概率论与数理统计

主 讲：杨明磊

Email: mlyang@xidian.edu.cn

雷达信号处理国家重点实验室

课件网址：

http://web.xidian.edu.cn/mlyang/teach.html （中文）

http://jalon.unice.fr/cours/deneire/Cours.deneire.200

8-09-03.4613 （法文）

mailto:mlyang@xidian.edu.cnhttp://web.xidian.edu.cn/mlyang/teach.htmlhttp://jalon.unice.fr/cours/deneire/Cours.deneire.2008-09-03.4613

课程安排 分两学期完成

前期中文课程

法文（集中两周）

TD课程（10次，法文、中文交叉进行）

总成绩=75%法方成绩+25%中方成绩

教材：

1.《概率论与数理统计》（第四版），浙江大学 盛骤等编，高等教育出版社

2. 《Statistique Appliquée et Processus Aléatoires》，Luc编

概率论与数理统计是研究随机现象

统计规律性（数量规律）的一门学科.

主要包括两部分：

概率论：（1-4章）

数理统计：（5-8章）

第一章 概率论的基本概念

第二章 随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布

第四章 随机变量的数字特征

第五章 大数定律和中心极限定理

第六章 数理统计的基本概念

第七章 参数估计

第八章 假设检验

§1 随机试验

确定性现象：一定条件下必然发生，结果确定

不确定性（随机）现象：条件不能完全确定结果，可能出现A也可能不出现

确定性现象

不确定性现象

——确定

——不确定

——不确定

自然界与社会生活中的两类现象

例：向上抛出的物体会掉落到地上

明天天气状况

买了彩票会中奖

投掷骰子会出现点数 ——不确定

6

(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶

然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具

有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象

统计规律性的一门数学学科.

随机现象是通过随机试验来研究的.

问题 什么是随机试验?

如何来研究随机现象?

说明

(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性

联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.

对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。

它具有以下特性：

① 可以在相同条件下重复进行

② 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的

所有可能结果；

③ 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生

例：

抛一枚硬币，观察试验结果；

对某路公交车某停靠站登记下车人数；

抛一枚骰子，观察出现的点数；

对听课人数进行一次登记；

•实例 “抛掷一枚硬币,观

•察正面、反面出现的情况”.

•分析

•(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;

•(2) 试验的所有可能结果:

•正面、反面;

(3) 进行一次试验之前不能

确定哪一个结果会出现.

• 故为随机试验.

§2 样本空间·随机事件

(一)样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的

样本空间，记为S={e}，

称S中的元素e为基本事件或样本点．

S={0,1,2,…}；

S={正面，反面}；

S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；

S={ x|a≤x≤b }

记录一城市一日中发生交通事故次数

例：

一枚硬币抛一次

记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y

记录一批产品的寿命x

(二) 随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且

仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。

S＝{0,1,2,…}；

记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S，

A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。

例：观察916路公交车西电站候车人数，

如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，

故又称S为必然事件。

为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含

任何样本点。

•实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.

•必然事件 随机试验中必然发生的事件．

•不可能事件 随机试验中不可能发生的事件.

•实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.

•实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.

•基本事件 由一个样本点组成的单点集

•特别地：

• 实例 •抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.

(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）

例：

记A={明天天晴}，B={明天无雨}

记A={至少有5人候车}，B={至少有10人候车}

一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

A B

A BB A

＝

1 A B A B ：事件 发生一定导致 发生

B A

B A

B A

S

AB

事件的运算

{ | }A B x x A x B A B 或 ： 与 至少有一发生。

1 2

1

1 2

1

, ,

, ,

n

i n

i

n

i n

i

A A A A

A A A A

： 至少有一发生

： 同时发生

S

BA

S

A B

S

BA

A B3、A与B的和事件，记为

, ,A B A B AB 4、A与B的积事件，记为

{ | }A B x x A x B A B 且 ： 与 同时发生。

当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。

A B

A B

A B AB

A B AB

S

A B

AS

A

{ | } A B x x A x B A B 且5、差事件

, ,

A A S A B SA A A B

A BA A

的 记为 , 逆事件 互若 ,称 逆、互斥

例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：

{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}

{甲、乙都不来}

{甲、乙至少有一人不来}

•事件的运算规律

由集合的运算律，易给出事件间的运算律.设

CBA ,, 为同一随机试验 E 中的事件，则有

•(1)交换律 ,ABBA

;ABBA

•(2)结合律 ),()( CBACBA

);()( CBACBA

•(3)分配律 ),()()( CBCACBA

•(4)自反律 ;AA

•(5) 德摩根律

(对偶律).)( BABA

•注： 上述各运算律可推广到

件的情形.

,BAB)(A

有限个或可数个事

nn AAAAAA 2121

nn AAAAAA 2121

一、频率

定义

0 An n

次数为

频率.

若在相同条件下进行 次试验，n 其中 发生的A

则称 ( ) Ann

f An

为事件 发生的A𝑛𝐴，

§3 频率与概率

显然 0 ≤ 𝑓𝑛(𝐴) ≤ 1;

试验

序号

n =5 n =50 n =500

nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

1

5

1

2

4

2

3

3

0.4

0.6

0.2

1.0

0.2

0.4

0.8

0.4

0.6

0.6

22

25

21

25

24

21

18

24

27

31

0.44

0.50

0.42

0.50

0.48

0.42

0.36

0.48

0.54

0.62

251

249

256

253

251

246

244

258

262

247

0.502

0.498

0.512

0.506

0.502

0.492

0.488

0.516

0.524

0.494

表 1

例：抛硬币出现的正面的频率

实验者 n nH fn(H)

德·摩根 2048 1061 0.5181

蒲 丰 4040 2048 0.5069

K·皮尔逊 12000 6019 0.5016

K·皮尔逊 24000 12012 0.5005

表 2

.2

1的增大n)(Afn

** 频率的性质：

且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．( )nf A

1 2

11

1 0 ( ) 1

2 ( ) 1

3 , ( ) ( )

n

n

k k

k n i n i

ii

f A

f S

A A A f A f A

。

。

。 若 ,…, 两两互不相容，则

在学习几何和代数时，我们已经知道

公理是数学体系的基础. 数学上所说的“

公理”，就是一些不加证明而公认的前提

，然后以此为基础，推演出所讨论对象的

进一步的内容.

二、概率的公理化定义

即通过规定概率应具备的

基本性质来定义概率.

下面介绍用公理给出的概率定义.

1933年，前苏联数学家柯

尔莫哥洛夫给出了概率的公理

化定义.

柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且

极为简单，但在此基础上建立起了概率论

的宏伟大厦.

定义: 设E是随机试验, S是它的样本空间, 对于

E的每一件事件A 赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满

足下列三个条件:

1.非负性: 对每一个事件A,有 ;0)( AP

2.规范性: 1;P(S)

3.可列可加性: 对任意可数个两两互不相容的

事件 ,,,,, 21 nAAA 有

)(A)(A)(A)AA(A n21n21 PPPP

则称 P(A)为事件A的概率.

(2) (有限可加性)若A1, A2,…,An是两两互不相容的事件, 则

2.概率的性质(1) P()=0．【注】反之不然.

(3) 设A, B是两个事件, 若A B , 则有

(5) (逆事件的概率)对任一事件A，

(4) 对于任一事件A，有 P(A)≤1.

推论: 对任意事件A, B有

)(1)( APAP

)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP

(6) (加法公式) 对于任意两事件A,B 有

P(A∪B )=P(A)+P(B)-P(AB)

P(B A)=P(B)P(AB).

(减法公式)

P(BA)=P(B)P(A) ; P(B)≥ P(A).

3 ( ) ( ) ( ); ( ) ( )A B P B A P B P A P B P A ， 且若 则有

( ) ( ( ) (6 ) )P A B P A P B P AB 概率的加法公式：

性质证明：

( )B A B A ( ) ( ) ( )P B P A P B A

( ) ( ) ( ) 0P B P A P B A ( ) ( )P B P A

( )A B A B AB ( ) ( ) ( )P A B P A P B AB

2 ( ) ( ) ( )B AB P B AB P B P AB 。又 ，由 知

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB

推论1: 设A1, A2, A3为任意三个事件，则有：P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)

P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3)

推论2: 对于任意n个事件A1, A2, …An，则有：

nji

ji

n

i

i AAPAP11

)()(

)()1()( 211

1

n

n

nkji

kji AAAPAAAP

P(A1∪A2∪ …∪An)=

小游戏

--寻找有缘人

将自己的生日发到班级群中，寻找与自己生

日相同的同学

1.定义：

(1) 试验的样本空间的元素只有有限个；(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.

这种试验称为等可能概型或古典概型．

§1.4 等可能概型(古典概型)

2.古典概型中事件A的概率的计算公式

设试验E的样本空间 S={e1,e2,…,en}，且每个基

本事件发生的可能性相同，若A包含k个基本事件,

即

则有1 2

{ } { } { }ki i i

A e e e 1 2(1 )ki i i n

中基本事件的总数

包含的基本事件数

S

A

n

kePAP

k

j

i j

1

})({)(

设E是试验，S是E的样本空间，若

• 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题

基本计数原理

这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的

30

1. 加法原理

设完成一件事有m种方式，

第一种方式有n1种方法，

第二种方式有n2种方法,

…；

第m种方式有nm种方法,

无论通过哪种方法都可以完成这件事，

则完成这件事总共有n1 + n2 + … + nm种方法 .

基本计数原理

31

32

基本计数原理

则完成这件事共有

种不同的方法 .

mnnn 21

2. 乘法原理

设完成一件事有m个步骤，

第一个步骤有n1种方法，

第二个步骤有n2种方法,

…；

第m个步骤有nm种方法,

必须通过每一步骤,

才算完成这件事，

，

33

加法原理和乘法原理是两个很重要

计数原理，它们不但可以直接解决不少

具体问题，同时也是推导下面常用排列

组合公式的基础 .

34

k = n时称全排列

( 1)( 2) 2 1 !nn nA A n n n n

3. 排列、组合的几个简单公式

!( 1)( 2) ( 1)

( )!

k

n

nA n n n n k

n k

（1）排列: 从n个不同元素取 k 个

( )的不同排列总数为：nk 1

35

!

! ( )! !

kk nn

A nC

k n k k

4. 组合: 从n个不同元素取k个

（1 k n)的不同组合总数为：

k

nC 有时记作

k

n,

称为组合系数.

排列和组合的区别:

顺序不同的排列视为不同的排列,

而组合与顺序无关.

例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一

球的可能性相等，从中随机摸一球，

记A={ 摸到红球 }，求P(A)．

解： S={1,2,…,8} ,A={1,2,3}

38

P A

例2 一袋中有10只球, 其中4个红球, 6个白球, 从袋中

取3次, 每次取一只. 按两种取法: (a)放回抽样; (b)不

放回抽样取球，求

(1)取到的3个球都是白球的概率;

(2)取到的3个球中有2个红球，1个白球的概率.

= 0.2883

3

10

6)( AP

3

21

3

10

64)(

CBP

310n 解 (a)放回抽样

8910

456)(

AP

8910

346)(

1

3

CBP

(b)不放回抽样 10 9 8n

=0.3

=0.216

=0.167

例3 设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,任意选取n个人(n

例4 在一批n个产品中，有m个次品，从这批产品中

任取 k个产品，求其恰有l个( l ≤m)次品的概率．

解: 从n个产品中任取k个产品，共有 种取法.

故基本事件总数为 ．knC

k

nC

lkmn

lm CC

k

n

lk

mn

l

m

C

CC

设 A=“取出 k 个产品中恰有 l 个次品”

若事件A发生，即从m个次品中取 l 个次品，从n-m个

正品中取k-l个正品，故事件A所包含的基本事件数为

所以 P(A) ＝ －－－超几何分布公式

又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24整除,因此,

例5 在1～2000的整数中随机地取一个数, 问取到的

整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

解: 设A为事件“取到的数能被6整除”， B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为

2000

333)( AP

2508

2000

2000

250)( BP

8424

200083

2000

83)( ABP

4

3}

2000

83

2000

250

2000

333{1 P

)(1)()( BAPBAPBAP

)()()()( ABPBPAPBAP

3346

2000333 由于 , 故得

由于 , 故得

于是所求概率为

由 得

解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为

P=212/712 =0.000 000 3.

例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接

待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规

定的?

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中

实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。

现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀

疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即

认为其接待时间是有规定的。

§1.5 条件概率

引例：将1枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面情况。

记A={至少有一次为H（正面）}，B={两次抛出同一面}。

求已知A已经发生条件下B发生的概率。

解：S={HH, HT, TH, TT}, A={HH, HT, TH},

B={HH,TT}

则A已经发生条件下B发生的概率（记为P(B|A)）是

P(B|A)=1/3.

注意：P(B)=2/4≠P(B|A)

P(A)=3/4, P(AB)=1/4,

故: P(B|A)=P(AB)/P(A)

AB

S

1.定义: 设A ,B 是两个随机事件,且P(A)>0, 称

)(

)()(

AP

ABPABP

2.性质：条件概率P(·|A)满足概率的三个基本属性:

11

)()(i

ii

i

ABPABP

由于条件概率符合概率定义的三个条件，所以前面所证明的一些概率性质对于条件概率也同样适用.

为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.

(1) 非负性：对于任一事件B，有P(B|A)0 (2) 规范性：P(S|A)=1 (3)可列可加性：设B1, B2, … 是两两不相容的事件

，则有

例如:

• 对于任意事件B1, B2，有：

P(B1∪B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)-P(B1B2|A)

• 对于任意事件B，有:

P(B|A)=1-P(B|A)

例2 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.

解 记A1=“第一次取出的是黑球”，A2=“第二次取出的是黑球”,

(1)由题意直接可得

10

3

910

37

910

23

(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.

(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;

9

2)( 12 AAP

(2)

)(

)()(

2

2121

AP

AAPAAP

15

1

910

23)( 21

AAP

)()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP

或利用公式：

9

2

103

151

15

1

910

23)( 21

AAP

9

2

103

151

10

3)( 1 AP

)(

)()(

1

2112

AP

AAPAAP

定理(乘法定理) 对于任意的事件A, B, 若P(A)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A)

二、乘法定理

[注] 乘法公式可以推广到多个事件的情形:

1°设A,B,C为事件，且P(AB)>0, 则有

P(ABC)=P(A) P(B|A)P(C|BA)

2°设A1, A2, …An 为n个事件, 且P(A1A2…An-1)>0,

)()()()()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP

-----乘法公式

或 P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0)

在某些问题中，条件概率是已知的或者是比较

容易求得的，在这种情况下，就可以利用乘法公式

来计算积事件的概率.

[注]

例3 今有3个布袋, 2个红袋, 1个绿袋. 在2个红袋中各装60个红球和40个绿球，在绿袋中装了30红球和50个绿球，现任取1袋，从中任取1球，问是红袋中红球的概率为多少？解 设A=“取到红袋”, B=“取到红球”, 所求概率P(AB).

显然，P(A)=2/3,

P(B|A)=60/100=3/5,

由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)= (2/3)·(3/5)= 2/5 .

例4 设袋中装有r只红球，t只白球. 每次自袋中任取一

只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那

只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二

次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

解: 记 Ai =“第i 次取到红球” ，i=1,2,3,4, 则

iA

)( 4321 AAAAP所求概率为

=“第i 次取到白球” ，i=1,2,3,4,

)()()()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP

atr

at

3

tr

r

atr

ar

atr

t

2

例5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打

破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下

打破的概率为7/10，第三次落下打破的概率为9/10，

试求透镜落下三次而未打破的概率.

解: 设 Ai =“透镜第i次落下打破”，i=1,2,3,4, B=“透镜落下三次而未打破”.

321 AAAB

)()()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAPBP 故有

因为

10

9-1

10

7-1

2

1-1

200

3

三、全概率公式与Bayes公式

定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若：

则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。

1 2( ) ni B B B S

( ) , , , 1,2, ,i jii B B i j i j n

B1

B2 Bn

S即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是

必然的，两两同时发生又是不可能的。

定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1, B2, …, Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1, 2,…, n；则

1 2 nA AS AB AB AB

i jAB AB

i j

与

不相容

1

( ) ( ) ( | )n

j j

j

P A P B P A B

为全概率公式

1

( ) ( )n

j

j

P A P AB

1

( ) ( | )n

j j

j

P B P A B

B1

B2 Bn

S

A

)()()()()( BAPBPBAPBPAP

特别地，n=2

证明：

[注]全概率公式是概率论的一个基本公式.直接计算

P(A)不易时，可构造一完备事件组B1,…Bn,利用这个

公式来计算P(A).

2.贝叶斯公式

定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0 (i=1,2,…,n),

则ni

BPBAP

BPBAPABP

n

j

jj

ii

i ,,2,1,

)()(

)()()(

1

----贝叶斯公式

贝叶斯公式给出的是，一事件已经发生，要考察

引发该事件发生的各种原因的可能性的大小.

例9 甲胎免疫蛋白检测法(AFP)被普遍用于肝癌的早期诊断和普查. 已知肝癌患者经AFP诊断为肝癌的概率为95%, 而未患肝癌通过AFP被诊断为肝癌的概率为2%, 在人群中肝癌的发病率一般为0.4%, 现有一人经诊断为患肝癌, 求此人确实患肝癌的概率.

解：设 B=“此人患肝癌”， A=“经诊断为患肝癌”

( ) ( ) ( | )( )

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

P AB P B P A BP B A

P A P B P A B P B P A B

由贝叶斯公式得

后验概率

先验概率

( | ) 0.95, ( | ) 0.02P A B P A B

( ) 0.004, ( ) 0.996P B P B

193.002.0996.095.0004.0

95.0004.0

称P( Bi|A ), i=1,2,3,…n 为后验概率，它

当得到了信息 (知道A 发生), 再对导致 A

发生的原因发生的可能性大小重新加以修正.

称 P( Bi ), i=1,2,3,…n为先验概率，它是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下诸事件发生的概率，往往可由以往的经验得到，它是事件 A 的原因.

一般来讲，条件概率P(B|A)与概率P(B)是不等的,即事件A，B中某个事件发生对另一个事件发生是有影响的. 但在许多实际问题中常会遇到两个事件中任何一个发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响, 此时P(B)= P(B|A)。

§1.6 独立性

定义1 设A, B是两事件, 如果

P(AB)=P(A)P(B)

则称事件A,B为相互独立的随机事件.

[注] 1° 当P(A),P(B)>0时， A、B相互独立

P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A);

2°两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念.

若P(A)>0, P(B)>0, 则A与B相互独立和A与B互不相容不

能同时成立.

若四对事件A与B、A与B、A与B 、 A与B 中有

一对独立，则另外三对也独立. (即这四对事件或者都

独立，或者都不独立).

仅证明A与B独立时有A与B 独立，

在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不

是根据定义来判断，而是根据实际意义判断两事件

是否独立,利用事件的独立性解决实际问题.

定理

证明

=P(A)P(B)

由于 P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]

上式说明A与B 相互独立.

(A与B独立)

定义3 如果对于任意的k(k≤n),及任意的1i1

定义5 条件独立 设A,B,C是三个事件, 如果

P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)

则称事件A,B在条件C下为相互独立的随机事件.

例3 一个元件能正常工作的概率称为此元件的可靠性,

一个系统能正常工作的概率称为此系统的可靠性. 现

有6个元件如图连接，每个元件的可靠性为p, 如果各

元件能否正常工作是相互独立的，求系统的可靠性.

1

65

43

2解：设Ai={第i个元件正常工作}，i=1,2,3,4,5,6，

A={系统正常工作}

=P(A1A2)+P(A3A4)+P(A5A6)-P(A1A2A3A4)

-P(A1A2A5A6)- P(A3A4A5A6)+ P(A1A2A3A4A5A6)

P(A)=P(A1A2∪A3A4∪A5A6)

=A1A2∪A3A4∪A5A6

=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)+P(A5)P(A6)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

-P(A1)P(A2)P(A5)P(A6)-P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)+

+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)2 4 6

3 3p p p

例4 要验收一批(100件)乐器验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接．设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试误认为不纯的概率为0.01．如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的．试问这批乐器被接收的概率是多少？解: 设 Ai =“随机取3件乐器,其中恰有i 件音色不纯”, i=0,1,2,3

8629.0)()()(3

0

i

ii APAAPAP

3 1 2 2 1 3

96 4 96 4 96 43 3 3 30 1 2 3100 100 100 100

( ) , ( ) , ( ) , ( )C C C C C C

P A P A P A P AC C C C

3 2

0 1

2 3

2 3

( ) (0.99) , ( ) (0.99) 0.05,

( ) 0.99 (0.05) , ( ) (0.05)

P A A P A A

P A A P A A

则A0, A1, A2, A3 是的 S 的一个划分，

A = “这批乐器被接收”, 本题是求P(A).

总结：

1.

2. ;

; ;

3.

0 1; 1

1 1

2

An

S e A S

A B A B

A B A B A

nf A

n

P A P S

AB P A B P A P B

P A P A

A B P A P

样本空间 随机事件

事件的关系：

事件的运算：

频率：

概率的定义：满足当 时，

概率的性质：

当 时

1 2

1

1

3 =

4. | |

, , ,

( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ), ( | )

( ) ( | )

5.

n

ni i

j j i nj

j jj

B

P A B P A P B P AB

P ABP B A P AB P A P B A

P A

B B B S

P B P A BP A P B P A B P B A

P B P A B

条件概率：

当 为 的一划分时，

事件独立性

课后作业

• 第一章 习题3, 8，10，19, 34