cinemática

DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015

1 YENI VASQUEZ HUARANGA

UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO

MECNICO

ALUMNA:

YENI VASQUEZ HUARANGA

CDIGO:

2132828566

DOCENTE:

Ing. WALTER PREZ TERREL

CURSO: DINMICA

CICLO: III

AO:

2015



= = () ()

= -8 i m (se desplaza 8m a la izquierda)

Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (Nivel Bsico)

1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X t 3 4.t t donde t se mide en segundos y X se mide en metros. Determine el desplazamiento entre los instantes t 1 s y

t 5s

RESOLUCIN Se sabe que el desplazamiento se obtiene de la siguiente manera:

= =

a) Obtenemos la posicin en el instante t 1 s

El signo positivo significa, que el mvil est a la derecha del origen de coordenadas.

b) Obtenemos la posicin en el instante t 5s

El signo negativo significa, que el mvil est a la izquierda del origen de coordenadas.

c) Determinamos en que instante la velocidad es cero. Por dato se tiene la ecuacin de la posicin, pero ahora necesitamos la ecuacin de la velocidad, para lo cual se sabe que esta es obtenida mediante la derivada de la posicin.

=

Se lee: Derivada de la posicin en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un polinomio cuya variable es el tiempo.

2X t 3 4.t t

0 = (4 2t) i m.s-1 t=2 s Evaluando X (t), en el instante t= 2

X (2) = 3 + 4(2) (2)2 = +7

X (1) = 3 + 4(1) (1)2 = +6

X (5) = 3 + 4(5) (5)2 = - 2

T=5s T=1s

T=2s

V=0

-2 0 6 7 X



2. Un cuerpo tiene la siguiente ley de movimiento() = 7 + 6 22, donde t se mide en

metros .Determine el desplazamiento entre los instantes t=15s y t=5s.

Evaluamos las posiciones en los tiempos, para obtener los desplazamientos:

Para el tiempo 15s

() = 7 + 6 22

(1) = 7 + 6(1) 2(1)2

(1) = 7 + 6 2

(1) = 11

Para el tiempo 5s

() = 7 + 6 22

(5) = 7 + 6(5) 2(5)2

(5) = 7 + 30 50

(5) = 13

= =

= = () ()

= ( )



3. Se conoce la ley de movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 32

12 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros . Determine la velocidad media

entre los instantes t=1sy t=5s

Determinamos la velocidad Media

Primero evaluamos en los tiempos dados

-Para el t=1s

() = 32 12 + 5

(1) = 3(1) 12(1) + 5

(1) = 4 -Para el t=5s

(5) = 32 12 + 5

(5) = 3(5)2 12(5) + 5

(5) = 75 60 + 5 (5) = 20

Hallando la velocidad media respecto de los tiempos

() =() ()

() ()

() =(5) (1)

5 1

() =20 (4)

5 1

() = 6(

)



4. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en eje x. () = 52 -

24t+10 en metros. Determine la velocidad media entre los instantes = 2 = 5

Determinamos la velocidad Media

Primero evaluamos en los tiempos dados

-Para el tiempo =2s

() = 52 24 + 10 (2) = 5(2)2 24(2) + 10

(2) = 20 28 + 10 (2) = 18

-Para el tiempo 5s

() = 52 24 + 10 (5) = 5(5)2 24(5) + 10

(5) = 125 120 + 10

(5) = 255

Hallando la velocidad media respecto de los tiempos

() =() ()

() ()

() =(5) (1)

5 2

() =25 (18)

3

() =43

3(

)



5. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.() = 32 12 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s. c) En qu instante la velocidad es nula? La velocidad se obtiene derivando

=

() = 32 12 + 5

() = 6 12 a) La velocidad en t=1s

() = 6 12 (1) = 6(1) 12 (1) = 6(1)

b) = 5

() = 6 12 (1) = 6(5) 12 (1) = 18(1)

c) Instante en que la velocidad es nula

() = 6 12 0 = 6 12

= 2



6. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X(t) t 5t 6 donde t se mide en

segundos y X se mide en metros. Determine longitud que recorre entre los instantes t 0s y t 5s Para determinar la longitud evaluamos en cada instante

T=0s

() = 2 5 + 6 (0) = 6

T=5s () = 2 5 + 6

(5) = 52 5(5) + 6 (5) = 6

Calculamos la posicin en los tiempos T=1

() = 2 5 + 6 (1) = 12 5(1) + 6

(1) = 2 T=3

() = 2 5 + 6 (3) = 32 5(3) + 6

(3) = 0 T=4

() = 2 5 + 6 (4) = 42 5(4) + 6

(4) = 2 - Su Recorrido se representara

Su desplazamiento es

cero ya que vuelve al mismo punto de partida



7. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X(t) t 6t 5 donde t se mide en

segundos y X se mide en metros. Determine longitud que recorre entre los instantes t 1 s y t 6 s

Para determinar la longitud evaluamos en cada instante T=1s

() = 2 6 + 5 (1) = 12 6(1) + 5

(1) = 0 T=6s

() = 2 6 + 5 (6) = 62 6(6) + 5

(5) = 5 - Su Recorrido se representara

8. La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3X(t) 4 5.t t t

donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad y aceleracin de la

partcula en el instante t = 5 segundos.

Determinaremos la velocidad derivando la posicin respecto del tiempo

=

() = 4 + 5 + 2 + 3

() = 5 + 2 + 32



a) Evaluando la velocidad en T = 5s

() = 5 + 2 + 32

(5) = 5 + 2(5) + 3(5)2

(5) = 90(1)

Determinamos la aceleracin derivando la velocidad con respecto al tiempo

a(t)=

() = 5 + 2 + 32

() = 2 + 6

b) = 5

() = 2 + 6

(5) = 2 + 6(5)

(5) = 32(2)

9. La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3X(t) 4 5.t t t

donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad y aceleracin de la

partcula en el instante t = 4 segundos.


=

() = 4 5 + 2 3

() = 5 + 2 32



a) = 4

() = 5 + 2 32

(4) = 5 + 2(4) 3(4)2

(4) = 45(1)

Determinamos la aceleracin derivando la velocidad con respecto al tiempo

a(t)=

() = 5 + 2 32

() = 2 6

) = 4

() = 2 6

(4) = 2 6(4)

(4) = 22(2)

10. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.

X t t t23 12 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.

b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.

c) En qu instante la velocidad es nula?


=

() = 32 12 + 5

() = 6 12



a) Velocidad en T=1s

() = 6 12 (1) = 6(1) 12

(1) = 6

b) Velocidad en T=5s

() = 6 12

(5) = 6(5) 12 (5) = 18


() = 6 12

0 = 6 12

12 = 6

= 2


X t t t25 24 10 , donde t se mide en segundos y x en metros. a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.



La velocidad se obtiene derivando la posicin.

=

La velocidad en los tiempos a) T=2s

() = 10 24 (2) = 10(2) 24 (2) = 20 24

(2) = 4(1)

() = 52 24 + 10 () = 10 24



b) T=5s () = 10 24

(5) = 10(5) 24

(5) = 26(1)


() = 10 24 0 = 10 24

T= 12

5(s)

12. Se conoce la ley de movimiento de una partcula que se mueve en el eje () = 3 18 + 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.

La velocidad se obtiene derivando la posicin.

=

() = 3 18 + 20

() = 32 18 a) Determine la velocidad en el instante t = 2s

() = 32 18 (2) = 3(2)2 18

(2) = 3(4) 18

(2) = 6 . 1



b) Determine la velocidad en el instante = 35 (3) = 32 18

(3) = 3(3)2 18 (3) = 27 18

(3) = 9 . 1

c) En que instante la velocidad es nula

0 = 32 18 18 = 32 18

3= 2

6 = 2

6 =

2.445 =

13. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x en metros La velocidad se obtiene derivando

=

() = 3 62 + 10 () = 32 12

a) Evaluando en t=3s

(3) = 3(3)2 12(3) (3) = 3(9) 36 (3) = 27 36

(3) = 9 (. 1)

b) Evaluando en t= 8s

(8) = 3(8)2 12(8) (8) = 3(64) 96

(8) = 96 (. 1)



c) Instante en que la velocidad es nula 0 = 32 12 0 = 2 4 0 = ( 4)

= 0

= 4

14. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 3 27 + 20 donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad media entre los instantes t= 15 y t= 65.

Para determinar la velocidad calculamos su posicin en respectivos instantes Instante 1s

(1) = 3 27 + 20 (1) = 1 27 + 20

(1) = 6 Instante 6 s

(6) = 3 62 + 10 (6) = 3 27 + 20

(6) = 63 27(6) + 20 (6) = 74

a) Velocidad media

=61

(+6) (+1)

=74 (6)

6 1

= 16 .

1



15. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x,() = 3 62 + 10 donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad media entre los instantes t 1= 5 y t= 65.

Para determinar la velocidad calculamos su posicin en respectivos instantes

Instante T= 1s

(1) = 3 62 + 10 (1) = 13 6(1)2 + 10

(1) = 1 6 + 10

(1) = 5 Instante T= 6 s

(6) = 3 62 + 10 (6) = 63 6(6)2 + 10

(6) = 10

Con los datos obtenidos calculamos la Velocidad media

=61

+6 +1

=10 5

6 1

=5

5

= 1 (.

1)

16. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. () = 23 122 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.

La aceleracin en el instante t = 15 Determinando la velocidad

=

() = 23 122 + 5

() = 62 24 (. 1)



Determine la aceleracin

() = 12 24(. 2) a) Aceleracin en 1s

(1) = 12(1) 24 (1) = 12 24

(1) = 6 (. 2)

b) Instante en la aceleracin es nula

0 = 12 24 0 = 2

= 2

17. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 3 152 + 10donde c se mide en segundos y x se mide en metros.

a) Determine la aceleracin en el instante t=3. b) Determine la aceleracin en el instante t=9. c) En qu instante la aceleracin es nula?

Determinamos la aceleracin

La velocidad respecto al tiempo seria

() = 3 152 + 10

() = 32 30(. 1)

Obteniendo la velocidad procedemos a derivar la velocidad con respecto al tiempo para con ello obtener la aceleracin.

() = 32 30

() = 6 30(. 2)



a) Aceleracin en T= 3s

() = 6 30 (3) = 6(3) 30

(3) = 12 (. 2)

b) Aceleracin en T= 9s

() = 6 30 (9) = 6(9) 30

(9) = 24(. 2)

c)

() = 6 30

0 = 6 30

= 5


X t t t4 218 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la aceleracin en el instante t = 2 s. b) Determine la aceleracin en el instante t = 4 s. c) En qu instante la aceleracin es nula?

Determinamos la aceleracin

La velocidad respecto al tiempo seria

() = 4 182 + 20

() = 43 36(. 1)

Obteniendo la velocidad procedemos a derivar la velocidad con respecto al

tiempo para con ello obtener la aceleracin.

() = 122 36(. 2)



a) Aceleracin en T= 2s

() = 122 36

(2) = 12(2)3 36

(2) = 60(2)

b) Aceleracin en T =4s

() = 122 36

(4) = 12(4)2 36

(4) = 156 (2)

c) Instante en que la aceleracin es nula

() = 122 36

0 = 2 3

= 3


X t t t3 22 12 5 , donde t se mide en segundos y x en metros. a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s. c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 1 s y t = 3 s.

Determinamos la velocidad se obtiene derivando

=

() = 23 122 + 5

() = 62 24(. 1)



Evaluamos la velocidad en:

a) T=1s

() = 62 24

(1) = 6(1)2 24(1)

(1) = 18 (1)

b) T=3s

() = 62 24

(3) = 6(3)2 24(3)

(3) = 18 (1)

c) Aceleracin Media entre T=1s y T=3s

=

3131

=

18(18)31

= 0(2)




X t t t 3 218 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.

Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.

).()366()(

).()363()(

)()2018()(

2

12

23

smitta

smitttv

mitttx

a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.

).(60)2(

7212)2(

).()363()(

1

12

smiv

v

smitttv


).(105)5(

)5(3675)5(

).()363()(

1

12

smiv

v

smitttv

c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.

).(15

)25(

)60()105(

)2()5(

2

smia

a

t

vva

m

m

m




X t t t 4 224 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.


).()4812()(

).()484()(

)()2024()(

2

13

24

smitta

smitttv

mitttx

a) Determine la velocidad en el instante t = 3s.

).(36)3(

)3(48)3(4)3(

).()484()(

1

3

13

smiv

v

smitttv


).(260)5(

)5(48)5(4)5(

).()484()(

1

3

13

smiv

v

smitttv

c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 3 s y t = 5 s.

).(148

)35(

)36()260(

)3()5(

2

smia

a

t

vva

m

m

m




X t Sen t 20. . , donde t se mide en segundos y x en metros. Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego

para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.

).()..cos(20)(

)().(20)(

1

smittv

mitsentx


).(8.62)2(

).().)2.(cos(20)2(

).()..cos(20)(

1

1

1

smiv

smiv

smittv

El signo negativo indica con direccin en el eje -x b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.

).(8.62)3(

).().)3.(cos(20)3(

).()..cos(20)(

1

1

1

smiv

smiv

smittv

El signo positivo indica con direccin en el eje x c) En qu instante la velocidad es nula?

0).cos(

0)..cos(20)(

t

ttv

El coseno es nulo cuando el ngulo es,

3 5 7 9; ; ; ; ;.....

2 2 2 2 2



Resolviendo la ecuacin:

3

1 .t t s2 2

3 5

2 .t t s2 2

5 7

3 .t t s2 2

La velocidad es nula en el instante,

3 5 7 9t ; ; ; ;..... s

2 2 2 2


t

X t Sen

.10.

4 2, donde t se mide en segundos y x en metros.


).(4

).24

.cos(10)(

)()24

.(10)(

1

smit

tv

mit

sentx


).(85.7)2(

).(4

).24

)2.(cos(10)2(

).(4

).24

.cos(10)(

1

1

1

smiv

smiv

smit

tv

El signo positivo indica con direccin en el eje x




).(49.5)3(

).(4

).24

)3.(cos(10)3(

).(4

).24

.cos(10)(

1

1

1

smiv

smiv

smit

tv


0)24

.cos(

04

).24

.cos(10)(

t

ttv


3 5 7 9; ; ; ; ;.....

2 2 2 2 2


stt

stt

stt

122

5

24

.

82

3

24

.

4224

.


st ......16,12,8,4




X t Cos t

20. .2

, donde t se mide en segundos y x en metros.


).().2

.(20)(

)()2

.cos(20)(

1

smitsentv

mittx


).(8.62)2(

).().2

)2.((20)2(

).().2

.(20)(

1

1

1

smiv

smisenv

smitsentv

El signo positivo indica con direccin en el eje x b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.

).(8.62)2(

).().2

)3.((20)3(

).().2

.(20)(

1

1

1

smiv

smisenv

smitsentv

El signo negativo indica con direccin en el eje -x




0)2

.(

0).().2

.(20)( 1

tsen

smitsentv

El seno es nulo cuando el ngulo es,

0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;..... Resolviendo la ecuacin:

stt

stt

stt

2

52

2.

2

3

2.

5.002

.


st

......2

7,

2

5,

2

3,

2

1


t

X t Cos

.10.



).(8

).28

.(10)(

)()28

.cos(10)(

1

smit

sentv

mit

tx




).(74.2)2(

).(8

).28

)2.((10)2(

).(8

).28

.(10)(

1

1

1

smiv

smisenv

smit

sentv


).(49.1)3(

).(8

).28

)3.((10)3(

).(8

).28

.(10)(

1

1

1

smiv

smisenv

smit

sentv


0)28

.(

0).(8

).28

.(10)( 1

tsen

smit

sentv


0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;.....




stt

tt

stt

20228

.

1228

.

4028

.


st ......28,20,12,,4


t

X t Sen2.

10.8 2

, donde t se mide en segundos y x en metros.


).(4

).28

.cos(10)(

)()28

.(10)(

12

2

smitt

tv

mit

sentx


).(7.15)2(

).()2(4

).28

)2.(cos(10)2(

).(4

).28

.cos(10)(

1

1

12

smiv

smiv

smitt

tv





).(94.8)3(

).()3(4

).28

)3.(cos(10)3(

).(4

).28

.cos(10)(

1

1

12

smiv

smiv

smitt

tv

El signo negativo indica con direccin en el eje -x c) En qu instante la velocidad es nula?

0)28

.cos(

0).(4

).28

.cos(10)(

2

12

t

smitt

tv


3 5 7 9; ; ; ; ;.....

2 2 2 2 2


stt

stt

stt

622

5

28

.

42

3

28

.

22228

.

2

2

2


st ...,.........62,4,22




t

X t Sen

2.50.



).(.).42

.cos(50)(

)()42

.(50)(

12

2

smitt

tv

mit

sentx


).(8.219)2(

).()2().42

)2.(cos(50)2(

).(.).42

.cos(50)(

1

1

12

smiv

smiv

smitt

tv


).(5.549)5(

).()5().42

)5.(cos(50)5(

).(.).42

.cos(50)(

1

1

12

smiv

smiv

smitt

tv





0)42

.cos(

0).(.).42

.cos(50)(

2

12

t

smitt

tv


3 5 7 9; ; ; ; ;.....

2 2 2 2 2


stt

stt

stt

2

22

2

5

42

.

2

14

2

3

42

.

2

6

242

.

2

2

2


sst

............2

22,

2

14,

2

6




t

X t Cos

2.10.



).(.2

).24

.(10)(

)()24

.cos(10)(

12

2

smitt

sentv

mit

tx


).(4.31)2(

).()2.(2

).24

)2.((10)2(

).(.2

).24

.(10)(

1

12

12

smiv

smisenv

smitt

sentv

El signo negativo indica con direccin en el eje -x b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.

).(9.54)5(

).()5.(2

).24

)5.((10)5(

).(.2

).24

.(10)(

1

12

12

smiv

smisenv

smitt

sentv





0)24

.(

0).(.2

).24

.(10)(

2

12

tsen

smitt

sentv


0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;.....


stt

stt

stt

10224

.

2

3

24

.

2024

.

2

2

2


st

......10,2

3,2



29. Conoc iendo la ley de l mov imiento: t t

X t t 3 2

( ) 6. 103 2

, donde X se

mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.

).()6()( 12 smitttv

b ) En qu instante la ve loc idad es nula?

2

3

)6(0 2

t

t

tt

c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?

)(5.3)3(

10185.49)3(

10623

)(23

mix

x

ttt

tx

d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 5 ?

)(9.0101.9

)(1.9)5(

)(10)0(

mid

xixfd

mix

mix

E l recorr ido es 22 .6m

e ) Cul es su ve loc idad media entre st 1 y st 5 ?

).(3.3)15(

)(16.4)1(

)(1.9)5(

115

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m



f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?

).(6)25(

)(4)2(

)(14)5(

6)(

225

2

smivv

a

mix

miv

tttv

t

vva

m

if

m

g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.

).()12()(

6)(

2

2

smitta

tttv

h ) Cul es su ace lerac in en st 4 ?

).(7)4(

)1)4(2()4(

).()12()(

2

2

smia

a

smitta

i ) En qu instante la ace lerac in es nula?

st

t

smitta

5.0

)12(0

).()12()( 2

j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?

)(92.6)5.0(

)(10)5.0(62

)5.0(

3

)5.0()5.0(

23

mix

mix

30. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 10.102

.3

3)(

23

ttt

tX , donde X se


).()103()( 12 smitttv




2

5

)103(0 2

t

t

tt


)(9.35)5(

10)5(102

75

3

125)5(

10102

3

3)(

23

mix

x

ttt

tx


)(9.45109.35

)(9.35)5(

)(10)0(

mid

xixfd

mix

mix

E l s igno negat ivo de l desplazamiento , nos indica que se t ras lada hac ia la i zquierda. E l recorr ido es 45 .9m


).(2.9)15(

)(1.1)1(

)(9.35)5(

115

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(4)25(

)(12)2(

)(0)5(

)103()(

225

2

smivv

a

mix

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()32()(

103)(

2

2

smitta

tttv


).(5)4(

)3)4(2()4(

).()32()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

5.1

)3)(2(0

).()32()( 2


)(25.7)5.1(

)(10)5.1(102

)5.1(3

3

)5.1()5.1(

23

mix

mix




.3

3)(

23

ttt

tX , donde X se


).()183()( 12 smitttv


3

6

)183(0 2

t

t

tt

So lo se asume e l t iempo pos it ivo , ya que un t iempo negat ivo no ex is te .


)(80)6(

10182

3

3)(

23

mix

ttt

tx


)(9.85109.75

)(9.75)5(

)(10)0(

mid

xixfd

mix

mix

Se desplaza 85 .9 m hac ia la i zquierda Su recorr ido es 75 .9 m.


).(16)15(

)(10)1(

)(9.75)5(

115

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(4)25(

)(20)2(

)(8)5(

)183()(

225

2

smivv

a

mix

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()32()(

183)(

2

2

smitta

tttv


).(5)4(

38)4(

).()32()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

5.1

320

).()32()( 2


)(2.19)5.1(

)(10)5.1(182

)5.1(3

3

)5.1()5.1(

23

mix

mix



32. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 10.16.33

)( 23

ttt

tX , donde X se


).()166()( 12 smitttv


2

8

)166(0 2

t

t

tt


)(4.139)8(

101633

)( 23

mix

ttt

tx


)(3.134.1037.116

)(7.116)10(

)(4.103)5(

mid

xixfd

mix

mix

Su recorr ido es 58 .4m


).(32.1)610(

)(7.116)10(

)(122)6(

1610

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(10)610(

)(24)10(

)(16)6(

)166()(

2610

2

smivv

a

miv

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()62()(

166)(

2

2

smitta

tttv


).(2)4(

68)4(

).()62()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

3

620

).()62()( 2


)(56)3(

)(10)3(16)3(63

)3()3( 2

3

mix

mix



33. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 5)( 23 ttttX , donde X se mide

en metros y t se mide en segundos . Determinar : a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.

).()123()( 12 smitttv


3/1

1

)123(0 2

t

t

tt


)(4)1(

5)( 23

mix

ttttx


)(257

)(7)2(

)(5)0(

mid

xixfd

mix

mix

Su recorr ido es de 4m.


).(40)35(

)(100)5(

)(20)3(

135

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(19)25(

)(64)5(

)(7)2(

)123()(

225

2

smivv

a

miv

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()26()(

123)(

2

2

smitta

tttv


).(28)5(

230)5(

).()26()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

3.0

260

).()26()( 2


)(63.4)3.0(

)(5)3.0()3.0()3.0()3.0( 23

mix

mix




.5

3)(

23

ttt

tX , donde X se


).()65()( 12 smitttv


1

6

)65(0 2

t

t

tt


)(23)6(

562

5

3)(

23

mix

ttt

tx


)(3.553.10

)(3.10)4(

)(5)0(

mid

xixfd

mix

mix


).(31.1)16(

)(1.14)6(

)(84.8)1(

116

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(2)25(

)(6)5(

)(0)2(

)65()(

225

2

smivv

a

miv

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()52()(

65)(

2

2

smitta

tttv

h ) Cul es su ace lerac in en st 5,2 ?

).(0)5.2(

55)5.2(

).()52()(

2

2

smia

a

smitta


5.2

520

).()52()( 2

t

t

smitta


)(8.9)5.2( mix




.7

3)(

23

ttt

tX , donde X se


).()107()( 12 smitttv


st

st

tt

2

5

)107(0 2


)(6.13)2(

)(1.9)5(

5102

7

3)(

23

mix

mix

ttt

tx


)(6511

)(11)6(

)(5)0(

mid

xixfd

mix

mix

Su recorr ido es 6m.


).(7.1)35(

)(1.9)5(

)(5.12)3(

135

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(2)14(

)(2)4(

)(4)1(

)107()(

214

2

smivv

a

miv

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()72()(

107)(

2

2

smitta

tttv

h ) Cul es su ace lerac in en st 5,3 ?

).(0)5.3(

77)5.3(

).()72()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

5.3

720

).()72()( 2


)(41.11)5.3(

)(5)5.3(102

)5.3(7

3

)5.3()5.3(

23

mix

mix




.9

3)(

23

ttt

tX , donde X se


).()189()( 12 smitttv


st

st

tt

3

6

)189(0 2


)(5.27)3(

)(23)6(

5182

9

3)(

23

mix

mix

ttt

tx


)(77.06.2583.24

)(83.24)7(

)(6.25)2(

mid

xixfd

mix

mix


).(7.1)35(

)(2)5(

)(0)3(

135

smixx

v

mix

mix

t

xxv

m

if

m




).(2)25(

)(2)5(

)(4)2(

)189()(

225

2

smivv

a

miv

miv

tttv

t

vva

m

if

m


).()92()(

189)(

2

2

smitta

tttv


).(1)5(

910)5(

).()92()(

2

2

smia

a

smitta


st

t

smitta

5.4

920

).()92()( 2


)(23.25)5.4(

)(5)5.4(182

)5.4(9

3

)5.4()5.4(

23

mix

mix



FUNDAMENTO TERICO

I. La velocidad es la anti-derivada de la aceleracin:

1).()( CdttatV

II. La Posicin en un eje de coordenadas es la anti-derivada de la velocidad.

2).()( CdttVtX

III. Variacin o cambio de la velocidad:

b

a

dttaV ).(

IV. Variacin o cambio de la posicin o desplazamiento:

b

a

dttVX ).(

Resolver cada caso:

1. dtt. =

2

2 + c

2. dtt .2 =

4

3 + c

3. dtt .3 =

4

4 + c

4. dxx .4 =

kdxxk N ... 1

5 + c

5. dxx .5 =

6x6

+ c

6. dxxN . =

1Nx+1

+ c

7. dyy .3 =

2

2 + 3 + c

8. dyyy .32 =

3

3

2

2 3 + c

9. dxxxx 5223 =

4

4 +

3

3 + x2 + 5x + c

10 dxxxxx .1234

=

5

5 +

4

4 + +

2

2 1x + c

11. dxxxx .235

=

6x6

+

4

4 +

2

2 -2x + c

12. kdxxk N ... 1 = k ( 1Nx ) (N+1)-1 +C



13. 4

2

.dxx =

2

2

14. 4

2

1 dxx =[

2

2+ ]

15. 4

2

2 1. dxx = [

4

3+ ]

16. 4

0

.dtt =

2

2

17. 3

0

23 dtt = 3

2

2 2

18. 1

0

2 23. dttt = [

4

3+

32

2 2]

19. 4

3

2 3. dttt = [

4

3+

32

]

20. 1

0

2 2. dtt =[

4

3 2]

21. dttSen ).( =cos() +

22. dttSen ).2( = cos(2)

2+

23. dttSen ).3( = cos(3)

3+

24. dttSen ).4( = cos(4)

4+

25. dttSen ).5( = cos(5)

5+

26. dttCos ).( =sin() +

27. dttCos ).2( = sin(2)

2+

28. dttCos ).3( =sin(3)

3+

29. dttCos ).4( =sin(4)

4+

30. dttCos ).5( =sin(5)

5+

4

2

=8 - 2 = 6

4

2

=12+4 = 16

4

2

=20.7

0

4

=8

3

0

= 7.5

0

3

4

=-19.06

1

=-0.2

1

0

=2

3



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta En el instante st 2 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad

en el instante st 10

DATOS:

a(t)=(2t +3) i (m.s-2)

v(2) = 20 i (m.s-1)

dtttv )32()( cttv t 3)(

2

12 .)103()(

10

1020

64)2(

simtttv

c

c

cv

2. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .)5.3()( smtta

En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10

DATOS:

).(20)3(

.)53()(

1

22

smiv

simtta

Remplazando en t= 10s

1

2

.140)10(

10)10)(3(10)10(

simv

v



dtttv )53()(2

8

152720

20)3(

5)( 3

c

c

v

ctttv

).(958)10(

8)10(510)10(

85)(

1

3

3

smiv

v

tttv

3. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smta

En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi .

En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10

DATOS:

)(10)0(

).(10)5(

.5)(

1

2

mix

smiv

smta

Primero procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la posicin de la partcula, se sabe

que la ecuacin de la velocidad se obtiene al integrar la aceleracin, similarmente la ecuacin de la

posicin se obtiene al integrar la velocidad.

).(5.72

5)(

5.7

5.610

).(10)5(

2

5)(

)5()(

).(5)(

12

1

2

2

smit

tv

c

c

smiv

ct

tv

dtttv

smita



)(105.76

5)(

10

10)0(

5.76

5)(

5.72

5)(

5.72

5)(

3

3

2

2

mitt

tx

c

x

ctt

tx

dtt

tx

ttv

)(3.748)10(

10)10)(5.7(6

)10(5)10(

3

miX

X

4. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)6()( smtta

En el instante st 2 la velocidad es ).(10 1smi .


DATOS:

.)(10)10(

).(10)2(

).()6()(

1

2

mix

smiv

smitta

Primero procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la posicin de la partcula, se sabe

que la ecuacin de la velocidad se obtiene al integrar la aceleracin, similarmente la ecuacin de la

posicin se obtiene al integrar la velocidad.



)()1022()(

10

10)0(

22)(

)223()(

).()223()(

22

)4(310

10)2(

3)(

)6()(

3

3

2

12

2

mitttx

c

x

ctttx

dtttx

smittv

c

c

v

cttv

dtttv


En el instante st 5 la velocidad es ).(75 1smi


DATOS:

)(10)0(

).(75)5(

)26()(

1

2

mix

smiv

mstta

).(1023)( 12 smitttv

Nos piden, la posicin de la partcula,

en el instante t=10

)(770)(

)10)10(2210()10( 3

mitx

x

10

)5(2)25(3)5(

75)5(

23)(

)26()(

2

c

cv

v

ctttv

dtttv



)()1010()(

10

10)0(

10)(

)1023()(

23

23

2

mittttx

c

x

cttttx

dttttx

)(1010)10(

10)10(101010()10( 23

mix

x




DATOS:

).()50()(

50

)25(75

75)5(

)(

)2()(

)(10)0(

).(75)5(

.)2()(

12

2

1

2

smittv

c

c

v

cttv

dtttv

mix

smiv

smtta



)(382)6(

10503

)(

10

10)0(

503

)(

)50()(

3

3

2

mix

ttx

c

x

ctt

tx

dtttx

7. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:

Xa t i 8 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Para 0t la

rapidez es V y para 4t s la rapidez es 3V . Determinar la rapidez para 6t s

DATOS:

vv

vv

smitta

3)4(

)0(

).()8()( 2

).(8620)6(818)6(

).(2082

)(

20

3283

3)4(

)0(

82

)(

)8()(

1

12

2

smiv

smitt

tv

cv

vv

vv

cv

vv

ctt

tv

dtttv



8. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 2 2 xv t t i m/s. Si el mvil inicia

su movimiento st 0 en 6x m , determinar la posicin en el instante st 3

Primero integramos la velocidad para obtener la ecuacin de la posicin:

)(30)3(

)(623

)(

6

6)0(

23

)(

)22()(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

x

cttt

tx

dttttx

9. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 1.42 smttV Si el mvil inicia su

movimiento st 0 en mx 5 , determinar la posicin en el instante st 3


)(2)3(

)()54()(

5

5)0(

4)(

)42()(

2

2

mix

mitttx

c

x

ctttx

dtttx



10. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 1.6 smtV Si el mvil inicia su movimiento

st 0 en mx 5 , determinar la posicin en el instante st 4


)(53)4(

)()53()(

5

5)0(

3)(

)6()(

2

2

mix

mittx

c

x

cttx

dttx

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta En el instante 1

2

.140)10(

10)10)(3(10)10(

simv

v la velocidad es ).(20 1smi . Determine la

velocidad en el instante st 10

DATOS:

a(t)=(2t +3) i (m.s-2)

v(2) = 20 i (m.s-1)

dtttv )32()( cttv t 3)(

2

12 .)103()(

10

1020

64)2(

simtttv

c

c

cv

Remplazando en t= 10s

1

2

.140)10(

10)10)(3(10)10(

simv

v





Primero se precede a integrar la aceleracin, para as obtener la frmula de la velocidad.

).(40)8(

).(3)(

0

152510

10)5(

3)(

)32()(

1

12

2

smiv

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv



).(76)10(

).(265)(

26

15920

20)3(

5)(

)52()(

1

12

2

smiv

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv





).(167)10(

).(1752)(

17

151820

20)3(

52)(

)54()(

1

12

2

smiv

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv

5. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .)5.3()( smtta


).(958)10(

).(85)(

8

152720

20)3(

5)(

)53()(

1

13

3

2

smiv

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv



6. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .).3()( smtta


).(983)10(

).(17)(

17

2710

10)3(

)(

)3()(

1

13

3

2

smiv

smittv

c

c

v

cttv

dtttv

7. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 23 .)4()( smtta


).(9939)10(

).(61)(

61

8120

20)3(

)(

)4()(

1

14

4

3

smiv

smittv

c

c

v

cttv

dtttv





).(15)10(

).(355)(

35

2510

10)5(

5)(

)5()(

1

1

smiv

smittv

c

c

v

cttv

dttv



).(60)10(

).(4010)(

40

2020

20)2(

10)(

)10()(

1

1

smiv

smittv

c

c

v

cttv

dttv




En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0 la posicin es )(10 mi

Determine la posicin en el instante st 10

)(110)10(

)(10352

5)(

10

)(10)0(

352

5)(

355)(

).(355)(

35

2510

10)5(

5)(

)5()(

2

2

1

mix

mitt

tx

c

mix

ctt

tx

dtttx

smittv

c

c

v

cttv

dttv




10)5(

10)(

)10()(

v

cttv

dttv



)(110)10(

)(10602

10)(

10

)(10)0(

602

10)(

6010)(

).(6010)(

60

5010

2

2

1

mix

mitt

tx

c

mix

ctt

tx

dtttx

smittv

c

c




).(5.722

5)(

5.72

2

12510

10)5(

2

5)(

)5()(

1

2

2

smit

tv

c

c

v

ct

tv

dtttv



)(3.98)10(

)(105.726

5)(

10

)(10)0(

5.726

5)(

5.722

5)(

3

3

2

mix

mitt

tx

c

mix

ctt

tx

dtt

tx




).(5.3252

)(

5.32

252

2520

20)5(

52

)(

)5()(

12

2

smitt

tv

c

c

v

ctt

tv

dtttv



)(6.251)10(

)(105.3256

)(

10

)(10)0(

5.3256

)(

5.3252

)(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

mix

cttt

tx

dttt

tx


En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0 la posicin es )(10 mi


).(5.1752

)(

5.17

252

2520

20)5(

52

)(

)5()(

12

2

smitt

tv

c

c

v

ctt

tv

dtttv



)(6.251)10(

)(105.1756

)(

10

)(10)0(

5.1756

)(

5.1752

)(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

mix

cttt

tx

dttt

tx

15. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)1.2()( smtta



Primero integramos la aceleracin, para obtener la ecuacin de la velocidad.

).()10()(

10

52520

20)5(

)(

)12()(

12

2

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv



)(3.293)10(

)(101023

)(

10

)(10)0(

1023

)(

)10()(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

mix

cttt

tx

dttttx




. Primero integramos la aceleracin, para obtener la ecuacin de la velocidad.

).()5.22

()(

5.2

52

2520

20)5(

2)(

)1()(

12

2

smitt

tv

c

c

v

ctt

tv

dtttv



)(6.251)10(

)(105.226

)(

10

)(10)0(

5.226

)(

)5.22

()(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

mix

cttt

tx

dttt

tx




Primero integramos la aceleracin, para poder hallar la ecuacin de la velocidad.

).()203()(

20

152520

20)5(

3)(

)32()(

12

2

smitttv

c

c

v

ctttv

dtttv



)(33.693)10(

)(10202

3

3)(

10

)(10)0(

202

3

3)(

)203()(

23

23

2

mix

mittt

tx

c

mix

cttt

tx

dttttx


En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1 smi


Primero integramos la aceleracin, para poder hallar la ecuacin de la velocidad.

).()45()(

45

2520

20)5(

)(

)2()(

12

2

smittv

c

c

v

cttv

dtttv



)(7.106)10(

)(10453

)(

10

)(10)0(

453

)(

)45()(

3

3

2

mix

mitt

tx

c

mix

ctt

tx

dtttx



En el instante st 0 la posicin es )(10 mi


).()80()(

80

10020

20)10(

)(

)2()(

12

2

smittv

c

c

v

cttv

dtttv



)(7.476)10(

)(10803

)(

10

)(10)0(

803

)(

)80()(

3

3

2

mix

mitt

tx

c

mix

ctt

tx

dtttx



En el instante st 0 la posicin es )(10 mi


)(290)10(

)10200500()10(

)()10205()(

10)0(

)()205()(

)2010()(

).()2010()(

20

4020

20)4(

10)(

)10()(

2

2

1

mix

x

mitttx

cx

mictttx

dtttx

smittv

c

c

v

cttv

dttv






En primer lugar se debe proceder a integrar la aceleracin, para obtener la ecuacin de la

velocidad..luego procederemos a integrar la velocidad para as obtener la posicin.

)(630)10(

)304001000()10(

)()304010()(

30

804010

10)2(

)()4010()(

)4020()(

).()4020()(

40

8040

40)4(

20)(

)20()(

2

2

1

mix

x

mitttx

c

c

x

mictttx

dtttx

smittv

c

c

v

cttv

dttv



22. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .).10()( smtta





)(6390)10(

)()103

580

12

10()(

10

10)0(

)()3

580

12

10()(

3

580

3

10)(

).(3

580

3

10)(

3

580

3

)4(1020

20)4(

3

10)(

)10()(

4

4

3

13

3

3

2

mix

mitt

tx

c

x

mictt

tx

dtt

tx

smit

tv

c

c

v

ct

tv

dtttv








)(90)10(

)()10605()(

10

10)0(

)()605()(

)6010()(

).()6010()(

60

)4(1020

20)4(

10)(

)10()(

2

2

1

mix

mitttx

c

x

mictttx

dtttx

smittv

c

c

v

cttv

dttv



24. Determinar el cambio de la velocidad:

).(6282

1

4

2

24

2

smit

tdtV


).(84122

)1( 14

2

24

2

smitt

dttV


).(3

184)

3

4(602

3)2( 1

6

2

36

2

2

smitt

dttV


).(3

346

3

52

3)1( 1

4

3

34

3

2 smitt

dttV


).(16)2( 14

0

2

4

0

smitdttV


).(1622

3)23( 1

4

0

23

0

smitt

dttV


).(27)3( 13

0

3

3

0

2 smitdttV


).(99.0)cos()( 13

0

3

0

smitdttsenV


).(05.0)()cos( 13

0

3

0

smitsendttV



33. Determinar el desplazamiento:

)(22)1(212)23(3

1

3

3

1

2 mittdttX


)(28)16(4452

3)53(

4

2

24

2

mitt

dttX


)(147)28(17510)103(5

2

3

5

2

2 mittdttX


)(248)28(27610)103(6

2

3

6

2

2 mittdttX


)(603632)22(9

3

2

9

3

mittdttX


)(01.0)cos()(9

3

9

3

mitdttsenX


)(01.02

)2cos()2(

8

3

8

3

mit

dttsenX


)(1.0)()cos(9

3

9

3

mitsendttX


)(08.02

)2()2cos(

8

3

8

3

mitsen

dttX



PROBLEMAS PROPUESTOS


Xa t i 6 2 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Inicia su movimiento 0t , desde el reposo, en x m5 . Determinar la posicin en el instante 2t s .

Nos piden determinar la posicin para t=2s, pero para eso primero obtenemos la ecuacin de la velocidad. Se sabe que esto se obtiene al integrar la aceleracin.

).()23()(

0

0)0(

23)(

)26()(

).()26()(

12

2

2

smitttv

c

v

ctttv

dtttv

smitta

Por ultimo procedemos a integrar la velocidad, para que as podamos tener la ecuacin de la posicin. Luego reemplazamos en la ecuacin t=2s.

).(17)2(

)548()2(

).()5()(

5

5)0(

)(

)23()(

).()23()(

1

123

23

2

12

smix

x

smitttx

c

x

ctttx

dttttx

smitttv



43. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 2 2 xv t t i m/s. Si el mvil inicia su movimiento en 6x m , determinar la posicin en el instante 3t s .

).(30)3(

)6699()3(

).()623

()(

6

6)0(

23

)(

)22()(

).()22()(

1

123

23

2

12

smix

x

smittt

tx

c

x

cttt

tx

dttttx

smitttv

44. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 3 xv t i m/s. Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 2 t hasta t s .

).(2)2(

2)1(

)0(

).()33

3()(

)0(

33

3)(

)33()(

1

330

).()33()(

1

13

3

2

2

12

smicx

cx

cx

smictt

tx

cx

ctt

tx

dtttx

st

t

smittv

C - 2 c c +2

x

Por lo tanto el recorrido es de 6m.



45. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 12 xv t i m/s. Determinar el desplazamiento en el intervalo 1 3 t s hasta t s .

mtd

cctd

xxtd

smicx

cx

smictt

tx

cx

ctt

tx

dtttx

smittv

if

2)(

)11()9()(

)(

).(9)3(

11)1(

).()123

3()(

)0(

123

3)(

)312()(

).()123()(

1

13

3

2

12


a t t12. 36 , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 3 m, determine la ley del movimiento.

).()54366()(

54

0)3(

366)(

)3612()(

12

2

smitttv

c

v

ctttv

dtttv

Por lo tanto el desplazamiento es 2m.



)(3554182)(35

541823

)(3)1(

54182)(

)54366()(

23

23

2

mittttx

c

c

mix

cttttx

dttttx

47. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 4 xv t i m/s. Si e mvil inicia su movimiento en 5x m , determinar

1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos. 2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.

Primero procedemos a integrar la velocidad, para obtener la ecuacin de la posicin..

)()54()(

5

)(5)0(

4)(

)43()(

3

3

2

mitttx

c

mix

ctttx

dtttx

Seguidamente procedemos a hallar las posiciones en los distintos tiempos:

)(53)51664()4(

)(20)51227()3(

)(5)588()2(

)(2)541()1(

)()54()( 3

mix

mix

mix

mix

mitttx



Ahora para poder graficar tenemos que saber en qu instante la velocidad es cero.

)(48)0()4(

)(92.1)4.1(

5)4.1(4)4.1()4.1(

14.1

430

43)(

3

2

2

mixxd

mix

x

t

t

ttv

Hallamos el recorrido entre t=0 hasta t=2s

)(16.6 mr

48. Si la ley de movimiento de una partcula que se mueve sobre el eje x es:

2 3( ) 24. 9.X t t t t

Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 6t y t s

49. )(36)6()36(9)6(24)6(

)(166414496)4(

)(2083648)2(

0)0(

)()924()(

2

4

318240

).()31824()(

3

32

2

12

mix

mix

mix

x

mittttx

st

st

tt

smitttv

El recorrido de t = (0,6), es de 44 m




a t t24. 8 , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 2 s, la velocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 15 m, determine la ley del movimiento.

).()32812()(

32

42)2(

812)(

)824()(

12

2

smitttv

c

v

ctttv

dtttv

)(173244)(17

324415

)(15)1(

3244)(

)32812()(

23

23

2

mittttx

c

c

mix

cttttx

dttttx

51. Una partcula se mueve sobre el eje X, cuya velocidad en funcin de la posicin es:

iXV .2 (m/s). Determine la aceleracin en funcin de la posicin.

Se sabe que para obtener la ecuacin de la aceleracin, se debe derivar la velocidad.

En este problema nos piden la aceleracin respecto de X, por lo tanto pasamos a derivar la velocidad respecto de X.

).(2)(

)(

)()(

2)(

2

smixa

xd

xvdxa

xxv



52. El movimiento de una partcula viene definido por la relacin itttx 61562 23 , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine: 1) la posicin de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula. 2) la velocidad de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula.

En primer lugar procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin respectivamente.

).(1212)(

).(15126)(

)(61562)(

2

12

23

smitta

smitttv

mittttx

Pasamos hallar en que instante la aceleracin es nula, para as poder determinar la posicin y velocidad en este instante.

).(9)1(

15126)1(

)(5)1(

61562)1(

1

12120

).(1212)(

1

2

smiv

v

mix

x

st

t

smitta



53. Sean: 21 8 2X t t y

2

2 10X t t las leyes de movimiento de dos mviles (1) y (2) que

partiendo del origen de coordenadas 0x se mueven en el eje X. a) Despus de cuntos segundos se encuentran juntos por segunda vez?

Dos mviles de encuentran juntos en los siguientes tiempos.

6

0

0)6(3

0183

1028

2

22

t

t

tt

tt

tttt

Del grafico se observa que su primer encuentro fue en el instante t=0s, y su segundo encuentro en t=6s

b) En qu posicin se encuentran cada uno de los mviles cuando se detienen instantneamente?

)(24)6(

)6(2)6(8)6(

)()28()(

2

2

mix

x

mitttx

c) Determine la distancia de mximo alejamiento entre los mviles. La mxima distancia se da en t=3s, y es de 27 metros.



54. Un mvil se mueve a lo largo del eje x d acuerdo a la ley: 22 2 3xV t t donde xV se

mide en m/s y t en segundos. Sabiendo que cuando 0t la posicin es 1x m

).()62()(

)()12()(

1

1)0(

2)(

2

32

32

smitta

mittttx

c

x

cttttx

a) Encontrar el valor de x cuando 2t s

.)(171844)2(

)()12()( 32

mix

mittttx

b) Determine la aceleracin cuando 3t s

).(20)3(

182)3(

).()62()(

2

2

smia

a

smitta

55. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 1 xv t i donde xv se mide en m/s y t en segundos. Determinar:

ctt

tx

dtttx

smitta

smittv

3)(

)1()(

).()2()(

).()1()(

3

2

2

12

a) La aceleracin cuando 24xv i m/s.

5

124

).()1()(

2

12

t

t

smittv



).(10)5(

).()2()(

2

2

smia

smitta

b) El desplazamiento en el intervalo de 0t a 3t s

mccxxd

ccx

cx

ctt

tx

66)0()3(

639)3(

)0(

3)(

3

c) El recorrido en el intervalo de 0t a 3t s

cx

t

tv

cx

cx

ctt

tx

3

2)1(

1

0)(

6)3(

)0(

3)(

3

El recorrido es 22/3 m o 7.33metros

56. Si x e y se miden en metros y t en segundos, entonces determinar las frmulas dimensionales de las expresiones:

I. dt

dy = )(ty

II. dxx .2 = c

x

3

3

III. dtx .2

= ctx 2

cinemática

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