群論入門 2lionfan/group2.pdf群論入門 2 -部分群・ 巡回群・ 剰余類-...
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群論入門 2群論入門 2
-部分群・巡回群・剰余類-(p443-p449)
また会えたね!張り切っていこう!
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部分群とは何か?
ある群Gの元をいくつか集めると、群Gと同じ演算で(変えてはいけない!)
ふたたび群になるとき、その集合を群Gの部分群(subgroup)といいます。
すべての奇数は「足し算」では群にはなりません。奇数+奇数=偶数で、演算が閉じていませんから。
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
群 G
部分群 H任意の2元を足しても、
やっぱり偶数でしょ?
群Gの部分群は
しばしばHと書きます。
(Gの次の文字だから)
たとえば整数と「足し算」は群ですが、
偶数だけでも群となります。ですから偶数は「足し算」において整数の部分群です。
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trivialの語源は tri(「3つの」)、via(ラテン語で「道」)=三叉路
三叉路は人通りが多く、秘密の話ができず、会話は「つまらない」ものに限られるからなんだ。
その他、via関連の単語を紹介すると…obvious (明白) 見逃すはずはない道の真ん中obviate (除去する) 道の障害物を片付ける
出典 Norman Louis -Word Power Made Easy-
自明な部分群・真部分群
群Gそのものと、単位元だけの群は、いつでも部分群です。これを「自明な部分群」(trivial subgroup)といいます。
この2つを除いた物を、「真部分群」(proper subgroup)っていうの。自分自身を除く部分集合を「真部分集合」っていうけれど、
「真部分群」の場合は{e}も除くことに注意するのよ。
それでは、部分群の例を見てみましょう。
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部分群の具体例
30*n度の回転群を親として、120*n度の回転群は部分群。
位数は12から3になる。
S4の対称群を親として、偶置換だけ、つまり交代群A4は部分群。
位数は 24(= 4!) から12よ。
クラインの4元群において、{e、x}は部分群。位数は4から2。
一般に部分群の位数は、親の位数を自然数nで割ったものだ。これをラグランジュの定理という。
あとで証明しよう。
0-11において12を法とする演算群が親なら、
{0、4、8}は部分群。位数は12から3になるわ。
群マシンで確認してね。
(13) (14) (23) (24) (34) (12)(34)
(13)(24) (14)(23) (123) (132)
(234) (243) (1234) (1243)
(124) (142) (134) (143)
(1324) (1342) (1423)
(1) (12)
(1432)
(1) (12)(34)(13)(24)(14)(23)(123)
(124) (142) (134) (143) (234) (243)
(132)
交代群A4
対称群S4
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
e x
e xx e
e x
クラインの4元
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部分群の判定法
部分集合HがGの部分群であるかどうかの判定法は3つあります。
部分群が無限集合の場合、a∈H,b∈H のとき a★b-1∈H ならHは部分群
という判定法もあります。ほとんど上と同じことです。
部分群が有限集合のとき、a∈H,b∈H のとき a★b∈H ならHは部分群です。閉じていればいいわけね。
部分群が無限集合なら、(たとえばG=(整数,+)でH=(偶数,+)
a∈Hのとき a-1∈H (逆元が存在すること)という条件が追加されます。
ここでは、有限集合の場合の判定法に限って証明します。
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有限なら閉じてさえいれば部分群 その1
Hを部分群と仮定します。aをHの元とすると、a★a、a★a★a…、つまりan タイプは、すべてHに属します。(nは自然数に限るけど)
いまHは有限なのに、anのnを大きくすれば、元を無限につくれます。なぜでしょう? …重複があるからです。
つまりai = aj となる、異なる自然数 i,jがあるのです。(ここで i<j と仮定しても問題ないわね)
群Gの部分集合Hが 有限 のとき、a★b∈H(a∈H,b∈H)なら、
Hは部分群である
Hは閉じてるんでしょ?だから演算結果も
やっぱりHに属すの。
-群の4条件-
A 閉じている
AB 結合法則
O 単位元
B 逆元
仮定より、Hは 演算★ において閉じています。(A)結合法則はGで満たされているので、Hでも満たされます。(AB)
-
有限なら閉じてさえいれば部分群 その2
ai = aj という整数 i,j があるなら、単位元は aj-i=eです。(両辺にa-iを掛けました)
単位元もanタイプで、しかも(j-i>0 より)n は自然数です。よって単位元はHに含まれています。(O)
群Gの部分群Hが有限集合なら、a∈H,b∈H のとき a★b∈H ならHは部分群である
あと必要なのは「逆元がHに存在すること」の証明ね。つまり逆元もanタイプ(n=自然数)になってればいいの。
aの逆元って、仮にXとすると、どんな元aに対してもX★a=e となる元のことよね。
j-i≧2ならば、X★a=aj-i。両辺にa-1をかけてX★a=aj-i-1。j-i≧2だから、j-i-1は自然数。
j-i=1ならば、aj-i=a1=e。 (つまりaは単位元で、それ自身で逆元よ)1はもちろん自然数。
結局、Hのどの元も、逆元はanタイプ(nは自然数)でしょ?だから逆元はかならずHにあるの。(B)O、A、B、ABが集合Hでも満たされるので、Hは群。OK?
-群の4条件-
A 閉じている
AB 結合法則
O 単位元
B 逆元
-群の4条件-
A 閉じている
AB 結合法則
O 単位元
B 逆元
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巡回群の例を挙げましょう。
たとえば整数と足し算は「群」だが、整数はすべて元1のn乗なんだ。
えっ? 1のn乗は1じゃないかって?この場合、「積」とは「足し算」のことだろ?
つまりn乗とはn回の「足し算」なんだ。だから整数nは1nとなる。
ちなみにこの場合、1-n=-nだ。
生成元と巡回群
ある群のすべての元が、ある一つの元aのべき乗、つまりanであらわせる場合が、しばしばあります。
このような群を巡回群 (cyclic group) といいます。
そしてaのことを生成元 (generator) といいます。
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巡回群の具体例
30*n度の回転群なら、30度の回転を生成元とした巡回群だ。ただし生成元は、たとえば330度回転(-30度回転=a11)でもいい。
S4の対称群において生成元はないの。24枚のカードすべてを、ある1枚のカードをn枚つないで作るわけにはいかないから。
ゆえに4次の対照群S4は巡回群ではないの。
クラインの4元群も巡回群ではない。どの元の2乗も自分自身になってしまい、
4つの元を覆えないから。
(13) (14) (23) (24) (34) (12)(34)
(13)(24) (14)(23) (123) (132)
(234) (243) (1234) (1243)
(124) (142) (134) (143)
(1324) (1342) (1423)
(1) (12)
(1432)
0-11において12を法とする演算群なら1が生成元。でも7とか11も生成元になるの。
要するに12との最大公約数が1ならいいわけ。
群マシンで確認してね。
X軸
Z軸
Y軸
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巡回群はアーベル群
a★b=b★aが成り立つ群がアーベル群なんだけど、巡回群はつねにアーベル群よ。
だって、すべての元がanの形なんでしょ? だったらai★aj= ai+j = aj+i =ai★aj だから。
巡回群なら群マシンで扱える、ということはわかると思う。0,1,2,3,…のかわりに a1 a2 a3 … an とすればいい。
逆に巡回群でなければ、群マシンで扱うのは無理じゃないか?
ええ、ちょっとした工夫で扱うことができます。例としてクラインの4元群を扱ってみましょう。
(p445の図11.7のbも実はクラインの4元群)
これはアーベル群ですが、巡回群ではない例です。
あら、前に誰か、群マシンは有限のアーベル群なら扱える
って言ってなかったっけ?
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
1章11ページ目「クラインの4元群 その3」を参照のこと
クラインの4元群
-
X軸
Z軸
Y軸
e、x、y、zを「対応表A」のように対応させれば、クラインの4元群は2次元の0,1ベクトルで表現できます。
たとえばx★y=zは、(10)+(01)=(11)という、ベクトルの足し算に還元できます。
つまりクラインの4元群は、
0,1の円盤を乗せた群マシン2台で扱えるのです!
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
11
00
10
01
11
00
10
01
00
10
01
11
11
00
10
01
11
00
10
01
11
00
10
01
zyxe
11
00
10
01
01 10
01 10
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
コード化 デコード
zyxe
11
00
10
01
群マシン
群マシンってお得だね!
対応表A 対応表A’
クラインの4元群クラインの4元群
クラインの4元群を群マシンで扱う 1
-
X軸
Z軸
Y軸
いま排他的論理和を演算とすると、x=(10)、y=(01)ですので、
すべての元は=xnym
と表わせることに注目してください。
zyxe
11
00
10
01
x0y0
x1y0
x0y1
x1y1
排他的論理和って、
0+0=01+0=10+1=11+1=0
のことだよ!
クラインの4元群を群マシンで扱う 2
-
クラインの4元群を群マシンで扱う 3
クラインの4元群のすべての元がxnymで表せるように、一般に有限のアーベル群は、
元をx、y…とうまくとると、すべての元が xnym… と表現できることが証明されています。
いいかえると、n個の巡回群に分解できるのです。
このときx、y…を底 (basis)といいます。「てい」と読みましょう。
つまり有限のアーベル群ならn台の群マシンで扱える、ってことだね!
nは底の数だよ。
クラインの4元群の場合、
さっきは底をx、y に取ったけど、y、zとか、z、xを底にしても良かったの。
底の取り方は一通りとは限らないってことよ。
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もっと上手いやり方があるの。たとえば 13 で3をつくれば、
あとは 315 で45になるでしょ?手数は17(=3+15-1)手で済むのね。
加法鎖の求め方について
生成元の話が出たところで、ちょっと寄り道しよう。最初に生成元{1}が与えられているとしよう。
そして演算は + だけが許されている、としよう。
与えられた値、たとえば45を素早く生成するには、どうすればいいだろう?
たとえば 145 でも生成できるけど、45手かかってしまう。
{1,2,3,4,5,6,7,8,…45}
45手
{1,2,3,6,9,12,15…45}
17手
-
これを加法鎖(addition chain)という。代表的な手法を2つ紹介しよう。1つ目はnが因数分解できる場合のテクニックだ。
加法鎖の作り方 その1
pとqの加法鎖がそれぞれ{1,2,…p}、{1,2,…q}と生成できるとき、pqの加法鎖は 手順1 さっき生成したのと同じ方法でpをつくる。 手順2 qの生成方法と同様に、しかしスタートをpにして加法鎖をつくる。 手順3 すると{p×1,p×2,…pq}ができ、目的のpqが完成する。
このように生成します。
たとえば45=5×9の場合、5は{1,2,3,5}、9は{1,2,4,8,9}で作れるから、
{1,2,3,5,10,20,40,45}が答えなの。
1,2,3,5
1,2,4,8,9×
1,2,3,5,10,20,40,4545
5
9
×8手かかったわ
8手
すべて 5 倍!
-
2つ目はゴールから逆算する方法だ。
加法鎖の作り方 その2
このテクニックだとnがどんな数でも大丈夫。その前に確認。仮に加法鎖がpまでできたとする。{1,2,…p}。そのとき次の1手で、つねに{p+1}か{2p}に行けることを確認してほしい。「持ち物」にいつも1とpがあるからね。…確認したかい? よぉぉぉし。
それではnが1になるまで、手順1、2を繰り返してほしい。 手順1.偶数だったら2で割る。 手順2.奇数だったら1を引く。
たとえば45なら、{45,44,22,11,10,5,4,2,1}ね。
これを逆にした{1,2,4,5,10,11,22,44,45}が答えよ。9手かかったわね。
さっきの答えが8手だから、少し能率が悪いけど、どんな問題でも簡単に解けるのがポイントよ。
それでは寄り道から戻りましょう。
-
剰余類
一般に部分群の位数は、親の位数を自然数nで割ったものになります。
これがラグランジュの定理 (Lagrange’s theorem)です。しかし証明の前に、まず「剰余類」(coset)を勉強しましょう。
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
クラインの4元群で、まず直感的な説明。色をつけたところが
「部分群」だろ?
ここが
「右剰余類」(right coset)よ。
ここが
「左剰余類」(left coset)で
クラインの4元群
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
クラインの4元群
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
クラインの4元群
-
左剰余類
群Gの部分群をHとします。群Gに属する元aを固定したとき、
集合{a★h|{h∈H}}を
「aに関するHの左剰余類」といいます。
たとえば元yを固定したとき、H={e,x}だから、
「yに関するHの左剰余類」はここです。
e x y z
z y x e
e x y zx e z yy z e x
e x y z
なぜ左「剰余」類というのか。群マシンで説明しましょう。
ラグランジュ著「数値方程式の解法」をエヴァリストが借り出したとき、図書館員はからかおうとした。「規則は知っているだろうね。八日間しか借り出せないんだぜ。それを八日で読み上げるつもりかね?」「やってみるよ」かれは序論にある代数学の定義を読み出した。
-インフェルト「ガロアの生涯-神々の愛でし人-」日本評論社、p88-
ラグランジュはガロアに強い影響を与えた。群論の概念の一部は、ラグランジュも気づいてたようだ。
部分群H
-
左剰余類と群マシン その1
いま群Gを、12を法とする{0-11}の群とし、部分群をH={0,4,8} とします。
つまり右の車輪には {0,4,8}しかない、とします。
左の車輪に0(単位元)をセットすると、左の車輪は {0,4,8} しか行けません。
0★H=H ってことよ。
11
6
54
3 2
1
0
78
9 10
4
0
8
部分群H群G
群Gの元(この場合e)
-
11
6
54
3
2
1
0
7
8
9 10
4
0
8
左剰余類と群マシン その2
右の車輪を変えないまま(つまり部分群はHのままで)左の車輪に1をセットしましょう。
こんどは左の車輪は{1,5,9}に行きます。この{1,5,9}こそ、「1に関するHの左剰余類」です。
4で割って1余る数の集合だろ? だから剰余類。
1★H={1,5,9} ってことね。
部分群H群G
群Gの元(この場合1)
-
「セットした数」のことを
「代表」(representative)といいます。丸で囲ったのが「代表」です。
「代表」は各左剰余類を代表しています。代表は好きに取ってかまいません。
群Gを部分群Hで分類する
11
6
5
43 2
1
0
78
9 10
4
0
8
÷
=
4
08
3
7
11
6 2
10
5
1
9
+ ++
群G 部分群H
0★H 1★H 3★H2★H
G =
0★H
+1★H
+2★H
+3★H
Hで割った「余り」は左です。
だから「左剰余類」なのです。a★H なら、小文字が
左にあるから左剰余類。
数式で書くとこうなる!
本によっては逆の定義もあるらしいが、
剰余の意味からしてこちらが正しい(はず)
-
小難かしく言うと…
このことを証明しよう。
4
08
3
7
11
6 2
10
5
1
9
0★H 1★H 3★H2★H
各左剰余類は、まったく異なる
「a★Hとb★HをHの2つの左剰余類とする。このときa★Hとb★Hは、
互いに素であるか、あるいは完全に一致する」
各左剰余類はまったく共有する元を持ちません。4つの車輪で、同じ数字がないでしょ?
-
いまa★Hに属する好きな元、a★h3をとると、
a★h3 = (b★h2 ★ h1-1 )★ h3
= b★ (h2 ★ h1-1★ h3) ∈ b★H
a★H、b★Hに共通な元 f があるとしよう。
そのときa★h1=b★h2 (というh1、h2がH中にあるはずだ)
両辺に h1-1 をかけて a= b★h2 ★ h1-1
どれもHの元だから、いくら掛けても
やっぱりHの元なの。
つまりa★H に属するどんな元も、かならず b★H に含まれる。
ゆえに a★H ∈ b★H。
ところが同じ論法で a★H ∋ b★H。
よって、a★H とb★H に共通な元が1つでもあれば、
a★H = b★H となり、2つは完全に一致する。(終)
これを利用している
各剰余類は、まったく異なることの証明
(注)右剰余類の証明もまったく同様なので省略!
-
だからHの剰余類は、+ 記号を使っていいの。G = a1★H + a2★H+ … + ar★H っていうようにね。
この r を指数 (index)という。
群Gを部分群Hで割ったときの、剰余類の数が 指数 だから、
G / H とでも書きたいところだが、ま、(G:H) と書いてほしい。
いま証明したとおり、異なる剰余類は共通な元をもたない。
カッコよく書けば
a、bが異なる左剰余類に属すなら(a★H)∩(b★H)=φ
指数
Gは部分群Hによって、a1,a2,… ,arを代表とする
r個の左剰余類に分けられたのね。
(注)この記法だと、群Gの位数 (=メンバー数) は
#G = ( G : {e} ) と表現できるよ!
-
分割したあとの
円盤の数だから…4!
具体例で覚えよう。この場合、指数はいくつ?
指数を覚える
11
6
5
43 2
1
0
78
9 10
4
0
8
÷
=
4
08
3
7
11
6 2
10
5
1
9
+ ++
群G 部分群H
0★H 1★H 3★H2★H
正解!位数12の群Gを、
位数3の部分群Hで「割った」から、
位数は4になったの。
-
この場合、右剰余類と左剰余類が完全に一致してるわ。
アーベル群なら、いつも (右剰余類)H★a=a★H (左剰余類)。だってアーベル群は a★b=b★a が成り立つんでしょ?
だったらa★h=h★a も成り立つから。
この場合は右、左を区別する必要がないから「剰余類」っていうの。アーベル群でないなら、H★a=a★H とは限らないわ。
右剰余類 が何かは、
もう見当がつくと思う。
そう、H★a のことだ。
右剰余類
11
6
5
43 2
1
0
78
910
4
0
8
÷
=
4
08
3
7
11
6 2
10
5
1
9
+ ++
群G 部分群H
H★0 H★1 H★3H★2さっきとは逆に
なっているよ!
指数は、右剰余類でも左剰余類でも同じになるわ。
-
そろそろ概念が混乱しはじめたんじゃないか?
私の経験では、これらの概念を覚えるだけで3日かかった。
しかも、しばしば忘れた。復習しておこう!
巡回群・アーベル群・部分群・真部分群
巡回群 … すべての元が an であらわせる。
アーベル群 … a★b=b★a がなりたつ。
部分群 … 群Gの部分集合が、やっぱり群。
真部分群 … 部分群-自明な部分群。
自明な部分群 … 群G自身と、{e} 。
数学の言葉、それは一種の速記術である。 -J・ヤング-
「巡回群」が、忘れやすいと思うわ。
-
復習の続き。すまんね!
個人的には 位数 と指数 の区別が難しかった。
生成元・底・位数・指数・右剰余類・左剰余類・代表
生成元 … 群のすべての元が、そのべき乗であらわせる元のこと。
底 … 群Gのすべての元が a1n,a2m,…, arp と表現可能なGの元a1,a2,…, arのこと。
位数 … 群の元の数。(メンバー数)
指数 … 群Gの部分群Hによる、異なる剰余類の数。
左剰余類 … 群Gの部分群をHとすると、a★H。(ただしa∈G)
右剰余類 … 群Gの部分群をHとすると、H★a。(ただしa∈G)
代表 … (左剰余類の場合)a★H の a のこと。
数学ほど、このことわざが物をいうところはない。
「言いだしたからには途中でやめるわけにはいかない」。
-コヴァンツォブ-
右剰余類と左剰余類、
どっちがどっちか、大丈夫?
小文字のある方よ!
-
2章の終わり
2章は文字だらけだし、派手な定理がなくてつらい章だが、よくがんばった! いよいよ3章で、
ラグランジュの定理バーンサイドの定理フェルマーの小定理
を証明できる! 地道な努力のおかげだよ!ここまでの静聴、どうもありがとう!
今後ともわれわれは、気合をいれてがんばるぞ!
まーだ、やる?
刺しちゃおうか。
あのヒト、
しつこいのよ。