chuong 5 thuyet tuong doi hep 1842

Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 139

Chương 5

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Thuyết tương đối hẹp Einstein là một môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các vật chuyển động với vận tốc từ rất bé cho đến cỡ vận tốc ánh sáng và coi cơ học Newton như một trường hợp giới hạn của mình. Chương này nghiên cứu các tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein, phép biến đổi Lorentz cùng các hệ quả của nó và động lực học tương đối tính của chất điểm chuyển động.

§5.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Cơ học Newton đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trong suốt hai thế kỷ đến nỗi nhiều nhà vật lý trong thế kỷ 19 đã cho rằng việc giải thích một hiện tượng vật lý bất kỳ đều có thể thực hiện được bằng cách đưa nó về một quá trình cơ học tuân theo các định luật Newton. Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học người ta đã phát hiện ra các hiện tượng mới không nằm trong phạm vi của cơ học cổ điển. Chẳng hạn, người ta đã gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng trong chân không (c = 3.108 m/s). Khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton, cụ thể là không gian, thời gian và vật chất phụ thuộc vào chuyển động, chứ không phải độc lập với chuyển động như Newton quan niệm. Người ta nhận xét rằng cơ học Newton chỉ đúng đối với các vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không rất nhiều. Để mô tả sự chuyển động với vận tốc so sánh được với vận tốc ánh sáng, Einstein đã xây dựng môn cơ học tương đối tính, gọi là thuyết tương đối hẹp, vào năm 1905.

Sự đúng đắn của thuyết tương đối hẹp Einstein cho đến nay không cần bàn cãi gì nữa vì nó đã được thử thách qua vô số thí nghiệm trong suốt thế kỷ qua. Hiện nay nó trở thành tiêu chuẩn để đánh giá sự đúng đắn của mọi thí nghiệm vật lý. Nếu một thí nghiệm nào đó mà kết quả mâu thuẫn với thuyết tương đối hẹp thì các nhà vật lý không đặt vấn đề nghi ngờ thuyết tương đối mà mặc nhiên khẳng định rằng trong thí nghiệm đặt ra có cái gì đó chưa ổn.

Thuyết tương đối hẹp Einstein xây dựng trên hai nguyên lý là nguyên lý tương đối Einstein và nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng. Hai nguyên lý đó phát biểu như sau:

1. Nguyên lý tương đối Einstein: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.

2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau theo mọi phương và đối với mọi hệ qui chiếu quán tính. Nó có giá trị c = 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.

Nguyên lý tương đối Einstein là sự mở rộng của nguyên lý tương đối Galilée. Nguyên lý tương đối Galilée áp dụng cho các hiện tượng cơ học, nói rằng các định luật cơ học là giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Còn nguyên lý Einstein

140 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

mở rộng ra cho tất cả các định luật vật lý nói chung. Theo Einstein thì tất cả các định luật của tự nhiên là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Vậy nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý tương đối Galilée từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tương vật lý nói chung.

Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng phản ảnh rõ ràng sự khác nhau về vận tốc tương tác trong hai lý thuyết cổ điển và tương đối. Trong lý thuyết tương đối, vận tốc truyền tương tác là hữu hạn và như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốc ánh sáng trong chân không c = 3.108 m/s. Trong cơ học Newton, quan niệm sự tương tác giữa các vật là tức thời, tức vận tốc tương tác là vô cùng. Điều này giải thích được do vận tốc trong cơ học cổ điển có giá trị rất bé, v << c. Vì vậy vận tốc ánh sáng có thể coi là lớn vô cùng trong cơ học cổ điển. Như vậy về mặt hình thức có thể chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học Newton bằng cách cho c → ∞ trong các công thức của cơ học tương đối tính.

§5.2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ

1 – Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilée với thuyết tương đối Einstein

Trong cơ học cổ điển Newton, thời gian là tuyệt đối còn vận tốc tuân theo quy luật cộng vận tốc. Điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối Einstein, trong đó thời gian phụ thuộc chuyển động và công thức cộng vận tốc (2.68) không còn đúng nữa. Để chứng minh nhận xét này, ta hãy xét hệ quy chiếu quán tính Oxyz và hệ quy chiếu quán tính O’x’y’z’ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc V. Ta đặt một nguồn sáng tại điểm A trên trục O’x’ trong hệ O’ và hai điểm B và C đối xứng qua A như trên hình 5.1.

Hình 5.1: Chứng minh sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilée với thuyết tương đối Einstein.

z

O

y

xB A C

z’

x’

y’

O’

Trước tiên ta xét công thức công vận tốc (2.68). Theo nguyên lý tương đối Galilée vận tốc ánh sáng trong hệ O theo chiều dương của trục x sẽ bằng (c + V) còn theo chiều âm bằng (c – V). Điều đó mâu thuẩn với nguyên lý vận tốc ánh sáng bất biến đối với các hệ quy chiếu quán tính trong thuyết tương đối.

Bây giờ xét đến mâu thuẫn về tính chất tương đối và tuyệt đối của thời gian. Đối với hệ O’ thì nguồn sáng A đứng yên vì nó cùng chuyển động với hệ O’. Theo thuyết tương đối thì vận tốc tín hiệu ánh sáng truyền đi mọi phương đều bằng c nên

Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 141 trong hệ O’ các tín hiệu sẽ đến các điểm B và C cách đều A cùng một lúc. Nhưng các tín hiệu sáng sẽ đến các điểm B và C không đồng thời trong hệ O. Trong hệ này vận tốc truyền ánh sáng vẫn bằng c nhưng vì điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng gửi từ A đến B còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu gửi từ A đến C, do đó trong hệ O tín hiệu sáng sẽ gửi tới điểm B sớm hơn. Như vậy trong hệ O, theo thuyết tương đối thì các điểm B và C nhận tín hiệu sáng không đồng thời, còn theo thuyết cơ học cổ điển, các tín hiệu sáng đến B và C đồng thời do quan niệm thời gian không phụ thuộc hệ tọa độ. 2 – Phép biến đổi Lorentz

Phép biến đổi Galilée dẫn tới quy luật cộng vận tốc (2.68), mà quy luật này mâu thuẫn với nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng. Như vậy phép biến đổi Galilée không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối là phép biến đổi Lorentz.

Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’, hệ O’ chuyển động so với hệ O với vận tốc V theo phương x (Hình 5.2). Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ của hai hệ trùng nhau. Gọi (x,y,z,t) và (x’,y’,z’,t’) là các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ O và O’.

Gốc tọa độ O’ của hệ O’ có tọa độ x’ = 0 trong hệ O’ và x = Vt trong hệ O. Do đó biểu thức x - Vt phải triệt tiêu đồng thời với tọa độ x’. Muốn thế phép biến đổi tuyến tính phải có dạng:

z

O

y

x V

z’

x’

y’

O’x’ = α(x – Vt) (5.1)

trong đó α là một hằng số nào đó. Tương tự, gốc tọa độ O của hệ O có tọa độ x = 0 trong hệ O và x’ = -Vt’ trong hệ O’. Do đó ta có

x = β(x’ + Vt’) (5.2)

Theo nguyên lý tương đối Einstein, mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Như vậy các phương trình (5.1) và (5.2) có thể suy ra lẫn nhau bằng cách thay V ⇔ -V, x ⇔ x’ và t ⇔ t’, do đó β = α.

Hình 5.2: Minh họa phép biến đổi Lorentz.

Theo nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, nếu trong hệ O ta có x = ct thì trong hệ O’ ta có x’ = ct’. Thay các biểu thức này vào (5.1) và (5.2) ta được: ct’ = α(ct – Vt) = αt(c – V) (5.3a)

ct = α(ct’ + Vt’) = αt’(c + V) (5.3b)

Nhân cả hai hệ thức với nhau ta đi tới phương trình: c2 = α2(c2 – V2)


Từ đó ta có:

2

2

1

1

cV

−

=α (5.4)

Thay α vào (5.1) và β = α vào (5.2) ta được:

2

2

1cV

Vtx'x

−

−= ;

2

2

cV1

Vt'x'x

−

+= (5.5)

Mặt khác sự phụ thuộc giữa t và t’ là:

2

2

2

1cV

xcVt

't

−

−= ;

2

2

2

cV1

x'cVt'

t

−

+= (5.6)

Do hệ O’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’. Vì vậy ta được các công thức biến đổi Lorentz như sau:

x’ =

2

2

1cV

Vtx

−

−; y’ = y; z’ = z; t’ =

2

2

2

1cV

xcVt

−

− (5.7)

x =

2

2

cV1

Vt'x'

−

+; y = y’; z = z’; t =

2

2

2

cV1

x'cVt'

−

+ (5.8)

Từ các biểu thức (5.7) và (5.8) ta thấy rằng khi c → ∞ hay khi cV→ 0 thì

chúng trở thành: x’ = x – Vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = t (5.9)

x = x’ + Vt’ ; y = y’ ; z = z’ ; t = t’ (5.10)

nghĩa là trở thành các công thức biến đổi Galiée trong cơ học cổ điển.

§5.3. TÍNH ĐỒNG THỜI VÀ QUAN HỆ NHÂN QUẢ

1 – Tính đồng thời

Trong mục 5.2.1 ta đã xét các tín hiệu sáng từ điểm A đến các điểm B và C nằm trên trục x’ của hệ O’. Các tín hiệu sáng đến B và C đồng thời trong hệ O’ nhưng không đồng thời trong hệ O. Để khảo sát một cách tổng quát tính đồng thời trong các

Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 143 hệ quy chiếu quán tính, ta giả sử rằng trong hệ O có hai sự kiện A1(x1,y1,z1,t1) và A2(x2,y2,z2,t2) với x2 ≠ x1. Hệ O’ chuyển động với vận tốc V so với hệ O theo trục x. Khoảng thời gian trong hệ O là t2 – t1. Khi đó khoảng thời gian của hai sự kiện này trong hệ O’ là:

t’2 – t’1 =

2

2

12212

1cV

)xx(cVtt

−

−−− (5.11)

Từ (5.11) thấy rằng, nếu hai sự kiện A1 và A2 xảy ra đồng thời trong hệ O, nghĩa là t2 = t1, hay t2 – t1 = 0, thì trong hệ O’ ta có t’2 ≠ t’1, tức là hai sự kiện A1 và A2 không xảy ra đồng thời trong hệ O’, trừ trường hợp x2 = x1.

Vậy khái niệm đồng thời là khái niệm tương đối, hai sự kiện có thể xảy ra đồng thời trong hệ quán tính này nhưng không đồng thời trong hệ quán tính khác.

2 – Quan hệ nhân quả

Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Giả sử sự kiện A1(x1, t1) là nguyên nhân và A2(x2, t2) là kết quả thì t2 > t1. Để xét trong hệ O’, ta chú ý rằng trong hệ O thì x1 = vt1 và x2 = vt2, do đó

t’2 – t’1 =

2

2

12212

1cV

)vtvt(cVtt

−

−−− =

2

2

212

1

1

cV

cVv)tt(

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

(5.12)

Do v < c và V < c nên khi t2 > t1 ta có t’2 > t’1. Như vậy trong hệ O’, sự kiện A1 cũng là nguyên nhân và sự kiện A2 cũng là kết quả. Vậy thứ tự nhân quả được tôn trọng trong các hệ quy chiếu quán tính.

§5.4 SỰ CO NGẮN LORENTZ

Ta hãy so sánh độ dài và khoảng thời gian trong hai hệ quán tính O và O’.

Hình 5.3: Minh họa sự co ngắn Lorentz.

z

O

y

x

z’

x’

y’

O’V

1 2

x2

x’2

x1

x’1

1 – Độ dài:

Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ O’ (Hình 5.3), đặt dọc theo trục O’x’, độ dài của nó trong hệ O’ là: ∆x’ = x’2 – x’1

Độ dài của nó trong hệ O là:

∆x = x2 – x1.


Dùng các biểu thức:

2

2

22,2

cV1

Vtxx

−

−= ;

2

2

11,1

cV1

Vtxx

−

−=

ta xác định được độ dài trong hệ O’:

∆x’ = x’2 – x’1 =

2

2

1212

cV1

)tV(t)x(x

−

−−− (5.13)

Nếu độ dài ∆x được đo trong hệ O tại cùng một thời điểm t2 = t1, thì

2

2

1212

cV1

xxx'x'

−

−=− hay 2

2

cV1∆x'∆x −= (5.14)

Vậy độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh trong hệ O nhỏ hơn trong hệ O’, nghĩa là độ dài thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói khác đi, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động, gọi là sự co ngắn Lorentz. Do đó một quả cầu đặt trên con tàu vũ trụ chuyển động rất nhanh so với Trái Đất thì phi hành gia trên tàu vũ trụ nhìn thấy nó có dạng hình cầu còn người quan sát đứng trên Trái Đất thấy nó có dạng hình bầu dục, co ngắn theo phương chuyển động của tàu vũ trụ. Như vậy độ dài có tính tương đối, phụ thuộc vào chuyển động. Khi hệ O’ chuyển động với vận tốc V << c thì công thức (5.14) trở thành ∆x ≈ ∆x’, nghĩa là độ dài không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển.

2 – Khoảng thời gian

Ta hãy xét hai sự kiện tại cùng một điểm (x’,y’,z’) trong hệ O’. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện này là ∆t’ = t’2 – t’1. Ta hãy xác định khoảng thời gian giữa hai sự kiện này trong hệ O. Sử dụng (5.6):

2

2

22

2

1cV

'xcVt

t

,

−

+= ;

2

2

21

1

1cV

'xcVt

t

,

−

+=

Ta có:

2

2

,1

,2

12

cV1

tttt∆t

−

−=−= hay ∆t’ = ∆t 2

2

cV1− (5.15)


Như vậy khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ O’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ O đứng yên. Nếu trong hệ O’ gắn một đồng hồ và trong hệ O cũng gắn một đồng hồ thì khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ O’sẽ nhỏ hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ O. Điều đó có nghĩa là đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động cùng với vật được gọi là thời gian riêng của vật đó. Vậy thời gian riêng luôn luôn bé hơn thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động đối với vật. Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối và phụ thuộc vào chuyển động. Khi vận tốc V của hệ O’ rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng c thì từ công thức (5.15) ta có ∆t’ ≈ ∆t, tức là khoảng thời gian không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển,

3 – Khoảng không - thời gian

Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến kết quả là không gian và thời gian liên quan với nhau và chúng lập thành một không – thời gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể được biểu diễn nhờ không – thời gian 4 chiều tưởng tượng mà theo ba trục người ta đặt các tọa độ không gian x, y, z còn trục thứ tư là trục thời gian t, hay chính xác hơn, là tọa độ thời gian ct, có cùng thứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thời gian 4 chiều ứng với các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là điểm vũ trụ. Một đường nào đó trong không gian 4 chiều gọi là đường vũ trụ. Bình phương khoảng cách ∆s2 giữa hai điểm vũ trụ được gọi là bình phương khoảng không - thời gian, liên hệ qua bình phương khoảng cách không gian ∆ 2 = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 và bình phương khoảng thời gian c2∆t2 như sau:

∆s2 = c2∆t2 - ∆ 2 = c2∆t2 - ∆x2 - ∆y2 - ∆z2 (5.16)

Khoảng không – thời gian trong không gian 4 chiều ∆s bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là ∆s, được xác định theo công thức (5.16). Khoảng không - thời gian trong hệ Ox’y’z’t’ chuyển động với vận tốc V dọc theo trục Ox là ∆s’, được xác định như sau:

∆s’2 = c2∆t’2 - ∆ ’2 = c2∆t’2 - ∆x’2 - ∆y’2 - ∆z’2 (5.17)

Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có :

∆t’ =

2

2

2

cV1

∆xcV∆t

−

− và ∆x’ =

2

2

cV1

V∆∆x

−

− t, mặt khác ∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z

Từ các công thức này có thể suy ra rằng: ∆s’2 = ∆s2 (5.18)

nghĩa là khoảng không - thời gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thời gian riêng như sau:

Từ công thức : ∆t’ = ∆t 2

2

cV1− ,


ta có : ∆t’ = c1 222 t)(V∆∆tc − =

c1 222 ∆∆tc − =

c1∆s (5.19)

Trong đó ∆ = V∆t. Công thức (5.19) cho thấy rằng khoảng thời gian riêng tỉ lệ với khoảng không - thời gian giữa hai biến cố. Khoảng này bất biến nên khoảng thời gian riêng cũng bất biến, tức là không phụ thuộc vào sự chuyển động của vật đã cho được quan sát trong hệ quy chiếu nào.

Ví dụ 5.1: Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để chiều dài của nó giảm đi 25%.

Giải

Chiều dài ∆x của vật chuyển động với vận tốc v liên hệ với chiều dài ∆x’ của

vật đó đứng yên như sau: 2

2

cV1∆x'∆x −= = 2β1∆x' −

trong đó β = v/c.

Độ giảm tương đối của chiều dài là: δ = ∆x'∆x∆x'−

= 1 - 2β1−

Từ đó suy ra: β = 2δ)(11 −− . Thay số δ = 0,25 ta được β = 0,6614. Vậy vận tốc của vật: v = βc = 0,6614×3.108 ≈ 1,99.108 m/s.

Ví dụ 5.2: Có hai con tàu vũ trụ với

độ dài bằng nhau và bằng ∆x’ = 230 m. Chúng đi ngược chiều nhau với vận tốc tương đối v (Xem hình vẽ). Một người ở vị trí A của con tàu 1 đo được khoảng thời gian nhìn thấy từ đầu B đến đầu C của con tàu thứ 2 là ∆t = 3,57 µs. Hãy xác định vận tốc tương đối v giữa hai con tàu.

Tàu 1 A

Tàu 2

v B C

Giải Gọi AB là sự kiện điểm A trùng với điểm B còn AC là sự kiện điểm A trùng

với điểm C. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện AB và AC đo bởi người ở tàu 1 tại vị trí A là ∆t = 3,57 µs. Độ dài của tàu 2 do người nói trên đo được là: ∆x = v∆t = βc∆t Trong đó β = v/c. Mặt khác, độ dài ∆x của tàu 2 do người ở tàu 1 đo được liên hệ với

độ dài riêng ∆x’ của tu 2 như sau: ∆x = ∆x’ 2β1−

Từ hai công thức trên ta được: βc∆t = ∆x’ 2β1−

Nghiệm của phương trình này là: β = 22 ')(c∆

'xt

x∆+

∆

Thay số : c = 3.108 m/s; ∆t = 3,57 µs = 3,57.10-6 s; ∆x’ = 230 m ta được: β = 0,210. Do đó v = 0,210×3.108 m/s = 0,63.108 m/s.


Ví dụ 5.3: Trong hệ quán tính O một chớp sáng xanh phát ra tại thời điểm tB và một chớp sáng đỏ phát tiếp theo sau đó tại thời điểm tR, khoảng thời gian giữa hai chớp sáng là ∆t = tR – tB = 5,35 µs. Nguồn sáng xanh nằm tại tọa độ xB còn nguồn sáng đỏ nằm tại tọa độ xR, khoảng cách giữa hai nguồn sáng là ∆x = xR – xB = 2,45 km. Hệ quán tính O’ chuyển động dọc theo trục x với vận tốc v so với hệ O và β = v/c = 0,855. Hãy xác định khoảng cách và khoảng thời gian giữa hai nguồn sáng trong hệ O’.

y

z

x

×xB

tB

×xR

tR

y’

z’

x’ O’

O

Giải Theo (5.11) và (5.13) thì:

t’R – t’B =

2

2

BR2BR

cv1

)x(xcvtt

−

−−− hay ∆t’ =

2β1c∆xβ∆t

−

−

x’R – x’B =

2

2

BRBR

cv1

)tv(t)x(x

−

−−− hay ∆x’ =

2β1βc∆t∆x−

−,

trong đó β = v/c. Thay số: ∆t = tR – tB = 5,35 µs = 5,35.10-6 s;

∆x = xR – xB = 2,45 km = 2,45.103 m; β = 0,855 ; c = 3.108 m/s ,

ta được: ∆x’ = 2078 m = 2,08 km và ∆t’= -3,147.10-6 s = -3,15 µs.

Kết quả trên cho thấy trong hệ O’, do ∆x’ > 0 nên tọa độ nguồn sáng đỏ x’R > x’B như trong hệ O nhưng khoảng cách giữa hai nguồn bằng 2,08 km, nhỏ hơn khoảng cách giữa hai nguồn trong hệ O (2,45 km). Về mặt thời gian, do ∆t’ < 0 nên t’R < t’B, tức là nguồn sáng đỏ chớp trước nguồn sáng xanh, điều này ngược lại thứ tự trong hệ O, tại đó nguồn sáng xanh chớp trước nguồn sáng đỏ.

§5.5. TỔNG HỢP VậN TốC Giả sử u là vận tốc của một chất điểm đối với hệ O và u’ là vận tốc cũng của

chất điểm đó đối với hệ O’. Ta hãy xác định công thức tổng hợp vận tốc liên hệ giữa u và u’. Từ (5.7) ta có:

2

2

1cV

Vdtdx'dx

−

−= ;

2

2

2

1cV

dxcVdt

'dt

−

−=


Do đó:

x2

x

2

,x

ucV1

Vu

dxcVdt

Vdtdxdt'dx'u

−

−=

−

−== (5.20a)

hay: ,x2

,x

ucV1

Vuu

+

+=x (5.20b)

Trong đó: ux = dtdx

.

x2

2

2

y

2

2

2

,y

ucV1

cV1u

dxcVdt

cV1dy

dt'dy'u

−

−=

−

−== (5.21)

x

z,z

ucV

cVu

dxcVdt

cVdz

'dt'dzu

2

2

2

2

2

2

1

11

−

−=

−

−== (5.22)

Các công thức (5.20) – (5.22) biểu diễn quy luật tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối.Từ các công thức này suy ra tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong các hệ quy chiếu quán tính.

Thật vậy nếu ux = c thì: u’x = cc

cVVc

=−

−

21

Khi các giá trị vận tốc V, ux và ux’ rất bé so với vận tốc ánh sáng thì các công thức tổng hợp vận tốc (5.20a) và (5.20b) trở thành: ux’ = ux – V và ux = ux’ + V

Đó chính là các công thức tổng hợp vận tốc trong cơ học cổ điển Newton.

§5.6. ĐỘNG LƯỢNG VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm trong trường hợp cổ điển là:

d vF m a mdt

→→ →

= = (5.23)

hay: d pFdt

→→

= (5.24)


trong đó là động lượng của chất điểm chuyển động với vận tốc và có khối lượng m không đổi. Trong cơ học tương đối, phương trình (5.23) không còn phù hợp mà phải dùng phương trình (5.24), trong đó khối lượng trong công thức của động lượng

p m v→ →

= v→

p không còn là một hằng số mà thay đổi theo vận tốc của chất điểm. Các công

thức đối với động lượng và khối lượng có dạng như sau:

2

2

o

cv1

vmvmp

−

== (5.25)

2

2

o

cv1

mm

−

= (5.26)

Trong các công thức (5.25) và (5.26), m là khối lượng động, nghĩa là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v, còn m0 là khối lượng tĩnh, tức là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên. Như vậy khối lượng trong các công thức (3.23) và (3.24) của cơ học cổ điển là khối lượng tĩnh vì khi vận

tốc v << c thì 2

2

cv1− ≈ 1 và m ≈ m0.

Bây giờ ta hãy nêu ra lặp luận suy ra các công thức (5.25) và (5.26). Theo định nghĩa trong cơ học cổ điển thì động lượng được xác định theo công thức:

p = m0v = m0 ∆t∆x

(5.27)

Trong đó ∆x là khoảng đường của hạt chuyển động được đo bởi người quan sát còn ∆t là thời gian cũng do người quan sát đo được. Tuy nhiên trong cơ học tương đối, động lượng xác định theo phương pháp đo như vậy không bảo toàn đối với tất cả các hệ quán tính. Để khắc phục khó khăn đó, trong cơ học tương đối, động lượng được định nghĩa lại như sau:

p = m0 'tx

∆∆

(5.28)

Trong đó ∆t’ là thời gian đo bởi người cùng chuyển động với hạt mà không phải đo bởi người quan sát hạt. Đối với người chuyển động cùng với hạt thì hạt đứng yên, do đó ∆t’ là thời gian riêng của hạt chuyển động.

Theo (5.15) thì ∆t’ = 2

2

cv1∆t − hay

2

2

cv1

1∆t'∆t

−

= (5.29)


Từ (5.28) và (5.29) ta được: p = m0 tx∆∆

.∆t'∆t

= m0v

2

2

cv1

1

−

(5.30)

Công thức này nếu viết dưới dạng vector ta được công thức (5.25), trong đó khối lượng tuân theo công thức (5.26). Theo công thức (5.26) khối lượng của vật tăng lên khi nó chuyển động.

§5.7. NĂNG LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

1 – Công thức W = mc2

Khi hạt chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực, năng lượng của nó thay đổi. Độ biến thiên năng lượng của chất điểm bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó: dW = dA (5.31)

Để đơn giản ta xét trường hợp ngoại lực cùng hướng với độ chuyển dời

. Khi đó: dW = dA = = F ds (5.32)

F→

sd F→

d s→

Thay F = dtdp

vào (5.32), trong đó p xác định theo (5.30), ta có:

dW = ds

cv1

vmdtd

2

2

0

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

= dsdtdv

cv1c

vmdtdv

cv1

m2/3

2

22

20

2

2

0

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

−

Mặt khác: vdvdtdsdvds

dtdv

==

Do đó: dW = 2/3

2

2

0

2

22

2

2

2

0

cv1

vdvm

cv1c

v1

cv1

vdvm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

−

(5.33)

Từ công thức m =

2

2

0

cv1

m

−

suy ra: dm = vdv

cv1c

m2/3

2

22

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

(5.34)

Kết hợp hai công thức (5.33) và (5.34) ta có: dW = c2 dm (5.35)

Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 151 Tích phân biểu thức (5.35) ta được: W = mc2 + C (5.36)

Trong đó C là hằng số. Từ điều kiện W = 0 khi m = 0 ta có C = 0.

Vậy: W = mc2 (5.37)

Công thức này xác định mối liên hệ giữa khối lượng tương đối tính và năng lượng toàn phần của vật, thường gọi là công thức Einstein.

2 – Năng lượng tĩnh và động năng

Năng lượng toàn phần W của chất điểm bằng tổng số của năng lượng tĩnh W0 khi nó đứng yên và động năng Wd khi nó chuyển động:

W = W0 + Wd (5.38)

Năng lượng tĩnh của chất điểm đứng yên là: W0 = m0c2 (5.39)

Năng lượng tĩnh là nội năng của hạt, không liên quan đến sự chuyển động của nó. Đối với một vật phức tạp gồm nhiều hạt thành phần thì năng lượng tĩnh của vật gồm năng lượng tĩnh của các hạt thành phần, động năng chuyển động của các hạt thành phần đối với khối tâm của vật và năng lượng tương tác giữa chúng. Thế năng của vật trong trường lực ngoài không tham gia vào năng lượng tĩnh cũng như năng toàn phần của vật. Cần lưu ý rằng thuật ngữ “năng lượng toàn phần” trong cơ học tương đối tính có ý nghĩa khác so với trong cơ học cổ điển. Trong cơ học Newton, năng lượng toàn phần là tổng động năng và thế năng của hạt còn trong cơ học tương đối, năng lượng toàn phần là tổng năng lượng tĩnh và động năng của hạt.

Động năng: Wd = W – W0 = mc2 – moc2 = moc2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1

cv1

1

2

2 (5.40)

Trong trường hợp cổ điển, khi v << c, thì

2

2

2

2

cv

211

1

cv1

1

−≈

−

.

Do đó: Wd = m0c2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1

cv1

1

2

2

202

22

0 vm21

cv

21cm =≈ (5.41)

Công thức này trùng với động năng trong cơ học cổ điển.

3 – Liên hệ giữa năng lượng và động lượng:

Viết lại công thức Einstein như sau:


W = mc2 =

2

2

20

cv1

cm

−

hay 420

22

2

cmWcv1 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇒ W2 2

2242

0 cvWcm += ⇒ W2 = 2242

02

24242

0 cpcmc

vcmcm +=+ (5.42)

Trong đó đã thay mv = p.

Vậy: W = c 220

2 cmp + (5.43)

là công thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng tương đối.

Trong trường hợp phi tương đối khi p << m0c, (5.43) có dạng:

W = m0c2 2

0cmp1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ≈ m0c2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

0cmp

211 = m0c2 +

0

2

m2p

(5.44)

Như vậy, động năng trong cơ học cổ điển liên hệ với động lượng như sau:

Wd = 0

2

m2p

(5.45)

Công thức (5.45) có thể suy ra từ công thức (5.41) khi thay v = 0m

p.

Ví dụ 5.4: Có thể gia tốc cho electron đến động năng nào nếu độ tăng tương đối của khối lượng không được quá 5%.

Giải Sử dụng công thức tính động năng Wd = (m – m0) c2 thì độ tăng tương đối của

khối lượng : δ = 0

0

mmm −

= 20

d

cmW

, từ đó Wd = δ×m0c2

Thay số δ = 0,05; m0c2 = 0,511 MeV, ta được Wd = 2,56.10-2 MeV. Ví dụ 5.5: Xác định độ biến thiên năng lượng của electron ứng với độ biến

thiên khối lượng bằng khối lượng của electron. Giải

Do W = mc2 nên ∆W = ∆mc2 = m0c2

Thay số m0c2 = 0,511 MeV, ta được ∆W = 0,511 MeV. Ví dụ 5.6: Một electron có động năng Wd = 2,53 MeV. Hãy xác định năng

lượng toàn phần và động lượng của nó. Giải

Năng lượng toàn phần W = W0 + Wd, trong đó W0 = m0c2 = 0,511 MeV còn Wd = 2,53 MeV. Do đó W = 0,511 MeV + 2,53 MeV = 3,04 MeV.


Theo công thức (5.41) thì W2 = , do đó p = 22420 cpcm + 22

02 )c(mW

c1

−

Thay số W = 3,04 MeV; m0c2 = 0,511 MeV ta được p = 3,00 MeV/c.

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1 Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để kích thước của nó theo phương chuyển động giảm đi hai lần.

5.2 Hạt mezon trong các tia vũ trụ chuyển động với vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh sáng. Hỏi khoảng thời gian theo đồng hồ người quan sát đứng yên trên trái đất lớn hơn thời gian sống của hạt mezon bao nhiêu lần?

5.3 Khối lượng hạt α tăng thêm bao nhiêu nếu tăng vận tốc của nó từ 0 đến 0,9 lần vận tốc ánh sáng. Cho biết khối lượng tĩnh của hạt α là m0 = 6,6444.10-27 kg.

5.4 Khối lượng của electron chuyển động bằng hai lần khối lượng nghỉ của nó. Tìm động năng của electron trên. Cho biết khối lượng tĩnh của electron là m0 = 9,1.10-

31 kg. 5.5 Tìm vận tốc của hạt mezon nếu năng lượng toàn phần của hạt mezon gấp 10 lần

năng lượng nghỉ của nó. 5.6 Một sự kiện xảy ra trong hệ quy chiếu O tại tọa độ x = 100 km và thời gian t =

200 µs. Hỏi sự kiện đó có tọa độ bao nhiêu trong hệ quy chiếu O’ chuyển động dọc theo trục x của hệ O với vận tốc V = 0,95 c, với c = 3.108 m/s. Giả sử khi t = t’ = 0 thì x = x’.

5.7 Hệ quy chiếu O’ chuyển động với vận tốc V = 0,6c so với hệ quy chiếu O. Hai sự kiện được ghi nhận. Trong hệ O sự kiện 1 xảy ra tại x = 0 và t = 0 còn sự kiện 2 xảy ra tại x = 3 km và t = 4 µs. Hãy xác định thời gian của hai sự kiện này trong hệ O’.

5.8 Người quan sát trong hệ quy chiếu O nhìn thấy chớp sáng màu đỏ ở vị trí cách ông ta 1200 m rồi sau đó một chớp sáng màu xanh cách 480 m theo cùng chiều với chớp sáng đỏ. Ông ta đo được khoảng thời gian giữa hai chớp sáng là 5 µs. Hãy tính:

a. Vận tốc tương đối của hệ quy chiếu O’ so với hệ O, trong đó người quan sát thứ hai nhìn thấy hai chớp sáng đỏ và xanh xảy ra ở tại cùng một vị trí.

b. Thứ tự các chớp sáng mà người quan sát trong hệ O’ nhìn thấy. c. Khoảng thời gian giữa hai chớp sáng mà người quan sát trong hệ O’ đo được.

5.9 Một hạt chuyển động dọc theo trục x’trong hệ quy chiếu O’ với vận tốc u’ = 0,4c. Hệ O’ chuyển động với vận tốc V = 0,6c so với hệ quy chiếu O theo trục x. Hãy tính vận tốc của hạt đó trong hệ quy chiếu O.

5.10 Một hạt vũ trụ bay về phía trái đất theo trục trái đất đến cực bắc với vận tốc v1 = 0,8c. Một hạt vũ trụ khác bay về phía trái đất theo trục trái đất ngược chiều với hạt thứ nhất đến cực nam với vận tốc v2 = 0,6c. Hãy tính vận tốc tương đối giữa hạt thứ nhất và hạt thứ hai.

chuong 5 thuyet tuong doi hep 1842

Documents