chapter 9 · outline 9.0 partial derivatives (อนุพันธ์ย่อย) 9.1 curl and...

Chapter 9

Lecture2-Vector Calculus

Asst.Prof.Dr. Santhad Chuwongin

Outline9.0 Partial Derivatives (อนุพันธ์ย่อย)

9.1 Curl and Divergence (เคิร์ล และไดเวอร์เจนซ์)

9.2 Double Integrals (ปริพันธ์สองชั้น หรืออินทิกรัลสองชั้น)

9.3 Double Integrals in Polar Coordinates (ปริพันธ์สองชั้นในพิกัดเชิงขั้ว)

9.4 Line Integrals (ปริพันธ์ตามเส้น หรืออินทิกรัลตามเส้น)

9.5 Independence of the Path (ความเป็นอิสระของเส้นทาง)

9.6 Green’s Theorem (ทฤษฎีบทของกรีน (2มิต)ิ)

9.7 Surface Integrals (ปริพันธ์ตามผิว หรืออินทิกรัลตามผิว)

9.8 Stokes’ Theorem (ทฤษฎีของสโตกส์ (3มิต)ิ)

9.9 Triple Integrals (ปริพันธ์สามชั้น หรืออินทิกรัลสามชั้น)

9.10 Divergence Theorem (ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์)

9.11 Change of Variables in Multiple Integrals (การแปลงตัวแปรในอินทิกรัลหลายชั้น)

อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives)

• ถ้า 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), อนุพันธ์ย่อยของ 𝑧 เทียบกับ 𝑥 คือ

และ อนุพันธ์ย่อยของ 𝑧 เทียบกับ 𝑦 คือ

𝜕𝑧

𝜕𝑥= lim

∆𝑥→∞

𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦))

∆𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦= lim

∆𝑦→∞

𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦))

∆𝑦

อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives)

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันต่อไปนี้ (𝜕𝑧

𝜕𝑥หรือ 𝑧𝑥 ,

𝜕𝑧

𝜕𝑦หรือ 𝑧𝑦)

1. z = x2 − xy2 + 4y5 คือ zx = 2x − y2 , zy = −2xy + 20y4

2. z = −x3 + 6x2y3 + 5y2 คือ zx = −3x2 + 12xy3 , zy = 18x2y2 + 10y

3. z = cos2 5x + sin2(5y) คือ zx = −10 sin 5x cos(5x) , zy = 10 sin 5y cos(5y)

4. z = xex3y คือ zx = (1 + 3x3y)ex3y, zy = x4ex3y

5. z =3x−y

x+2yคือ zx =

7y

(x+2y)2 , zy =−7x

(x+2y)2

6. w = xy ln xz จงหา wx, wy, wz? wx = y(1 + ln xz), wy = x ln xz , wz =xy

z

7. G = (p2q3)r4s5จงหา Gp, Gq, Gr, Gs? 𝐺𝑝 = 2𝑝𝑞3𝑟4𝑠5(𝑝2𝑞3)𝑟4𝑠5−1, 𝐺𝑞 =

2𝑝2𝑞2𝑟4𝑠5(𝑝2𝑞3)𝑟4𝑠5−1

𝐺𝑟 = 4𝑟3𝑠5(𝑝2𝑞3)𝑟4𝑠5ln(𝑝2𝑞3) , 𝐺𝑠 = 5𝑟4𝑠4(𝑝2𝑞3)𝑟4𝑠5

ln(𝑝2𝑞3)

Directional Derivative

Directional Derivative• Gradient of a function is

• จากรูปด้านขวามือ

• ดังนั้น ความชันของเส้น secant

∇𝑓 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝐢 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝐣

ℎ = ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 > 0, 𝐯 = ℎ𝐮∆𝑥 = ℎ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , ∆𝑦 = ℎ 𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑓 𝑥 + ℎ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 + ℎ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑓 𝑥, 𝑦

ℎ

Directional Derivative

Tangent Plane and Normal Lines

• The normal line to a surface at P( ), ,F x y z c=

( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,x y z

x x y y z z

F x y z F x y z F x y z

− − −= =

เคิร์ล และไดเวอร์เจนซ์ (Curl and Divergence)

• เว็คเตอร์ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร และ 3 ตัวแปรจะถูกเรียกว่า สนามเว็คเตอร์

เคิร์ล ของสนามเว็คเตอร์ 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 คือสนามเว็คเตอร์ที่มีค่าเท่ากับ

ไดเวอร์เจนซ์ ของสนามเว็คเตอร์ 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 คือสเกลาร์ฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับ

𝛻 × 𝑭 = curl 𝐅 =𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧𝐢 +

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥𝐣 +

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝐤

𝛻 ∙ F = div 𝐅 =𝜕𝑃

𝜕𝑥+

𝜕𝑄

𝜕𝑦+

𝜕𝑅

𝜕𝑧

เกรเดียนท์ (Gradient )

• Gradient of a Function

เกรเดียนทข์องสนามเว็คเตอร์𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝐣 แทนดว้ยนิยาม ∇𝑓

เคิร์ล และไดเวอร์เจนซ์ (Curl and Divergence)

อินทิกรัลสองชั้น (Double Integrals)

ให้ 𝑓(𝑥, 𝑦) เป็นฟังก์ชันสองตัวแปรอยู่เหนือบริเวณ R ใน 2 มิติดังรูปด้านขวามือ ดังนั้น อินทิกรัลสองชั้นของ 𝑓 เหนือบริเวณ R มีค่าเท่ากับ

ඵ

𝑅

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim𝑃 →0

𝑘=1

𝑛

𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘

∗) Δ𝐴𝑘

ตัวอย่าง จงประมาณค่า Double integral R4x3 + 6xy2 dA เหนือบริเวณสี่เหล่ียมผืนผ้า R

ดังรูปด้านขวามือ

ඵ

𝑅

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim𝑃 →0

𝑘=1

𝑛

𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘

∗) Δ𝐴𝑘

= 4(1.5)3+6(1.5)(0.5)2 ΔA1 + 4(2.5)3+6(2.5)(0.5)2 ΔA2

+ 4(1.5)3+6(1.5)(−0.5)2 ΔA3 + 4(2.5)3+6(2.5)(−0.5)2 ΔA4

+ 4(1.5)3+6(1.5)(−1.5)2 ΔA5 + 4(1.5)3+6(1.5)(−1.5)2 ΔA6 ≈ 294

ඵ

𝑅

4𝑥3 + 6𝑥𝑦2 𝑑𝐴 = න

−2

1

න

1

3

4x3 + 6xy2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න

−2

1

ȁx4 + 3x2y23

1𝑑𝑦 = න

−2

1

80 + 24y2 𝑑𝑦 = 312

(1.5,0.5) (2.5,0.5)

(1.5,-0.5)(2.5,-0.5)

(1.5,-1.5)(2.5,-1.5)

ตัวอย่าง จงหาค่า 𝑅(𝑥 + 1) 𝑑𝐴 เหนือบริเวณ R ดังรูปด้านขวามือ

ඵ

𝑅

(𝑥 + 1)𝑑𝐴 = ඵ

𝑅1

(𝑥 + 1) 𝑑𝐴 + ඵ

𝑅2

(𝑥 + 1) 𝑑𝐴

= න

−2

2

න

1

2+14𝑥2

(𝑥 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥 + න

−1

1

න

−1−𝑦2

1+𝑦2

(𝑥 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦

= න

−2

2

1 + 𝑥 +𝑥2

4+

𝑥3

4𝑑𝑥 + න

−1

1

2 1 + 𝑦2 𝑑𝑦 =16

3+

16

3=

32

3

Properties of Double Integrals

อินทิกรัลสองชั้น (Double Integrals)

Type I Region

Type II Regionන

𝑐

𝑑

න

ℎ1(𝑦)

ℎ2(𝑦)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න

𝑐

𝑑

න

ℎ1(𝑦)

ℎ2(𝑦)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

න

𝑎

𝑏

න

𝑔1(𝑥)

𝑔2(𝑥)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න

𝑎

𝑏

න

𝑔1(𝑥)

𝑔2(𝑥)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

ตัวอย่าง จงหาค่า Double integral Rex+3ydA เหนือบริเวณที่ถูกจ ากัดโดยกราฟ

y = 1, y = 2, y = x และ y = −x + 5?

ඵ

R

ex+3ydA = න

1

2

න

y

5−y

ex+3ydxdy

= න

1

2

e5−y+3y − ey+3y dy

= න

1

2

e5+2y − e4y dy = e5+2y

2−

e4y

4

2

1=

e9

2−

e8

4−

e7

2−

e4

4≈ 2771.6

,x2+y2≤1 .2 x≥0, y≥0(1 − x2 − y2)dxdy

= න

0

π/2

න

0

1

1 − r2 rdrdθ =π

2

r2

2−

r4

4

1

0=

π

8

Type II Region

ตัวอย่าง พิจารณาขอบเขตที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟ x2 + y2 = 4, z = 4 − y และ z = 0ดังรูป จงหาปริมาตรที่ถูกปิดล้อม

ตัวอย่าง พิจารณาขอบเขตที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟ x2 + y2 = 4, y2 + z2 = 4 ดังรูป จงหาปริมาตรที่ถูกปิดล้อม

อินทิกรัลสองชั้นในพิกัดเชิงขั้ว (Double Integrals in Polar Coordinates)

( ) ( )( )

( )2

1

, ,g

gR

f r dA f r rdrd

=

( ) ( )( )

( )2

1

, ,b h r

a h rR

f r dA f r rd dr =

Figure 09.11.1: Rk in (b) and (c) is called a polar rectangle

Figure 09.11.2: R bounded bypolar graphs and circular arcs

การเปลี่ยนตัวแปรจากพิกัดฉากไปเป็นพิกัดเชิงขั้ว (Change of Variables: Rectangular to Polar Coordinates)

• In polar coordinates as

0 ≤ 𝑔1 𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 𝑔2 𝜃

𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽

0 < 𝛽 − 𝛼 < 2𝜋

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 , 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

ตัวอย่าง จงหาค่าอินทิกรัลเหล่านี้โดยแปลงตัวแปรเป็นพิกัดเชิงขั้ว (polar coordinates)

ตัวอย่าง จงหาค่าอินทิกรัล 𝑅𝑥 + 𝑦 𝑑𝐴 ทั่วบริเวณ 𝑅 ดงัรูป

න − 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃 = න 𝑠𝑖𝑛3𝜃 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 − න cos 𝜃 𝑑𝑠𝑖𝑛3𝜃 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 − 3 න 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 − 3 න 𝑠𝑖𝑛2𝜃(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)𝑑𝜃

= 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 − 3 න 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 + 3 න 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 −3

2𝜃 −

3

4sin 2𝜃 + 3 න 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃

4 න − 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃 −3

2𝜃 +

3

4sin 2𝜃

න − 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃 =𝑠𝑖𝑛3𝜃 cos 𝜃

4−

3

8𝜃 +

3

16sin 2𝜃

อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals)

ถ้า 𝐶 เป็นส่วนโค้งเรียบที่ถูกพารามิเตอร์ด้วย 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏ดังนั้นเราสามารถแทน 𝑥 และ 𝑦 ในอินทิกรัลด้วยฟังก์ชัน 𝑓 𝑡 และ 𝑔 𝑡 และค่าอนุพันธ์ (differential)

ของ 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, และ 𝑑𝑠 ด้วย 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡, 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡,และ 𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2 𝑑𝑡

พจน์ 𝑑𝑠 = 𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2 𝑑𝑡 จะถูกเรียกว่า ค่าอนุพันธ์ของความยาวส่วนโค้ง(differential of arc length) การอินทิเกรทเทียบกับตัวแปร 𝑡 แสดงดังต่อไปนี้

න

𝐶

𝐺 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = න

𝑎

𝑏

𝐺 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡

න

𝐶

𝐺 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න

𝑎

𝑏

𝐺 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 𝑔′(𝑡)𝑑𝑡

න

𝐶

𝐺 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠 = න

𝑎

𝑏

𝐺 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 [𝑓′(𝑡)]2+[𝑔′(𝑡)]2 𝑑𝑡


จงหาค่า a C𝑥𝑦2𝑑𝑥 , (b) C

𝑥𝑦2𝑑𝑦, (c) C𝑥𝑦2𝑑𝑠

บนควอเตอร์ของวงกลม C โดย 𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑦 = 4 𝑠𝑖𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2

𝑁𝑜𝑡𝑒: 𝑠𝑖𝑛2t =1 − cos 2𝑡

2

𝐴𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟: 𝑎) − 64, 𝑏) 16, 𝑐)256/3


จงหาค่า a C𝑥𝑦2𝑑𝑥 , (b) C

𝑥𝑦2𝑑𝑦, (c) C𝑥𝑦2𝑑𝑠

บนควอเตอร์ของวงกลม C โดย 𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑦 = 4 𝑠𝑖𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2

𝑁𝑜𝑡𝑒: 𝑠𝑖𝑛2t =1 − cos 2𝑡

2


a නC

𝑥𝑦2𝑑𝑥 = න𝐶

4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 2 −4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = −256 න𝐶

𝑠𝑖𝑛3 𝑡 𝑑𝑠𝑖𝑛 𝑡 = −64

b නC

𝑥𝑦2𝑑𝑦 = න𝐶

4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 2 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 64 න𝐶

𝑠𝑖𝑛2 2𝑡 𝑑𝑡

= 64 න𝐶

1 − cos 4𝑡

2𝑑𝑡 = 16𝜋

c නC

𝑥𝑦2𝑑s = න𝐶

4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 2 16𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 16𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡

= 256 න𝐶

𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑑𝑠𝑖𝑛 𝑡 =256

3

จงพิสูจน์ว่าอินทิกรัลตามเส้น C

y2dx + xydy มีค่าเท่ากันตามแต่ละเส้นทาง C ต่อไปนี้C: x = 2t + 1, y = 4t + 2, 0 ≤ t ≤ 1

C: x = t2, y = 2t2, 1 ≤ t ≤ 3C: x = ln t , y = 2 ln t , e ≤ t ≤ e3



ตัวอย่าง ก าหนดให้เส้นโค้งทั้ง 3 อยู่ระหว่างจุด (0,0) และ (2,4)

𝐶1: 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 2𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝐶2: 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝐶3: 𝑥 = 2𝑡 − 4, 𝑦 = 4𝑡 − 8, 2 ≤ 𝑡 ≤ 3

จงแสดงและอธิบายว่าท าไม 𝐶1𝑥𝑦 𝑑𝑠 = 𝐶3

𝑥𝑦 𝑑𝑠 แต่ 𝐶1𝑥𝑦 𝑑𝑠 ≠ 𝐶2

𝑥𝑦 𝑑𝑠

ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง (Independence of Path)

❑ เส้นโค้งเรียบ C ทีมีความต่อเนื่องเป็นช่วงๆ ระหว่างจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B จะถูกเรียกว่า “เส้นทางของการอินทิเกรชัน (path of integration)”

❑ ถ้า 𝐅(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์ใน 2 มิติ และเส้นทาง C เป็นฟังก์ชันเว็คเตอร์ 𝐫 𝑡 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 = 𝑓(𝑡)𝐢 + 𝑔(𝑡)𝐣, 𝑎 𝑡 𝑏, ดังนั้นอินทิกรัลตามเส้น(line integral) จะเท่ากับ

න

𝐶

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = න

𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫

โดยที่ 𝑑𝐫 = 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 และ 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡

➢ เป็นคุณสมบัติของฟงัก์ชัน ที่ท าให้อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชนันั้นในแต่ละเส้นทางระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดมีค่าเทา่กันเสมอ (Independence of Path)

ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง(Independence of Path)

Figure 09.9.1: Line integral in Example 1 is the same on four paths

❑บางครั้ง อินทิกรัลตามเส้นที่เกี่ยวข้องกับสนามเว็คเตอร์ 𝐅 จะไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิกรัล

สนามเว็คเตอร์ 𝐅 ถูกเรียกว่า สนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ !!!

ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง(Independence of Path)


ฟังก์ชันเว็คเตอร์ 𝐅 ในระบบ 2มิติ และ 3มิติ จะเป็นฟังก์ชันอนุรักษ์ (conservative) ถ้า 𝐅 แสดงให้อยู่ในรูปของเกรเดียนท์ของฟังก์ชันสเกลาร์ (𝛁𝜙) ได ้ซึ่งฟังก์ชัน 𝜙 นี้จะถูกเรียกว่า “โพเทนเชียลฟังก์ชันของ F ”

สมมุติว่า 𝐶 เป็นเส้นทางเปิดในบริเวณ 𝑅 ของระนาบ xy มีค่าเป็น 𝐫 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 ถ้า 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ใน R และ 𝜙 คือ โพเทนเชียลฟังก์ชันของ F ดังน้ัน

𝐅 is conservative if there exists a function 𝜙 such that 𝐅 = ∇𝜙

ตัวอย่าง ถ้า 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝐢 + 𝑥𝐣 และ 𝑑𝐫 = 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 ดังนั้น 𝐶𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫

ถ้าเราพิจารณาฟังก์ชัน 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 เกรเดียนท์ของฟังก์ชัน 𝜙 จะมีค่าเท่ากับ

𝛻𝜙 =𝜕𝜙

𝜕𝑥𝐢 +

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝐣 = 𝑦𝐢 + 𝑥𝐣

เพราะว่า 𝛻𝜙 = 𝐅 𝑥, 𝑦 ดังนั้นสรุปได้ว่า 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝐢 + 𝑥𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ (conservative vector field) และ 𝜙 เป็นโพเทนเชียลฟังก์ชันของ 𝐅

ตัวอย่าง จงหาค่า𝐶

𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 โดยที่ C เป็นเส้นทางที่มีจุดเริ่มต้น 0,0 และจุดสิ้นสุดที่ 1,1

เราเพิ่งจะรู้มาว่า 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝐢 + 𝑥𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ที่ถูกก าหนดให้เป็นจุดบนระนาบ 𝑥𝑦 และ𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 เป็นโพเทนเชียลฟังก์ชันของ 𝐅 ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า

𝐶𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0,0

1,1𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 0,0

1,1𝛻𝜙 ∙ 𝑑𝐫

= ȁ𝑥𝑦(1,1)(0,0)

= 1 × 1 − 0 × 0

= 1



วิธีเช็คฟังก์ชัน F เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษห์รือไม่?

สมมุติว่า 𝐅(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ในบริเวณ 𝑅 โดยที่ 𝑃, 𝑄, อนุพันธ์ของ 𝑃 และ 𝑄 ต่อเนื่องในบริเวณ 𝑅 ดังนั้น

𝜕𝑃

𝜕𝑦=

𝜕𝑄

𝜕𝑥ส าหรับทุกจุด (𝑥, 𝑦) ในบริเวณ 𝑅 หรือในทางกลับกัน ถ้าสมการข้างบนเป็นจริงส าหรับทุกจุด (𝑥, 𝑦) ในบริเวณ 𝑅 ดังนั้น 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ในบริเวณ 𝑅


F(x,y)→ (x,y)

ตัวอย่าง จงหาว่าสนามเว็คเตอร์ 𝐅(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑦2)𝐢 + (𝑥 + 5𝑦)𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์หรือไม่

จาก 𝑃 = 𝑥2 − 2𝑦2 และ 𝑄 = 𝑥 + 5𝑦 ท าให้ได้ว่า 𝜕𝑃

𝜕𝑦≠

𝜕𝑄

𝜕𝑥

ดังนั้น สนามเว็คเตอร์ 𝐅 “ไม่เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์”

ตัวอย่าง จงหาว่าสนามเว็คเตอร์ 𝐅 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑒−𝑥𝑦𝐢 − 𝑥𝑒−𝑥𝑦𝐣 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์หรือไม่

จาก 𝑃 = −𝑦𝑒−𝑥𝑦 และ 𝑄 = −𝑥𝑒−𝑥𝑦 ท าให้ได้ว่า𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑥𝑦𝑒−𝑥𝑦 − 𝑒−𝑥𝑦 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥

ดังนั้น สนามเว็คเตอร์ 𝐅 เปน็สนามเว็คเตอร์อนุรักษ์


ตัวอย่าง

(a) จงแสดงให้เห็นว่า 𝐶𝐅 ∙ 𝑑𝐫 เมื่อ 𝐅(𝑥, 𝑦) = (𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 6)𝐢 + (2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦)𝐣

เป็นค่าที่ไม่ขึ้นกับเสน้ทาง (Independence of Path) C ระหว่างจุดเริ่มต้น −1,0 และจุดสิ้นสุดที่ 3,4

(b) จงหาโพเทนเชียลฟังก์ชัน 𝜙 ส าหรับ 𝐅 และ (c) จงประเมินค่า −1,0

3,4𝐅 ∙ 𝑑𝐫

a) จาก 𝑃 = 𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 6 และ 𝑄 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦 ท าให้ได้ว่า 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 2𝑦 − 6𝑥 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥

สนามเว็คเตอร์ 𝐅 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ และดังน้ัน 𝐶𝐅 ∙ 𝑑𝐫 มีค่าที่ไม่ขึ้นกับเส้นทางระหว่างจุด A และ B ใดๆ ในระนาบ

b) เพราะ 𝐅 เป็นสนามเว็คเตอรอ์นรุกัษ ์แสดงว่ามีโพเทนเชียลฟังกช์นั 𝜙

ดงันัน้ 𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 6 และ

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦

𝜙 = න 𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 6 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 + 𝑔(𝑦)

โดยท่ี 𝑔 𝑦 เป็นค่าคงท่ีของการอินทิเกรชนั ใช้ 𝜙 = 𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 + 𝑔(𝑦) มาหา𝜕𝜙

𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦

จะได้ 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 +𝜕𝑔

𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦 ดงันัน้

𝜕𝑔

𝜕𝑦= −2𝑦 หรอื 𝑔 𝑦 = −𝑦2 + 𝐶

ดงันัน้ 𝜙 = 𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 𝑦2 + 𝐶


(c) −1,0

3,4𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 𝑦2 + 𝐶

3,4−1,0

= 48 − 108 + 18 − 16 − −6 = −52

เราสามารถอินทิเกรท ตามเสน้ทางใดๆท่ีสะดวกบนเสน้โคง้ C ซึง่เช่ือมตอ่ระหวา่งจดุ A และ B โดยเฉพาะอย่างย่ิง ง่ายท่ีสดุคือ สมการเสน้ตรง ระหวา่งแก่ A B ซึง่ได ้𝑦 = 𝑥 + 1 ดงันัน้

න−1,0

3,4

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = න𝐶

𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 6 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦 𝑑𝑦

= න−1

3

(𝑥 + 1)2−6𝑥(𝑥 + 1) + 6 𝑑𝑥 + 2𝑥(𝑥 + 1) − 3𝑥2 − 2(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

= න−1

3

−6𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = −52

𝑁𝑜𝑡𝑒: สมการเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด −1,0 และ 3,4คือ 𝑦 = 𝑥 + 1

สนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ใน3มิติ (Conservative Vector Fields in 3D)

𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤และเส้นโค้งที่ต่อเนื่องเป็นช่วง 𝐫 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

න𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = න𝐶

𝛻𝜙 ∙ 𝑑𝐫 = 𝜙 𝑥 𝑏 , 𝑦 𝑏 , 𝑧 𝑏 − 𝜙 𝑥 𝑎 , 𝑦 𝑎 , 𝑧 𝑎

= 𝜙 𝐵 − 𝜙 𝐴ถ้า 𝐅 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ และ 𝑃, 𝑄, 𝑅 และอนุพันธ์ย่อยล าดับที่1 ของพวกมันต่อเนื่องในบริเวณ 3D ดังนั้น

𝜕𝑃

𝜕𝑦=

𝜕𝑄

𝜕𝑥,

𝜕𝑃

𝜕𝑧=

𝜕𝑅

𝜕𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑧=

𝜕𝑅

𝜕𝑦

ถ้า 𝑭 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ดังน้ันจะมี F = 𝛻𝜙 และ 𝛻 × 𝛻𝜙 = 𝛻 × F = curl F = 0 เสมอ นั่นคือว่า

𝛻 × F =𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧𝐢 +

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥𝐣 +

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝐤 = 𝟎

สนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ ใน3มิติ (Conservative Vector Fields in 3D)

𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤

ถ้า 𝐅 = 𝛻𝜙 ดังนั้น 𝑃, 𝑄, 𝑅 = 𝜙𝑥, 𝜙𝑦, 𝜙𝑧

ถ้า 𝐅 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์ และ 𝑃, 𝑄, 𝑅 และอนุพันธ์ย่อยล าดับที่1 ของพวกมันต่อเนื่องในบริเวณ 3D ดังนั้น วิธีการจ า

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝜙𝑥𝑦 = 𝜙𝑦𝑥 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥,

𝜕𝑃

𝜕𝑧= 𝜙𝑥𝑧 = 𝜙𝑧𝑥 =

𝜕𝑅

𝜕𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑧= 𝜙𝑦𝑧 = 𝜙𝑧𝑦 =

𝜕𝑅

𝜕𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑦=

𝜕𝑄

𝜕𝑥,

𝜕𝑃

𝜕𝑧=

𝜕𝑅

𝜕𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑧=

𝜕𝑅

𝜕𝑦

ความเป็นอิสระของเส้นทาง (Independence of Path)


(a) จงหาค่าอินทิกรัลตามเส้น 𝐶𝑦 + 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥 + 3𝑧3 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1 𝑑𝑧

เป็นค่าที่ไม่ขึ้นกับเสน้ทาง (Independence of the path) C ระหว่างจุด 1,1,1 และจุด 2,1,4 หรือไม่

(b) จงหาค่า (1,1,1)

(2,1,4)𝐅 ∙ 𝑑𝐫

(a) จากโจทย์ 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑦𝑧)𝐢 + (𝑥 + 3𝑧3 + 𝑥𝑧)𝐣 + 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1 𝐤ดังน้ัน 𝑃 = 𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑄 = 𝑥 + 3𝑧3 + 𝑥𝑧 และ 𝑅 = 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1ใช้เงื่อนไขว่า 𝐅 เป็นสนามเว็คเตอร์อนุรักษ์หรือไม่𝜕𝑃

𝜕𝑦= 1 + 𝑧 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥,

𝜕𝑃

𝜕𝑧= 𝑦 =

𝜕𝑅

𝜕𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑧= 9𝑧2 + 𝑥 =

𝜕𝑅

𝜕𝑦

ความเป็นอิสระของเส้นทาง (Independence of Path)

(b) เพื่อหาค่า (1,1,1)

(2,1,4)𝐅 ∙ 𝑑𝐫 เราจ าเป็นต้องหาโพเทนเชียลฟังก์ชัน 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) ส าหรบั 𝐅 โดยใช้

partial integration (𝐅 = Pi + Qj + Rk = 𝛻𝜙 = 𝜕𝜙

𝜕𝑥i+

𝜕𝜙

𝜕𝑦j+

𝜕𝜙

𝜕𝑧k)

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑃,

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑄,

𝜕𝜙

𝜕𝑧= 𝑅

จาก 𝑃 = 𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑄 = 𝑥 + 3𝑧3 + 𝑥𝑧 และ 𝑅 = 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1

ขั้นตอนที่1 อินทิเกรท 𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑃 เทียบกับตัวแปร 𝑥 จะได้ 𝜙 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔(𝑦, 𝑧)

ขั้นตอนที่2 น า 𝜙 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔(𝑦, 𝑧) ที่ได้จากข้ันตอน1 มาหา 𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑄 จะได้

𝑥 + 𝑥𝑧 +𝜕𝑔

𝜕𝑦= 𝑥 + 3𝑧3 + 𝑥𝑧 ดังน้ัน

𝜕𝑔

𝜕𝑦= 3𝑧3 หรือ 𝑔 𝑦, 𝑧 = 3𝑦𝑧3 + ℎ 𝑧

ขั้นตอนที่3 น า 𝜙 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 3𝑦𝑧3 + ℎ 𝑧 ที่ได้จากขั้นตอน 1 และ 2 มาหา 𝜕𝜙

𝜕𝑧= 𝑅 จะได้

𝑥𝑦 + 9𝑦𝑧2 +𝜕ℎ

𝜕𝑧= 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1 ดังน้ัน

𝜕ℎ

𝜕𝑧= −1หรือ ℎ 𝑧 = −𝑧 + 𝐶

𝜙 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 3𝑦𝑧3 − 𝑧 + 𝐶

න

(1,1,1)

(2,1,4)

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 3𝑦𝑧3 − 𝑧 + 𝐶 ቮ

(2,1,4)

(1,1,1)= 198 − 4 = 194

ความเป็นอิสระของเส้นทาง (Independence of Path)𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝜙𝑥𝑦 = 𝜙𝑦𝑥 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥,

𝜕𝑃

𝜕𝑧= 𝜙𝑥𝑧 = 𝜙𝑧𝑥 =

𝜕𝑅

𝜕𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑧= 𝜙𝑦𝑧 = 𝜙𝑧𝑦 =

𝜕𝑅

𝜕𝑦

จาก 𝑃 = 𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑄 = 𝑥 + 𝑥𝑧 + 3𝑧3และ 𝑅 = 9𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 − 1

𝑃 = 𝜙𝑥 = 𝑦 + 𝑦𝑧 𝜙𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝜙 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔 𝑦, 𝑧𝜕𝜙

𝜕𝑦⟹ 𝜙𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑧 + 𝑔′ 𝑦, 𝑧

⇓ 𝜙𝑦 = 𝑄 ( รู ้ 𝑔′ 𝑦, 𝑧 = 3𝑧3)

𝑔 𝑦, 𝑧 = 3𝑦𝑧3 + ℎ 𝑧 න 𝑔′ 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 ⟸ 𝑔′ 𝑦, 𝑧 = 3𝑧3

⇓ อัพเดทค่า g(y,z) ใน ϕ จะได ้ϕ ใหม่ = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 3𝑦𝑧3 + ℎ 𝑧

𝜕𝜙ใหม่𝜕𝑧

⇓

𝜙𝑧 = 𝑅 = 𝑥𝑦 + 9𝑦𝑧2 + ℎ′ 𝑧

⇓ 𝜙𝑧 = 𝑅 = ( รู ้ ℎ′ 𝑧 = −1)

ℎ 𝑧 = −𝑧 + 𝐶 න ℎ′ 𝑧 𝑑𝑧 ⟸ ℎ′ 𝑧 = −1

⇓ อพัเดทคา่ ℎ 𝑧 ใน 𝜙 จะไดค้า่ 𝜙 สดุทา้ย𝝓 = 𝒙𝒚 + 𝒙𝒚𝒛 + 𝟑𝒚𝒛𝟑 − 𝒛 + 𝑪

หาค่าโพเทนเชียลฟังก์ชัน 𝜙 ?

ทฤษฎีบทของกรีน (Green’s Theorem)

➢ ทฤษฎีบทของกรีน เป็นการแปลงอินทิกรัลตามเส้นรอบเส้นโคง้เรียบวงปิด C ไปเป็นอินทิกรลัสองชั้นเหนือบริเวณ R ที่ถูกปิดล้อม C (ใช้ได้เพียงสนามเว็คเตอร์ 2 มิติเท่านั้น)

➢ ทฤษฎีบทของกรีน ใช้ได้เฉพาะสนามเว็คเตอร(์𝑭) 2 มิติเท่านั้น เช่น สนามเว็คเตอร์ในระนาบ xy.

➢ การหมุนวนในระนาบ xy(ทิศทวนเข็ม)สัมพันธ์กับองค์ประกอบในแนวแกน z ของการเคิร์ล (∇ × 𝑭)

ก าหนดให ้𝐶 เป็นเสน้โคง้ปิดที่ต่อเน่ืองในบรเิวณ 𝑅 ถา้ 𝑃, 𝑄,𝜕𝑃

𝜕𝑦หรอื 𝑃𝑦 และ

𝜕𝑄

𝜕𝑥(หรอื 𝑄𝑥) ต่อเน่ืองในบรเิวณ R

โดยที่สนามเว็คเตอร ์𝑭 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝐣 , 𝒔 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 ดงันัน้

เสน้โคง้ C𝛻 × 𝐅 =

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦0

𝑃 𝑄 0

=𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝐤

ර

𝐶

𝑭 ∙ 𝑑𝒔 = ර

𝐶

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ඵ

𝑅

𝛻 × 𝐅 ∙ 𝐤 𝑑𝐴 = ඵ

𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴

พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีน (Proof :Green’s Theorem)

− ඵ

𝑅

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴 = − න

𝑎

𝑏

න

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = − න

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥, 𝑔2 𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑔1 𝑥 𝑑𝑥

= න

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥, 𝑔1 𝑥 𝑑𝑥 + න

𝑏

𝑎

𝑃 𝑥, 𝑔2 𝑥 𝑑𝑥 = ර

𝐶

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

ඵ

𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥𝑑𝐴 = න

𝑐

𝑑

න

ℎ1 𝑦

ℎ2 𝑦𝜕𝑄

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = න

𝑐

𝑑

𝑄 ℎ2 𝑦 , 𝑦 − 𝑄 ℎ1 𝑦 , 𝑦 𝑑𝑦

= න

𝑐

𝑑

𝑄 ℎ2 𝑦 , 𝑦 𝑑𝑦 + න

𝑑

𝑐

𝑄 ℎ1 𝑦 , 𝑦 𝑑𝑦 = ර

𝐶

𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

ර

𝐶


𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴

ර

𝑪

𝑷𝒅𝒙 + 𝑸𝒅𝒚 = ඵ

𝑹

𝝏𝑸

𝝏𝒙−

𝝏𝑷

𝝏𝒚𝒅𝑨


ตัวอย่าง จากทฤษฎีบทของกรนี ถา้ C เป็นเสน้รอบวงกลม (𝑥 − 2)2+𝑦2 = 1 จงหาค่า

ර

𝐶

𝑦𝑒−𝑥𝑑𝑥 +𝑥2

2− 𝑒−𝑥 𝑑𝑦

วธีิท า วงกลม (𝑥 − 2)2+𝑦2 = 1 หรอื 𝑥 = 2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃, 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

ර

𝐶

𝑦𝑒−𝑥 𝑑𝑥 +𝑥2

2− 𝑒−𝑥 𝑑𝑦

= න

0

2𝜋

− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒− 2+𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 +4 + 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃

2− 𝑒− 2+𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 =? ? ? ? ?

𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒−𝑥, 𝑄 𝑥, 𝑦 =𝑥2

2− 𝑒−𝑥 ดงันัน้

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑒−𝑥,

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝑥 + 𝑒−𝑥

ඵ

𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴 = ඵ

𝑅

𝑥 𝑑𝐴 = න

0

2𝜋

න

0

1

2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 2𝜋


ตัวอย่าง หาพื้นที่วงกลมรัศมี 1 หน่วยจากอินทิกรัลตามเส้น โดยใช้ทฤษฎีบทของกรีน

ර

𝐶


𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴 ↔ ර

𝐶


𝑅

1 𝑑𝐴

เพื่อหาพ้ืนที่วงกลมรัศมี 1 หน่วย, 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 และ

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 1 ซึ่งจะท าให้ 𝑃 = 0, 𝑄 = 𝑥 ดงันัน้จากทฤษฎี

บทของกรีน จะได้ว่า

ර

𝐶

𝑥𝑑𝑦 = ඵ

𝑅

1 𝑑𝐴

จากนั้นใช้สมการพาราเมตริกของวงกลม 1 หนึ่งหน่วย คือ 𝑥 = cos 𝜃 , 𝑦 = sin 𝜃 โดย 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ซึง่เป็นการเปลี่ยนตวัแปร 𝑥, 𝑦 ใหอ้ยู่ในรูป 𝜃

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ර

𝐶

𝑥𝑑𝑦 = න

0

2𝜋

𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = න

0

2𝜋

(1 + cos 2𝜃

2) 𝑑𝜃 = ቤ

1

2(𝜃 +

sin 2𝜃

2)

2𝜋

0= 𝜋


ตัวอย่าง จากทฤษฎีบทของกรีน ถ้า 𝐶 เป็นเส้นรอบวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 1 จงพิสูจน์ว่า

ර

𝐶

𝑦2 − 7𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 + 2𝑥 𝑑𝑦 = ඵ

𝑅

(𝜕 2𝑥𝑦 + 2𝑥

𝜕𝑥−

𝜕 𝑦2 − 7𝑦

𝜕𝑦) 𝑑𝐴

วิธีท า วงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 1 หรือ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃, 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

ර

𝐶

𝑦2 − 7𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 + 2𝑥 𝑑𝑦 = න

0

2𝜋

− 𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 7 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

= න

0

2𝜋

−𝑠𝑖𝑛3𝜃 + 7𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 = 0 + 7𝜋 + 0 + 2𝜋 = 9𝜋

𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 − 7𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 2𝑥 ดงันัน้ 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 2𝑦 − 7 ,

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 2𝑦 + 2

ඵ

𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝑅

9 𝑑𝐴 = 9 พืน้ท่ีวงกลมรศัมี 1หน่วย = 9𝜋


ตัวอย่าง จงหาค่า ׯ𝐶𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 โดยที่ C อยู่ในควอดรนัตท่ี์ 1เป็นเสน้ทางท่ีถกูปิดลอ้ม

ดว้ยกราฟ 𝑦 = 𝑥2 และ𝑦 = 𝑥3

ถา้ 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 และ 𝑄 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 ดงันัน้ 𝜕𝑃

𝜕𝑦= −2𝑦 และ

𝜕𝑄

𝜕𝑥= −1

ර

𝐶

𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = ඵ

𝑅

(−1 + 2𝑦) 𝑑𝐴 = න

0

1

න

𝑥3

𝑥2

−1 + 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

= න

0

1

ȁ−𝑦 + 𝑦2 𝑥2

𝑥3 𝑑𝑥 = න

0

1

−𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥6 𝑑𝑥

= ቤ−𝑥3

3+

𝑥5

5+

𝑥4

4−

𝑥7

710

= −1

3+

1

5+

1

4−

1

7

= −11

420


หรือ

ර

𝐶

𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦

= න

0

1

𝑥2 − 𝑥6 𝑑𝑥 + 2𝑥3 − 𝑥 3𝑥2𝑑𝑥 + න

1

0

𝑥2 − 𝑥4 𝑑𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥 2𝑥𝑑𝑥

อ=𝑥3

3−

𝑥7

7+ 𝑥6 −

3𝑥4

40

1

+ อ𝑥3

3−

𝑥5

5+ 𝑥4 −

2𝑥3

31

0

=1

3−

1

7+ 1 −

3

4−

1

3−

1

5+ 1 −

2

3

= −1

7+

1

5−

3

4+

2

3

=−60 + 84 − 315 + 280

420

= −11

420

ตัวอย่าง จงหาค่า ׯ𝐶𝑥5 + 3𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑒𝑦3

𝑑𝑦 โดยที่ C เป็นวงกลม(𝑥 − 1)2+(𝑦 − 5)2= 4

ถา้ 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥5 + 3𝑦และ 𝑄 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑒𝑦3

ดงันัน้ 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 3และ

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 2

ර

𝐶

𝑥5 + 3𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑒𝑦3𝑑𝑦

= ඵ

𝑅

(2 − 3) 𝑑𝐴 = − ඵ

𝑅

𝑑𝐴

เน่ืองจากพืน้ท่ีของวงกลม คือ 𝜋22 = 4𝜋 ดงันัน้

ර

𝐶

𝑥5 + 3𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑒𝑦3𝑑𝑦 = −4𝜋


ตัวอย่าง จงหางานที่ถูกท าโดยแรง 𝐅 = −16𝑦 + sin 𝑥2 𝐢 + 4𝑒𝑦 + 3𝑥2 𝐣 ตามเส้นโค้งปิด 𝐶 ดังรูป

𝑊 = ර

𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ර

𝐶

−16𝑦 + sin 𝑥2 𝑑𝑥 + 4𝑒𝑦 + 3𝑥2 𝑑𝑦

และ ดังน้ันด้วยทฤษฎีบทของกรีน 𝑅6𝑥 + 16 𝑑𝐴 จากรูปบริเวณ 𝑅 ควรใช้ Polar coordinates เนื่องจาก 𝑅 คือ

0 ≤ 𝑟 ≤ 1,𝜋

4≤ 𝜃 ≤

3𝜋

4

𝑊 = න𝜋4

3𝜋4

න

0

1

6𝑟 cos 𝜃 + 16 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

= න𝜋4

3𝜋4

2𝑟3 cos 𝜃 + 8𝑟2 10

𝑑𝜃 = න𝜋4

3𝜋4

2 cos 𝜃 + 8 𝑑𝜃 = 4𝜋


ตัวอย่าง จงหาค่า ׯ𝐶𝑦2𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 โดยที่ C เป็นขอบเขตของบรเิวณ R ดงัรูป

วธีิท า วงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 1 หรอื 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃, 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

วงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 4 หรอื 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑑𝑥 = −2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃, 𝑑𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

ර

𝐶

𝑦2𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 = න

𝐶1

+ න

𝐶2

+ න

𝐶3

+ න

𝐶4

= න

𝐶1

𝑦2𝑑𝑥 + න

𝐶2

𝑦2𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 + න

𝐶3

𝑦2𝑑𝑥 + න

𝐶4

𝑦2𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑦

= න

−2

−1

0𝑑𝑥 + න

𝜋

0

−𝑠𝑖𝑛3𝑑𝜃 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 + න

1

2

0𝑑𝑥 + 23 න

0

𝜋

−𝑠𝑖𝑛3𝑑𝜃 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃

= න

𝜋

0

−𝑠𝑖𝑛3𝑑𝜃 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 + 8 න

0

𝜋

−𝑠𝑖𝑛3𝑑𝜃 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 =4

3− 2 −

32

3+ 16 =

14

3

𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 , 𝑄 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦 ดงันัน้ 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 2𝑦 ,

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 3𝑦

ඵ

𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝑅

𝑦 𝑑𝐴 = න

0

𝜋

න

1

2

𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = න

0

𝜋

න

1

2

𝑟2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 =14

3

C1C2

C3

C4

อินทิกรัลตามผิว (Surface Integrals)

• ในระนาบ xy ความยาวของส่วนโค้ง (arc) ของกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) จาก 𝑥 = 𝑎ถึง 𝑥 = 𝑏 มีค่าเท่ากับ

X=2 X=6

y=xy

x

r=1

y

x

𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2

𝑑𝑆 = 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

𝑆 = න

𝑎

𝑏

1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

= න

𝑎

𝑏

1 + 𝑓𝑥(𝑥) 2 𝑑𝑥

𝑆 = න

𝑎

𝑏

1 + 𝑓𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥

= න

2

6

1 + 1 𝑑𝑥 = 4 2

𝑆 = න

𝑎

𝑏

1 + 𝑓𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥

= න

0

1

1 +−𝑥

1 − 𝑥2

2

𝑑𝑥

= න

0

11

1 − 𝑥2𝑑𝑥 =

𝜋

2

x

y

u = ∆xk𝐢 + fx xk, yk ∆xk𝐤v = ∆yk𝐣 + fy xk, yk ∆yk𝐤

fx xk, yk , fy xk, yk คือ ความชนัของเว็คเตอร ์ u, v

u × v =

𝐢 𝐣 𝐤

∆xk 𝟎 fx xk, yk ∆xk

0 ∆yk fy xk, yk ∆yk

u × v = −fx xk, yk 𝐢 −fy xk, yk 𝐣 + 𝐤 ∆xk∆yk

Tk = u × v = 1 + fx xk, yk2 + fy xk, yk

2

𝑑𝑺 = 1 + fx xk, yk2 + fy xk, yk

2𝑑𝑨

x

y

∆𝑦𝑘

𝐮𝐯

𝑅𝑘

(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 0)

ถา้𝑓 เป็นฟังกช์นัท่ีมีอนพุนัธย์่อย 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ต่อเน่ืองบนบรเิวณ R ดงันัน้ พืน้ท่ีของพืน้ผิว (Surface Area)เหนือบรเิวณ R มีค่าเท่ากบั

ให ้𝐺 เป็นฟังกช์นัท่ีมี 3 ตวัแปรท่ีถกูก าหนดใหอ้ยู่เหนือบรเิวณพืน้ผิว 3มิติ 𝑆 ดงันัน้ อินทิกรลัตามผิว (Surface Integral) ของ 𝐺 เหนือบรเิวณ 𝑆 มีค่าเท่ากบั


• การประยุกต์ใช้อินทิกรัลตามผิว จะถูกใช้เพื่อหาค่ามวลของพื้นผิว ฟลักซ์ที่ไหลผ่านพื้นผิว หรือ ประจุบนพื้นผิว เป็นต้น

ตัวอย่าง จงหาพืน้ที่ของ Surface ซึ่งเป็นสว่นของทรงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2

ท่ีอยู่เหนือระนาบ 𝑥𝑦 และอยู่ภายในทรงกระบอก 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑏2, 0 < 𝑏 < 𝑎

จากรูป 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 โดย 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 ดงันัน้

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =−𝑥

𝑎2−𝑥2−𝑦2และ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =

−𝑦

𝑎2−𝑥2−𝑦2ดงันัน้

1 + 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 2 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦2

=𝑎

𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2

ดงันัน้ 𝐴 𝑆 = 𝑅

𝑎

𝑎2−𝑥2−𝑦2𝑑𝐴 โดยที่ 𝑅 คือบรเิวณท่ีก าหนดใหด้งัรูป และเพ่ือหาค่าอินทิกรลัสองชั้น เราจะใช ้

Polar coordinates

𝐴 𝑆 = 𝑎 න

0

2𝜋

න

0

𝑏

𝑎2 − 𝑟2 −1/2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝑎 න

0

2𝜋

− 𝑎2 − 𝑟2 1/2 𝑏0

𝑑𝜃

= 𝑎 𝑎 − 𝑎2 − 𝑏2 න

0

2𝜋

𝑑𝜃 = 2𝜋𝑎 𝑎 − 𝑎2 − 𝑏2



จงหาค่า 𝑆𝑥𝑧2𝑑𝑆 โดยที่ 𝑆 เป็นสว่นของทรงกระบอก 𝑦 = 2𝑥2 + 1 ท่ีอยู่ในควอแดรนตท่ี์1 ถกูจ ากดัขอบเขตดว้ย

𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑧 = 4 และ 𝑧 = 8

เราทราบว่า 𝑔 𝑥, 𝑧 = 2𝑥2 + 1 และ 𝑅 คือบรเิวณสี่เหลี่ยมในระนาบ 𝑥𝑧 ดงัรูป และเน่ืองจาก 𝑔𝑥 𝑥, 𝑧 = 4𝑥และ 𝑔𝑧 𝑥, 𝑧 = 0 ดงันัน้

ඵ

𝑆

𝑥𝑧2𝑑𝑆 = න

0

2

න

4

8

𝑥𝑧2 1 + 16𝑥2𝑑𝑧𝑑𝑥 = න

0

2𝑧3

3𝑥 1 + 16𝑥2 8

4𝑑𝑥

=448

3න

0

2

𝑥 1 + 16𝑥2 1/2 𝑑𝑥

=28

91 + 16𝑥2 3/2 2

0

=28

9653/2 − 1

≈ 1627.3


อินทิกรัลของสนามเว็คเตอร(์Integrals of Vector Fields)

ถา้ 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 +𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 เป็นสนามความเรว็ของของเหลว ตามท่ีเราเห็นในรูป ปรมิาตรของของเหลวท่ีไหลผ่านสว่นยอ่ยๆของพืน้ท่ีผิว ∆𝑆 ตอ่หนึ่งหน่วยเวลา จะมีคา่โดยประมาณเทา่กบั

ความสงู ×พืน้ท่ีฐาน = comp𝐧𝐅 ∆𝑆 = (𝐅 ∙ 𝐧) ∆𝑆

โดยท่ี 𝐧 คือเวค็เตอรห์นึ่งหน่วยท่ีตัง้ฉากกบัพืน้ผิว ตามรูป ปรมิาณของเหลวทัง้หมดท่ีไหลผ่าน 𝑆 ตอ่หนึ่งหน่วยเวลา จะถกูเรียกวา่ ฟลกัซข์อง 𝐅 ท่ีผ่าน 𝑆 และมีคา่เทา่กบั

flux = ඵ

𝑆

(𝐅 ∙ 𝐧) 𝑑𝑆

ในกรณีของพืน้ผิวปิด 𝑆 ถา้ 𝐧 ตัง้ฉากกบัพืน้ผิวดา้นนอก (ดา้นใน)ดงันัน้จะใหค้วามหมายว่า ปรมิาณของเหลวท่ีไหลออก (เขา้)ผา่นพืน้ผิว 𝑆 ตอ่หนึง่หนว่ยเวลา

อินทิกรัลของสนามเว็คเตอร(์Integrals of Vector Fields)

n =𝛻g

𝛻g=

𝜕g𝜕x

i +𝜕g𝜕y

j +𝜕g𝜕z

k

𝜕g𝜕x

2

+𝜕g𝜕y

2

+𝜕g𝜕z

2

ถา้พืน้ผิวเรยีบ S ถกูก าหนดใหเ้ป็น 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ดงันัน้ เวค็เตอรห์นึ่งหน่วยท่ีตัง้ฉากกบัพืน้ผิว คือ

ฟลักซ์ที่ไหลผ่านพื้นผิว (Flux Through a Surface)

ตัวอย่าง ก าหนดให้ 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝐣 + 𝑧𝐤 แทนการไหลของของเหลว จงหาฟลกัซ์ (flux) ของ 𝐅ท่ีผ่านพืน้ผิว 𝑺 ซึง่เป็นสว่นของระนาบ 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 ท่ีอยู่ในอฐัภาค (octant) ที่1

จากรูปท่ีแสดง สนามเว็คเตอร ์และพืน้ผิวคือระนาบ 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 6 = 0เว็คเตอรห์น่วยที่ตัง้ฉากกบัพืน้ผิว และมีค่า z ท่ีเป็น + คือ

𝐧 =𝛻𝑔

𝛻𝑔=

3𝐢 + 2𝐣 + 𝟏𝐤

32 + 22 + 12=

3𝐢

14+

2𝐣

14+

𝟏𝐤

14ดงันัน้

flux = 𝑺𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑺 =

1

14𝑺

3𝑧 𝑑𝑺

และจากรูป 𝑅 คือ โปรเ์จ็คชนัของพืน้ผิวลงบนระนาบ 𝑥𝑦 ดงันัน้

flux =3

14ඵ

𝑺

6 − 3𝑥 − 2𝑦 14𝑑A

= 3 න

0

2

න

0

3−3𝑥2

6 − 3𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 18

ทฤษฎีของสโตกส์ (Stokes’ Theorem)• ทฤษฎีของสโตกส์(3D) คือ ทฤษฎีบทของกรีน(2D) แต่

เป็น 3มิติ

• ทฤษฎีของสโตกส์ กล่าวว่า อินทิกรัลตามเส้นรอบพืน้ผวิ 𝑆 ของ 𝐅 ตามทิศทางของเสน้สมัผัสเส้นโค้งมีคา่เท่ากับอินทิกรัลตามผิวตลอด 𝑆 ของ 𝛁 × 𝐅

ให้ 𝑆 เป็นพืน้ผิวท่ีเรยีบเป็นช่วงมีทิศทางเว็คเตอรต์ัง้ฉากพุ่งออกจากพืน้ผิว (Orientable) ถกูปิดลอ้มดว้ยเสน้โคง้ปิด C ซึง่มีทิศทางเป็นบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และให ้𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣

+ 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 เป็นสนามเวค็เตอรซ์ึง่ 𝑃, 𝑄, 𝑅 และอนพุนัธย์่อย (𝜕

𝜕𝑥,

𝜕

𝜕𝑦,

𝜕

𝜕𝑧) ของพวกมนัตอ่เน่ือง

(สามารถหาค่าได้) ทั่วบรเิวณพืน้ผิว S ดงันัน้

ර

𝑪


𝑪

𝐅 ∙ 𝐓 𝑑𝑠 = ඵ

𝑺

𝛻 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆

โดยท่ี n คือเวค็เตอรห์นึ่งหน่วยท่ีตัง้ฉากกบัพืน้ผิว 𝑆 (ตามรูปมีทิศทางพุ่งออกจากหวัคนท่ีเดินตามเสน้โคง้ C)

ทฤษฎีของสโตกส์ (Stokes’ Theorem)

ตัวอย่าง จงหาคา่ ׯ𝑪𝐅 ∙ 𝑑𝐫 โดยท่ี 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑦2𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑧2𝐤 และ C เป็นเสน้โคง้ที่

เกิดจากระนาบ 𝑦 + 𝑧 = 2 ตดักบัทรงกระบอก 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ดงัรูปจาก 𝐅 = −𝑦2𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑧2𝐤 เราสามารถหา 𝛻 × 𝐅 ไดด้งันี ้

𝛻 × 𝐅 =

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

−𝑦2 𝑥 𝑧2

= (1 + 2𝑦)𝐤

และเรารูว้่า 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 ดงันัน้เว็คเตอรห์น่วยทิศพุ่งขึน้ คือ

n =𝛻g

𝛻g=

1j+1k

2

ใชท้ฤษฎีของสโตกส ์

ඵ

𝑆

∇ × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 =1

2ඵ

𝑆

(1 + 2𝑦) 𝑑𝑆 =1

2ඵ

𝐷

(1 + 2𝑦) 2𝑑𝐴

= න

0

2𝜋

න

0

1

1 + 2 rsin 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝜋


ตัวอย่าง จงหาคา่ ׯ𝑪𝐅 ∙ 𝑑𝐫 โดยท่ี C เป็นเสน้ทางสามเหลี่ยมท่ีมีจดุยอดท่ี (1,0,0) (0,1,0) และ (0,0,1)

𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑦2)𝐢 + (𝑦 + 𝑧2)𝐣 + (𝑧 + 𝑥2)𝐤


ตัวอย่าง จงใชท้ฤษฎีของสโตกส ์หาคา่𝑆∇ × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 โดยท่ี 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥z𝐢 +

yz𝐣 + 𝑥𝑦𝐤 และ 𝑆 เป็นพื้นผิวที่เกิดจากทรงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 และทรงกระบอก 𝑥2 +𝑦2 = 1 ตัดกันดังรูป

จาก 𝐅 = −𝑦2𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑧2𝐤 เราสามารถหา 𝛻 × 𝐅 ไดด้งันี ้

𝛻 × 𝐅 =

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑦

= 𝑥 − 𝑦 𝐢 + 𝑥 − 𝑦 𝐣

และเรารูว้่า 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 − 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0 ดงันัน้เว็คเตอรห์น่วยทิศพุง่ขึน้ คือ

n =𝛻g

𝛻g=

𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 2𝐤

2ใชท้ฤษฎีของสโตกส ์

ඵ

𝑆

∇ × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 =1

2ඵ

𝑆

𝑥 𝑥 − 𝑦 + 𝑦(𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑆

= න

0

2𝜋

න

0

1

𝑟2 cos 2𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0

เปรียบเทียบทฤษฎีของสโตกส์ กับ ทฤษฎีบทของกรีน• ทฤษฎีบทของกรีน เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีของสโตกส์ ในระนาบ 𝑥𝑦

𝐶ׯ𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐶ׯ

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑆𝛻 × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 (สโตกส)์

กฏ: ถ้าเราเดินตาม 𝐶 ในทิศทางที่เป็นบวก พื้นผิว 𝑆 จะอยู่ด้านซ้ายมือเรา ดังน้ัน 𝐧 จะมีทิศพุ่งออกจากพื้นผิว (ชี้ข้ึน) ดังรูป

𝐶ׯ𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐶ׯ

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴 (กรีน)

ตัวอย่างการเปรียบเทียบทฤษฎีของสโตกส์ กับ ทฤษฎีบทของกรีน ถ้า 𝑆 เป็นส่วนราบเรียบบนระนาบ 𝑥𝑦 ที่ถูกปิดล้อมด้วย 𝐶 ทิศทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้น

ර

𝐶

𝐅. 𝑑𝐫 = ර

𝐶


𝑠

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐤 𝑑𝑥𝑑𝑦

โดยทฤษฎีบทของกรีน 𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴 = 𝑠

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 = 𝑅𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐤 𝑑𝑥𝑑𝑦

ดังนั้น ทฤษฎีบทของสโตกส์ และกรีนมีค่าเท่ากันหมายเหตุ ทฤษฎีของสโตกส์ เรามีอิสระในการเลือกพ้ืนผิว 𝑆 ใดๆก็ได้ ที่ถูกปิดล้อมด้วย 𝐶 (𝐶=วงกลม 𝑆=ดิสก์, ครึ่งทรงกลม, กรวย เป็นต้น)พิสูจน์ทฤษฎีของสโตกส์1. ถ้า C และ S คือ ระนาบ xy ดังนั้น ทฤษฎีของสโตกส=์ทฤษฎีบทของกรีน 2. ถ้า C และ S คือ ระนาบใดๆ ดังนั้น ทฤษฎีของสโตกส์=ทฤษฎีบทของกรีน ในระนาบนั้นๆ

พิสูจน์ทฤษฎีของสโตกส์ (Proof Stokes’ Theorem)

1. ด้านขวาของสมการ ทฤษฎขีองสโตกส์

ර

𝐶


𝐶

𝐅 ∙ 𝐓 𝑑𝑆 = ඵ

𝑆

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆

𝐅 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤

และสมการของพืน้ผิว S คือ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 หรอื 𝑧 − 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

𝛻 × F =𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧i +

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥j +

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦k

สมมตุิให ้g 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 − 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

n =𝛻g

𝛻g=

−𝜕𝑓𝜕𝑥

i −𝜕𝑓𝜕𝑦

j + 1k

1 +𝜕𝑓𝜕𝑥

2

+𝜕𝑓𝜕𝑦

2

ඵ

𝑆

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆 = ඵ

𝑅

−𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴


2. ด้านซ้ายของสมการ ทฤษฎขีองสโตกส์สมการ parametric representation of C คือ

𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

ර

𝐶


𝐶

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = න

𝑎

𝑏

𝑃𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑄

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑅

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑑𝑡 ← กฏลูกโซ่

= ර

𝐶𝑥𝑦−𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒

𝑃 + 𝑅𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝑄 + 𝑅

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦

= ඵ

𝑅

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥−

𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦𝑑𝐴 ← ทฤษฎีบทของกรีน


1. พจน์แรกของสมการ ทฤษฎีบทของกรีน

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥=

𝜕 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥

=𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑥+

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕𝑅

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥

2. พจน์ที่สองของสมการ ทฤษฎีบทของกรีน

𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦= −

𝜕 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦

= −𝜕𝑃

𝜕𝑦−

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦− 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥−

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑅

𝜕𝑦+

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦= −

𝜕𝑃

𝜕𝑦−

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦− 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥−

𝜕𝑅

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥−

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= ඵ

𝑅

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥−

𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥


𝑅

−𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦

ตัวอย่าง ก าหนดให ้𝑆 เป็นสว่นของทรงกระบอก 𝑧 = 1 − 𝑥2 ส าหรบั 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2 จงพิสจูน ์ Stokes’ theorem ส าหรบัสนามเว็คเตอร ์𝐅 = 𝑥𝑦𝐢 + 𝑦𝑧𝐣 + 𝑥𝑧𝐤 สมมตุิให ้𝑆 เป็น surface ดา้นบน

ตามรูป 𝑆 คือ เสน้โคง้ 𝐶 ประกอบดว้ย 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 และ บรเิวณ 𝑅 แสดงดงัรูป


Surface Integral จาก 𝐅 = 𝑥𝑦𝐢 + 𝑦𝑧𝐣 + 𝑥𝑧𝐤 เราสามารถหา 𝛻 × 𝐅 ไดด้งันี ้

𝛻 × 𝐅 =

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑧

= −𝑦𝐢 − 𝑧𝐣 − 𝑥𝐤

และเรารูว้่า 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 + 𝑥2 − 1 = 0 เป็นทรงกระบอก ดงันัน้เว็คเตอรห์น่วยทิศพุ่งขึน้ คือ

n =𝛻g

𝛻g=

2𝑥i+k

4𝑥2+1

ดงันัน้ 𝑆curl 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 = 𝑆

−2𝑥𝑦−𝑥

4𝑥2+1𝑑𝑆 =

𝑅(−2𝑥𝑦 − 𝑥) 𝑑𝐴 = 0

12−

2−2𝑥𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 = − 2


Line Integral จาก ׯ𝑪= 𝑪𝟏

+ 𝑪𝟐+ 𝑪𝟑

+ 𝑪𝟒บน 𝑪𝟏: 𝒙 = 𝟏, 𝒛 = 𝟎, 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝒅𝒛 = 𝟎 ดังน้ัน

න

𝑪𝟏

𝑦 0 + 𝑦 0 𝑑𝑦 + 0 = 0

บน 𝑪𝟐: 𝒚 = 𝟐, 𝒛 = 𝟏 − 𝒙𝟐, 𝒅𝒚 = 𝟎, 𝒅𝒛 = −𝟐𝒙𝒅𝒙 ดังน้ัน

න

𝑪𝟐

2𝑥𝑑𝑥 + 2 1 − 𝑥2 0 + 𝑥(1 − 𝑥2)(−2𝑥𝑑𝑥) = න

𝟏

𝟎

(2𝑥 + 2𝑥4 − 2𝑥2)𝑑𝑥 = −11

15

บน 𝑪𝟑: 𝒙 = 𝟎, 𝒛 = 𝟏, 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝒅𝒛 = 𝟎 ดังน้ัน

න

𝑪𝟑

0 + 𝑦𝑑𝑦 + 0 = න

2

−2

𝑦𝑑𝑦 = 0

บน 𝑪𝟒: 𝒚 = −𝟐, 𝒛 = 𝟏 − 𝒙𝟐, 𝒅𝒚 = 𝟎, 𝒅𝒛 = −𝟐𝒙𝒅𝒙 ดังน้ัน

න

𝑪𝟒

−2𝑥𝑑𝑥 − 2 1 − 𝑥2 0 + 𝑥(1 − 𝑥2)(−2𝑥𝑑𝑥) = න

𝟎

𝟏

(−2𝑥 + 2𝑥4 − 2𝑥2)𝑑𝑥 = −19

15

ดงันัน้𝑪𝟏+ 𝑪𝟐

+ 𝑪𝟑+ 𝑪𝟒

= −11

15−

19

15= −2

ตัวอย่าง จงหาคา่ ׯ𝐶𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧 โดยท่ี 𝐶

คือเสน้ทางของทรงกระบอก 𝑥2 + 𝑦2=1 ในระนาบ y + 𝑧 = 2ถา้ 𝐶 วนรอบในทิศทวนเข็มนาฬิกา

จากโจทย ์𝐅 = 𝑧𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑦𝐤 ดงันัน้ เราสามารถหา 𝛻 × 𝐅 ไดด้งันี ้

𝛻 × 𝐅 =

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑧 𝑥 𝑦

= 𝐢 + 𝐣 + 𝐤

จากทิศทางการวนรอบ 𝐶 สอดคลอ้งกบัผิวดา้นบนของ surface 𝑆 และเรารูว้่า 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 เป็นระนาบ ดงันัน้เว็คเตอรห์น่วยทิศพุ่งขึน้ คือ

n =𝛻g

𝛻g=

j+k

2

ดงันัน้ 𝐶ׯ𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑆

curl 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 = 𝑆(

)

i + j +

k . (j+k

2) 𝑑𝑆 = 2 𝑆

𝑑𝑆 = 2 𝑅2 𝑑𝐴 = 2𝜋

Check it?

ตัวอย่าง จงใช ้Stokes’ theorem หาคา่ ׯ𝐶𝐅 ∙ 𝑑𝐫 โดยท่ี 𝐶 วนในทิศทวนเข็มนาฬิกา

𝐅 = 𝑧2𝑦 cos 𝑥𝑦 𝐢 + 𝑧2𝑥 1 + cos 𝑥𝑦 𝐣 + 2𝑧 sin 𝑥𝑦 𝐤 โดย 𝐶 มีขอบเขตเป็น ระนาบ 𝐳 = 𝟏 − 𝒚

ර𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ර𝐶1

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 + ර𝐶2



𝐅 ∙ 𝑑𝐫

= 0 + 0 + 0 + ර𝐶4

2𝑧2 1 + cos 2𝑦 𝑑𝑦 + 2𝑧 sin 2𝑦 𝑑𝑧

= න

0

1

2(1 − 𝑦)2 1 + cos 2𝑦 𝑑𝑦 − 2 1 − 𝑦 sin 2𝑦 𝑑𝑦

= න

0

1

2(1 − 𝑦)2 1 + cos 2𝑦 𝑑𝑦 − 2 1 − 𝑦 sin 2𝑦 𝑑𝑦 =2

3

https://www.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/int_%7b0%7d%5e%7b1%7d%20/left(2/left(1-y/right)%5e%7b2%7d/left(1+cos2y/right)-2/left(1-y/right)sin2y/right)dy

Check it?

ตัวอย่าง จงใชท้ฤษฎีสโตกส ์หาคา่ 𝑆𝛻 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆 สมมตุิว่า 𝑆 มีทิศพุ่งขึน้

𝐅 = 2𝑥𝑦2𝑧 𝐢 + 2𝑥2𝑦𝑧 𝐣 + 𝑥2𝑦2 − 6𝑥 𝐤 โดย 𝑆 เป็นสว่นของระนาบ 𝐳 = 𝒚 ซึ่งอยู่ภายในทรงกระบอกที่มีฐานเป็นสมการวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 1

ර𝐶

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ර𝐶1

2𝑥𝑦2𝑧 𝑑𝐱 + 2𝑥2𝑦𝑧 𝑑𝐲 + 𝑥2𝑦2 − 6𝑥 𝑑𝒛

= න

0

2𝜋

−2 cos 𝑡 sin3 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 + 2 cos2 𝑡 sin2 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 + (

)

cos2 𝑡 sin2 𝑡

− 6 cos 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = න

0

2𝜋

−2 cos 𝑡 sin4 𝑡 + 3 cos3 𝑡 sin2 𝑡 − 6 cos2 𝑡 𝑑𝑡 = −6𝜋

https://www.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/int_%7b0%7d%5e%7b1%7d%20/left(2/left(1-y/right)%5e%7b2%7d/left(1+cos2y/right)-2/left(1-y/right)sin2y/right)dy

• การประยุกต์ใช้งานการอินทิเกรทสามชั้น– หาปริมาตรของรูปทรงตัน (Volume of solids)

– หามวลของรูปทรงตัน (Mass of solids)

– หาโมเมนล าดับหนึ่งและสองของรูปทรงตัน (First and second

moments of solids)

– หาโคออดิเนทจุดศูนย์กลางมวล (Coordinates of center of mass)

– หาจุดเซนทรอยด์ของรูปทรงตัน (Centroid of solids)

อินทิกรัลสามชั้น (Triple Integrals)

การเปลี่ยนล าดับของการอินทิเกรท0

60

4−2𝑥/30

3−𝑥

2−

3𝑦

4 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧ตามรูปดา้นลา่ง บรเิวณ 𝐷 เป็นสว่นที่อยู่ในออกแตนทท่ี์ 1 ซึ่งถกูปิดลอ้มดว้ยระนาบของโคออดิเนททัง้หมดสามระนาบ และระนาบสดุทา้ยคือ 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 12 จากรูป (b) และ ตารางสรุปไดว้่า

න

0

6

න

0

4−2𝑥/3

න

0

3−𝑥2

−3𝑦4

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = න

0

3

න

0

6−2𝑧

න

0

4−2𝑥3

−4𝑧3

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑧

Order of Integration First Integration Second Integration Third Integration

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥0 ถึง 3 −

𝑥

2−

3𝑦

40 ถึง 4 −

2𝑥

3

0 ถึง 6

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧0 ถึง 4 −

2𝑥

3−

4𝑧

3

0 ถึง 6 − 2𝑧 0 ถึง 3

ตัวอย่าง จงแสดงการหา ล าดบัของการอินทิเกรทปรมิาตรของรูปท่ีก าหนดให้

= න

0

2

න

𝑥3

8

න

0

4

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 48ම

𝑉

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

= න

0

8

න

0

4

න

0

𝑦13

𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 = 48ම

𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦

ම

𝑉

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = න

0

4

න

0

2

න

𝑥3

8

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = 48

= න

0

3

න

0

1

න

𝑧2

2−𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 =21

6ම

𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦

= න

0

1

න

𝑧2

2−𝑧

න

0

3

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =21

6ම

𝑉

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

ම

𝑉

𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = න

0

3

න

0

1

න

0

𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + න

0

3

න

1

2

න

0

2−𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 =21

6

ตวัอย่าง จงหาปรมิาตรของรูปทรงท่ีอยู่ในออกแตนทท่ี์ 1 ซึ่งถกูจ ากดัขอบเขตดว้ย 𝑧 = 1 − 𝑦2, 𝑦 = 2𝑥, และ 𝑥 = 3

ระนาบ 𝑥𝑦 ในรูป คือบรเิวณของ Type II ดงันัน้ เราอินทิเกรทเทียบกบั 𝑥 จากy

2ถึง 3 ในสว่นการอินทิเกรทขัน้สดุทา้ย

เทียบกบั 𝑦 จาก 0 ถึง 1 ดงันัน้

𝑉 = ම

𝐷

𝑑𝑉 = න

0

1

න𝑦2

3

න

0

1−𝑦2

𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න

0

1

න𝑦2

3

(1 − 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න

0

1

𝑥 − 𝑥𝑦2 3𝑦/2

𝑑𝑦

= න

0

1

(3 − 3𝑦2 −𝑦

2+

𝑦3

2)𝑑𝑦 = 3𝑦 − 𝑦3 −

𝑦2

4+

𝑦4

810

= 3 − 1 −1

4+

1

8=

15

8

ตวัอย่าง จงหาปรมิาตรท่ีเกิดจากการตดักนัของพาราโบลอยด ์𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 และ 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

1. อินทิเกรททั่วบริเวณ D, ล าดับแรกเราอินทิเกรทเทียบกับ 𝑧 ดังน้ัน2. ให้ 𝑥 และ 𝑦 อยู่คงที่, เพิ่มค่า 𝑧 เราจะได้เส้นตามแนวตั้ง3. ใส่ค่าลิมิตของการอินทิเกรทที่เหลือ (ใน xy-coordinates หรือ polar coordinates) ดังน้ันคือการรวมทุกเส้นในแนวตั้งที่ตัดกับ

บริเวณ D. นั่นหมายความว่าคุณท า double integral ทั่วบริเวณ R ในระนาบ xy (โดยที่ D ถูกฉายลงมาบนระนาบ xy)

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

4

X Y

Z

𝑉 = ම

𝐷

𝑑𝑉 = න

− 2

2

න

− 2−𝑦2

2−𝑦2

න

𝑥2+𝑦2

4−𝑥2−𝑦2

𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦

= න

0

2𝜋

න

0

2

න

𝑟2

4−𝑟2

𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 = න

0

2𝜋

න

0

2

𝑧 4 − 𝑟2

𝑟2 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃

= න

0

2𝜋

න

0

2

4 − 2𝑟2 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 = න

0

2𝜋

2𝑟2 −𝑟4

22

0𝑑𝜃 = 4𝜋

2 = 𝑥2 + 𝑦2D

R

พิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinates)Cylindrical coordinate system เป็นการรวม พิกดัขัว้ (polar) ของจดุบนระนาบ xy กบัพิกดัฉาก (คารที์เชียน) เฉพาะแกน z ดงัแสดงในรูป พิกดัทรงกระบอก (Cylindrical coordinate )ของจดุ P ถกูแสดงโดย (𝑟, 𝜃, 𝑧)

การแปลงพกัิดทรงกระบอก ⟹พกัิดฉาก จากรูปดา้นบน พิกดัฉาก (𝑥, 𝑦, 𝑧) ของจดุ 𝑃 สามารถหาไดจ้ากพิกดัทรงกระบอก (𝑟, 𝜃, 𝑧) โดย

𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑧 = 𝑧

พิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinates)

ตวัอย่าง

จงแปลง (8,𝜋

3, 7) พิกดัทรงกระบอก ⟹ พิกดัฉาก (𝑟, 𝜃, 𝑧) ⟹ (𝑥, 𝑦, 𝑧)

ดงันัน้ (8,𝜋

3, 7) ⟹ (4,4 3, 7) ในพิกดัฉาก

การแปลงพกิัดฉาก ⟹พกิัดทรงกระบอก พกิดัฉาก (𝑥, 𝑦, 𝑧) แปลงไปเป็น พกิดัทรงกระบอก (𝑟, 𝜃, 𝑧)) โดย

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2, tan 𝜃 =𝑦

𝑥, 𝑧 = 𝑧

อินทิกรัลสามชั้นในพิกัดทรงกระบอก (Triple Integrals Cylindrical Coordinates)

ම

𝐷

𝐹(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑑𝑉 = ඵ

𝑅

න

𝑓1(𝑟,𝜃)

𝑓2(𝑟,𝜃)

𝐹(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝐴 = න

𝛼

𝛽

න

𝑔1(𝜃)

𝑔2(𝜃)

න

𝑓1(𝑟,𝜃)

𝑓2(𝑟,𝜃)

𝐹(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

พิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinates)

ตัวอย่าง รูปทรงอยู่ในออกแตนทท่ี์ 1 และถกูจ าดดัขอบเขตดว้ยกราฟทรงกรวย 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 , ระนาบ 𝑧 = 1, 𝑥 = 0 และ 𝑦 = 0 จงหาจดุศนูยก์ลางมวล ถา้ความหนาแน่นมีค่าเท่ากบั 𝜌 𝑟, 𝜃, 𝑧 = 𝑟

จากโจทย ์สมการของกรวยคือ 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 ดงันัน้จากรูป

𝑚 = ම

𝐷

𝑟𝑑𝑉 = න

0

𝜋2

න

0

1

න

𝑟

1

𝑟 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

= න

0

𝜋2

න

0

1

𝑟2𝑧1𝑟

𝑑𝑟𝑑𝜃 = න

0

𝜋2

න

0

1

(𝑟2 − 𝑟3)𝑑𝑟𝑑𝜃

=𝜋

24

พิกัดทรงกลม (Spherical Coordinates)

การแปลงพกัิดทรงกลม ⟹พกัิดฉาก พิกดัทรงกลม (𝜌, 𝜙, 𝜃) แปลงไปเป็น พิกดัฉาก (𝑥, 𝑦, 𝑧) โดย𝑥 = 𝑂𝑄 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑂𝑄 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑧 = 𝑂𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 และจากรูป 𝑂𝑄 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙

𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙

การแปลงพกัิดทรงกลม ⟹พกัิดทรงกระบอก พิกดัทรงกลม (𝜌, 𝜙, 𝜃) แปลงไปเป็น พิกดัฉาก (𝑟, 𝜃, 𝑧) โดย

𝑟 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙 , 𝜃 = 𝜃, 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙

การแปลงพิกัด (Converting Coordinates)


จงแปลง (6,𝜋

4,

𝜋

3) พิกดัทรงกลม ⟹ พิกดัฉาก และ พิกดัทรงกลม ⟹ พิกดัทรงกระบอก

𝜌 = 6, 𝜙 =𝜋

4, และ 𝜃 =

𝜋

3

ดงันัน้ (8,𝜋

3, 7) ⟹ (

3 2

2,

3 3

2, 3 2) ในพิกดัฉาก ,(8,

𝜋

3, 7) ⟹ (3 2,

𝜋

3, 3 2) ในพิกดัทรงกระบอก

การแปลงพิกัด (Converting Coordinates)

การแปลงพกัิดฉาก ⟹พกัิดทรงกลม พิกดัพิกดัฉาก (𝑥, 𝑦, 𝑧) แปลงไปเป็นทรงกลม (𝜌, 𝜙, 𝜃) โดย

𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, tan 𝜃 =𝑦

𝑥, cos 𝜙 =

𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

การอนิทเิกรทสามชัน้ในระบบพกัิดทรงกลม (Triple Integrals in Spherical Coordinates)จากรูป ปรมิาตรรูปลิ่มในระบบพิกดัทรงกลม (𝜌, 𝜙, 𝜃) ประมาณค่าไดเ้ป็น

𝑑𝑉 = 𝑊 × 𝐿 × 𝐻 = 𝑑𝜌 × 𝜌𝑑𝜙 × 𝜌 sin 𝜙 𝑑𝜃 = 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃

โดยทั่วไป การอินทิเกรทสามชัน้ในระบบพิกดัทรงกลม จะอยู่ในรูป

ම

𝐷

𝐹(𝜌, 𝜙, 𝜃)𝑑𝑉 = න

𝛼

𝛽

න

𝑔1(𝜃)

𝑔2(𝜃)

න

𝑓1(𝜙,𝜃)

𝑓2(𝜙,𝜃)

𝐹(𝜌, 𝜙, 𝜃)𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃

ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์ (Divergence Theorem)

• ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์ มีประโยชน์ในการหาที่มาของสมการสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและสมการไฮโดรไดนามิกส์

ให้ 𝐷 เป็นบรเิวณปิดและถกูปิดลอ้มใน 3 มติิ ดว้ยขอบเขตเรยีบต่อเน่ืองเป็นช่วง 𝑆 ซึ่งมีทิศพุ่งออก ให ้𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 +𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 เป็นสนามเว็คเตอรซ์ึ่ง 𝑃, 𝑄, 𝑅 ต่อเน่ืองและอนพุนัธย์่อยของพวกมนัก็ต่อเน่ืองดว้ย ในบรเิวณท่ีเป็น 𝐷 ดงันัน้

ඵ

𝑆

𝐅. 𝐧 𝑑𝑆 = ම div 𝐅 𝑑𝑉

โดยที่ n คือเว็คเตอรห์นึ่งหน่วยที่ตัง้ฉากกบัพืน้ผิว 𝑆

ตัวอย่าง ก าหนดให ้D เป็นบรเิวณท่ีถกูปิดลอ้มดว้ยครึง่ทรงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 1 2 = 9, 1 ≤ 𝑧 ≤ 4 และ ระนาบ 𝑧 = 1 จงพิสจูนท์ฤษฎีไดเวอรเ์จนซถ์า้ 𝐅 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧 − 1 𝐤Triple Integral จากสตูรเรารูว้่า div F=3 ดงันัน้

ම

𝑫

div 𝐅 𝑑𝑉 = ම

𝑫

3𝑑𝑉 = 54𝜋

Surface Integral เราสามารถเขียนไดว้่า 𝑆= 𝑆1

+ 𝑆2โดย 𝑆1คือครึง่ทรงกลม และ 𝑆2คือระนาบ

𝑧 = 1 ถา้ 𝑆1คือ surface ของ g x, y, z = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 1 2 − 9 ดงันัน้ เวคเตอรห์น่วยท่ีพุ่งออกคือ

n =𝛻g

𝛻g=

2𝑥i + 2𝑦j + 2(z − 1)k

4𝑥2 + 4𝑦2 + 4(𝑧 − 1)2=

𝑥i + 𝑦j + (z − 1)k

3

𝐅 ∙ 𝐧 =𝑥2

3+

𝑦2

3+

(𝑧 − 1)2

3=

9

3= 3

เน่ืองจาก 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2+1 ดงันัน้ 𝑓𝑥 =−𝑥

9−𝑥2−𝑦2และ 𝑓𝑦 =

−𝑦

9−𝑥2−𝑦2

𝑆1𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑺 = 𝑅

3(3

9−𝑥2−𝑦2)𝑑𝐴 = 9 0

2𝜋0

3(9 − 𝑟2)−1/2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 54𝜋

ส าหรบั 𝑆2เวคเตอรห์น่วยที่พุ่งออกคือ n = −k ดงันัน้ 𝐅 ∙ 𝐧 = −𝑧 + 1 แต่เน่ืองจากที่ระนาบนีม้ีค่า 𝑧 = 1ดงันัน้ 𝐅 ∙ 𝐧 = −𝑧 + 1 = −1 + 1 = 0

ඵ

𝑆1

𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑺 = 54𝜋 + 0 = 54𝜋

ตัวอย่าง จงใชท้ฤษฎีไดเวอรเ์จนซ ์หาค่าฟลกัซท่ี์พุ่งออก 𝑆(𝐅 ∙ 𝐧) 𝑑𝑆 ของสนามเว็คเตอร ์𝐅 = 2𝑥𝑧𝐢 + 5𝑦2𝐣 −

𝑧2𝐤 เมื่อ D คือบรเิวณท่ีถกูปิดลอ้มดว้ยสมการ z = 𝑦, 𝑧 = 4 − 𝑦, 𝑧 = 2 −1

2𝑥2 𝑥 = 0 และ 𝑧 = 0

div 𝐅 = 2𝑧 + 10𝑦 − 2𝑧

ඵ

𝑆

(𝐅 ∙ 𝐧) 𝑑𝑆 = ම

𝑫

div 𝐅 𝑑𝑉

= න

0

2

න

0

2−12𝑥2

න

𝑧

4−𝑧

10𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = න

0

2

න

0

2−12𝑥2

5[(4 − 𝑧)2−𝑧2]𝑑𝑧 𝑑𝑥 = න

0

2

න

0

2−12𝑥2

(80 − 40𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑥

= න

0

2

80(2 −1

2𝑥2) − 20(2 −

1

2𝑥2)2 𝑑𝑥 = න

0

2

80 − 5𝑥4𝑑𝑥 = 80𝑥 − 𝑥5ȁ20

= 128

การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลชั้นเดียว(Change of Variables in single Integrals)

ถา้𝑓 𝑥 ต่อเน่ืองในช่วง 𝑎, 𝑏 , 𝑥 = 𝑔 𝑢 มีอนพุนัธท์ี่ตอ่เนื่อง แลว้ 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑢)𝑑𝑢 ดงันัน้

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න

𝑐

𝑑

𝑓 𝑔 𝑢 𝑔′(𝑢)𝑑𝑢

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න

𝑐

𝑑

𝑓 𝑔 𝑢 𝐽(𝑢)𝑑𝑢

𝐽 𝑢 =𝑑𝑥

𝑑𝑢

• บางครั้ง การเปลี่ยนตัวแปรของอินทิกรัลจ ากัดเขตเพื่อที่จะหาค่าของมัน มีความจ าเป็น (เพื่อท าอินทิแกรนด์ หรือบริเวณที่จะอินทิเกรทให้อยู่ในรูปแบบที่ง่าย)

การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลหลายชั้น(Change of Variables in Multiple Integrals)

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

=𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣−

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)= 1

ตัวอย่าง จงหาค่า 𝑅𝑥𝑦 𝑑𝐴 บรเิวณ 𝑅 ท่ีแสดงในรูป

න

1

413

1

2𝑦 −

1

𝑦2𝑦𝑑𝑦 + න

413

2513

1

2𝑦 −

𝑦

4𝑦𝑑𝑦 + න

2513

10013

1

2

25

𝑦2−

𝑦

4𝑦𝑑𝑦

න

1

413

න

1𝑦

𝑦

𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 + න

413

2513

න

𝑦4

𝑦

𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 + න

2513

10013

න

𝑦4

5𝑦

𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦

1

2න

1

413

𝑦2 −1

𝑦𝑑𝑦 +

1

2න

413

2513

𝑦2 −𝑦2

4𝑑𝑦 +

1

2න

2513

10013

25

𝑦−

𝑦2

4𝑑𝑦

1

2

𝑦3

3− ln 𝑦 4

13

1+

1

2

𝑦3

3−

𝑦3

1225

13

413

+1

225 ln 𝑦 −

𝑦3

12100

13

2513

=1

2

4

3−

1

3ln 4 −

1

3+

1

2

25

3−

25

12−

4

3+

4

12+

1

2

25

3ln 100 −

100

12−

25

3ln 25 +

25

12

=1

2−

1

6ln 4 +

21

8+

25

6ln 4 −

25

8= 4 ln 4

𝑦 = 2513

𝑦 = 413

𝑦 = 10013

𝑦 = 1

ตัวอย่าง จงหาค่า 𝑅𝑥𝑦 𝑑𝐴 เหนือบรเิวณ R ท่ีแสดงในรูป

𝑢 =𝑦

𝑥2 , 𝑣 = 𝑥𝑦 𝑢 = 1 ถึง 4 , 𝑣 = 1 ถึง 5

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

= −2𝑦

𝑥3

1

𝑥2

𝑦 𝑥= −

2𝑦

𝑥2 −𝑦

𝑥2 = −3𝑦

𝑥2

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)= −

𝑥2

3𝑦= −

1

3𝑢=

1

3𝑢

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

=𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣−

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)= 1

ඵ

𝑅

𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ඵ

𝑆

𝑣 −1

3𝑢𝑑𝑢𝑑𝑣 = න

1

5

න

1

4𝑣

3𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑣 = 4 ln 4

ตวัอย่าง สมมตุิวา่ 𝑅 คือระนาบท่ีถกูปิดลอ้มดว้ย ไฮเพอรโ์บลา 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 3 และ

𝑥2 − 𝑦2 = 1, 𝑥2 − 𝑦2 = 4 จงหาคา่ 𝑅𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑢 = 1 ถึง 3 , 𝑣 = 1 ถึง 4

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

=𝑦 𝑥

2𝑥 −2𝑦 = −2𝑦2 − 2𝑥2

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

1

𝜕(𝑢, 𝑣)𝜕(𝑥, 𝑦)

= −1

2𝑦2 + 2𝑥2 =−

12

𝑥2 + 𝑦2

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

=𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣−

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)= 1

ඵ

𝑅

𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ඵ

𝑆

𝑥2 + 𝑦2

12

𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑢𝑑𝑣 =1

2න

1

4

න

1

3

𝑑𝑢 𝑑𝑣 = 3

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของ 𝑅 ที่ถูกปิดล้อมด้วยไฮเพอร์โบลา 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 3 และ 𝑥𝑦1.4 = 1, 𝑥𝑦1.4 = 2

𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = 𝑥𝑦1.4 𝑢 = 1 ถึง 3 , 𝑣 = 1 ถึง 2

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

=𝑦 𝑥

𝑦1.4 1.4𝑥𝑦0.4 = 1.4𝑥𝑦1.4 − 𝑥𝑦1.4 = 0.4𝑥𝑦1.4

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

1

𝜕(𝑢, 𝑣)𝜕(𝑥, 𝑦)

=1

0.4𝑥𝑦1.4 =2.5

𝑣

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)=

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

=𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣−

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)= 1

ඵ

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ඵ

𝑆

2.5

𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 = 2.5 න

1

3

න

1

21

𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 5 ln 2

การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลหลายชั้น(Change of Variables in Multiple Integrals)

ก าหนดให ้x = 2sinන

0

2

4 − x2 dx =?

= න

0

/2

2cos 2cos d = 4 න

0

/2

cos2 θ d = 4 න

0

/21 + cos 2θ

2d = 2 න

0

/2

1 + cos 2θ d =

จงหา image of region S ในรูป (a) ภายใตก้ารแปลง (transformation) 𝑥 = 𝑢2 + 𝑣2, 𝑦 = 𝑢2 − 𝑣2

𝑆1 → 𝑣 = 0, ดงันัน้ 𝑥 = 𝑢2, 𝑦 = 𝑢2 , 𝑦 = 𝑥, 1 ≤ 𝑢 ≤ 2 ดงันัน้ 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 4

𝑆2 → 𝑢2 + 𝑣2 = 4, ดงันัน้ จาก 2,0 ถึง5

2,

3

2,𝑦 = 𝑢2 − 𝑣2, 𝑦 = 22 − 02

= 4 ถึง5

2

2

−3

2

2

= 1, 4,4 ถึง (4,1)

𝑆3 → 𝑢2 − 𝑣2 = 1, ดงันัน้จาก5

2,

3

2ถึง 1,0 , 𝑥 = 𝑢2 + 𝑣2, 𝑥 = 4 ถึง 𝑥 = 1, 𝑦 = 1

อนพุนัธ์ของ f เทียบกบั x ถา้ x


1. ด้านขวาของสมการ ทฤษฎขีองสโตกส์

ර

𝐶


𝐶

𝐅 ∙ 𝐓 𝑑𝑆 = ඵ

𝑆

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆

𝐅 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤

และสมการของพืน้ผิว S คือ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 หรอื 𝑧 − 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

𝛻 × F =𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧i +

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥j +

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦k

สมมตุิให ้g 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 − 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

n =𝛻g

𝛻g=

−𝜕𝑓𝜕𝑥

i −𝜕𝑓𝜕𝑦

j + 1k

1 +𝜕𝑓𝜕𝑥

2

+𝜕𝑓𝜕𝑦

2

ඵ

𝑆

𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆 = ඵ

𝑅

−𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴


2. ด้านซ้ายของสมการ ทฤษฎขีองสโตกส์

𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

ර

𝐶


𝐶

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = න

𝑎

𝑏

𝑃𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑄

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑅

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑑𝑡 ← กฏลูกโซ่

= ර

𝐶𝑥𝑦−𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒

𝑃 + 𝑅𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝑄 + 𝑅

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦

= ඵ

𝑅

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥−

𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦𝑑𝐴 ← ทฤษฎีบทของกรีน

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥=

𝜕 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥

=𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑥+

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥

=𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑥+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥


𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦= −

𝜕 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦

= −𝜕𝑃

𝜕𝑦−

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦− 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥−

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑅

𝜕𝑦+

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= −𝜕𝑃

𝜕𝑦−

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦− 𝑅

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥−

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑅

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= ඵ

𝑅

𝜕 𝑄 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑦

𝜕𝑥−

𝜕 𝑃 + 𝑅𝜕𝑓𝜕𝑥

𝜕𝑦𝑑𝐴

= ඵ

𝑅

−𝜕𝑅

𝜕𝑦−

𝜕𝑄

𝜕𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑧−

𝜕𝑅

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦

HomeWork1

න

−1

1

න

− 1−𝑦2

1−𝑦2

1 − 𝑥2 − 𝑦2 + 5 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න

0

2𝜋

න

0

1

1 − 𝑟2 + 5 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

= න

0

2𝜋

(5𝑟2

2−

2

3

(1 − 𝑟2)1.5

2)

1

0𝑑𝜃 = න

0

2𝜋17

6𝑑𝜃 =

17𝜋

3

5

z

x y

𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 5)2= 1

𝑥2 + 𝑦2 = 1

chapter 9 · outline 9.0 partial derivatives (อนุพันธ์ย่อย) 9.1 curl and...

Documents