CHNG 4.MUN NI X V X NH

1. M -x nh vM -ni x

1.1. Cc nh ngha v tnh cht.Cho UR l mt mun. Ni chung cc hm t HomR(U,) v

HomR(, U) l khng khp. V d d dng thy rng cHomZZ(ZZ2,) vHomZZ(, ZZ2)khng khp khi ta cho dy khp ngn

0 ZZ ZZ ZZ2 0.Tuy nhin trong mt vi trng hp c bit cc hm tHomR(U,) vHomR(, U) khp.Ta s xt n chng nh sau:

NH NGHA 1.1. Cho UR l mt mun. NuMR l mt mun, th U c gi l xnh theoM (hay U lM -x nh) trong trng hp vi mi ton cu g :MR NR v ming cu : UR NR tn ti mt R-ng cu : U M sao cho gin sau giaohon

U

M N 0?

pppppppp

-g -

i ngu ta c:

NH NGHA 1.2. Cho UR l mt mun. NuMR l mt mun, th U c gi l nix theoM (hay U lM -ni x) trong trng hp vi mi n cu f : KR MR v ming cu : KR UR tn ti mt R-ng cu : M U sao cho gin sau giaohon

U

0 K M-

6

-fppppp

pppI

Mnh sau khng nh tnh khp ca HomR(U,) v HomR(, U).

MNH 1.3. Cho U v M l cc R-mun phi. Lc cc iu kin sau l tngng.

(a) U lM -x nh.(b) Mi dy khp ngn trong Mod-R viM nm gia

0 K fM g N 0,1

th dy sau cng khp

0 HomR(U,K) f HomR(U,M) g HomR(U,N) 0,(c) Vi mi mun con KR MR, mi R-ng cu h : U M/K, tn ti h : U

M sao cho K = trong K l ton cu t nhin tM voM/K.

i ngu vi Mnh IV. 1.3, ta c:

MNH 1.4. Cho U v M l cc R-mun phi. Lc cc iu kin sau l tngng. (a) U lM -ni x. (b) Mi dy khp ngn trong Mod-R viM nm gia

0 K fM g N 0,th dy sau cng khp

0 HomR(N,U) g HomR(M,U) f

HomR(K,U) 0,(c) Vi mi mun con KR MR, mi R-ng cu h : K U , u c th m rng n

mt ng cu h :M U .

CH 1.5. a) Mun PR c gi l x nh nu n lM -x nh vi miM ModR.(a) Mun QR c gi l ni x nu n lM -ni x vi miM ModR.

H QU 1.6. (a) mun PR l x nh khi v ch khi hm t hip bin cng tnhHomR(P,)l khp trong Mod-R.

(b) mun QR l ni x khi v ch khi hm t phn bin cng tnh HomR(, Q) l khptrong Mod-R.

2. mun x nh v ni x.

T nh ngha IV.1.1, IV.1.2, ch IV.1.5, ta khai trin chi tit ra nh sau:

NH NGHA 2.1. Cho PR l mt mun. Lc P c gi l x nh trong trnghp vi mi ton cu : B C v mi ng cu : P C tn ti mt ng cu : P B sao cho = , ngha l, gin sau giao hon

P

B C 0?

ppppppp- -

NH NGHA 2.2. Cho QR l mt mun. Lc Q c gi l ni x trong trng hpvi mi n cu f : KR MR, vi mi KR,MR v mi ng cu : KR UR tn ti

2

mt R-ng cu :M U sao cho f = , ngha l, gin sau giao honU

0 K M-

6

-fppppp

pppI

Ta c cc mnh c trng cc mun ni x v x nh nh sau.

MNH 2.3. Cho P l R-mun phi. Lc cc iu kin sau l tng ng.(a) P l x nh.

(b) Vi mi ton cu : B P l ch ra, ngha l ker l hng t trc tip ca B.(b) Mi ton cu : B C th nh x

HomR(1P , ) : HomR(P,B) HomR(P,C)l mt ton cu.

i ngu ta c:

MNH 2.4. Cho Q l R-mun phi. Lc cc iu kin sau l tng ng.(a) Q l ni x.

(b) Vi mi n cu : Q B l ch ra, ngha l im l hng t trc tip ca B.(c) Mi n cu : A B th nh x

HomR(, 1Q) : HomR(B,Q) HomR(A,Q)l mt ton cu.

(d) Tiu chun Baer: Mi ian phi U RR v mi ng cu : U Q tn ting cu : RR Q sao cho = , trong l php nhng U vo R.

H QU 2.5. Ta c cc tnh cht sau:(1) Q ni x, Q ' A = A ni x.(2) P x nh, P ' C = C x nh.

NH L 2.6. Ta c:(1) Cho Q =

iIQi. Lc Q ni x Qi ni x i I.

(2) Cho P =iI

Pi. Lc P x nh Pi x nh i I.

NH L 2.7. V mi quan h gia mun x nh v mun t do.P x nh P ng cu vi hng t trc tip ca mun t do no .

3

CHNG MINH. (). Do mun t do l x nh v IV.2.6.(2).(=). Cho P l x nh v : F P l mt ton cu t mun t do F vo P (tn

ti do mi mun u l nh ton cu cu mt mun t do). Do P x nh, ch ra. Vy

F = Ker() F0.T F0 ' P. i vi ZZ-mun, ta c:

NH L 2.8. i vi ZZ-mun th hai khi nim x nh v t do l nh nhau.

NH NGHA 2.9. Nhm aben A c gi l chia c nu

z ZZ[z 6= 0 = Az = A].

Cc tnh cht c bn ca nhm chia c l: 1) nh ton cu ca nhm chia c l

nhm chia c.2) Nhm thng ca nhm chia c l nhm chia c3) Tch trc tip v tng trc tip ca nhm chia c l nhm chia c4) Mi nhm aben ng cu vi nhm con ca nhm aben chia c no .

NH L 2.10. Nhm aben A chia c l ZZ-mun ni x.

CHNG MINH. Ly : DZZ BZZ l n cu, trong DZZ l nhm chia c. Tachng minh rng Im l hng t trc tip caBZZ . Theo tnh cht (1) Im l nhm chia c,v vy khng mt tnh tng qut ta c th gi s DZZ l nhm con ca BZZ v = l phpnhng. t = {U |U B v D U = 0}. Lc 6= v ly U = 0 th 0 . Ngoira r rng hp ca tp cc phn t sp th t ton phn cc phn t trong cng thuc . Dovy theo B Zorn, c phn t cc i trong , m ta s k hiu l U . C th ni rng U lB-phn b ca D.

Lc , D + U = D U B. Ta chng minh rng B = D U. Tht vy, vi b B,xt ian z0ZZ

z0ZZ = {z ZZ|bz D + U}.Ta c z0ZZ 6= 0 v nu khng th i vi mun con H sinh ra bi phn t b, ta c

H (D + U) = 0 = (H + U) D = 0, tri vi cch chn U .Gi s bz0 = d + u. Do D chia c nn tn ti d0 sao cho d0z0 = d. T suy ra

(b d0)z0 = u. Vyz0ZZ = {z ZZ|(b d0)z D + U}.

Ta li chng minh rngD(U+(bd0)ZZ) = 0. Tht vy, gi s d1 = u1+(bd0)z1 D U + (b d0)ZZ th (b d0)z1 = d1 u1 D + U suy ra z1 = z0t, t ZZ(z1 z0ZZ).T , (b d0)z0t = ut = d1 u1. Vy 0 = d1 (u1 + ut). Ngha l d1 = 0. Do tnh cci ca U suy ra (b d0)ZZ U. Suy ra b d0 U hay b D + U.

Vy B = D U.4

Chiu ngc li cng ng

H QU 2.11. ZZ-mun ni x ZZ-mun chia c.Sau y ta chng minh mt kt qa chnh ca phn ny l:

NH L 2.12. Mi mun l mun con ca mt mun ni x no .

chng minh nh l ny ta cn cc B sau:

B 2.13. Nu D l ZZ-mun chia c (ni x), th (HomZZ(R,D))R ni x.

CHNG MINH. Cho : A B l R-n cu tu v : A HomZZ(R,D) lR-ng cu tu . Ly

: HomZZ(R,D) Df 7 f(1)

l ZZ-ng cu. Xt gin sau:

0 A B

HomZZ(R,D)

D

-

?

-

?

Khi xt , nh l cc ZZ-ng cu th doD l ZZ-ni x nn tn ti ZZ-ng cu : B D sao cho = .

Xc nh : B HomZZ(R,D)b 7 (b)(r) = (br), b B, r R.

Chng minh (b) HomZZ(R,D) (r).Ngoi ra (br1)(r) = (br1r) = (b)(r1r) = ((b)r1)(r) suy ra (br1) = (b)r1 hay lR-ng cu v (a)(r) = ((a)r) = ( (ar)) = (ar) = (ar) = (ar)(1) =((a)r)(1) = (a)(r). Suy ra = .

MNH 2.14. i vi mi mun tn ti n cu vo mun ni x.

CHNG MINH. ChoMR. Theo tnh cht (4) trn, tn ti ZZ-ng cu : M D,trong D l nhm aben chia c. Theo IV.2.13, HomZZ(R,D)R l R-ni x. Xc nh

:M HomZZ(R,D)5

m 7 (m) : R D.r 7 (m)(r) = (mr)

trong l R-ng cu. Do l n cu suy ra cng l n cu.

H QU 2.15. QR ni x QR ng cu vi hng t trc tip ca mt mun dngHomZZ(R,D)R, trong D l nhm aben chia c.

CHNG MINH. (=) Theo IV.2.14.() Theo IV.2.6 v IV.2.13.

MNH 2.16. Cho : MR NR l n cu. Khi tm c mun N tho iukin:

*)M N .*) c ng cu : N N sao cho = , trong l php nhngM vo N .

CHNG MINH. Cho D l tp tu c lc lng bng N \ (M), ngoi ra D M 6= v : D N \ (M) l song nh no . Xt tp N = M D v gi s : N Nl mt song nh xc nh nh sau:

(m) = (m),m M.(d) = (d), d D.

Ta bin N thnh R-mun chaMR, cn ng cu R-mun mh nh ngha:

x+ y = 1((x) + (y)), x, y N

xr = 1((x)r), r R.Suy ra iu phi chng minh.

Chng minh nh l IV.2.12.R rng, v lc ta c N ' N ' (HomZZ(R,D))R l ni x.

3. Bao ni x v bao x nh ca mt mun.

3.1. Mun con ct yu v i ct yu.Mt mun con K ca M l mt hng t trc tip ca M nu v ch nu tn ti mt

mun con K caM sao cho

K K = 0 v K +K =Mngha l, nu v ch nuK l b trong dn cc mun con caM . Vi mt mun conK tu th vi n ta lun lun tm c mt mun con tho mn t nht mt trong hai iu kintrn, l

K 0 = 0 v K +M =M.6

Da trn tnh cht ta nh ngha cc loi mun con m n tr thnh cng c rt huch cho cng vic ca chng ta.

NH NGHA 3.1. (1) Mt mun con K ca M l ct yu (ln) trong M , k hiu:K e M , trong trng hp vi mi mun con L M ,

K L = 0 suy ra L = 0.(2) i ngu, mt mun con K ca M gi l i ct yu (nh) trong M , k hiu:

K

Sau y l cc tnh cht ca mun con ct yu v i ct yu.

MNH 3.7. ChoMR v K N M , H M . Lc (1) K e M K e N v N e M.(2) H K e M H e M v K e M.

CHNG MINH. (1). Cho K e M v gi s 0 6= L M th L K 6= 0. c bit iuny ng vi L N, do vy K e N.

Ngoi ra K N nn L N 6= 0 th N e M.o li, nu K e N , N e M v L M, th L K = 0 = L K N = 0 =

L N = 0 = L = 0. (2) Chiu (=) suy ra ngay t (1). Ngc li, cho H e M v

K e M. Nu L M vi L H K = 0, th H = 0 do K e M. T L = 0 vH e M.

i ngu ca 3.7 ta c:

MNH 3.8. ChoMR v K N M , H M . Lc (1) N

CHNG MINH. (1). Cho pi : M Mi l cc php chiu. Lc Ki = pi(Ki). Vi3.11 ta c ngay chiu (=).

(). ChoKi

b) Ton cu : P M c gi l bao x nh i viM nu P l mun x nh cn l ton cu i ct yu. V mt k hiu i khi ta ch vit I(M), E(M) ch bao ni x

ca munM v P (M) ch bao x nh caM .

V D 3.14. 1) ZZZZ IQZZ l bao ni x i vi ZZZZ v l n cu cn IQZZ l ni

x (chia c), ngoi ra ZZZZ e IQZZ (do q IQ, q 6= 0, q = p/r,r ZZ sao cho r 6=0, rq = p ZZ). 2) Khng phi mi mun u c bao x nh, v d ZZ2 khng c bao xnh. D nhin c th thy r2 : ZZ ZZ2 l ton cu t nhin, nhng Kerr2 = 2ZZ 6

b) Ga sM c bao ni x :M E. Nu Q l ni x v q :M Q l n cu thQ c phn tch

Q = E Esao cho

(1) E ' E.(2) Imq E .(3) q :M E l mt bao ni x i viM .Ngoi ra, nu f :M1 M2 l mt ng cu v nu 1 :M1 E1 v 2 :M2 E2

l bao ni x, th tn ti mt ng cu f : E1 E2 sao cho f 1 = 2f.Ta th hin qua s sau:

1

E1 E2

M1 M2

-f

6

-f

62

CHNG MINH. Ta chng minh a) cn b) c chng minh i ngu.Do Q x nh ta c gin giao hon sau:

Q

P M 0?

q

h

h

-p -

Ta c p l ton cu i ct yu v ph = q l ton cu nn theo Mnh IV.3.6, h l toncu. V P l x nh nn h l ch ra, ngha l tn ti n cu g : P Q sao cho hg = 1Pv t Q = Img Kerh. t P = Img v P = Kerh. Ta c ngay (1) do g l n cu.Ngoi ra (2) ng v ph = q. Ta cM = q(Q) = p(Img Kerh) = q(Img) = q(P ), vvy

P q|P M 0

khp, v n l mt bao x nh v t qg = phg = p v Ker(qg) = g1(Kerq) ta cKer(q|P ) = g(Kerp) l mt mun con i ct yu ca g(P ) = P . Vy (3) ng.Chng minh Mnh cui. Ta t p = p2, q = fp1 v f = h. Th th p2f = fp1. Ta cf = h l ton cu, Kerf = Kerp1 l hng t trc tip ca P1 v f l mt ng cu.

By gi ta s chng minh s tn ti ca bao ni x ca mt mun bt k.

MNH 3.16. Mi mun c mt bao ni x. N duy nht sai khc mt php ng cu.

CHNG MINH. ChoMR. Tn ti QR ni x mM Q. Lp tp = {N Q|M e N}.

11

p dng B Zorn ta c phn t cc i E ca tp ny.GiE lQ-phn b caE (lc E l cc i vi tnh chtEE = 0) th (EE )/E eQ/E . Ta c E E = Q.

Tht vy, ly g : (E E )/E E l ng cu. Ta c biu giao hon sau vi dyv hng u khp.

Q

0 (E E )/E Q/E

0

-

6g

?

-Q

QQQ

QQk

h

Vy h l n cu, do M e E = Img = h((E E )/E ) e h(Q/E ). Suy ra M eh(Q/E ). Do tnh cc i ca E, ta c h((E E )/E ) = h(Q/E ). V do h l n cu nnE E = Q. T E l ni x. Vy ta c th nhngM E l bao ni x caM . Tnhduy nht do Mnh IV. 3.15.

4. Bi tp

BI TP 1. Xt biu sau nhng ng cu ca cc R-mun

X

A B C?h

-f -g

trong X l x nh, gh = 0 v dng l khp. Chng minh rng tn ti mt ng cuk : X A sao cho fk = h.

BI TP 2. Xt biu sau nhng ng cu ca cc R-mun

A B C

X

-f

?h

-g

trong X l ni x, hf = 0 v dng l khp. Chng minh rng tn ti mt ng cuk : C X sao cho kg = h.

BI TP 3. Cho XR l mun x nh v dy khp ngn

0 R A fR B gR C 0.12

Chng minh rng dy sau cng khp.

0 X A idXf X B idXg X C 0

BI TP 4. Chng minh rng mt mun X l x nh nu v ch nu, vi mi ng cuf : X B v mi ton cu g : A B viA l ni x, tn ti mt ng cu h : X Asao cho gh = f .

BI TP 5. Chng minh rng mt mun X l ni x nu v ch nu, vi mi ng cuf : A X v mi n cu g : A B viB l x nh, tn ti mt ng cu h : B Xsao cho gh = f .

13