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Diseño Sísmico: Nociones de Sismología

DISEÑO SÍSMICOINC 5105

INTRODUCCIÓN

El diseño sísmico en Ingeniería Civil es una de las necesidades más importantes en lo que se refiere al correcto diseño de estructuras, en aquellos países que por sus condiciones de ubicación respecto de las líneas de falla, se ven afectados en mayor o menor grado por eventos telúricos que imprimen cargas a las construcciones.

Las cargas que imprimen los sismos a las estructuras son particularmente difíciles de cuantificar, por el carácter de aleatorio del lugar de ocurrencia, la magnitud y la periodicidad de los terremotos, lo cual implica un grado de incertidumbre en el cálculo del efecto del sismo en las construcciones. La cuantificación de este efecto sólo se puede estimar mediante el conocimiento del historial sísmico de la zona donde se pretende construir.

Chile en particular es un país con un alto riesgo sísmico por ubicarse frente a una de la fallas más activas del planeta. Por esta razón es particularmente importante que los Ingenieros Civiles chilenos tengan una sólida formación en el área de la ingeniería sísmica.

NOCIONES DE SISMOLOGÍA

Los temblores, lo cuales son movimientos del suelo que se provocan por causas artificiales como detonaciones de explosiones en la minería o naturales como erupciones volcánicas y movimientos relativos de placas o capas de la corteza terrestre, llamados movimientos tectónicos, siendo estos últimos los más importantes para el Ingeniero Civil.

Modelo del Interior de la Tierra

La tierra se supondrá esférica y compuesta por infinitas capas o cáscaras esféricas concéntricas. Estas capas de distinta composición y densidad, corresponden a discontinuidades en la composición de la tierra, las cuales son detectadas mediante el estudio del desplazamiento de ondas sísmicas, considerando los fenómenos de reflexión, difracción y velocidad de propagación en el cambio de un medio a otro. De esta manera, la tierra se ha podido dividir en los estratos siguientes:

Nelson Maureira Carsalade, Ingeniero Civil UdeCFacultad de Ingeniería, Universidad Católica de la Santísima Concepción

1

Corteza Exterior: 36 km de espesor en el continente, pudiendo llegar a 56 km en cordillera y a 10 km en océanos.

Litósfera o Manto Exterior: parte de ella es fluida y constituye el magma, que permite el desplazamiento de las placas de corteza.

Astenósfera Zona plástica perteneciente al manto, facilita los movimientos de corteza, se encuentra entre los 100 y 200 km.

Manto: Material sólido de unos 5,57 g/cm3, más denso que la corteza, (3,32 g/cm3) y menos denso que el núcleo.

Núcleo Exterior: Es líquido o de una viscosidad muy baja, está compuesto por metales magnéticos como Fe y tiene una densidad de 9,74 g/cm3.

Núcleo Interior: Se cree que es sólido y se encuentra bajo los 5.000 km de profundidad. Su densidad es de 18,1 g/cm3.


La corteza es la de mayor importancia para la sismología, ya que al ser sólida y estar separada en 6 placas y algunas subplacas, el movimiento relativo de estas es el que ocasiona los sismos, fenómeno denominado tectónica de placas.

Tectónica de Placas

La teoría de tectónica de placas postula que la corteza está dividida en placas y éstas a su vez en subplacas, que están en movimiento relativo, generándose en los encuentros de ellas, , zonas de abducción o separación, donde existe afloramiento de magma y creación de nueva corteza, zonas de subducción o incursión de una placa bajo la otra (destrucción de placa), y zonas de fractura o deslizamiento transcurrente de una placa al lado de otra.

El planeta está cubierto por 6 grandes placas, las cuales son: América, Eurasia, África, India-Australia, del Pacífico y Antártica, con subplacas como las de Nazca y del Caribe, pertenecientes a las placas del Pacífico y Americana respectivamente.

Chile se encuentra contiguo al encuentro de 2 placas: la de Nazca, que es una subplaca de la del pacífico, y la placa sudamericana. Mientras la placa de Nazca se mueve hacia el continente, la sudamericana se mueve hacia el océano. Generándose una zona de subducción en el mar, a unos 50 a 100 km de las costas, donde la placa de Nazca se mete bajo el continente. Este fenómeno es el causante de la orogénesis (generación del relieve) de la parte poniente de Sudamérica, con grandes fosas oceánicas frente a las costas de Chile, justo en el encuentro de placas, y con altas cordilleras producto del solevantamiento de la placa continental por la subducción de la de Nazca.

Por consecuencia de la tectónica de placas y de las placas existentes, las zonas con mayor riesgo sísmico y mayor ocurrencia, magnitud e intensidad de eventos telúricos, son las que se encuentran en las cercanías de las interfaces entre placas.


2


Sismicidad en Chile y el Mundo

Una de las zonas con mayor ocurrencia sísmica es el llamado cinturón Circum-Pacífico, que se extiende por la costa oeste de América, desde el sur de Chile (10ª a 11ª Regiones) hasta Alaska, pasa por la costa este de Asia, Japón, Indonesia, Nueva Zelanda, hasta las islas Fiji, al Sur-Este de Australia. Esta zona concentra el 80% de la energía liberada por los sismos anualmente. Otra zona sísmica activa se encuentra desde el sur de España, pasando por Italia, Grecia, Turquía, Persia, llegando hasta el Himalaya, norte de India y China, concentrando el 15% de la energía sísmica liberada. El otro 5% de energía sísmica restante, tiene lugar en África y el cordón montañoso del antártico.

El sólo movimiento relativo de las placas no causaría temblores, debido a lo lento que se produce, en términos de largo plazo, si este movimiento fuese continuo, ni siquiera sería perceptible. El problema es que el movimiento se produce repentinamente, luego de que la fuerza de corte entre las placas (que depende de la presión entre ellas y de las características específicas de la corteza) se vence, produciéndose un deslizamiento en un punto llamado foco, y se propaga en forma local o global, a lo largo de la interfase de placas.


3


En Chile, dependiendo de qué tan cercano a la costa se encuentra el Epicentro (o proyección vertical hacia la superficie del Hipocentro, que es el punto de mayor magnitud del sismo, ubicado en la interfase de placas, donde se produce el deslizamiento), será la profundidad del foco. Para epicentros en la costa, será de unos 50 km, en cambio en el altiplano, la profundidad es de unos 300 km o más.

Al sur de Puerto Aysén, se ponen en contacto las placas Sudamericana y Antártica, con una velocidad relativa menor que en el resto del país y, por lo tanto, menor ocurrencia de sismos.

En el extremo sur de Chile se pone en contacto en forma transcurrente, la subplaca de Scotia con la Sudamericana, con una escasa actividad sísmica, aunque mayor que entre Pto. Aysén y Pta. Arenas; los focos aquí son de baja profundidad.

Según la profundidad H del foco, los terremotos se clasifican en:

• Superficiales, para H≤60 km.

• Intermedios, para 60<H≤300 km

• Profundos, para 300<H<700 km

Ondas Sísmicas

Las dislocaciones y movimientos relativos entre placas se propagan por el suelo (se puede considerar como un medio elástico)en la forma de ondas, que llevan consigo la energía liberada en el evento sísmico.

En términos generales se identifican las siguientes ondas:

• Ondas de Cuerpo: Viajan grandes distancias, desde el foco, a través de la roca y hasta la superficie de la tierra. Se subdividen en principales “P” y secundarias “S”. En las primeras,


4


la partícula se mueve en la dirección de propagación de la onda y en las secundarias, se mueve perpendicular a ella

• Ondas Superficiales: Se deben a reflexiones y difracciones de las de cuerpo al llegar a la superficie o al cambiar de estrato de suelo.

Las ondas P se transmiten por pulsos de compresión en el medio y son más rápidas que las S, las que se transmiten por esfuerzos de corte. La diferencia de velocidades permite, registrando el desfase entre la llegada de cada una de ellas, determinar la distancia al punto de origen de las primeras pulsaciones o foco.

Las ondas de cuerpo P y S pierden amplitud con el recorrido, en forma inversa a la superficie de la esfera centrada en el foco, sobre la cual se encuentra la onda, por lo tanto, a mayor distancia del foco, menor es el daño causado por el sismo. La más destructiva de las dos ondas de cuerpo es la S (movimientos de vaivén laterales), debido a que las construcciones son naturalmente más vulnerables a este tipo de sacudidas. Las ondas P por su parte, son causantes de los movimientos verticales, los cuales son resistidos de mejor manera por la gran mayoría de las estructuras.

Teoría de Ondas Aplicada

Cauchy y Poisson estudiaron el fenómeno de una perturbación moviéndose en un medio sólido, elástico, homogéneo e isotrópico. De su estudio dedujeron que el movimiento de una onda en ese medio queda gobernado por la siguiente ecuación diferencial:

( ) iii

uux

••⋅=∇⋅+

∂∂⋅+ ρµθµλ 2

∂∂

∂∂

∂∂=∇

23

2

22

2

21

22 ,,

xxx

Donde:

u1, u2, u3, son desplazamientos en las direcciones 1, 2, 3, de un punto de coordenadas (x1, x2, x3).

∂∂

∂∂

∂∂=

3

3

2

2

1

1 ,,x

u

x

u

x

uθ Es la dilatación cúbica en el punto ubicado en (x1, x2, x3).

λ y μ son las constantes elásticas de Lamé y se determinan como:


5

Onda S

Onda PDirección de Propagación.


( ) ( )νννλ

⋅−⋅+⋅=

211

E

( )νµ

+⋅==

12

EG

En donde: ν es el módulo de Poisson (que toma valores entre 0,1 y 0,5) y E es el módulo de Joung o de elasticidad.

Si ν=0,25 (valor característico de gran número de suelos), entonces λ=μ, lo cual es una buena aproximación, en especial para suelo rocoso, que es donde más distancias recorre la onda sísmica.

ρ es la densidad del suelo y ••

iu es la aceleración del punto (x1, x2, x3), en las direcciones i=1, 2 y 3.

Desarrollando la ecuación diferencial se obtiene:

( )

∂

∂∂

∂∂

∂⋅=

∂∂

∂∂

∂∂

⋅+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂⋅+

23

2

22

2

21

2

23

32

22

22

21

12

3

3

2

2

1

1 ,,,,,,t

u

t

u

t

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

xi

ρµµλ

( )

∂

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂∂

⋅+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂⋅+

23

2

22

2

21

2

23

32

22

22

21

12

3

3

2

2

1

1 ,,,,,,t

u

t

u

t

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

xi

µρ

µλ

Que corresponde a la ecuación de la onda en medio elástico:

φφ 2∇⋅=••

CDonde:

ρνλ ⋅+= 2

C

Es la velocidad de propagación de la onda.

Poisson demostró posteriormente que las velocidades de las ondas P y S eran diferentes, en particular porque las ondas S se propagan por esfuerzos de corte, lo que implica que no se mueven en medios líquidos o poco viscosos, por lo que en su caso, sólo interesa el módulo de corte G o μ del medio y no el coeficiente λ.De esta manera, las velocidades de las ondas P y S están dadas por:

ρµλ ⋅+= 2

PVρµ=SV

Y con la simplificación μ=λ, se tiene que: SP VV ⋅= 3 .

Determinación del Foco de un SismoEn un sismo, el foco se define como un punto donde se vence la fuerza de cohesión entre placas y se produce el deslizamiento relativo. Cuando se produce el primer foco, se van generando en puntos cercanos a él, otros focos secundarios.El foco que es posible ubicar es el primero donde se genera la fractura o deslizamiento de placas y que, por lo general, corresponde al hipocentro.


6


La distancia radial al foco “R” se puede determinar por la diferencia en los tiempos de llegada de las ondas P y S, conocidas sus velocidades de propagación, las cuales dependen de las características elásticas del medio “suelo” por el cual se propagan. De esta manera, el radio queda determinado por:

PS

PS

VV

TTR

11 −

−=

Donde:TS-TP es la diferencia entre el tiempo de llegada de las ondas P y S.VS y VP son las velocidades de las ondas S y P.

Sin embargo, esto es sólo la distancia radial al foco, la cual no lo determina espacialmente, ya que este podría quedar en cualquier punto bajo la superficie terrestre, contenido en la superficie de una esfera de radio R y centro en la estación sismológica.La dirección en planta del sismo se puede determinar por las componentes de 2 registros sísmicos, (amplitudes) con instrumentos situados en la misma estación y dispuestos de forma ortogonal. La profundidad sólo se puede determinar conociendo los estratos de suelo y sus densidades, debido al fenómeno de difracción.

θ

Conocidos los registros de una estación sismológica, matemáticamente se puede ubicar el foco en 2 puntos diametralmente opuestos, sin embargo, esto debe ser interpretado por el profesional competente, asociando los datos y cálculos, con los daños y percepciones en terreno.Conocidos los datos de 2 ó más estaciones sismológicas, se puede triangular la posición del foco de manera más precisa.


7

θ

Y

X

AX

AY

A

AY

AX

A

θ


Ejemplo:Ocurrido un sismo, se tienen los siguientes registros en las estaciones sismológicas de Concepción, Chillán y Temuco:

Registro Sísmico:

AP, TP y AS, TS : Amplitudes y tiempo (hora) de registro de ondas P y S, respectivamente.

Datos Registrados:

Estación Concepción: Cota: 65 m S.N.M.M.Registro Sur-Norte: AP=0,537 tP= 12:15:20,77

AS=0,930 tS= 12:15:35,35Registro Este-Oeste: AP=0,067 tP= 12:15:20,77

AS=0,116 tS= 12:15:35,35Registro Vertical: AP=0,202 tP= 12:15:20,77

AS=0,349 tS= 12:15:35,35

Estación Chillán: Cota: 350 m S.N.M.M.Registro Sur-Norte: AP=0,215 tP= 12:15:29,08

AS=0,372 tS= 12:15:50,39

Estación Temuco: Cota: 450 m S.N.M.M.Registro Sur-Norte: AP=0,091 tP= 12:15:50,05

AS=0,158 tS= 12:16:26,80

Considere un suelo homogéneo con los siguientes parámetros elásticos:E=2,8·1010 N/m2

ν=0,25 yρ=1800 kg/m3.


8

AP

AP

TP T

S


La posición relativa en planta de las estaciones es:

Se pide lo siguiente:

1.- Ubicar el foco usando sólo los datos de la estación Concepción, teniendo presente que el sismo se sintió más fuerte al norte que al sur de la ciudad.2.- Ubicar el foco considerando que sólo se dispone de la información de los registros Sur-Norte, de las estaciones Concepción, Chillán y Temuco.

Reflexión y Difracción de Ondas

Cada vez que una onda que se propaga por un medio elástico M con velocidad constante V, se encuentra con otro medio elástico M’, cambia su velocidad a V’, se produce una variación en la dirección y parte de la onda rebota o se refleja y vuelve al medio M. Lo anterior corresponde a los fenómenos de Refracción (o Difracción ) y Reflexión.

La reflexión se produce con el mismo ángulo con que la onda incide a la interfase, medido respecto a la normal a dicha superficie.

En cuanto a la refracción, esta sigue la ley de Snell:( ) ( )

'

'

V

sen

V

sen αα =

Como la tierra está formada por diferentes estratos que se densifican en profundidad, de acuerdo a la ley de Snell, la tendencia de las ondas sísmicas es a acercarse a la vertical en su viaje desde el foco a la superficie. De esta manera, mientras más blandos son los suelos superiores, más cercana a la normal llegará la onda a la superficie.


9

α

α'

Medio M Medio M’

V

V’

50km 10km

20km

280km

CCh

T


Amplificación del Movimiento en un Estrato de Suelo

Cuando una onda pasa de un medio a otro, parte de ella se refleja y otra parte atraviesa hacia el otro estrato, pudiendo cambiar de dirección (refracción) si el ángulo de incidencia con la superficie interfase entre los dos medios no es recto.

Cuando una onda que se refleja en la interfase entre dos medios se acopla con la onda incidente, se produce un fenómeno de superposición que amplifica el efecto de dicha onda. Si esta onda amplificada se vuelve a acoplar con su onda reflejada, la amplificación se hace mayor, hasta alcanzar una cota máxima de amplificación.

Considere una onda sinusoidal que pasa de un medio denso M (roca por ejemplo) a uno menos denso M’ (arcilla por ejemplo), de espesor h hasta la superficie libre, tal como se muestra en la figura:

La función amplitud de onda, considerando el sistema de referencia dado por: X=0, Y=0 en t=0 es:

⋅⋅−⋅⋅=

L

XtsenAY

πω 2

Donde:


10

Foco

Función amplitud de onda

Dirección de propagación

Medio M’(q’,u’,v’)

Medio M (q, u, v)

h


L es la longitud de onda dada en función de la velocidad de propagación y frecuencia por:

ωπ V

L⋅⋅= 2

ω es la frecuencia de la onda (rad/s)V es la velocidad de desplazamiento (m/s).

Se ha considerado una onda vertical en virtud de la tendencia de la onda a aproximarse a la vertical al atravesar sucesivamente medios cada vez menos densos, como ocurre desde el foco hasta la superficie. Además, esta aproximación o supuesto es totalmente válido en el epicentro, que es donde se libera la mayor cantidad de energía sísmica.

Si el medio denso M llega hasta la superficie (no existe medio M’), la onda Y se refleja como Y1, de ecuación:

⋅⋅+⋅⋅=

L

XtsenAY

πω 211

El cambio de signo en el argumento se debe a que es el espejo en el sentido negativo del eje.

La condición de borde nos dice que la tensión tangencial es nula en la superficie, ya que el aire no resiste esfuerzo de corte, esto es:

( ) 01 =+∂∂⋅= YYXxy µτ En X=0

022

1 =

⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅

∂∂⋅=

L

XtsenA

L

XtsenA

Xxy

πωπωµτ

02

cos22

cos2 1 =

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅=

L

Xt

L

A

L

Xt

L

Axy

πωππωπµτ

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅L

Xt

L

A

L

Xt

L

A πωππωπ 2cos

22cos

2 1

( ) ( )tAtA ⋅⋅=⋅⋅ ωω coscos1

⇒ AA =1

Luego, las ondas se suman al reflejarse cuando estas dos ondas (la incidente y la reflejada) están en fase, duplicándose la amplitud e la superficie libre.

Considerando ahora un medio M’ de profundidad h, sobre el medio M, se tiene que:

⋅⋅−⋅⋅=

'

222 L

XtsenAY

πω

Es la continuación de Y en M’, pero con otra

amplitud y longitud de onda, propio del medio M’.

⋅⋅+⋅⋅=

L

XtsenAY

πω 233

Es el espejo de Y, pero con otra amplitud.

En este caso, hay 2 condiciones de continuidad en la interfase entre los medios M y M’:

Continuidad en la onda: 23 YYY =+ En X=0


11

h

Y

Y2

Y3


Continuidad en el esfuerzo: ( ) ( )23 ' YX

YYX ∂

∂⋅=+∂∂⋅ µµ En X=0

De donde se obtiene:

23 AAA =+

( ) 23 '

'A

LAA

L⋅=−⋅ µµ

Sistema de ecuaciones cuya solución es:

ALL

LA ⋅

⋅+⋅

⋅⋅=''

'22 µµ

µA

LL

LLA ⋅

⋅+⋅⋅−⋅=''

''3 µµ

µµ

Realizando un cambio de variable:

ρµρµ

ρµµ

ρµµ

µµ

ωπµ

ωπµ

µµ

⋅⋅=

⋅

⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅= ''

'

'

'

'

''2

2'

'

'

V

VV

V

L

LK

Se tiene:

AK

A

LL

ALL

LA ⋅

+=⋅

⋅⋅+

=⋅

⋅+⋅

⋅⋅=1

2

''1

2

''

'22

µµµµ

µ

AK

KA

LL

LLA ⋅

+−=⋅

⋅+⋅⋅−⋅=

1

1

''

''3 µµ

µµ

La onda Y2 se refleja como Y4 al llegar a la superficie cambiando sólo de sentido en el eje de avance:

−⋅⋅+⋅⋅= επω

'

244 L

XtsenAY

Por continuidad de tensiones de corte en X=h:

( ) 042 =+∂∂⋅ =hXYYX

µ

0'

2

'

242 =

−⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅

∂∂⋅

=hXL

XtsenA

L

XtsenA

Xεπωπωµ

0'

2cos

'

2

'

2cos

'

2 42 =

−⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅− επωππωπ

L

ht

L

A

L

ht

L

A

επωπω −⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅'

2

'

2

L

ht

L

ht y 42 AA =

⇒'

4

L

h⋅⋅= πε AK

A ⋅

+=

1

24

Y la suma de las ondas Y2 e Y4 será:


12


⋅⋅−⋅⋅+⋅+

⋅⋅−⋅⋅

+⋅=+

'

4

'

2

'

2

1

242 L

h

L

Xtsen

L

Xtsen

K

AYY

ππωπω

Lo cual, por identidades trigonométricas se puede transformar en:

( )

−⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

+⋅=+

'

2cos

'

2

1

442 L

hX

L

htsen

K

AYY

ππω

Del mismo modo como parte de la onda Y se refleja al cambiar de medio (Y3) y parte lo atraviesa (Y2), con la superposición de Y2+Y4 ocurre lo mismo, reflejándose hacia el medio M’ una nueva onda Y5 y refractándose una onda Y6 (no es de interés en el estrato superficial).

De manera análoga a lo anterior, la onda reflejada Y5 está dada por:

( )( )

( )

+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

+

−⋅='

22

1

1225 L

XhtsenA

K

KY

πω

Si se continua el proceso de reflexión y superposición de ondas en el estrato M’ hasta el infinito, despreciando la disminución de amplitud por disipación de energía, se tiene que:

( ) ( ) ( )

⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅

+−⋅−⋅

−⋅⋅⋅

+⋅= ∑

∞

= '

212

1

11

'

2cos

1

4

0 L

hmtsen

K

K

L

hX

K

AY

mm

m

πωπ

Cuyo valor máximo se da para :

( )2

12

'

2 ππ ⋅−⋅=⋅⋅ n

L

h

Reemplazando se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅

+−⋅−⋅

⋅−⋅−⋅⋅⋅

+⋅= ∑

∞

= 2

12

'

12

1

11

2

12

'

2cos

1

4

0

πωππ n

L

mtsen

K

Kn

L

X

K

AY

mm

m

( ) ( ) ( ) ( )tK

K

L

Xsen

K

AY nm

mm

m

n ⋅⋅−⋅

+−⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅

+⋅= ++

∞

=∑ ωπ

cos11

11

'

21

1

4 1

0

( ) ( ) ( ) ( )m

m

mnn

K

Kt

L

Xsen

K

AY

+−⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅

+⋅= ∑

∞

=

⋅+

1

11cos1

'

21

1

4

0

21 ωπ

( ) ( ) ( ) ∑∞

=

+

+−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅

+⋅=

0

1

1

1cos1

'

21

1

4

m

mnn

K

Kt

L

Xsen

K

AY ωπ

( ) ( ) ( )

+−−

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅

+⋅= +

K

Kt

L

Xsen

K

AY nn

1

11

1cos1

'

21

1

4 1 ωπ

Si se evalúa en X=h, entonces:

( ) ( ) nnsen

L

hsen

L

Xsen 1

2

12

'

2

'

2 −=

⋅−⋅=

⋅⋅=

⋅⋅ πππ


13

con Nn ∈


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−−+

⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅+⋅= +

K

KKt

K

AY nnn

1

11

1cos111

1

4 1 ω

( ) ( )tK

K

K

AY n ⋅⋅

⋅+⋅−⋅

+⋅= + ωcos

2

11

1

4 1

( ) ( )tK

AY n ⋅⋅−⋅⋅= + ωcos1

2 1

Cuyo valor máximo o amplitud máxima de la onda en la superficie libre es 2·A/K.

Comparando con el caso con roca hasta la superficie:

''

1

2

2

0___

___

ρµρµ

⋅⋅==

⋅

⋅

===

KAK

A

XenM á x im aA m p litu d

hXenM á x im aA m p litu d

Las ondas que logran la amplificación máxima deben cumplir con:

( )2

12

'

2 ππ ⋅−⋅=⋅⋅ n

L

hcon Nn ∈ ⇒

12

4'

−⋅⋅=n

hL

Además de:

( ) ( )h

nV

h

nV

L

V

⋅−⋅⋅⋅=

⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

2

12'

4

12'2

'

'2 πππω con Nn ∈

Por otra parte, la mínima amplitud de onda se obtiene cuando:

ππ ⋅=⋅⋅n

L

h

'

2con Nn ∈

Con amplificación mínima = 1, para la longitud de onda y frecuencias siguientes:

n

hL

⋅= 2'

h

Vn '⋅⋅= πω con Nn ∈


14


Lo cual en forma gráfica sería:

El efecto real de la amplificación de la onda sísmica se puede apreciar en las siguientes figuras:

Acelerogramas en Urasayo, Japón, efecto de amplificación de la onda sísmica

Desde el estrato duro al estrato superficial blando.

Ondas de Superficie

Se generan por reflexión de las ondas S y/o P en la superficie libre, lo cual genera un movimiento de la superficie terrestre, el cual es básicamente de 2 tipos: Movimiento elíptico (Ondas de Rayleight) y Movimiento de lado a lado, perpendicular a la dirección de propagación de la onda (Ondas Love).


15

πV’/2h πV’/h 3πV’/2h 2πV’/h 5πV’/2h 3πV’/h 7πV’/2h 4πV’/h ω

Amplif.

1/K

1


Velocidad de Onda Rayleight es igual Las ondas Love sólo son posibles si a la de las ondas Secundarias existe un estrato superior M’ sobre un

ρµ== SR VV estrato duro M que cumpla: VS’<VS

VS’ < VL < VS

Las ondas Love son las causantes del movimiento que produce el mayor daño sobre las construcciones.

Cuantificación de un Evento Sísmico

Un sismo se puede cuantificar por medio de la energía que libera producto del deslizamiento relativo de placas, o bien por loe efectos que causa en los lugares en donde es percibido. Los indicadores que miden lo señalado son, respectivamente, Magnitud e Intensidad.

Magnitud

Es una medida de la energía liberada por el terremoto y es independiente de las construcciones que puedan o no existir en el sector donde este es percibido. Esta energía es la suma de la energía transmitida por las ondas, más la liberada en forma de calor en la zona de fricción entre placas; la primera es del orden del 1 al 10% de la total.

La escala de magnitud más conocida en Chile es la de Richter, esta considera que la amplitud de la onda sísmica es prácticamente una medida de la energía sísmica. En esta escala, la magnitud se define como el logaritmo en base 10 de la doble amplitud máxima (medida en micrones) del registro de un sismógrafo estándar, ubicado a 100 km del epicentro.

La magnitud Richter M está relacionada con la energía E (en érgios) del sismo mediante la ecuación:

ME ⋅+= 5,18,11log 10 (Gútemberg y Richter)

También se define una magnitud local ML, que es la más comúnmente escuchada.

01010 loglog AAM L −=

Donde:

A : Amplitud máxima en sismógrafo de torsión Wood-Anderson, a una distancia dada.

A0 : Función de atanuación, = 0 para un terremoto patrón de ML=0. Se calibró para un terremoto de ML=3 que a 100km del foco tiene A=1mm.


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Dirección de Propagación

Onda Rayleight

Dirección de Propagación

Onda Love


01010 loglog AAM L −=

01010 log1log3 A−=

( ) 31log0

1010 −=A

30 10 −=A

Esta escala no tiene límite matemático, pero sí límite físico.

Intensidad

Mide los efectos de un terremoto en un determinado lugar mediante sensaciones, movimientos de objetos, daños en construcciones, etc.

La escala más usada en Chile y el mundo es la de Mercali Modificada (MM), de 12 grados: I, II,..., XII.

La intensidad se ve afectada por factores locales como: tipo de suelo, formaciones geológicas y hasta tipos de construcciones.

Un tipo de representación gráfica de la intensidad en una zona geográfica amplia son las curvas de igual intensidad o isosístas, análogas a las curvas de nivel topográficas.

Gútemberg y Richter proponen la siguiente expresión empírica para estimar la intensidad en el epicentro:

( ) 3log5.35,1 100 +⋅−⋅= hMI

Donde M es la magnitud en escala Richter y h es la profundidad del foco en km.

Dicha fórmula es para un suelo promedio, ya que no considera aumento o disminución de intensidad por condiciones locales del suelo.

Para un punto ubicado a una distancia R (km) del foco y terremoto de magnitud Richter M, la intensidad está dada por:

( )MeRMI ⋅⋅+⋅−+⋅= 59,010 17,0log65,571,744,1

Richter propone una expresión que relaciona la intensidad del sismo en escala MM, con la aceleración horizontal máxima “a” en cm/s2.

2

1

3log 10 −= I

a

Sin embargo, esta fórmula está limitada al tipo de suelo.

Saragoni propone la siguiente fórmula:

( ) 2

8,0

25

920.4

+⋅=

⋅

R

ea

M

Donde M está en escala Richter, R en km y a en cm/s2.

Esteva y Rosenblueth proponen la siguiente expresión para determinar la velocidad horizontal máxima.


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( ) 85.0400

16

+⋅=

R

eV

M

Donde M está en escala Richter, R en km y V en cm/s.

Tiempo de Duración de un Evento Sísmico

Las placas terrestres están en continuo movimiento, sin embargo, bajo ciertas velocidades no se pueden percibir e incluso registrar sus efectos, que es lo que ocurre la gran parte del tiempo.

La duración de un evento sísmico es el tiempo en el que se concentra la gran mayoría de la energía liberada o del potencial destructivo.

Una expresión empírica aceptablemente válida para rangos de 4,7<M<7,6 y 0,1km<R<130km del foco, en la costa oeste de USA es:

83,143,0log 10 −⋅= Ld Mt

Donde td es la duración del evento en segundos.

Peligrosidad Sísmica

Está asociada a una zona geográfica y a la probabilidad de ocurrencia, cantidad de eventos por año, magnitud e intensidad de los mismos, etc. Todo esto basado en la información de registros históricos.

Sismicidad

Relaciona la actividad sísmica, su distribución espacial y temporal, con las características fisiográficas y geológicas de cada región.

Los efectos que representan la peligrosidad sísmica de una zona pueden ser: aceleración, velocidad, desplazamiento del terreno, o bien, mediante la intensidad macro-sísmica.

El objetivo de un estudio de peligrosidad es evaluar el movimiento del terreno en un lugar determinado como consecuencia de un terremoto, o como mínimo estimar la severidad del mismo en el lugar en cuestión.

La transferencia de esta excitación a las fundaciones de una construcción es problema de la ingeniería estructural.


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X1=f(R

1, M

L) En la superficie

de la base rocosa

R1

X3=X

2·I

X4=X

3·DEn el edificio

mismo

En lasFundacionesEn la Superficie

del Terreno

X2

X1

X3

X4

X2=X

1·A


X1 yA son problemática de la sismología y corresponden a la peligrosidad sísmica del sector.I y D son problemas de la ingeniería estructural sismorresistente.

Cuando se habla de la peligrosidad sísmica esta puede referirse a estudios a escala regional o “Macrozonificación Sísmica”, como es el caso de la NCh 433 que divide a Chile en 3 zonas desde mar a cordillera, siendo las costeras más riesgosas que las cordilleranas, por estar más cerca de la zona de subducción. También puede ser en relación a estudios a escala local o “Microzonificación Sísmicas”, en los cuales entran en juego factores como los accidentes orográficos, el tipo de suelo, etc.

Registros de aceleraciones en un edificio de la ciudad de México, para un sismo moderado.Se aprecia efecto del suelo superior entre censor de pozo y calle Jalapa, la relación entre aceleración

superficial y basal, así como el efecto de la rigidez y altura de la estructura en la aceleración.

Macrozonificación Sísmica


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Se preocupa de delimitar zonas por rangos de peligrosidad, basándose en la probabilidad de ocurrencia e intensidad de los eventos sísmicos, conocidas las características de la o las zonas fuente y el mecanismo de propagación. No considera los efectos locales de los estratos de suelo superior, sino que sólo la propagación por medio de la roca, en consecuencia, sólo se preocupa de la función X1=f(R1,ML).

En Chile, las zonas fuente o sismogenéticas están bien definidas, siendo:

• La interfase de placas de Nazca y Sudamericana, en el litoral del norte, centro y centro-sur del país.

• Interfase de placas Antártica y Sudamericana, en el sur extremo de Chile.

• Interfase de subplaca Scottia y sudamericana, en Tierra del Fuego.

La cuantificación del potencial sísmico se hace en función de los datos históricos registrados, mediante dos métodos principalmente: el Determinista y el Probabilista.

El determinista considera la sismicidad histórica como parámetro directo de la futura.

El probabilista utiliza datos como: zonas sismogenéticas, máximo terremoto esperado por zona sismogenética, relación entre frecuencia de ocurrencia y magnitud en cada zona. Con estos datos y la aplicación de algún modelo estadístico, se determina la probabilidad de ocurrencia de terremotos de distintas severidades.

Propagación de la Energía Sísmica

La onda sísmica generada en el foco, se propaga por la roca hasta el punto bajo el sector en estudio, llevando consigo la energía. Esta energía que se concentraba en un pequeño volumen de roca madre en las cercanías del foco, se va diluyendo producto de la expansión geométrica del frente de ondas, es decir, la energía total es la misma (o casi la misma bebido a las pérdidas por fricción), pero distribuida en un volumen cada vez mayor, lo cual produce una disminución en la amplitud de la onda.

Además de la disminución de amplitud por expansión geométrica, el mismo efecto se produce también por atenuación inelástica, la cual se divide en atenuación intrínseca, o pérdida en forma de calor y deformaciones plásticas, y atenuación dispersiva, la cual corresponde a un proceso que no es disipación propiamente tal, sino más bien una redistribución espacio-temporal.

Microzonificación Sísmica

Corresponde a una descripción local y complementa al estudio de macrozonificación, la cual contempla la peligrosidad sísmica y propagación en el medio rocoso. Incluye los efectos en la superficie producidos por la presencia de estratos más blandos y/o accidentes orográficos.

Los suelos blandos no sólo pueden cambiar y modificar la amplitud registrada, sino que también cambian las frecuencias percibidas en la superficie (filtro A).

La microzonificación, además de estudiar los efectos de estratos blandos en la amplificación de amplitud de onda y filtrado de frecuencias, se preocupa también de efectos colaterales como deslizamientos, asentamientos, licuefacción, tsunamis.


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El paso de una onda sísmica por un estrato blando, filtra las frecuencias diferentes a la frecuencia natural del estrato blando, amplificando aquellas que tienen su misma frecuencia, generando así un movimiento casi armónico, de frecuencia única.

La siguiente figura es un claro ejemplo del efecto local producido por el estrato superior de suelo blando.

Corte N-S del valle de México, perfil esquemático mostrando depósitos profundos,

aceleraciones en suelo duro y depósito lacustre, efecto de amplificación.

Fenómenos Asociados con Terremotos• Movimientos Tectónicos.• Deslizamientos y Derrumbes.• Rodados de Roca.• Aludes de Nieve Barro y Arena.• Seiches y Tsunamis. HgV ⋅=

• Incendios por rotura de tuberías de gas y redes eléctricas.• Asentamientos de Suelo.• Licuación de Arenas Saturadas.

(TAREA: INVESTIGAR A CERCA DE LOS FENÓMENOS ANTERIORES, ESPECÍFICAMENTE LO SIGUIENTE:

• ALUDES, DESLIZAMIENTOS Y RODADOS.• SEICHES Y TSUNAMIS.• LICUACIÓN DE ARENAS SATURADAS.)


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Diseño Sísmico: Efectos de los Sismos en las Estructuras

EFECTOS DE LOS SISMOS EN LAS ESTRUCTURAS

Introducción

Las ondas sísmicas que se generan en el foco se propagan desde en subsuelo hasta la superficie siendo modificadas en su camino por las características locales de los estratos blandos que se encuentran sobre la roca madre, del mismo modo, las características de las edificaciones que se sustentan sobre estos suelos tienen relación con las aceleraciones, velocidades y desplazamientos que se pueden percibir en los diferentes pisos de éstas. Las aceleraciones en cada piso, están relacionadas a su vez con los esfuerzos internos que se producen en las estructuras, por lo que una adecuada estructuración no sólo puede minimizar las fuerzas de inercia que un sismo induce, sino que también puede ayudar a resistir de mejor manera los esfuerzos internos que esas fuerzas inerciales generan en los materiales que conforman la estructura, todo lo cual debe ser el objetivo de una buena estructuración.

Dadas las características de un evento sísmico y de los estratos blandos sobre la roca madre, las aceleraciones superficiales que se generan no son el único parámetro que define el daño sobre las estructuras, este está muy relacionado con las características estructurales de la edificación, las cuales determinan la amplificación de las aceleraciones a lo largo de su altura, ya que si bien se puede considerar que las fundaciones de una construcción se mueven junto con el suelo, no se puede decir lo mismo del edificio, el cual sigue tiene un historial de aceleraciones, velocidades y desplazamientos distintos a los del suelo. De esta manera, un sismo de períodos cortos tendrá un efecto más destructivo sobre las construcciones rígidas y bajas que sobre las altas y flexibles, las cuales se responderán con deformaciones suaves y esfuerzos internos bajos; por otra parte, si el sismo es de períodos largos, las estructuras rígidas se desplazarán suavemente como cuerpos rígidos, sin inducir grandes esfuerzos, en cambio las construcciones flexibles tendrán grandes desplazamientos que inducirán también grandes esfuerzos internos.

Una buena estructuración debe considerar no sólo las características macro sísmicas sino que también los efectos locales producto de accidentes orográficos y estratos superficiales de suelo, para diseñar una estructura que en lo posible atraiga la menor cantidad de fuerzas inerciales dadas las características de macro y micro zonificación sísmica, sino que también tenga un adecuado mecanismo para transmitir las fuerzas inerciales desde los puntos donde se concentran las masas, a través de los elementos estructurales y hasta las fundaciones del edificio.

Respuesta de los Edificios

Las estructuras responden ante los sismos con desplazamientos producto de las fuerzas inerciales que éste induce, estos desplazamientos están en directa relación con la rigidez de la estructura (estructuración) y con las fuerzas sísmicas inducidas, las cuales dependen de las aceleraciones en el edificio, las que a su vez están condicionadas por la aceleración basal del sismo y las características de la estructura.

Si un edificio de período fundamental TE se representa por un modelo de 1 g.d.l. y se somete a una excitación sísmica que sacude su base según una ley de aceleraciones cualquiera, con período dominante TS, la respuesta en aceleraciones del modelo dependerá no sólo de la excitación, sino también de la relación entre los períodos TE y TS, como se muestra en el siguiente esquema.


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En la medida que TS se acerca a TE, la aceleración registrada en la estructura es mayor, fenómeno denominado resonancia, el cual se ve mitigado por la capacidad de la estructura de disipar energía, también llamada amortiguamiento.

Cuando una estructura real es sometida a esfuerzos dentro del rango lineal elástico de los materiales que la conforman, un modelo de varios g.d.l. con rigidez constante (y por ende período constante) y pequeño amortiguamiento (3 a 4% del crítico) puede ser una buena aproximación, sin embargo, cuando se supera el límite elástico y comienza a producirse daño en elementos no estructurales como tabiques y estucos, o bien en elementos estructurales como pérdida de recubrimiento en vigas y columnas, la rigidez real de la estructura cambia y, por lo tanto, sus períodos, con lo que se modifica el efecto de amplificación de las aceleraciones, correspondiendo esto a una reacción “defensiva” de la estructura, que le permite soportar un poco más antes del colapso total, siempre que sea capaz de deformarse ampliamente, es decir, siempre que sea dúctil o pueda disipar la energía sísmica por su capacidad creciente de amortiguamiento más que por deformaciones elásticas.

La ductilidad o capacidad de deformación plástica, es una propiedad muy deseable en estructuras sometidas a sismos, ya que le otorga a ésta la capacidad cambiar sus períodos naturales, mitigando sus aceleraciones, le permite disipar parte de la energía sísmica al incrementar la razón de amortiguamiento cuando esta pasa de rango elástico a plástico, evitando o por lo menos retardando el colapso total, dando tiempo para ponerse a resguardo a las personas que habitan el edificio.

Otra ventaja de proveer de ductilidad a las estructuras es que, comparativamente con una estructura elástica, las fuerzas sísmicas que atrae una estructura elasto-plástica son mucho menores, por lo que se puede reducir su resistencia si se le da capacidad de deformación plástica apropiada. Lo anterior es razonable si pensamos que las ondas sísmicas transmiten energía, la cual es transferida a la estructura, la que la almacena o disipa en forma de deformaciones elásticas o plásticas, como se muestra en la siguiente figura:


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El proporcionar ductilidad no sólo es bueno en términos económicos, ya que se diseñan elementos para resistir menores esfuerzos, sino que también en términos funcionales, ya que una estructura elástica fallará abruptamente sin aviso de colapso en cambio una elasto-plástica dará indicios de acercamiento al colapso como fisuración y pérdida de recubrimiento en hormigón armado y pandeos locales, globales de algunos elementos y colapso de elementos estructurales menos fuertes en estructuras metálicas.

Daño por Sismos

No sólo la forma de responder de un edificio ante un sismo (en términos de aceleraciones, fuerzas inerciales y desplazamientos) puede ser controlada con una apropiada estructuración de este, dotándolo de ductilidad y rigidez tal que sea capaz de disipar la energía sísmica y atraer la menor cantidad de fuerzas inerciales. Si analizamos una estructura ya no como una entidad global sino que por partes en forma independientes y estudiamos el mecanismo de transmisión de las fuerzas inerciales desde los puntos de concentración de masas, por los elementos estructurales hacia las fundaciones y desde estas al suelo, podremos darnos cuenta que, no sólo los períodos naturales y la ductilidad global son importantes, sino que también el proporcionar adecuados mecanismos de flujo de esas fuerzas por los elementos estructurales, de manera de minimizar los daños locales y también globales.

Muchas de las fallas que se pueden apreciar en las construcciones posteriormente a los sismos se deben a falta de atención en estas líneas de descarga de fuerzas, en especial en las uniones de elementos estructurales como viga-columna, columna-losa, elemento estructural-elemento no estructural, etc.

Algunos ejemplos comunes de daños por sismo atribuidos a la falta de atención en el detallamiento se pueden apreciar mucho más claramente en estructuras de hormigón armado y albañilería confinada, dentro de los cuales se encuentra el problema de “piso blando”, esto es, cuando el piso inferior es mucho más flexible que los superiores, concentrando la mayor cantidad de deformación lateral; “Columnas Cortas”, cuando la los desplazamientos laterales inducen esfuerzos de corte


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elevados de modo que se alcanza primero la falla por corte que por flexión, la cual es mucho más frágil y perjudicial; “Falta de Confinamiento en Columnas”, lo que limita la capacidad de deformación del hormigón a rangos mucho menores llegando este al colapso para desplazamientos impuestos mucho menores; “Punzonamiento” de losas apoyadas sobre columnas; “Impacto con Edificios Adyacentes” producido por vibraciones dispares, lo cual es aún más perjudicial cuando los niveles de losa rígida no coinciden entre ambos edificios y, por último, los efectos de torsión en planta inducidos por irregularidades en la redistribución de rigideces, locual ocaciona desplazamientos excesivos en las líneas perimetrales más fuertes.

Ejemplos gráficos de los tipos de daños sísmicos descritos anteriormente se muestran a continuación.


Aplastamiento del hormigón por falta de estribos de confinamiento, note los estribos cortados

Falla de columnas por golpe lateral de edificio adyacente, note que los niveles de piso no son coincidentes entre edificios.

Falla por corte de columna por luz acortada por antepecho

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Diseño Sísmico: Diseño Conceptual y Estructuración

DISEÑO CONCEPTUAL Y ESTRUCTURACIÓN

Introducción

Como ya se mencionó, las características estructurales de un edificio son un factor importante que define la amplificación de las aceleraciones basales sobre la edificación así como el daño que las fuerzas inerciales imprimen a la misma, por lo tanto, el diseño conceptual o estructuración, previo al cálculo, dimensionamiento y detallamiento de elementos estructurales, es una etapa de vital importancia en el diseño, ya que condiciona el buen o mal comportamiento frente a las eventualidades sísmicas.

Comúnmente, el ingeniero suele dedicar poco o nada de tiempo al diseño conceptual, limitándose a calcular los elementos resistentes que el diseño de arquitectura ha dispuesto, sin embargo, no hay que olvidar que un diseño arquitectónico apunta a optimizar el uso del espacio y la forma, pero no al correcto comportamiento estructural del edificio, por ello, es de suma importancia que en países sísmicos como Chile, los proyectos estructurales de envergadura sean trabajados desde sus inicios por el arquitecto e ingeniero responsable, para compensar de la mejor manera posible la estructuración a favor de los fines deseables de cada uno.

Control de Características Estructurales Relevantes

Si pensamos en los aspectos relevantes que es necesario manejar para controlar las aceleraciones de la estructura, las deformaciones, esfuerzos internos y daño, las primeras ideas que se nos vienen a la cabeza son: masas y rigideces, la primera se asocia directamente con las fuerzas inerciales inducidas y ambas se relacionan con los períodos fundamentales de la estructura. De esta manera, una correcta asignación de las masas y de las rigideces, esto último asociado a distribución de elementos resistentes y forma de la planta, favorece al correcto comportamiento del edificio frente a los sismos.

Masas

Las masas son directamente proporcionales a las fuerzas sísmicas inducidas, de esta manera, 2 estructuras con iguales períodos pero distinta masa atraen diferentes fuerzas sísmicas inerciales.

Si las rigideces están correctamente distribuidas en el edificio, se pueden distinguir 2 tipos básicos de irregularidades en la distribución de la masa: Irregularidad en planta e irregularidad en altura, como se muestra en los siguientes esquemas.


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En la situación a), las fuerzas inerciales inducidas por el sismo se concentran en el último piso, produciendo esfuerzos de corte elevados en todos los elementos resistentes, no sólo en los del primer nivel, aplica un mayor momento volcante, por lo que se requerirían fundaciones más grandes y la deformación lateral será mayor.

En la situación b), las fuerzas sísmicas se concentran donde las masas son mayores, por lo que el punto de aplicación de la fuerza resultante por piso está más cercano a las líneas contiguas a las masas concentradas, imprimiéndoles mayores solicitaciones y deformaciones, lo cual genera no sólo desplazamientos laterales sino que también torsiones en planta.

En la situación c), una distribución regular en planta pero muy diferente entre plantas consecutivas también puede causar efectos indeseados, ya que puede producir predominio de modos de vibrar superiores con el consiguiente desplazamientos en sentidos opuestos de pisos, lo cual induce grandes esfuerzos de corte en los elementos resistentes como pilares y muros.

Configuración Geométrica

La configuración geométrica de una estructura, en conjunto con las propiedades mecánicas de los materiales que la conforman, determinan su rigidez, la cual junto con la masa se relaciona directamente con los períodos naturales de vibración del edificio. Como ya se indicó anteriormente, los períodos en términos globales se relacionan con las fuerzas de inercia que una estructura atrae producto de las aceleraciones sísmicas, sin embargo, existen otros aspectos que no son apreciables en forma global, ya que es posible tener 2 estructuras con distribuciones de fuerzas sísmicas por piso similares, pero con una repartición interna de ellas completamente diferente, la cual se relaciona con la forma estructural que define el camino por el cual esas fuerzas se descargan al suelo.

A continuación se presentarán algunos casos típicos de configuraciones estructurales indeseadas y las formas más apropiadas para mejorar su comportamiento estructural ante un sismo.

Forma en Planta

La forma en planta se relaciona directamente con la distribución de masas y de rigideces, lo que puede producir vibraciones torsionales que incrementan los desplazamientos de los elementos perimetrales de la estructura. Tres casos de este tipo se muestran a continuación:

Para cada caso existe más de una solución al problema de la vibración torsional, pera dada uno trae consigo desventajas menores, tal como se muestra en las siguientes figuras para el caso mostrado en la planta de la izquierda.


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En la solución del lado izquierdo, una correcta distribución de rigideces puede hacer coincidir el centro de masa (donde se encuentra la resultante de las fuerzas de inercia) con el centro de rigidez o de torsión (donde deben aplicarse las fuerzas para que no exista giro en planta). Esta solución induce concentración de esfuerzos indeseados en los elementos, particularmente en la U interior de la losa.

La solución de la figura central, la estructura se separa en 3 cuerpos de geometría regular que por si solos no representan problema, siempre que se deje una separación adecuada para que cuando las partes vibren en sentidos opuestos no se golpeen.

La tercera solución propone una viga de liga (en cada piso) entre las dos salientes del edificio, esto hace que ambas partes trabajen como conjunto, aumentando la rigidez del lado derecho, desplazando con ello el baricentro (similar al centro de corte en perfiles) y minimizando la rotación en planta, además, esta solución evita las vibraciones independientes y, por lo tanto, la concentración de esfuerzos debido a movimientos en sentidos opuestos.

Otros ejemplos que serán comentados en clase se muestran en los siguientes esquemas:

Plantas con alas indeseables por vibraciones independientes y concentración de tensiones.


Vibraciones independientes y concentración de tensiones

Alternativas de solución

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Para más detalles, ver “DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS, Bazán/Meli”, capítulo 5, punto 5.2.2.

Forma en Elevación


En a), los movimientos diferenciados de apoyos inducen fuerzas verticales importantes.En b), la losa de la planta alargada se flecta en su plano para rigideces concentradas en extremos.

Evitar esbeltez en planta >4.Evitar perforaciones de gran área y zonas en planta muy angostas. Se concentran esfuerzos en las franjas angostas y en las esquinas interiores.

En a), solución de edificio largo con juntas de dilatación.En b) solución de flexión en el plano de la losa con elementos resistentes uniformes.En c), solución a perforación con refuerzos.

Plantas con esquinas entrantes indeseables. El problema es similar al de plantas con alas cuando las entrantes son grandes.

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La forma en elevación se relaciona básicamente con dos aspectos importantes del comportamiento estructural ante solicitaciones sísmicas: los modos de vibrar que predominan en la respuesta de la estructura y los mecanismos de transmisión de las fuerzas inerciales del sismo al nivel basal y luego al suelo de soporte.

Fundamentalmente nos enfocaremos en dos tipos básicos de problemas en elevación: La esbeltez y los Cambios bruscos de rigidez.

La esbeltez ocasiona que los modos superiores tengan cada vez más participación en la respuesta de la estructura, lo que significa que la deformada se hace más sinuosa y, por lo tanto, las deformaciones relativas de entrepiso (Δx/hi o Δy/hi) son mayores y con ello también lo son los esfuerzos inducidos. Esto se puede manejar con un detallado análisis modal y asignación de rigideces.

Los cambios bruscos de rigidez en altura tienen por consecuencia una acentuación de los desplazamientos de la porción alta y menos rígida, respecto de la porción baja y más rígida, lo cual tiene un mayor efecto mientras más alto se produce el cambio de rigidez; lo anterior aumenta las tensiones inducidas en la parte superior, en particular a la altura del cambio de rigidez. Esto se puede solucionar mediante un cambio gradual de rigidez o bien separando el edificio por juntas de dilatación en tantas porciones sea necesario para generar estructuras de planta única o prismáticas.


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Para más detalles, ver “DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS, Bazán/Meli”, capítulo 5, punto 5.2.3.

Requisitos Básicos de Estructuración

Este punto se refiere a las características reales con las cuales se puede obtener estructuras con adecuado comportamiento estructural ante solicitaciones sísmicas.

Básicamente, se pueden destacar 4 requisitos estructurales que se deben cumplir en zonas sísmicas:

1. Resistencia a cargas laterales en cualquier dirección, lo que se obtiene rigidizando apropiadamente dos direcciones ortogonales.

2. La forma estructural debe asegurar un eficiente flujo de las fuerzas inerciales inducidas al terreno soportante.

3. Evitar las amplificaciones de vibraciones, torsiones en planta y concentraciones de tensiones debidas a distribuciones inadecuadas d e masas y rigideces. Es conveniente tender a estructuras sencillas, regulares, simétricas y continuas.

4. El sistema estructural debe ser hiperestático (redundante) y poseer capacidad de deformación plástica y de disipar energía (amortiguamiento), evitando las fallas frágiles.

Sistemas Estructurales Básicos

Marco Tridimensional

Estructura en base a pilares y vigas. Los pilares trabajan en compresión y las vigas en flexión (esfuerzos de momento y corte) para resistir las cargas verticales. Pilares y vigas trabajan en flexión conjunta para resistir esfuerzos laterales, siendo solicitados por momentos y corte.


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Marcos Rigidizados

Existen 3 subtipos de marcos rigidizados que son los que se muestran en la figura a continuación:

Las cargas verticales son resistidas por compresión en pilares y/o muros y flexión en vigas (esfuerzos de momento y corte).

Las cargas laterales son resistidas por un mecanismo conjunto marco-muro o marco-diagonales, que trabaja de forma diferente según la altura de la estructura, para estructuras bajas los muros o arrostramientos limitan los desplazamientos, en cambio en la porción más alta de construcciones altas son los marcos los que limitan el desplazamiento.

La relación entre los desplazamientos que controla cada parte estructural y los esfuerzos de corte horizontal que toman las columnas del marco y los muros arriostrantes en un subsistema como el de la figura a) se ilustra en el siguiente esquema:


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Estructura Tipo Cajón

Los elementos resistentes son muros llenos o perforados (con ventanas) ubicados en la periferia del edificio y unidos mediante un diafragma rígido de piso, con elementos interiores no estructurales más columnas y vigas cuando las luces sean muy grandes.

Este tipo de estructura no sólo tiene una alta rigidez a esfuerzos laterales sino que también a solicitaciones de torsión en planta.

En este sistema estructural las vigas y pilares interiores trabajan casi exclusivamente para resistir las cargas verticales de pisos, en tanto que los muros perimetrales resisten las cargas laterales y torsión debido a posibles excentricidades.

Ejemplos Específicos de Estructuración

A continuación se presenta una serie de ejemplos gráficos que muestran situaciones de mala estructuración, seguidos de posibles soluciones y la justificación correspondiente de ellas.

1. Resistencia a cargas laterales en cualquier dirección, lo que se obtiene rigidizando apropiadamente dos direcciones ortogonales.

Sistema estructurado por marcos en una sola dirección y losas apoyadas sólo en 2 bordes. Este sistema es inadecuado pues sólo proporciona resistencia a cargas en el plano del marco.


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Soluciones posibles: a) agregar vigas en la dirección ortogonal, con lo que se produce la acción de marco en 2 ejes ortogonales. B) Agregar tensores o muros en la dirección débil.

A la izquierda, sistema estructural con muros resistentes sólo en una dirección, situación usual en edificios céntricos, donde los muros son llenos sólo en los deslindes con propiedades vecinas. A la

derecha se indica la solución propuesta agregando muros en la dirección ortogonal.

2. Evitar las amplificaciones de vibraciones, torsiones en planta y concentraciones de tensiones debidas a distribuciones inadecuadas de masas y rigideces. Es conveniente tender a estructuras sencillas, regulares, simétricas y continuas.

Se muestran 2 plantas con distribución irregular de rigideces que ocasiona vibración trosional de la planta, con el consiguiente incremento de desplazamiento de los puntos perimetrales.


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Se recomienda cambiar la posición de los elementos más rígidos para hacer coincidir el centro de masa con el de rigidez de la planta del edificio.

Se muestra en sistema estructural con rigidecez equivalentes de diagonales en un costado y muros de albañilería en el otro, lo cual hace que los centros de masa y rigidez sean cercanos, sin embargo, esto se cumple para deformaciones en el rango elástico únicamente, ya que cuando se incursiona en

rango plástico, los muros de albañilería se fisuran y pierden rigidez más rápidamente que las diagonales, cambiando la posición del centro de rigidez, con lo cual se incrementan aún más los

desplazamientos de los muros, aumentando también el daño.


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En la figura se muestran diferentes sistemas estructurales:

a) Se rigidiza sólo la mitad inferior, concentrándose los desplazamientos en la parte superior de la estructura, induciéndose tensiones de corte en los pilares del primer piso no arostrado.

b) Se cambia en forma brusca la rigidez de las columnas en altura, lo cual induce esfuerzos mayores en las discontinuidades, esto se puede mejorar haciendo más gradual el cambio.

c) Uno de los pisos es más alto que los demás, lo cual tiene por consecuencia que, aún cuando la sección transversal de las columnas sea la misma en altura, el piso más alto tiene menor

rigidez a cargas laterales, por lo que se concentrarán las deformaciones y el daño en él.

d) Todos los pisos menos el primero, están correctamente arrostrado, esto tiene por consecuencia que, tanto deformaciones laterales como daño por sismo, se concentrará en los

pilares del primer nivel.

e) Todos los pisos están arrostrados para evitar grandes desplazamientos laterales, sin embargo, existe discontinuidad entre las líneas arrostradas, pasando de un extremo a otro del

eje resistente, esto tendrá por consecuencia que las vigas y/o losa en el plano de discontinuidad de arrostres tendrán una alta solicitación a esfuerzo axial, el cual puede no

ser problema si los elementos se diseñan apropiadamente.


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Diseño Sísmico: Complementos de Análisis Estructural

COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Elementos De Barra Robustos

En el curso de análisis estructural se entregaron los conocimientos para modelar el comportamiento estructural ante cargas estáticas, simulando cada elemento de la estructura como una barra que puede estar sometida a esfuerzos Axial, Corte, Flexión y Torsión.

En este modelo elemental, las propiedades estructurales están referidas a los nodos extremos, de modo que tanto las cargas aplicadas como los desplazamientos impuestos, reacciones de apoyo y desplazamientos resultantes están asociados a esos puntos.

Este modelo es apropiado para estructuras donde cada porción elemental o “barra” tiene 2 dimensiones físicas reales que son mucho menores que la tercera. Dentro de este tipo de estructuras se encuentran los pórticos, las vigas de puentes, edificios estructurados en base a marcos, etc.

Una situación diferente y no considerada por la metodología de modelación anterior es el caso de estructuras donde dos o incluso las tres dimensiones geométricas de sus porciones elementales son del mismo orden de magnitud. Este es el caso de edificios estructurados con muros, vigas altas que ocupan antepechos de ventanas, pilares muy robustos en edificios altos, etc.

En este caso, la modelación de la estructura mediante la discretización de esta en porciones elementales o barras que se extienden por el eje medio de la sección transversal hasta los puntos de intersección de elementos adyacentes (ver figura anterior) no es lo más apropiado, ya que se asume que las propiedades elásticas de los elementos de barra son homogéneas desde inicio a fin, siendo evidente que esta suposición no es válida en las cercanías de los nudos, por la rigidización que genera la conjunción de elementos.

En estos casos, es más adecuado suponer que en las cercanías de los nodos, las propiedades elásticas de las barras del modelo son diferentes, siendo flexibles (E y G son finitos) en la zona


37


media, entre las caras de los apoyos o elementos adyacentes, e infinitamente rígidas (E y G tienden a infinito) en las cercanías de los nudos, en las zonas donde existe conjunción o superposición de barras.

Las porciones rígidas de las barras de este nuevo modelo son llamadas “Cachos Rígidos” y con ellas se pueden representar de mejor manera estructuras como las señaladas anteriormente, sin embargo, es preciso redefinir o modificar la matriz de rigidez elemental de la barra.

Matriz de Rigidez con Cachos Rígidos

Considere un elemento de barra prismático, con cachos rígidos en sus dos extremos, que apuntan en direcciones arbitrarias que no necesariamente es la misma que el eje de la barra flexible.

En este elemento de barra modificado, existe una relación geométrica entre los desplazamientos de los nodos extremos (Nodo i =c y Nodo j =d) y los correspondientes a los nodos intermedios o interfaces flexible-rígido (nodos a y b).


Porción Flexible

Porción Rígida.

Prop. Elásticas:E, G, A, I, J

ΔYi ΔY

j

ΔXi L ΔX

j

Nodo i (c) Nodo j

(d)

(a) (b)

ua

va

øa u

b

vb

øb

ud

vd

ød

uc

vc

øc

x (u)

y ( v)

z (ø)

38


22ii YXR ∆+∆=

Realizando el desarrollo matemático para encontrar la relación geométrica entre el desplazamiento de c y a:

( ) ( )cRRu φαα +⋅−⋅=∆ coscos

( )ci RXu φα +⋅−∆=∆ cos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ccc sensen φαφαφα ⋅−⋅=+ coscoscos (Identidad Trigonométrica)

Como: rad1<<φ ⇒ ( ) 1cos ≈cφ y ( ) ccsen φφ ≈

⇒ ( ) ( ) ( ) cc sen φααφα ⋅−⋅=+ 1coscos

⇒ ( ) cii

c R

Y

R

X φφα ⋅∆−⋅∆=+ 1cos

∴ cicii

i YR

Y

R

XRXu φφ ⋅∆=

⋅∆−∆⋅−∆=∆

( ) ( )( )αφα senRsenRv c ⋅−+⋅−=∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ccc sensensen φαφαφα ⋅+⋅=+ coscos (Identidad)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )αφαφα senRsenRsenRv cc ⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∆ coscos

Como: rad1<<φ ⇒ ( ) 1cos ≈cφ y ( ) ccsen φφ ≈

( ) ( ) ( )( )αφαα senRRsenRv c ⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∆ cos1

∴ cici X

R

XRv φφ ⋅∆−=⋅∆⋅−=∆ El signo – es porque Δv tiene signo contrario a øc.

Así, se tiene que:

uuu ac ∆+= ⇒ ciac Yuu φ⋅∆+=

vvv ac ∆+= ⇒ ciac Xvv φ⋅∆−=

Y el ángulo de giro en a y c no sufre cambio pues el segmento a-c es rígido.


ΔYi

ΔXi

uc

ua

Δu

øc

vc

c

a v

a

Δv

X

Y

øc

Δv

Δu

ΔYi

ΔXi

αc

R

39


Expresando lo anterior en forma matricial sería:

a

i

i

c

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆−∆

=

φφ 100

10

01

O bien: { } [ ] { } aac uTu ⋅=

De manera análoga, para el extremo opuesto (b-d) se obtiene:

djYu φ⋅∆=∆

djXv φ⋅∆=∆ En este caso, Δv tiene el mismo signo que øc.

Así, se tiene que:

uuu bd ∆+= ⇒ djbd Yuu φ⋅∆+=

vvv bd ∆+= ⇒ djbd Xvv φ⋅∆−=

Y el ángulo de giro en a y c no sufre cambio pues el segmento b-d es rígido.

Expresando lo anterior en forma matricial sería:

b

j

j

d

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆∆

=

φφ 100

10

01

O bien: { } [ ] { } bbd uTu ⋅=

Como lo que se calcula es el desplazamiento en los nodos i y j (c y d respectivamente), es necesario conocer los desplazamientos de a en función de los de c y los de b en función de los de d, no al contrario.

c

i

i

a

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆−∆

=

−

φφ

1

100

10

01

⇒

c

i

i

a

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆∆−

=

φφ 100

10

01

O bien: { } [ ] { } caa uTu ⋅= −1

d

j

j

b

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆∆

=

−

φφ

1

100

10

01

⇒

d

j

j

b

v

u

X

Y

v

u

⋅

∆−∆−

=

φφ 100

10

01

O bien: { } [ ] { } dbb uTu ⋅= −1

Ahora bien, para determinar cual es la matriz de rigidez con cachos rígidos de la barra c-d, la cual llamaremos [Kel

cachos], se aplicará el principio de los trabajos virtuales, aplicando la hipótesis de no deformabilidad de los cachos rígidos, esto es, toda la deformación y, por lo tanto, toda la energía asociada a ello, se debe a la deformación del segmento flexible a-b, con matriz de rigidez [Kel], esto es:


40


Trabajo virtual en barra c-d = Trabajo virtual en barra a-b.

[ ] [ ]

⋅⋅

=

⋅⋅

=

b

ael

T

b

a

d

ccachosel

T

d

c

v

u

v

u

K

v

u

v

u

v

u

v

u

K

v

u

v

u

T

φ

φ

φ

φδ

φ

φ

φ

φδδ

Utilizando las transformaciones de desplazamientos desde los nodos c y d a los nodos a y b respectivamente, se obtiene lo siguiente:

[ ] [ ][ ] [ ]

⋅

∆−∆−

∆∆−

=

⋅

=

−

−

d

c

j

j

i

i

d

c

xbx

xxa

b

a

v

u

v

u

X

Y

X

Y

v

u

v

u

T

T

v

u

v

u

φ

φ

φ

φ

φ

φ

100

10

01

000

000

000000

000

000

100

10

01

0

01

3333

331

33

Como: [ ] TTT ABBA ⋅=⋅ ⇒{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

T

d

c

xbx

xxa

T

b

a

u

u

T

T

u

u

⋅

=

−

−

1

3333

331

33

0

0

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

T

xbx

xxa

T

d

c

T

b

a

T

T

u

u

u

u

⋅

=

−

−

1

3333

331

33

0

0

Luego, reemplazando en la igualdad del trabajo virtual, se obtiene la mztris con cachos rígidos de la barra c-d como:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

⋅⋅

= −

−

−

−

1

3333

331

331

3333

331

33

0

0

0

0

xbx

xxael

T

xbx

xxacachosel

T

TK

T

TK

Donde la matriz:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

= −

−

1

3333

331

33

0

0

xbx

xxa

T

TT

Corresponde a la matriz de transformación de coordenadas rígidas a flexibles.


41


Análisis Pseudotridimensional de Estructuras

Con los conocimientos adquiridos en la asignatura de análisis de estructura, es posible modelar cualquier estructura de marco plano e incluso de marcos dispuestos ortogonalmente para formar un edificio tridimensional de vigas y pilares. Incorporando los conocimientos a cerca de elementos robustos y matrices de rigidez con cachos rígidos, es posible ir más lejos y modelar cualquier edificio tridimensional compuesto por muros, pilares y vigas.

Pese a todo, existe una falencia en el análisis estructural convencional al momento de modelar estructuras tridimensionales, y es que las matrices de rigidez no consideran el aporte rigidizante de la losa de piso, el cual es sumamente importante ya que, por ejemplo, una losa de hormigón muy delgada (10 a 15 cm), que puede ser muy flexible para cargas aplicadas perpendicularmente a su plano medio, es sumamente rígida para cargas contenidas en dicho plano, donde actúa prácticamente como un diafragma indeformable que distribuye los esfuerzos aplicados a los distintos elementos de la estructura sismorresistente conectados a él.

Este nuevo concepto estructural de “Diafagma Rígido” es un aspecto importante que debe ser incorporado como una modificación al análisis estructural tradicional para poder modelar apropiadamente estructuras de varios pisos con losa. Esta modificación es incorporada a las técnicas existentes mediante una metodología denominada “Análisis Pseudo-Tridimensional de Estructuras”, donde se considera a la losa de piso como un elemento infinitamente rígido en su plano que conecta a los elementos de la estructura vertical y hace posible que se desplacen como un conjunto, permitiendo que con sólo 3 desplazamientos, (2 ortogonales en planta y un giro alrededor de la vertical) se pueda determinar los desplazamientos puntuales de cualquier nodo contenido en el plano de la losa, si se conoce sus coordenadas originales.

Esta metodología de análisis de edificios tridimensionales considera la estructura dividida en ejes resistentes (pórticos de viga-columna-pilar o muros de corte), los cuales sólo resisten cargas contenidas en su plano, posteriormente, para cada eje resistente se determina la matriz de rigidez


42


correspondiente, la cual es condensada a los grados de libertad de traslación horizontal (uno por cada piso). En una tercera etapa, cada matriz condensada, correspondiente a cada eje resistente, es acoplada mediante el diagrafma rígido para obtener una única matriz de rigidez del edificio que posee 3 g.d.l. por piso (2 traslaciones en planta y un giro c/r a la vertical).

El análisis pseudo-tridimensional es, de todas maneras, una aproximación, y como tal tiene deficiencias, una de ellas es que considera tanto en la dirección X como en la Y, las porciones de elementos de la estructura resistente que se traslapan o superponen en la planta; otra deficiencia es que no considera el grado de flexibilidad de la losa, lo cual es muy buena aproximación para plantas cuadradas, pero se aleja de la realidad cuando la planta es alargada (largo/ancho>5).

Procedimiento de Análisis Detallado:

Paso 1:

Definir claramente la planta de estructura del edificio. El método es válido cuando la planta es repetitiva en altura y va perdiendo significado cuando esta se hace irregular.


E. 1-Y

E. 2-Y

E. 3-Y

Eje 1-X

Eje 2-X

Eje 3-X

Planta del Edificio Ejes Resistentes Matrices de Rigidez Completa de c/ Eje

Matrices de Rigidez Condensada de c/ Eje

Y

X

Z

Coordenadas Espaciales y Matrices de Transformación de c/Eje

Matrices de Rigidez Ensamblada (Pseudo 3-D) y Desplazam. Globales (3 por piso)

Desplazamientos laterales de c/Eje, por transformación inversa

Desplazamientos no condensados de c/Eje.

Esfuerzos en los elementos, mediante K

eje y

Kelem.

43


Definida la planta es preciso determinar el centro de masa del piso en ella, este será el punto por el cual pasa el eje Y del sistema de referencia espacial del edificio. Para la determinación del centro de masa la losa es la que tiene el mayor aporte, por lo que se puede determinar el centro geométrico o de gravedad de ésta y asumir que este es el centro de masa del piso, sin embargo, en estricto rigor, es necesario calcular las masas de vigas, pilares y muros comprendidos entre la mitad de la altura del piso inferior y la mitad de la altura del piso superior y determinar el C.M. prorrateando el C.M. de cada elemento c/r a sus masas.

∑

∑

=

=

⋅=

n

ii

n

iiiCM

CM

M

MXX

1

1.

∑

∑

=

=

⋅=

n

ii

n

iiiCM

CM

M

MYY

1

1.

Paso 2:

Asignar ejes resistentes en cada dirección, no necesariamente ortogonales. Si existen ejes resistentes inclinados, es necesario conocer el ángulo en planta que forma con respecto al eje X. Además, para todos los ejes resistentes es necesario conocer la distancia perpendicular desde el C.M. del piso hasta el eje resistente.

Paso 3:

Calcular las matrices de rigidez completas para cada eje resistente. Al momento de asignar los grados de libertad a la matriz de rigidez del eje resistente, es necesario que los g.d.l. traslacionales estén en los primeros casilleros, de esta manera, se facilita el trabajo posterior de condensación estática.


Mi

Yi

Xi X

Y

θi

Ri

C.M.

44


Paso 4:

Calcular las matrices de rigidez condensadas de cada uno de los ejes resistentes. Para esto se debe usar el método de condensación estática para reducción de grados de libertad, el cual consiste en lo siguiente:

1. En la matriz de rigidez de cada eje resistente, se distinguen 2 tipos de g.d.l.: los activos, que son los que permanecerán luego de la condensación estática y los pasivos, que son los g.d.l. a condensar y por lo tanto desaparecerán. Se designará como g.d.l.a. a los grados de libertad traslacionales (uno por cada piso) y g.d.l.p. a los grados rotacionales, que serán condensados.

2. La matriz de rigidez de cada eje resistente, se divide en 4 partes: Ka.a., que contiene tanto en filas como en columnas, los g.d.l.a.; Ka.p., que contiene las filas de los g.d.l.a. y las columnas de los g.d.l.p.; Kp.a. con las filas de los g.d.l.p y las columnas de los g.d.l.a. y por último, Kp.p.

que contiene tanto en filas como en columnas los g.d.l.p.

aldg ...

2.........1 pldg ...

12...........3

[ ]

=

12.123.12

12.33.3

2.121.12

2.31.3

12.23.2

12.13.1

2.21.2

2.11.1

...

:::

...

::

...

...

kk

kk

kk

kkkk

kk

kk

kk

K MG

pldg

aldg

...

12

:

3

...2

1

3. Dividida cada matriz en estas 4 partes, se procede a realizar la condensación está tica por el siguiente método:


3

1

2

3

1

2

4

7

10

5

8

11

6

9

12

1

2

3

45


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]..1

....... appppaaaCond KkKKK ⋅⋅−= −

4. Una vez condensadas las matrices de cada marco, se procede al cálculo de la matriz de transformación a coordenadas espaciales de cada una, la cual está dada por:

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] nnxnxnniin xnnnxnni IRRIIsensenA 3.1.11 ...co s...co s... ⋅⋅⋅−−= ααααDonde i indica el eje resistente, n el número de pisos y αi el ángulo formado por el eje X y la recta que pasa por el C.M. del piso y es perpendicular al marco i, medido en sentido antihorario.

5. Con las matrices condensadas y las de transformación, se procede al ensamblaje, con el cual se obtiene la matriz de rigidez pseudo-3D del edificio.

[ ] [ ] [ ] [ ]iiCond

Tm

iiD AKAK ⋅⋅= ∑

=.

13

Donde m indica el número de ejes resistentes y K3D es la matriz de rigidez global en tres dimensiones del edificio, con 3 g.d.l. por piso, esto es, a este modelo estructural se le pueden aplicar fuerzas horizontales y momentos c/r al eje vertical (efecto de un sismo sobre el edificio). Las cargas verticales pueden ser estudiadas sin necesidad de incorporar el concepto de diafragma rígido, haciendo uso del análisis estructural matricial convencional.

6. Conocidas las fuerzas y momentos sísmicos aplicados al edificio en cada piso (2 fuerzas ortogonales y un momento por piso), es posible determinar los desplazamientos globales por piso (2 desplazamientos ortogonales y un giro en planta), de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ] 1313333 nxnxnnxD FDK =⋅

[ ] [ ] [ ] 131

33313 nxnnxDnx FKD ⋅= −


n : 2

1

1

2

n

n+1

n+2

2n

2n+1

2n+2

3n

46


[ ]

=

ny

y

ny

y

nx

x

nx

M

MF

FF

F

F

:

:

:

1

1

1

13

YejeenMomentos

n

YejeenFuerzas

n

XejeenFuerzas

n

___:

1

___:

1

___:

1

[ ]

=

ny

y

ny

y

nx

x

nx

d

dd

d

D

θ

θ:

:

:

1

1

1

13

YejeenGiros

n

YejeenDesplaz

n

XejeenDesplaz

n

___:

1

___.:

1

___.:

1

7. Conocidos los desplazamientos globales del edificio, es posible determinar los desplazamientos laterales de cualquier marco, mediante lo siguiente:

yjjixjjxi Rdd ... . θ⋅+=

Donde:jxid . : Desplazamiento del marco i, en la dirección X y piso j.

xjd . : Desplazamiento del CM del edif. en piso j y dirección X.

jiR . : Distancia perpendicular desde el CM del piso j hasta marco i.

yj.θ : Giro de la planta del piso j del edificio.

8. Con los desplazamientos laterales del marco, se pueden determinar las fuerzas laterales asociadas a cada piso, haciendo uso de la matriz de rigidez condensada del marco:

[ ] [ ] [ ] 11. nxinxinxniCond FDK =⋅ (Fuerzas laterales en el marco i)


Y

X

Z

47


9. Conocidas las fuerzas laterales inducidas en cada piso a cada marco o eje resistente, es posible determinar los desplazamientos de todos sus grados de libertad (activos y pasivos), haciendo uso de la matriz de rigidez global del marco y de las fuerzas laterales equivalentes calculadas en punto 8.

[ ] [ ] [ ][ ]

⋅= −

0

1.. iiMG

iMG

FKD (Desplazamientos y giros en el marco i)

10. Conocidos los desplazamientos globales de un marco o eje resistente, es posible determinar todos los esfuerzos internos (momento, axial y corte), utilizando los desplazamientos calculados en 9 y las matrices locales de la barra de interés.

[ ] [ ] [ ]iBarraiBarraiLocal FDK ...... =⋅


48


Tarea: Para el edificio de 2 pisos cuya planta se indica, determine los diagramas de esfuerzos en el pilar de la intersección de los ejes A y 1, en el primer piso

[ ]

=

mT

mT

T

T

F

·0,3

·5,10

05,4

1,2


49

Diseño Sísmico: Repaso de Dinámica Estructural

REPASO DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

En la asignatura de dinámica estructural (ingeniería antisísmica) se estudió la teoría de oscilación de cuerpos másicos asociados a sistemas rígidos, con y sin amortiguamiento, también se estudió la metodología de análisis de estructuras compuestas por varias masas, con columnas flexibles y vigas infinitamente rígidas, enfocado básicamente a marcos estructurales sometidos a excitaciones dinámicas.

En esta parte del curso se recordarán los conceptos de dinámica estructural aprendidos con anterioridad, para luego aplicarlos a modelos de estructuras tridimensionales (pseudo 3D), donde se aprenderá a modelar la respuesta dinámica de estas estructuras frente a excitaciones conocidas, ya sean movimientos basales, fuerzas dinámicas directamente aplicadas o espectros de aceleraciones.

Dinámica de Sistemas Elásticos

Se entiende por sistema elástico a aquel que es capaz de recuperar su forma original luego de haber sido sometido a fuerzas o desplazamientos impuestos.

El modelo de sistema dinámico más sencillo es el de 1 g.d.l., donde todas las propiedades asociadas a la masa están representadas por un punto espacial y las propiedades de rigidez representadas por una barra flexible o resorte.

Este sistema está gobernado por una ecuación diferencial general que es:

)()()()( tFtyktRtym =⋅++⋅••

En esta ecuación, la fuerza de roce R(t) depende del tipo de amortiguamiento que posee la estructura. Básicamente existe amortiguamiento de dos tipos:

• Viscoso : Cuando la magnitud de la fuerza de roce es proporcional a la velocidad del

sistema. R(t)=β· )(ty•

.


F(t)

y(t)Y

Masa m

Rigidez k

Fuerzas de Inercia

Fuerzas de Roce

Fuerzas Elásticas

Fuerzas Externas

50


• Seco : Su magnitud es constante y opuesta al movimiento, de modo que en sistemas oscilante, la función R(t) es escalonada, con valores positivos y negativos que duran la mitad del período de oscilación cada uno.

El amortiguamiento real de las estructuras es, en general, una combinación de ambos, sin embargo, en las estructuras convencionales de la ingeniería civil, el amortiguamiento viscoso suele ser el que predomina, por lo que se omite el aporte del amortiguamiento seco, resultando la siguiente ecuación diferencial general:

)()()()( tFtyktytym =⋅+⋅+⋅•••

βOscilador Libre Sin Amortiguamiento

Es aquel donde no existe fricción y la excitación externa ha dejado de actuar:

La E.D.O. del movimiento es:

0)()( =⋅+⋅••

tyktym 0)()( 2 =⋅+••

tyty ω mk=ω

0)0( yty == 0)0( yty ==

00)0( vyty ===••

00)0( vyty ===••

Cuya solución es: )()cos()( 21 tsenCtCty ⋅⋅+⋅⋅= ωω

O bien: )cos()( ξω −⋅⋅= tAty

Donde: 01 yC =ω

02

•

=y

C

2

020

+=

•

ωy

yA

⋅=

•

ωξ

0

0tany

yArc

El período natural de oscilación es: ωπ⋅= 2

T

Oscilación Forzada Sin Amortiguamiento

Ocurre cuando el roce es despreciable y la excitación no es idénticamente cero.

La E.D.O. del movimiento es:

)()()( tFtyktym =⋅+⋅••

mtFtyty )()()( 2 =⋅+

• •ω m

k=ω

0)0( yty == 0)0( yty ==

00)0( vyty ===••

00)0( vyty ===••

Cuya solución es: )()()( tytyty ph +=


51


La solución de la ecuación homogénea se conoce (la anterior) y una solución particular de la ecuación se puede obtener utilizando la integral de Duhamel, que se verá más adelante.


52


Caso 1: Excitación armónica del tipo )()( 0 tsenFtF ⋅⋅= ϕ

La solución es: ( )

ParticularSoluciónHomogéneaSolución

tsenm

FtAty

_

220

_

)()cos()( ⋅⋅−⋅

+−⋅⋅= ϕϕω

ζω

Donde:

2

020

+=

•

ωy

yA

⋅=

•

ωζ

0

0tany

yArc

Si la excitación es )()( 0 tsenFtF ⋅⋅= ϕ , la solución es:

( )


tm

FtAty

_

220

_

)cos()cos()( ⋅⋅−⋅

+−⋅⋅= ϕϕω

ζω

En la solución particular, el factor que acompaña a la excitación se puede expresar como:

( ) ( )( )22220

1

1

ωϕωϕω −⋅

⋅=−⋅ m

F

m

F

( )( )221

1

ωϕω −

⋅⋅

=m

F

( )( )21

1

ωϕ−

⋅=k

F

Esto significa que cuando la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia natural del oscilador y no hay amortiguamiento, a la larga, la amplitud del oscilador es tan grande que lo lleva al colapso. Esto último se denomina resonancia.

Caso 2: Fuerza repentina y constante. F(t)=F0, para t 0≥ y F(t)=0, para t<0

La solución es:


m

FtAty

_

20

_

)cos()(ω

ξω⋅

+−⋅⋅=


Desplazamiento para fuerza elástica de magnitud igual a la amplitud de la excitación.

Factor de amplificación dinámico de la respuesta no amortiguada o factor de amplitud.

53


Donde:

2

020

+=

•

ωy

yA

⋅=

•

ωξ

0

0tany

yArc

Si 000 ==•yy , la oscilación ocurre con respecto a la posición de reposo, con fuerca F aplicada y

desplazamiento inicial ficticio kFy −=0 y velocidad inicial nula, esto es:

k

FA −= 0=ξ ⇒ ( ))cos(1)( t

k

Fty ⋅−⋅= ω

Caso 3: Fuerza periódica no armónica.

Cualquier fuerza F(t) periódica de período T entre t1 y t2 (T= t2- t1), puede expresarse en términos de cosenos y senos por medio de la serie de Fourier:

( )nnn

n tFa

tF ϕω +⋅⋅+= ∑∞

=cos

2)(

1

0

O bien: ( ) ( )( )∑∞

=⋅⋅+⋅⋅+=

1

0 cos2

)(n

nnnn tsenbtaa

tF ωω

Donde:

12

2

tt

nn −

⋅⋅= πω

( )∫ ⋅⋅⋅⋅−

= 2

1

cos)(2

12

t

t nn dtttFtt

a ω

( )∫ ⋅⋅⋅⋅−

= 2

1

)(2

12

t

t nn dttsentFtt

b ω

( )∫ ⋅⋅⋅⋅−

= 2

1

cos)(2

12

t

t nn dtttFtt

a ω

22nnn baF += ,

−=

n

nn a

bArc tanϕ

La solución para una excitación de este tipo es una serie infinita que combina las soluciones correspondientes a la función escalón y las armónicas seno y coseno, esto es:

)()()( tytyty ph +=

Donde la solución de la homogénea es la misma de antes.

)cos()( ξω −⋅⋅= tAty , con:

2

020

+=

•

ωy

yA

⋅=

•

ωξ

0

0tany

yArc

Y la solución particular está dada por la siguiente serie infinita:


54


( )nnn nn

np t

m

F

m

aty ϕω

ϕω+⋅⋅

−⋅+

⋅= ∑

∞

=cos

1

2)(

122

0

O bien: ( ) ( )

⋅⋅+⋅⋅⋅

−+

⋅= ∑

∞

=

tsenm

bt

m

a

m

aty n

nn

n

n nn

p ωωϕω

cos1

2)(

122

0

Oscilador Libre Amortiguado

Es aquella donde las fuerzas de roce son comparables en magnitud con las de inercia y la excitación aplicada. Se recordará sólo la correspondiente al amortiguamiento viscoso.

E.D.O. del movimiento:

0)()()( =++•••

tk ytytym β 0)()(2)( 2 =++•••

tytyty ωξ Donde:

0)0( yty == 0)0( yty ==m

k=ω

00)0( vyty ===••

00)0( vyty ===••

ξβ ⋅⋅= m2

Cuya solución es, para ω>ξ:

)cos()( ψωξ −⋅⋅⋅= ⋅− teCty at

Donde:2

22

0020

−⋅++=ξω

ξ yvyC 22 ξωω −=a

−⋅−=

22

00tanξω

ξψ yvArc

Decremento Logarítmico: Es una técnica que relaciona la disminución de amplitud de un oscilador simple no amortiguado, con un coeficiente de amortiguamiento.

Si se divide la amplitud de dos oscilaciones seguidas o separadas n períodos, se obtiene que:

( )*

*

*

**

*

)*(

)( Tn

Tnt

t

ee

e

Tntty

tty ⋅⋅⋅+⋅−

⋅−

==⋅+=

= ξξ

ξ

Aplicando Ln: ***

*

)(

)(Tn

Tntty

ttyLnn ⋅⋅=

⋅+=

==⋅ ξδ ⇒

⋅

⋅=

ny

yLn

Tn1

*

1ξ

O bien: **

*

)*(

)(T

Ttty

ttyLn ⋅=

+=

== ξδ ⇒

⋅=

2

1*

1

y

yLn

Tξ

Se define el “Factor de Amortiguamiento” como:


55


πδ

πξξ

ωξν

π ⋅=

⋅⋅===

⋅ 22

*

2**

T

T

(ω*= ωa y T*=Ta, frecuencia y período amortiguado)

Para υ=1, se tiene que ξ=ω y la estructura no oscila, ya que no existe frecuencia amortiguada.

Por otra parte:

22 ξωξ

ωξν

−==

a ⇒ 22

22

ξωξν−

= ⇒ 22222 ξξνων =⋅−⋅

⇒ ( )2222 1 νξων +⋅=⋅ ⇒21 ν

ωνξ+⋅=

⇒2

2

2

22222

11

1 ννω

νωνωξωω

+−⋅=

+⋅−=−=a

Sin embargo, como en las estructuras civiles el amortiguamiento suele ser muy bajo (0,03<υ<0,05), se puede asumir que la frecuencia no amortiguada es prácticamente igual a la amortiguada.

ωω ≈a

Oscilación Forzada Amortiguada

Se estudiará un oscilador simple de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, sometido a una excitación externa que es función del tiempo.


)()()()( tFtk ytytym =++•••

β mtFtytyty )(2 )()(2)( =++

•••ωξ Donde:

0)0( yty == 0)0( yty ==m

k=ω

00)0( vyty ===••

00)0( vyty ===••

ξβ ⋅⋅= m2

Cuya solución es, para ω>ξ:

)cos()( ψωξ −⋅⋅⋅= ⋅− teCty at +

⋅⋅

⋅++⋅⋅

•

− )()cos( 000 tsen

yytye a

aa

t ωω

ξωξ

( ) ( )( )∫ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

+ −⋅−t

at

a

dtseneFm 0

)(1 ττωτω

τξ


56


Donde:2

22

0020

−⋅++=ξω

ξ yvyC 22 ξωω −=a

−⋅−=

22

00tanξω

ξψ yvArc

El primer término es la solución de la ecuación homogénea, el segundo y tercer términos, corresponden a la solución particular, siendo una parte la correspondiente respuesta a las condiciones iniciales y la otra, la obtenida por el método de la integral de Duhamel.


57


Si la excitación es armónica del tipo F(t)=F0·sen(φ·t), la solución particular es:

)()( ζϕ −⋅⋅= tsenAty

Donde:

2222

0

4

1

ϕξϕω ⋅⋅+−⋅=

m

FA

−

⋅⋅=22

2tan

ϕωϕξζ Arc

( ) ( ) 222

0

41

1

ωϕ

ωϕ ξ ⋅⋅+−

⋅=k

FA ( )

( )

−

⋅⋅=

21

2t a n

ωϕ

ωϕυ

ζ A r c

Cuando φ/ω=1, entonces:

υ⋅⋅=2

10

k

FA

2

πζ =

Si 0→υ ⇒ ∞→A

Si 1=υ ⇒k

FA

⋅=

20 (La mitad de la amplitud para carga estática)

Integral de Duhamel

Es un método que permite encontrar la solución al problema de un oscilador simple frente a carga dinámica cualquiera, aplicando un procedimiento de diferencias finitas que en el límite se transforma en una integral definida desde t=0 hasta t=t (tiempo cualquiera).

Considere el problema de un oscilador simple, el cual está gobernado por la siguiente ecuación diferencial:


)()()()( tFtk ytytym =++•••

β mtFtytyty )(2 )()(2)( =++

•••ωξ Donde:

0)0( 0 === yty 0)0( 0 === ytym

k=ω

0)0( 00 ====••

vyty 0)0( 00 ====••

vyty ξβ ⋅⋅= m2


58


Para resolver este problema hagamos el siguiente análisis. Considere un pulso de magnitud F y

duración t∆ aplicado entre tttt ∆−== 10 y 1tt = :

Condición en 1tt = :

dt

dvmF ⋅=

t

ttvtvmF

∆∆−−⋅= )()( 11

∆−−⋅=∆⋅

0

11 )()( ttvtvmtF

)( 1tvmtF ⋅=∆⋅

)()( 11 tym

tFtv

•=∆⋅=

02

010

01 2)( yt

m

Fyt

yyyty ≈∆⋅+=∆⋅

++=

••

si 02 →∆t

Por lo tanto el problema para 1tt > se convertirá en un problema homogéneo:

0)()(2)( 2 =++•• •

tytyty ωξCon condiciones iniciales:

0)( 1 =ty La posición no cambia

m

tFty

∆⋅=•

)( 1 Sólo cambia la velocidad

Cuya solución es:

))(()( 1)( 1 ttsene

m

tFty a

tt

a

−⋅⋅⋅∆⋅= −− ωω

ξpara 1tt >


F(t)

tt1-∆t t

1

∆tF

59


−⋅⋅

⋅⋅∆⋅= −− ))((

1)( 1

)( 1 ttsenem

tFty att

a

ωω

ξ

)()( 1tthtFty −⋅∆⋅=

Dónde:

)(1

)( tsenem

th at

a

⋅⋅⋅⋅

= ⋅− ωω

ξFunción Impulso o de Green

Consideremos ahora una familia de pulsos aplicados en los tiempos t1, t2, t3, hasta tn,de magnitudes F1, F2, F3 y Fn respectivamente.

En este caso:

∑=

−⋅− −⋅⋅⋅⋅∆⋅=

n

iia

tt

a

i ttsenem

tFty i

1

)( ))(()( ωω

ξ

El caso límite corresponde al caso continuo, donde ∞→n y 0t →∆

En este caso:

ττωωτ τξ dtsene

m

Fty

t

at

a

⋅−⋅⋅⋅⋅

= ∫ −⋅−

0

)( ))(()(

)(

τττ dthFtyt

⋅−⋅= ∫0

)()()(

)()()( thFty ∗= τ Convolución

Nota:


F(t)

tt1

F1

t2

t3

tn

F2

F3

Fn

F(t)

t

60


En el caso de condicione iniciales 0)0( 0 ≠= yy e 0)0( 0 ≠=••yy , la solución es:

τττωω

ξωξ dthFtsenyy

tyetyt

aa

at ⋅−⋅+

⋅

⋅++⋅⋅= ∫

•

⋅−

0

000 )()()()cos()(


61


Condición en ttt ∆== 1 :

dt

dvmF ⋅=

t

ttvtttvmF

∆==−∆==⋅= )0()( 01

−⋅=∆⋅

0

)()( 01

v

tvtvmtF

)()( 101 tyym

tFtv

••=+∆⋅=

ty

m

tFy

yttyty

tyty ∆⋅+∆⋅+

+=∆⋅++=

••••

22

)()()()(

00

010

01

2001)( t

m

Ftyyty ∆⋅+∆⋅+=

•

tyyty ∆⋅+=•

001)( si 02 →∆t

Por lo tanto el problema para 1tt > se convertirá en un problema homogéneo:

0)()(2)( 2 =++•• •

tytyty ωξ

Con condiciones iniciales:

tyyty ∆⋅+=•

001)(

01)(••

+∆⋅= ym

tFty

Cuya solución es:

))(()( 1)(0

001 ttsene

y

m

tFtyyty a

tt

aa

−⋅⋅

+

⋅∆⋅+

∆⋅+= −−

••

ωωω

ξ para 1tt >

−⋅⋅

⋅⋅

⋅+∆⋅+∆⋅+= −−

••))((

1)( 1

)(000

1 ttsenem

mytFtyyty att

a

ωω

ξ

)()( 1000 tthmytFtyyty −⋅

⋅+∆⋅+∆⋅+=

••


62


Consideremos ahora una familia de pulsos aplicados en los tiempos t1, t2, t3, hasta tn,de magnitudes F1, F2, F3 y Fn respectivamente.

En este caso:

∑=

−−−

•

−

•

−⋅⋅

⋅⋅

⋅+∆⋅+∆⋅+=

n

iia

tt

aiii ttsene

mmytFtyyty i

1

)(110 ))((

1)( ω

ωξ

El caso límite corresponde al caso continuo, donde ∞→n y 0t →∆

Se tiene que:

τωω

τωω

τ ξξ dttsenem

mydttsene

mFtyyty

t

iatt

a

t

iatt

a

ii ⋅

−⋅⋅

⋅⋅

⋅+⋅

−⋅⋅

⋅⋅+⋅+= ∫∫ −−

•

−−•

0

)(0

0

)(00 ))(())((

1)()(

τττ dthFtyt

⋅−⋅= ∫0

)()()(

τττωω

ξωξ dthFtsenyy

tyetyt

aa

at ⋅−⋅+

⋅

⋅++⋅⋅= ∫

•

⋅−

0

000 )()()()cos()(

No Verificado


F(t)

tt1

F1

t2

t3

tn

F2

F3

Fn

F(t)

t

63


Implementación Numérica

Como ya se sabe, un acelerograma real no es una función algebraica del tiempo, sino una serie de valores numéricos de aceleración medidos para diferentes instantes (discreto), usualmente a intervalos constantes t∆ del orden de los 0.005 segundos. Luego en un registro normal de un temblor (20 a 60 segundos) se cuenta con una cantidad de valores de aceleración del orden de las decenas de miles.

En este capítulo veremos diferentes ejemplos métodos numéricos para resolver los problemas antes expuestos.

Resolución Numérica de la Ecuación de Movimiento

Para la implementación numérica de los algoritmos presentados a continuación se considerara la siguiente forma de la ecuación de movimiento:

)()(

)()(2)( 2 tfm

tFtxtxtx nn ==⋅+⋅⋅⋅+

•••ωων con:

nωξν =

Bajo las condiciones iniciales:

0)0( xtx ==

0)0(••

== xtx

Método de la diferencia central

En forma discreta podemos expresar la ecuación de movimiento de la siguiente manera:

nnnn FxKxCxm =⋅+⋅+•••

· (1)

Donde:

)( nn txx =

)( nn tFF =

tnttt nn ∆=∆+= − ·1

Además podemos decir que mediante el desarrollo de series de Taylor:

432

11 ·0·6

·2

·)( txt

xt

xtxxtx nnnnnn ∆+∆−∆+∆−==••••••

−−(2)


64


432

11 ·0·6

·2

·)( txt

xt

xtxxtx nnnnnn ∆+∆+∆+∆+==• • •• ••

++(3)


65


Sumando (2) y (3):

42

1111 ·0·2·2

·2·2)()( txt

xxxtxtx nnnnnn ∆+∆+=+=+••

−+−+

nnnn xtxxx••

−+ ∆+=+ ··2 211

Despejando la aceleración

211 ·2

t

xxxx nnn

n∆

+−= +−••

(4)

Restando (2) a (3):

nnnnnn xt

xtxxtxtx••••

−+−+∆+∆=−=− ·6

·2·2)()(3

1111

nnnnnn xxtxxtxtx••••

−+−+ +∆=−=− ·0·2)()( 1111

nnn xtxx•

−+ ∆=− ·211

Despejando la velocidad:

t

xxx nn

n∆−= −+

•

211 (5)

Reemplazando (4) y (5) en (1):

nnnn FxKxCxm =⋅+⋅+•••

·

nnnnnnn FxK

t

xxC

t

xxxm =⋅+

∆−⋅+

∆+− −++−

2

·2· 11

211

Reordenando:

nnnnnnn FxKt

xC

t

xC

t

xm

t

xm

t

xm =⋅+∆

−∆

+∆

+∆

−∆

−++−

2

·

2

···2·· 112

122

1

nnnn Fxt

C

t

mx

t

mKx

t

C

t

m =

∆−

∆+

∆−+

∆+

∆ −+ 12212·

2·

2·

2

12212·

2·

2·

2 −+

∆−

∆−

−

∆+=

∆+

∆ nnnn xt

C

t

mxK

t

mFx

t

C

t

m(6)


66


Hemos obtenido una ecuación para la respuesta en el tiempo tn+1 , en función de dos puntos precedentes tn y tn-1.


67


Algoritmo:

1. Dado 0x y

0

•x calcular

0

••x , a partir de la EDO, esto es,

m

xKxCFx

0000

⋅−⋅−=•

••

2. De la ecuación (2) calcular 0

2

001 ·2

·•••

−∆+∆−= x

txtxx

3. Conocidos 1−x y 0x calcular con la ecuación (6) (con n=0)

∆−

∆−

−

∆+⋅

∆+

∆= −

−

+ 122

1

21 ·2

·2

2 nnnn xt

C

t

mxK

t

mF

t

C

t

mx , el valor de 1x

4. Conocidos 0x y 1x calcular con (6) 2x , con n=1

5. Continuar de la misma forma. Conocidos 1−nx y nx calcular con (6) 1+nx

Estabilidad Numérica :

Se puede demostrar que para asegurar la estabilidad numérica del algoritmo (excitación de magnitud acotada, entonces respuesta es también acotada), es necesario escoger una discretización tal que, Δt<0,32·T, donde T=2·π/ωn, es el período natural del modelo de un grado de libertad.

Además se puede demostrar que para suficientemente pequeños, el método de la diferencia central no sólo es estable sino que además converge a la solución exacta.

Métodos de Newmark

El método que presentaremos a continuación corresponde a uno de los más populares utilizados en ingeniería, gracias a su simplicidad, precisión y estabilidad. Este método fue originalmente propuesto por N.M. Newmark en 1962 (“A method of computation for structural dynamics”, Transactions, ASCE, Vol. 127, 1406-1435, EE.UU.)

El autor propone a un método de resolución paso a paso a partir de la ecuación:

1111· +++

•

+

••=⋅+⋅+ nnnn FxKxCxm (1)

Donde ha definido las ecuaciones básicas que modelan a la velocidad y desplazamiento respectivamente:


68


( ) txxxx nnnn ∆

+−+= +

• •• ••

+

•···1 11 νν (2)

( ) 212

11 ···· txxtxxx nnnnn ∆

+−+∆+= +

•••••

+ ββ (3)

En que ν y β son parámetros y nn ttt −=∆ +1


69


De (3) despejamos 1+

••

nx :

( ) nn

nnn xt

xxx

tx

•••

++

••

−−

∆−−

∆= ·1

2

1

··

1121

βββ(4)

Reemplazando (4) y (2) en la ecuación de movimiento (1) se obtiene la ecuación (5):

( ) ( ) nnnnn xt

CmxCt

mx

t

C

t

mFxK

t

C

t

m •••

++

∆−+

−+

−+

∆+

∆+

∆+=

+

∆+

∆·

2·2·

2

1·

····

·2112

βνββννββν

(5)

Esta ecuación es la que se utiliza para implementar numéricamente el método.

Algoritmo:

1. Dado 0x y

0

•x calcular

0

••x , a partir de

0000· FxKxCxm =⋅+⋅+•••

2. De la Ec (5) calcular 1x , de la Ec (4) calcular 1

••x , de la Ec (2) calcular

1

•x (en todas n=0)

3. De la Ec (5) calcular 2x , de la Ec (4) calcular 2

••x , de la Ec (2) calcular

2

•x (en todas n=1)

4. Continuar de la misma forma hasta n = número de intervalos.

a. Aceleración lineal

Un caso especial del método de Newmark corresponde a aquel en que se considera que la aceleración ente dos puntos sucesivos varía linealmente, esto es:


)(tx••

nx••

1nx +

••

nt 1nt +

ττt

xxxx

n1nn

∆−+=

••

+

••••••

)( t0 ∆≤≤ τ

t70


En este caso se puede demostrar que 21=ν y 6

1=β


71


b. Aceleración constante

Otro caso corresponde a aquel en que se considera que la aceleración ente dos puntos sucesivos es

constante, esto es:

En este caso se puede demostrar que 21=ν y 4

1=β

Estabilidad Numérica

Se puede demostrar que la estabilidad numérica depende del tipo de aceleración considerada entre intervalos, obteniéndose los siguientes resultados:

Método β ν Estabilidad

Aceleración Lineal 1/6 ½ T550t .<∆

Aceleración Constante ¼ ½ Incondicional

Además se puede demostrar que para t∆ suficientemente pequeños, el método de la diferencia central no sólo es estable sino que además converge a la solución exacta.


)(tx••

nx••

1nx +

••

nt 1nt +

2xx

xn1n

••

+

•••• −=)(τ t0 ∆≤≤ τ

t

72

catedras-diseno-sismico metodo de newmark

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