24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆

A

B C

D

E

观察下列图形他们有什么特点？

各边相等各边相等 ,, 各角也相等的多边形叫做 各角也相等的多边形叫做 正多边正多边形形 ..

三条边相等，三条边相等，三个角相等三个角相等（（ 6060 度）。度）。

四条边相等，四条边相等，四个角相等四个角相等（（ 909000 ）。）。

正三角形

正方形

一 一 .. 正多边形定义正多边形定义

如果一个正多边形有如果一个正多边形有 nn 条边，那么这个正多边形条边，那么这个正多边形 叫做叫做正正 nn 边形边形。。思考思考 : : 菱形是正多边形吗菱形是正多边形吗 ?? 矩形是正多边形矩形是正多边形呢呢 ??

菱形菱形 , , 矩形都矩形都不是正多边形不是正多边形

正 n 边形与圆的关系1. 把正 n 边形的边数无限增多 , 就接近于圆 .

2. 怎样由圆得到多边形呢？A

B C

D思考 1: 把一个圆 4 等分 , 并依次连 接这些点 , 得到正多边形吗 ??

弧相等弧相等弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）

圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）—多边形是正多边形多边形是正多边形

思考 2: 把一个圆 5 等分 , 并依次连接这些点 , 得到正多边形吗 ??证明：证明：∵∵ AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA

A

B

C D

E⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

∴∴AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA

∵∵BCE=CDA=3ABBCE=CDA=3AB⌒

∴∠∴∠A= B∠A= B∠ 同理∠同理∠ B= C= D= E∠ ∠ ∠B= C= D= E∠ ∠ ∠∴∠∴∠A= B= C= D= E∠ ∠ ∠ ∠A= B= C= D= E∠ ∠ ∠ ∠

又∵顶点又∵顶点 AA、、 BB、、 CC、、 DD、、 EE 都在都在⊙⊙ OO 上上∴∴五边形五边形 ABCDEABCDE 是⊙是⊙ OO 的 的 内接正五边内接正五边形形 ..

定理 1 ：把圆分成 n （ n≥3）等份：

依次连结各分点所得的多边形是这个圆

的内接正多边形 .

又∵五边形 PQRST 的各边都与⊙ O 相切，

∴五边形 PQRST 的是 O 外切正五边形。

证明：连结 OA 、 OB 、 OC ，则：

∠OAB= OBA= OBC= OCB∠ ∠ ∠

∵TP 、 PQ 、 QR 分别是以 A 、 B 、 C

为切点的⊙ O 的切线

∴∠OAP= OBP= OBQ= OCQ∠ ∠ ∠

∠ PAB= PBA= QBC= QCB∠ ∠ ∠

又∵ AB=BC

∴AB=BC

∴△PAB 与△ QBC 是全等

的等腰三角形。

∴∠P= Q PQ=2PA∠

同理∠ Q= R= S= T∠ ∠ ∠

QR=RS=ST=TP=2PA

⌒⌒

A

B

C D

E

P

Q

R

S

T

O

定理 2 ：经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形 .

思考 3: 过圆的 5 等份点画圆的切线 , 则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗 ??

E

F C

D

..OO中心角

半径半径 RR

边心距 r

正多边形的中心正多边形的中心 :: 一个正多边形的一个正多边形的 外接圆的圆心外接圆的圆心 ..

正多边形的半径正多边形的半径 :: 外接圆的半径外接圆的半径

正多边形的中心角正多边形的中心角 :: 正多边形的每一条正多边形的每一条 边所对的圆心角边所对的圆心角 ..

正多边形的边心距：正多边形的边心距： 中心到正多边形的中心到正多边形的 一边的距离一边的距离 ..

二二 . . 正多边形有关的概正多边形有关的概念念

1. O 是正△ ABC 的中心，它是△ ABC的_____ 圆与 ________ 圆的圆心。2. OB 叫正△ ABC的_____, 它是正△ ABC的 ______圆 的半径。 　　　　　3. OD 叫作正△ ABC______, 它是正△ ABC的 ______ 圆的半径。

A

B C

.O

D

外接内切

半径外接

边心距内切

4. BOC∠ 是正△ ABC的 ________角 ;

中心∠BOC=_____度 ; BOD=_____∠度 .

120 60

5 、正方形 ABCD 的外接圆圆心 O 叫做 正方形 ABCD的 ____________

6 、正方形 ABCD 的内切圆的半径 OE 叫做 正方形 ABCD的 ___________

A

B C

D

.O

E

中心

边心距

7 、⊙ O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，弦 AB的 弦心距 OF 叫正五边形 ABCDE的 ________ ， 它是正五边形 ABCDE的 ________ 圆的半径。8 、∠ AOB 叫做正五边形 ABCDE的 _______ 角，

它的度数是 ________D

E

A B

C.O

F

边心距内切

中心72 度

9 、图中正六边形 ABCDEF 的中心角是 _______; 它的度数是 _________;

10 、你发现正六边形 ABCDEF 的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？　

BA

E

FC

D

.O

∠AOB60 度

11 、判断题。、判断题。

①① 各边都相等的多边形是正多边形。 （ 各边都相等的多边形是正多边形。 （ ））

②② 一个圆有且只有一个内接正多边形 （ 一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ））

22 、证明题。、证明题。

求证：顺次连结正六边形求证：顺次连结正六边形

各边中点所得的多各边中点所得的多

边形是正六边形。边形是正六边形。

A

B

C D

E

F

××

××

A

B

C D

E

3. 求证：正五边形的对角线相等。

证明： 在△ BCD和△ CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。

已知： ABCDE 是正五边形，求证： DB=CE

E

FC

D

...OO

中心角中心角

AA BBGG

边心距把△ AOB分成2 个全等的直角三角形

设正多边形的边长为 a,半径为 R,则周长为 L=na.

R a

正正 nn 边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是 ____________;____________;

中心角是中心角是 ___________;___________;

正多边形的中心角与外角的大小关系是正多边形的中心角与外角的大小关系是________.________.

n

n 1802）（

n

360

相等相等

完成下表中正多边形的计算 ( 把计算结果填入表中 ) ：

三、正多边形的有关计算

例 有一个亭子它的地基是半径为 4m 的正六边形 , 求地基的周长和面积 ( 精确到 0.1 平方米 ).

F

A D

E

..OO

B C

r R

P

)(6.4132242

1

2

1

32

22

4

24

2

22

24

mLrS

r

BCPCOCOPCRt

亭子的面积

心距根据勾股定理，可得边

，中，在

.

606

360

半径六边形的边长等于它的是等边三角形，从而正

，它的中心角等于

是正六边形，所以由于

OBC

ABCDEF

∴亭子的周长 L=6×4=24(m)

F

A D

E

..OO

B C

rR=4

P

3. 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过 n 边形的中心。

四、正多边形的性质及对称性

4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。

1 、正多边形的各边相等

2 、正多边形的各角相等

小结：小结：

11 、怎样的多边形是正多边形？、怎样的多边形是正多边形？

22 、怎样判定一个多边形是正多边形？、怎样判定一个多边形是正多边形？

①① 各边相等各边相等②② 各角相等各角相等 的多边形叫做正多边形。的多边形叫做正多边形。

• 1 、两个正六边形的边长分别是 3和 4 ，这两个正六边形的面积之比等于 ________

• 2 ．圆内接正方形的半径与边长的比值是________

• 3 ．圆内接正四边形的边长为 4 cm ，那么边心距是 ________

• 4 ．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为 __________ ．

• 5 ． 圆内接正六边形的边长是 8 cm 用么该正六边形的半径为 ________ ；边心距为________ ．

五 . 拓展练习

• 6 、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是 ( )

A ．正三角形 B 、正方形 C ．正六边形 D 正十二边形• 7 ．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等

的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）

A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D 4个

• 8 ．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）

A. 互余 B. 互补 C. 互余或互补 D. 不能确定

• 9 ．若一个正多边形的每一个外角都等于36°, 那么这个正多边形的中心角为（ ）

A． 36° B 、 18° C． 72° D． 54°• 10 ．将一个边长为 a 正方形硬纸片剪去

四角，使它成为正 n 边形，那么正 n 边形的面积为（ ）

A 、 • 11 ．正六边形螺帽的边长为 a ，那么扳

手的开口 b 最小应是 ( )A 、

3

3D. a

2

3C. a

2

1B a3 、

2222 2)a-2(2D a2

2C a

9

7B )323( 、、、a

六六 .. 画正多边形的方法画正多边形的方法1.1. 用量角器等分圆用量角器等分圆2.2. 尺规作图等分圆尺规作图等分圆

(1) (1) 正四、正八边形的尺规作正四、正八边形的尺规作图图

(2) (2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图正六、正三 、正十二边形的尺规作图(3) 按照一定比例 , 画一个停车让行的交通标 志的外缘

停停

(4)(4) 用量角器作五角星；用量角器作五角星；