1

Chapter 13D Surfaces

1. Surfaces of Revolution

2. Quadric Surfaces

2

Surfaces of Revolution (ผิวที่เกิดจากการหมุน)

De nitionSurface of revolution เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบเสนตรงที่เรียกวา แกนหมุน (axis of revolution)

ตัวอยาง surfaces of revolutionผิว เสนโคง แกนหมุน ตัวอยาง

ทรงกลม(Sphere)

วงกลม เสนผานศูนยกลาง

ทรงกระบอก(Cylinder)

เสนตรง ขนานกับเสนตรง

กรวย(Cone):

เสนตรง ตัดกับเสนตรง

3

การหาสมการของ surface of revolutionเมื่อแกนหมุนขนานกับแกนพิกัด

พิจารณากรณีที่เสนโคงและแกนหมุนอยูบนระนาบ z = l

โดยหมุนเสนโคง y = f (x) รอบแกนหมุนคือเสนตรง y = k

ตัดผิวดวยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน x ที่จุด (x, 0, 0)

จะไดรอยตัดเปนวงกลมรัศมี |f (x)− k|

ดังนั้น สมการ surface of revolution คือ(y − k

)2+(z − l

)2=

(f (x)− k

)2

4

ตัวอยางจงหาสมการของผิวที่เกิดจากการหมุน• เสนโคง 4y = x2 + 4, z = 1

• โดยมีเสนตรง y = −1, z = 1 เปนแกนหมุน

5

ตัวอยางจงหาสมการของผิวที่เกิดจากการหมุน• เสนโคง x = sin z, y = 0

• โดยมีเสนตรง y = 0, x = 2 เปนแกนหมุน

6

Quadric Surfaces (ผิวควอดริก)

ผิวควอดริกทั่วไปจะอยูในรูป

ax2+by2+cz2+fxy + gyz + hxz+px + qy + rz+d = 0

• พจน xy, yz, xz จะเกี่ยวของกับการหมุน• พจน x, y, z จะเกี่ยวของกับการเลื่อนตำแหนงตามแนวแกน x, y, z (เมื่อ a, b, c ̸= 0 ตามลำดับ)ซึ่งสามารถพิจารณาการเลื่อนตำแหนงนั้น ๆ ไดจากการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ เชน

x2 + 2y2 + 3z2 − 2x + 8y − 18z + 1 = 0

7

Translation (การเลื่อนขนาน)เมื่อเลื่อนขนานกราฟ f (x, y, z) = 0 ในปริภูมิสามมิติ ไปh, k, l หนวยตามแนวแกน x, y, z ตามลำดับ แลวภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานคือกราฟ f (x− h, y − k, z − l) = 0

ตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1 (x− 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 1

z2 = x2 + y2 (z + 1)2 = x2 + (y − 1)2

8

Dilation (การยอ/ขยาย)เมื่อยอ/ขยายกราฟ f (x, y, z) = 0 ในปริภูมิสามมิติ ดวยอัตราสวน a, b, c ̸= 0 ตามแนวแกน x, y, z ตามลำดับ แลวภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานคือกราฟ f (xa,

yb ,

zc) = 0

ตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1

(x2

)2+(y3

)2+ z2 = 1

z2 = x2 + y2 4z2 = x2 + y2

9

Translation and Dilationตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1 (2x− 3)2 + y2 + (z − 1)2 = 1

z2 = x2 + y2 (2z + 5)2 = x2 + (2y + 1)2

10

ผิวควอดคริกมีทั้งหมด 6 ชนิดสำหรับแตละผิว จะพิจารณา1. จุดที่ผิวตัดแกนพิกัด

จุดตัดแกน แทนคา หาคาx y = z = 0 x

y x = z = 0 y

z x = y = 0 z

2. ขอบเขตของตัวแปร x, y, z

3. รอยตัดของผิวดวยระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด ดังนี้ระนาบตัด แทนคา ไดสมการของx = a x = a y กับ z

y = b y = b x กับ z

z = c z = c x กับ y

4. สมมาตรของผิวเทียบกับระนาบพิกัดระนาบพิกัด แทนคา

x = 0 x → −x

y = 0 y → −y

z = 0 z → −z

11

1. Ellipsoidทรงรี

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด: วงรีถา a = b = c ทรงรีจะเปนทรงกลม (sphere)

2. Paraboloidพาราโบลอยด

x2

a2+y2

b2=

z

c

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:พาราโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว

12

3. Hyperbolic Paraboloidพาราโบลอยดเชิงไฮเพอรโบลา

x2

a2− y2

b2=

z

c

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:พาราโบลา 2 แนว กับไฮเพอรโบลา 1 แนว

ผิวนี้เรียกอีกชื่อหนึ่งวา ผิวอานมา (saddle surface)

4. Coneกรวย

x2

a2+y2

b2=

z2

c2

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว

13

5. Hyperboloid of One Sheetไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

x2

a2+y2

b2=

z2

c2+ 1

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับ วงรี 1 แนว

6. Hyperboloid of Two Sheetsไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้น

x2

a2+y2

b2=

z2

c2− 1

รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว