§4.2 几 个常用的概率分布
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§4.2 几 个常用的概率分布. 一、二项分布. 设随机变量 X~B( n,p ) :. 注:从图形观察二项分布的取值情况. function bi( n,p ) for i =0:n y1(i+1)= nchoosek ( n,i ); y2(i+1)= p^i *(1-p)^(n- i ); end y3=y1.*y2; plot(0:n,y3);. >> bi(8,1/3). b inornd ( n,p,M,N ) :产生 M 行 N 列服从 B( n,p ) 分布的随机变量( M 、 N 默认为 1 ). 如:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
§4.2 几个常用的概率分布一、二项分布
设随机变量X~B(n,p) :
.,2,1,0,)1()(
nkppCkXP knkk
n
注:从图形观察二项分布的取值情况function bi(n,p)for i=0:n y1(i+1)=nchoosek(n,i); y2(i+1)=p^i*(1-p)^(n-i);endy3=y1.*y2;plot(0:n,y3);
>> bi(8,1/3)
binornd(n,p,M,N) :产生 M 行 N 列服从B(n,p) 分布的随机变量( M 、 N 默认为 1 )如:
>> binornd(8,1/3,1,6)ans = 5 4 1 1 3 5
如:
binopdf(X,n,p) : n 次试验发生 X 次事件的概率
>> binopdf(3,8,1/3)
ans = 0.2731
>> binopdf(5,5000,0.001)
ans = 0.1756
如:
binocdf(X,n,p) : n 次试验发生小于等 于 X 次事件的累积概率>> 1-binocdf(1,5000,0.001)
ans =
0.9596
例、一批元件有 400 件,已知它的次品率为 0.02 ,求其中至少有 5 件次品的概率。解:
>> 1-binocdf(4,400,0.02)
ans =
0.9027
次品数 X~B(400,0.02)
P(X>=5)= 1-p(X<=4)
binoinv(P,n,p) : n 次试验以累积概率 P
发生的最小次数。 例、某证券营业部开有 1000 个资金账户, 每户资金 10 万元,设每日每个资金账户 到营业部提取 20% 现金的概率为 0.006 , 问该 营业部每日至少要准备多少现金, 才能保证 95% 以上的概率满足客户的 提款需求?
>> 10*0.2*binoinv(0.95,1000,0.006)
解:
ans =
20
设每日到营业部提取资金的账户数为 X, 则 X~B(1000,0.006), 设需准备现金a 万元 .
P(10*20%*X<=a)>=95%, 即P(X<=a/2)>=95%
故至少需准备 20 万元 .
二、泊松分布设随机变量 X~𝑃(λ) :
.,2,1,0!)(
k
ek
kXPk
function po(x)for i=0:10 y(i+1)=x^i*exp(-
x)/factorial(i);endplot(0:10,y)
注:从图形观察泊松分布的取值情况
1. poissrnd(lambda,M,N) 产生 M行 N 列服从𝑃 (λ) 分布的随机变量( M 、 N 默认为 1 )如: >> poissrnd(3,2,5)
ans = 3 4 5 3 4 2 3 1 3 7
2 、 poisspdf(X,lambda) n 次试验发生X 次事件的概率 .
例、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布,试求:
3 、 poisscdf(X,lambda) n 次试验发生小于等于 X 次事件的累积概率 .
( 1 )每分钟恰有 6 次呼唤的概率;( 2 )每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率 .
解: >> poisspdf(6,4)
ans =
0.1042
>> poisscdf(10,4)
ans =
0.9972
4 、 poissinv(P,lambda) n 次试验以累积概率 P 发生的最小次数 .例、夏季高峰时,个别用户会因超负荷、线路老化等问题发生断电事故。已知某城市每天发生的停电次数 X 服从参数为 0.7的泊松分布,现要求以 99% 的概率保证该城市在一天中停电次数尽可能的少,试求最小的停电次数?
解:>> poissinv(0.99,0.7)
ans =
3
故一天中停电不能超过 3 次。
三、均匀分布设随机变量 X~𝑈(𝑎,b) :
else
bxaabxf
0
1)(
如:
1. unifrnd(a,b,M,N) 产生 M 行 N列服从𝑈 (𝑎,b) 分布的随机变量( M 、 N 默认为 1 )>> unifrnd(2,5,2,3)
ans = 3.4951 3.0212 2.6714 4.8792 3.7558 4.2538
2 、 unifpdf(X,a,b) 计算随机变量 X的 概率 .
>> unifpdf(2,1,6)如:ans = 0.2000
>> unifpdf(4,1,6)ans = 0.2000
3 、 unifcdf(X,a,b) 计算随机变量 X的 累积概率 .
4 、 unifinv(P,a,b) 计算累积概率为P 时的随机变量的值 .
例、设公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通过,乘客在 10 分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间不超过 7 分钟的概率 .
解:
>> 1-unifcdf(3,0,10)
ans =
0.7000
设到达时间为 X, 等候时间为 Y,则 X~U(0,10)
P(Y<=7)=P(X>=3)=1-P(X<=3)
四、指数分布设随机变量 X~𝑒(𝜆) :
elsexexf
x
00)(
其中𝜆 >0.
>> x=0:0.2:100;>> y=0.6*exp(-0.6*x);>> plot(x,y)
1 、 exprnd(1/lambda,M,N) 产 生 M
行 N 列服从𝑒 (𝜆) 分布的随机 变 量 ( M 、 N 默 认 为1 )>> exprnd(2,2,3)如:
ans = 0.4098 4.1273 0.9166 0.1979 0.1812 4.6550
2 、 exppdf(X, 1/lambda) 计算随机 变量 X 的概率
如: >> exppdf(3,2)
ans =
0.1116
3 、 expcdf(X, 1/lambda) 计算随机 变量 X 的累积概率 .
4 、 expinv(P, 1/lambda) 计算累积 概率为 P 时的随机变量 X 的值 .
例、已知顾客在某银行窗口等候服务的时间 X 服从参数为 1/5 的指数分布, X 的计时单位为分钟。若等候时间超过 10 分钟,他就离开。设他在一个月内要到银行 5 次,以 Y 表示一个月内他因等候时间超过 10分钟没有得到服务而离开的次数,试求 Y的分布律以及概率 ).1( YP解: >> p=1-expcdf(10,5)
p = 0.1353
所以 Y 服从二项分布 B(5,0.1353)
.5,2,1,0),5()^1353.01(^1353.0
)(5
kkkC
kYPk
>> 1-binocdf(0,5,p)
ans =
0.5167
五、正态分布设随机变量
:.,
21)( 2
2
2)(
Rxexfx
function Normal(a,b)x=-6:15;y=1./(sqrt(2*pi*b)) .*exp(-(x-a).^2./(2*b));plot(x,y)
注:作图
>> Normal(4,9)
1 、 normrnd(mu,sigma,M,N) 产生M 行 N 列服从 分布的随机变量( M 、 N 默认为 1 )
>> normrnd(1,2,2,3)如:ans = -1.1781 2.1051 4.0884 1.0651 3.2012 1.1719
2 、 normpdf(X, mu,sigma) 计算随机 变量 X 的概率
>> normpdf(-1,1,2)如:ans =
0.1210
3 、 normcdf(X, mu,sigma) 计算随机 变量 X 的累积概率 .
4 、 normspec([a,b],mu,sigma) 绘出区间 [a,b] 在概率密度图上的分布 .
5 、 norminv(P, mu,sigma) 计算累积 概率为 P 时的随机变量 X 的值 .
>>
normcdf(89,90,0.5)
解:( 1 )ans =
0.02275
例:把温度调节器放入储存着某种液体的容器中,调节器的设定温度为 d 度。已知液体的温度 T 是随机变量,且。
(1) 若 d=90 度,求 的概率。(2) 若要求保持液体的温度至少为 80 度的概率
不小于 0.99 ,问 d 至少为多少度?
>> norminv(0.99,80,0.5)
ans =
81.1632
( 2)
所以 d 至少为 81.163 度
例:已知试求 :
)6.10(),2.75( XPXP并分别作出它们的图形。解: )2.75( XP
>> normcdf(7.2,1,2)-normcdf(5,1,2)
ans = 0.0218
>> normspec([5,7.2],1,2)
)6.10( XP>> normcdf(1.6,1,2)-normcdf(0,1,2)
ans = 0.3094
2、厂产品不合格率为 0.03,现将产品装箱,若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100个合格品,则每箱至少应装多少个产品?
练习作业1 、设指示灯在每次试验中闪亮的概率为 0.3 , 当指示灯不少于 3 次闪亮时,报警器发出 信号。( 1 )进行 5 次独立试验,求报警器发出信号 的概率;( 2 )进行 7 次独立试验,求报警器发出信号 的概率 .
3 、某急救中心在间隔 t 的时间段中收到呼救的次数 X~𝑃(t/2) ,且与时间间隔的起点无关(时间以小时计),试求( 1 ) 某天 12 : 00 至 15 : 00 之间没有 收到呼救的概率;( 2 ) 某天 12 : 00 至 17 : 00 之间至少 收到 1 次呼救的概率;
4 、设每人每次打电话时间 T~E(0.5)( 单位:分钟 ) ,求 282 人次所打电话中有 2 次及以上超过 10 分钟的概率。5 、秒表的最小刻度值为百分之一秒 . 若计时精度取最近的刻度值,求使用该秒表计时产生的随机误差 X 的概率密度函数f(x), 并计算误差的绝对值不超过千分之二的概率。
6 、设试求 :
).13();127();9(
XPXPXP
7 、设试求 :
);3|(|)1( XP( 2 )、试确定常数 c, 使得
).()( cXPcXP