S. Vitale A.A. 2003-2004 1

Cinematica del punto materialePunto materiale: oggetto di dimensioni lineari

trascurabili rispetto alla precisione con cui se ne vuole determinare la posizione

x

z

Astronave, atomo, etc…..

S. Vitale A.A. 2003-2004 2

Coordinate nello spazioLontano da grandi masse vale sperimentalmente la

geometria Euclidea

x

y

z

zo

yo xo

ro

O

2 2 2o o o or x y z= + +

Sole

θ ≈ 4”

Gauss et al., ca 1°

Le linee rette sono definite dai raggi di luce

Einstein et al.

S. Vitale A.A. 2003-2004 3

Coordinate Sferiche

x

y

z

φo

θo

ro

O

( ) ( )o o o ox r Sin Cos= θ φ

( ) ( )o o o oy r Sin Sin= θ φ

( )o o oz =r Cos θ

S. Vitale A.A. 2003-2004 4

Longitudine = φoLatitudine = 90°-θo

ro=R⊕

S. Vitale A.A. 2003-2004 5

Coordinate cilindriche

( )o o ox Cos= ρ φ

x

y

z

zo

φoρο

( )o o oy Sin= ρ φ

o oz z=

S. Vitale A.A. 2003-2004 6

Descrizione del moto di un punto materiale

Il moto è interamente noto nell’intervallo di tempo t1< t < t2 se sono note

xo(t), yo(t) e zo(t) nello stesso intervallo

(o ro(t), φo(t) e zo(t) etc.)

La legge oraria

S. Vitale A.A. 2003-2004 7

Al passare del tempo il punto descrive una curva nello spazio: la traiettoria

( ) ( ) ( )o o oo o

t tx t r Cos 2 ; y t r Sin 2 ; z t v t;t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o o

o

r 1 m t 50 smv 0.01 s

= =

=

S. Vitale A.A. 2003-2004 8

S. Vitale A.A. 2003-2004 9

Stessa Traiettoria, diversa legge oraria

( ) ( ) ( )o o oo o

t tx t r Cos 2 ; y t r Sin 2 ; z t v t;t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o o

o

r 1 m t 50 smv 0.01 s

−

−

= =

=

S. Vitale A.A. 2003-2004 10

S. Vitale A.A. 2003-2004 11

Nuovo concetto: lo spostamentoPunto che va da A a B

( ) ( )( ) ( )

2 2B A B A

B A B A

r x x y y

x x r Cos ; y y r Sin

∆ = − + −

− = ∆ φ − = ∆ φ

Le due grandezze

r∆

A

B

x

y

xA xB

yB

yADefiniscono un nuovo oggetto

matematico

{∆x = xB-xA , ∆y = yB-yA}C

Dφ

∆r

Nota: lo spostamento A B è uguale a C D

S. Vitale A.A. 2003-2004 12

A

B

x

y

xA xB

yB

yA

DyD

xD

1r∆

2r∆

3r∆{ }3 D A D Ar x x ,y y∆ ≡ − −

( ) ( ){( ) ( )}

D B B A

D B B A

x x x x ,

y y y y

= − + −

− + − =

{ }1 2 1 2x x , y y= ∆ + ∆ ∆ + ∆f1 23

der rr ∆≡∆ + ∆

Somma di spostamenti

2r∆1r∆

Nota: la somma è commutativa1 2 2 1r r r r+ = +∆ ∆ ∆ ∆

S. Vitale A.A. 2003-2004 13

x

y

∆x

1r∆∆y

1r∆

∆x

∆y

∆x

∆y 1r∆

rΣ∆

1 1 1r r r rΣ = + +∆∆ ∆ ∆

1

1

xy

33

xy

Σ

Σ

∆∆ =

∆∆

=

def

13 rrΣ∆ ∆≡

1 1

d

1

efr x yr x ,a a yaΣ Σ Σ∆ ∆= ⇔ = =∆ ∆ ∆ ∆

a volte uno spostamento

S. Vitale A.A. 2003-2004 14

Qualche osservazione

1 1a ; x y ax yΣ Σ= =∆ ∆∆ ∆2 21 1 1

2 2a axr rayΣ = ∆ =∆ ∆∆ +

A

B1r∆

1r−∆ Es: α= - 1

S. Vitale A.A. 2003-2004 15

Queste sono le proprietà di un “campo vettoriale”

Gli spostamenti sono dunque vettori e godono di tutte le loro proprietà

I numeri come a, che non dipendono dalla scelta delle coordinate si chiamano scalari

(Es: misure di tempo, misure di temperatura, misure di massa etc.)

La lunghezza di uno spostamento è uno scalare

(verificare che non dipende dalla scelta delle coordinate)

S. Vitale A.A. 2003-2004 16

ϕ

ϕ

P

x

y

yP

xP

x P’

x’

y’

y P’

( )'Px Cos φ

( )'Py Sin φ

Trasformando le coordinate

( ) ( )PP ''Px Cosx y Sinφ= − φ

S. Vitale A.A. 2003-2004 17

ϕ

ϕ

P

x

y

yP

xP

x P’

x’

y’

y P’

( )'Px Sin φ( )'Py Cos φ

( ) ( )PP ''Px Siny y Cosφ= + φ

S. Vitale A.A. 2003-2004 18

Cos 0.876

Sin 0.56

π⎡ ⎤ ≈⎢ ⎥⎣ ⎦π⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

S. Vitale A.A. 2003-2004 19

La legge di trasformazione e la sua inversa:

x’ e y’ sono ruotate di ϕ rispetto a x e y

x e y sono ruotate di -ϕ rispetto a x’ e y’

( ) ( )( ) ( )

' 'P P P

' 'P P P

x x Cos y Sin

y x Sin y Cos

= φ − φ

= φ + φ

( ) ( )( ) ( )

'P P P

'P P P

x x Cos y Sin

y x Sin y Cos

= φ + φ

= − φ + φ

φ ↔ −φ

Cambiando segno a ϕ il seno cambia segno ed il coseno no

S. Vitale A.A. 2003-2004 20

La trasformazione degli spostamenti

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' 'P P P Q Q Q

' ' ' 'P P P Q Q Q

x x Cos y Sin & x x Cos y Sin

y x Sin y Cos & y x Sin y Cos

= φ − φ = φ − φ

= φ + φ = φ + φ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' 'P Q P Q P Q

' ' ' 'P Q P

x x' y'

y

Q P

x'

Q

y'

x x x x Cos y y Sin

y y x x Sin y y Cos

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

− = − φ − − φ

− = − φ + − φ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' 'P Q P Q P Q

x x' y'

' ' ' 'P Q P Q P Q

y x' y'

x x x x Cos y y Sin

y y x x Sin y y Cos

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

− = − φ − − φ

− = − φ + − φ

Le componenti dello spostamento si trasformano come le coordinate dei punti

S. Vitale A.A. 2003-2004 21

Il modulo di uno spostamento( ) ( )( ) ( )

x x'Cos y'Sin

y x'Sin y'Cos

∆ = ∆ φ − ∆ φ

∆ = ∆ φ + ∆ φ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x' Cos y' Sin 2 x' y'Cos Sin

+ + + +y x' Sin y' Cos 2 x' y'Sin Cos

∆ =∆ φ +∆ φ − ∆ ∆ φ φ

∆ =∆ φ +∆ φ + ∆ ∆ φ φ

( ) ( )

( ) ( )1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

r x y x' Cos Sin

y' Sin o r'C s=

=

⎡ ⎤∆ = ∆ + ∆ = ∆ φ + φ +⎣ ⎦

= ∆⎡ ⎤+∆ φ + φ⎣ ⎦

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2

1

r x y x' Cos Sin

y' Sin Cos r'=

=

⎡ ⎤∆ = ∆ + ∆ = ∆ φ + φ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+∆ φ + φ = ∆⎣ ⎦E’ uno scalare

S. Vitale A.A. 2003-2004 22

Trasformazione di uno spostamento quando si ruotano gli assi di un angolo ϕ

( ) ( )( ) ( )

x x'Cos y'Sin

y x'Sin y'Cos

∆ = ∆ φ − ∆ φ

∆ = ∆ φ + ∆ φ

x’

y’

x

y

ϕ

ϕ

S. Vitale A.A. 2003-2004 23

A

B

xA xB

yA

yBxB-xA= x’B-x’A

yB-yA= y’B-y’A

OO’

y’B

y’A

A

xA

yA

O

r

Note: Le tre coordinate cartesiane di un punto sono

le componenti dello spostamento che porta dall’origine a quel punto:

Il raggio vettore r

Le tre componenti di uno spostamento non

dipendono dalla scelta dell’origine ma solo

dall’orientazione degli assi

Se si cambia origine le coordinate cartesiane

cambiano ed cambiar

S. Vitale A.A. 2003-2004 24

Una coppia di grandezze fisiche che si trasformano come le componenti cartesiane di uno spostamento quando si cambia il sistema di coordianate formano

un vettore

In particolare:

La somma (differenza) di due vettori è un vettore

Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore

Tutto vale anche in 3 dimensioni

S. Vitale A.A. 2003-2004 25

A

B1r∆

BrArUno spostamento è la differenza fra il raggio vettore del punto di arrivo e

quello del punto di partenza

S. Vitale A.A. 2003-2004 26

Un utile esercizio: la legge oraria della Terra1 AU=distanza media Sole-Terra=1.496×1011m

S. Vitale A.A. 2003-2004 27

Conversione in coordinate cartesiane

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

x Distanza Cos Hlong Cos Hlat

y Distanza Sin Hlong Cos Hlat ;z Distanza Sin Hlat

= × ×

= × × = ×

S. Vitale A.A. 2003-2004 28

S. Vitale A.A. 2003-2004 29

30 giorni

S. Vitale A.A. 2003-2004 30

Coordinate cartesiane

S. Vitale A.A. 2003-2004 31

La relazione fraspostamento e

tempo trascorso: ilconcetto di

velocità

S. Vitale A.A. 2003-2004 32

Lo spostamento

va a 0

Il rapportotende ad un limite finito

S. Vitale A.A. 2003-2004 33

S. Vitale A.A. 2003-2004 34

S. Vitale A.A. 2003-2004 35

Il modulo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x t t x t y t t y t z t tt

zt t

t∆ ∆

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∆ − + ∆ − +∆

∆ −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x t t x t y t t y t z t t z tt t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∆ − + ∆ − + ∆ −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

S. Vitale A.A. 2003-2004 36

S. Vitale A.A. 2003-2004 37

S. Vitale A.A. 2003-2004 38

Alcune conclusioniDividendo le tre componenti del vettore

spostamento per lo scalare tempo si ottiene ancora un vettore: la velocità media

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1

x t x t y t y t z t z tv , ,

t t t t t t⎧ ⎫− − −

= ⎨ ⎬− − −⎩ ⎭

( ) ( ) ( )2 11 22 1

r t r tv t ,t

t t−

≡−

S. Vitale A.A. 2003-2004 39

( ) ( ) ( )2 12 1 x 1 22 1

x t x tSe t t allora v t indip da t

t t−

→ →−

Vettore velocità istantanea

( )v t ≡

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 0 t 0 t 0

x t+ t x t y t+ t y t z t+ t z t, ,Lim Lim Limt t t∆ → ∆ → ∆ →

⎧ ⎫∆ − ∆ − ∆ −⎨ ⎬∆ ∆ ∆⎩ ⎭

( ) ( ) ( ){ }x y zv t , v t , v t ≡

S. Vitale A.A. 2003-2004 40

Direzione e verso

Tangente alla traiettoria. Verso di percorrenza

S. Vitale A.A. 2003-2004 41

φ

Modulo: lunghezza

dell’arco di traiettoria

nell’unità di tempo

S. Vitale A.A. 2003-2004 42

( ) ( )t

Lim r t t r t 0∆ →

⎡ ⎤+ ∆ − =⎣ ⎦

( ) ( ) ( )t

r t t r tLim v t

t∆ →⎡ ⎤+ ∆ −

=⎢ ⎥∆⎣ ⎦

lunghezza di traiettoriaModulo: tempo impiegato

Direzione: tangente alla traiettoriaVerso: stesso verso di percorrenza della traiettoria

S. Vitale A.A. 2003-2004 43

Moto rettilineo uniforme( ) oy oy t v t y= +( ) ox ox t v t x= + ( ) oz oz t v t z= +

( ) { }ox o oy o oz or t v t x , v t y , v t z= + + +

( ) ( )def dr t

v tdt

≡

( ) ( ) ( )oy oox o oz od v t yd v t x d v t z, ,dt dt dt

⎧ ⎫++ +⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

{ }ox oy ozv , v , v=Un vettore costante( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x y zv t v t v t v t= + + 2 2 2ox oy ozv v v= + +

S. Vitale A.A. 2003-2004 44

Si può rappresentare in un piano

x

y

O

( )v t( )r t ( )r t∆

S. Vitale A.A. 2003-2004 45

Componenti della velocità

x

y

O

( )v t

φ

( )xv v Cos= φ

( )v t

( )yv v Sin= φ

S. Vitale A.A. 2003-2004 46

S. Vitale A.A. 2003-2004 47

Unità di misura nel SI m/s

Valori tipici

Suono (in aria STP) 340 m/s

Luce 3 108m/s

Automobile 35 m/s

Aereo (Jet commerciale) 250 m/s

Crosta terrestre 10-10 m/s

S. Vitale A.A. 2003-2004 48

Moto circolare uniforme

( ) ( )o ox t r Cos t= ω ( ) ( )o oy t r Sin t= ω ( )z t 0=

[ ] [ ] 1o or l t−= ω =

S. Vitale A.A. 2003-2004 49

Ancora sulle leggi fisiche: la proporzionalità fra potenze di grandezze misurate

A KB C Dα γ β=Es: legge di Toricelli

h Patm

vuot

o

( ) ( )atm

3

P PaSI : h m 0.102

kgm

=⎛ ⎞ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

ρ= densità

Patm=pressioneatmosferica

L

M3

ML

ρ =

( ) ( ) ( )( )

3atmP Pa L mSI : h m 0.102

M kg⎡ ⎤⎣ ⎦=

S. Vitale A.A. 2003-2004 50

Cambiamento di unità:

( ) ( ) ( )( )

3atmP Pa L mSI : h m 0.102

M kg⎡ ⎤⎣ ⎦=

Grandezza Unità di partenza Unità di Arrivo Fattore di Conversione

Pressione

Lunghezza

Massa

Pascal Torr 1 Pascal =0.007506 Torr

Metro Centimetro 1 Metro = 100 Centimetri

Kilogrammo Grammo 1 Kilogrammo = 1000 Grammi

( ) ( ) ( ) ( )( )

3atmP Torr 0.0075 L cm 100h cm h m 0.102

100 M gr 1000⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅ =

( )( )

( ) ( )( )

3atm

3

P Torr L cm100 1000h cm 0.102M gr0.0075 100

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦=⋅

( ) ( ) ( )( )

3atmP Torr L cmh cm 1.36

M gr⎡ ⎤⎣ ⎦= Le

gge d

i pro

porz

iona

lità

è sal

va

Cam

bia la costante

S. Vitale A.A. 2003-2004 51

Cambiamento di unità:A=kAA’, B=kBB’, C=kCC’, D=kDD’

A B C Dk A' Kk B' k C' k D'α α γ γ β β= =

B C D

A

Kk k k B' C' D'k

α γ βα γ β⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠A' K'B' C' D'α γ β→ =

Ok: la proporzionalità è osservata da entrambi gli osservatori

( ) ( )A Bk AA Sin ' Sin k B'B ≠= →No: solo uno dei due osservatori trova la legge

obbedita

S. Vitale A.A. 2003-2004 52

Il rapporto di due numeri che si misurano nelle stesse unità non dipende dalla scelta dell’unità di

misura (numero puro)

B

o o B o

B B' k B' B B' k B'

= =

Una funzione trascendente di un numero puro può comparire in una legge fisica

oo

BA A Sin B

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠B

oA o B

A' B' kA Sin k B' k

⎛ ⎞→ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

BA o

o B

B' kA' k A Sin B' k

⎛ ⎞→ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠o

o

B' A' SinB'

⎛ ⎞→ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

S. Vitale A.A. 2003-2004 53

Moto circolare uniforme

( ) ( )o ox t r Cos t= ω ( ) ( )o oy t r Sin t= ω ( )z t 0=

[ ] [ ] 1o or l t−= ω =

( )r t = ( ) ( ) ( )2 2 2x t y t z t+ + =

( ) ( )2 2 2 2o or Cos t r Sin tω + ω = or

S. Vitale A.A. 2003-2004 54

Velocità

( ) ( ) ( )o oxdx t dr Cos t

v tdt dt

ω= = ( )o o or Sin t⎡ ⎤= ω − ω⎣ ⎦

( ) ( ) ( )o oydy t dr Sin t

v tdt dt

ω= = ( )o o or Cos t= ω ω

( ) ( )zdz t

v t 0dt

= =

( ) ( ) ( ){ }o o o ov t r Sin t ,Cos t= ω − ω ω

( ) ( ) ( )2 2o o o o o ov t r Sin t Cos t r= ω ω + ω = ω

S. Vitale A.A. 2003-2004 55

x

y

O

otφ = ω

( ) ( )o oy t r Sin t= ω

( )r t

( ) ( )o ox t r Cos t= ω

2π

θ = − φ

( ) ( )y o o ov t r Cos t= ω ω( ) ( )x o o ov t r Sin t= −ω ω

( )v t

S. Vitale A.A. 2003-2004 56

S. Vitale A.A. 2003-2004 57

( ) ( )r t v t⊥

( ) ( )r t v t⋅ ≡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y zx t v t y t v t z t v t+ +

( ) ( )( ) ( )

o o o o o

o o o o o

r Cos t r Sin t

r Sin t r Cos t

⎡ ⎤= ω × −ω ω⎣ ⎦+ ω ω ω 0=

Ma anche

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t v t r t v t Cos r t v t⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦

( ) ( )r t v t2π

⋅ = ±

S. Vitale A.A. 2003-2004 58

( )r t( )r t t+ ∆

( ) ( )r t t r t+ ∆ −

δ

2 2π δ

−

Al tendere di ∆t 0, δ 0 e π/2-δ/2 π/2

( ) ( ) ( )r t r tt t r+ ∆ − ⊥La derivata di un vettore di modulo costante è

ortogonale al vettore derivato