SGC ライブラリ-89

弦理論の代数的基礎環・加群・圏から位相的弦理論，ミラー対称性へ

髙橋　篤史　著

サイエンス社

まえがき

本書は，2007年度後期および 2011年度前期に大阪大学で数学専攻および物理学専攻の大学院生

向けに行った講義の準備ノートに加筆・修正を行い，位相的弦理論の代数学的側面に関する入門書

としたものである．これから位相的弦理論やミラー対称性を勉強・研究する際に不可欠な基礎とな

るであろうと著者が考える定義や定理をまとめた．読むにあたって必要な基礎知識はできる限り少なくしたつもりである．しかしながら，紙数の制限もあり，多くの重要な内容を省略し，かなりの

命題の証明を演習問題とせざるを得なくなってしまった．ちなみに，講義においてはこれらの演習

問題をレポート課題としていた．

本書において位相的弦理論とは，Einsteinの重力理論を導くような物理的弦理論ではなく，数学

における重要問題を解決することを念頭に置いた，経路積分で与えられる相関函数が数学的に正確に定義された「位相的不変量」となるような，弦理論のアイデアと整合する数学的に厳密な理論のこ

とである．筆者の考えでは，弦とその相互作用により空間を記述する，ということが弦理論の目的

の一つであり，多様体の中で弦が運動するという描像をあらかじめ設定するのは不自然である．し

たがって，本書では「弦が時間発展して得られるリーマン面から多様体への写像を考え，それで．．．」

という形で弦理論を記述しようとはしない．もちろん，このようにして得られる重要な位相的弦理

論も存在するが，それはより普遍的な理論の幾何学的実現と考えるからである．そこで，場の理論として環と加群の理論を，開弦と D-braneおよびそれらの相互作用を記述する理論として圏論を，そ

れぞれ基礎として話を展開する．そして，ゲージ場の量子論で最も重要な概念の一つである BRST

作用素を取り入れた「最小の」位相的開弦の場の理論—dg圏を考察の主対象とするのである．

位相的開弦の場の理論から位相的閉弦の場の理論が函手的に構成できるだろう，というKontsevich

のアイデアを具体化することが，当該研究分野で最も重要な問題の一つとなっている．このための

重要な課題が Toenの dg森田理論によって解決された．本書の最終目的は，この dg森田理論と次に解決を目指すべき諸問題の解説である．

謝辞：誤植の発見や索引の作成に協力してくれた大学院生の白石勇貴君と，出版にあたって大変

お世話になったサイエンス社「数理科学」編集部の平勢耕介氏および伊崎修通氏に心から感謝の意

を表したい．

2012年 4月

髙橋 篤史

目 次

第 1章 環論の基礎 1

1.1 環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 環上の加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 準同型加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 部分加群と商加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 核と余核，準同型定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 積と余積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 テンソル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 完全列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 射影的加群と入射的加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

第 2章 圏と函手 26

2.1 圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 米田の補題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 表現可能函手と随伴函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 極限・余極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

第 3章 環論における圏論的諸定理 48

3.1 線型圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 abel圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 加群の圏論的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 generatorと加群の圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 森田同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 環の森田理論（Eilenberg–Wattsの定理） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7 Grothendieck abel 圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Gabriel–Popescuの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9 Freyd–Mitchellの埋め込み定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

第 4章 dg加群 69

4.1 次数付き加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 dg k-加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 dg k-加群の圏 C(k)U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 dg k-加群のホモトピー圏H(k)U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 dg k-加群の圏上の射影的モデル構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

第 5章 位相的開弦の理論と dg圏 86

5.1 dg圏と dg函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 dg圏のテンソル積と準同型 dg圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 dg圏の圏のモデル構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 dg圏上の加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 米田 dg函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6 dg A-加群の圏上のモデル構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7 dg導来圏 Ddg(A)と導来圏 D(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.8 テンソル函手と準同型函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

第 6章 dg森田理論 108

6.1 hodgcat(k)U における内部準同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 定理 6.1.2の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3 dg森田理論の主定理（連続版） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4 compactな dg加群と perfectな dg加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.5 perfect dg導来圏 perdg(A)・三角 dg圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.6 dg圏の非特異性と固有性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.7 dg森田理論の主定理（perfect版） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.8 Serre双対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.9 Calabi–Yau性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

第 7章 位相的閉弦の理論と原始形式 135

7.1 Frobenius構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.2 齋藤構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3 原始形式による Frobenius構造の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

第 8章 ミラー対称性へ 147

8.1 ホモロジー的ミラー対称性予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.2 Calabi–Yau dg圏から Frobenius構造へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

付録A 集合論からの準備 156

A.1 集合論の言語と論理式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.2 ZFC公理系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A.3 ZFC集合論の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

iii

A.4 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.5 二項関係・順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.6 普遍集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

付録B 三角圏 168

B.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.2 完全圏・Frobenius圏・安定圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

付録C 圏の局所化とモデル構造 186

C.1 圏の局所化・導来函手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C.2 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

C.3 モデル構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

C.4 Quillen随伴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

参考文献 194

索 引 196

iv 目 次

第 1 章

環論の基礎

「弦が万物を記述する」という超弦理論の基本思想を思い出すとき，位相空

間論ではなく環論から幾何学の構築を目指すのはより自然である．そもそも日

常や物理における「空間」とは，場や物質などが存在できる場所のことである．例えば，「質点を配置できる場所」といった具合にである．場が持つべき重要な

性質——重ね合わせの原理と近接相互作用——を環論は記述する．

非可換環とその上の加群についての参考文献として，Cartan–Eilenberg [1]お

よび岩永・佐藤 [12] を挙げておく．

1.1 環

定義 1.1.1. Rを集合とする．和 (sum) と呼ばれる二項演算

+ : R×R −→ R, (x, y) �→ x+ y,

および積 (product) と呼ばれる二項演算

· : R×R −→ R, (x, y) �→ x · y,

が定まり，これらが以下の性質をみたすとき，集合 Rを環 (ring) という：

(i) (R,+)は単位元 0Rを持つ加法群である．つまり，任意の元 x, y, z ∈ Rに対して，次の条件が成立する：

(x+ y) + z = x+ (y + z), (1.1a)

0R + x = x = x+ 0R, (1.1b)

x′ + x = 0R = x+ x′となる元 x′ が存在する, (1.1c)

x+ y = y + x. (1.1d)

(ii) 積 ·について分配法則が成立する．つまり，任意の元 x, y, z ∈ Rに対して，

第 2 章

圏と函手

同じ性質を持つ数学的対象を一斉に考えることを可能にするのが圏論である．

そこでは，数学的対象そのものが持つ性質によってでなく，それらの相互関係

が持つ性質を理解することにより，全体像を解明することが目的となる．圏論はその抽象性から難解な部分も多い．しかし，それを開弦 (open string) の場

の理論とみなして，物理的な言葉で数学的定義を言い換えると非常に理解しや

すい．例えば，「対象」は「D-brane」，「射」は「開弦の状態」，「合成」は「相

互作用」，「恒等射」は「真空状態」などとして読めばよいのである．

この章では，圏論の基本的事項について解説する．参考文献としてGelfand–

Manin [6] および Kashiwara–Schapira [16] を挙げておく．

2.1 圏

本書では，集合論の範疇で考えることのできる圏のみを扱う．

定義 2.1.1. 圏 (category) C は以下のもので構成される :

(i) 対象 (object)の集合 Ob(C)および射 (morphism) の集合Mor(C)．(ii) 写像 iC : Ob(C) −→ Mor(C)および写像 sC , tC : Mor(C) −→ Ob(C)で，

sC ◦ iC = idOb(C) かつ tC ◦ iC = idOb(C) となるもの．ここで，対象X ∈ Cに対して，射 iC(X) ∈ C(X,X)を X の恒等射 (identity morphism)

といい，idX であらわす．また，Mor(C)の部分集合 C(X,Y )を

C(X,Y ) := {f ∈Mor(C) | sC(f) = X, tC(f) = Y }

であらわす．

(iii) 任意の対象 X, Y, Z ∈ Ob(C)に対して定まる，次の 2つの条件 (a),(b)を

みたす合成写像 (composition map)：

− ◦C − : C(Y, Z)× C(X,Y ) −→ C(X,Z), (g, f) �→ g ◦C f.

第 3 章

環論における圏論的諸定理

この章では，圏論的に与えられる環論の諸定理（森田同値，環の森田理論

（Eilenberg–Wattsの定理），Gabriel–Popescuの定理）の解説を行う．これら

はあとでdg圏を考察する際に目標となる基本的定理であり，いくつもの重要な帰結をもたらす．参考文献として，岩永・佐藤 [12]およびKashiwara–Schapira [16]

を挙げておく．

この章を通じて，Uを普遍集合，kを U-小可換環とする．

3.1 線型圏

射の集合が k-加群であるような圏を考える．

定義 3.1.1. 圏 C が条件(i) すべてのX, Y ∈ C に対して, C(X,Y )は k-加群．

(ii) 合成 ◦C は k-双線型．

をみたすとき，圏 C を k-圏 (k-category)という．

注意 3.1.2. とくに，k-圏 C においては，合成 ◦C を k-準同型 C(Y, Z) ⊗k

C(X,Y ) −→ C(X,Z)とみなしてよい．

k-圏の例として最も基本的なものは k-代数である．

例 3.1.3. R を k-代数とする．このとき，k-圏 R が Ob(R) := {•} およびR(•, •) := Rとして定まる．

また，射の和だけでなく，対象の和を考えることも自然であろう．

定義 3.1.4. C を k-圏，X1, X2 を C の対象とする．対象 Y ∈ C および図式

X1

i1 ��Y

p2 ��p1

X2i2

第 4 章

dg加群

abel圏の理論では取り扱えない重要な対象がいくつもある．たとえば，R-加

群の完全列 0 −→ K −→ L −→ M −→ N −→ 0を「物理的直感」とともに

考えたとき，L −→M はK と N という 2つの D-braneの結合状態と思いたいが，明らかに L −→M はMod(R)の対象ではない．したがって，このよう

なものも考察するならば，より多くの対象を自然に含む圏を与える必要がある．

このために導入する概念が dg加群または複体と呼ばれるものである．

また，前章までの代数系において，量子場の理論において最も重要な概念の

一つである BRST作用素（量子論的ゲージ対称性の無限小生成子）は登場して

いなかった．BRST作用素を取り入れ，abel圏の持つ良い性質を拡張する代数系を得たいと思うのは，弦理論の立場からも自然であるが，dg加群というのは

まさに BRST作用素付きの状態空間に他ならないのである．

この章を通じて，Uを普遍集合，kを U-小可換環とする．

4.1 次数付き加群

まず，次数付き k-加群の概念と関連する定義を述べる．

定義 4.1.1. k-加群M は，k-加群Mp, p ∈ Zの余積となる，つまり

M =∐p∈Z

Mp (4.1)

となるとき，次数付き k-加群 (graded module) であるという．元 v ∈Mp

をM の次数 pの元といい，その次数 pを vであらわす．

定義 4.1.2. M を次数付き k-加群とする．すべての p �= 0に対してMp = 0

が成立するとき，M は次数 0に集中している (concentrated in degree 0)

という.

第 5 章

位相的開弦の理論とdg圏

三角圏は数学の各分野をつなぐ重要な対象である．しかしながら，三角圏に

はいくつか大きな欠点があることも同時に知られている．まず，いわゆる「写

像錐が函手的でない」という問題点がある．さらに，三角圏を線型圏とみなしてテンソル積や内部準同型を取ったとき，それらは必ずしも再び三角圏の構造

を持つとは限らない．

これらの欠点を克服するために用いられるようになったのが dg圏である．初

めの問題は Bondal–Kapranov [2]によって，後の問題は Toen [32]によって，そ

れぞれ解決されることとなった．

一方で，弦理論の立場からは，圏というのはD-brane付きの開弦とそれらの相互作用を記述するもの，dg加群というのは BRST作用素付きの状態空間を

記述するものである．D-brane付きの開弦の場の理論がみたすべき最小の性質

を記述しようとすると，自然に圏と dg加群の「ハイブリッド」を考えるに至

る．これこそ dg圏に他ならないのである．

dg圏に関する基本的参考文献として Keller [17], [18] を挙げておく．

この章を通じて，Uを普遍集合，kを U-小可換環とする．

5.1 dg圏と dg函手

定義 5.1.1. k-圏Aが，条件(i) 任意の対象 a1, a2 ∈ Aに対して，射の集合A(a1, a2)は dg k-加群である．

(ii) 任意の対象 a1, a2, a3 ∈ Aに対して，射の合成

− ◦A − : A(a2, a3)⊗k A(a1, a2) −→ A(a1, a3), x⊗ y �→ x ◦A y,(5.1)

は dg k-加群の射である．

第 6 章

dg森田理論

この章では Toen [32] による dg森田理論の骨子を解説する．これは環の森田

理論を自然に拡張しているだけでなく，dg圏を研究するにあたり必要不可欠な

基本定理である．また，dg圏を位相的開弦の場の理論とみなしたとき，それから得られる閉弦の場の理論が矛盾なく定義されるためには dg森田理論が必要

となるのである．

基本的に Toen [32] に沿って話を進めているが，dg A-加群の compact 性お

よび perfect性の定義および性質については，Toen–Vaquie [33] の対応する部

分から引用している．また，dg 圏の滑らかさや固有性の概念は Kontsevich–

Soibelman [20] に，Calabi–Yau性はGinzburg [7] に基づいている．この章を通じて，Uで普遍集合，kで U-小可換環をあらわす．

6.1 hodgcat(k)�における内部準同型

定義 6.1.1. A,Bを U-小 dg圏とする．

(i) dg Aop ⊗L

k B-加群 X は，任意の a ∈ Aに対して Xa⊗− が擬表現可能 dg

B-加群となるとき，擬 dg函手 (quasi dg functor) であるという．

(ii) 擬dg函手全体のなすDdg(Aop⊗L

kB)Uの充満部分dg圏をDrqrdg (Aop⊗L

kB)U

であらわす．

(iii) 擬 dg函手全体のなすD(Aop⊗L

k B)Uの充満部分圏をDrqr(Aop⊗L

k B)Uで

あらわす．

圏 Dにおける，対象の同型類のなす集合を Iso(D)であらわす．

定理 6.1.2. A,B, CをU-小 dg圏とする．このとき，次の自然な同型写像が存

在する：

hodgcat(k)V(A,Ddg(B)U) � Iso(D(Aop ⊗L

k B)U). (6.1)

第 7 章

位相的閉弦の理論と原始形式

位相的閉弦の理論の種数 0部分が持つべき性質は，90年代初めに Dubrovin

により Frobenius構造として公理化された．それは位相的弦理論と可積分系の

興味深い関係をより深く解析するためであった．一方で，その構造を含むより一般的な枠組みが，原始形式の理論として，さらに 10年も前に齋藤恭司によっ

て与えられていた．楕円積分論を自然に一般化・高次元化する理論を構築する

という，一見全く異なる動機から同じ構造が発見されていたのである．

この章では，Frobenius構造とそれを系統的に導く手法を与える原始形式の

理論の骨格部分について述べる．簡単のため底空間M は複素多様体であると

して公理を与えている．これは，底空間がどのような構造を持つ幾何学的対象であるとすべきか現状では確定していないように思えること，中途半端に拡張

するとかえって複雑になる，という理由からである．

参考文献として Dubrovin [3], Hertling [9], Manin [21], Sabbah [23] および

Saito–Takahashi [28]を挙げておく．なお，この章の内容は Saito–Takahashi [28]

を，孤立超曲面特異点に限定しないより一般的な状況に拡張した形で記述し，

解説するものである．紙数および話題の展開の都合上述べられない背景や具体例については，これらで補っていただきたい．

7.1 Frobenius構造

この節では複素多様体とその上の層を取り扱うが，これらの言葉に不慣れな

読者は以下で OM を μ変数の複素数係数形式的べき級数環 C[[s1, . . . , sμ]]とし，TM = ⊕μ

i=1C[[s1, . . . , sμ]]∂/∂si, Ω1M = ⊕μ

i=1C[[s1, . . . , sμ]]dsi などとし

て読んでよい．

定義 7.1.1. M を μ次元の複素多様体とし，OM , TM , Ω1M でそれぞれM の構

造層・接層・余接層をあらわす．また，dを複素数とする．以下の性質をみたす

第 8 章

ミラー対称性へ

全く異なる幾何学的・代数学的背景を持つ理論に起源をもつ Frobenius構造

が「偶然に」同型となる，という現象が多く発見されていた．その現象におい

て次数付きベクトル空間の同型に注目し，ベクトル空間の次元をダイヤモンド状に配置した Hodge diamondと呼ばれる図を見比べると，まるで自分自身と

鏡に写った自分の鏡像の関係となっていた．このような歴史に基づき，異なる

幾何学的・代数学的背景を持つ Frobenius構造の同型はミラー対称性という名

前を与えられて研究されることとなった．

課題となったのは，「偶然に」という部分を「必然的に」とすることである．

この章では Kontsevichによるアプローチとその現状について解説を行う．基本的アイデアは「D-braneと開弦の理論から閉弦の理論が自然に現れる」とい

うことである．ただし，相当な部分が未解決として残っている．これまでの章

とは異なり，現在活発に研究されている進行中の内容を，あえて未完成・未整

備のままで紹介する．

8.1 ホモロジー的ミラー対称性予想

Symplectic 幾何学と複素代数幾何学という一見全く異なる幾何学を圏同値

で結び付けることによりミラー対称性を自然に説明する，という驚くべきアイ

デアが Kontsevichにより提唱された．これはホモロジー的ミラー対称性予想

(homological mirror symmetry conjecture) と呼ばれていて，次のよ

うに表現される：

予想 8.1.1 (Kontsevich [19]). Calabi–Yau多様体XおよびY で，hodgcat

(k)における同型

perdg(Fuk(X)) � perdg(Y ) (8.1)

付録 A

集合論からの準備

この本では，ZFC集合論に普遍集合の公理を認めるという立場で，圏論を考

察している．そこで，集合論に慣れていない読者のために，その基本的規則と

用語法を少し説明しておく．参考文献として，齋藤正彦 [26]，斎藤毅 [27] を挙げておく．なお，普遍集合に

ついては Kashiwara–Schapira [16] および原論文 SGA4 [30] を参照してほしい．

A.1 集合論の言語と論理式

まずは，集合論において許される表現方法を決定する必要がある．それは逆理を可能な限り排除するためである．

定義 A.1.1. 集合論の言語 は以下のもので構成される：

(i) 「集合」と呼ばれる，変数 a, b, c, . . .．

(ii) 「否定」と「または」という意味を与える，論理式接続記号⇁と ∨．(iii) 「存在する」という意味を与える，量化記号 ∃．(iv) 「等しい」という意味を与える，等号 =．

(v) 「元である」という意味を与える，述語 ∈．

定義 A.1.2. 集合論の言語に対して，論理式を次のように構成する：

(i) 変数 a, bに対して，[a = b]および [a ∈ b]は論理式である．(ii) 論理式 P,Qに対して，[⇁ P ]および [P ∨Q]は論理式である．

(iii) 論理式 P および変数 aに対して，[∃aP ]は論理式である．(iv) 論理式は上の (i),(ii),(iii)によってのみ構成される．

簡単のために，これらは以下のように括弧 [ ]を省略することもある：• [a = b]を a = bとあらわし，「aは bに等しい」という．• [a ∈ b]を a ∈ bとあらわし，「aは bの元である」または「bは aを元とし

付録 B

三角圏

dg圏Aの導来圏D(A)U の持つ重要な性質として，それが三角圏の構造を持

つということがある．これは，環上の加群の圏が abel圏の構造を持つことの自

然な類似である．また，完全三角形という概念により，D-braneの崩壊や結合状態という物理的な描像を記述することができる．本書では触れることができ

ないが，この描像に基づいた安定性条件 (stability condition) という数学

的概念により，導来圏の内部構造をより精密に理解することが可能となる．

ここでは，三角圏の基礎を簡単に解説した後，Happel [8]によって与えられた，

Frobenius圏の安定圏として三角圏を一般的に構成する枠組みを説明する．他

の三角圏の文献として，Kashiwara–Schapira [16]やNeeman [22]を挙げておく．

B.1 定義

kを可換環とする．

定義 B.1.1. T を k-線型圏，T : T −→ T を k-線型圏の同値函手とする．(i) T における射の列

Xu−→ Y

v−→ Zw−→ TX

を三角形 (triangle) という．ただし，記号を簡単にするため，T (X)を

単に TX であらわす．

(ii) X u−→ Yv−→ Z

w−→ TX および X ′u′−→ Y ′

v′−→ Z ′

w′−→ TX ′を T にお

ける三角形とする．T における射の図式

Xu ��

f

��

Yv ��

g

��

Zw ��

h

��

TX

Tf

��X ′

u′�� Y ′

v′�� Z ′

w′�� TX ′.

付録 C

圏の局所化とモデル構造

この章では本書を読むにあたり最低必要となる，圏の局所化とモデル圏の概

念・用語法の説明を行う．圏の局所化については Kashiwara–Schapira [16] を，

モデル圏については Hirschhorn [10] および Hovey [11] を，それぞれ参照していただきたい．

この章を通じて，Uで普遍集合をあらわす．

C.1 圏の局所化・導来函手

定義 C.1.1. C を U-小圏，S を C における射の集合Mor(C)の部分集合とする．U-小圏 CS および函手 l : C −→ CS が条件(i) すべての s ∈ S に対して，l(s)は同型射である．(ii) 任意の U-小圏 C′ に対して，lにより自然に得られる函手

l∗ : Hom(CS , C′) −→ Hom(C, C′)

は忠実充満である．(iii) 函手 l∗ の本質的像は，すべての s ∈ S に対して F (s) が同型射となる

函手 F : C −→ C′ のなす部分圏である．つまり，U-小圏 C′ および函手 F : C −→ C′ で F (s) が同型射となるものが与えられたとき，函手

FS : CS −→ C′ で F � FS ◦ lとなるものが存在する．をみたすとき，圏 CSをSによる Cの局所化 (localization of C with respect

to S) という．

定理 C.1.2. C を U-小圏，S を C における射の集合Mor(C)の部分集合とする．このとき，S による C の局所化 CS が存在する．

証明 省略する．

注意 C.1.3. 局所化の定義により，CS は圏同値を除いてただ一通りに定まる．

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195

索 引

アEilenberg–Watssの定理, 59

acyclic

dg k-加群が acyclic, 74

安定圏, 179

イデアルイデアル, 3

極大イデアル, 3

S-射影的, 177

S-全射, 176

S-単射, 176

S-入射的, 177

押し出し, 188

押し出し, 46

押し出し正方図式, 46

カGauß–Manin 接続, 140

核R-準同型の核, 10

核, 44

核を持つ, 45

k-線型圏における核, 50

加群R-加群, 6

次数付き k-加群, 69

左 R-加群, 6

右 R-加群, 6

有限生成 R-加群, 53

有限表示 R-加群, 53

Gabriel–Popescuの定理, 64

環可換環, 2

環, 1

反転環, 2

函手加法的函手, 49

函手, 30

完全函手, 52

擬逆函手, 33

k-線型函手, 49

充満函手, 33

随伴函手, 38

双函手, 32

忠実函手, 33

忠実充満函手, 33

同値函手, 33

左完全函手, 52

忘却函手, 31

本質的全射, 33

右完全函手, 52

完全 k-圏, 176

完全列完全列, 18

許容的短完全列, 76

短完全列, 18

分裂短完全列, 19

擬同型, 73

dg A-加群の擬同型, 99

帰納的順序集合, 165

逆双対化複体, 133

極限極限, 41

�-小極限を持つ, 42

極小元, 165

局所化, 186

Quillen函手

左 Quillen函手, 191

右 Quillen函手, 191

Quillen随伴, 191

Grothendieck圏, 61

経路対象, 190

Gerstenhaber括弧, 150

圏abel k-圏, 51

加法圏, 49

k-圏, 48

k-線型圏, 49

圏, 26

次数付き k-加群の圏, 71

充満部分圏, 36

積圏, 30

dg A-加群の圏, 99

dg k-加群の圏, 74

dg k-加群のホモトピー圏, 75

dg k-圏, 87

反転圏, 30

フィルター圏, 47

部分圏, 36

�-圏, 27

�-小圏, 27

原始形式, 142

圏同値, 33

高次剰余型式, 141

5項補題, 19

コホモロジー函手, 172

Connesの微分, 153

サ齋藤構造, 143

三角函手, 174

三角形, 168

完全三角形, 169

三角圏, 169

三角同値, 174

generator

abel圏の generator, 56

abel圏の pro-generator, 56

射影的射影的 R-加群, 21

写像, 161

逆像, 163

合成写像, 163

恒等写像, 162

制限, 163

全写像, 163

全単写像, 163

像, 163

単写像, 163

同型写像, 163

自由自由 R-加群, 13

周期的巡回コホモロジー, 154

集合共通部分, 159

空集合, 158

集合の族, 161

商集合, 164

積, 161

添え字集合, 161

添え字づけられた集合の族の共通部分, 162

添え字づけられた集合の族の直積, 161

添え字づけられた集合の族の非交和, 162

添え字づけられた集合の族の和, 161

部分集合, 158

べき集合, 158

和集合, 159

十分豊富な S-射影的対象を持つ, 178

十分豊富な S-入射的対象を持つ, 178

順序, 164

順序集合, 164

順序対, 158

準同型R-準同型, 7

環準同型, 3

次数 nの k-準同型, 70

準同型定理, 11

dg k-加群の内部準同型, 74

内部準同型, 34

商対象, 36

随伴随伴函手, 38

左随伴, 38

197

右随伴, 38

spectrum, 138

整列順序集合, 165

整列定理, 165

Serre双対性, 132

積R-加群の積, 11

対象の積, 43

dg A-加群の積, 100

dg k-加群の積, 73

ファイバー積, 45

有限積, 43

有限積を持つ, 44

�-小積を持つ, 44

切断, 28

ZFC集合論, 158

外延性公理, 158

空集合の公理, 158

正則性公理, 159

選択公理, 159

置換公理, 159

対の公理, 158

分出公理, 160

べき集合の公理, 158

無限公理, 159

和集合の公理, 159

全射次数付き k-加群の全射, 70

全射, 28

全射 R-準同型, 7

dg A-加群の全射, 99

dg k-加群の全射, 73

全順序, 164

全順序集合, 164

像abel k-圏における像, 51

R-準同型の像, 10

本質的像, 36

タ体, 2

対象始対象, 29

射影的対象, 52

終対象, 29

十分豊富な射影的対象を持つ, 52

十分豊富な入射的対象を持つ, 53

対象, 26

対象の族, 43

入射的対象, 53

零対象, 29

代数k-代数, 5

dg k-代数, 87

単射次数付き k-加群の単射, 70

単射, 28

単射 R-準同型, 7

dg A-加群の単射, 99

dg k-加群の単射, 73

中心環の中心, 4

圏の中心, 35

直和R-加群の直和, 13

Zornの補題, 165

筒対象, 190

dg A-加群擬表現可能 dg A-加群, 103

擬余表現可能 dg A-加群, 103

compactな dg A-加群, 120

自由 (free)な dg A-加群, 120

dg A-加群, 98

dg A-加群の擬同型, 99

dg A-加群の圏, 99

dg A-加群の射, 99

dg A-加群の積, 100

dg A-加群の全射, 99

dg A-加群の単射, 99

dg A-加群の dg圏, 99

dg A-加群のホモトピー圏, 99

dg A-加群の余積, 100

perfectな dg A-加群, 120

表現可能 dg A-加群, 102

余表現可能 dg A-加群, 102

dg函手

198 索 引

擬忠実充満 dg函手, 90

擬同値 dg函手, 90

擬本質的全射 dg函手, 90

準同型 dg函手, 104

dg函手, 88

dg函手の射, 91

テンソル dg函手, 104

米田 dg函手, 101

dg k-加群dg k-加群, 72

dg k-加群のコチェイン, 72

dg k-加群のコバウンダリー, 72

dg k-加群のコホモロジー, 72

dg k-加群の射, 72

dg k-加群のテンソル積, 74

dg圏Calabi–Yau dg圏, 133

固有な dg圏, 128

三角 dg圏, 125

dg A-加群の dg圏, 99

dg A-加群のホモトピー圏, 99

dg局所化, 118

dg k-加群の dg圏, 87

dg圏, 87

dg圏の dg導来圏, 103

dg圏のテンソル積, 88

dg圏の導来圏, 103

滑らかな dg圏, 128

perfect dg導来圏, 124

反転 dg圏, 87

連続な dg圏の射のなす dg圏, 115

dg圏の射連続な dg圏の射, 115

テンソル積次数付き k-加群のテンソル積, 71

dg k-加群のテンソル積, 74

dg圏のテンソル積, 88

テンソル積, 14

同型R-同型, 7

環同型, 3

同型射, 28

導来函手

左導来函手, 187

右導来函手, 187

導来圏dg圏の dg導来圏, 103

dg圏の導来圏, 103

perfect dg導来圏, 124

perfect 導来圏, 124

ナ二項関係

同値関係, 164

二項関係, 163

入射的入射的 R-加群, 21

ハB 上 perfect, 129

引き込み, 28, 187

引き戻し引き戻し, 45

引き戻し正方図式, 45

非順序対, 158

表現表現, 38

表現可能, 38

余表現, 38

余表現可能, 38

負巡回的コホモロジー, 154

部分対象, 36

普遍集合, 166

普遍集合の公理, 166

Freyd–Mitchellの埋め込み定理, 67

Frobenius

Frobenius構造, 136

Frobenius多様体, 137

Frobenius potential, 137

Frobenius k-圏, 178

平坦座標, 137

へびの補題, 20

Hochschild

Hochschildコホモロジー, 118, 149

Hochschild鎖複体, 153

Hochschild双対鎖複体, 149

199

Hochschildホモロジー, 153

ホモトピー同値dg k-加群が零にホモトピー同値, 74

左ホモトピー同値, 190

ホモトピー同値, 190

右ホモトピー同値, 190

ホモロジー的ミラー対称性, 147

マミラー対称性ホモロジー的ミラー対称性, 147

ミラー対称性, 146, 147

持ち上げ性質を持つRLPを持つ, 188

LLPを持つ, 188

モデル構造cat(k)�のモデル構造, 94

C(k)�の射影的モデル構造, 78

C(k)�の入射的モデル構造, 85

dgcat(k)�のモデル構造, 95

モデル圏, 189

モデル構造, 188

森田同値, 57

ヤ�-小, 27

�-小集合, 167

余核R-準同型の余核, 10

k-線型圏における余核, 51

余核, 44

余核を持つ, 45

余極限フィルター余極限, 47

ホモトピー余極限, 121

�-小余極限を持つ, 42

余極限, 41

余自由 R-加群, 13

余積R-加群の余積, 11

対象の余積, 43

dg A-加群の余積, 100

dg k-加群の余積, 74

ファイバー余積, 45

有限余積, 43

有限余積を持つ, 44

�-小余積を持つ, 44

余像abel k-圏における余像, 51

R-準同型の余像, 10

米田の補題, 37, 101

200 索 引

著者略歴

髙たか橋はし 篤あつ史し

1975 年 大阪府に生まれる1999 年 京都大学大学院理学研究科博士後期課程中途退学現　在 大阪大学大学院理学研究科数学専攻教授 京都大学博士（理学）専　門 複素幾何学，数理物理学

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-89

『弦理論の代数的基礎 環・加群・圏から位相的弦理論，ミラー対称性へ』（電子版）

著　者　髙橋 篤史2019 年 3 月 10 日　初版発行　ISBN 978─4─7819─9961─6この電子書籍は 2012 年 4 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人　森　平　敏　孝TEL.（03）5474─8816FAX.（03）5474─8817

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