chapitre 1 equations des ondes en bidimensionnelle ......zorkani mohammed département...

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique

E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

1

Chapitre 1Equations des ondes en bidimensionnelle

Caractéristiques des Houles1) Introduction : Il existe dans la nature plusieurs types d’onde marine : les ondes duesau vent, ondes (vagues) engendrées par un navire, tsunamis [ondesengendrées par un tremblement de terre :secousse tellurique] et lamarée que le génie maritime doit connaître.

Non de l’onde Intervalle de période (sec)• Capillarité• Ultragravité♦ Gravité• Infragravité• Période longue• Transtidal

de 0 à 0,1de 0,1 à 1de 1 à 30de 30 à 300de 300 à 86400de 86400 à ∞

Le spectre des ondes dues au vent s’étendent jusqu’à 30s. Au – delà,les infra – vagues sont dues à des interactions non linéaires entrevagues de vent de périodes beaucoup plus courtes. Des seiches dues àdes variations de la pression atmosphérique qui provoquent desoscillations stationnaires libres de période allant de 30s à 5 mn [le lac deGenève a des seiche de 63mn (uninodale) et 36mn (binodale)&d’Amplitude ~50cm].Les ondes marines sont donc complexes car dans un train d’onde lespectre possède des composantes de différent déphasage dont lespériodes et les amplitudes obéissent á une loi de distribution aléatoire,on recourt pour dépasser cette difficulté aux approches statistiquesdepuis 1945. Dans ce chapitre on va développer une théoriemonochromatique : période constante et amplitude uniforme enprofondeur constante. On rencontre dans la littérature plusieurs

2S2Mre

vi

na

relativeénergie

1,0 1 10 210 310 410 510 secenT

soleiletlunemarée

s30 mn5 h12 h24

scapillaire

ondes

mn50

tsunamis

MunkselonondesdesénerétiqueSpéctre

e

l

u

o

h ngravitatioséismiqueactivité

beat

surf

seiches,ressac,surfacedebattement

vents

tempêtes

estranstidal

vagues

Vent

tempête



2

théories, la plus simple et la plus utilisée est celle á faible amplitude[théorie linéaire des ondes] proposée par Airy en 1845 [Théorie d’Airy]. 2) Théorie linéaire des ondes : faible amplitude (infinitésimales)La théorie bidimensionnelle des ondes de gravité périodiques a faibleamplitude libre [pas en engendrement par le vent] est basé sur lalinéarisation des conditions limites á la surface libre et sur le fond ; onadmet que l’écoulement est irrotationnel : l’écoulement est donc ápotentielle de vitesse. Les hypothèses sont :

• Fluide homogène, incompressible• L’effet de la tension superficielle négligeable [longueur d’onde

grande devant 3cm].Coriolis négligeable: 1fT −⟨⟨ ( )tu

u2∂

∂⟨⟨∧Ω

rrv

• Ecoulement irrotationnel : pas de contraintes qui s’exercent surla surface libre (pas de vent ) : on dit onde libre et pas defrottement sur le fond (fluide parfait) : le fluide glisse librementsur le fond et toutes autres surfaces solides.

Il existe alors un potentiel de vitesse : ( )t,z,xgradv Φ=→r

selon l’équation

de continuité ( 0vdiv =r

) ce potentiel vérifie : 0zx 2

2

2

2=

∂Φ∂

+∂Φ∂ (1 – 1)

• Le fond est horizontal fixe(pas de transport de sédiment), imperméable.• La pression atmosphérique qui s’exerce sur la surface libre est

constante donc pas de vent : la surface se déforme librement.• L’amplitude de l’onde est petite vis á vis de la longueur d’onde

et de la profondeur d’eau. Puisque les vitesses des particulesfluides sont proportionnelles á l’amplitude alors que la célérité(vitesse de phase) de l’onde varie avec la profondeur ; cettecondition se traduit par les particules fluides ont une vitessefaible comparées á la célérité. Ce qui signifie que cette théorien’est applicable que dans les eaux suffisamment profondes oùon a cu ⟨⟨ car vers les eaux peu profondes on a c~u estl’onde déferle [breaking wave].

La position d’une particule fluide dans le plan du mouvement est repéréesur son orbite par :

zd)z(d +=−−

z

gr

xH

( )t,xη

h

hz −=

L

c

ξ

ε



3

orbite'ldecentreauntrelativemeentverticalem:ementhorizontal:

⎩⎨⎧εξ

Par définition la célérité est de l’onde donnée par :

kTLc ω== (1 – 2) où

⎩⎨⎧

)m(onde'dlongueurla:L)s(périodela:T

Supposons que le profil en surface est donné par :

( ) ( )txkcos2H

Tt

Lx2cos

2Ht,x ω−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −π=η où

T2&

L2k π

=ωπ

= (1 – 3)

Au fond pas de vitesse normale [fond étant par hypothèse imperméable] :

0vzn

vhzhorizontalfondau

n ==∂Φ∂

=∂Φ∂

=−=

(1 – 4)

Le théorème de Bernoulli – Lagrange pour un écoulement non

permanent et irrotationnel est : ( ) 0t

pzgvu21 22 =

∂Φ∂

+ρ

+++ (1 – 5)

On linéarise cette condition dynamique á la surface libre η=z où on ate

a Cpp == et en négligeant les termes en vitesse car ils sont du secondordre [quadratiques] ; et comme la pression atmosphérique constante

est prise comme origine des pressions alors η=∂

Φ∂−=η

ztg1 (1 – 6)

cette équation est applicable á la surface libre et comme η est faible par

la procédure de linéarisation on peut écrire : 0ztg

1

=∂Φ∂

−=η (1 – 6/)

• si la pression en surface n’est pas constante on a( ) 0zpour0ett,y,xpg zt

at =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=Φ−ηρ

−=Φ+η

Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphérique varieharmoniquement dans le temps dans une eau à profondeur constante :oscillations forcées par l’atmosphère

On a à résoudre

( ) ( )( ) 0zent,y,xp

g1

tsinxpt,xp

LCavec0

zt

at

a

2 =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Φ=ηρ

−Φ−=η

ω=

⋅⋅=Φ∇

Cherchons des solutions de la forme: ( ) ( ) tsinz,xtcosz,x ωψ+ωϕ=Φ

Ainsi si ( ) ( ) xsinke

gpz,xx:xsinpxp

z0alors

0 ΛΛ−ρ

ω=ϕ⎯⎯ →⎯⟨+∞−∞⟨Λ=

Λ



4

La solution générale est donc donnée par :

tsinkxsinkxcos

Aetcoskxsinkxcos

Aexsinke

gp kzkz

z0 ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ΛΛ−ρ

ω=Φ

Λ

On constate qu’il peut y avoir résonance (amplification).On signale que si on a pris pour la pression atmosphérique une ondeprogressive : ( ) ( )xtsinpt,xp 0a Λ−ω⋅= alors

( ) ( )xtcoske

gpt,z,x

z0 Λ−ω

Λ−ρω

=ΦΛ

à laquelle on peut ajouter n’importe quelle solution pour une pressionnulle en surface. On a résonance si Λ≈k c’est – à – dire s’il existe dansle spectre atmosphérique un mode proche ce celui propagatif dans l’eau.Data : Note sur la technique mathématique des perturbations Cette méthode est basée sur le développement en série de Taylorautour d’une position de référence 0η en plus de l’introduction d’unparamètre de petitesse disons ε ; pour cela on utilise :

( ) ( ) L+∂Φ∂

⋅η

+∂Φ∂

⋅η+Φ=ηΦ== 0z

2

22

0z z2zt,0y,x,t,y,x,

( )

( )

( ) LL

L

L

+∂∂Φ∂

+ηε+εη+

∂∂Φ∂

+ηε+εη+∂Φ∂

=

+∂∂Φ∂

η−η+∂Φ∂

=∂Φ∂

η=

η=η=

η=η=η=

0

00

00

z2

3

22

1

z

2

22

1z

z

2

0zz

zx21

zxx

zxxx

De même pour les dérivées en y, z, et t :( )

00 ztz22

1ztzt η=η=η= φ⋅+ηε+εη+φ=φ L

On pose :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+ε+ε+ε+=

+ε+ε+ε+=

+ηε+ηε+εη+η=η

+Φε+Φε+Φε=Φ

L

L

L

L

332210

332210

332210

33221

ppppp

ccccc D.L. en série

Prenons par exemple la condition (1 – 5) ( ) 0t

pzgvu21 22 =

∂Φ∂

+ρ

+++ à

la surface libre 0pp:z a ≡=η= on a Bernoulli :



5

0xz2

1t

g2

z

2

zz=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+ηη=η=η=

Ainsi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ⇒++Φε+Φε+ηε+εη++Φε+Φε+

+Φε+Φε+ηε+εη+

+Φε+Φε+ηε+εη+

+Φε+Φε++ηε+εη+η=

LLLL

LL

LL

LL

22xz

21xz

2212x

21x

2tzz

21tzz

2221

2tz

21tz

221

2t

21t

2210

2121

g0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇒=ε+Φε+Φε+Φε+

Φηε+Φε+Φε++ηε+εη+η

0O21

21

21

g

321z

221y

221x

2

1tz

122t

21t

2210 L

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

rordredeuxiéme

deConditionordrepremier

zéroordre

021g

Poisson0t,0,xt,xg

0

211tz

12t

2

1t

1

0

↔=Φ∇+Φη+Φ+η

↔=Φ+η

↔=η

de même pour les autre expressions. On donnera plus bas les résultatsdes calculs au 2iémordre, 3iémordre …Cependant la fonction potentielle sera cyclique en fonction de la positionhorizontale x et du temps t et comme η est la dérivée temporelle dupotentiel alors la technique de séparation des variables impose que :

( ) ( )txksinzZ ω−⋅=Φ (1 – 7)

en la reportant dans (1 – 1) on obtient ⇒=− 0ZkzdZd 22

2

( ) zkzk BeAezZ −+= alors ( ) [ ] ( )txksinBeAet,z,x zkzk ω−+=Φ −

vérifie l’équation de Laplace. Pour déterminer les 2 constantesd’intégration A et B il faut satisfaire les conditions limites(1– 4) et (1– 6/) :

[ ] ( ) ⇒=ω−⋅−=∂Φ∂

= −

−=

0txksinBeAekz

v hkhk

hz

hk2BeA =

Alors ( ) ( ) ( ) ( )⇒ω−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=Φ +−

++ txksineeBet,z,x zhkzhkkh

( ) ( ) ( )txksinhzkchBe2t,z,x kh ω−+=Φ (1 – 8)

La condition (1 – 6/) implique que ( )⇒ω−≡∂Φ∂

−≈η=

txkcos2H

tg1

0z



6

chkh2HgeB2 kh

ω= Finalement on obtient pour une onde progressive :

( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hgt,z,x ω−⋅

+⋅

ω=Φ si ( )txkcos

2H

ω−≡η (1 – 9)

La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre

est donnée par x

uttD

Dv∂η∂

+∂η∂

=η

= qui en théorie linéaire s’écrit :

tv

∂η∂

= or 0ztg

1

=∂Φ∂

−=η alors0z

2

2

tg1v

=∂Φ∂

−= et comme z

v∂Φ∂

=

d’où 0zen0z

gt2

2==

∂Φ∂

+∂Φ∂ . En y reportant notre solution (1 – 9 )

on obtient la relation de dispersion : ( )khthkg2 ⋅=ω avec kT

Lc ω==

alors L

h2th2

Lgc π⋅

π= ou ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅π

=L

h2th2

Tgc ou ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅π

=L

h2th2TgL

2

Comme en général d’onde se propage des eaux profondes vers les eauxpeu profondes sa longueur d’onde et sa célérité diminuent. Son profilesurfacique change, le profil de pression sur une verticale et le champ devitesses changent également : Mais la période de l’onde reste constante.♦Classification des ondes de gravité en fonction de la profondeur relative :

♦ Si la profondeur relative est plus grande que 0,5 alors 1L

h2th ≅

π

ainsi : π

=π

=π

=2

TgLet

2Tg

2Lg

c2

00

0 , Les orbites des particules sont

circulaires dont le diamètre exponentiellement décroissant vers le

fond et sont proches de 0 pour 5,0Lz⟩−

1

5,0L/h

)L/h2(th π

15,005,0

shallow deepaltransition

n

L/h2π



7

[si par exemple T = 10s et une amplitude de 2m alors c=15,6 m/s etL = 156 m et les particules en surface ont une vitesse

s/m63,0T/Hpériode/ntiellecirconféreorbite =π= : on a alors

%4LH

3LH

T/LT/H

cu

0

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≈π

=π

= selon la théorie de Stokes on a une

limite %1471

LH max

0

≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ donc pas de déferlement ].

♦ Si la profondeur relative est inférieure á 0,05 alors L

h2L

h2th π≅

π

ainsi TghLet2

Tgghc ⋅=π

== c’est la condition eau peu

profonde [shallow water] (exemple l’onde de marée) se sont desondes de translation [c – á – d qui affectent uniformément la section: onde longue] et c’est également le cas de la houle proche de lacote [ pour T = 10s et H =2m on a L=44,3m et alors h/L<0,05 etvitesse ~ 4,4m/s ] mais dans cette limite la théorie linéaire cessed’être valable et il faut faire appel á une théorie plus exigeante surles hypothèses par exemple ne plus négliger l’accélération verticaleThéorie de Boussinesq ou de Serre.

♦ Pour 05,0Lh

5,0 ⟩⟩ on a des conditions de transition : c et L

décroissent quand h diminue c’est – á – dire vers le rivage car :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

==L

h2th

LL

cc

00

Remarque : On peut écrire la relation de dispersion sous la forme

0Lh

Lh2th

Lh

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π qui facilite la résolution numérique pour : ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0Lhf

Lh

Méthode de résolution : c’est une méthode itérative

L2,1,0i

3LL2

L

Lh2

thLLitération

Lh2

thLLi21i2

2i2

i201i2

0 =↔+

=

π=

π=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎯⎯⎯⎯ →⎯⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+

Voici une classification des ondes (Swell) en période :Désignation de l’onde Intervalle de période (sec)

CapillaritéUltragravité

GravitéInfragravité

Long périodeTranstidales

0 – 0,10,1 – 11 – 30

30 – 300 ~5mn300 – 8,64 104 ~24h

T > 8,,64 104



8

Rappel : Développement limité de Taylor – Young

( ) ( ) ]( )

( )⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤+++++

++⎢⎣

⎡+++++=++

−−

−−

pppy

ppqyqpx

qpqp

py1px

1p1p

ppx

p

//yy

2//xy

//xx

2/y

/x

Rb,afk...fkhC...fkhCfh!p

1

...b,afkfkh2fh!2

1fkfh!1

1b,afkb,haf

où ( )

( )( ) 10aveckb,haf

yk

xh

!1p1R

1p

p ⟨θ⟨θ+θ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+=

+

ainsi à l’ordre 3 on a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 10aveckb,hafy

kx

h!3

1

b,afy

kx

h!2

1b,afy

kx

h!1

1b,afkb,haf

3

21

⟨θ⟨θ+θ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+=++

Remarque : effet de la tension superficielle [ et les rides ]On a établit que dans tout le fluide en linéaire que :

0t

gzp=

∂Φ∂

++ρ

η∇σ≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+σ=∆=− 2

21extint R

1R1ppp Loi de Laplace

Or en η=z on a selon la loi de Laplace : 2

2

aa xp

Rpp

∂η∂

⋅σ−=σ

−= . Le

signe moins signifie que si 2

2

x∂η∂ est positif c’est – á – dire la surface libre

est á concavité vers le haut on a une réduction de pression.Alors si on prend : 0tetanconspa =≡ on peut écrire en théorie linéaire

⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+η+∂η∂

⋅ρσ

−ρ η=

0t

gx

p

z2

2a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂η∂

⋅ρσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−=η=

2

2

0z xgtg1

La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre

est donnée par x

uttD

Dv∂η∂

+∂η∂

=η

= qui en théorie linéaire s’écrit :

tv

∂η∂

= alors ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂η∂

⋅ρσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Φ∂

−== txgtg

1v 2

3

0z2

2 et comme

zv

∂Φ∂

=

2

2

x~

R1

∂

η∂

+−

+−

2

2

x∂

η∂

x



9

alors 0zen0xzz

gt 2

3

2

2==

∂∂Φ∂

ρσ

−∂Φ∂

+∂Φ∂

reportons notre solution :

( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hgt,z,x ω−⋅

+⋅

ω=Φ pour ( )txkcos

2H

ω−≡η

On obtient la relation de dispersion avec l’effet de la tension surfacique :

( )khthkkg3

2 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ⋅σ

+⋅=ω la vitesse de phase est donnée parkT

Lc ω==

Cette relation de dispersion contient 2 termes, représentant les 2 sortesde force de rappel agissantes sur le déplacement η de la surface libre.Le premier dépend de g mais pas de σ qui représente la tendance del’eau en crête á revenir á l’équilibre sous l’effet de la pesanteur (repos) ;le deuxième terme représente l’effet de la tension qui tend á aplatir cettesurface et ainsi á réduire sa courbure. La tension surfacique ne prend del’importance et a un effet significatif que pour les courtes longueursd’onde nommées les rides. En effet les 2 termes sont du même ordre de

grandeur quand : ⇒ρ⋅σ

≈⋅3kkg ⇒

σ⋅ρ

≈gk2

g2L

ρσ

π≈

Cette valeur critique de la longueur d’onde est de 17mm pour l’eau á

200C [ ]33 m/Kg10,m/N073,0 =ρ=σ .On peut maintenant classer les ondes :• Les rides : les ondes plus courtes que la valeur critique rendent la

surface plus courbe et la tension superficielle est alors dominante :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=ρσ

∂ω∂

=

ρσπ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ⋅σω

=⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ⋅σ

ω

c23k

23

kc

L2k

kck

#

##

g

21

21

3

On constate que ccg ⟩ les rides (les très courtes longueurs d’onde)apparaissent se propager individuellement vers l’arrière relativementau paquet d’onde.

• Les ondes de gravité en eau profonde :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂ω∂

=

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω

=⇒ω

c21

kg

21

kc

2Lg

kg

kc

gk

##

##

g

21



10

• Les ondes de gravité en eau peu profonde :

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω⇒⟨⟨ 2222 kh

311khg1kh #

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α≡β

≡αβ−α≈ω

23

h61

hg:kk

N.B. : les calculs précédents résultent du D. L. de la tangentehyperbolique selon le cas :

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=⎯⎯ →⎯π

⟨

≈⎯⎯ →⎯⟩⟩

L53alors

alors

kh152kh

31khthkh

2khsi

1thkh1khsi

♣ Cinématique de l’onde et les pressions : sans tension superficielleOn établit que le potentiel de vitesse (en linéaire), pour une onde

progressive dont le profil de la surface libre est ( )txkcos2H

ω−≡η , est

donné par : ( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hg

t,z,x ω−⋅+

⋅ω

=Φ on déduit alors le

champ de vitesse en théorie linéaire :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

∂Φ∂

=

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

∂Φ∂

=

txksinkhsh

hzkshTH

yt,z,xv

txkcoskhsh

hzkchTH

xt,z,xu

On observe que la vitesse résulte de 3 termes :

• Une vitesse surfacique des particules fluides THπ <<qui existe

en eau profonde>>. Proche du fond hz −= la vitesse maximaleen théorie linéaire hors de la couche limite est donnée par

khshTHu0 ⋅

π= alors que l’excursion maximale des particules

fluides proche du fond est donnée par khsh2

H2HA

⋅== δ

δ .

• Un terme hyperbolique définissant la décroissance de lavitesse en fonction de la profondeur relative.

• Un terme de phase en fonction de la position x et du temps t.Calculons maintenant les accélérations en théorie linéaire :

( ) ( )txksinkhsh

hzkchT

H2tu

yuv

xuu

tua 2

2

x ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

∂∂

≅∂∂

+∂∂

+∂∂

=

( ) ( )txkcoskhsh

hzkshT

H2tv

yvv

xvu

tva 2

2

y ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−=

∂∂

≅∂∂

+∂∂

+∂∂

=



11

N. B. : On observe qu’entre l’accélération et la vitesse existe undéphasage : ( ) ( ) 0

yx 90v,u/a,a = . Le mouvement des particules fluidesautour de leur position au repos, c’est position moyenne, se calcule par :

( ) ( )

( ) ( )⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−=

∂ε∂

≅ε

=

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

∂ξ∂

≅ξ

=

txkcoskhsh

hzkshT

H2ttD

Dv

txksinkhsh

hzkchT

H2ttD

Du

2

2

2

2

( ) ( )

( ) ( )txkcoskhsh

hzksh2Hvdt

txksinkhsh

hzkch2Hudt

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∫=ε

ω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=∫=ξ

L’orbite des particules fluides est donnée par : 1ba 2

2

2

2=

ε+

ξ

où on a posé : ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

khshhzksh

2Hbet

khshhzkch

2Ha

Ce sont donc des ellipses. On constate que 2H est le rayon des orbites

des particules en surface en eau profonde. Quand l’onde des eauxprofondes vers les eaux peu profondes [en passant par les eauxintermédiaires] les orbites subissent les transformations suivantes :

Eau profonde : ( ) ( )↑↓≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + zquandekhsh

hzkshkhsh

hzkch kz

Eau peu profonde : ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +hz1

khshhzkshet

kh1

khshhzkch

Calculons les vitesses en eau peu profonde :

( ) ( ) ( ) ( )txksinhz1

THt,z,xv&txkcos

hg

2Ht,z,xu ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=ω−=

On peut également déterminer les déplacements comme avant.

profondeurfaibleeau

H5,0

M

•

• 2L

profondeeau

kze≅



12

Reportons notre solution Φ dans le théorème de Bernoulli – Lagrangeon obtient alors le profil de pression :

( ) ( )tkxcoskhch

zhkch2gHgzp ω−

+ρ+ρ−=

pression statique pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)

Surpressions et sous – pressions sont donc

khch2gH

fondlesurpet2H

gsurfaceenp hz

2

Hz

ρ±==ρ±== −=

±=

4 ) Energie de l’onde et Puissance : L’énergie cinétique par unité de largueur et pour une longueur d’onde est

( )∫ ∫ ⇒+ρ= −L0

0h

22c vudxdz

21E

16LgHE

2

cρ

=

Si nous retranchons l’énergie potentielle d’une masse au repos del’énergie potentielle totale du volume ondulé (c – à – d avec surfacedéformée) voir figure on obtient l’énergie potentielle due seulement àl’onde en propagation ; ainsi l’énergie potentielle par unité de largueur et

pour une longueur d’onde est : ( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ η+

∫ η+ρ=2hgLdx

2hhgE L

0p

.L.W.S

gzρ−

( )chkh2

zhgHchk +ρ

dx

u

vdz

η

h

L

z x

16LgHE

2

pρ

=



13

On constate équipartition d’énergie : c

2

p E16

LgHE =ρ

= . L’énergie totale

est donc : ( )eurarglde mètre/Jouleunité2

pc 8LHgEEE ⎯⎯ →←

ρ=+=

Prenons, par exemple, une onde qui se propage à travers d’unestructure poreuse et supposons que la profondeur est la même des 2cotés de l’ouvrage alors on aura la même longueur d’onde de chaque

coté car ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

Lh2th

2gTL

2; par conséquent on aura une réduction en

amplitude car la structure induit la réflexion d’une partie de l’énergieincidente et une autre partie dissipée dans l’ouvrage poreux : d’après leprincipe de conservation d’énergie on a :

dissipée

2T

2R

2E

8LHg

8LHg

8LHgE +

ρ+

ρ=

ρ= Ι

8

LHg8

LHg8

LHgE2T

2R

2

dissipéeρ

−ρ

−ρ

= Ι

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

ρ=

ΙΙ

Ι2

2T

2

2R

2

dissipée HH

HH1

8LHgE

or par définition les coefficients de réflexion et de transmission (dont lecarré sont les facteurs associés) sont respectivement :

∗

ΙΙΙ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

HH

HH

HHR RRR et

∗

ΙΙΙ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

HH

HH

HHT TTT

alors [ ]22dissipée TR1EE −−= où

8LHgE

2Ιρ

=

On définit le coefficient d’absorption par : 22 TR1A −−= de sorte

que 2dissipée AEE = il en résulte l’égalité : 1ATR 222 =++

Une réduction de ~50% de l’énergie correspond á une réduction del’amplitude de ~71% car 2HE ∝ . On peut facilement atteindre le



14

coefficient de réflexion R et de transmission T expérimentalement et onen déduit par conséquent le coefficient d’absorption A de l’ouvrage .L’énergie étant variable d’un point á un autre sur une longueur d’onde onparle alors de l’énergie moyenne par unité de surface :

( )ehorizontalsurface/Joule8Hg

LEE

LEE unité

2pc ⎯⎯⎯ →←

ρ=

+==

qui représente la densité d’énergie ou l’énergie spécifique.N.B. : réflexion d’onde par un absorbeur d’onde vertical

Par Madsen [J. WaterWays3(74) et Coastal Engineering7(83) ]

L’équation qui gouverne l’écoulement hors de la structure poreuse est :

0kgh

2xx

2

xx =ξ+ξ=ξω

+ξ et ( )hgigt,xU x ⋅ξ=ξ

ω= m

Les équations qui gouvernent l’écoulement dans l’absorbeur sont :

( ) mouvementdequantitéladeonconservati

masseladeonconservati

0UUgUn1

0hUn

xt

xt

↔=β+α+ξ+•

↔=+ξ•

où α et β tiennent compte respectivement de la perte par frottement enrégime laminaire et turbulent et n la porosité de la structure. On pose :

( ) Un

fUU ω⋅≈⋅β+α linéarisation du frottement (approximation)

On cherche des solutions périodiques de fréquence ω de la forme :

( )[ ]tiexRe ωη=ξ et ( )[ ]tiexvReU ω=

En les reportant dans les équations du mouvement et en éliminant U on

obtient : ( ) 0if1gh

2

xx =η−ω

+η et xif1gnv η+ω

−=

La solution générale, donnée par Madsen et White (1976) pour unécoulement dans une structure poreuse, est :

h

tara

x w

ia

gravats

demonticule



15

( )

( ) wx0:ehgeaeaReU

wx0:eeaeaRe

tixixi

tixixi

21

21

≤≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ε⋅−=

≤≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=ξ

ωκκ−

ωκκ−

où

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ω

=κ

−=ε

if1gh

if1n

A l’extérieur de la structure poreuse SWW équations donnent :( ) ( )

( ) ( ) 0x:eaeahgReU

0x:eaeaRe

kxtikxti

kxtikxti

ri

ri

≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ξ

+ω−ω

+ω−ω

où gh

k ω=

ri a&a sont les amplitudes de l’onde incidente et l’onde réfléchie.Nos inconnues sont les amplitudes complexes r21 a&a,a . Elles peuventêtre déterminées par application des conditions aux limites : au niveaude la face frontale de l’absorbeur et sur le mur vertical en arrière.L’amplitude 2a peut être éliminée en utilisant le faite que la vitesse est

nulle au mur ( )wx = alors : xi2eaa 12κ−=

Les amplitudes r1 a&a sont déterminées en admettant la continuité de lapression (donc de l’élévation de la surface libre) et la continuité de lamasse ( donc de la vitesse) à la face frontale de l’absorbeur ( )0x = on

obtient ainsi : ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ikw2

ikw2

ikw2

ikw2

e11e11

aa

e1aaa

e1aaa

i

r

tri

rri−

−

−

−

ε++ε+

ε++ε−=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−ε=−

+=+

Le coefficient de réflexion est donné par : ( )kw,n,fRaaR

i

r ==

Pour un absorbeur long on a : ε+ε−

=∞→ 1

1aaLimite

i

rkw

et pas d’oscillation de R.

R

kw1 2 3

5,0

1

6

5,0~n

95,0~n

10~f



16

On note que l’absorbeur amortie fortement les ondes tel que kw estgrand c – à – d les courtes longueurs d’onde. Un absorbeur de forteperméabilité n amortie mieux les ondes : faible réflexion. Notons quepour un court absorbeur la réflexion est presque totale.La vitesse d’écoulement dans l’absorbeur est obtenue en déterminant tapar le système et en reportant dans la solution générale ; soit :

( )

( ) ( )wx0:e

e11

ee2Re

hgaU ti

xi2

w2xixi

i ≤≤

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ε−+ε+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅ε

⋅⋅= ωκ−

−κ−κ−

La détermination des coefficients de frottement peut se faire par les

formules empiriques d’Engelund : ( )22

3

0 dnn1 ν−

α=α & ( )dn

n130

ν−β=β

où d la taille des grains, ν la viscosité cinématique et 00 &βα sont desconstantes qui tiennent de la forme des particules 8,2~&1000~ 00 βαet qui augmentent avec l’irrégularité des particules :

plusou6,38,1~&plusou1500780~ 00 −β−α♦ La puissance de l’onde est l’énergie de l’onde par unité de temps sepropageant dans la direction de l’onde. Cette puissance peut s’écrirecomme le produit de la force agissante sur un plan vertical normal á ladirection de propagation par la vitesse des particules fluides traversant

ce plan. On a donc : ( ) udtdzgzpT1P T

0

0

h⋅∫ ∫ ρ+=

−selon Bernoulli–Lagrange

( ) ( )dxdydzpdxdydzgz21E

Dt

D

2z

2y

2x ∫∫∫ Φρ+−=∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +Φ+Φ+Φ≡

d’où on a le flux d’énergie c’est – à – dire la puissance or ‘’ Dbouge appliquons le théorème de transport de Reynolds ’’ :

( )( )

( )

( )( )

( ) ⇒∫∫ Φρ+−∫∫ ΦΦρ=

⋅∫∫ Φρ+−∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΦΦρ=

⋅∫∫ Φρ+−∫∫∫ ΦΦ+ΦΦ+ΦΦρ==

→•

→

dsvp

dsvpdxdydzgradgrad

dsvpdxdydzDtDEP

ntnt

nttD

t

nttD

ztzytyxtx

( )[ ]dspvvFDtDEP

Snnnt∫∫ −−ΦΦρ===

On signale qu’on a utilisé la formule de Green pour effectuer le calcul

( ) ( ) 0dsnd 2

t

nouspour

S

2 avec ≡Φ∇⎩⎨⎧

Φ⇒ΦΦ→Ψ

⎯⎯⎯⎯ →←∫ ∫ Ψ∇Φ=τΨ∇Φ∇+Ψ∇Φ ••rrrr



17

Appliquons cela à notre cas: 0vn = (la surface géométrique S est fixe)

alors ( ) ( )⎩⎨⎧

==Φ

→∫∫ ρ+−=ΦρΦΦρ==dxdzdS

t,z,xugzp,dS

dtdEP n

tnt

Notons que la force mise en jeu est celle dynamique ]gzp[ ρ+ ; en

effectuant le calcul alors : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=

hk2shhk21

21

TE

hk2shhk21

T16LgHP

2

Posons : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hk2shhk21

21n on a alors

TEnP =

avec ( )eurarglde mètre/Joule8

LHgEEE2

pcρ

=+=

Quand une onde se propage des eaux profondes [du large] vers leseaux peu profondes [la côte] : l’énergie par unité de temps (la puissance)en un point le long de son chemin de propagation doit être égale á celle

en un autre point plus loin augmentée de l’énergie réfléchie et de celledissipée par unité de temps entre ces 2 points. Si on néglige la réflexionet la dissipation on peut alors écrire : tetanConsP = ; donc quand l’ondese propage du large vers la cote son énergie E décroît inversementproportionnel á n car la période T reste constante.Maintenant construisons les orthogonales aux lignes de crête, lapuissance contenue entre 2 orthogonales consécutives doit êtreconstante si on néglige bien entendu la dissipation et la réflexion, ondésignera par B leur espacement : T (la période) est constanteOn définit ainsi les coefficients suivant :

breaking

B

plage

1

2

11

22

2

1

te

21

BB

LnLn

HH

: obtient on E reportant y en oùd'

CTEnB

TEnB

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1

2

earglLe

ecotte

21C

TEn

TEnP =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=



18

( )[ ]

1

2R

11

22S

BBK

LnLnK

refractiondetcoefficien

gonflementprofondeurShoalingdetcoefficien

==

==

: RS2

1 KKHH

⋅=

Si pas de réfraction alors 1KR = c’est le cas où les lignes de crêtes sontparallèles aux linges bathymetriques d’égale profondeur.Si on veut tenir compte des pertes par : infiltration, frottement oudéferlement il faut écrire : FRS

121 KKKHH ⋅⋅=⋅ − .

♦Vitesse de groupe :

Quand les ondes du train d’onde se propagent le long d’un canal á houleles ondes au devant du groupe diminuent en amplitude et de nouveauxondes apparaissent en arrière, de ce fait le nombre d’onde augmente. Ce qui signifie que le groupe se propage plus lentement que lescomposantes individuelles du paquet.L’explication de ce phénomène se trouve dans la façon dont une ondese propage et que seulement une fraction (n) de son énergie qui setransport avec. Chaque onde laisse de l’énergie derrière elle,relativement au groupe, une nouvelle onde apparaît chaque T secondeset gagne progressivement de l’énergie dans le temps. Comme l’énergiedans le groupe doit rester constante [en négligeant la réflexion et ladissipation] l’amplitude moyenne du groupe (enveloppe) doit continuer ádiminuer car le nombre d’onde augmente avec le temps.Une conséquence et une application pratique de la notion de vitesse degroupe [á moins qu’on ne s’intéresse á chaque onde caractérisée par sacélérité] est de prévoir le temps l’arrivé du paquet d’onde en un pointdonné en utilisant la vitesse du groupe. Pour déterminer la vitesse dugroupe prenons le cas de 2 ondes monochromatiques de période

différentes (voir figure) : pour parcourir dL , il faut dt avec dcdLdt = ,

pendant dt le train d’onde avance de dx :

ondes2des

additionSWL

( )L,c

groupeun:ondes'dtrain

gcdLL

dcc

+

+

)dLL,dcc( ++x



19

( ) ( ) Lcdt2

LdLLdt2

cdccdx −≈++

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

= car 0g xtcx −⋅= alors

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

−=−

==

dcdLdt

dtLc

dtLcdt

dtdxcg

dLdcLccg −=

On observe que c’est du fait que c est variable avec L que le paquetd’onde possède une célérité de groupe différente de la vitesse de phasede chacune des composantes.

On obtient alors cnhk2sh

hk212ccg ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= avec ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hk2shhk21

21n :

1n5,0 ≤≤ avec profondepeueauen1n

profondeeauen5,0n=•=•

Ainsi l’énergie du groupe se propage á vitesse du groupe.Autre méthode : notion de vitesse de groupe On peut comprendre plus clairement cette notion de vitesse de groupeen superposant deux ondes monochromatiques de même amplitudemais de fréquence très voisine ( )k,ω et ( )kk, δ+δω+ω :

[ ] ( ) ( )[ ]txkksinatkxsina δω+ω−δ++ω−=η

k4

k212

k2~

kk2:fixetá

t21xk

21cost

21xk

21ksina2

δπ

=δ

π⟨⟨

πδ+π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅δω−⋅δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δω+ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+=η

bb

Ainsi l’enveloppe [l’amplitude du groupe] se propage avec la célérité :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ω∂

=δωδ

→δ kkitelim

0k soit ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ω∂

≡k

cg

Soit LcLc

kL

Lckc

kckc

kkc

kcg ∂

∂−=

∂∂

∂∂

+=∂∂

+=∂∂

=∂ω∂

=

c’est ce résultat qu’on a établit précédemment.On peut retrouver ce résultat par une approche plus élégante encalculons le flux d’énergie F pendant un temps T qui traverse unesurface S fixe dans l’espace :

tdsdn

FTt

t S

nt∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫

∂Φ∂

Φρ=+



20

En supposant que le mouvement est la superposition de 2 ondesharmoniques dans le temps, soit :

( ) ( ) ( ) tsinz,y,xtcosz,y,xt,z,y,x 21 ωϕ+ωϕ=Φintroduisons cette solution dans l’expression du flux d’énergie qui

traverse S avec T2π

=ω (T étant la période d’oscillation) on obtient :

sdnn

FS

21

12∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

ϕ−∂ϕ∂

ϕρπ=

ainsi le flux d’énergie est nul si le mouvement est stationnaire : ce quin’est pas surprenons car le transfert d’énergie n’aura lieu que si lemouvement est progressif.Maintenant si 21 et ϕϕ sont harmonique et si la surface S est fermée fixedans le fluide qui enveloppe un domaine D, la formule de Green nousdonne :

( )∫∫∫ ϕ∇ϕ−ϕ∇ϕ=∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

ϕ−∂ϕ∂

ϕρπ=D

12

212

2S

21

12 dxdydzsd

nnF

Si 21 et ϕϕ n’ont pas de singularités dans D (sources où puits) alors leflux d’énergie est nul car 21 et ϕϕ sont harmoniques. Calculons dans lecas d’une onde progressive la vitesse avec laquelle le plus d’énergie sepropage ; prenons alors ( ) ( )α+ω++=φ tkxcoshzAchk alors :

( )( ) ( )∫ ω+∫ +ρω=∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫

∂Φ∂

Φρ=ωπ

+η−

+2t

t

20~h

22Tt

t S

nt dttkxsindzhzkchkAtdsd

nF

ainsi le flux d’énergie moyen par unité de temps est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρω==

hk2hk2sh1

4khA

TFF

2

.av

comme on a k

cetthkhgk2 ω=⋅=ω alors g

222

.av c.khchg2

ATFF ρω==

où gc a les dimensions d’une vitesse donnée par : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hk2shhk21c

21cg

Calculons maintenant l’énergie moyenne stockée dans l’eau due aumouvement ondulatoire par rapport à la direction de propagation. Nousavons vu que l’énergie stockée dans D est donnée par :

( ) dxdydzgz21E

D

2z

2y

2x∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +Φ+Φ+Φ≡

Calculons cette énergie pour une largeur unité sur une longueur d’ondeà n’importe quel instant :



21

( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫ ⋅ρ+

⎥⎦⎤α+ω++

∫ ∫ ⎢⎣⎡ +α+ω++ω=−

η−

η−

hL0

222

hL0

22220

dxdzgz

dxdztxksinhzkchA21

txkcoshzkshA21kEE

où 0E est l’énergie potentielle de l’eau de profondeur h quand elle est aurepos. En négligeant les termes d’ordre élevé en amplitude, nousobtenons ainsi l’énergie due uniquement à la propagation d’ondeprogressive entre 2 plans distants d’une longueur d’onde L :

khLchg2

AEE 222

0 ⋅ρω

=−

ainsi l’énergie moyenne .avE dans le fluide par unité de longueur dans ladirection de propagation x qui résulte du mouvement ondulatoire de l’eau

est donnée par : khchg2

AE 222

av ⋅ρω

=

Nous constatons alors que :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎯⎯ →⎯⋅=

npropagatiodedirectionladanstempsdeunitéparmoyenneénergieE

verticalplanuntraversàtempsdeunitéparénergie'dfluxF

cEFav

av

avecgavav

Ainsi sous l’hypothèse que pas d’énergie crée ou détruite dans le fluide,celle – ci est transmise dans la direction de propagation de l’onde à lavitesse de groupe gc .• Relation de dispersion des ondes á l’interface de 2 couches d’un

fluide de masse volumique différente : ondes internes

On cherche des solutions pour les 2 couches de fluide sous la forme :( ) ( )txkcoshzchkA ω−+=Φ

( ) ( )txkcoshzchkB // ω−−=Φ

η // eth ρ

ρeth

x

airz

/ρ⟩ρ



22

Au niveau de l’interface entre les 2 fluides la pression [dynamique] et lavitesse doivent être continues; il en résulte d’après la continuité de lapression que :

⇒∂Φ∂

ρ+ηρ=∂Φ∂

ρ+ηρt

gt

g/

//

( )⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Φ∂

ρ−∂Φ∂

ρρ−ρ

=ηttg

1 //

/

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Φ∂

ρ−∂Φ∂

ρρ−ρ

=∂η∂

2

2

2

/2/

/ ttg

1t

Alors que la continuité de la vitesse est :

zz

/

∂Φ∂

=∂Φ∂ mais comme par définition

ttDD

zv

∂η∂

≈η

=∂Φ∂

= on obtient :

( ) 2

2

2

/2//

ttzg

∂Φ∂

ρ−∂Φ∂

ρ=∂Φ∂

ρ−ρ

En y reportant nos 2 solutions on obtient un système en A et B, qui a unesolution non triviale quand son déterminant est nul alors on a :

( ) ( )//

/22

//

/2

khcothkhcothkg

kc

khcothkhcothkg

ρ+ρρ−ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=⇔

ρ+ρρ−ρ

=ω

Note : si nous avons tenu compte de la capillarité σ pour les ondesinternes courtes on aura comme relation de dispersion :

( ) ( )//

/22

//

3/2

khcothkhcothkkg

kg

kc

khcothkhcothkgk

ρ+ρσ+ρ−ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=⇔

ρ+ρσ+ρ−ρ

=ω

N.B. : • Si 1khet1kh / ⟩⟩⟩⟩ c’est – á – dire en eau profonde on a alors :

/

/2 kg

ρ+ρρ−ρ

=ω /

/2

kgc

ρ+ρρ−ρ

=

tout se passe comme si le fluide supérieur réduit g à /

// gg

ρ+ρρ−ρ

= car

pour un fluide homogène on a kgc2 = en eau profonde.

On remarque que si ρ⟩ρ / c –à – d que le fluide supérieur a unedensité plus grande ω devient imaginaire : il y a donc instabilité.• Si 1khet1kh / ⟨⟨⟨⟨ c’est – á – dire en eau peu profonde on a alors :

( )hhhkgk //

//22

ρ+ρρ−ρ

=ω



23

• Si 1khet1kh / ⟨⟨≈⟩ on a alors :

ρρ−ρ

=ω/

/22 hgk

Pour ce qui est de l’étude dynamique et cinématique des ondes internesvoir le chapitre sur l’océanographie physique.5) Transport de masse et projection d’eau sur le rivage (wave setup):La théorie de faible amplitude (linéaire) prévoit pour les particules fluidesdes trajectoires fermées, ainsi il en résulte qu’il n’y a pas de transport demasse. Cependant dans la réalité et surtout en eau peu profonde onobserve un transport de masse qui résulte du fait que les trajectoires desparticules fluides ne sont pas fermées donc les particules avancependant le parcourt de chaque orbite : la vitesse de transport augmentequand la profondeur relative diminue. La vitesse de transport massiqueest plus faible que la vitesse des particules mais significative pour induireune remontée d’eau le long du rivage et contribuer par conséquencelargement au transport des sédiments vers large proche du fond (par lecourant de retour) après leur mise en suspension par la turbulence car ledéferlement projette d’eau vers la côte dans une couche de surface et

comme on a conservation de la masse il en résulte un courant de retour.En se basant sur des études expérimentales en laboratoire Saville(1961) pour des ondes déferlantes sur une plage a établit une équationdonnant la remontée d’eau sur le plage (wave setup at the shore) wwSqui a été proposée ultérieurement (1973) par U. S. Army CoastalEngineering Research Center. Si bH est l’amplitude au déferlementdans la zone du ressac (c’est un retour violant des vagues)(surf zone) :

b2b

ww HgTH82,2119,0S ⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅=

Pratiquement l’onde se projette en moyenne sur 15% de bH .On présentera une modélisation mathématique de ce genre de problèmepour déterminer la descente (wave setdown) et la remontée d’eau (wavesetup) sur un rivage et la courantologie (transport de masse induit par lahoule : circulation côtière à l’échelle de la houle), ce qui permettra unemeilleur représentation de la courantologie marine et une bonnemodélisation du transport de sédiments et une étude de la dynamique de

wwS

SWLbH

vertical

retourdecourant

( )zone Washlavagedezone



24

la géomorphologie des cotes sableuses . A ce niveau on tient à signalerque les effets non linéaires sont responsables de l’excitationd’harmoniques (de faibles périodes) qui modulent le profil de la surfacelibre ainsi que le champ de vitesse qui en résulte auquel s’ajoute laréflexion induite au moins par la pente du fond : ce qui moduleglobalement la morphologie et installe une barre sous – marine quiconstitue une protection naturelle de la cote (il se peut qu’il s’exciteégalement des ondes de coin \\ adge waves // dont l’amplitude décroîtexponentiellement vers le large : ce qui modifie également lacourantologie du littoral.Des ondes d’incidence normale à la côte qui sont fortement réfléchiespar la ligne du rivage sont instables à la perturbation induite due auxondes de coin. Ces ondes de coin extraient leur énergie de l’ondeincidente ω par le billet d’interactions non – linéaires (Galvin 1965,Guzaet Inman 1975) le potentiel de vitesse de cette onde subharmonique est :

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

β=ω

ω=ω

θ+ω−ω

=Φtgkg

2:avectsinykcosxkeAg

e2e

eee

e

ee

Les valeurs successives d’uprushes donnent une valeur approximative

de l’amplitude : β⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈ tg2

RRA 12

où 21 RetR sont les intrusions (horizontales) successives et maximalesde l’onde incidente sur le rivage (voir complément vers la fin de ce chapitre).

6) Réflexion d’onde : ClapotisQuand une onde rencontre un changement dans les conditions limites(comme un changement de profondeur d’eau, une convergence ou unedivergence dans un canal à houle, un obstacle submergé ou flottant à lasurface libre, un mur verticale ou en talus …) il en résulte une réflexionpartielle ou totale de l’énergie incidente.On superpose 2 houles sinusoïdales progressives de mêmecaractéristiques mais qui se propagent en sens inverse, on obtient le‘’Clapotis’’ qui est une onde stationnaire. Prenons le cas obstaclevertical inélastique et lisse (pas de frottement) : l’onde incidente seraalors complètement réfléchie c’est – à – dire l’amplitude réfléchie estégale à celle incidente : la superposition de ces 2 ondes donne une ondepurement stationnaire avec bien entendu des nœuds parfaits et des

βx

y



25

ventres maximaux. On démontre qu’aux nœuds l’enveloppe a ( ) Ι⋅− HR1

et aux ventres ( ) Ι⋅+ HR1 où ΙΙ

==HH

EER RR est le coefficient de réflexion.

Les orbites en réflexion totale sont aplaties avec un retour sur la mêmetrajectoire courbe. Les trajectoires sont verticales sous les ventres ethorizontales sous les nœuds. L’ondulation de la surface libre résulte dela superposition des 2 ondes incidente et réfléchie (on a le droit d’utiliserle théorème de superposition car on étudie les ondes linéaires) :

( ) ( ) ( ) tcosxkcosHtxkcos2Htxkcos

2Ht,x ω⋅=ω++ω−=η

L’amplitude de l’onde stationnaire est le double de celle incidente : H2 .On verra que ceci se traduit par une surpression sur l’ouvrage:

c’est pour cela qu’on construit plus des ouvrages qui ont un faiblecoefficient de réflexion (en talus) et qui dissipent mieux l’énergieincidente (poreux : utilisation des blocs pour revêtir la carapace avecdistribution appropriée à cet effet …).

( ) Ι+∝→ HR1Aventre ( ) Ι−∝→ HR1Anœud

1HH

Restationair entpartiellemonde R:surfaceladeEnveloppe ⟨=Ι

↔

1HHR:surfaceladeEnveloppe Rpureestationaironde ==↔

Ι

ventre nœud

x

z



26

Remarque : Formule de Healy ‘’ technique expérimentale ’’La mesure par une sonde linéaire c’est – à – dire dont la réponse estproportionnelle à l’oscillation de la surface libre nous permet dedéterminer expérimentalement le coefficient de réflexion R car :

( )( ) ( )

TOS1TOS1

RR1R1

waveStationaryOfTaux.S.O.THR1A

HR1A

nœud

ventre

+

−=⇒

−

+=⇒

Ι−=Ι+=

⎭⎬⎫

La mesure de TOS (en déterminant l’enveloppe de l’onde) permet doncde déterminer le coefficient de réflexion de l’obstacle : Formule de HealyDe manière similaire on détermine le potentiel de vitesse de l’onderésultante par la superposition du potentiel incident et réfléchie :

( ) ( ) ( ) ( )tsinxkcoskhch

hzkchHgt,z,x ω⋅+

⋅ω

−=Φ si ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ω−=η

=

Ι txkcos2H

t,x

1R

La fonction de courant est : ( ) ( ) ( ) ( )tsinxksinkhch

hzkshHgt,z,x ω⋅

+⋅

ω=Ψ

En déduit alors de l’équation linéarisée de pression que :( ) ( ) ( )tcosxkcoskhch

zhkhchgHgzp ω+

ρ+ρ−=

pression statique pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)On peut ainsi déterminer le profil de pression au mur parfaitementréfléchissant 1R = (qui est un ventre en 0x = ). Dans la réaliser du faiteque le mur est rugueux on a une dissipation d’énergie (même faible) quidonne un coefficient de réflexion plus petit que 1 : l’amplitude de l’onderéfléchie est légèrement inférieure à celle incidente.Connaissant le potentiel de vitesse 2D on peut en déduire le champ des

vitesses par : kz

ix

gradvrrr

∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ=→

Clapotis gaufrée :Une houle se propageant dans une direction faisant un angle ( )α+πavec Ox sur un mur est : ( )[ ]α⋅+α⋅+ω=η sinycosxktcos

2H

1

une réflexion sur la paroi Oy provoque une houle se propageant dans la

direction α− , soit : ( )[ ]α⋅−α⋅−ω=η sinycosxktcos2H

2

x

y

α

α

incidente

réfléchie



27

Leur somme est ( ) ( )αα+ω⋅=η+η=η cosxkcossinyktcosH21

Il y a donc des maxima et des annulations d’amplitude sur des parallèles

à Oy : π=α ncosxk et ( )2

1n2cosxk π+=α respectivement. Il y a une

ligne de nœuds et de ventres mais il n’y a pas simultanément unmaximum ou une annulation ; ceux – ci se propage parallèlement à Oy à

la célérité αsin

c (vers Oy négatif si α est positif).

Réflexion normale sur un talus :

Pour les houles de faible cambrure, il est constaté que la réflexion était à

peu prés totale pour 41

Lb⟨ . Quand la pente du talus devient plus faible, il

se produit un déferlement qui dissipe une part appréciable de l’énergieincidente et l’énergie réfléchie est proportionnelle au carré de l’amplitude

est voisin de 0,1 quand 21

Lb= alors que lorsque

43

Lb= l’énergie réfléchie

n’est que de 0,04 à 0,05 celle incidente.Pour les houles de cambrure plus grande, l’énergie de l’onde réfléchieest sensiblement plus faible que celle des houles de cambrure plus faiblecar les houles de forte cambrure déferle plus facilement.L’Ingénieur espagnol Iribarren propose une formule qui donne la penteminimale de l’obstacle β réfléchissant une houle de période T. Pour desvaleurs plus faibles la houle déferle :

g2H

T2

=β Iribarren

La cambrure limite que peut avoir la houle sans déferlée sur la pente est

πβ

πβ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

max

sin2LH M. Miche

ainsi plus une houle est longue plus elle se réfléchie facilement sur unepente donnée : En particulier l’onde de marrée se réfléchie sur tous lesrivages, même ceux à pente très douce. Ces résultats sont pour un fondlisse et monolithique :la réflexion change avec la rugosité et la porosité du fond et de la pente :

b

hβ



28

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

=

↔βπ

ββ⋅=⟨

artificieltenrochemen5,0K

remblai6,0K

rugueuxbéton9,0K

platbéton,asphalte1K

radiansenoùsin

HL2

KR:LH

LH

si2

2

b

b

b

b

7) Le déferlement des ondes :Nous avons vue que les particules fluides appartenants à la crête d’uneonde ont une vitesse plus faible que la célérité de l’onde.Comme en eau profonde la vitesse des particules en surface est

proportionnelle à l’amplitude de l’onde THu0

π≈ donc une augmentation

de l’amplitude correspond à l’augmentation de la vitesse de ces

particules qui tendent vers la célérité de l’onde π

=2

Tgc0 ainsi dans cette

limite d’onde ⇒π

=π

⇔≈π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0

2

2

2

2

0

L

2

gT~H1

gT

H2cu %8,31

1~

LH

0

=π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ devient

instable et déferle. Miche en 1944 avait déterminé les conditions audéferlement sur fond horizontal, il propose :

( ) 36,0Lh11,0:pour

Lh2th

71

LHitelimoucritiquecambrure

maxc ⟨⟨⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==γ

Soit pour 35,0hL066,0 10 ⟨⟨ − et si pas de réflexion ni dissipation d’énergie

de l’onde on a : b1

0 hkth=γγ− donc c’est les houles de cambrure faible quigonflent le plus avant de déferler.Ainsi cette formule admet les 2 limites :

9,0hH

Lh2

71

LH:profondepeueauEn

2gTL;%14

71

LH:profondeeauEn

maxmax

2

00

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•

π=≈=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•

Miche en 1951 proposait également pour la cambrure limite, en eauprofonde sur un fond en pente avec réflexion totale, l’expression :

fonddupenteoùsin2LH 25,0

critique=β

πβ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡πβ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Des ondes de types Stockes en mer très profonde : L

h2th318,0Lπ

=γ



29

On classe le déferlement sur une plage en 3 catégories : • Déversant : apparition d’écume à mi – hauteur. La crête instable

s’écoule sur la face avant (le front de l’onde est mousseux).• Plongeant : formation de rouleaux. La crête se courbe et tombe ce

qui induit un emprisonnement d’air et un bruit sourd.• Gonflant : crête presque intacte mais pas sa base et le front avant.

La zone du déferlement en eau peu profonde est caractérisée par unesaturation en énergie de la houle. Les mesures tant en laboratoire qu’ennature montre un contrôle de l’amplitude de la houle a par la profondeurlocale suivant une relation linéaire :

La constante γ, initialement introduite par Mac Cowan (1891– 94) dansl’étude théorique de l’onde solitaire ( )78,0=γ .En eau peu profonde ( )1kh ⟨⟨ Miche (1944) en supposant que l’onde deStokes (sinusoïdale) déferle sur un fond horizontal quand la vitesse de laparticule fluide en crête est égale à sa célérité, il trouva : ( )88,0=γ .Comme l’onde de Stokes est symétrique cette valeur représente ledéferlement Spilling.Ultérieurement beaucoup d’auteurs [Galvin et Eagleson (1965), Iverson(1962), Sverdrup et Munk (1946) …] proposent la même valeur de γ quiest observée en laboratoire (houle monochromatique).Mais dans l’approche statistique basée sur l’amplitude quadratiquemoyenne rmsA conduit á une valeur de γ sensiblement plus faible :

5,03,0 rms ⟨γ⟨ Nelson (1983).

( )Deversantou

spillingglissant ( )plungingplongeant( )

gonflantousurgingfrontal

SWL

3,35,0 0 ⟨ξ⟨3,30 ⟩ξ

2000

0gTH

tg21

LHtg β

π=

β=ξ

84,0~bγ

11,1~bγ 25,1~bγ

( )η+= hgc

5,00 ⟨ξ

h a−ha2Hminmax ⋅γ===η−η

a+



30

Sur un fond de pente β on dispose du critère :

π=≤

β==ξ

2TgLoù3,2

LH

tg 2

0

0

Battjesdesimilaritédeparamétre

GalvinH

hhHe

20,0depentepour08,0

10,0à05,0depentepour04,0onsurélévati

b

sM

b

b

⎩⎨⎧

==−

==ζ

On va désigner par : b

b

b

MbMbMb H

hHhethh ==β=β=

Pour le déferlement sur une plage de pente m Weggel (1972) propose :

( ) ( )( )

( )mG

LH

HHmF

mG

LH

mFHH

31

0

b

31

/0

b

31

0

/0

/0

b +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= où

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]mGm1DmF

DDe185,0715,1Dm1DmG

1

21

21m28

−+=•−

−−+=•

−

où ( )

( )31

1

31

1

m28e01,001,0D

m5,001,0D

−−=

+=

qui est en accord avec les courbes d’Iversen (U. S. Army Coastal Eng.)L’amplitude maximale de la houle au déferlement :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+=

−=⎯⎯→⎯−=

⋅−

⋅−

.dimsanse1

56,1mb

m/sene175,23ma

gTHmamb

hH

m5,19

m19 2

où2

b

b

b

bH be

Mh th

tamoyeneau'dniveau

reposaueau'dniveau

sh

sMb

M

t

t

hhe

reposaueau'dniveauducôtesh

moyenniveauducôteh

creuxleetmoyen

niveauleentrecetandisa

creuxducôteh

−=

=

=

=

=

fond



31

Proposition :Pour comprendre la physique du déferlement il est intéressant de seréférer à la théorie de Boussineq pour le calcul de la célérité c’est – à-

dire à : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂η∂

η+

η+⋅≈

∂η∂

η−

η−

= 2

22

2

222

x3h

h231gh

x3h

h231

ghc

qu’il faut comparer à la vitesse des particules fluides en crête de d’ondeen théorie non – linéaire (Stokes 2e ordre) : critère cinématique.Nous conseillons pour prévoir les meilleurs conditions de déferlementd’utiliser les figures (7 – 1 et 7 – 2 ) qui sont basées sur des résultatsexpérimentaux. Selon Kana (1979) on a :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=γ−=γ

−=γ

90,075,0:skerbreaPlunging75,065,0:skerbreaalTransition

65,055,0:skerbreaSpilling

En se basant sur des résultats expérimentaux de laboratoire Weggel

(1972) propose : ( )

( )0

bLHe1

28,43

e1

56,1 th19th5,19

β⋅−β⋅−

−π

−+

=γ

En se donnant la profondeur d’eau et la pente de la plage : l’amplitudede l’onde au déferlement bH se calcule par Fig(7 – 1) alors que laprofondeur au déferlement bb dh = par la Fig(7 – 2). On signale que sil’onde se réfracte sur la pente de la plage, l’amplitude d’une ondehypothétique non – réfractée est évaluée par : 0R

/0 HKH ⋅=

Munk a montré en 1949 que les conditions de déferlement sont liées à la

cambrure en eau profonde : 31

0

/0

/0

b

LH3,3

1HH

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= .

Quelle est la forme limite en surface de la houle irrotationnelle enprofondeur d’eau infinie ? : Stokes 1880

gr

θer

rer

θ

rv rvO



32

A mesure que l’amplitude d’une vague croît, les crêtes deviennent deplus en plus aigues. Donnons à l’onde, une célérité c : l’onde progressiveest remplacée par un mouvement d’ensemble. Nous savons qu’une

particule de la surface libre ne la quitte pas car 0tDpD≡ . Elle se comporte

alors comme un mobile glissant sur un plan incliné. Au sommet de lavague en O, la vitesse est nulle. La vitesse rv de la particule superficielleest r# puisqu’il s’agit d’un glissement sans frottement sur un planincliné dans le champ de pesanteur : en effetselon la loi de Newton on a :

rttC21rtCvCcosg

tdvdm 2tete

rter ∝⇒⋅⋅=⇒⋅=⇒=θ=

Recherchons, au voisinage de la crête, un potentiel Φ donné par :

0zx 2

2

2

2=

∂Φ∂

+∂Φ∂

vérifiant les conditions de symétrie imposées par l’existence de cettecrête.L’équation de continuité permet l’introduction de la fonction de courantΨ telle que :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂Φ∂

=∂Ψ∂

−=

∂Φ∂

=∂Ψ∂

=

zxw

xzu

et la fonction de courantΨ vérifie 0zx 2

2

2

2=

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

On peut montrer que 1Cte=Ψ et 2Cte=Φ sont orthogonaux.Cherchons un potentiel de vitesse complexe du type :

( ) ⇒θ=⋅=+=Φ+Ψ inerAzAzixAi nnn

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=Φ

θ=Ψ

nsinrA

ncosrAn

n

ce choix est justifié en raison des conditions de symétrie.La surface libre est ligne de courant dont Ψ y est constante. Comme elles’annule en 0r = ; il en résulte alors que : libresurfacelaà0=ΨAu voisinage de la crête la vitesse est donnée par :

( ) ll θ=∂Φ∂

=θ= − nsinnrr

cosgr2v 1n21

r

( 0pour0vr ⟩θ⟩ et 0pour0vr ⟨θ⟨ en raison du mouvement).

La valeur de l’exposant se déduit de l’égalité précédente : 23n = .



33

Ainsi prés de la crête et à la surface : 023cosAr 2

3

=θ=Ψ l

On en déduit que 0603

±=π

±=θl

L’angle limite (point anguleux) de la crête de la vague de Stokes estdonc de 0120 alors que pour une onde solitaire 045±=θl soit 090 .La vitesse de la particule coïncidant avec la crête est nulle avec lasystème d’axes considéré. En eau profonde, la particule fluide coïncidantavec le point anguleux est animé d’une vitesse égale à la célérité del’onde. C’est le critère de déferlement.

La cambrure limite pour la houle de Stokes est %14LH

La2

== . La houle

progressive ne peut avoir une cambrure supérieure à 14%, au – delà, lalame déferle.• On va maintenant discuter l’effet d’un corps flottant sur la propagation

d’une houle en eau peu profonde. Seulement le cas 2D sera présenté(toutes les quantités hydrodynamiques sont indépendantes de lacoordonnée transversale y). On va présenter le cas d’une plaquemince dans une eau à profondeur constante. On a donc à résoudre :

Les conditions aux limites sont :axencontinuessont)pression(et)vitesse( tx m=↔Φ↔Φ

On s’intéresse à l’efficacité de la planche en surface comme brise lamedes ondes venant du coté droit ( )+∞=x . La solution générale de notreéquation différentielle a la forme: ( ) ( ) ( )ctxGctxFt,x ++−=Φ où ghc =Il est naturel de chercher des solutions harmoniques :

( ) ( ) ( ) ( ) axaexVt,xetaxext,x titi ⟨⟨−↔=η⟩↔ϕ=Φ ωω

Nos équations deviennent alors

ax0Vhi

dxdetax0

ghdxd

2

22

2

2⟨↔=

ω+

ϕ⟩↔=ϕ

ω+

ϕ

La première équation a pour solution ( ) ikxikx BeAex +=ϕ − avec gh

k ω=

ax −= ax =

xh

z

axh

axgh1

pourxxt

pourttxx

⟨⎯⎯ →←Φ−=η

⟩⎯⎯ →←Φ=Φ



34

Ainsi on a : ( ) )tkx(i)tkx(i BeAet,x ω+ω−− +=Φ c’est la superposition de 2ondes une progressive se propageant vers la droite )tkx(iAe ω−− et l’autrevers la gauche )tkx(iBe ω+ . On rappelle que dans ce cas l’onde incidenteprovient de la droite, pour ( )xϕ on peut écrire ( ) ax:ikxikx ReBex ⟩− +=ϕoù B est l’amplitude de l’onde incidente et R de celle réfléchie : qu’il fautdéterminer. Sur la gauche on écrit : ( ) ikxTex =ϕ où T est l’amplitude del’onde transmise (à déterminée également). Si la planche est rédige etfixe on a alors ( ) 0t,x ≡η il en résulte alors que ( ) 0xV = donc sous laplanche on a : 0xx =ϕ ainsi ( )xϕ est une fonction linéaire en x :( ) δ+⋅γ=ϕ xx . Puisque ( )t,xxΦ est la vitesse horizontale de l’eau, il

résulte alors que sous la plaque on a un courant donné par : tie ω⋅γ

donc constant sous la plaque et sinusoïdal dans le temps.Ecrivons maintenant les conditions de raccordement des solutions aux

discontinuités ; il en résulte alors :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ=

δ+γ−=

γ=−

δ+γ=+

−

−

−

−

ikTe

aTe

kiReBe

aReBe

ika

ika

ikaika

ikaika

On dispose donc de 4 équations pour 4 inconnues : R, T, γ et δ. Si ondésire calculer la pression sous la plaque il suffit d’appliquer Bernoulli –Lagrange : ( ) ( ) tiexit,xp t

ωωϕ−=Φρ−= . La solution de notre système est

donnée en fonction du paramètre adimentionnel k2Loù

La2 π

==θ par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

πθ+===

πθ+

θπ===

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=δ

+θπθπ

=γ

+θπ=

+θπθπ

=

θπ

θπ

θπ

θπ

22T

22R

1

1BTC

1BRC

Be1i

ea

iB

1ieBT

1iieBR

ontransmissidetcoéfficien

réfléxiondetcoéfficien

i2

i2

i2

i2



35

Notons qu’on a : 1CC 2T

2R =+ qui exprime la conservation d’énergie.

Notons que kaLa2

=π⋅

=πθ . Il est intéressant d’étudier comment varie la

pression sous la plaque : ( ) ( ) ( ) titi exiexit,xp tωω δ+γω−=ωϕ−=Φρ−=

donc la partie réelle, qu’il faut prendre, est donnée par : si B est réelle( ) ( ) ( ) tsinxptcosxpt,xp 21 ω−ω= avec

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θπ+θπ

=

+θπ+

θπ=

⎩⎨⎧

πθ−πθ⋅ωρ=

πθ+πθ⋅ωρ=

ax

1xb

1ax

1xb

oùcosxbsinxbBxpcosxbsinxbBxp

22

22

2

22

22

1

122

211

8) Wave Run – Up : Ascension des LamesLe niveau auquel un ouvrage en mer (un mur, un revêtement en pierrecomme un talus d’une digue … ) doit être rasé (nivelé) est en fonctionprincipalement du run–up élévation.En laboratoire (1957) Saville propose la figure (8 – 1) pour déterminer lerun–up Ru (hauteur d’ascension mesurée verticalement des lames surune structure par rapport à SWL) en fonction de la période de l’onde, del’amplitude de l’onde non – réfractée et de la cotangente de la pente del’ouvrage avec comme paramètre 2/

0TH − .Ces courbes sont pour une paroi lisse et imperméable avec uneprofondeur d’eau de 1 à 3 fois /

0H . Ces courbes sont données parU.S.Army Coastal Enginnering Research Center (1973) la figure (8 – 1)résume cela. Le tableau (8 – 2) proposé par Battjes (1970) donne l’effetd’une paroi non lisse et perméable sur le run–up . Le facteur r est lerapport du run–up donné par la figure (8 – 1) à celui pour une paroiperméable et rugueuse.Saville (1957) propose une procédure à employer pour utiliser la figure(8 – 1) aux parois composées de plusieurs pentes : une pentehypothétique unique est construite à partir du point de déferlement aupoint d’ascension des lames sur l’ouvrage composé de plusieurspentes : ainsi on effectue le calcul comme si on a une paroi unique

bb dh = SWL

Ruuprun =−

uehypothétiqpentebb dh = SWL

Ruuprun =−

uehypothétiqpente



36

dont on connaît la valeur avec laquelle on effectue les calculs commeavant; ce calcul se fait par essais et tâtonnements successifs garce à lafigure (8 – 1) et on compare avec la valeur estimée jusqu’à leur accord.Si non on recommence jusqu’à l’accord souhaité.Une formule empirique du run – up d’une onde déferlante sur un taluslisse est proposée par Hunt : [Proc. ASCE 85 WW3 Sept 1959 pp123-152]

3,21,0:pourLH

gtanH

Ru

0

⟨ξ⟨β

=ξ= & ( )ξ⋅−==−

−4,01

RuRd

upRunhauteurdownRunhauteur

On signale que si la hauteur de l’ouvrage n’est pas correctementdimensionnée il se produit un problème de franchissement de celui – ciqui engendre des inondations des quais et une agitation de l’autre coté àl’abri ( dans ce cas un système d’évacuation est à prévoir) : on traiteraultérieurement le problème de franchissement : qui présente unegrande importance pour le dimensionnement des ouvrages maritimes etpour calibrer le réseau d’assainissement portuaire (voir ch05).N.B. : En eau profonde Mitchell (1893) propose par le critère

cinématique : ( ) 267,0s/mTH

2gTLavec2,1

LL

142,0LH

22b

2

00

b,0

maxb,0

b

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

On peut calculer le coefficient de réflexion R(module du rapport del’amplitude réfléchie par celle incidente) d’un talus sur lequel l’ondedéferle par (selon Miche R=1 pour une onde non–déferlante sur le talus)

autrement1R1Rsi1,0R 2

=•⟨ξ⋅≈• où

H2gTtg

LHtg 2

0 π⋅β=

β=ξ

Rappel MathématiqueFormules de transformation de Gauss

& Les formules intégrales (ou les identités) de GreenSi ℜ est un opérateur linéaire on a l’égalité :

( ) ( )∫ℜ=∫ τ∇ℜΣ

dSndD

rr Théorème de Gauss

N.B. : on pose

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑∂∂

=∇=∧∇

∑∂∂

=∇ϕ=ϕ∇⎯⎯⎯⎯ →⎯∑

∂∂

=∇

=

=

→

= 3

1i ii

i3

1i i

i

associeon3

1i ii

xrVrV;vrotv

exVV;grad

xe r

rrrrrr

rrrr

rr

ainsi



37

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.EtcnnVrotVV

nVnVrVr

nngrad

nnVdivVV

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

rrrrrrrrr

rrrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrr

∗∗ ∧=ℜ⇒∧∇=∇ℜ⇒=∧∇=∇ℜ

=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒∇=∇ℜ

=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒ϕ=ϕ∇=ϕ∇ℜ

=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒=∇=∇ℜ

••

→

••

On obtient alors les formules particulières du théorème de Gauss :

( )

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

↔∫ ∧=∫ τ

∫=∫ τ∇

↔∫ ϕ=∫ τϕ∇

↔∫=∫ τ∇

Σ

Σ••

Σ

Σ••

−

lrotationneduégraleintformule

gradientduégraleintformule

kiOstrogradsGauss

divergenceladeégraleintformule

dSVndVrot

dSrnVdrV

dSnd

dSVndV

D

D

D

D

rrr

rrrrrr

rr

rrrr

Si ( ) ( )( )

⇒⎩⎨⎧

∧=ℜ∇∧=∇ℜ

⇒ϕ∇ℜ=ϕ∇∧nrn

rr rrr

rrrrrr

∫ ∧ϕ=∫ τϕ∇∧Σ

dSnrdrD

rrrr

Applications : Les identités de GreenNous avons ( ) ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇=Ψ∇ϕ∇⇒Ψ∇ϕ ••

rrrrr alors d’après le

théorème de la divergence on a :

( ) ( ) ⇒∫∂Ψ∂

ϕ=∫ Ψ∇ϕ=τ∫ ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇=∫ τΨ∇ϕ∇ΣΣ

••• dSn

dSnddDD

rrrrr

( ) ∫∂Ψ∂

ϕ=τ∫ ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇Σ

• dSn

dD

rr 1iére identité de Green

Si on change Ψ↔ϕ on obtient ( ) ∫∂ϕ∂

Ψ=τ∫ ϕ∆Ψ+ϕ∇Ψ∇Σ

• dSn

dD

rr et par

soustraction il en résulte :

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

Ψ−∂Ψ∂

ϕ=τ∫ ϕ∆Ψ−∆ΨϕΣ

dSnn

dD

2éme identité de Green

Il s’ensuit que pour un écoulement à potentiel de vitesse c’est – à – dire

que 0≡∆Ψ=ϕ∆ l’égalité : 0dSnn

=∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

Ψ−∂Ψ∂

ϕΣ

(1)

Si maintenant on prend Ψ≡ϕ alors ( )∫ τ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ∆ϕ+ϕ∇=∫

∂ϕ∂

ϕΣ D

2 ddSn

r ; si

en plus ϕ est le potentiel de vitesse d’un champ d’écoulement :



38

02 ≡ϕ∇≡ϕ∆ alors ( ) ∫∂ϕ∂

ϕ=∫ τϕ∇Σ

dSn

dD

2r

Comme ϕ∇≡rr

v : cette égalité met en évidence l’énergie cinétique .Les relations précédentes mettent en jeu 2 fonctions ϕ et ψ, d’où l’idéed’introduire un potentiel élémentaire pour que nos relations ne s’exprimeque par rapport à une seule fonction ?Par exemple on utilise les potentiels de vitesse singulier :

( ) ( )

( ) tePQ

21

2

ii

PQ2

PQPQ

3

PQ

Crdrd

nczxr

D2:dimensions22,1i

rlog2c:EDsi

r1log

D3:dimensions33,2,1i

r4c:EDsi

r1

pourcarfluxlequeremarquons =Φ

=∂Φ∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∑ −=

=

π=Φ⊂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ

=

π−=Φ⊂=Ψ ••

où P et Q sont 2 points qui appartiennent au domaine fluide D ou à safrontière Σ ( )Σ∪= DD . Ainsi Ψ est une fonction définie pour QP ≠ maissingulière pour QP = et elle satisfait à l’équation différentielle de LaplaceDans ce cas la première formule de Green donne :

( ) ( ) ( ) QPQQ

QQD PQ

Q dSr1

nQdQ

r1PC ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ϕ−τϕ∇∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇=ϕ⋅

Σ•rr

(2)

où ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

Σ∈π∈π

=

DPsi0Psi2

DPsi4C

Si maintenant on change Ψ⎯⎯→⎯ϕ en alors la première identité de Greendonne également :

( ) ( ) ( )∫

∂ϕ∂

=∫ τ∇ϕ∇+∫ τϕ∆Σ

• QQPQD

QPQ

QQD

QPQ

dSnQ

r1d

r1QdQ

r1 rr

(3)

Si on introduit la relation (1) dans (2) on obtient une représentationintégrale du potentiel ϕ (tel que 0≡ϕ∆ ) n’utilisant bien entendu que desinformations concernant le comportement de ces fonctions sur la surface(enveloppe) du volume D liquide.

Q

Qnr ( )Σ

( )DP



39

( ) ( ) ( )

bb

QPQQ

QQPQ

dSr1

nQdS

nQ

r1PC ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ϕ−∫∂ϕ∂

=ϕ⋅ΣΣ

simple couche double coucheCette formule trouve beaucoup d’applications dans la pratique…Souventdite la 3éme formule de Green.D’après la formule de Green (1), on pourrait introduire dansreprésentation (3) un potentiel ayant d’autres propriétés :

( ) ( ) extintPQ

DDdans0:quetelQr1Q,P ∪=∆ΦΦ+=χ

On obtient ainsi une nouvelle formule de représentation du potentiel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) QQ

QQ

dSQ,Pn

QdSn

QQ,PPC ∫ χ∂∂

ϕ−∫∂ϕ∂

χ=ϕ⋅ΣΣ

Les formules(1,2 et 3) contiennent 2 potentiels connus, on les utilisentsouvent en hydrodynamique navale :

• Le potentiel de simple couche : engendré par une distribution

de sources ( )Q1µ : ( )∫ µ=ΦΣ

QPQ

1 dSr1Q

• Le potentiel de double couche : engendré par une distribution

de dipôles ( )Q2µ : ( )∫∂∂

µ=ΦΣ

QPQQ

2 dSr1

nQ

♣ La houle de Stokes irrotationnelle du 2eordre :Pour les houles de grandes amplitude mais finie Stokes en 1880 poureffectuer ses calculs développe le potentiel de vitesse sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) L+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ 4433221 HHHH

Le premier terme ( )1Hϕ correspond à la linéarisation présentéeprécédemment (Théorie d’Airy).

• Houle du 2e ordre : qui est valable pour 2gT01,0h ⋅≥Le potentiel de vitesse est donné par

( ) ( ) ( ) ( )tkx2sinkhsh

hzk2chTH

163tkxsin

khshhzkch

T2HL

4

2ω−

+π+ω−

+=ϕ

Le profil de la surface libre est donné par

intD extD



40

( ) ( )tkx2coskhcothkhsh2

31L4Htkxcos

2H

2

2ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π+ω−=η

Le paramètre du développement est la cambrure 1LH −⋅ .On constate que la deuxième harmonique; excité par la non linéaritéest : de période ω↔ 2T5,0 et de longueur d’onde k2L5,0 ↔Les profils sont symétriques par rapport à des plans passants par lescrêtes et les creux . Les crêtes sont plus hautes et plus courbes alorsque les creux plus plats : ce résultat n’est pas mis en évidence par lathéorie linéaire (Airy).

La hauteur des crêtes est donnée par :

khcothkhsh2

31L4H

2H

2

2

max ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π+=η

Les creux sont au niveau : khcothkhsh2

31L4H

2H

2

2

min ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π+−=η

Ce qui montre que le terme introduit n’a d’importance que pour unehoule d’amplitude crête – creux H importante. La vitesse orbitale sont :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω−+ππ

+ω−+π

=∂ϕ∂

=

ω−+ππ

+ω−+π

=∂ϕ∂

=

tkx2sinkhsh

hzk2shLH

TH

43tkxsin

khshhzksh

TH

zw

tkx2coskhsh

hzk2chLH

TH

43tkxcos

khshhzkch

TH

xu

4

4

Les trajectoires des orbites sont obtenues par les intégrales :∫=ε∫=ξ dtwdtu

Il faut effectuer les calculs numériquement de proche en proche pour

obtenir les trajectoires en utilisant les relations :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ε∂

+∂ε∂

+=ε

∂ξ∂

+∂ξ∂

+=ξ

zw

xuw

tDD

zw

xuu

tDD

Pour la houle de Stokes de 2eordre, posant ( )txk ω−=θ on obtient :



41

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+π+

θ+π

+θ+

=ε

π+π+

θ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

π+θ

+=ξ

khshhzk2sh

L8H

2coskhsh

hzk2shL16

H3coskhsh

hzksh2H

Tt2

khshhzk2ch

L4H

2sinkhsh

hzk2ch231

khLsh8Hsin

khshhzkch

2H

2

2

4

2

2

2

22

2

Les orbites (trajectoires) des particules fluides ne sont plus fermées;ainsi le mouvement de l’onde progressive s’accompagne d’undéplacement de matière ( entraînement ) : c’est un transport de masse( un courant ) :

Dans le cas de la houle d’Airy, c’est–à–dire linéaire monochromatique,on n’a pas de transport de masse. La valeur de la vitesse de ce transportde matière dépend de la cambrure de la vague est donnée par

l’expression : ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

kh2hk2shhzk2ch

khLTsh2HzU 2

22

m

Dont la valeur en eau peu profonde et au voisinage de la surface libre

est donnée par : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−ππ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π=

hL

41

Lh4coth

Lh2coth

TL

LH0U

22

m

Dans le cas d’une profondeur infinie, ce courant vaut : ( ) cLH0U

22

m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π= ,

où c est la célérité de l’onde. Du fait de ce courant d’entraînement lestrajectoires de type elliptique ne sont plus fermées car elles se déplacentà la vitesse ( )zUm . A chaque période les orbites avancent de ( )TzUm :

Au fond le courant vaut : ( )

Lh2sh

Lh4

Lh4sh

hT8HhU

2

2

mπ

π−ππ−=−

( )T0Um ( )T0Um ( )T0Um



42

Les trajectoires se réduisent à un simple mouvement de va – et – vient,dont la résultante est en sens inverse de la propagation de la houle :

D’après cette théorie de Stokes au 2e ordre les vitesses maximales sousla crête et le creux de l’onde sont respectivement données par :

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ω−

ω==

ω+

ω==

δδ

δδ

khsh16Hk3

khsh2Huu

khsh16Hk3

khsh2Huu

4

2Max

creux,creux ,

4

2Max

crête, crête,

Une comparaison des mesurées des vitesses maximales montre un bonaccord avec la valeur sous la crête, cependant sous le creux lesmesures montrent que la vitesse mesurée est plus petite que cellethéorique dans une eau de profondeur inférieur à 3m. En se basant surces mesures en eau peu profonde ( )2gT01,0h ⋅≤ Van Rijn propose :

( )linéairethéorielapardonnéeetoù

creux,~

crête,~

uhH3,01

u2u

uuδ

δδ

δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅α−=

⋅α=

Au 3ème ordre et plus la célérité de l’onde dépend de la cambrure :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ππ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

π=

Lh2sh16Lh4ch414

LH1

Lh2th

cc

4

2

0

on constate qu’on a une dispersion en fréquence et en amplitude.

x

h npropagatiodesens

z



43

Couche limite de la houleLa couche limite d’onde est une couche mince formant la transition entrele fond à la couche supérieur où l’écoulement fluide est irrotationnel &oscillatoire :

♣ Pour écoulement laminaire on a :

• Jonsson 1980 propose : βπ

=δ=δ2

wave

• Manohar 1955 propose : β

=δ6,4

Où

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=ν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛νπ

==β

snoscillatio'dpériodeT

s/mecinématiquitécosvis

mT

Stokesdelongueur

2

21

♣ Dans le cas d’un écoulement turbulent Jonsson et Carlson (1976)proposent :

500K2

H10pourK2

H2,1K30log

K30

ssss≤≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ δδ (a)

Cette équation peut également être représentée par :

41

sKH5,0072,0

H5,0

−δ

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⋅δ

L’équation (a) est basée sur des résultats expérimentaux.Les résultats théoriques de Fredsœ (1984) avec une erreur de ±20%sont approximativement donnés par :

δ

δ~u

turbulent

écoulement

δuu

δz

1

neirrotationécoulement'l

demaleimaxvitesse

aireminla

écoulement

onde'ditelimcouche



44

41

sKH5,015,0

H5,0

−δ

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⋅δ

La transition à un écoulement oscillatoire pleinement turbulent sur unfond plat peut être estimer par la formule :

( ) 41

50

2critique,

d2H5770

u⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ν⋅ωδδ

où 50d est le diamètre moyen des particules solides du fond.Transport de masse par

des ondes non déferlantesEcoulement oscillatoire d’un fluide parfait :Stokes (en 1847) est le premier à mettre en évidence que les particulesne décrivent pas exactement des orbites fermées dans une onde defaible amplitude se propageant dans un fluide parfait (irrotationnel) enécoulement oscillatoire. Les particules fluides possèdent une vitesseLagrangienne moyenne au seconde ordre (nommée : ‘’Stokes’’ drift)dans la direction de propagation de l’onde.La vitesse orbitale horizontale augmente avec z au – dessus du fond.Par conséquence, une particule au sommet d’une orbite sous une crêteva plus vite dans la direction de propagation que si elle est sous uncreux d’onde. Par définition ‘’the Lagrangien Stokes drift’’ ne peut pasêtre détecter par des mesures en un point fixe.La valeur instantanée du <Lagrangien Stokes drift> horizontal sU d’uneparticule d’eau qui a une position moyenne ( )11 z,x est ( )ε+ξ+ 11s z,xUoù ( )εξ, sont les coordonnées de la particule sur sa trajectoire. Uneapproximation de sU est donnée par :

( ) ( )zU

xUz,xUz,xU 11s11s ∂

∂ε+

∂∂

ξ+=ε+ξ+

En utilisant la théorie linéaire et en prenant en suite la moyenne sur unepériode , on obtient ainsi la vitesse en moyenne temporelle (notée ici par

une barre au – dessus) : ( ) ( )( )khsh

hzk2chHk81zU 2

2s

−ω= (équ. a2)

où on a pris l’origine des z à la surface libre du haut vers le bas :

z0z =

hz =



45

Au fond ( )hz = : ( )khsh8HkU 2

2s

ω=

A la surface ( )0z = : ( )khsh8

kh2chHkU 2

2s

ω=

Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainenon limité le débit volumique ( )s/m2 sur la profondeur d’eau h est :

( ) ( )( )

( )c8Hgkhth

8H

khsh16kh2shHdzzUM

22

2

20h ss =

ω=

ω=∫=

où ( ) ( )khthgkhth2

Tgonde'ldecéléritéc ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

==

Cette équation en eau profonde ( ) 1kh ⟩⟩ se réduit à : 8HM

2

sω

=

Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainelimité Il est logique d’imposé un débit volumique nul en chaque positionx, ce qui conduit à :

( )( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

ω=

hk2hk2shhzk2ch

khsh8HkzU 2

2s (équ. a1)

Cette équation montre que le courant résultant est la somme d’un<Lagrangien Stokes drift> dans le sens de propagation de l’onde et d’uncourant de retour uniforme dans le sens opposé. Ainsi on a un débit versdans le sens de propagation de l’onde proche de la surface (vers la cote)et un débit négative proche du fond ( vers le large : dans le sens opposéà la propagation de l’onde) : ce mécanisme de transport de massenécessite la présence d’un gradient de pression horizontal (cisaillementest absent car le fluide est parfait par hypothèse) qui ne peut être causéque par une élévation de la surface libre vers la cote (wave set – up).Le débit volumique ( )s/m2 en une position fixe (x) dans un fluide illimitépeut être également déterminer par une approche Eulérienne par :

( )( )

∫ ∫≡η

T0

t

he dtdzt,zU

T1M

où U est la vitesse horizontale instantanée au niveau z, et η est ledéplacement de la surface libre par rapport au niveau moyen d’eau MWL

La théorie linéaire donne : c8HgM

2

e = . La méthode Lagrangienne et

Eulérienne conduisent au même résultat de débit volumique. Mais ladistribution verticale de la vitesse de transport massique moyenne estdifférente pour les 2 approches.



46

Effet de la viscosité dans un écoulement oscillatoire turbulent :Longuet – Higgens (1953) a monté qu’il existe, pour un fluide réelvisqueux ν, un transfert ‘’en moyenne temporelle’’ de la quantité demouvement dans la direction de propagation dans la couche limite par la

diffusion visqueuse ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅ν

zU induisant un courant Eulerien moyen eU en

plus <Stokes drift> sU .La vitesse de transport totale moyenne mU est définie par :

∫∂∂

+∫∂∂

+=+= dtVzUdtU

xUUUUU ssem

Pour écoulement dans une couche limite laminaire Longuet – Higgens aobtenue :

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛δ

−ω

= δ−

δ− z2z

e3ezcos85hksh16

HkU 2

2m

où ων

==δ2aireminlaitelimcoucheladeépaisseur .

L’équation de mU posséde une valeur maximale donnée par :

( ) cu376,1

hksh4Hk376,1U

2

2

2m

δ⋅=ω

= où

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω==

=δ

kc

u

onde'ldecélérité

.L.Chorsvitesseladeimalemaxvaleur

En admettant un débit nul sur toute la profondeur d’eau Longuet –Higgens a obtenu :

( ) ( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω

=+=hzF

hksh8HkzUzUzU 2

2esm (équ. a3)) où

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1hz

23

hk2hk2sh

23

1hz4

hz3hk2sh

2kh

23hzk2ch

hzF

2

2

2

2

Pour un écoulement oscillatoire dans un fluide illimité la vitesse detransport Eulérienne en moyenne temporelle (induite par les effets deviscosité) peut être décrite par :



47

( )( )

( ) ( )hkcothzhHk21

hkshHk

163zU 22

2

2e −ω+

ω= (équ. a4))

Le débit moyen sur la profondeur d’eau est :

( )( )

( ) ( )hkcothzhHhk41

hkshHhk

163

c8HgdzUUM 222

2

220

hee −ω+

ω+=∫ +=

Transport de massepar

des ondes déferlantes

Quand une onde déferle elle génère un courant parallèle à la ligne decote (longshore current) et un autre vers le large (undertow). Onprésentera par ailleurs le modèle mathématique de Longuet – Higgenspour déterminer la circulation marine à l’échelle de la houle (parl’introduction du tenseur de radiation).Au – dessus du niveau du creux d’onde déferlante existe un débit vers lacote. En première approximation, ce débit peut être estimer par :

c8HgM

2=

En utilisant hgc = en eau peu profonde, il en résulte que :

8,0− 0 8,0 6,1 4,2

0

4,0

8,0

2

m

Hk

U4

ω

h

z

( )( )

( )( )a4)(équitélimilfluideCraikdemassedetransport

a3)(équitélimilfluideHiggens-Longuetmassedetransport

a2)(équillimitéfluidedans drift Stokes

a1)(équ limitéfluidedans drift Stokes

><

><



48

2Hhg

81M ⋅=

En admettant qu’il y a pas un transport total net d’eau sur la profondeurd’eau, la valeur moyenne du courant de retour sous le creux, est donnépar :

21toff,m Hh

hg

81U ⋅= −

En prenant h8,0ht ⋅= il résulte donc : 223

off,m Hhg15,0U ⋅⋅=−

ComplémentC1- Variation théorique de l’amplitude et de la cambrure des vagues par fond décroissant en absence de la réfraction : On a vu que l’énergie transmise (flux d’énergie = puissance) par unité detemps et de longueur à travers un plan vertical fixe par mètre linéaire decrête est :

g

22c

8gH

TEn

hk2shhk21

21

TE

hk2shhk21

T16LgHP ρ

=⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=

où gc est la vitesse de groupe locale : cnhk2sh

hk212ccg ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Au large, c’est – à – dire en eau profonde 1kh ⟩⟩ , on a :

0g

200

20

0 c8

gHT16LgHP ρ

=ρ

= car profondepeueauen

profondeeauen

1n5,0n

=•=•

Si le fond a une pente faible et qu’une énergie appréciable n’est réfléchienon plus dissipée alors on aura conservation de l’énergie transmise.Si les lignes de niveau sont parallèles aux lignes de crête (pas deréfraction) une énergie qui franchie un mètre de crête au large est lamême que celle qui franchie un mètre de crête près de la côte :Calcul de la variation de l’amplitude : ⇒= PP0

bH75,0

bH25,0

off,mU

on,mU

thh

SWL



49

g

0

g

g2

0 cc

cc

hk2shhk21hkth

1HH 0 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Posant hkx = alors

xchxxth

1

x2shx21xth

1HH

2

2

0 +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ dont la dérivée est :

2

22

xchxxthxch

x2thx12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−− s’annule pour : 198,1x

x1xth =⇒= alors

9129,0HH

imummin0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ; 158,0

198,1191,0

Lhet191,0

Lh

0===

Cependant 1HH

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ quand ⇒+=⇒=+ − x2e1x21

xchxxth 2

⇒π===Lh2hk639,0x 057,0

198,1191,0

Lhet1016,0

Lh

0===

c’est le point isométrique .C2- Variation de la cambrure :Les cambrures au large et en situation quelconque sont respectivement

LHet

LH

0

00 =γ=γ alors ⇒

γγ

=⋅γγ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛hkth

LL

HL

LH

HH 2

20

2

20

2

20

22

0

22

0

hkth1

HH

hk2shhk21hkth

103

2

0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γγ

La dérivée n’annule au environ de 17,2hk ≈ soit 34,0LH≈ et 33,0

LH

0≈

d’où un minimum a peine marqué : 985,097,00

2

0≈

γγ

⇒≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γγ . On

remarque que ce sont les houles les moins cambrées au large quis’approchent de la terre et subissent le plus forte augmentation de lacambrure.



50

C3 - Augmentation de la vitesse horizontale : en théorie linéaire

On a établit en eau peu profonde : ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=

ω−=

txksinhz1

THt,z,xv

txkcoshg

2Ht,z,xu

Ainsi l’amplitude de la vitesse horizontale est c2Hg

hg

2H~u = et celle

verticale est ( )hzkc2Hg

hz1

TH~v +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π car hgc = .

La composante horizontale maximale de la vitesse en eau profonde et

en surface est donnée par : 0

00 c2

Hgu = .

Ainsi le rapport est : 0

0

0

0

00

0

0 LL

HH

cc

HH

gHc2

c2gH

uu

γγ

==== car te

CT = .

Le rapport des vitesses maximales est égale au rapport des cambrures.Au déferlement, où γ atteint la valeur limite, on obtient alors la limite du

rapport des vitesses 0u

u .

On peut aussi exprimer u en fonction de hetL,H 00 . Pour kh assez on a

hk21~

HH

20

2 et 2

3202

3

2

222 TH

16H

gc4

Hgu−

π== avec

gL2T 02 π= d’où

( )43

41

0021

41 hLH

2g

22

1~u−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πCette vitesse tend vers l’infini si la profondeur d’eau tend vers zéro

0h → . Mais en réalité sa valeur est limité par le déferlement.

Au large (eau profonde) on a : 21

000

00 LHg2

Lg2

2Hu

−π=

π= donc :

( ) ( )

43

0

43

021

21

41

0 Lh18,0

Lh

g2

12g

2

1uu

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π=



51

Superposition des mouvements HarmoniquesLa superposition d’ondes de même périodes est :

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∑ ε÷∑ ε=θ∑ ε+∑ ε=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−

π=

∑ επ

∑ +επ

=∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π=η

sinacosatgsinacosaroù

Tt2cosr

sinaT

t2sincosaT

t2cosT

t2cosa

22

Par exemple prenons 2 composantes :

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ε+εε+ε

=θ

ε−ε++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−

π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π=η

//

//

//2/2

//

cosacosasinasinatg

cosaa2aaroù

Tt2cosr

Tt2cosa

Tt2cosa

Ainsi si les 2 composantes sont en phase /ε=ε alors :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π+=η

Tt2cosaa / proche des ventres

Mais si la différence de phase diffère d’une demi – période alors :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π−=η

Tt2cosaa / proche des nœuds

si en plus 0aa / =η⇒= oscillation nulle aux nœuds (onde harmoniquestationnaire pur).Si maintenant on superpose 2 ondes harmoniques de périodesdifférentes mais voisines (battement) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

π=η /

//

Tt2cosa

Tt2cosa

la résultante ne peut pas être représentée par une onde harmonique.Analytiquement si :

( ) ( )// tn2cosatm2cosa ε−π+ε−π=η avec ( )nm − est petit alors

( )θ−π=η tm2cosr où

( ) ( ) ( ) ⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ε+−π+ε

ε+−π+ε=θ

ε−ε+−π++=

//

//

//2/22

tnm2cosacosa

tnm2sinasinatg

tnm2cosaa2aar

On peut donc considérer la superposition de ces 2 ondes comme uneharmonique dont les éléments sont r & θ, qui ne sont pas constants maisvariables lentement dans le temps ayant la fréquence ( )nm − :



52

• L’amplitude est maximale quand : ( ) 1tnm2cos / +=ε−ε+−π etminimale quand ( ) 1tnm2cos / −=ε−ε+−π dont les valeurscorrespondantes sont respectivement /aa + et /aa − .

Edge waves on a sloping beachby F. URSELL 1952 Proc. Roy. Soc. A214 pp79 – 97

On considéré des ondes de gravité dans un canal à houle dont :(ii) la longueur est finie et de profondeur constante(ii) la longueur est infinie et de profondeur constante

Désignons par Ox l’axe le long du canal et par Oy l’axe vertical vers lehaut et Oz l’axe transversal. On supposera avec Ursell que le canal aune profondeur infinie (Cette hypothèse ne changent pas le caractère duspectre).

(ii) Dans un canal de profondeur infinie limité verticalement par lesplans ( ax,0x == ; bz,0z == ) les potentiels de vitesse desmodes normaux (naturels) sont donnés par :

( ) titi mnmn ebn

amyexp

bzncos

axmcosCez,y,x 2

2

2

2

mnmnωω ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=Φ

où n et m sont 2 entiers et mnC est une constante complexe. On a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π=ω 2

2

2

22mn b

namg (1)

Le spectre de fréquences données par (1) est discret et infini. On peutfacilement vérifier que : ( ) ag0 2

n,m2

n,1m π≤ω−ω⟨ + (2).On prendra la partie réelle de la solution. La solution du mouvement libreest donnée par : ( ) ( )∑∑Φ=Φ ω

m nmn

ti mnez,y,xt,z,y,x (3)

(ii) Supposons que la longueur du canal tend vers l’infini ∞→a l’équation(2) nous suggère que le spectre devient continu. Les modes normauxsont :

y z

O x

a

b



53

( ) ( ) ( ) ( )tkitki nn eb

nkyexpb

zncoskxcosCek;z,y,x 2

222

nnωω ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=Φ

où ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=ω 2

2222

n bnkgk

et k est un nombre positif. Pour le mode bidimensionnel ( )0n = toutes lesvaleurs réelles de σ sont valeurs propres, pour les modes 3Dimensions( )0n⟩ tout les réels σ sont bgnπ⟩σ . Quand n est donné il existe unelimite inférieure (fréquence de coupure) au – dessous de laquellen’existe pas de modes normaux.Le mouvement libre est maintenant de la forme :

( ) ( ) ( ) dkeb

nkyexpkxcoskCb

zncost,z,y,x ti n0 2

222

nn

ω∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+−∑

π=Φ ∞ (4)

• Ondes de coin non – visqueuses : Inviscid edge wavesOn va maintenant étudier le cas d’un spectre mixte. On considère le casde modes normaux excités par une plage de pente α à l’extrémité d’uncanal à houle semi – infini. Le potentiel de vitesse est défini dans larégion bz0&tgxy0 ≤≤α≤≤ où est satisfaite :

02 =Φ∇ avec les conditions aux limites

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===∂Φ∂

α=α∂Φ∂

=∂Φ∂

==∂Φ∂

+Φω

bzet0zen0z

tgxyentgxy

0yen0y

g2

La dernière condition limite montre que le potentiel est de la forme :

( )y,xfb

zmcose mm

ti ⋅∑π

=Φ ω

Si Φ est antisymétrique par rapport à b21z = ce que nous admettrons

alors la série se réduit à : ( ) ( )y,xfbz1r2cose 1r2

r

ti−⋅∑

π−=Φ ω

où 1r2f − vérifie l’équation :

( ) ( ) 0y,xfb

1r2yx 1r22

22

2

2

2

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ π−−

∂∂

+∂∂

−

et les 2 premières conditions aux limites.Il est à remarquer que le cas 1r = est particulier :



54

( ) ( ) ( )[ ]y1r2,x1r2fy,xf 11r2 −−=−

auquel il faut porter une intention particulière.Maintenant considérons une solution de la forme :

( ) tiey,xFkzcos ω⋅=Φ b

koù π=

Une solution est : ( )[ ] tiesinycosxkexpkzcos ωα+α−⋅=Φ (5) etd’après la première condition limite on a : α⋅=ω singk2

Le mode (5) est dû à Stokes (1846) il sera désigné par Stokes edgewave.

Puisque dxdydzgrad∫∫∫ Φ→

est fini, la fréquence b4

sing4singk

2 2 πα

=π

α=

πω

est une fréquence discrète du spectre.Pour une pente du fond α faible the Stokes adge wave n’est pas le seulmode discret mais le premier d’une suite. En considérant le potentiel :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) tiekzcos1m2siny1m2cosxkeA

1m2siny1m2cosxkeAsinycosxke

n

1mmn

n

1mmn

ω∑

α++α+−+

∑α−−α−−

+α+α−

⎭⎬⎫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=Φ

=

=

qui vérifie la 2ème et la 3ème conditions. La première condition estsatisfaite si :

( ) ( )( )∏

α+α+−

−==

m

1r

mmn rntg

1rntg1A & ( )α+⋅=ω 1n2singk2

La vitesse est finie dans le secteur quand ∞→x si ( ) 21n2 π≤α+ ; lemode de Stockes correspond à 0n = . Ceci a été expérimentalementvérifié par F. Ursell au laboratoire.

• Voir également J. Fluid Mech (1995) vol301 par P. Blondeaux &G. Vittori :

The nonlinear excitation of synchronous edge waves bymonochromatic wave normally approaching a plane beach.

Théorie d’onde cnoïdaleQuand la profondeur d’eau relative décroît vers à peu près 1,0Lh = , lathéorie de Stokes cesse d’être valable. Une autre approche théorique estnecessaire : c’est la théorie cnoïdale, qui était initialement développéepar Korteweg et De Vries en 1895 (Phil. Mag. 5 Ser. 39).La célérité de l’onde cnoïdale est donnée par :

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛κΚκΕ

−κ

+=211

hH1ghc 2 où 3

22

hLH

=κ



55

où κ est un paramètre elliptique ou module. ( )κΚ est l’intégrale elliptiquecomplète de κ de première espèce, ( )κΕ est l’intégrale elliptiquecomplète de κ de seconde espèce. Dont on rappelle les définitions :On continuera à présenter les résultats de cette théorie après le rappel

Rappel mathématique : Les intégrales & fonction elliptiquesEn physique mathématique appliquée apparaissent en non – linéairesdes solutions qui font appel aux fonctions et intégrales elliptiques quisont la généralisation des fonctions sinusoïdales prisent sur le cercletrigonométrique alors que les premiers sur une ellipse. On va lesrésumer dans ce qui suit :♦ Les formes de Legendre : La représentation de Legendre de ces intégrales elliptiques de premièreet deuxième espèce est :

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

π≤θ≤θ=κ

≤κ≤↔

∫ φφκ−=φκΕ

∫φκ−

φ=φκΚ

φ

φ

20,sinou

10

dsin1,

sin1

d,

0

22

0 22

où κ et φ sont désignés respectivement par le module et l’amplitude del’intégrale elliptique en question. La quantité 2/ 1 κ−=κ est désignéepar le module complémentaire.Ces intégrales sont tabulées pour les valeurs de κ=θ arcsin et φ entre0 et 2π ; en se donnant le valeur de 2κ dans une intégrale qu’on veutévaluer, on doit d’abord prendre la racine carrée pour avoir κ, puis oncherche κ=θ arcsin par la fonctions trigonométrique naturelle sinus ,ensuite trouvait ( )φκΚ , ou ( )φκΕ , par les tables des intégrales elliptiques.Les intégrales elliptiques complètes : Les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espècesont les valeurs de ( )φκΚ , ou ( )φκΕ , pour 2π=φ , on trouve :

( )

( ) ∫ φφκ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πκΕ=κΕΕ

∫φκ−

φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πκΚ=κΚΚ

π

π

2

0

22

2

0 22

dsin12

,ou

sin1

d2

,ou

Il existe des tables à part pour ces intégrales elliptiques complètes.N.B. : on peut évaluer par une méthode numérique ces intégrales.On a par définition des fonctions intégrales elliptiques complètes :

( ) ( )( ) ( )φκΕ±Ε=φ±πκΕ

φκΚ±Κ=φ±πκΚ,n2n,,n2n,



56

ceci résulte des propriétés de la fonction périodique sinus.Si la borne inférieure d’intégration n’est pas zéro, on peut écrire :

( ) ( )122

1

1

0 22

2

0 2222,,

sin1

d

sin1

d

sin1

dφκΚ−φκΚ=∫ ∫

φκ−

φ−∫

φκ−

φ=

φκ−

φφ

φ

φφ

on a une formule similaire pour ( )φκΕ , . Si l’une des bornes d’intégrationest négative on peut utiliser le faite que ( )φκΕ , est impaire en φ :

( ) ( )φκΚ−=∫φκ−

φ−=∫

φκ−

φ=φ−κΚ

φφ−,

sin1

d

sin1

d,0 220 22

et ( ) ( )φκΕ−=φ−κΕ ,, .N. B. : pour des valeurs petites de κ on évaluer avec une approximationbonne évaluer les intégrales par un développement en série.♦ Les formes de Jacobi :Si nous posons xsin =φ dans les formes de Legendre on obtient alorsles formes intégrale de Jacobi :

1x2x1

dxcos

dxddcosdxsinx

àcorrespond

2

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯π=φ

−=

φ=φ⇒φφ=⇒φ=

alors

( )( )( )

( ) ∫ ∫−κ−

=φφκ−=φκΕ

∫ ∫κ−−

=φκ−

φ=φκΚ

φ

φ

0

x

02

2222

0

x

0 22222

dxx1

x1dsin1,

x1x1

dx

sin1

d,

( )( )( )

( ) ∫−κ−

=∫ φφκ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πκΕ=κΕ=Ε

∫ ∫κ−−

=φκ−

φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πκΚ=κΚ=Κ

π

π

1

02

222

0

22

2

0

1

0 22222

dxx1

x1dsin12

,

x1x1

dx

sin1

d2

,

Pourquoi désigne – t – on ces intégrales par elliptique ? tout simplementelles sont liées au calcul de la longueur d’un arc le long d’une ellipse,analogue au calcul trigonométrique sur un cercle, en effet :

L’équation d’une ellipse sous forme paramétrique est : ⎩⎨⎧

φ=φ=

cosbysinax

on

prendra ba ⟩ (dans le cas où ba ⟨ utilise: φ=φ= cosby,cosax ), on a :( ) 22222222 dsinbcosadydxds φφ+φ=+=

puisque 0ba 22 ⟩− on peut écrire :



57

( ) φ∫ φ−

−=φ∫ φ−−=∫ dsina

ba1adsinbaads 22

222222

c’est une intégrale elliptique de second espèce où 22222 eaba =−=κ(e est l’excentricité de l’ellipse). Si on veut le périmètre de l’ellipse φ doitvarier de 0 à π2 , le résultat est : ( )2,a4 πκΕ . Pour un petit arc on peutintroduire ses bornes dans l’intégrale est obtenir ainsi ( ) ( )12 ,, φκΕ−φκΕ .Rappelons nous que :

xsindxx1

dxu 1x

0 2−=∫

−=

qui définit u en fonction de x , ou l’inverse ; ainsi usinx = . D’une

manière similaire : ( )( )( )

∫κ−−

=φκΚx

0 222 x1x1

dx, définit u en fonction de φ

(ou bien fonction de φ= sinx ) [on admet que κ est constante]. On écrit :

( )( )( )∫ −=↔=

κ−−= −

x

0

1

222udeenesslireusnxxsn

x1x1

dxu

Comme uamp=φ est l’amplitude de l’intégrale elliptique ( )φκΚ= ,u etφ= sinx , on a :

( )uampsinsinusn =φ=

usn est une fonction elliptique. Il existe d’autres fonctions elliptiques quiont une ressemblance avec les fonctions trigonométriques. On définit :

( ) ( )22

2

x1usn1

uampsin1uampcoscosucn

−=−=

−==φ=

222222 x1usn1sin1

ddu1

dududn κ−=κ−=φκ−=

φ

=φ

≡

la valeur de φddu se calcule à partir des expressions donnant ( )φκΚ= ,u .Il existe des formules, comme en trigonométrie, qui relient ces fonctions :comme les formules d’addition, d’intégrales, de dérivées, …Etc.Exemple :

( ) ( ) udnucndudcossin

dudusn

dud

⋅=φ

φ=φ=

Pour plus de détail consulter l’ouvrage :D’Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun :

[ Handbook of Mathematical Functions with Formulas,Graphs, and Mathematical tables ]



58

National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55U. S. Government Printing Office, Washington, D. C. 1964

La célérité ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛κΚκΕ

−κ

+=211

hH1ghc 2 se situe entre 2 limites :

Celle des ondes sinusoïdales de cambrure hH faible et celle des ondessolitaires pour une grande cambrure hH c’est – à – dire :

• Pour les premiers (ondes sinusoïdales) :

0hLH verstend3

22 ⎯⎯⎯⎯ →⎯=κ & 1

hH⟨⟨ soit : ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−= 2

2

L3h21ghc

qui s’approche de la célérité donnée en théorie linéaire :

21

2

221

L3h21gh

Lh2th

2gLc

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

• Pour les deuxièmes quand l’onde tend vers l’onde solitaire :

1hLH verstend3

22 ⎯⎯⎯⎯ →⎯=κ & 73,0

hH≤ soit : ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

h2H1ghc

qui s’approche à 2% de la célérité de l’onde solitaire

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

hH1ghHhgc

on démontre que dans ce cas ∞=T .

Le paramètre 3

22

hLH

=κ (dit paramètre d’Ursell dont on a parlé en page

52 : propagation ondes sur une plage) caractérise le passage des houlesde type Stokes à celles de type cnoïdale.La longueur d’onde L est donnée par :

( )κΚκ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

3

H3h16L

L’élévation de la crête au – dessus du SWL est donnée par

( ) ( ) ( )[ ] κΕ−κΚκΚ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

HL

Hh

316

Ha 3

c

Le déferlement selon cette théorie se produit pour : 73,0hH=

Ces résultats sont au second ordre d’approximation.

chapitre 1 equations des ondes en bidimensionnelle ......zorkani mohammed département...

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