1

บทที่ 1: ลิมิตและความตอเนื่อง

• ความหมายของลิมิต• ลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา• ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต• ลิมิตเกี่ยวกับอนันต• ความตอเนื่อง

y = sin 1x

2

1.1 ความหมายของลิมิต

พิจารณาคาฟงกชัน f (x) =2x − 1

xเมื่อ x มีคาเขาใกล 0

x f (x) x f (x)

1 1 −1 0.5

0.5 0.828427 −0.5 0.585786

0.1 0.717735 −0.1 0.669670

0.05 0.705298 −0.05 0.681273

0.01 0.695555 −0.01 0.690750

0.005 0.694350 −0.005 0.691947

0.001 0.693387 −0.001 0.692907

0.0001 0.693171 −0.0001 0.693123

0.00001 0.693150 −0.00001 0.693145

y = f(x)

limx→0

2x − 1

x= ln 2 ≈ 0.693147

3

บทนิยามสมมติวา f (x) มีคาเมื่อ x เขาใกล a จะกลาววา

limx→a

f (x) = L

เมื่อสามารถทำให f (x) มีคาเขาใกล L ไดเทาที่ตองการโดยการเลือกคา x ที่ใกล a มากพอ (แตไมเทากับ a)กลาวคือ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df

[0 < |x− a| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε

]

4

ตัวอยางจงหาวา lim

x→0f (x) มีคาหรือไม

1. f (x) =√

1

x2+

1

x−

√1

x2

2. f (x) = sinx

x

3. f (x) = sinπ

x

4. f (x) =

1 เมื่อ x เปนจำนวนตรรกยะ0 เมื่อ x เปนจำนวนอตรรกยะ

5

1.2 ลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา

พิจารณา Heaviside function ซึ่งกำหนดโดย

H(x) =

0 เมื่อ x < 0

1 เมื่อ x ≥ 0

1

limx→0−

H(x) = 0 และ limx→0+

H(x) = 1

limx→a

f (x) = L ก็ตอเมื่อ limx→a−

f (x) = L และ limx→a+

f (x) = L

6

ตัวอยางนิยาม signum function หรือ sign function ดังนี้

sgn(x) =

−1 เมื่อ x < 0

0 เมื่อ x = 0

1 เมื่อ x > 0

1

−1

จงพิจารณาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→0−sgn(x)

2. limx→0+

sgn(x)

3. limx→0

sgn(x)

7

ตัวอยางจงพิจารณาลิมิตทางซายและลิมิตทางขวาเมื่อ x → 0 ของฟงกชันตอไปนี้1. f (x) = |x|

x

2. f (x) = x4√x2

3. f (x) = ⌊x⌋ = จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีคาไมเกิน x

8

1.3 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ทฤษฎีบท: ลิมิตในกรณีเฉพาะlimx→a

x = a และ limx→a

c = c (c เปนคาคงตัว)

ทฤษฎีบท: การบวก ลบ คูณ หารลิมิตให c เปนคาคงตัวและ lim

x→af (x) และ lim

x→ag(x) มีคา แลว

1. limx→a

(f (x) + g(x)

)= lim

x→af (x) + lim

x→ag(x)

2. limx→a

(f (x)− g(x)

)= lim

x→af (x)− lim

x→ag(x)

3. limx→a

(c f (x)

)= c lim

x→af (x)

4. limx→a

(f (x)g(x)

)= lim

x→af (x) · lim

x→ag(x)

5. limx→a

f (x)

g(x)=

limx→a

f (x)

limx→a

g(x)เมื่อ lim

x→ag(x) ̸= 0

limx→a

(f (x)

)n=

(limx→a

f (x))n เมื่อ n เปนจำนวนเต็มบวก

ตัวอยางจงหาคาของ lim

x→2

(3x2 − 3x− 2

)2

9

ทฤษฎีบท: ลิมิตเกี่ยวกับรากและคาสัมบูรณให n เปนจำนวนเต็มบวก1. lim

x→a

n√x = n

√a (กรณีที่ n เปนคู จะให a ≥ 0)

2. limx→a

n

√f (x) = n

√limx→a

f (x)

(กรณีที่ n เปนคู จะให limx→a

f (x) ≥ 0)

3. limx→a

|f (x)| =∣∣∣ limx→a

f (x)∣∣∣

10

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้

1. limx→−1

√x3 + 2x + 7

4− 5x

2. limx→1

|x2 − 1|x− 1

3. limx→1

|x− 1||x3 − 1||x5 − 1|(x2 − 1)(x4 − 1)

11

บทนิยาม1. ถา f (x) เปนพหุนามของตัวแปร x

แลวจะกลาววา f เปนฟงกชันพหุนาม

2. ถามีพหุนาม P (x) และ Q(x) ซึ่ง f (x) =P (x)

Q(x)

แลวจะกลาววา f เปนฟงกชันตรรกยะ

ตัวอยางฟงกชันใดตอไปนี้เปนฟงกชันตรรกยะx + 1

x2 + 1,

1

x, x2, 1, |x|, 1√

x,

|x||x|3

ทฤษฎีบท: ลิมิตของฟงกชันตรรกยะ1. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม แลว lim

x→af (x) = f (a)

2. ถา f เปนฟงกชันตรรกยะ และ a อยูในโดเมนของ fแลว lim

x→af (x) = f (a)

12

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→1

x2 − 1

x3 − 1

2. limx→1

x2019 − 1

x2562 − 1

3. limx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

13

ตัวอยางจงหาคาของ lim

x→0

2019√x + 1− 1

2562√x + 1− 1

14

ทฤษฎีบท: The Squeeze Theoremถา f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) เมื่อ x มีคาใกล a

(แตอสมการไมจำเปนตองเปนจริงเมื่อ x = a) และ

limx→a

f (x) = limx→a

h(x) = L

แลวจะไดวา limx→a

g(x) = L

15

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→0x2 sin

1

x

2. limx→0

x sin1

x

16

ทฤษฎีบท: ลิมิตของฟงกชันประกอบถา lim

x→af (x) = M และ lim

x→Mg(x) = g(M)

(กลาวคือ g ตอเนื่องที่ M ) แลว

limx→a

g(f (x)

)= g

(limx→a

f (x))

ตัวอยาง

1. จงหาคาของ limx→0

sgn(x)

2. จงหาคาของ sgn(limx→0

x)

3. limx→0

sgn(x) กับ sgn(limx→0

x)

มีคาเทากันหรือไม ?

17

ลิมิตของฟงกชันตรีโกณมิติทฤษฎีบท

limx→0

sinx

x= 1

18

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→0

1− cosx

x2

2. limx→0

tan 5x

sin 7x

3. limx→0

sin 3x sin 5x

1− cos 2x

19

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→1

sin πx

x− 1

2. limx→0

x− sinx

x3(เมื่อกำหนดใหลิมิตมีคา)

20

1.4 ลิมิตเกี่ยวกับอนันต

y = 1x

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→∞arctanx

2. limx→−∞

arctanx

21

ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim

x→∞

(√x2 + x− x

)

2. limx→−∞

(x +

√x2 − x

)

22

วิธีหนึ่งในการพิจารณา limx→∞

f (x) และ limx→−∞

f (x)

ทำไดโดยการให x = 1t ซึ่งจะไดวา

ถา t → 0+ แลว x → ∞

ถา t → 0− แลว x → −∞

ทฤษฎีบท1. lim

x→∞f (x) = L ก็ตอเมื่อ lim

t→0+f(1t

)= L

2. limx→−∞

f (x) = L ก็ตอเมื่อ limt→0−

f(1t

)= L

ตัวอยางจงหาคาของ lim

x→∞x sin

1

x

23

บทนิยาม1. ถา f (x) มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจำกัด เมื่อ x → a

จะเขียนแทนดวย limx→a

f (x) = ∞

2. ถา f (x) มีคาลดลงอยางไมมีขีดจำกัด เมื่อ x → a

จะเขียนแทนดวย limx→a

f (x) = −∞

ตัวอยางจงพิจารณาลิมิตตอไปนี้1. lim

x→π2−tanx

2. limx→π

2+tanx

24

ทฤษฎีบท

สมมติวา limx→a

1

f (x)= 0

1. f (x) > 0 เมื่อ x → a แลว limx→a

f (x) = ∞

2. f (x) < 0 เมื่อ x → a แลว limx→a

f (x) = −∞

25

ตัวอยางให f (x) =

sin πx

(x− 1)2จงพิจารณาคาของลิมิตตอไปนี้

1. limx→1−

f (x)

2. limx→1+

f (x)

26

1.5 ความตอเนื่อง

บทนิยาม1. f ตอเนื่องที่ a ก็ตอเมื่อ lim

x→af (x) = f (a)

2. f ตอเนื่องทางซายที่ a ก็ตอเมื่อ limx→a−

f (x) = f (a)

3. f ตอเนื่องทางขวาที่ a ก็ตอเมื่อ limx→a+

f (x) = f (a)

27

ตัวอยางให f (x) = ⌊x⌋ = จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีคาไมเกิน x

1. จงหาวา f ตอเนื่องทางซายที่จุดใดบาง

2. จงหาวา f ตอเนื่องทางขวาที่จุดใดบาง

3. จงหาวา f ตอเนื่องที่จุดใดบาง

28

บทนิยามฟงกชัน f จะตอเนื่องบนชวง ก็ตอเมื่อ f ตอเนื่องที่ทุกจุดบนชวงนั้นในกรณีของจุดปลาย ใหพิจารณาความตอเนื่องที่จุดปลายนั้นดวยความตอเนื่องทางซายหรือความตอเนื่องทางขวา

ตัวอยางให f (x) =

√1− x2

จงหาวา f ตอเนื่องบนโดเมนของ f หรือไม

29

ทฤษฎีบทถาฟงกชัน f และ g ตอเนื่องที่ a และให c เปนคาคงตัวแลวฟงกชันตอไปนี้จะตอเนื่องที่ a

f +g, f −g, cf, fg,f

g(เมื่อ g(a) ̸= 0)

ทฤษฎีบทฟงกชันประเภทตอไปนี้ตอเนื่องที่ทุกจุดบนโดเมน

ฟงกชันพหุนาม ฟงกชันตรรกยะฟงกชันราก ฟงกชันตรีโกณมิติ