等分正多邊形面積的研究 - imohkc.org.hkimohkc.org.hk/upfile/editorfile/files/中二 冠軍...
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等分正多邊形面積的研究
論文題目: 等分正多邊形面積的研究
城市: 香港
學校名稱: 中華基督教會銘基書院
姓名(班別): 王治心(中二甲)
指導老師姓名:張家驍老師
等分正多邊形面積的研究
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2
目錄
一、導論 3 - 5
二、探究如何等分正方形 6 -17
三、探究如何等分正三角形 18- 21
四.、探究任意等分正 n 邊形 22-27
五、總結 28
參考資料 29
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3
一、導論
(1) 研究動機
「幾何」的原文是”geometria”(英文 geometry)原意為測地術,發祥於埃及。在古埃及,每
年尼羅河氾濫後,耕地需要重新丈量地界,而埃及人的測量是僅限於用手或簡單的工具。而
在這份研習,我們將會探討如何不透過用任何量度工具,只運用幾何定理去等分正多邊形。
利用摺紙,我們一定試過將一張正方形摺紙對摺平分、四分、甚至八分。但在沒有任何
量度工具下,如何能夠將正方形三分、五分、六分呢?甚至將一個正方形分為任意等分呢?
除了正方形外,還有其他的正多邊形,包括正三角形、正五邊形、正六角形等,可有一
個方法能讓我們去等分不同的正多邊形?如果有,又有多少種不同的等分正多邊形方法?
在這個研習,我將會探究如何運用正多邊形的特性,對稱性及幾何定理,透過摺紙的方法去
探究如何等分正多邊形為任意等分。在這份報告,我只考慮所得的等份形狀為凸多邊形 (所
得的等份為凹多邊形或邊界為曲線的,不在這次討論範圍之內) 。
為了解開以上的謎團,現在開始這個等分正多邊形之旅。
(2) 研究策略
正多邊形是等邊等角的圖形,有着不同的對稱性,如旋轉及反射對稱。在這個報告我會
利用正多邊形的特性,全等三角形、等底等高三角形及不同的幾何定理去探究如何等分正多
邊形:
(I)利用旋轉對稱
例:
若沿對稱角線 AC 可平分正方形 ABCD,當 AC 以圖形的中心順時針旋轉 90O時,所得對角線
BD 同樣可平分正方形。(圖 1.1)
圖 1.1
圖形的中心
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
-
4
(II) 利用正多形的特性
例:
ABCDE 為正五邊形,其每一條邊長都是相等的,F 為圖形的中心,以各頂點連接中心點 F,便
得五個全等三角形,它們的面積必然相同。(圖 1.2)
圖 1.2
(iii 利用邊界上的等分點——分割成等底等高三角形
例:
P1P2為 AB 的三等分點,即 AP1= P1P2= BP2,則 CP1及 CP2將 ΔABC分割為三個等底等高三角形,
其面積必然相等。(圖 1.3a)
圖 1.3a
同理,若以(n-1)個 n 等分點將 AB 等分 n 等個線段,並以各 n 等分點 ( 1P , 2P , …, 1nP )連接至
頂點 C,便能將 ΔABC 分為 n 等分。(圖 1.3b)
圖 1.3b
A B
C
1P 2P 3P
2nP
1nP
……
A B
C
1P 2P
-
5
(3)探究流程
我會首先探究如何等分正方形,因為一般的摺紙都是正方形的,而且正方形有不同的對
稱性。接着,再探究如何等分正三角形,其實不同的正多邊形都是由三角形(包括正三角形及
等腰三角形)組成的。我們可以運用從等分正方形及正三角形的方法去等分任意的正多形。
等分正方形
等分正三角形
等分任意正多邊形
-
6
二、探究如何等分正方形
(1) 二分、四分正方形
(i) 二分正方形
ABCD 為正方形,則 AB=BC=CD=AD
圖 2.1
設 M、N、P、Q 分別為 AB、BC、CD 及 AD 的中點。經頂點、中點的對摺線能將正方
形 ABCD 分為兩等分。
二分正方形有不同的方法,最常用的包括利用對邊中點(圖 2.2a) 及對角線(圖 2.2b)。
圖 2.2a
圖 2.2b
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
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7
除以上的方法外,任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形:
首先找出正方形的中心:正方形對角線相交於點 G,點 G 為正方形 ABCD 的中心(圖
2.3a)。接着,任何經過正方形中心的摺線如 XY 均能二分正方形。(圖 2.3b)
圖 2.3a 圖 2.3b
証明:任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形
點 G 為正方形 ABCD 的中心,已知 PM(穿過 CD 和 AB 這兩條對邊的中點)能二分正方形
ABCD。X、Y 分別為 CD 及 AB 的任意兩點,且 XY 穿過 G。(圖 2.4)
:
圖 2.4
∠XGP = ∠YGM (vert. opp. ∠s)
∠PXG = ∠MYG (alt. ∠s,CD // AB)
PG = MG (G 為中心點)
∴ ΔXGP ΔYGM (AAS)
∴ 四邊形 AYXD 的面積與四邊形 BYXC 的面積相等。
∴任何經過正方形中心的摺線均能二分正方形,因此有無限種方法二分正方形。
A B
C D X P
G
Y
A B
C D X P
G
Y
A B
C D
M
N
P
G
M
-
8
(ii) 四分正方形
四分正方形與二分正方形相似,其中的方法包括利用對邊中點、對角線及考慮正方形
的旋轉對稱性:
- 利用對邊中點、對角線將正方形均分為 4 個大小形狀相同的等分。(圖 2.2a)
- 利用頂點及中點將正方形均分為 4 個大小形狀相同的等分。(圖 2.2b)
圖 2.2a
圖 2.2b
除此之外,將原先的分割線以圖形的中心順時針(或逆時針)任意旋轉,亦能將正方形均分為四
個大小形狀相同的等分(圖 2.3a, 2.3a)。
圖 2.3a 圖 2.3b
圖形的中心
因此,有無限種方法去二分或四分正方形。
A B
C D
M
N
P
Q
x
Q
x
Q
x
Q
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
a
b
b
a
b
b
a
a
A B
C D
M
N
P
Q
A B
C D
M
N
P
Q
-
9
(2) 三分正方形
去均分正方形為三個面積相等的部分,就要先討論如何去找出每條邊的三等分點。
(i) 找出三等分點
ABCD 是一個正方形,M 為 AB 的中點,為 AC 及 MD 的相交於點 T。
證明 AT : AC=1:3
∠ATM = ∠CTD (vert. opp. ∠s)
∠MAT = ∠DCT (alt. ∠s,AB // DC)
∠TMA = ∠TDC (alt. ∠s,AB // DC)
∴ ΔATM ~ ΔCTD (AAA)
2
1
CT
AT
CD
AM (corr. Sides, ~ s )
∴ AT : AC = 1 : 3 ,即線段 AT 佔線段 AC 的 1/3,點 T 為 AC 的三等分點。
作 XY 過點 T 且 XY⊥CD,證明3
ABAX
ΔAXT ~ ΔCYT,
2
1
CT
AT
CY
AX (corr. Sides, ~ s ) ,
因 XB=CY, 2
1
BX
AX
,所以3
ABAX
點 X 為 AB 的三等分點。
圖 2.5
-
10
同理及利用正方形的對稱性,可找出正方形每條邊的所有三等分點,如下:
圖 2.6
為三等分點
(2) 在上文已討論如何在正多邊形的邊界線段上找出三等分點,下文探究如何利用三等分點
將正方形三等分。
方法一:
連接對邊上的三等分點 ,所得每個小矩形的面積均為正方形 ABCD 的三分之一。
如圖 2.7a 及圖 2.7b
圖 2.7a
或
圖 2.7b
-
11
方法二
先取任意一個頂角,如頂角 A
圖 2.8
在上圖中,P1 、P2、 P3、P4分別為 BC 及 CD 的三等分點,在圖中的六個三角形面積都相等(因
這些三角形的底部及高都相同),因此這三個正方形已經等於被六等分了。
因此,我們得 ΔAB P2的面積=四邊形 A P2 C P3的面積=ΔA P3D 的面積(見下圖 2.9)。
圖 2.9
這樣透過一個頂點及 2 個三等分點 P3和 P2就把正方形 ABCD 三等分了。
-
12
如圖 2.10,P 為 AB 的中點,作 AC
及 PD,其相交點 T 乃 AC 的三等
分點。最後得X為AB的三等分點。
(3) 任意等分的探究
探究如何將一個正方形分為任意等分:
在前部分已探究如何從一段的中點找出其三等分點,並透過三等分點去均分正方形三等分。
圖 2.10
其實,同樣用相同方法可以把正方形 ABCD 的邊(例: AB)分為三等分、四等分甚至是任意等
分:
首先,利用二等分點得三等分點;
跟着,利用三等分點得四等分點;
接着,利用四等分點得五等分點;
如此類推,可得 n 等分點,即將邊 AB 分為四等任意等分;
證明 :
若 P 為 AB 的三等分點,即3
ABAP ,証明 X 為 AB 的四等分點。(圖 2.10)
ΔAPT ~ ΔCDT ,有3
1
CD
AP
CT
AT
又 ΔAXT ~ ΔCYT,得 3
1
CT
AT
CY
AX
因 BX=CY,3
1
BX
AX,所以
4
ABAX
因此,利用以上方法,我們由 3 等分點得 4 等分點。
同理,我們可以由四等分點去得五等分點,由五等分得等六等分,如此類推。將正方形的邊(例:
AB)分為任意等分。
-
13
接着,我將會證明如何由 n 等分點得(n+1)等分點。
證明:
若點 P 為 AB 的 n 等分點(n
ABAP ) ,則
1
n
ABAX
圖 2.11
P 為 AB 的 n 等分點,即n
ABAP
因 ΔAPT ~ ΔCDT
又 ΔAXT ~ ΔCYT,得 nCT
AT
CY
AX 1
因 XB=CY, ,所以1
n
ABAX
即 X 為 AB 的(n +1) 等分點
∴ 矩形 AXYD 的面積為正方形 ABCD 的面積的1
1
n
因此,理論上我們可以分 AB 為任意等分,即用以上方法摺得 AB 線段上的 n 等分點,n 為任
何整數。但實際上,當 P 點很接近 A 點時,我們無法再用摺紙方法得點 X 的,而所得的 n 等
分點,其中 n 的最大可能值與紙的大小厚薄相關。
D C
T
Y
A B P X
-
14
接着,我們可以利用 n 等分點去 n 分正方形。
方法一:連接對邊上的 n 等分點。
(n-1)個 n 等分點
或
圖 2.12
方法二:利用一個正方形上任意一個頂角,將正方形均分成 n 等分。
情況(1):當 n 為偶數
例:n=2,利用對角線將正方形分為兩等分。(圖 2.13)
圖 2.13
-
15
例:n=4
先利用對角線,分為兩個全等三角形,然後再利用中分點分別平分這兩個三角形成
2 個等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 422 等分。(圖 2.14)
圖 2.14
為 2 等分點
例:n =6
先利用對角線,分為兩個全等三角形,然後再利用三等分點分別三分這兩個三角形成 3
個等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 623 等分。(圖 2.15)
圖 2.15
為 3 等分點
若 n=2m,m 為任意整數
先利用對角線,分為兩個全等三角形,然後再利用 m 等分點分別 m 分這兩個三角形成 m 個
等底等高三角形。上下兩個三角形共分為 mm 22 等分。(圖 2.16)
圖 2.16
為 m 等分點
-
16
情況二:當 n 為奇數
例:n=1:即原正方形
例:n=3:
先用對角線將正方形分為兩個全等三角形,然後再利用三等分點分別三分這兩個三角形
成 3 個等底等高三角形(圖 2.17a)。
圖 2.17a 包括 3x2 =6 個面積相等的三角形,將相鄰的兩個三角形組合,便能 3 分這個正
方形了。(圖 2.17b)
圖 2.17a 圖 2.17b
註: 為三等分點
例:n=5
先用對角線將正方形分為兩個全等三角形,然後再利用五等分點分別五分這兩個三角形
成 5 個等底等高三角形(圖 2.18a)。
圖 2.18a 包括 5x2 =10 個面積相等的三角形,將相鄰的兩個三角形組合,便能 5 分這個正
方形了。(圖 2.18b)
圖 2.18a 圖 2.18b
為 5 等分點
-
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當 n = 2m + 1
圖 2.18c
同理,若要均分正方形為(2m + 1) 等分,沿着對角線將正方形分為兩等分。然後將上下兩個
三角形利用等分點各自分為(2m +1)等分,得(4m +2)個等底等高(即面積相等)的三角形。
將倆倆相鄰的三角形組合,便成功將正方形分為(2m +1)等分。
-
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三、探究如何等分正三角形
(1) 二分正三角形
ABC 為正三角形,則 AB=BC=AC
圖 3.1
若 D 為 BC 的中點,則 BCAD ,我們有 ABD 的面積 = ACD 的面積。
考慮正三角形的對稱性,平分有以下的方法:
圖 3.2
(2) 三分及六分正三角形
ABC 為正三角形,點 D、E、F 分別為 BC、AB 及 AC 的中點,則 G 為的重心,亦是正
三角形的垂心。
以下我將討論如何利用 重心 G 三分及六分正三角形 ABC 。
A B
C
D F
E
G
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
D
-
19
證明中線 AD、BF 及 CE 平分 ABC 為六等分
圖 3.3
在 ABG ,
AGE 及 BGE 為等底等高三角形,因此 AGE 的面積= BGE 的面積,
設 AGE 的面積= BGE 的面積=a (如圖 3.3)
同理,
在 BCG ,
B D G 的面積= CDG 的面積,
設 BDG 的面積= CDG 的面積= b (如圖 3.3)
在 ACG ,
AFG 的面積= CFG 的面積,
設 AFG 的面積= CFG 的面積= c (如圖 3.3)
又因 AEC 及 BEC 為等底等高三角形,
a+c+c = a + b+ b
c= b
另 ADC 及 ADB 為等底等高三角形,
b+c+c = b + a+ a
c= a
因此,a = b = c
A B
C
D F
E
G
a a
b
b c
c
-
20
跟據以上結果,利用重心 G,三條中線 AD、BF、CE,我們可以 6 分正三角形如下:
圖 3.4
利用重心,三分正三角形如下:
方法一 方法二
圖 3.5
(3) 四分正三角形:
若點 D、E、F 分別為正三角形的 BC、AB 及 AC 上中點,(如圖)
圖 3.6
則 BCEF2
1 (中點定理)
所以 EF=BD=CD,
同理 DE=CF=AF 及 FD=AE=BE
AE=BE=BD=CD=CF=AF=DE=EF=DF
AEF 、 BDE 、 FDC 、及 DEF 均為正三角形,且為全等三角形(SSS)。
A B
C
D F
E
A B
C
G
-
21
因此,利用正三角形邊界上的中點,連接 EF、DE 及 DF,可以將正三角形 ABC 分為四
等分。
(4) 討論如何 n 分正三角形
圖 3.7
在第二部,我們已經討論如何將一條線分為 n 等,而利用這些等分點,我們可以把一個正三
角形分為任意等分。
設 P1、P2、P3……Pn-1為 BC 上的 n-1 個等分點,則 1CAP 、 21PCP 、……、 12 nn PCP 、 1 nBCP
等為面積相等的等底等高三角形,所以它們的面積相等,且每個小三角形的面積都是原本正
三角形 ABC 面積的 1/n。
總括而言,可以將正三角形及正方形分為任意等分。但其他的正多邊形又能否被均分為任意
等分呢?如果能,又有多少種不同的等分法?
接着的部分,將會探究如何等分任意正多邊形為任意等分。
A B
C
D F
1P 2P 3P
2nP
1nP
……
-
22
四.、探究任意等分正 n 邊形
(1) 二分正多邊形
若利用正多邊形的頂、中點,我們可以容易地去二分多邊形如下:
當 n 為奇數
連接頂點與對邊的中點,將正多邊形分為兩等分。
例:正五邊形
或 或
圖 4.1
當 n 為偶數
沿對對邊的中點( 或相對的頂點)對摺,可以將正多邊形分為兩等分。
例:正六邊形
或 或
或 或
圖 4.2
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23
與第三部的討論相似,其實任何經過正多邊形中心點的摺線均能二分正多邊形,如圖 4.3a 及
圖 4.3b。
圖 4.3a 圖 4.3b
因此,除了可以亘接連接圖形的頂點、中點和中心點去二分任何正多邊形外,還可以利用經
過正多邊形中心點的摺線去二分正多邊形,其實有無限種二分的方法。
接着,我會討論如何利用圖形的中心點及頂點去將一個正 n 邊形分別均分為 n 等分及三等分。
(2) 探究如何 n 分及三分正 n 邊形
去 n 分一個正 n 邊形,只需將每個頂點及正多邊形中心點連摺。利用旋轉對稱,更可得
無限個方法去 n 分它的方法。
例:正五邊形
其中 F 點為正五邊形的中心點,分別連接 5 個頂點與中心點 F,便能 5 分正五邊形。每
個等分均為全等的三角形。(圖 4.4a)
每條原本的分割線一齊以圖形中心 F 旋轉一個相同的度數,而所得的新分割線(以虛線表
示)同樣能五分這個五邊形。(圖 4.4b)
圖 4.4a 圖 4.4b
-
24
接著,用第三部份討論的方法,利用每個三角形的重心,分別將每個三角形分成六等分。
這樣,我們便將正五邊形共分為 5x6=30 等分。(如圖 4.5 a)
那麽,每個 10 分(=30/3 )佔原本正五角形的 1/3 。(如圖 4.5b)
圖 4.5a 圖 4.5b
(3) 探究如何 p 分正 n 邊形,p 為任意整數
設 n 為該正多邊形的邊數,且設 p 為要等分的數量
圖 4.6
首先將正 n 邊形的每一條邊分為 p 等分,
然後以連續(n+1)個 p 等分點的首尾兩點及圖形的中點連在一起,構成的 p 個三角形或四
邊形,每個構成的三角形或四邊形佔原本正多邊形面積的 1/p。
註:利用 p 等分點,將正多邊形等分為 np 個面積相等三角形,每個小三角形面積為原
來正 n 邊形面積的np
1,組合 n 個小三角形的面積
p
1 正 n 邊形面積 (
pnpn
11
),
即 p 等分正 n 邊形。
(p-1)個 p 等分點
-
25
以下演示如何利用 p 等分點去 p 分正 n 邊形:
例:把正三角形分成五等分(即 p=5,n=3)
圖 4.7a
例:把正六邊形分成四等分(即 p=4,n=6)
圖 4.7b
備註:
若以每條分割線以圖形的中心旋轉一個相同的度數,可得無限種方法去五分正三角形及
四分正六邊形。
總結來說,利用 p 等分點可以將任何正 n 邊形分成任意等分,若張每條原本 p 分正 n 邊
形的 p 條割線一齊以圖形中心旋轉一個相同的度數,經旋轉所得的 p 條新分割線同樣能
p 分這個正 n 邊形。 因此,有無限種不同方法將正 n 邊形分為任意等分。
接着,我會討討論如何將正多邊形的等邊等分為任意等分,
-
26
(4) 以下將討論如何將正多邊形的等邊等分為任意等分
把五邊形三等分為例,解釋如何透過摺出五邊形等邊上的三等分點。
(i) 把頂點依中線向下摺疊 3 次,
得三條互相平行的線段。(圖 4.8a)
圖 4.8a
(ii).把最下線近中線的那端及左端的那頂點連接(圖 4.8b)
圖 4.8b
(iii) 把第二步中出現的角複製到最頂層(依橙線摺疊頂層) (圖 4.8c)
圖 4.8c
-
27
(iv). 最後得 PM//EO,點 P 為得到的綠點就是邊的 1/3 點
構作 AE 的三等分點的証明如下:
PM//EO (corr. ∠s, equal)
∠APM =∠AEO (corr. ∠s, PM//EO)
∠AMP =∠AOE (corr. ∠s, PM//EO)
∠PAM=∠EAO (common ∠)
ΔAPM~ΔAEO (AAA)
AM=MN=NO (by construction)
3
1
AO
AM
AO
AM
AE
AP (corr. sides, ~ s )
3
1
AE
AP
-
28
五、總結
在日常生活中,總有需要把一些物件的面積或體積均分為若干等分,例如:摺紙時把紙張
均分,在切蛋糕時把蛋糕均分等(對於角柱/圓柱的立體,若能夠將它的底面積分成等分,就能
把立體分成等分了)。在這個專題研習,我探討了如何在不用工具的情況下,均分不同的正多
邊形。
將正 n 邊形面積分成二等分,我們一般會將圖形對摺。當 n 為奇數,只需連接頂點與對
邊的中點便可以二分正 n 邊形; 當 n 為偶數,只需沿對對邊的中點(或相對的頂點)對摺,便
可以二分正 n 邊形。透過幾何方法,我知道原來任何經過正多邊形中心點的摺線均能二分正
邊形。因此二分正多邊形的方法有限多呢﹗
除二分法外,原來所有的正多邊形均能分成任意等分。跟據今次研究的結果,我得出了
能分正多邊形為任意等分的方法,當考慮圖形的對稱性,更發現原來有無限個方法均分正多
邊形為任意等分﹗
經過這次研習正多邊形之旅,我領略學習幾何的樂趣,多去思考,並利用數學定理去驗
證自己的想法是否正確。
-
29
參考資料
1. “幾何學”,維基百科,
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%AD%A6#.E7.B0.A1.E5.8F.B
2,2016 年 4 月 2 日下載。
2. “實用幾何學”,國立自然科學館,
http://exresource.nmns.edu.tw/ShowObject.aspx?id=0b81dd15320b81db11860b81db11a30b81d7
922c,2016 年 4 月 2 日下載。
3. “正多边形”,百度百科,
http://baike.baidu.com/view/793578.htm,2016 年 4 月 2 日下載。
4. “尋找等分的故事”,香港青少年數學建模論文比賽,
http://www.imohkc.org.hk/UPFILE/Editorfile/f,
iles/2013%C3%96%C3%90%C2%B6%C3%BE%C2%B9%C3%9A%C3%9C%C5%A0%20%2
0%C5%92%C2%A4%C3%95%C3%92%C2%B5%C3%88%C2%B7%C3%9D%C2%B5%C3%
84%C2%B9%C3%8A%C3%8A%C3%82.pdf ,2016 年 4 月 2 日下載。
5. “生日快樂切蛋糕之正多邊形等分問題”, 中華民國 第 49 屆中小學科學展覽會
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