Download - Cinemática
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
1 YENI VASQUEZ HUARANGA
UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO
MEDIDAS DEL MOVIMIENTO
MECNICO
ALUMNA:
YENI VASQUEZ HUARANGA
CDIGO:
2132828566
DOCENTE:
Ing. WALTER PREZ TERREL
CURSO: DINMICA
CICLO: III
AO:
2015
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
2 YENI VASQUEZ HUARANGA
= = () ()
= -8 i m (se desplaza 8m a la izquierda)
Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (Nivel Bsico)
1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X t 3 4.t t donde t se mide en segundos y X se mide en metros. Determine el desplazamiento entre los instantes t 1 s y
t 5s
RESOLUCIN Se sabe que el desplazamiento se obtiene de la siguiente manera:
= =
a) Obtenemos la posicin en el instante t 1 s
El signo positivo significa, que el mvil est a la derecha del origen de coordenadas.
b) Obtenemos la posicin en el instante t 5s
El signo negativo significa, que el mvil est a la izquierda del origen de coordenadas.
c) Determinamos en que instante la velocidad es cero. Por dato se tiene la ecuacin de la posicin, pero ahora necesitamos la ecuacin de la velocidad, para lo cual se sabe que esta es obtenida mediante la derivada de la posicin.
=
Se lee: Derivada de la posicin en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un polinomio cuya variable es el tiempo.
2X t 3 4.t t
0 = (4 2t) i m.s-1 t=2 s Evaluando X (t), en el instante t= 2
X (2) = 3 + 4(2) (2)2 = +7
X (1) = 3 + 4(1) (1)2 = +6
X (5) = 3 + 4(5) (5)2 = - 2
T=5s T=1s
T=2s
V=0
-2 0 6 7 X
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
3 YENI VASQUEZ HUARANGA
2. Un cuerpo tiene la siguiente ley de movimiento() = 7 + 6 22, donde t se mide en
metros .Determine el desplazamiento entre los instantes t=15s y t=5s.
Evaluamos las posiciones en los tiempos, para obtener los desplazamientos:
Para el tiempo 15s
() = 7 + 6 22
(1) = 7 + 6(1) 2(1)2
(1) = 7 + 6 2
(1) = 11
Para el tiempo 5s
() = 7 + 6 22
(5) = 7 + 6(5) 2(5)2
(5) = 7 + 30 50
(5) = 13
= =
= = () ()
= ( )
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
4 YENI VASQUEZ HUARANGA
3. Se conoce la ley de movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 32
12 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros . Determine la velocidad media
entre los instantes t=1sy t=5s
Determinamos la velocidad Media
Primero evaluamos en los tiempos dados
-Para el t=1s
() = 32 12 + 5
(1) = 3(1) 12(1) + 5
(1) = 4 -Para el t=5s
(5) = 32 12 + 5
(5) = 3(5)2 12(5) + 5
(5) = 75 60 + 5 (5) = 20
Hallando la velocidad media respecto de los tiempos
() =() ()
() ()
() =(5) (1)
5 1
() =20 (4)
5 1
() = 6(
)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
5 YENI VASQUEZ HUARANGA
4. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en eje x. () = 52 -
24t+10 en metros. Determine la velocidad media entre los instantes = 2 = 5
Determinamos la velocidad Media
Primero evaluamos en los tiempos dados
-Para el tiempo =2s
() = 52 24 + 10 (2) = 5(2)2 24(2) + 10
(2) = 20 28 + 10 (2) = 18
-Para el tiempo 5s
() = 52 24 + 10 (5) = 5(5)2 24(5) + 10
(5) = 125 120 + 10
(5) = 255
Hallando la velocidad media respecto de los tiempos
() =() ()
() ()
() =(5) (1)
5 2
() =25 (18)
3
() =43
3(
)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
6 YENI VASQUEZ HUARANGA
5. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.() = 32 12 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.
a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s. c) En qu instante la velocidad es nula? La velocidad se obtiene derivando
=
() = 32 12 + 5
() = 6 12 a) La velocidad en t=1s
() = 6 12 (1) = 6(1) 12 (1) = 6(1)
b) = 5
() = 6 12 (1) = 6(5) 12 (1) = 18(1)
c) Instante en que la velocidad es nula
() = 6 12 0 = 6 12
= 2
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
7 YENI VASQUEZ HUARANGA
6. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X(t) t 5t 6 donde t se mide en
segundos y X se mide en metros. Determine longitud que recorre entre los instantes t 0s y t 5s Para determinar la longitud evaluamos en cada instante
T=0s
() = 2 5 + 6 (0) = 6
T=5s () = 2 5 + 6
(5) = 52 5(5) + 6 (5) = 6
Calculamos la posicin en los tiempos T=1
() = 2 5 + 6 (1) = 12 5(1) + 6
(1) = 2 T=3
() = 2 5 + 6 (3) = 32 5(3) + 6
(3) = 0 T=4
() = 2 5 + 6 (4) = 42 5(4) + 6
(4) = 2 - Su Recorrido se representara
Su desplazamiento es
cero ya que vuelve al mismo punto de partida
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
8 YENI VASQUEZ HUARANGA
7. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: 2X(t) t 6t 5 donde t se mide en
segundos y X se mide en metros. Determine longitud que recorre entre los instantes t 1 s y t 6 s
Para determinar la longitud evaluamos en cada instante T=1s
() = 2 6 + 5 (1) = 12 6(1) + 5
(1) = 0 T=6s
() = 2 6 + 5 (6) = 62 6(6) + 5
(5) = 5 - Su Recorrido se representara
8. La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3X(t) 4 5.t t t
donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad y aceleracin de la
partcula en el instante t = 5 segundos.
Determinaremos la velocidad derivando la posicin respecto del tiempo
=
() = 4 + 5 + 2 + 3
() = 5 + 2 + 32
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
9 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) Evaluando la velocidad en T = 5s
() = 5 + 2 + 32
(5) = 5 + 2(5) + 3(5)2
(5) = 90(1)
Determinamos la aceleracin derivando la velocidad con respecto al tiempo
a(t)=
() = 5 + 2 + 32
() = 2 + 6
b) = 5
() = 2 + 6
(5) = 2 + 6(5)
(5) = 32(2)
9. La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3X(t) 4 5.t t t
donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad y aceleracin de la
partcula en el instante t = 4 segundos.
Determinaremos la velocidad derivando la posicin respecto del tiempo
=
() = 4 5 + 2 3
() = 5 + 2 32
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
10 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) = 4
() = 5 + 2 32
(4) = 5 + 2(4) 3(4)2
(4) = 45(1)
Determinamos la aceleracin derivando la velocidad con respecto al tiempo
a(t)=
() = 5 + 2 32
() = 2 6
) = 4
() = 2 6
(4) = 2 6(4)
(4) = 22(2)
10. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t23 12 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.
a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.
b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
c) En qu instante la velocidad es nula?
Determinaremos la velocidad derivando la posicin respecto del tiempo
=
() = 32 12 + 5
() = 6 12
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
11 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) Velocidad en T=1s
() = 6 12 (1) = 6(1) 12
(1) = 6
b) Velocidad en T=5s
() = 6 12
(5) = 6(5) 12 (5) = 18
c) Instante en que la velocidad es nula
() = 6 12
0 = 6 12
12 = 6
= 2
11. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t25 24 10 , donde t se mide en segundos y x en metros. a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.
b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
c) En qu instante la velocidad es nula?
La velocidad se obtiene derivando la posicin.
=
La velocidad en los tiempos a) T=2s
() = 10 24 (2) = 10(2) 24 (2) = 20 24
(2) = 4(1)
() = 52 24 + 10 () = 10 24
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
12 YENI VASQUEZ HUARANGA
b) T=5s () = 10 24
(5) = 10(5) 24
(5) = 26(1)
c) Instante en que la velocidad es nula
() = 10 24 0 = 10 24
T= 12
5(s)
12. Se conoce la ley de movimiento de una partcula que se mueve en el eje () = 3 18 + 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.
La velocidad se obtiene derivando la posicin.
=
() = 3 18 + 20
() = 32 18 a) Determine la velocidad en el instante t = 2s
() = 32 18 (2) = 3(2)2 18
(2) = 3(4) 18
(2) = 6 . 1
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
13 YENI VASQUEZ HUARANGA
b) Determine la velocidad en el instante = 35 (3) = 32 18
(3) = 3(3)2 18 (3) = 27 18
(3) = 9 . 1
c) En que instante la velocidad es nula
0 = 32 18 18 = 32 18
3= 2
6 = 2
6 =
2.445 =
13. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x en metros La velocidad se obtiene derivando
=
() = 3 62 + 10 () = 32 12
a) Evaluando en t=3s
(3) = 3(3)2 12(3) (3) = 3(9) 36 (3) = 27 36
(3) = 9 (. 1)
b) Evaluando en t= 8s
(8) = 3(8)2 12(8) (8) = 3(64) 96
(8) = 96 (. 1)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
14 YENI VASQUEZ HUARANGA
c) Instante en que la velocidad es nula 0 = 32 12 0 = 2 4 0 = ( 4)
= 0
= 4
14. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 3 27 + 20 donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad media entre los instantes t= 15 y t= 65.
Para determinar la velocidad calculamos su posicin en respectivos instantes Instante 1s
(1) = 3 27 + 20 (1) = 1 27 + 20
(1) = 6 Instante 6 s
(6) = 3 62 + 10 (6) = 3 27 + 20
(6) = 63 27(6) + 20 (6) = 74
a) Velocidad media
=61
(+6) (+1)
=74 (6)
6 1
= 16 .
1
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
15 YENI VASQUEZ HUARANGA
15. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x,() = 3 62 + 10 donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad media entre los instantes t 1= 5 y t= 65.
Para determinar la velocidad calculamos su posicin en respectivos instantes
Instante T= 1s
(1) = 3 62 + 10 (1) = 13 6(1)2 + 10
(1) = 1 6 + 10
(1) = 5 Instante T= 6 s
(6) = 3 62 + 10 (6) = 63 6(6)2 + 10
(6) = 10
Con los datos obtenidos calculamos la Velocidad media
=61
+6 +1
=10 5
6 1
=5
5
= 1 (.
1)
16. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. () = 23 122 + 5 , donde t se mide en segundos y x en metros.
La aceleracin en el instante t = 15 Determinando la velocidad
=
() = 23 122 + 5
() = 62 24 (. 1)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
16 YENI VASQUEZ HUARANGA
Determine la aceleracin
() = 12 24(. 2) a) Aceleracin en 1s
(1) = 12(1) 24 (1) = 12 24
(1) = 6 (. 2)
b) Instante en la aceleracin es nula
0 = 12 24 0 = 2
= 2
17. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x, () = 3 152 + 10donde c se mide en segundos y x se mide en metros.
a) Determine la aceleracin en el instante t=3. b) Determine la aceleracin en el instante t=9. c) En qu instante la aceleracin es nula?
Determinamos la aceleracin
La velocidad respecto al tiempo seria
() = 3 152 + 10
() = 32 30(. 1)
Obteniendo la velocidad procedemos a derivar la velocidad con respecto al tiempo para con ello obtener la aceleracin.
() = 32 30
() = 6 30(. 2)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
17 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) Aceleracin en T= 3s
() = 6 30 (3) = 6(3) 30
(3) = 12 (. 2)
b) Aceleracin en T= 9s
() = 6 30 (9) = 6(9) 30
(9) = 24(. 2)
c)
() = 6 30
0 = 6 30
= 5
18. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t4 218 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.
a) Determine la aceleracin en el instante t = 2 s. b) Determine la aceleracin en el instante t = 4 s. c) En qu instante la aceleracin es nula?
Determinamos la aceleracin
La velocidad respecto al tiempo seria
() = 4 182 + 20
() = 43 36(. 1)
Obteniendo la velocidad procedemos a derivar la velocidad con respecto al
tiempo para con ello obtener la aceleracin.
() = 122 36(. 2)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
18 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) Aceleracin en T= 2s
() = 122 36
(2) = 12(2)3 36
(2) = 60(2)
b) Aceleracin en T =4s
() = 122 36
(4) = 12(4)2 36
(4) = 156 (2)
c) Instante en que la aceleracin es nula
() = 122 36
0 = 2 3
= 3
19. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t3 22 12 5 , donde t se mide en segundos y x en metros. a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s. c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 1 s y t = 3 s.
Determinamos la velocidad se obtiene derivando
=
() = 23 122 + 5
() = 62 24(. 1)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
19 YENI VASQUEZ HUARANGA
Evaluamos la velocidad en:
a) T=1s
() = 62 24
(1) = 6(1)2 24(1)
(1) = 18 (1)
b) T=3s
() = 62 24
(3) = 6(3)2 24(3)
(3) = 18 (1)
c) Aceleracin Media entre T=1s y T=3s
=
3131
=
18(18)31
= 0(2)
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
20 YENI VASQUEZ HUARANGA
20. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t 3 218 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).()366()(
).()363()(
)()2018()(
2
12
23
smitta
smitttv
mitttx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.
).(60)2(
7212)2(
).()363()(
1
12
smiv
v
smitttv
b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
).(105)5(
)5(3675)5(
).()363()(
1
12
smiv
v
smitttv
c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.
).(15
)25(
)60()105(
)2()5(
2
smia
a
t
vva
m
m
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
21 YENI VASQUEZ HUARANGA
21. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t t t 4 224 20 , donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).()4812()(
).()484()(
)()2024()(
2
13
24
smitta
smitttv
mitttx
a) Determine la velocidad en el instante t = 3s.
).(36)3(
)3(48)3(4)3(
).()484()(
1
3
13
smiv
v
smitttv
b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
).(260)5(
)5(48)5(4)5(
).()484()(
1
3
13
smiv
v
smitttv
c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 3 s y t = 5 s.
).(148
)35(
)36()260(
)3()5(
2
smia
a
t
vva
m
m
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
22 YENI VASQUEZ HUARANGA
22. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t Sen t 20. . , donde t se mide en segundos y x en metros. Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego
para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).()..cos(20)(
)().(20)(
1
smittv
mitsentx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(8.62)2(
).().)2.(cos(20)2(
).()..cos(20)(
1
1
1
smiv
smiv
smittv
El signo negativo indica con direccin en el eje -x b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.
).(8.62)3(
).().)3.(cos(20)3(
).()..cos(20)(
1
1
1
smiv
smiv
smittv
El signo positivo indica con direccin en el eje x c) En qu instante la velocidad es nula?
0).cos(
0)..cos(20)(
t
ttv
El coseno es nulo cuando el ngulo es,
3 5 7 9; ; ; ; ;.....
2 2 2 2 2
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
23 YENI VASQUEZ HUARANGA
Resolviendo la ecuacin:
3
1 .t t s2 2
3 5
2 .t t s2 2
5 7
3 .t t s2 2
La velocidad es nula en el instante,
3 5 7 9t ; ; ; ;..... s
2 2 2 2
23. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
t
X t Sen
.10.
4 2, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).(4
).24
.cos(10)(
)()24
.(10)(
1
smit
tv
mit
sentx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(85.7)2(
).(4
).24
)2.(cos(10)2(
).(4
).24
.cos(10)(
1
1
1
smiv
smiv
smit
tv
El signo positivo indica con direccin en el eje x
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
24 YENI VASQUEZ HUARANGA
b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.
).(49.5)3(
).(4
).24
)3.(cos(10)3(
).(4
).24
.cos(10)(
1
1
1
smiv
smiv
smit
tv
El signo positivo indica con direccin en el eje x c) En qu instante la velocidad es nula?
0)24
.cos(
04
).24
.cos(10)(
t
ttv
El coseno es nulo cuando el ngulo es,
3 5 7 9; ; ; ; ;.....
2 2 2 2 2
Resolviendo la ecuacin:
stt
stt
stt
122
5
24
.
82
3
24
.
4224
.
La velocidad es nula en el instante,
st ......16,12,8,4
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
25 YENI VASQUEZ HUARANGA
24. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
X t Cos t
20. .2
, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).().2
.(20)(
)()2
.cos(20)(
1
smitsentv
mittx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(8.62)2(
).().2
)2.((20)2(
).().2
.(20)(
1
1
1
smiv
smisenv
smitsentv
El signo positivo indica con direccin en el eje x b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.
).(8.62)2(
).().2
)3.((20)3(
).().2
.(20)(
1
1
1
smiv
smisenv
smitsentv
El signo negativo indica con direccin en el eje -x
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
26 YENI VASQUEZ HUARANGA
c) En qu instante la velocidad es nula?
0)2
.(
0).().2
.(20)( 1
tsen
smitsentv
El seno es nulo cuando el ngulo es,
0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;..... Resolviendo la ecuacin:
stt
stt
stt
2
52
2.
2
3
2.
5.002
.
La velocidad es nula en el instante,
st
......2
7,
2
5,
2
3,
2
1
25. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
t
X t Cos
.10.
8 2, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).(8
).28
.(10)(
)()28
.cos(10)(
1
smit
sentv
mit
tx
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
27 YENI VASQUEZ HUARANGA
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(74.2)2(
).(8
).28
)2.((10)2(
).(8
).28
.(10)(
1
1
1
smiv
smisenv
smit
sentv
El signo positivo indica con direccin en el eje x b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.
).(49.1)3(
).(8
).28
)3.((10)3(
).(8
).28
.(10)(
1
1
1
smiv
smisenv
smit
sentv
El signo positivo indica con direccin en el eje x c) En qu instante la velocidad es nula?
0)28
.(
0).(8
).28
.(10)( 1
tsen
smit
sentv
El seno es nulo cuando el ngulo es,
0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;.....
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
28 YENI VASQUEZ HUARANGA
Resolviendo la ecuacin:
stt
tt
stt
20228
.
1228
.
4028
.
La velocidad es nula en el instante,
st ......28,20,12,,4
26. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
t
X t Sen2.
10.8 2
, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).(4
).28
.cos(10)(
)()28
.(10)(
12
2
smitt
tv
mit
sentx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(7.15)2(
).()2(4
).28
)2.(cos(10)2(
).(4
).28
.cos(10)(
1
1
12
smiv
smiv
smitt
tv
El signo positivo indica con direccin en el eje x
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
29 YENI VASQUEZ HUARANGA
b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.
).(94.8)3(
).()3(4
).28
)3.(cos(10)3(
).(4
).28
.cos(10)(
1
1
12
smiv
smiv
smitt
tv
El signo negativo indica con direccin en el eje -x c) En qu instante la velocidad es nula?
0)28
.cos(
0).(4
).28
.cos(10)(
2
12
t
smitt
tv
El coseno es nulo cuando el ngulo es,
3 5 7 9; ; ; ; ;.....
2 2 2 2 2
Resolviendo la ecuacin:
stt
stt
stt
622
5
28
.
42
3
28
.
22228
.
2
2
2
La velocidad es nula en el instante,
st ...,.........62,4,22
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
30 YENI VASQUEZ HUARANGA
27. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
t
X t Sen
2.50.
2 4, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).(.).42
.cos(50)(
)()42
.(50)(
12
2
smitt
tv
mit
sentx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(8.219)2(
).()2().42
)2.(cos(50)2(
).(.).42
.cos(50)(
1
1
12
smiv
smiv
smitt
tv
El signo positivo indica con direccin en el eje x b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
).(5.549)5(
).()5().42
)5.(cos(50)5(
).(.).42
.cos(50)(
1
1
12
smiv
smiv
smitt
tv
El signo positivo indica con direccin en el eje x
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
31 YENI VASQUEZ HUARANGA
c) En qu instante la velocidad es nula?
0)42
.cos(
0).(.).42
.cos(50)(
2
12
t
smitt
tv
El coseno es nulo cuando el ngulo es,
3 5 7 9; ; ; ; ;.....
2 2 2 2 2
Resolviendo la ecuacin:
stt
stt
stt
2
22
2
5
42
.
2
14
2
3
42
.
2
6
242
.
2
2
2
La velocidad es nula en el instante,
sst
............2
22,
2
14,
2
6
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
32 YENI VASQUEZ HUARANGA
28. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.
t
X t Cos
2.10.
4 2, donde t se mide en segundos y x en metros.
Primero pasamos a derivar la ecuacin de la posicin para obtener la velocidad, luego para obtener la ecuacin de la aceleracin derivamos la velocidad.
).(.2
).24
.(10)(
)()24
.cos(10)(
12
2
smitt
sentv
mit
tx
a) Determine la velocidad en el instante t = 2s.
).(4.31)2(
).()2.(2
).24
)2.((10)2(
).(.2
).24
.(10)(
1
12
12
smiv
smisenv
smitt
sentv
El signo negativo indica con direccin en el eje -x b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
).(9.54)5(
).()5.(2
).24
)5.((10)5(
).(.2
).24
.(10)(
1
12
12
smiv
smisenv
smitt
sentv
El signo positivo indica con direccin en el eje x
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
33 YENI VASQUEZ HUARANGA
c) En qu instante la velocidad es nula?
0)24
.(
0).(.2
).24
.(10)(
2
12
tsen
smitt
sentv
El seno es nulo cuando el ngulo es,
0; ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 ;.....
Resolviendo la ecuacin:
stt
stt
stt
10224
.
2
3
24
.
2024
.
2
2
2
La velocidad es nula en el instante,
st
......10,2
3,2
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
34 YENI VASQUEZ HUARANGA
29. Conoc iendo la ley de l mov imiento: t t
X t t 3 2
( ) 6. 103 2
, donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()6()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
2
3
)6(0 2
t
t
tt
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(5.3)3(
10185.49)3(
10623
)(23
mix
x
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 5 ?
)(9.0101.9
)(1.9)5(
)(10)0(
mid
xixfd
mix
mix
E l recorr ido es 22 .6m
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 1 y st 5 ?
).(3.3)15(
)(16.4)1(
)(1.9)5(
115
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
35 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(6)25(
)(4)2(
)(14)5(
6)(
225
2
smivv
a
mix
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()12()(
6)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 4 ?
).(7)4(
)1)4(2()4(
).()12()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
5.0
)12(0
).()12()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(92.6)5.0(
)(10)5.0(62
)5.0(
3
)5.0()5.0(
23
mix
mix
30. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 10.102
.3
3)(
23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()103()( 12 smitttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
36 YENI VASQUEZ HUARANGA
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
2
5
)103(0 2
t
t
tt
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(9.35)5(
10)5(102
75
3
125)5(
10102
3
3)(
23
mix
x
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 5 ?
)(9.45109.35
)(9.35)5(
)(10)0(
mid
xixfd
mix
mix
E l s igno negat ivo de l desplazamiento , nos indica que se t ras lada hac ia la i zquierda. E l recorr ido es 45 .9m
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 1 y st 5 ?
).(2.9)15(
)(1.1)1(
)(9.35)5(
115
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
37 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(4)25(
)(12)2(
)(0)5(
)103()(
225
2
smivv
a
mix
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()32()(
103)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 4 ?
).(5)4(
)3)4(2()4(
).()32()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
5.1
)3)(2(0
).()32()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(25.7)5.1(
)(10)5.1(102
)5.1(3
3
)5.1()5.1(
23
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
38 YENI VASQUEZ HUARANGA
31. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 10.182
.3
3)(
23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()183()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
3
6
)183(0 2
t
t
tt
So lo se asume e l t iempo pos it ivo , ya que un t iempo negat ivo no ex is te .
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(80)6(
10182
3
3)(
23
mix
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 5 ?
)(9.85109.75
)(9.75)5(
)(10)0(
mid
xixfd
mix
mix
Se desplaza 85 .9 m hac ia la i zquierda Su recorr ido es 75 .9 m.
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 1 y st 5 ?
).(16)15(
)(10)1(
)(9.75)5(
115
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
39 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(4)25(
)(20)2(
)(8)5(
)183()(
225
2
smivv
a
mix
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()32()(
183)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 4 ?
).(5)4(
38)4(
).()32()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
5.1
320
).()32()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(2.19)5.1(
)(10)5.1(182
)5.1(3
3
)5.1()5.1(
23
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
40 YENI VASQUEZ HUARANGA
32. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 10.16.33
)( 23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()166()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
2
8
)166(0 2
t
t
tt
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(4.139)8(
101633
)( 23
mix
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 5 y st 10 ?
)(3.134.1037.116
)(7.116)10(
)(4.103)5(
mid
xixfd
mix
mix
Su recorr ido es 58 .4m
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 6 y st 10 ?
).(32.1)610(
)(7.116)10(
)(122)6(
1610
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
41 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 6 y st 10 ?
).(10)610(
)(24)10(
)(16)6(
)166()(
2610
2
smivv
a
miv
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()62()(
166)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 4 ?
).(2)4(
68)4(
).()62()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
3
620
).()62()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(56)3(
)(10)3(16)3(63
)3()3( 2
3
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
42 YENI VASQUEZ HUARANGA
33. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 5)( 23 ttttX , donde X se mide
en metros y t se mide en segundos . Determinar : a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()123()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
3/1
1
)123(0 2
t
t
tt
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(4)1(
5)( 23
mix
ttttx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 2 ?
)(257
)(7)2(
)(5)0(
mid
xixfd
mix
mix
Su recorr ido es de 4m.
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 3 y st 5 ?
).(40)35(
)(100)5(
)(20)3(
135
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
43 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(19)25(
)(64)5(
)(7)2(
)123()(
225
2
smivv
a
miv
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()26()(
123)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 5 ?
).(28)5(
230)5(
).()26()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
3.0
260
).()26()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(63.4)3.0(
)(5)3.0()3.0()3.0()3.0( 23
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
44 YENI VASQUEZ HUARANGA
34. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 5.62
.5
3)(
23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()65()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
1
6
)65(0 2
t
t
tt
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(23)6(
562
5
3)(
23
mix
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 4 ?
)(3.553.10
)(3.10)4(
)(5)0(
mid
xixfd
mix
mix
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 1 y st 5 ?
).(31.1)16(
)(1.14)6(
)(84.8)1(
116
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
45 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(2)25(
)(6)5(
)(0)2(
)65()(
225
2
smivv
a
miv
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()52()(
65)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 5,2 ?
).(0)5.2(
55)5.2(
).()52()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
5.2
520
).()52()( 2
t
t
smitta
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(8.9)5.2( mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
46 YENI VASQUEZ HUARANGA
35. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 5.102
.7
3)(
23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()107()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
st
st
tt
2
5
)107(0 2
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(6.13)2(
)(1.9)5(
5102
7
3)(
23
mix
mix
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0 y st 6 ?
)(6511
)(11)6(
)(5)0(
mid
xixfd
mix
mix
Su recorr ido es 6m.
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 3 y st 5 ?
).(7.1)35(
)(1.9)5(
)(5.12)3(
135
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
47 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 1 y st 4 ?
).(2)14(
)(2)4(
)(4)1(
)107()(
214
2
smivv
a
miv
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()72()(
107)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 5,3 ?
).(0)5.3(
77)5.3(
).()72()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
5.3
720
).()72()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(41.11)5.3(
)(5)5.3(102
)5.3(7
3
)5.3()5.3(
23
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
48 YENI VASQUEZ HUARANGA
36. Conoc iendo la ley de l mov imiento: 5.182
.9
3)(
23
ttt
tX , donde X se
mide en metros y t se mide en segundos . Determinar: a ) Determinar la ve loc idad en cua lquier instante de t iempo.
).()189()( 12 smitttv
b ) En qu instante la ve loc idad es nula?
st
st
tt
3
6
)189(0 2
c ) En qu pos ic in su ve loc idad es nula?
)(5.27)3(
)(23)6(
5182
9
3)(
23
mix
mix
ttt
tx
d ) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 2 y st 7 ?
)(77.06.2583.24
)(83.24)7(
)(6.25)2(
mid
xixfd
mix
mix
e ) Cul es su ve loc idad media entre st 3 y st 5 ?
).(7.1)35(
)(2)5(
)(0)3(
135
smixx
v
mix
mix
t
xxv
m
if
m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
49 YENI VASQUEZ HUARANGA
f ) Cu l es su ace lerac in media entre st 2 y st 5 ?
).(2)25(
)(2)5(
)(4)2(
)189()(
225
2
smivv
a
miv
miv
tttv
t
vva
m
if
m
g ) Determinar la ace lerac in en cua lquier instante de t iempo.
).()92()(
189)(
2
2
smitta
tttv
h ) Cul es su ace lerac in en st 5 ?
).(1)5(
910)5(
).()92()(
2
2
smia
a
smitta
i ) En qu instante la ace lerac in es nula?
st
t
smitta
5.4
920
).()92()( 2
j ) En qu pos ic in su ace lerac in es nula?
)(23.25)5.4(
)(5)5.4(182
)5.4(9
3
)5.4()5.4(
23
mix
mix
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
50 YENI VASQUEZ HUARANGA
FUNDAMENTO TERICO
I. La velocidad es la anti-derivada de la aceleracin:
1).()( CdttatV
II. La Posicin en un eje de coordenadas es la anti-derivada de la velocidad.
2).()( CdttVtX
III. Variacin o cambio de la velocidad:
b
a
dttaV ).(
IV. Variacin o cambio de la posicin o desplazamiento:
b
a
dttVX ).(
Resolver cada caso:
1. dtt. =
2
2 + c
2. dtt .2 =
4
3 + c
3. dtt .3 =
4
4 + c
4. dxx .4 =
kdxxk N ... 1
5 + c
5. dxx .5 =
6x6
+ c
6. dxxN . =
1Nx+1
+ c
7. dyy .3 =
2
2 + 3 + c
8. dyyy .32 =
3
3
2
2 3 + c
9. dxxxx 5223 =
4
4 +
3
3 + x2 + 5x + c
10 dxxxxx .1234
=
5
5 +
4
4 + +
2
2 1x + c
11. dxxxx .235
=
6x6
+
4
4 +
2
2 -2x + c
12. kdxxk N ... 1 = k ( 1Nx ) (N+1)-1 +C
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
51 YENI VASQUEZ HUARANGA
13. 4
2
.dxx =
2
2
14. 4
2
1 dxx =[
2
2+ ]
15. 4
2
2 1. dxx = [
4
3+ ]
16. 4
0
.dtt =
2
2
17. 3
0
23 dtt = 3
2
2 2
18. 1
0
2 23. dttt = [
4
3+
32
2 2]
19. 4
3
2 3. dttt = [
4
3+
32
]
20. 1
0
2 2. dtt =[
4
3 2]
21. dttSen ).( =cos() +
22. dttSen ).2( = cos(2)
2+
23. dttSen ).3( = cos(3)
3+
24. dttSen ).4( = cos(4)
4+
25. dttSen ).5( = cos(5)
5+
26. dttCos ).( =sin() +
27. dttCos ).2( = sin(2)
2+
28. dttCos ).3( =sin(3)
3+
29. dttCos ).4( =sin(4)
4+
30. dttCos ).5( =sin(5)
5+
4
2
=8 - 2 = 6
4
2
=12+4 = 16
4
2
=20.7
0
4
=8
3
0
= 7.5
0
3
4
=-19.06
1
=-0.2
1
0
=2
3
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
52 YENI VASQUEZ HUARANGA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta En el instante st 2 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad
en el instante st 10
DATOS:
a(t)=(2t +3) i (m.s-2)
v(2) = 20 i (m.s-1)
dtttv )32()( cttv t 3)(
2
12 .)103()(
10
1020
64)2(
simtttv
c
c
cv
2. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .)5.3()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
DATOS:
).(20)3(
.)53()(
1
22
smiv
simtta
Remplazando en t= 10s
1
2
.140)10(
10)10)(3(10)10(
simv
v
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
53 YENI VASQUEZ HUARANGA
dtttv )53()(2
8
152720
20)3(
5)( 3
c
c
v
ctttv
).(958)10(
8)10(510)10(
85)(
1
3
3
smiv
v
tttv
3. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi .
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
DATOS:
)(10)0(
).(10)5(
.5)(
1
2
mix
smiv
smta
Primero procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la posicin de la partcula, se sabe
que la ecuacin de la velocidad se obtiene al integrar la aceleracin, similarmente la ecuacin de la
posicin se obtiene al integrar la velocidad.
).(5.72
5)(
5.7
5.610
).(10)5(
2
5)(
)5()(
).(5)(
12
1
2
2
smit
tv
c
c
smiv
ct
tv
dtttv
smita
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
54 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(105.76
5)(
10
10)0(
5.76
5)(
5.72
5)(
5.72
5)(
3
3
2
2
mitt
tx
c
x
ctt
tx
dtt
tx
ttv
)(3.748)10(
10)10)(5.7(6
)10(5)10(
3
miX
X
4. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)6()( smtta
En el instante st 2 la velocidad es ).(10 1smi .
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
DATOS:
.)(10)10(
).(10)2(
).()6()(
1
2
mix
smiv
smitta
Primero procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la posicin de la partcula, se sabe
que la ecuacin de la velocidad se obtiene al integrar la aceleracin, similarmente la ecuacin de la
posicin se obtiene al integrar la velocidad.
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
55 YENI VASQUEZ HUARANGA
)()1022()(
10
10)0(
22)(
)223()(
).()223()(
22
)4(310
10)2(
3)(
)6()(
3
3
2
12
2
mitttx
c
x
ctttx
dtttx
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
5. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)26()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(75 1smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
DATOS:
)(10)0(
).(75)5(
)26()(
1
2
mix
smiv
mstta
).(1023)( 12 smitttv
Nos piden, la posicin de la partcula,
en el instante t=10
)(770)(
)10)10(2210()10( 3
mitx
x
10
)5(2)25(3)5(
75)5(
23)(
)26()(
2
c
cv
v
ctttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
56 YENI VASQUEZ HUARANGA
)()1010()(
10
10)0(
10)(
)1023()(
23
23
2
mittttx
c
x
cttttx
dttttx
)(1010)10(
10)10(101010()10( 23
mix
x
6. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)2()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(75 1smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 6
DATOS:
).()50()(
50
)25(75
75)5(
)(
)2()(
)(10)0(
).(75)5(
.)2()(
12
2
1
2
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
mix
smiv
smtta
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
57 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(382)6(
10503
)(
10
10)0(
503
)(
)50()(
3
3
2
mix
ttx
c
x
ctt
tx
dtttx
7. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:
Xa t i 8 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Para 0t la
rapidez es V y para 4t s la rapidez es 3V . Determinar la rapidez para 6t s
DATOS:
vv
vv
smitta
3)4(
)0(
).()8()( 2
).(8620)6(818)6(
).(2082
)(
20
3283
3)4(
)0(
82
)(
)8()(
1
12
2
smiv
smitt
tv
cv
vv
vv
cv
vv
ctt
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
58 YENI VASQUEZ HUARANGA
8. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 2 2 xv t t i m/s. Si el mvil inicia
su movimiento st 0 en 6x m , determinar la posicin en el instante st 3
Primero integramos la velocidad para obtener la ecuacin de la posicin:
)(30)3(
)(623
)(
6
6)0(
23
)(
)22()(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
x
cttt
tx
dttttx
9. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 1.42 smttV Si el mvil inicia su
movimiento st 0 en mx 5 , determinar la posicin en el instante st 3
Primero integramos la velocidad para obtener la ecuacin de la posicin:
)(2)3(
)()54()(
5
5)0(
4)(
)42()(
2
2
mix
mitttx
c
x
ctttx
dtttx
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
59 YENI VASQUEZ HUARANGA
10. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 1.6 smtV Si el mvil inicia su movimiento
st 0 en mx 5 , determinar la posicin en el instante st 4
Primero integramos la velocidad para obtener la ecuacin de la posicin:
)(53)4(
)()53()(
5
5)0(
3)(
)6()(
2
2
mix
mittx
c
x
cttx
dttx
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)
1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta En el instante 1
2
.140)10(
10)10)(3(10)10(
simv
v la velocidad es ).(20 1smi . Determine la
velocidad en el instante st 10
DATOS:
a(t)=(2t +3) i (m.s-2)
v(2) = 20 i (m.s-1)
dtttv )32()( cttv t 3)(
2
12 .)103()(
10
1020
64)2(
simtttv
c
c
cv
Remplazando en t= 10s
1
2
.140)10(
10)10)(3(10)10(
simv
v
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
60 YENI VASQUEZ HUARANGA
2. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . Determine la velocidad en el instante st 8
Primero se precede a integrar la aceleracin, para as obtener la frmula de la velocidad.
).(40)8(
).(3)(
0
152510
10)5(
3)(
)32()(
1
12
2
smiv
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
3. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)52()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(76)10(
).(265)(
26
15920
20)3(
5)(
)52()(
1
12
2
smiv
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
61 YENI VASQUEZ HUARANGA
4. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)54()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(167)10(
).(1752)(
17
151820
20)3(
52)(
)54()(
1
12
2
smiv
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
5. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .)5.3()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(958)10(
).(85)(
8
152720
20)3(
5)(
)53()(
1
13
3
2
smiv
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
62 YENI VASQUEZ HUARANGA
6. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .).3()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(10 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(983)10(
).(17)(
17
2710
10)3(
)(
)3()(
1
13
3
2
smiv
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
7. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 23 .)4()( smtta
En el instante st 3 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(9939)10(
).(61)(
61
8120
20)3(
)(
)4()(
1
14
4
3
smiv
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
63 YENI VASQUEZ HUARANGA
8. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(15)10(
).(355)(
35
2510
10)5(
5)(
)5()(
1
1
smiv
smittv
c
c
v
cttv
dttv
9. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)10()( smta
En el instante st 2 la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10
).(60)10(
).(4010)(
40
2020
20)2(
10)(
)10()(
1
1
smiv
smittv
c
c
v
cttv
dttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
64 YENI VASQUEZ HUARANGA
10. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
)(110)10(
)(10352
5)(
10
)(10)0(
352
5)(
355)(
).(355)(
35
2510
10)5(
5)(
)5()(
2
2
1
mix
mitt
tx
c
mix
ctt
tx
dtttx
smittv
c
c
v
cttv
dttv
11. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)10()( smta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
10)5(
10)(
)10()(
v
cttv
dttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
65 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(110)10(
)(10602
10)(
10
)(10)0(
602
10)(
6010)(
).(6010)(
60
5010
2
2
1
mix
mitt
tx
c
mix
ctt
tx
dtttx
smittv
c
c
12. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
).(5.722
5)(
5.72
2
12510
10)5(
2
5)(
)5()(
1
2
2
smit
tv
c
c
v
ct
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
66 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(3.98)10(
)(105.726
5)(
10
)(10)0(
5.726
5)(
5.722
5)(
3
3
2
mix
mitt
tx
c
mix
ctt
tx
dtt
tx
13. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi . En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
).(5.3252
)(
5.32
252
2520
20)5(
52
)(
)5()(
12
2
smitt
tv
c
c
v
ctt
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
67 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(6.251)10(
)(105.3256
)(
10
)(10)0(
5.3256
)(
5.3252
)(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
mix
cttt
tx
dttt
tx
14. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)5()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
).(5.1752
)(
5.17
252
2520
20)5(
52
)(
)5()(
12
2
smitt
tv
c
c
v
ctt
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
68 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(6.251)10(
)(105.1756
)(
10
)(10)0(
5.1756
)(
5.1752
)(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
mix
cttt
tx
dttt
tx
15. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)1.2()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
Primero integramos la aceleracin, para obtener la ecuacin de la velocidad.
).()10()(
10
52520
20)5(
)(
)12()(
12
2
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
69 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(3.293)10(
)(101023
)(
10
)(10)0(
1023
)(
)10()(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
mix
cttt
tx
dttttx
16. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)1()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
. Primero integramos la aceleracin, para obtener la ecuacin de la velocidad.
).()5.22
()(
5.2
52
2520
20)5(
2)(
)1()(
12
2
smitt
tv
c
c
v
ctt
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
70 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(6.251)10(
)(105.226
)(
10
)(10)0(
5.226
)(
)5.22
()(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
mix
cttt
tx
dttt
tx
17. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)32()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
Primero integramos la aceleracin, para poder hallar la ecuacin de la velocidad.
).()203()(
20
152520
20)5(
3)(
)32()(
12
2
smitttv
c
c
v
ctttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
71 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(33.693)10(
)(10202
3
3)(
10
)(10)0(
202
3
3)(
)203()(
23
23
2
mix
mittt
tx
c
mix
cttt
tx
dttttx
18. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)2()( smtta
En el instante st 5 la velocidad es ).(20 1 smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
Primero integramos la aceleracin, para poder hallar la ecuacin de la velocidad.
).()45()(
45
2520
20)5(
)(
)2()(
12
2
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
72 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(7.106)10(
)(10453
)(
10
)(10)0(
453
)(
)45()(
3
3
2
mix
mitt
tx
c
mix
ctt
tx
dtttx
19. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)2()( smtta
En el instante st 10 la velocidad es ).(20 1 smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
).()80()(
80
10020
20)10(
)(
)2()(
12
2
smittv
c
c
v
cttv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
73 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(7.476)10(
)(10803
)(
10
)(10)0(
803
)(
)80()(
3
3
2
mix
mitt
tx
c
mix
ctt
tx
dtttx
20. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)10()( smta
En el instante st 4 la velocidad es ).(20 1 smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi
Determine la posicin en el instante st 10
)(290)10(
)10200500()10(
)()10205()(
10)0(
)()205()(
)2010()(
).()2010()(
20
4020
20)4(
10)(
)10()(
2
2
1
mix
x
mitttx
cx
mictttx
dtttx
smittv
c
c
v
cttv
dttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
74 YENI VASQUEZ HUARANGA
21. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)20()( smta
En el instante st 4 la velocidad es ).(40 1 smi
En el instante st 2 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
En primer lugar se debe proceder a integrar la aceleracin, para obtener la ecuacin de la
velocidad..luego procederemos a integrar la velocidad para as obtener la posicin.
)(630)10(
)304001000()10(
)()304010()(
30
804010
10)2(
)()4010()(
)4020()(
).()4020()(
40
8040
40)4(
20)(
)20()(
2
2
1
mix
x
mitttx
c
c
x
mictttx
dtttx
smittv
c
c
v
cttv
dttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
75 YENI VASQUEZ HUARANGA
22. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 22 .).10()( smtta
En el instante st 4 la velocidad es ).(20 1 smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
En primer lugar se debe proceder a integrar la aceleracin, para obtener la ecuacin de la
velocidad..luego procederemos a integrar la velocidad para as obtener la posicin.
)(6390)10(
)()103
580
12
10()(
10
10)0(
)()3
580
12
10()(
3
580
3
10)(
).(3
580
3
10)(
3
580
3
)4(1020
20)4(
3
10)(
)10()(
4
4
3
13
3
3
2
mix
mitt
tx
c
x
mictt
tx
dtt
tx
smit
tv
c
c
v
ct
tv
dtttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
76 YENI VASQUEZ HUARANGA
23. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2.)10()( smta
En el instante st 4 la velocidad es ).(20 1 smi
En el instante st 0 la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10
En primer lugar se debe proceder a integrar la aceleracin, para obtener la ecuacin de la
velocidad..luego procederemos a integrar la velocidad para as obtener la posicin.
)(90)10(
)()10605()(
10
10)0(
)()605()(
)6010()(
).()6010()(
60
)4(1020
20)4(
10)(
)10()(
2
2
1
mix
mitttx
c
x
mictttx
dtttx
smittv
c
c
v
cttv
dttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
77 YENI VASQUEZ HUARANGA
24. Determinar el cambio de la velocidad:
).(6282
1
4
2
24
2
smit
tdtV
25. Determinar el cambio de la velocidad:
).(84122
)1( 14
2
24
2
smitt
dttV
26. Determinar el cambio de la velocidad:
).(3
184)
3
4(602
3)2( 1
6
2
36
2
2
smitt
dttV
27. Determinar el cambio de la velocidad:
).(3
346
3
52
3)1( 1
4
3
34
3
2 smitt
dttV
28. Determinar el cambio de la velocidad:
).(16)2( 14
0
2
4
0
smitdttV
29. Determinar el cambio de la velocidad:
).(1622
3)23( 1
4
0
23
0
smitt
dttV
30. Determinar el cambio de la velocidad:
).(27)3( 13
0
3
3
0
2 smitdttV
31. Determinar el cambio de la velocidad:
).(99.0)cos()( 13
0
3
0
smitdttsenV
32. Determinar el cambio de la velocidad:
).(05.0)()cos( 13
0
3
0
smitsendttV
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
78 YENI VASQUEZ HUARANGA
33. Determinar el desplazamiento:
)(22)1(212)23(3
1
3
3
1
2 mittdttX
34. Determinar el desplazamiento:
)(28)16(4452
3)53(
4
2
24
2
mitt
dttX
35. Determinar el desplazamiento:
)(147)28(17510)103(5
2
3
5
2
2 mittdttX
36. Determinar el desplazamiento:
)(248)28(27610)103(6
2
3
6
2
2 mittdttX
37. Determinar el desplazamiento:
)(603632)22(9
3
2
9
3
mittdttX
38. Determinar el desplazamiento:
)(01.0)cos()(9
3
9
3
mitdttsenX
39. Determinar el desplazamiento:
)(01.02
)2cos()2(
8
3
8
3
mit
dttsenX
40. Determinar el desplazamiento:
)(1.0)()cos(9
3
9
3
mitsendttX
41. Determinar el desplazamiento:
)(08.02
)2()2cos(
8
3
8
3
mitsen
dttX
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
79 YENI VASQUEZ HUARANGA
PROBLEMAS PROPUESTOS
42. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:
Xa t i 6 2 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Inicia su movimiento 0t , desde el reposo, en x m5 . Determinar la posicin en el instante 2t s .
Nos piden determinar la posicin para t=2s, pero para eso primero obtenemos la ecuacin de la velocidad. Se sabe que esto se obtiene al integrar la aceleracin.
).()23()(
0
0)0(
23)(
)26()(
).()26()(
12
2
2
smitttv
c
v
ctttv
dtttv
smitta
Por ultimo procedemos a integrar la velocidad, para que as podamos tener la ecuacin de la posicin. Luego reemplazamos en la ecuacin t=2s.
).(17)2(
)548()2(
).()5()(
5
5)0(
)(
)23()(
).()23()(
1
123
23
2
12
smix
x
smitttx
c
x
ctttx
dttttx
smitttv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
80 YENI VASQUEZ HUARANGA
43. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 2 2 xv t t i m/s. Si el mvil inicia su movimiento en 6x m , determinar la posicin en el instante 3t s .
).(30)3(
)6699()3(
).()623
()(
6
6)0(
23
)(
)22()(
).()22()(
1
123
23
2
12
smix
x
smittt
tx
c
x
cttt
tx
dttttx
smitttv
44. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 3 xv t i m/s. Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 2 t hasta t s .
).(2)2(
2)1(
)0(
).()33
3()(
)0(
33
3)(
)33()(
1
330
).()33()(
1
13
3
2
2
12
smicx
cx
cx
smictt
tx
cx
ctt
tx
dtttx
st
t
smittv
C - 2 c c +2
x
Por lo tanto el recorrido es de 6m.
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
81 YENI VASQUEZ HUARANGA
45. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 12 xv t i m/s. Determinar el desplazamiento en el intervalo 1 3 t s hasta t s .
mtd
cctd
xxtd
smicx
cx
smictt
tx
cx
ctt
tx
dtttx
smittv
if
2)(
)11()9()(
)(
).(9)3(
11)1(
).()123
3()(
)0(
123
3)(
)312()(
).()123()(
1
13
3
2
12
46. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:
a t t12. 36 , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 3 m, determine la ley del movimiento.
).()54366()(
54
0)3(
366)(
)3612()(
12
2
smitttv
c
v
ctttv
dtttv
Por lo tanto el desplazamiento es 2m.
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
82 YENI VASQUEZ HUARANGA
)(3554182)(35
541823
)(3)1(
54182)(
)54366()(
23
23
2
mittttx
c
c
mix
cttttx
dttttx
47. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 3 4 xv t i m/s. Si e mvil inicia su movimiento en 5x m , determinar
1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos. 2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.
Primero procedemos a integrar la velocidad, para obtener la ecuacin de la posicin..
)()54()(
5
)(5)0(
4)(
)43()(
3
3
2
mitttx
c
mix
ctttx
dtttx
Seguidamente procedemos a hallar las posiciones en los distintos tiempos:
)(53)51664()4(
)(20)51227()3(
)(5)588()2(
)(2)541()1(
)()54()( 3
mix
mix
mix
mix
mitttx
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
83 YENI VASQUEZ HUARANGA
Ahora para poder graficar tenemos que saber en qu instante la velocidad es cero.
)(48)0()4(
)(92.1)4.1(
5)4.1(4)4.1()4.1(
14.1
430
43)(
3
2
2
mixxd
mix
x
t
t
ttv
Hallamos el recorrido entre t=0 hasta t=2s
)(16.6 mr
48. Si la ley de movimiento de una partcula que se mueve sobre el eje x es:
2 3( ) 24. 9.X t t t t
Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 6t y t s
49. )(36)6()36(9)6(24)6(
)(166414496)4(
)(2083648)2(
0)0(
)()924()(
2
4
318240
).()31824()(
3
32
2
12
mix
mix
mix
x
mittttx
st
st
tt
smitttv
El recorrido de t = (0,6), es de 44 m
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
84 YENI VASQUEZ HUARANGA
50. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:
a t t24. 8 , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 2 s, la velocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 15 m, determine la ley del movimiento.
).()32812()(
32
42)2(
812)(
)824()(
12
2
smitttv
c
v
ctttv
dtttv
)(173244)(17
324415
)(15)1(
3244)(
)32812()(
23
23
2
mittttx
c
c
mix
cttttx
dttttx
51. Una partcula se mueve sobre el eje X, cuya velocidad en funcin de la posicin es:
iXV .2 (m/s). Determine la aceleracin en funcin de la posicin.
Se sabe que para obtener la ecuacin de la aceleracin, se debe derivar la velocidad.
En este problema nos piden la aceleracin respecto de X, por lo tanto pasamos a derivar la velocidad respecto de X.
).(2)(
)(
)()(
2)(
2
smixa
xd
xvdxa
xxv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
85 YENI VASQUEZ HUARANGA
52. El movimiento de una partcula viene definido por la relacin itttx 61562 23 , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine: 1) la posicin de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula. 2) la velocidad de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula.
En primer lugar procedemos a hallar las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin respectivamente.
).(1212)(
).(15126)(
)(61562)(
2
12
23
smitta
smitttv
mittttx
Pasamos hallar en que instante la aceleracin es nula, para as poder determinar la posicin y velocidad en este instante.
).(9)1(
15126)1(
)(5)1(
61562)1(
1
12120
).(1212)(
1
2
smiv
v
mix
x
st
t
smitta
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
86 YENI VASQUEZ HUARANGA
53. Sean: 21 8 2X t t y
2
2 10X t t las leyes de movimiento de dos mviles (1) y (2) que
partiendo del origen de coordenadas 0x se mueven en el eje X. a) Despus de cuntos segundos se encuentran juntos por segunda vez?
Dos mviles de encuentran juntos en los siguientes tiempos.
6
0
0)6(3
0183
1028
2
22
t
t
tt
tt
tttt
Del grafico se observa que su primer encuentro fue en el instante t=0s, y su segundo encuentro en t=6s
b) En qu posicin se encuentran cada uno de los mviles cuando se detienen instantneamente?
)(24)6(
)6(2)6(8)6(
)()28()(
2
2
mix
x
mitttx
c) Determine la distancia de mximo alejamiento entre los mviles. La mxima distancia se da en t=3s, y es de 27 metros.
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
87 YENI VASQUEZ HUARANGA
54. Un mvil se mueve a lo largo del eje x d acuerdo a la ley: 22 2 3xV t t donde xV se
mide en m/s y t en segundos. Sabiendo que cuando 0t la posicin es 1x m
).()62()(
)()12()(
1
1)0(
2)(
2
32
32
smitta
mittttx
c
x
cttttx
a) Encontrar el valor de x cuando 2t s
.)(171844)2(
)()12()( 32
mix
mittttx
b) Determine la aceleracin cuando 3t s
).(20)3(
182)3(
).()62()(
2
2
smia
a
smitta
55. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: 2 1 xv t i donde xv se mide en m/s y t en segundos. Determinar:
ctt
tx
dtttx
smitta
smittv
3)(
)1()(
).()2()(
).()1()(
3
2
2
12
a) La aceleracin cuando 24xv i m/s.
5
124
).()1()(
2
12
t
t
smittv
-
DINMICA/ medidas del movimiento mecnico 2015
88 YENI VASQUEZ HUARANGA
).(10)5(
).()2()(
2
2
smia
smitta
b) El desplazamiento en el intervalo de 0t a 3t s
mccxxd
ccx
cx
ctt
tx
66)0()3(
639)3(
)0(
3)(
3
c) El recorrido en el intervalo de 0t a 3t s
cx
t
tv
cx
cx
ctt
tx
3
2)1(
1
0)(
6)3(
)0(
3)(
3
El recorrido es 22/3 m o 7.33metros
56. Si x e y se miden en metros y t en segundos, entonces determinar las frmulas dimensionales de las expresiones:
I. dt
dy = )(ty
II. dxx .2 = c
x
3
3
III. dtx .2
= ctx 2