do braço mbr seguindo o contorno abcd, cujo centro de gravidade seencontra a um raio ρ se reduz ao raio R. Da condição de igualdade das forças centrifugasmbr ρω

2 = mbrR Rω

2 temos


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Rmm br brR

ρ = .

A massa reduzida de toda a manivela

.22 .. R

mmmmm br bmbrRbm M ρ

+=+=

3. Peças que realizam um movimento complexo plano paralelo (grupo de peças da biela). A bielae substituída aproximadamente por um sistema de duas massas estaticamente equivalentes – amassa mb.p, concentrada no eixo do passador e a massa mb.r , concentrada no eixo do mancal da

biela do virabrequim. A massa da biela mb se divide em duas partes (Fig. 220, b): naquela queesta referida ao eixo do passador no pistão mb.p =mb Lr /L e na massa referida ao eixo do mancalda biela mb.r =mb L p /L.

Fig. 220 Redução do mecanismo biela-manivela a um sistema de duas massas.

Para obter um sistema dinâmico equivalente deverão respeitar-se três condições, a saber:1) Constância da massa total (mb.p+mb.r =mb);2) Posição invariável do centro de gravidade das massas (mb.p L p=mb.r Lr );3) Momento de inércia constante com respeito ao centro de massas.


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O momento de inércia do sistema reduzido

pr br

p

b pr

br r b p pbred L Lm L L

Lm L

L

Lm Lm Lm I =+=+= 222.

2.

deve ser igual ao momento de inércia da biela I b. Esta condição não se observa para as bielas reais, e I red > I b.O valor de

( ) 22 /03,001,0 λ Rm I I I bbred −=−=∆ .

Nos cálculos teóricos precisos é necessário aplicar ao sistema equivalente um momentocorretor das forças de inércia

I M b∆=∆ ε ,

onde

.2 ϕ λ ω β

ε sendt

d b −≈=

O momento corretor ∆ M esta orientado segundo a aceleração angular da biela (no primeiroquadrante, seguindo o sentido de rotação da manivela). Tendo em vista que os valores destemomento são pequenos, geralmente se depreciam e se comprem somente as duas primeirascondições de equivalência.

Para a maioria das estruturas existentes de motores de automóvel

( ) b pb mm 3,0...2,0. = e ( ) br b mm 7,0...8,0. = .

Assim, todo o mecanismo biela-manivela (Fig. 220, c) se substitui aproximadamente por umsistema de duas massas concentradas unidas por ligações rígidas imponderáveis: a massa no ponto A, quetem movimento alternativo:

pb pi mmm .+= ,

e a massa no ponto B, com movimento rotativo:

r b M R mmm .+= .

Nos motores em V se juntam duas bielas dos cilindros opostos no mancal do virabrequim, por isso

r b M R mmm .2+= .Os valores de m p e mb são eleitos de acordo aos dados das estruturas existentes.


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As massas construtivas m’ p e m’ b, referentes à unidade de superfície do pistão F p, se ilustram naTabela 25.

25. Massas construtivas das peças do mecanismo biela manivela, em kg/m2 (g/cm2)

Motores Massa do pistão de legaçãode alumínio m’ p

Massa da biela m’ b

Otto ( D=60-100mm)

Diesel ( D=80-120mm)

100 – 150 (10 – 15)

200 – 300 (20 – 30)

120 – 200 (12 – 20)

250 – 350 (25 – 35)

Em conformidade com o sistema adotado, no qual duas massas dinamicamente substituem omecanismo biela manivela, as duas forças de inércia se reduzem a dois: a força de inércia P i das massasque tem movimento alternativo e a força centrifuga de inércia Z R das massas rotativas.

A força de inércia das massas com movimento alternativo é

( ).2coscos2 ϕ λ ϕ λ ϕ ω senk Rmam P iii ++−=−=

Esta força é mais cômoda representá-la como a soma das forças de inércia de primeira e segundaordem, que variam de acordo com a lei harmônica:

( )∆−= cosC P iI ; λ 2cosC P iII = ,

onde

2ω RmC i−= ;ok 3,57.λ ϕ =∆ .

As curvas de aceleração do pistão ( ) II I aa f a +== em sua respectiva escala e com signoinvertido são as curvas das forças de inércia (veja a fig. 218, b).

A força de inércia das massas com movimento alternativo P i no sistema de mecanismo bielamanivela se manifesta na forma de uma força livre de magnitude e signo variáveis que atuam ao longo do

eixo do cilindro.Se o passador do pistão esta descentralizado em uma distancia e respeito ao eixo do cilindro, entãoa força de inércia P i esta orientada ao longo de uma reta que atravessa até o centro comum das massas m p e mb.p entre o eixo do cilindro e o eixo do passador. Esse deslocamento é praticamente muito pequeno e se pode desprezar nos cálculos dinâmicos. Ao mesmo tempo, a força de pressão dos gases (que atua sempreao longo do eixo do cilindro) origina um momento eP g respeito ao eixo do passador. Por ação destemomento varia favoravelmente a distribuição da carga sobre a parede do pistão e se elimina a folga(huelgo) entre o pistão e o cilindro.

Para maior esclarecimento ao determinar a magnitude e a direção das forças de inércia das massascom movimento alternativo é conveniente utilizar o método dos vetores giratórios.


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A força P iI se determina como a projeção sobre o eixo do cilindro do vetor2ω RmC i−= , que gira

com a velocidade angular ω do virabrequim.A força P iII se obtém analogamente, como a projeção sobre o eixo do cilindro do vetor

λ ω λ 2 RmC i−= , que gira com a velocidade angular 2ω .A força centrífuga das massas rotativas do mecanismo biela-manivela

2ω Rm Z R R −=

esta sempre dirigida ao longo do raio da manivela, tem um valor constante e está aplicada no centro B domancal de biela da manivela. A força Z R pode ser deslocada por uma linha de ação ao centro O dovirabrequim e decomposta em duas forças sobre o eixo de coordenadas:

ϕ ω cos2 Rm Z R R x −=

e

ϕ ω sen Rm Z R R y2= .

Examinando mais detalhadamente a ação das forças de pressão dos gases sobre o pistão e das

forças de inércia das massas em movimento. A força total P que atua sobre o pistão é a força inicial:

i g P P P += .

Ao analisar a curva da força total ( ) f P = (veja a Fig. 218, a), se infere que as forças de inérciaao final da carreira de compressão e no começo da carreira de trabalho, faz diminuir a força de pressão dogás que atua sobre o pistão.

A força P , que atua ao longo do eixo do cilindro (Fig. 221) pode se decomposta em dois:- a força lateral N , perpendicular ao eixo do cilindro

( )k sen P Ptg N −≈= λ β , (263)- a força K , dirigida ao longo do eixo da biela:

( ) .2cos14

1cos

12

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −+≈= ϕ λ

β P P K


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Fig. 221. Forças e momentos que atuam no mecanismo biela manivela.

As equações aproximadas, como se mencionou anteriormente, são corretas com uma pressão salvo

os termos se segunda ordem incluídas as magnitudes λ 2

e. k λ . (Os erros relativos a essas expressõesconstituem mais de 2%). A magnitude k λ geralmente é muito pequena e nos cálculos práticos se podemenosprezar.

Da eq. (263) se deduz que o deslocamento do eixo do cilindro sendo( ) 0/ >= Rek , diminui um pouco a força normal N no percurso de expansão.

A força K pode ser deslocada por sua linha de ação ao centro do mancal da biela na manivela( ) K K =' e decompô-la em duas forças: a força normal Z , cuja direção coincide com o raio da manivela

( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−≈+

=+= ϕ λ ϕ λ

ϕ

β

β ϕ β ϕ senk P P K Z 2cos1

2

cos

cos

coscos ,

e a força T, cuja direção é tangencial à circunferência do raio da manivela

( ) ( )

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+≈

+=+= ϕ λ ϕ

λ ϕ

β

β ϕ β ϕ cos2

2cos k sen sen P

sen P KsenT .

A força normal Z foi transladada pela linha de ação ao centro do virabrequim e a designamos por Z ’( Z = Z’ ). A força tangencial T também pode deslocar-se ao centro do virabrequim (T = T’ = T’’ ), o parde forças (T, T’ ) com o momento M t denominado par motor ou torque.

O par motor


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( )⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+≈+

== ϕ λ ϕ λ

ϕ β

β ϕ cos2

2cos k sen sen PR

sen PRTR M t ,

se transmite ao volante e à transmissão através do virabrequim.As forças Z’ e T’ ’ podem somar-se e sua resultante K’’ , igual a força K , atua ao largo da biela

recarregando os bronzinas de apoio do virabrequim. A força K’’ pode se decompor-se em duas forças: N’ , perpendicular ao eixo do cilindro e P’’ = P’’ g + P’’ i, que atua paralelamente ao eixo do cilindro.

As forças N’ e N , assim como as forças ' g P e''

g P (ver a Fig. 219) dão lugar a dois pares de forças,

cujas soma de momentos se denomina par de reação ou de volco M v, que atua sobre as partes imóveis do

mecanismo biela-manivela. O par M v esta dirigido em sentido contrário ao par motor e emcorrespondência com a condição de equilíbrio das peças moveis do mecanismo em seu conjunto, é igual àsoma do par motor e do momento do par agregado ao transportar a força de inércia am P P iii −==

'' ao

eixo de rotação da manivela. Realmente, como se observa na Fig. 221:

( )

( ) ( )

e P M e P sen

PRe P P

R L Ptg e P Nh M

iiii

g v

−=−+

=−+

++=+=

β

β ϕ

ϕ β β

cos

coscos

.

Além do par de volco, sobre as partes imóveis do mecanismo biela manivela atuam a força degravidade, a força de inércia ii P P =

'' cujos signo e magnitude são variáveis e a força centrífuga de inércia

Z R. Estas forças se equilibram pelas reações dos apoios e parcialmente pelas forças internas entremecanismos e peças individuais do motor.

As direções de todas as forças e momentos, mostrados na Fig. 221 se adotam como positivos.Havendo calculado as forças N, Z, e T para uma série de valores do ângulo ϕ , se constroem as

curvas (ver a Fig. 218, c – e). A curva das forças tangenciais T (Fig. 218, e), simultaneamente representa acurva do par motor M i de um cilindro em outra escala.

Na continuação se determinam as forças que atuam sobre as bronzinas de biela e de apoio dovirabrequim. A força resultante Rm.b, aplicada ao mancal de biela da manivela, se calcula somando a força K , que atua ao largo do eixo da biela, com a força centrífuga 2. ω Rm Z r b Rm −= , que aparece por efeito da

rotação de uma parte da massa da biela. A construção se realiza em forma de um diagrama polar do vetor

da força Rm.b, orientado com respeito a manivela do virabrequim, que se assume como imóvel. Primeiro seconstrói o diagrama polar da força K , traçando seus componentes Z e T , nas coordenadas retangulares como centro O (Fig. 222), para diferentes ângulos ϕ de rotação da manivela e obtendo os respectivos pontosdo extremo do vetor K . Os pontos obtidos ϕ 1, ϕ 2, etc. se unem consecutivamente em ordem angularformando uma curva continua, a qual representa um diagrama polar da força K com seu centro em um ponto 0.


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Fig. 222. Construção do diagrama polar de carga sobre o mancal de biela (dois valores de ângulos de ϕ )

Para obter o diagrama polar da carga sobre o mancal de biela é suficiente deslocar verticalmente ocentro O, no diagrama polar obtido para a força K, para a magnitude do vetor 2ω Rm Z br Rm −= passando

ao ponto Om e unir os pontos ϕ 1, ϕ 2, etc. Este diagrama, construído por pontos a cada 30o

do ângulo derotação do virabrequim para um motor rápido de ciclo Otto de quatro tempos, se representa na Fig. 223, a.A projeção de qualquer vetor do diagrama polar sobre a vertical tem como resultado o valor da forçanormal ,. m Rbm Z Z Z += que atua sobre o mancal de biela e está orientada seguindo o raio da manivela.


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Fig. 223. Diagrama polar de carga sobre o mancal de biela e sua reconstrução em coordenadasretangulares.

O diagrama polar reconstruído em coordenadas retangulares ϕ e Rm.b (Fig.223, b) permitedeterminar o valor médio ( )bm R . méd , e por conseguinte, também a carga específica media sobre o mancal,que se refere a unidade da superfície de sua projeção diametral:

( ),

'..

.

bmbm

med bm

l d

Rk

⋅=

onde bmd . é o diâmetro do mancal de biela;'

.bml , a largura de trabalho da bronzina.

Utilizando o diagrama polar se pode construir o denominado diagrama do desgaste presumível domancal (Fig. 224), que proporciona uma idéia convencional sobre o caráter do desgaste, si se supõem queeste é proporcional as forças que atuam sobre o mancal e tem lugar em um setor de o60± da direçãoinstantânea da força K . Para a construção do diagrama sob um ângulo de 60o na direção de cada força

(Fig. 224, a) em ambos os lados se traça raios anulares, cujas alturas sejam proporcionais a força bm R . respectiva. A soma das áreas destes raios representa em resumo o diagrama convencional do desgaste(Fig. 224, b). No diagrama do desgaste do mancal se observa uma zona de mínimas pressões sobre elemesmo. Este lugar do mancal deverá encontrar-se o orifício para subministrar o óleo lubrificante à bronzina.


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Fig. 224. Construção do diagrama de desgaste do mancal de biela.

Utilizando o diagrama de carga polar sobre o mancal da biela, pode encontrar-se a força resultante Rc que atua sobre o cotovelo do virabrequim, flexionando o mancal de biela. Para isto, desde o pólo 0m (veja a Fig. 223, a) se traça verticalmente para baixo a força centrífuga 2ω Rm Z M RC = e se encontra o

novo pólo 0c. O diagrama se transforma então no diagrama polar da força resultante que atua sobre ocotovelo:

.. c Rbmc Z R Rrrr

+=

A linha C C ′ passa pelo pólo cO formando um ângulo ϕ 0 (paralela ao diâmetro do mancal que

passa pelo orifício de lubrificação). Duas perpendiculares à linha C C ′ , tangentes aos pontos extremos 1 e 2 do diagrama polar a cortam em dois segmentos DOc e E Oc .Estes segmentos representam na escala

de forças, para os ângulos de rotação do virabrequim 1 e 2 respectivamente as proporções máxima e

mínimamax0ϕ c

R emin0ϕ c

R das forças resultantes1ϕ c

R e2ϕ c

R sobre a linha C C ′ (veja a Fig. 223, c) e são

iguais a:

00max 110cos ϕ ϕ ϕ senT Z Rc += ;

00min 220 cos ϕ ϕ ϕ senT Z Rc += .

Os valores demax0ϕ c

R emin0ϕ c

R se utilizam para o cálculo do mancal de biela a flexão.

A força resultante am R . , com que atua o mancal de apoio em um virabrequim que tem um apoio

(bronzina) principal entre cada par de manivelas, se encontra somando vetorialmente as forças que setransmitem desde os dois cotovelos vizinhos (Fig. 225). Se considera condicionalmente, que de cadacotovelo se transmite a metade da força centrífuga

c R Z . Então:

( ).5,05,05,05,05,0 ... cc Rbm Rbmam R R Z R Z R R cc ′′+′=′′+′++′= rrrrrrr


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Fig. 225. Construção do diagrama polar da força com que atua o sexto mancal de bancada sobre a

bronzina em um motor de ciclo Otto de seis cilindros em linha e de quatro tempos cuja ordem defuncionamento é 1-5-3-6-2-4: 1-6 – números dos cilindros.

O diagrama polar das forças am R . pode ser construído graficamente, utilizando para estes dois

diagramas polares de carga sobre o mancal de biela.O primeiro diagrama se orienta com respeito a um cotovelo, o segundo se faz com respeito ao

outro, unindo os pólos de ambos diagramas em um ponto (veja Fig. 225) e se somam por pares os vetoresde um e outro diagrama que atuam simultaneamente sobre o cotovelo do virabrequim, levando em conta aordem de funcionamento dos cilindros. Cada um dos vetores resultantes obtidos representa uma forçadupla sobre o mancal de apoio para um ângulo dado de rotação do virabrequim.


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Unindo os extremos dos vetores ,,, 321 ...com uma curva suave, se obtém um diagrama polar de

forças que se transmitem ao apoio do mancal de apoio.O diagrama polar de carga sobre o mancal de apoio, originada pela reação do bronzina, se obtém

girando o diagrama em 180o (veja a Fig. 225) com respeito ao virabrequim imóvel. Este diagrama seutiliza para construir o respectivo diagrama de desgaste.

Somando graficamente as curvas dos pares motores M i para os cilindros individuais, se constrói acurva do torque total ( ) f M i = de um motor multicilíndrico. Neste caso as curvas para os cilindrosindividuais deverão deslocar-se uma com respeito a outra no ângulo θ , correspondente ao intervalo entreas seqüências de trabalho dos cilindros citados. Para os motores que quatro tempos com intervalos iguaisentre as seqüências de trabalho io /720=θ , onde i é o numero de cilindros do motor (para os motores dedois tempos io /360=θ ).

O par motor total varia com um período igual a θ . A construção de um setor da curva do par motortotal i M Σ , correspondente ao ângulo θ , para um motor de quatro cilíndricos de quatro tempos se mostrana Fig. 226. A curva do par motor para um cilindro se a retirado da fig. 218, e. O valor médio do parmotor total e:

( )θ

ϕ θ

ϕ

ϕ

122

1

1 F F d M M imed t

−== ∑∫ ,

onde F 1 e F 2 são as áreas positiva e negativa do diagrama.

Fig. 226. Construção da curva do torque total para um motor de 4 cilindro e 4 tempos.


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Em vista de que para construir o diagrama do par motor não se levou em as perdas por fricção e noacionamento dos mecanismos auxiliares, o par motor efetivo real e M obtido no eixo e menor que o total

médio:( ) mmed ie M M η = .

O momento ( )med i

M é o torque indicado médio do motor e varia proporcionalmente ao trabalho

dos gases por ciclo, já que o trabalho das forças de inércia em cada revolução do virabrequim do motor eigual a zero.


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EQUILIBRADO (BALANCEAMENTO) E UNIFORMIDADE DA MARCHA DO MOTOR

Se diz que o motor esta equilibrado se durante um regime estacionário (constante) defuncionamento sobre seus suportes se transmitem umas forças cuja magnitude e direção são constantes.

Em um motor não equilibrado a pressão sobre os suportes varia continuamente e origina vibraçõesdo bastidor e do veiculo em seu conjunto, o que vai acompanhado com o enfraquecimento das uniões,com sobrecargas em determinadas pecas, incrementando seu desgaste, e com outros fenômenosindesejáveis.

A primeira causa do desequilíbrio no motor de pistão consiste na existência das forças de inérciadas massas com movimento alternativo i P , que variam em magnitude e em signo, assim como das forcas

centrifugas das massas giratórias R Z que variam permanentemente de direção. No motor multicilíndrico

as forças i P e R Z de cada um dos cilindros parcialmente se equilibram, mas em seu conjunto podem

originar a aparição de forças de inércia livres não equilibradas e seus respectivos momentos.A segunda causa do desequilíbrio é a irregularidade (variação) do par motor ou torque total

i M ∑ e do par do volco v M que tem um sentido contrario. Analogamente atua também o momento decorreção I M ∆=∆ δ . O par motor total é uma função periódica do ângulo de rotação do virabrequim, porisso a menor variação possível das reações dos suportes se consegue aumentando o numero de cilindros erespeitando a igualdade dos intervalos entre as seqüencias de trabalho, o que assegura uma maior

uniformidade do par motor total.O motor alternativo não pode estar completamente equilibrado, já que é inevitável a irregularidade

do par motor, o que sempre origina a variação periódica da carga sobre os suportes. Por isso, ao falarsobre o equilibrado do motor, com este conceito, pelo comum se sobre entende a existência de um grau detolerância de vibração como resultado das medidas construtivas e de produção adotadas, que permitemeliminar em uma ou outra medida as causas que suscitam o desequilíbrio.

O equilibrado do motor na pratica se realiza elegendo correspondentemente o numero e a posiçãodos cilindros, a disposição das manivelas do virabrequim, assim como a colocação dos contrapesos. Paraconhecer o grau de equilibrado geralmente se limitam a análises das forças de inércia e de seus momentosde primeira e segunda ordem, ademais sem considerar o possível desconcentrado que possam ter os eixosdos cilindros ( )0== kRe .

Para obter o equilibrado construtivo previsto se apresenta também uma série de requisitos ante a produção das peças individuais do motor enquanto as tolerâncias em suas massas e dimensões.

A fixação destas tolerâncias está condicionada pela necessidade de cumprir em maior ou menorgrau as condições seguintes:

1) igualdade de massas nos diferentes conjuntos de peças do pistão;2) igualdade de massa das bielas e idêntica posição de seus centros de gravidade;3) equilibrado dinâmico do virabrequim.

O equilibrado das forças de inércia das massas giratórias do mecanismo biela-manivela seconsegue colocando as massas giratórias nas manivelas ou os contrapesos, de tal maneira que secompletem as duas condições seguintes:


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1) o centro de gravidade do sistema reduzido do virabrequim se encontre no eixo de rotação;2) a soma dos momentos das forças centrifugas de inércia das massas giratórias com respeito a

qualquer ponto do eixo do virabrequim seja nula.A realização da primeira condição se obtém aplicando o equilibrado estático e se comprova

montando o virabrequim sobre prismas. Esta condição de equilibrado se expressa analiticamente pelaigualdade a zero da resultante de todas as forças centrífugas de inércia.

A realização da segunda condição (realizando simultaneamente a primeira), se assegura medianteo equilibrado dinâmico, no qual se comprova fazendo girar o virabrequim em máquinas equilibradoras.

Ambas as condições de equilibrado correspondem a rotação do virabrequim em torno ao seu eixo

principal central de inércia.

Fig. 227. Equilibrado de virabrequim a – de manivela única; b – de dois cotovelos

Em um virabrequim de uma só manivela a soma das forças centrífugas desenvolvidas pelos doiscontrapesos deverão ser iguais e de direção contraria a força centrífuga Z R (Fig. 227,a):

Rcp Z Z =2

ou 222 ω ρω Rmm Rcp =

Portanto, a massa de cada contrapeso será:

Rcp m R

m ρ 2

1= .

No virabrequim de dois cotovelos, o momento criado pelas forças centrifugas de dois contrapesosdeve equilibrar o momento criado pelas forças centrifugas que aparecem durante a rotação de duasmanivelas (Fig. 227, b):

a Z b Z Rcp = ou a Rmbm Rcp22 ω ρω = .


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Desta maneira:

( ) Rcp m Rb

am ρ /= .

Os virabrequins simétricos de cotovelos múltiplos dos motores multicilíndricos geralmente seequilibram em conjunto sem colocar contrapesos. Sendo assim, freqüentemente se dotam de contrapesoscom propósito de diminuir os momentos que flexionam o virabrequim, e descarregar as bronzinas principais. Os contrapesos asseguram, no mais, uma distribuição mais uniforme da pressão ao redor domancal de bancada (mancal de apoio).

No caso que os contrapesos se instalem na prolongação dos braços de cada cotovelo (Fig. 227), no

diagrama polar de carga convencional, sobre o mancal de bancada será necessário deslocar o pólo cO (Fig. 228) ao ponto cpO ao largo da linha bissetriz do anulo entre os cotovelos na direção do diagrama

polar a uma magnitude de cpcpcp Z Z Rrrr

+= . Se a construção se efetua na escala dos diagramas polares para

os mancais de biela, então no lugar de cp Rr

se traça cp Rr

2 .

Fig. 228. Redução da carga no mancal de bancada instalando contrapesos.

Nos virabrequins assimétricos de manivelas múltiplas o equilíbrio dinâmico resulta possívelsomente colocando contrapesos. Se esta colocação no prolongamento de cada braço não e conveniente ouresulta dificultosa, então o momento longitudinal M R se equilibra combinando a montagem de um menornúmero de contrapesos, mas com a condição de que Rcp M M = e alem disso, se encontre no mesmo plano

que o momento longitudinal.


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Na continuação se estudam os procedimentos do equilibrado nos diferentes tipos de motores.

Motor monocilíndrico. Neste motor a soma das forças centrifugas se equilibra com contrapesos que se colocam no

prolongamento dos braços da manivela; enquanto isso, as forcas de inércia de primeira ordem iI P e

segunda ordem iII P podem equilibrar-se somente com ajuda de um sistema de contrapesos adicionais (Fig.

229).

Fig. 229. Equilibrado das forcas de inércia em um motor monocilíndrico, aplicando o sistema de

contrapesos que giram no plano de rotação da manivela.

A força de inércia iI P se equilibra colocando um contrapeso em cada um dos dois eixos A e A’ ,

paralelos ao eixo do virabrequim e dispostos simetricamente a ambos os lados do bloco do motor, quegiram em direções opostas com uma velocidade igual à freqüência de rotação do virabrequim. Oscontrapesos se montam em um plano que passa pelo eixo do cilindro e é perpendicular ao eixo dovirabrequim, alem disso, se colocam de tal maneira que durante a rotação sempre conformam com a linhavertical um ângulo ϕ igual ao ângulo de rotação do virabrequim. (No motor com mecanismo bielamanivela descentrado esse ângulo deve ser igual a ok 3,57.λ ϕ ϕ ϕ −=∆− ). As componentes horizontais


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das forças centrifugas de inércia destes contrapesos são de igual magnitude, mas estão dirigidas emsentido contrario e, portanto, se equilibram mutuamente.

A resultante das componentes verticais das forças centrifugas de inércia dos contrapesos estasituada no eixo do cilindro e dirigida em sentido contrario da força de inércia. Esta resultante e

( ) ϕ ω ρ ϕ cos2cos22 2 I cpI cpI xcpI m Z R == .Se a massa de cada contrapeso se elege cumprindo a condição Rmm i I cp = ρ 2 ou seja,

( ) i I cp m Rm ρ 2/1= , então a resultante das componentes verticais das forças centrifugas de inércia doscontrapesos adicionais equilibrara a força de inércia de primeira ordem.

Para equilibrar a força de inércia de segunda ordem se instala um contrapeso em cada um dosoutros dois eixos B e B′ situados analogamente aos primeiros, mas que giram com dupla velocidadeangular do virabrequim. Os contrapesos se colocam de tal maneira que durante a rotação sempreconformam com a vertical o angulo 2ϕ , igual ao duplo ângulo de rotação do virabrequim. Ascomponentes horizontais das forças centrifugas de inércia dos contrapesos, se equilibram entre si. Aresultante dos seus componentes verticais iguais a

( ) ( ) ϕ ω ρ ϕ 2cos222cos22 2 II cpII cpII xcpII m Z R == equilibra a força de inércia de segunda ordem, se a massa de cada contrapeso adicional se elege partindoda condição

( ) 2222 ω λ ω ρ Rmm i II cpII = ,

Ou seja

i

II

cpII m R

m ρ

λ 8

1= .

Semelhante equilibrado dos motores monocilíndricos se realiza somente em bancos experimentaisespeciais destinados a efetuar trabalhos de investigação. Na maioria dos motores monocilíndricos selimitam a colocar na prolongação dos braços do virabrequim contrapesos com uma massa maior

)cpcp mm ∆+ . Como resultado deste equilibrado denominado excessivo se consegue diminuir a magnitude

absoluta da componente vertical da forca de inércia não equilibrada de primeira ordem (aparecendosimultaneamente a componente horizontal não equilibrada da força centrifuga dos contrapesos).

Motor dos cilindros em linhaO virabrequim deste motor (Fig. 230, a) tem as manivelas dispostas a 180o, equilibradas por

contrapesos.


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Fig. 230. Esquemas de virabrequins para motores de dois cilindros. a – em linha; b – com cilindros opostos.

As forças de inércia de primeira ordem para o primeiro e segundo cilindros se equilibram:cos1 C P iI = ,

2ω RmC i−=

( ) ϕ ϕ cos180cos2 C C P oiI −=+= .Sendo assim, elas dão lugar à força no equilibrado com o momento cosaC M iI = , que atua no

plano conformado pelos eixos dos cilindros.As forças de inércia de segunda ordem para os dois cilindros λ 2cos1 C P iII = ;

( ) ϕ λ ϕ λ 2cos1802cos2 C C P oiII =+= são iguais, tem a mesma direção e possuem a resultante:ϕ λ 2cos2 C P iII =∑ .

O momento das forças de inércia de segunda ordem .0=iII M

Motor de dois cilindros opostos de quatro tempos Neste motor se amplia um virabrequim de duas manivelas dispostas a 180o, equilibrado com

contrapesos (fig. 230, b).As forças de inércia de primeira e segunda ordem para o primeiro cilindro são iguais as respectivas

forças de inércia do segundo cilindro, mas estão dirigidas sempre em sentido contrario. Portanto, suas


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forças resultantes são nulas. Posto que os eixos dos cilindros são paralelos, as forças dão lugar a um parque atua no plano conformado pelos eixos dos cilindros, o qual não esta equilibrado:

( )λ 2coscos +=+= aC M M M iII iI i .

Motor de quatro tempos com quatro cilindros em linhaO virabrequim deste motor (Fig. 231) tem manivelas dispostas a 180o. O virabrequim esta

equilibrado, quer dizer, 0= R Z e 0= R M .

Fig. 231. Esquema de um virabrequim de um motor em linha, de quatro tempos e quatro cilindros.

As forças de inércia de primeira ordem para o primeiro e quarto cilindros sãocosC P iI = ,

Enquanto que para o segundo e terceiro cilindros( ) ϕ ϕ cos180cos C C P OiI −=+= .

Portanto sua resultante 0=∑ iI P . Por efeito da ação simétrica destas forças com respeito ao pontomédio do virabrequim, o momento 0=iI M .

As forças de inércia de segunda ordem para os cilindros primeiro e quarto será:λ 2cosC P iII = ,

e para os cilindros segundo e terceiro( ) ϕ λ ϕ λ ooiII C C P cos1802cos =+= .

Portanto, todas essas forças são iguais e sempre estão dirigidas em um mesmo sentido. Suaresultante é:

∑ = ϕ λ 2cos4 C P iII .O momento das forças de inércia de segunda ordem é .0=iII M


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Motor de quatro tempos de seis cilindrosO virabrequim tem as manivelas dispostas a 120o (Fig, 232) e esta equilibrado, ou seja, 0= R Z e.0= R M

Fig. 232. Esquema de um motor em linha, de quatro tempos e de seis cilindros.

As for ças de inércia de primeira e se

gunda ordem para os cilindros primeiro e sexto são

iII iI P C P ,cos= , λ cosC P iII = : para os cilindros segundo e quinto

( )ϕ += oiI C P 120cos , ( )ϕ λ += oiII C P 2402cos ; para os cilindros terceiro e quarto

( )ϕ += oiII C P 120cos , ( ).1202cos ϕ λ += oiII C P A força de inércia resultante de primeira ordem para todos os cilindros

( ) ( ) .0120cos240coscos2 =++++=∑ ϕ ϕ ϕ ooiI C P Analogamente, a força de inércia resultante de segunda ordem

∑ = .0iII P Por efeito da disposição especular (simetria de espelho) das manivelas do virabrequim, as forças

de inércia não originarão nenhum momento longitudinal, ou seja, 0=iI M e .0=iII M

Motor de dois cilindros em V formando um ângulo de 90o O virabrequim deste motor tem um cotovelo na qual se unem as bielas de ambos os cilindros

situados em um mesmo plano (Fig. 233).


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Fig. 233. Esquema de um motor de dois cilindros em V formando um ângulo de 90 o: 1-2- números doscilindros

As massas rotativas originam a força centrifuga 2ω Rm Z R R = , a qual se equilibra com doiscontrapesos instalados nos prolongamentos dos braços da manivela do virabrequim.

As forças de inércia de primeira ordem: para o primeiro cilindro

cos1 C P iI = , para o segundo cilindro

( ) ϕ ϕ CsenC P oiI =−= 90cos2 .Estas forças são mutuamente perpendiculares, por isso sua resultante é

( ) ( ) 2222

1 ω RmC P P R iiI iI iI =−=+= .

O ângulo que forma a resultante com o eixo do primeiro cilindro é:

ϕ ψ ==1

2

iI

iI

P

P arctg .

A resultante das forças de inércia de primeira ordem RiI tem magnitude constante e sempre estaorientada seguindo o raio da manivela. Por tanto pode ser equilibrada simplesmente aumentando a massados contrapesos, colocados na prolongação dos braços da manivela do virabrequim para equilibrar asforças centrífugas das massas rotativas. A massa adicional para cada contrapeso se determina pelaequação

222 ω ρω Rmm icp =∆ ,

da qual

icp m R

m ρ 2

1=∆ .

As forças de inércia de segunda ordem:


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para o primeiro cilindroλ 2cos1 C P iII =

para o segundo cilindro( ) ϕ λ ϕ λ 2cos902cos2 C C P oiII −=−= .

A resultante das forças

( ) ( ) ϕ λ 2cos2222

1 C P P R iII iII iII =−+= .

O ângulo que forma a resultante das forças de inércia de segundo ordem com o eixo do primeirocilindro, se encontra da expressão

1

21

iII

iII

P

P tg =ψ

Ψ 1 = 45o ou o135 .

Por conseguinte, a resultante das forças de inércia de segunda ordem ϕ λ 2cos2 C RiII −= não estaequilibrada, varia seguindo uma lei harmônica e atua ao largo do eixo 0v, ou seja, em direção horizontal.

Para outros ângulos entre os eixos dos cilindros que não sejam iguais a 90o, as equações para asforças de inércia se complicam.

Motor de oito cilindros em V formando um ângulo de 90o

Neste motor (Fig. 234,a e b) o virabrequim é assimétrico e tem as manivelas dispostas em dois planos perpendiculares. O motor pode ser considerado como a união de 4 motores de dois cilindros em V.A resultante das forças Z R e C é nula, mas tendo em vista que, o virabrequim não é simétrico atuam osmomentos longitudinais M R e M iI . A magnitude destes momentos pode encontrar-se tomando osmomentos das forças com respeito ao centro do virabrequim O. O momento total que origina as forças dasmanivelas primeira e quarta, atuam no plano destas ultimas e é igual a 3aZ R e 3aC . O momento total dasforças nas manivelas segunda e terceira atua no plano perpendicular a primeira e é igual a aZ R e aC.


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Fig. 234. Esquema de um mtor de Oto cilindros, de quatro tempos em V formando um ângulo de 90o.

O momento resultante (Fig. 234, c) se obtém somando geometricamente estes momentos:

( ) ( ) R R R R aZ aZ aZ M 10322

=+= e respectivamente

( ) ( ) aC aC aC M iI 10322 −=+= .

O plano em que atua o momento resultante se determina pelo ângulo entre aquele e o plano da primeira manivela:

( )( )

62180,3

1

3 ′==

++

= o

R

R

C Z a

C Z atg ϕ ϕ .


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O momento resultante pode ser equilibrado tanto por contrapesos que se instalam em cadamanivela, como por dois contrapesos colocados nos extremos do virabrequim no plano onde atua omomento.

Este ultimo caso a massa de cada contrapeso se determina da condição de igualdade dosmomentos:

( )C Z abm Rcp −= 102 ρω ,

de onde

( ) ( ).10/10 2 i R Rcp mm R

b

aC Z

b

am +=−=

ρ ρω

As resultantes das forças de inércia de segundo ordem para cada par de cilindros emcorrespondência com a situação das manivelas são iguais a:

ϕ λ 2cos2 C , para a primeira manivela;

( ) ϕ λ ϕ λ 2cos2902cos2 C C o −=+ , para a segunda manivela;( ) ϕ λ ϕ λ 2cos22702cos2 C C o −=+ , para a terceira manivela;

( ) ϕ λ ϕ λ 2cos21802cos2 C C o =+ , para a quarta manivela.Estas resultantes se encontram no plano horizontal, são iguais em sua magnitude, mas de signos

opostos em pares. Por conseguinte, sua resultante será nula ( )0=iII R . O momento M iII também resultanulo.

Motor de quatro tempos, de doze cilindros em duas fileiras

O motor de doze cilindros em duas fileiras pode considerar-se como o conjunto de dois motores deseis cilindros em linha com um virabrequim comum de seis manivelas. Em cada motor de seis cilindros,as forças de inércia de primeira e segundo ordem, assim como seus momentos, estão equilibrados; portanto, isto também se cumpre para o motor de doze cilindros em duas fileiras, independentemente damagnitude do ângulo entre as linhas de cilindros.

Para cumprir a igualdade dos intervalos entre as carreiras de trabalho de cada um dos cilindros, oângulo entre as linhas de cilindros deve ser múltiplo de 60o. Sendo assim, em alguns casos, com afinalidade de reduzir as dimensões do motor e atentando um pouco contra a uniformidade do torque seadota um ângulo entre os cilindros que se desvia da condição anteriormente assinalada. Então os percursos de trabalhos nos diferentes cilindros se realizam a intervalos desiguais de tempo.

Uniformidade da marcha do motor

A dinâmica e o equilibrado do motor se investigou aplicando o método cinético-estático, alemdisso, se supõem que o virabrequim e absolutamente rígido e gira a velocidade angular constante ω =const, à qual correspondem determinadas forças de inércia e forças no sistema biela-manivela.

Em realidade, inclusive durante o regime de funcionamento estacionário do motor a velocidadeangular do virabrequim não permanece constante, se não, varia periodicamente: ( ).t f = A causa


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principal da variação periódica da velocidade angular consiste na mencionada irregularidade do par motorou torque, condicionada pela periodicidade do processo de trabalho e pelas propriedades cinemáticas domecanismo biela manivela. Sendo constante o monumento médio de resistência (carga útil constante), o par motor irregular origina a correspondente inuni-formidade da marcha (rotação do virabrequim) domotor. Por efeito da irregularidade do torque, em um virabrequim flexível se engendram oscilaçõestorsionais que incrementam a irregularidade de rotação do virabrequim e podem dar lugar a suadestruição.

Fig. 235. Momentos torçores totais para motores com diferentes números de cilindro.

O grau de uniformidade na variação do torque total do motor geralmente é apreciado pelocoeficiente de irregularidade do torque

( )med i

ii

M

M M minmax −=µ .


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O coeficiente varia para um mesmo motor ao variar seu regime de funcionamento. Airregularidade do torque diminui quando aumenta o número de cilindros do motor (Fig. 235). Como sedesprende de tal figura o coeficiente diminui rapidamente a medida que cresce o número de cilindros.

Em cada instante o torque do motor se equilibra com o momento de resistência que se aplica aovirabrequim, e o momento das forças de inércia de todas as massas rotativas, reduzidas as massasrotativas equivalentes:

,00 =+−− ir M M dt

d I (264)

onde M r é o momento de resistência que considera também, o momento das forças de fricção no própriomotor e o momento consumido em acionar os mecanismos auxiliares; 0 I , o momento de inércia de todas

as massas reduzidas ao eixo do virabrequim; ε =dt d , a aceleração angular do virabrequim.A continuação, ao momento de resistência (incluídas as perdas internas) se consideram constante e

igual ao valor médio do torque indicado do motor, enquanto que se depreciará a variação do momento deinércia reduzido 0 I . Então, as oscilações da velocidade do virabrequim estarão condicionadas somente

pela variação do valor instantâneo ∑ i M com respeito ao valor médio ( ) .med M i Na Fig. 236 serepresenta a curva do torque do motor e se mostra seu valor médio r med M M = .

Fig. 236 Variação do torque e da velocidade angular do virabrequim para um regime estacionário de funcionamentodo motor.

Segundo a equação (264)


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∑ =− .0 dt d I M M r i ω

No ponto a, correspondente a rotação do virabrequim em um ângulo 1 , a diferença

∑ =− 0r i M M e a aceleração angular resulta nula, havendo sido até então negativa; portanto, neste ponto, a velocidade angular é mínima.

A aceleração angular depois passa a ser positiva, até que no ponto b correspondente a rotação dovirabrequim em um ângulo 2 , de novo resulta nula, enquanto que a velocidade angular alcançará seumáximo valor.

Tendo em conta que

ϕ

ω

ϕ

ω ω

ϕ

ϕ

ω ω

d

d

d

d

dt

d

d

d

dt

d 2

2

1===

a equação (264) se pode escrever em forma de teorema sobre a energia cinética

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−∑ 2

20ω ϕ

I d d M M r i (265)

que expressa neste caso a igualdade do trabalho elementar do par motor e do momento de resistência coma diferencial da energia cinética de todas as massas em movimento do motor.

Integrando a equação (265) entre os limites 1 e 2 (correspondentes aos limites max e min ),

obteremos

( )∫ ∫∑ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−

2

1

max

min

202

1ϕ

ϕ

ω

ω

ω ϕ

I d d M M r i

( )=−= 2min2max02 ω ω

I

( ).2 minmax

minmax0 ω ω −

+= I (266)

A oscilação da velocidade angular ( ) f = para o regime estacionário, ou seja, a uniformidadede rotação do virabrequim esta caracterizada pelo grau de irregularidade de rotação

med ω δ minmax

−= .

Se adotamos aproximadamente que a velocidade angular media é

2minmax ω ω ω ω

+== med

então a equação (266) pode escrever-se da seguinte maneira2

0δω I Lex = ,


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onde ex L é o trabalho excedente do torque, proporcional a superfície 1 F .

Fixando o coeficiente de irregularidade δ (a partir da equação para ex L ), pode encontrar-se o

momento de inércia do volante ( ) 09,08,0 I I v −= .Se o volante está feito em forma de disco com coroa robusta, seu momento de inércia se determina

fundamentalmente pelo momento de inércia da coroa cuja massa é vm .

,4

1 22mvmvv Dmr m I =≈

onde mm r D 2= é o diâmetro médio da coroa.O momento de inércia do volante deve ser tal que assegura o funcionamento do motor à mínima

velocidade estável de rotação em marcha lenta o que predetermina o máximo valor tolerável do grau deirregularidade de rotação. Nos motores para veículos δ é aproximadamente igual a 0,02 – 0,03. Paravalores admissíveis muito pequenos de δ o momento de inércia do volante v I será excessivamente

grande, o que piora a capacidade de aceleração do motor e do veículo. Ao mesmo tempo, sendodemasiado pequena a magnitude de

v I , se dificulta a partida do motor.

Para a maioria dos motores veiculares, o momento de inércia adimensional do volante é

,.

2

const M

I

nome

nomv ≈= ω

onde nome M . é o torque efetivo do motor no regime nominal de potencia a velocidade de rotação nomn ,correspondente a velocidade angular do virabrequim .nom

Sobre esta base pode determinar-se aproximadamente o momento de inércia do volante pelaformula

2.

nom

nomev

M I

ω ψ = ,

onde .350...200=


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4. CÁLCULO DINÂMICO DO MOTOR

4.1. Desenvolvimento do diagrama indicado em função dos graus de giro do virabrequim (manivela)O ponto de partida para determinar as forças oriundas da pressão dos gases em função do ângulo de girodo virabrequim, é o diagrama indicado em coordenadas P-s obtido como resultado do calculo térmico.Para a transformação do diagrama se procede a desenhá-lo com a mesma escala com que foi construído a partir do calculo térmico.

Na direita do diagrama indicado (Fig. 4-1) se traça o novo sistema de coordenadas P g – α de forma tal queo eixo das abscissas (α, ângulo de giro do virabrequim) resulte da prolongação da linha de pressão

atmosférica P o do diagrama P – S . Assim, no eixo das ordenadas se terá em escala m p ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ mmm

MN 2

a pressão

neta exercida sobre o pistão: ∆ o g g P P P −= .


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No eixo das abscissas se colocam os valores dos ângulos de giro do virabrequim α até 720o para motoresde 4 tempo e 360o para motores de 2 tempo. Para a escala dos ângulos de giro do virabrequim α serecomenda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmm

o

2α .

A identificação dos ângulos de giro do virabrequim com os correspondentes valores do deslocamento do pistão é feito pelo método de Bricks:

Se traça, em baixo do diagrama P&S , sobre o segmento AB = S um semicírculo com cento no pondo médio de dito segmento. Quando gira a manivela um ângulo α o deslocamentocorrespondente ao pistão será igual ao segmento AC ’ . O centro de rotação está deslocado emrelação ao ponto O em direção ao PMI na magnitude:

sm

S

4

λ ρ = , 'OO= ρ

Para os motores de 4 tempos (duas voltas completas do virabrequim), o mesmo valor dedeslocamento terá lugar 4 vezes, na admissão, compressão, expansão e escapamento (Fig. 4-1).Para um motor de dois tempos, duas vezes, na compressão e expansão.Se traça uma reta paralela ao eixo das ordenadas para obter 4 pontos de intercepção com ascurvas correspondentes aos processos individuais do diagrama indicado (pontos 1,2,3 e 4). Aseqüência dos passos para o desenvolvimento do diagrama indicado nas novas coordenadas, seapresenta na Fig. 4-1 mediante flechas.Pode-se apreciar que para cada de xα correspondem 4 pontos no diagrama desenvolvido. Este processo é necessário executá-lo para:0o, 20o, 40o, 60o, 80o, 100o, 120o, 140o, 160o e 180o. Na zona de combustão visível (próximo ao PMS, ao final do processo de compressão e inicio do processo de expansão), o desenvolvimento do diagrama deve executa-se em menores intervalosde pressão, cada 5o.

4.2. Determinação das forças de inércia das massas em movimento retilíneo alternativo P j.

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−= −

262 102coscos

m

MN r m P j j α λ α ω , onde:

P j é a forças de inércia das massas em movimento retilíneo alternativo, correspondente à unidade de

superfície do pistão ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

m

MN .


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m’ j é a massa construtiva (correspondente à unidade de superfície do pistão) dos elementos em movimento

retilíneo alternativo ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

kg :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=2

'''

m

kg Ammm b p j , onde:

m’ p é a massa construtiva do grupo pistão ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

kg

m’ b é a massa construtiva da biela ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ 2mkg

A = 0,25 ÷ 0,30

m’ p e m

’ b se selecionam a partir de dados estatísticos para motores similares:

Massa construtiva m’ [kg/m2]Elementos do mecanismo biela manivela D = 60 ÷100 mm

Ciclo OttoD = 80 ÷ 130 mm

Ciclo dieselGrupo pistão 80 ÷ 150 150 ÷ 300

Biela 100 ÷ 200 250 ÷ 400

Parte desbalanceada damanivela

100 ÷ 200 150 ÷ 400

Para selecionar m’ p e m’ b se deve ter em conta que seus valores devem ser menores para os valores

maiores de S/D (S/D = 07 ÷ 1,0), assim como para os motores rápidos.

[ ]mS

r 2= , radio da manivela.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= s

n 1

30

π ω , velocidade angular do virabrequim. n em rpm (para Potência Nominal)

As magnitudes da função ( )α α 2coscos + para diferentes valores de λ e α, podem ser verificadas na

tabela 4-2:


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O cálculo da magnitude da força P j é feita para os mesmos valores de α do diagrama desenvolvido da

força de pressão dos gases P g .

4.3. Determinação da força P Σ

Para determinar P Σ é necessário:1. Construir uma Tabela 4-3 resumo.2. Na coluna 3 da tabela se colocam todos os valores de cálculo do ângulo de giro do virabrequim α

para um ciclo completo de trabalho (4 tempos de 0o até 720o, para 2 tempos 0o até 360o)

3. Colocar na coluna 4 os resultados ∆ P g Obtidos no diagrama desenvolvido da forças dos gases da

combustão para os diferentes valores de α:( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=∆2

m

MN mh P p g α

onde ( )α h é a ordenada da força dos gases [mm] em função de α.

4. Escrever na coluna os valores da função ( )α λ α 2coscos + para todos os valores de cálculo de α.5. Calcular a magnitude:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= − 262' 10

m

MN r mC j ω


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6. Determinar a magnitude da Força de Inércia P j( α ) para todos os valores de cálculo de α,multiplicando cada valor da coluna 5 pelo valor correspondente de C .

7. Calcular e colocar na coluna 7 os valores de P Σ (α) para todos os valores de cálculo de α:

( ) ( )α α j g P P P +∆=Σ

8. Com os dados das colunas 6 e 7 construir os gráficos P j e P Σ na mesma escala ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mmm

MN m p 2 que a

força ∆ P g , Obtida no diagrama

cinemática, dinâmica e equilibrio de motores

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