chuong 3_ly thuyet mo dun

7/21/2019 Chuong 3_Ly Thuyet Mo Dun

1/13

CHNG 3.DY KH P

1. Dy kh p ng n1.1. Cc nh ngha.

NH NGHA 1.1. M t dy cc R-mun ph i v cc R- ng c u mun

... M n 1n 1 M n

n

M n +1 ...

c g i l kh p, n u t i m i M n (khng k hai u mt, n u c) tho i u ki n

Im ( n 1) = Ker ( n ).

Dy kh p cc R-mun ph i:

0 X Y Z 0

c g i l dy kh p ng n.

V D 1.2. (1) Cho l m t ng c u t nhm aben X vo nhm aben Y th ta c dykh p ccZ -mun l

0 Ker j X Y p Y/Im 0

trong j l php nhng chnh t c cn p l ton c u chnh t c. (2) Cho A M R . Lc ta

c dy kh p ng n cc R-mun ph i l :

0 A j M p M/A 0

trong j l php nhng chnh t c cn p l ton c u chnh t c.

Cho X, M,N l cc R-mun ph i, l ng c u R-mun ph i, : M N c msinh cc ng c u nhm:

Hom(1, ) : HomR (X, M ) f f HomR (X, N )

vHom( , 1) : HomR (N, X ) f f HomR (M, X )

NH NGHA 1.3. M t s cc R-mun ph i g i l giao hon n u h p thnh b t kcc R- ng c u mun trong s sao cho cng g c v cng ng n th b ng nhau, ni ritam gic

A B

C

1


2/13


3/13

CH NG MINH. Ta ch ng minh b ng phng php sn trn bi u .

1.2. Hom v dy kh p.

MNH 1.8. Cho M R v dy kh p cc R-mun ph i0 A f B g C.

Lc dy cc nhm aben sau cng kh p

0 HomR (M, A) Hom (1,f )

HomR (M, B ) Hom R (1 ,g)

HomR (M, C ).

CH NG MINH. Tr c h t ta ch ng minh tnh kh p t i HomR (M, B ). Th t v y, ta cHom(1, g)Hom(1, f ) = Hom(1, gf ) = Hom(1, 0) = 0 .Dov yImHom (1, f ) KerHom (1, g).

Ng c l i, gi s v HomR (M, B ) v Hom(1, g)(v) = gv = 0. T Imv Kerg =Imf. L y j : Imf B th v xc nh ng c u v : M I mf sao cho v = j v. Do f ln c u nn ta c ng c u f : A Imf v f = j f . t u = f 1v th v = fu . Suy ra

v = j v = j fu = f u = Hom(1, f )(u).

Do v ImHom (1, f ). V y ta ch ng minh tnh kh p t i HomR (M, B ) ch ng minh tnh kh p t i HomR (M, A), ta p d ng k t qu v a ch ng minh cho dy

kh p 0 0 A B.

Ch ng minh tng t ta c:

MNH 1.9. Cho M R v dy kh p cc R-mun ph i

A f B g C 0.


0 HomR (C, M ) Hom (g,1)

HomR (B, M ) Hom R (f, 1)

HomR (A, M ).

1.3. Tenx v dy kh p.

MNH 1.10. Cho RM v dy kh p cc R-mun ph i

A f B g C 0.


A R M f 1 B R M

g 1 C R M 0.

CH NG MINH. Ta xt n bi u sau, trong dng trn l kh p

A R M B R M B R M/Im (f 1) 0

A R M B R M C R M 0

f 1

p

h

f 1 g 1

3


4/13

Do dng trn l kh p, v v y nn ta ch c n ch ng minh n u c h l ng c u lm chobi u giao hon l .

Th t v y, do Im(f 1) Ker (g 1) nn (g 1)(f 1) = gf 1 = 0 1 = 0, nntheo tnh ch t c a Coker, t n t i m t ng c u nhm h : Coker(f 1) C R M saocho g 1 = hp. Suy ra hp(x y) = h(x y + Im (f 1)) = ( g 1)(x y) = g(x) y.

ch ng minhh l m t ng c u nhm, ta s i tm m t ng c u nhmk : C R M Coker (f 1) sao cho kh = hk = 1. Xt tng ng k c xc nh nh sau:

Cho c C, m M. V g l ton nh, nn t n t i b B sao cho g(b) = c. N ug(b1) = g(b2) th g(b1 b2) = 0 , do b1 b2 Kerg = Imf, nn l i t n t i a A saocho f (a) = b1 b2. Khi

(b1 b2) m = f (a) m = ( f 1)(a m) Im(f 1).

V y: (b1 m) (b2 m) Im(f 1), do b1 m + Im (f 1) = b2 m + Im (f 1).V i ch ng minh trn ta thnh l p c nh x

j : C M B R M/Im (f 1) b i

(c, m) = ( g(b), m) b m + Im (f 1).

C th ki m ch ng d d ng j l song tuy n tnh. Theo tnh ch t c a tch tenx, t n t iduy nh t m t ng c u nhm k : C R M Coker(f 1) xc nh b i:

k(c m) = b m + Im (f 1), c = g(b).

Do h(b m + Im(f 1)) = g(b) m v k(g(b) m) = b m + Im(f 1) trncc ph n t sinh, nn ta c ngay hk = 1C R M v kh = 1B R M/Im (f 1) . V y ta c i u ph ich ng minh.

Ch ng minh tng t ta c:

MNH 1.11. Cho M R v dy kh p cc R-mun tri

A B C 0.


M R A M R B M R C 0.

i v i tnh kh p tri c a tch tenx, ta xt n cc tr ng h p c bi t sau:

MNH 1.12. Cho RF l R-mun tri t do v dy kh p cc R-mun ph i

0 A f B g C 0.

Lc dy cc nhm aben sau cng kh p0 A R F

f 1 B R F g 1 C R F 0.

4


5/13

CH NG MINH. Ta ch c n ch ng minh f 1 l m t ng c u nhm. Th t v y, do F lt do nn n c c s{ci}I . Khi , m i ph n t c a A R F c vi t duy nh t d i d ng

I xi ci trong xi A v h (xi)I c gi h u h n.Cho (f 1)( I xi ci) = I f (xi) ci = 0. Lc f (xi) = 0 , i I do m i ph n

t c a B R F c vi t duy nh t d i d ngI xi ci . V f l n nh nn xi = 0, i I .Ngha l, Ker (f 1) = 0 .

2. Dy n a kh p

M t dy h u h n ho c v h n

X f Y g Z

nh ng ng c u c a nh ng mum trn R g i l n a kh p n u v ch n u nh c a ng c uvo b ch a trong h t nhn c a ng c u ra t i m i mun khc hai u (n u c) c a dy. Ddng ta th y dy cho l n a kh p n u v ch n u ci h p thnh gf c a ng c u k ti pb t k f v g trong dy l ng c u t m th ng.

M i dy kh p nh ng ng c u nh ng mun trn R u l dy kh p, nhng khng ph im i n a kh p u l kh p. Ch ng h n, gi s A l mun con th c s c a m t mun X trn R, t c l A X nhng A = X , v gi s i : A X l ng c u bao hm. Th th

trong dy 0 A i X 0l n a kh p m khng kh p. Mun thng Q = X/A dng lm ci o l ch so v i skh p. i u ny g i ra nh ngha t ng qut sau.

C : X f Y g Z

nh ng ng c u c a nh ng mun trn R, mun thng

Ker (g)/Im (f )

g i l mun d n xu t c a dy C t i mun Y . M nh sau l hi n nhin.MNH 2.1. M t dy kh p nh ng ng c u c a nh ng mun trn R l kh p n u v

ch n u t t c cc mun d n xu t c a n u t m th ng.

Cc mun c a dy kh p C th ng c ch s ho b i nh ng s nguyn ti n.

N u cc s nguyn li c dng lm ch s , th dy n a kh p C g i l m t dy d i(hay ph c h p dy chuy n) v cc ng c u trong C u c k hi u b ng cng m t ch .

V y m i dy d i C c d ng sau:C : C n +1

C n C n 1

5


6/13

v i = 0. Trong tr ng h p ny, cc ph n t C g i l cc dy chuy n n chi u c aC v cc ng c u g i l cc ton t b . H t nhn c a trong C c k hi u Z n (C ) v g il mun cc chu trnh n-chi u c a C . nh c a trong C n c k hi u l Bn (C ) v g i lmun cc b n-chi u c a C . Cu i cng, mun d n xu t c a C c k hi u l

H n (C ) = Z n (C )/B n (C )

v g i mun ng i u n chi u c a C . T nay tr v sau n u khng gi i thch g thm tavi t z H n (C ), ngha l z = z + Bn (C ) v i z Bn (C ).

Khi cc s nguyn ti n c dng lm ch s , dy n a kh p C g i l m t dy trn (hayph c h p i dy chuy n) v cc ng c u trong C u c k hi u b ng cng m t ch .V y m i dy trn C c d ng sau:

C : C n 1 C n C n +1

v i = 0. Trong tr ng h p ny, cc t i dy chuy n, i chu trnh v i b cdng thay cho dy chuy n, chu trnh v b trong cc dy d i. Thm n a, cc ch s c dng thay cho cc ch s d i. Cu i cng, mun d n xu t H n (C ) = Z n (C )/B n (C )g i l mun i ng u n chi u c a C .

V c gi ng nhau gi a cc dy trn v dy d i, nn ta s ch xt cc dy d i tronph n cn l i c a m c ny.

Xt hai dy d i:

C : C n +1 C n

C n 1

D : Dn +1 Dn

Dn 1

c a nh ng mun trn R. Ta g i ng c u (ho c php bi n i dy chuy n) f : C D lm t h nh ng ng c u f = {f n : C n Dn |n Z } c a nh ng mun trn R, ch s hob i cc s nguyn n ZZ , sao cho quan h giao hon f n = f n 1 x y ra trong hnhch nh t

f n

C n C n 1

Dn Dn 1

f n +1

v i m i s nguyn n ZZ .By gi ta hy xt m t ng c u tu cho tr c f : C D c a dy d i C vo dy

d i D. T cc ng c u f n : C n Dn , chuy n Z n (C ) vo Z n (D) v Bn (C ) vo Bn (D).Do f n c m ng ra m t ng c u

H n (f ) : H n (C ) H n (D)

6


7/13

c a cc mun ng i u n chi u H n (C ) v H n (D). ng c u H n (f ) ny g i l ng c uc m ng n chi u c a f .

Ta g i ng c u ng nh t i : C C c a m t dy d i C , l h

i = {in : Cn C n |n ZZ }

cc ng c u ng nh t c a cc mun C n . M nh sau l hi n nhin.

MNH 2.2. N u i : C C l ng c u ng nh t c a m t dy d i C , th H n (i)l ng c u c a mun H n (C ) v i m i n ZZ .

Gi s f : C D v g : D E l nh ng ng c u nh ng dy d i. Th th h

h = {gn f n : C n Dn |n ZZ }

d nhin l m t ng c u c a dy d i C vo dy d i E . ng c u h : C E g i l cih p thnh c a cc ng c u f : C D v g : D E v c k hi u l

g f : C E

M nh sau l hi n nhin.

MNH 2.3. N u f : C D v g : D E l nh ng ng c u c a nh ng dyd i th ta c

H n (g f ) = H n (g) H n (f )

v i m i n ZZ .

Ta g i dy nh ng t m th ng l m t dy d i 0 sao cho, v i m i n ZZ g m m t ph nt duy nh t. V m i dy t m th ng u l kh p, nn ta c

H n (0) = 0

v i m i s nguyn n ZZ Ta g i ng c u t m th ng t m t dy d i C vo m t dy d i D l ng c u h :

C D sao cho l ng c u t m th ng t mun C n vo mun D

n v i m i s nguyn

n ZZ . Ta s dng k hi u h = 0 ch cu ni: h l ng c u bnh th ng.

MNH 2.4. N u h : C D l ng c u t m th ng t m t dy d i C vo m t dy d i D , th

H n (h) : H n (C ) H n (D)

l ng c u t m th ng v i m i n ZZ .

CH NG MINH. G i 0 l dy d i t m th ng sao cho 0n g m ph n t khng c a Dn v im i n Z . G i i : C 0 v j : 0 D l cc ng c u duy nh t xc nh. V h l t mth ng, nn ta c

h = j i7


8/13

Theo M nh III.2.3 ta cH n (h) = H n ( j ) H n (i)

v i m i n Z . V H n (0) = 0 , nn i u ny ko theo H n (h) = 0 v i m i n Z .

Hai ng c u f, g : C D t dy d i C vo m t dy d i D g i l ng lun n u vch n u t n t i m t h nh ng ng c u

h = {hn : C n Dn +1 |n Z }

sao cho, v i m i n Z , ta c

hn hn 1 = f n gn

trong bi u sau:

C n Dn +1

C n 1 Dn

f n

gn

h n

h n 1

Trong tr ng h p ny, h h g i l ng lun (hay m t ng lun dy chuy n) gi a cc ng c u f v g; k hi u l

h : f g : C D

MNH 2.5. N u hai ng c u f , g : C D c a nh ng dy d i l ng lun, thta c

H n (f ) = H n (g) : H n (C ) H n (D)

v i m i s nguyn n ZZ .

CH NG MINH. Gi s h : f g : C D. ch ng minh H n (f ) = H n (g), gi sx H n (C ) l ty cho tr c. Ch n z Z n (C ) v i p(z ) = x, trong p l php chi u tnhin c a mun Z n (C ) ln mun thng H n (C ) c a n. Th th ta c

f n (z ) gn (z ) = (hn (z )) + hn 1( (z )) = (hn (z ))v (z ) = 0 . B i v (hn (z )) Bn (D), nn ta c H n (f )(x) = H n (g)(x). T y suy raH n (f ) = H n (g).

By gi ta xt m t dy kh p ng n b t k (S ) nh ng dy d i

(S ) : 0 C f D g E 0

i u c ngha l f : C D v g : D E l nh ng ng c u c a nh ng dy d isao cho

0 C n f n Dn gn E n 0l m t dy kh p ng n nh ng R-mun v i m i s nguyn n ZZ .

8


9/13

B 2.6. V i m i s nguyn n ZZ . Dy

H n (C ) H n (f ) H n (D)

H n (g) H n (E )

nh ng mun trn R l kh p.

CH NG MINH. V g f = 0, nn t M nh III.2.3, III.2.4 suy ra H n (g) H n (f ) =H n (g f ) = 0 v i m i n ZZ. Ta cn ph i ch ng minh Ker (H n (g)) Im(H n (f )) v i m in ZZ.

Mu n nh v y, g i z l m t ph n t b t k c a H n (D) trong mun con Ker (H n (g))c a n. V H n (g)( z ) = 0 , nn ta c gn (z ) Bn (E ). Do t n t i m t ph n t y E n +1 v i (y) = gn (z ) trong l ton t b : E n +1 E n . V gn +1 l m t ton c u, nn t n t iph n t x c a Dn +1 v i gn +1 (x) = y. Khi ta c

gn (z (x)) = gn (z ) gn ( (x)) = gn (z ) (gn +1 (x)) = gn (z ) (y) = 0

i u ny ko theo z (x) Ker (gn ) = Im(f n ). Do t n t i m t ph n t w C nv i f n (w) = z (x). Khi ta c

f n 1( (w)) = (f n (w)) = (z (x)) = (z ) = 0 .

V f n 1 l m t n c u, nn i u ny ko theo (w) = 0 v do w Z n (C ). V (x) Bn (D), nn ta c f n (w) z = (x) Bn (D) v v v y f (w) = z H n (D). Do H n (f )( w) = z . i u ny thi t l p bao hm th c Ker (H n (g)) I m(H n (f )) v hon thnhphp ch ng minh c a B .

n i cc dy kh p trong B III.2.6 thnh m t dy duy nh t ta ph i d ng, v i m i snguyn n, m t ng c u : H n (E ) H n 1(D).

Cc ng c u ny g i l cc ng c u n i c a dy kh p ng n(S).Mu n nh v y, ta hy nh ngha m t nh x

: Z n (E ) H n 1(C )

nh sau. G i z l m t ph n t tu c a Z n (E ). V gn : Dn E n l m t ton c u,nn t n t i m t ph n t u Dn v i gn (u) = z . Xt ph n t (u) Dn 1. V gn 1( (u)) = (gn (u)) = (z ) = 0 nn ta c (u) Ker (gn 1) = Im(f n 1). V f n 1l m t n c u, nnt n t i m t v duy nh t thu c C n 1 v i f n 1(v) = (u). Khi ta c

f n 2( (v)) = (f n 1(v)) = ( (u)) = 0

V f n 2 l m t n c u, nn i u ny ko theo (v) = 0 . Do v Z n 1(C ). V y ta d cm t ph n t w = p(v) H n 1(C ) trong p l php chi u t nhin p : Z n 1(C ) H n 1(C ).

B 2.7. Ph n t w H n 1(C ) khng ph thu c vo s l a ch n c a cc ph n t u Dn v do n ch ph thu c vo vo cc ph n t z Z n (E ).

9


10/13

CH NG MINH. G i u v u l hai ph n t b t k c a Dn v i

gn (u) = z = gn (u )

Th th t n t i nh ng ph n t duy nh t xc nh v v v c a C n 1 tho mnf n 1(v) = (u), f n 1(v ) = (u )

Ch vi c ch ng minh p(v) = p(v ) l .Mu n v y, xt ph n t u u c a Dn . V gn (u u ) = gn (u) gn (u ) = z z = 0 nn

ta c u u Ker (gn ) = Im(f n ). Do t n t i m t ph n t y C n v i f n (y) = u u .Khi ta c

f n 1[v v (y)] = f n 1(v) f n 1(v ) f n 1[ (y)]= (u) (u ) [f n (y)] = (u) (u ) (u u ) = 0 .

V f n 1 l m t n c u nn i u ny ko theo

v v = (y) Bn 1(C ).

Do ta c p(v) p(v ) = p(v v ) = 0 .

i u ny ko theo p(v) = p(v ) v hon thnh php ch ng minh c a B III.2.7.

Do B III.2.7 ta c th nh ngha hm : Z n (E ) H n 1(C )

b ng cch cho ng v i m i ph n t z c a Z n (E ), ph n t

(z ) = w = p(v) H n (C )

v i u Dn v v C n 1 tu , tho mn gn (u) = z v f n 1(v) = (u).

B 2.8. Hm l m t ng c u c a mun Z n (E ) vo mun H n 1(C ).

CH NG MINH. Gi s z, z Z n (E ) v , R l ty cho tr c. Ch n u, u Dnv v, v C n 1 th a mn gn (u) = z, g(u ) = z v f n 1(v) = (u), f n 1(v ) = (u ).Khi ta c gn (u + u ) = z + z , f n 1(v + v ) = (u + u ). T ta c(z + z ) = p(v + v ) = p(v) + p(v ) = (z ) + (z ). i u ny ch ng t l R- ng c u.

B 2.9. H t nhn c a ng c u ch a mun con Bn (E ) c a Z n (E ).

CH NG MINH. G iz Bn (E ) b t k. Theo nh ngha c aBn (E ), t n t iy E n +1 v i (y) = z. V gn +1 l ton c u, nn t n t i w Dn +1 sao cho gn +1 (w) = y . t u = (w).Khi ta c

gn (u) = gn ( (w)) = (gn +1 (w)) = (y) = z 10


11/13

M t khc, v (u) = 2(w) = 0 , nn ta c ch n v = 0 C n 1 sao cho f n 1(v) = 0 = (u).Theo nh ngha c a , ta c (z ) = p(v) = 0 .

Do B III. 2.9, ng c u c m sinh ra m t ng c u : H n (E ) H n 1(C )

v i m i s nguyn n. V y ta c m t dy

H n (C ) f H n (D)

g H n (E ) H n 1(C )

trong f = H n (f ) v g = H n (g). Dy ny g i l dy ng i u c a dy kh p ng n (S ). .

NH L 2.10. Dy ng i u c a m i kh p ng n nh ng d i l kh p.

CH NG MINH. Do B III. 2.6, ta ch vi c thi t l p hai ng th c sau l (1) Im(g ) = Ker ( ),(2) Im( ) = Ker (f ).Ch ng minh (1): Ta t i ph n sau

H n (D) g H n (E )

H n 1(C )

c a dy ng i u. G i l m t ph n t b t k c a H n (E ) trong Im(g ). Th th t n t i m tph n t z c a H n (D) v i g (z ) = . Theo nh ngha c a g ta c gn (z ) B(E n ).

V z Z n (D), nn ta c (z ) = 0 . Do ta c th ch n v = 0 C n 1 tho mnf n 1(v) = 0 = (z ). T nh ngha c a : H n (E ) H n 1(C ) ta suy ra r ng ( ) = p(v) = 0 v do Ker ( ). V l m t ph n t b t k c a Im(g ), nn i u ny ch ngminh bao hm th c Im(g ) Ker ( ).

M t khc, g i z l m t ph n t b t k c a H n (E ) trong Ker ( ). Theo nh ngha c a (z ) t n t i nh ng ph n t u Dn v v C n 1, tho mn gn (u) = z v f n 1(v) = (u).V () = 0 H n 1(C ), nn ta c v Bn 1(C ). Do t n t i m t ph n t w C nv i (w) = 0 . t y = u f n (w) Dn , khi ta c: (y) = (u) [f n (w)] = (u ) f n 1[ (w)] = (u) f n 1(v) = 0 . i u ny ko theo y Z n (D). V gn (y) =gn [u f n (w)] = gn (u) gn [f n (w)] = z, nn ta c g (y) = z v do z Im(g ). Nn i uny ch ng minh bao hm th c Ker ( ) Im(g ). i u ny hon thnh php ch ng minhc a ng th c (1).

Ch ng minh(2): Ta t i ph n sau H n (E ) H n 1(C ) f H n 1(D) c a dy ngi u. G i l m t ph n t b t k c a H n 1(C ). Th th t n t i z H n (E ) v i (z ) = .Theo nh ngha c a , t n t i nh ng ph n t u Dn v v C n 1 tho mn gn (u) = z, v Z n 1(C ), f n 1(v) = (u). Cc i u ny ko theo f ( ) = 0 v do Ker (f ). V l m t ph n t b t k c a Im( ), nn ta gi thi t l p bao hm th c Im( ) Ker (f ).

M t khc, g i z l m t ph n t b t k c a H n 1(C ) trong Ker (f ). V f (z ) = 0 , nnt n t i m t ph n t u c a Dn tho mn (u) = f n 1(z ). t y = gn (u) E n . Th th tac: (y) = [gn (u)] = gn 1[ (u)] = gn 1[f n 1(z )] = 0. i u ny ko theo y Z n (E ). V

11


12/13

gn (u) = y, f n 1(z ) = (u), nn ta nh ngha c a (y) ta suy ra r ng (y) = z v do z Im( ). V z l m t ph n t b t k c a Ker (f ) nn i u ny ch ng minh bao hm th cKer (f ) Im( ). V y ta thi t l p ng th c (2) v hon thnh php ch ng minh.

H lu n sau l m t h qu t ckh c c a nh l III. 2.10.

H QU 2.11. N u hai trong ba dy d i C, D, E trong dy kh p ng n (S ) l kh p, thdy d i cn l i cng th .

H QU 2.12. N u trong bi u giao hon sau nh ng ng c u c a nh ng mun trnR v i t t c ba ng i u kh p, v t t c ba c t u n a kh p, th tnh ch t kh p c a hai c t

b t k ko theo tnh ch t kh p c a c t cn l i.

0 0 0

0 A1 B1 C 1 0

0 A2 B2 C 2 0

0 A3 B3 C 3 0

0 0 0

3. Bi t p

BI T P 1. Xt bi u sau nh ng ng c u c a nh ng mun trn R

A B C 0

D

f

h

g

trong dng l kh p v hf = 0. Ch ng minh r ng t n t i duy nh t m t ng c u k : C D sao cho kg = h.

12


13/13


D

0 A B C

h

f g

trong dng l kh p v gh = 0. Ch ng minh r ng t n t i duy nh t m t ng c u k : D A sao cho f k = h.


A B C 0

A B C

f

g

f g

trong hnh vung l giao hon, dng trn l kh p v dng d i l n a kh p. Ch ng mr ng t n t i duy nh t m t ng c u : C C sao cho g = g .


A B C

0 A B C

f

g

f g

trong hnh vung l giao hon, dng trn l n a kh p v dng d i l kh p. Ch ng mr ng t n t i duy nh t m t ng c u : A A sao cho f = f .

13

chuong 3_ly thuyet mo dun

Documents