catedras - 2009

Curso: Matemática

ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 1

MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para

responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las

instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

≤

>

≥

< ≅

∼

⊥

≠

//

AB

log

φ

∈

|

[x]

x|

2

1. Si x = 12

e y = 13

, entonces el inverso multiplicativo de 1x + y

es

A) 12

B) 65

C) 16

D) 56

E) 5

2. Si a = 4 · 13

, b = 8 · 16

y c = 6 · 18

, entonces ¿cuál(es) de las siguientes relaciones

es (son) verdadera(s)?

I) a > b II) c > b

III) a > c

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

3. La edad de Matías es la suma entre el sucesor impar de 17 y el antecesor primo de 11. ¿Cuántos años tiene su hermano, si éste es 5 años mayor que él?

A) 26 B) 28 C) 30 D) 31 E) 33

3

4. Las edades de Rosita y Claudia están en la razón 5 : 9. Si Claudia tiene 18 años, entonces en 6 años más la razón entre sus edades será A) 1 : 4 B) 2 : 3 C) 5 : 9 D) 7 : 13 E) 11 : 15

5. Mónica compra 5 12

kilos de harina. Si ocupa 56

de lo adquirido y enseguida derrama

casualmente 512

kilos, entonces la cantidad de harina que queda es

A) 2 12

kilos

B) 2 112

kilos

C) 2 kilos D) 1 kilo

E) 12

kilo

6. Si A = 1 1

3 4− y B = 1 1

· 3 4

, entonces se cumple que

A) A > B B) A < B C) A = B D) A – 1 = B E) A2 – B2 = 1

7. Si a = 4n

, b = 72n

y c = 133n

, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera sabiendo

que n es un número entero positivo?

A) c > a > b B) b > a > c C) c > b > a D) a > c > b E) b > c > a

4

8. Si un vehículo mantiene una rapidez constante de 60 ms

, ¿cuántos metros recorrerá en

un minuto?

A) 36.000 B) 3.600 C) 360 D) 36 E) 0,36

9. Si a < b y b = 0, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) b – a > 0 II) a – b ≤ 0

III) -a > -b A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

10. El 50% de las caras del cubo A de la figura 1, están pintadas de rojo y sólo dos caras del cubo B no están pintadas de rojo. ¿Cuántas caras rojas hay en total?

A) 4 B) 5 fig. 1 C) 6 D) 7 E) 8

A B

11. En la figura 2, α = 60º. Si éste se disminuye en un 25% de su medida, ¿en qué

porcentaje aumenta su complemento?

α

A) 15% B) 25%

fig. 2 C) 50% D) 75% E) 150%

5

12. Si pq = 6, qr = 109

y pr = 15, entonces un posible valor de pqr es

A) 10 B) 5 C) 2 D) -5 E) no se puede determinar

13. Si m + n = 3 y m2 + n2 = 8, entonces mn =

A) 14

B) 12

C) 32

D) 2

E) 94

14. Si a ⊗ b = 3ab, entonces el valor de x en la expresión 4 ⊗ x = 316

es

A) 4 B) 2 C) 1 D) -2 E) -4

15. Si A = 12a

y B = 13a

, entonces la expresión [A – A-1B] · A-1 es

A) 1 + 43

a

B) 1 – 43

a

C) 1 + 2

1

6a

D) 1 – 2

1

6a

E) 1 4

3a 3− a

6

16. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola definida por la ecuación y = 0,5x2 + x + 2,5?

A) (-2, 4) B) (-1, 2) C) (1, -2) D) (-1, -4) E) (-1, 4)

17. El perímetro de un triángulo isósceles es 60 m. Si la base mide x metros más que cada

uno de los lados iguales, entonces la expresión algebraica que representa la medida de la base, en metros, es

A) 20 – x3

B) 20 – 23

x

C) 20 + 23

x

D) 20 + x3

E) 60 + 23

x

18. Hace 4 años Simón tenía 15 años y Rocío n años. ¿Cuál es la suma de sus edades actuales?

A) (15 + n) años. B) (15 + 2n) años. C) (19 + n) años. D) (19 + 2n) años. E) (23 + n) años.

19. La expresión 2 2

2 2 2

(a a 20)(a a) 2 a + 1 :

a(a 25)(a + 2a 8) a + 5a

− − − −

− − es igual a

A) 1 B) a2 C) (a + 1) D) a E)

a1

7

20. -2 7

3 2 -10

-a · (-b)

(-a ) · b =

A) - 54

B) a-8b17 C) -a-8b17 D) a4b-3

E) 54

21. Una caja contiene manzanas y naranjas, en la cual hay tantas manzanas como naranjas

en mal estado. Si el 66 23

% de las manzanas y el 75% de las naranjas están en mal

estado, ¿qué fracción del total de las frutas que hay en la caja están en mal estado?

A) 1724

B) 712

C) 58

D) 517

E) 1217

22. Si x y a =

y−

b, entonces y

x es igual a

A) aa b−

B) a + b C) b(a – b)

D) a + bb

E) ba + b

8

23. Un niño pega las láminas de su álbum que tiene m páginas, de las cuales ya ha completado la cuarta parte menos 5 páginas. ¿Cuántas páginas le faltan para completar su álbum?

A) 34

m – 5

B) 34

m + 5

C) 14

m – 5

D) 14

m + 5

E) m – 14

24. ¿Cuál de los siguientes gráficos no puede representar una función?

A) B) C)

D) E)

25. ¿Cuál es el valor de x si x1

32⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 84x + 3?

A) 98

B) -9 C) 17

D) 917

E) -917

y y

x

y

x x

y y

x x

9

26. Si -2 < 1 – 3x ≤ 7, entonces se cumple que

A) 1 ≤ x < 2 B) -1 < x ≤ 2 C) -2 ≤ x < 1 D) -2 < x ≤ 1 E) -1 ≤ x < 2

27. Si el punto (1, 2) es solución del sistema ax + by = 3

2ax by = 9−, entonces a =

A) 4 B) 3 C) 2

D) 12

E) - 12

28. ¿En cuál(es) de las siguientes igualdades el valor de x es -3?

I) 5x = 1125

II) x 3 33 = -81

III) x = - 2(-3)

A) Sólo en I B) Sólo en I y en II C) Sólo en I y en III D) Sólo en II y en III E) En todas ellas

29. La recta de la ecuación x + 3y – 6 = 0 intersecta a los ejes coordenadas en los puntos A(x, 0) y B(0, y). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es 13

.

II) x + y = 6 III) El área del triángulo formado por la recta y los ejes coordenados es 6.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

10

30. Si f(x) = -⎜2 – 3x⎟, entonces f(-3) es igual a

A) -11 B) -7 C) 7 D) 9 E) 11

31. Si f(x) = [x] (función parte entera de x) y g(x) = x – 2,5, entonces el valor de f(g(-2) es igual a

A) -5 B) -4,5 C) -4 D) 4 E) 5

32. Dada la parábola de ecuación y = x2 – mx + 9, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si m = -6, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. II) Si m > -6, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

III) Si m < -6, la parábola no intersecta al eje x.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

33. Una función es par si f(x) = f(-x). ¿Cuál de las siguientes funciones es par?

A) g(x) = 7x – 3 B) g(x) = x

C) g(x) = 34

x

D) g(x) = x3 E) g(x) = -|x|

11

34. La expresión es equivalente a a

log b · log cb

A) b

log c

B) c

log b

C) a

log c

D) b

log a · c

E) a

lo g b · c

35. Con respecto al gráfico de la figura 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

falsa(s)?

I) f (0)=f (3). f(x) II) f(x) es continua en [-2, 4]. fig. 3

III) f(x) es creciente en [1, 4]. 2

1

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

36. Si f(x) = 3x2 – x + 2 y g(x – 1) = f(3x – 9), entonces g(3) =

A) 2 B) 3 C) 24 D) 26 E) ninguno de los valores anteriores

37. Si la altura de un rombo se triplica y su base se reduce a la tercera parte, entonces el área del rombo

A) se mantiene igual. B) se reduce a la mitad. C) se triplica. D) aumenta dos veces más su valor. E) se reduce a la tercera parte.

x -2 -1 1 2 3 4

-2

12

38. En la figura 5 se aplica una reflexión (simetría) con respecto a la recta L. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor dicha reflexión?

L

fig. 4 A) B) C) L L

L

D) E) L

L

39. En el deltoide ABCD de la figura 6, AD < AB . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)? D

I) ΔAMD ≅ ΔCMD II) ΔBMA ≅ ΔBMC

III) MD ≅ MB

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

40. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos no tiene(n) eje(s) de simetría?

I) Triángulo Rectángulo. II) Triángulo Escaleno.

III) Triángulo Obtusángulo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguno de ellos

fig. 5

C A M

B

13

41. Al punto (1, -3) se le aplica una traslación T(h,k) obteniéndose (m, 2). Si al punto (-1, -1), se le aplica la misma traslación, se obtiene (-3, n). Entonces, los valores de h y k son, respectivamente

A) -2 y 5 B) -2 y 4 C) -3 y 5 D) -3 y 4 E) -1 y 4

42. En la figura 7, los cuadriláteros ACIG y BCFE son cuadrados de áreas 75 cm2 y 3 cm2, respectivamente. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)?

I) El rectángulo EFIH tiene área 12 cm2. II) El triángulo ACF tiene área 7,5 cm2.

G H I III) El cuadrado DEHG tiene área 48 cm2.

D E

fig. 6

A) Sólo I B) Sólo I y II F C) Sólo I y III D) Sólo II y III A B C E) I, II y III

43. Se quiere teselar el piso de una cocina de 3 metros de largo por 2,4 metros de ancho

con cerámicas triangulares, como se muestra en la figura 8. ¿Cuántas cerámicas se necesitan?

fig. 7

A) 180 B) 150

40 cm C) 120 D) 72 E) 60

30 cm 44. En la figura 9, ABCD es un trapecio de bases AD y BC . Si AB = 13 cm, AE = 5 cm y

AD = 20 cm, entonces el área del trapecio es

E D

C B

A A) 360 cm2 B) 180 cm2 C) 150 cm2 fig. 8 D) 90 cm2 E) 45 cm2

14

45. En un triángulo las medidas de sus ángulos interiores son α, α y 2α. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El triángulo es rectángulo. II) El triángulo es isósceles.

III) El triángulo es acutángulo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

46. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo A es semejante al triángulo B?

I) II) III)

A

B

B

A α

α

A B

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) En todos ellos E) En ninguno de ellos

47. Si en la circunferencia de centro O de la figura 10, AB BC≅ y α = 30º, entonces la

medida del ángulo x es

α

x

C

B O

A) 30° fig. 9 B) 60° C) 90° D) 120° E) 135° A

48. En la circunferencia de la figura 11, el arco AB = 120º. Entonces, la medida del arco DC es igual a A

B

C

D P 1

fig. 10 A) 84° B) 60° C) 36° D) 18° E) 9°

15

49. En la figura 12, AE = BE y CP // AB . Entonces, CF : FB =

F

fig. 11

D

C P

A E B

A) EB : CP B) AE : CP C) CD : AD D) AD : CD

E) ninguna de las anteriores

50. En la figura 13, si BD // CE , entonces el valor de BD es

A) 411

x

15

E

D B) 511

fig. 12

C) 611

8 D) 7

11

2x – 1 A B C

E) 811

51. El triángulo ABC de la figura 14, es rectángulo en C. Si CD = 6 cm y AC = 2 13 cm, entonces la medida del segmento DB es

C

fig. 13 A) 4 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 10 cm

A D B E) 13 cm

52. Dos postes tienen 18 m y 12 m de altura respectivamente. Sabiendo que la línea recta

imaginaria que los une en sus puntos más altos forma un ángulo de 30° con la horizontal, ¿cuál es la distancia entre los postes?

A) 18 3 m B) 12 3 m C) 9 3 m D) 6 3 m E) 9 m

16

53. Si el cubo de la figura 15 es de arista 6 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El centro de gravedad es el punto (3, 3, 3). II) Las rectas AH y BG son paralelas. z

III) La diagonal del cubo es 6 3 . A B fig. 14 C A) Sólo I D

B) Sólo I y II C) Sólo II y III

F E D) Sólo I y III y E) I, II y III

H G x

54. Si la región sombreada de la figura 16 se gira indefinidamente en torno a la recta x = 0, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor al cuerpo generado?

fig. 15

y

x

A) B) C) y

x

D) E)

y y

x x

y y

x x

17

55. La tabla adjunta muestra la distribución de los alumnos de un Liceo que pasaron a 3ero medio, donde debieron elegir un plan diferenciado entre Biólogo, Humanista o Matemático.

Plan Diferenciado Sexo Biólogo Humanista Matemático Masculino 25 10 20 Femenino 25 35 5

Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea mujer y elija plan biólogo es de 25120

.

II) La probabilidad que sea varón es de 2555

.

III) La probabilidad que elija plan humanista es de 45120

.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

56. El diagrama adjunto muestra las preferencias que tienen 45 alumnos de un curso con respecto a sus actividades deportivas. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad que practique fútbol o básquetbol?

A) 3745

· 945

1 5 7 2

30

Fútbol

Natación Básquetbol

B) 3037

+ 79

C) 3045

+ 745

D) 3745

+ 945

– 245

E) 3745

+ 945

– 745

18

57. Una caja contiene 5 fichas rojas y 3 fichas blancas. Si se extrae una ficha al azar y luego se extrae una segunda ficha, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

A) 328

B) 956

C) 3756

D) 68

E) 58

58. En el Restaurante “ALDIN”, se ofrece una cena de fin de año, donde el menú consiste en: entrada (palta reina o tomate relleno o camarón con salsa), plato de fondo (bife de chorizo o salmón a la mantequilla o pato silvestre) y postre (copa de helados 2 sabores o postre de frutas al natural), todo por el valor de $ 15.000 por persona. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un menú al azar, éste sea: palta reina, pato silvestre y postre de frutas al natural?

A) 19

B) 16

C) 127

D) 118

E) 112

59. La tabla adjunta muestra la cantidad de alumnos que poseen un determinado número de celulares. Al seleccionar uno de estos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste tenga a lo más 2 celulares?

A) 615

B) 1215

Nº de alumnos 3 6 3 2 1

C) 915

Nº de celulares 0 1 2 3 4

D) 3

15

E) 215

19

60. La tabla adjunta muestra el número de minutos durante los cuales Ingrid practicó piano. ¿Cuántos minutos debió practicar el día sábado para llegar a un promedio de 40 minutos diarios?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

61. La tabla adjunta muestra un estudio sobre el número de bicicletas que tienen los alumnos de un curso. De acuerdo con la información, ¿cuál(es) de las siguiente afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La moda es mayor que la mediana.

II) La mediana es menor que la media aritmética. III) La media aritmética es menor que la moda.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

62. La lista A contiene diez elementos cuya suma es cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La media de los elementos de A es cero. II) La mediana de los elementos de A es cero.

III) La moda de los elementos de A es cero.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Minutos 50 40 30 35 40 x

x f 0 5 1 7 2 10 3 3 4 2

20

63. La distribución de un presupuesto familiar se ilustra en el gráfico de la figura 17. 20%

10%

28%

42%

Vivienda

Salud

Alimentación

fig. 16

Vestuario

Si una familia gasta en alimentación $ 294.000, ¿cuánto gasta en vivienda?

A) $ 140.000 B) $ 145.000 C) $ 150.000 D) $ 200.000 E) $ 240.000

21

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70.

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el

enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde

$ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en

el enunciado (P + Q = $10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). D

22

64. Se puede determinar el porcentaje de mujeres solteras que viven en la Región Metropolitana, si se sabe que:

(1) El 60% de las personas que viven en la Región Metropolitana son mujeres.

(2) El 58% de la población está casada.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. En la figura 18, se puede determinar el área achurada del círculo de centro O si:

(1) AC = 10

O C A

B

fig. 17 (2) BAC = 45º


66. Se puede determinar la edad del padre de Julio si se sabe que:

(1) Hace 2 años, la suma de ambas edades era de 40 años.

(2) Julio nació cuando su padre tenía 24 años.


67. El cuadrilátero ABCD de la figura 19, es un trapecio de bases AB y DC . Se puede

determinar el área del trapecio si:

(1) AD = BC

(2) El perímetro del trapecio es 34 y las bases difieren en 6.


fig. 18

B

D C 9

5

A

23

68. El ΔABC de la figura 20 es rectángulo en B. Se puede calcular el valor numérico del segmento AC si:

A B

C

fig. 19

(1) BAC = ACB

(2) tg BAC = 1


69. En el triángulo ABC de la figura 21, se puede determinar la medida del trazo CB si:

(1) AB = 10 C

fig. 20 (2) AB ⊥ CD y CD = 2 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

D A B 4 E) Se requiere información adicional

70. Se tiene una bolsa con fichas blancas, azules y negras de igual tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha negra si:

(1) El número de fichas negras duplica al número de fichas blancas.

(2) El número de fichas blancas es la tercera parte del número de fichas azules.


24

Curso: Matemática


MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA






ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS



≤

>

≥

< ≅

∼

⊥

≠

//

AB

log ∈

φ |x|

[x]

2

1. 7652 – 7642 =

A) 1.530 B) 1.529 C) 1.528 D) 1 E) 7642 – 7652

2. En el círculo de la figura 1, AB es un diámetro. Entonces, ¿qué parte del área del círculo

podría representar el área achurada?

A A) 7

13

fig. 1 B) 6

11

C) 59

D) 12

B

E) 37

3. Un artículo disminuye su precio de $ 5.000 a $ 4.000, entonces el porcentaje de

disminución fue

A) 1.000% B) 25% C) 20%

D) 15

%

E) 14

%

4. Una receta de cocina usa tres ingredientes a, b y c en la siguiente proporción,

a : b = 2 : 3 y a : c = 3 : 4. ¿Cuántas unidades del ingrediente c se debe usar, si del ingrediente b se usó 27 unidades?

A) 18 B) 36 C) 21 D) 24 E) 32

3

5. Si 3 leones consumen 35 kg de carne en 4 días, entonces ¿cuántos kg de carne consumirán 8 leones en 6 días?

A) 70 B) 105 C) 140 D) 175 E) 210

6. En la sucesión: 4 8 16 32, , ,

3 3 3 3, ... el n-ésimo término está representado por

A) n4

3

B) n2

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) n2

3

D) n 12

3

−

E) 23

· 2n

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una proporcionalidad directa entre x e y?

A) B) C)

x

y

x

y

x

y

D) E) y

x x

y

4

8. ¿En qué porcentaje de debe rebajar a para que sea igual a b?

A) a ba− %

B) a bb− %

C) 100(a b)a− %

D) 100(a b)b− %

E) 100(b a)a− %

9. Un alumno lee desde la página 15 hasta la página 134. ¿Cuántas páginas leyó?

A) 118 B) 119 C) 120 D) 121 E) 122

10. El diagrama de la figura 2, muestra la cantidad de alumnos de un curso que practican

deporte. Básquetbol Fútbol

6

12 4 18

fig. 2

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El 45% del curso practica sólo fútbol. II) El 10% del curso practica fútbol y básquetbol.

III) El 75% del curso practica sólo un deporte.


5

11. Una persona tarda 3 días en pintar una casa trabajando 8 horas diarias. ¿Qué parte de la

casa pinta en x2

horas?

A) 48x

B) 3x2

C) 6x

D) x6

E) x48

12. Un capital de $ 50.000 se deposita a un interés compuesto trimestral de un 3%. ¿Cuál es

el capital final al cabo de 2 años?

A) $ 50.000 (1,03)12 B) $ 50.000 (1,03)8 C) $ 50.000 (1,03)6 D) $ 50.000 (1,3)8 E) $ 50.000 (1,3)6

13. La expresión: “El doble de la diferencia entre los cuadrados de a y b” se expresa como

A) 2(a2 – b2) B) 2(a – b)2 C) [2(a – b)]2 D) (a2 – b2) E) (a2 – b2)2

14. -[3a – (a + b – 1) + 2 – (2a + 3b)] =

A) -4b – 3b B) 4b + 3 C) -4b + 3 D) 4b – 3 E) 4a + 4b – 3

6

15. (2x + 3y)(2x – 3y) + 3(x + y)2 =

A) 7x2 + 6y2 B) -7x2 – 6y2 + 6xy C) 7x2 + 6y2 + 6xy D) 7x2 – 6y2 + 6xy E) 7x2 – 12xy + 6y2

16. Se define a ⊗ b = -a2 + ab, para todo a y b enteros. Entonces, 3 ⊗ 4 =

A) -24 B) -21 C) 3 D) 21 E) 36

17. El valor de x en la ecuación 1 1 +

x x = 5 es

A) 15

B) 12

C) 52

D) 5

E) 25

18. El perímetro del rectángulo de la figura 3, es 560 cm. ¿Cuál es su área?

A) 77.500 cm2 B) 24.700 cm2 x – 20 C) 18.700 cm2 D) 16.900 cm2 E) 13.500 cm2 fig. 3 x + 40

19. Si f(x) = -3x2 + 2, entonces f(-1) + f(1) =

A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4

7

20. Con respecto a la recta L de la figura 4, es correcto afirmar que

I) Su pendiente es - 54

. y

x L

4

5 II) Intersecta al eje x en el punto (0, 4).

III) Es perpendicular a la recta 4x – 5y = 0. fig. 4


21. La función que está mejor representada en la figura 5 es

y

x 3

A) y = ⎜x – 3⎟ B) y = ⎜x + 3⎟ fig. 5 C) y = ⎜x⎟ + 3 D) y = ⎜x⎟ – 3 E) y = ⎜x⎟

22. Una compañía de teléfonos cobra por minutos, tal como muestra el gráfico de la figura 6.

¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Costo $

fig. 6

Minutos

500

4 3 2

150

80

320

1

I) Por una llamada que dura 80 segundos se paga $ 150. II) Una llamada que dura 2 minutos cuesta $ 150.

III) Dos llamadas que duran 20 y 59 segundos, respectivamente, cuestan lo mismo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

8

23. Se define f(x – 1) = 3x + 1, entonces f(1) =

A) 3 B) 6 C) 9 D) 27 E) 81

24. Si m[x + n(x + 3)] = 3(x + 4), entonces m + n =

A) -5 B) -4 C) -1 D) 5 E) no se puede determinar

25. El gráfico de la función y = x1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es

A) B) C)

x

1

y y

1

x

x

y

1

D) E)

x

y

1

y

1 x

26. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es factor del polinomio x4 – x3 + x2 – x?

A) 1 B) x C) x – 1 D) x2 + 1 E) x2 – 1

9

27. Al resolver el sistema de ecuaciones x + y = 7x y = -3−

se obtiene

A) x = 2 ; y = 5 B) x = 5 ; y = 2 C) x = -2 ; y = 5 D) x = 2 ; y = -5 E) x = -2 ; y = -5

28. Si ax + 4 = 12 y ax + 2 = 4, entonces a6 =

A) 3 B) 6 C) 9 D) 27 E) 81

29. Andrea camina a 4 kmh

y corre a 6 kmh

. Si ella ahorra 3,75 minutos corriendo en vez de

caminar desde su casa a su colegio, ¿cuál es la distancia, en kilómetros, desde su casa a su colegio?

A) 7,5 B) 3,75 C) 1,875 D) 1,25 E) 0,75

30. Sean p, q y r tres números enteros. Si p + q = 3, pr + q = 18 y qr + p = 6, entonces

r-1 =

A) 12

B) 13

C) 16

D) 17

E) 111

10

31. 3 3

11 + 3 · 11 3− =

A) 6 118

B) 3 2

C) 3 14

D) 314 2 33−

E) 8

32. 2

1log

16 =

A) 14

B) 18

C) 4 D) -4

E) - 14

33. El conjunto solución de la ecuación 2

2 3 = 2 +

xx es

A) 1, 2

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

B) 1-2, -

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

C) 1- , 22

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

D) 3 1- , 2 2

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

E) 1-2,

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

11

34. El conjunto de todos los números reales que satisfacen la desigualdad ⎜x – 2⎟ ≥ 4 es

A) lR B) lR – [-2, 6] C) lR – ]-2, 6[ D) lR – [-6, 2] E) ∅

35. Los valores de x para los cuales la expresión (x 3)(x + 4)− está definida en los reales

son

A) Todos los reales B) lR – [-4, 3] C) lR – ]-4, 3[ D) ]-4, 3[ E) No está definida para ningún valor de x.

36. Con respecto a la parábola de ecuación y = 2(x – 1)2 + 3, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su vértice es el punto (1, 3). II) Su eje de simetría es la recta x = 1.

III) Intersecta al eje y en el punto (0, 5).


37. Si f(x) = 5x2 – 9x – 2, ¿cuál de las siguientes opciones es falsa?

A) Los ceros de la función son números racionales. B) El gráfico de la función corta al eje y en el punto (0, -2).

C) El vértice de la función es el punto 9 121, -

10 20⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D) Su eje de simetría es x = 95

.

E) La parábola intersecta al eje x en el punto 1- , 05

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

12

38. En la figura 7 al rotar el ΔABC en 270º en torno al origen en sentido antihorario, se obtiene el ΔA’B’C’ con A’, B’ y C’ homólogos de los puntos A, B, y C, respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas de C’?

y A

A) (-2, 6) 5

B) (-6, -2) C) (2, -6) D) (-2, 5) E) (5, -2)

39. El punto simétrico del punto A(5, 6) con respecto al punto P(1, 2) es

A) (-1, -2) B) (-3, -2) C) (-2, -3) D) (-3, -4) E) (-4, -3)

40. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos permite(n) teselar el plano?

I) Triángulo Equilátero. II) Cuadrado.

III) Hexágono Regular.


41. Al estar una patrulla de reconocimiento a 800 m de un fuerte, observa que éste se

ve bajo un ángulo α, y que desde otro lugar, 300 metros más cerca del fuerte, éste se ve bajo un ángulo β, tal como se muestra en la figura 8. ¿Cuál es la altura del fuerte si tg α = 0,2 y tg β = 0,3?

A) 150 m B) 125 m C) 105 m D) 80 m E) 40 m

B

fig. 7

2 C

x 2 6

fig. 8

β α 300 m

13

42. En la figura 9, el ΔABC es isósceles de base AC y AD ≅ CE . Entonces, ΔBAD ≅ ΔBCE por postulado

B

fig. 9

E C D A

A) LLA B) LLL C) ALA D) LAL E) LLA>

43. En la figura 10, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2. II) El área de la región achurada es (a – b).

III) El área de EBCF es 2ab.

D F C

b

A) Sólo I B) Sólo II

fig. 10 C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

a A E B 44. En la figura 11, ABCD es un cuadrado de lado 2 cm. Si AC = CE , entonces el área del

ΔFBE es

F

E

C D

B A

A) 4 cm2

fig. 11 B) 2 cm2 C) 1 cm2 D) 2 cm2

E) 22

cm2

14

45. Una rueda cuyo diámetro es 40 cm gira a razón de 8 vueltas por minutos. ¿Cuál es la distancia que recorre al cabo de 6 minutos?

A) 24π cm B) 40π cm C) 96π cm D) 320π cm E) 1920π cm

46. ¿Cuál de los siguientes segmentos AB está dividido por el punto Q en la razón 5 : 2?

A) 14 cm

A Q B 4 cm

B) A Q B 7 cm 5 cm

C) 20 cm

A Q B 2 cm x + 2

D) 21 cm

A Q B 4x + 3 9 – x

E) 24 cm

A Q B 4x + 1 2x + 6

47. El perímetro de un triángulo rectángulo es (9a + 7b) cm. Si la hipotenusa y uno de los

catetos miden (6a + 3b) cm y 4b cm, respectivamente, entonces el área del triángulo es

A) 12ab cm2 B) 8ab cm2 C) 6ab cm2 D) ab cm2 E) 2b cm2

15

48. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras muestra(n) un par de triángulos semejantes?

I) II) III)


49. En la circunferencia de la figura 12, ABCD es un cuadrilátero inscrito. Si ACB = 34º y

CD = 122º, entonces AEC =

A) 27º B) 54º C) 85º D) 95º E) 126º

50. En la figura 13, los puntos A, B, C, y D están sobre la circunferencia de centro O. Si

AP = 8 cm, AB = 5 cm y PC = 6 cm, entonces PD =

A) 4 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 1,5 cm E) 1 cm

51. En el cuadrado ABCD de lado 4 cm (fig. 14) EF // BC y EC = 1 cm. ¿Cuál es el área del

trapecio DAFE?

A) 0,5 cm2 B) 2 cm2 C) 5 cm2 D) 7,5 cm2 E) 15 cm2

α

α

E

A

C

D

B

18 27

18 12

16

3

C

A B 5

F

D E

25

A E B

C

D 15

6

E

B

C

D

A

fig. 12

O

B

C D

A

fig. 13

P

D C

A B

E

F fig. 14

16

52. En la circunferencia de centro O de la figura 15, AB es diámetro de 10 cm. Si CD = 4,8 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

O B

C

D A

fig. 15 I) OD = 1,4 cm

II) BC = 6 cm III) AD = 8,6 cm


53. En el paralelogramo ABCD de la figura 16, E es el punto medio de DC . Si EF divide el

área del paralelogramo en la razón m : 1, con m > 1 y AF > FB , entonces AF

FB =

A) m2

B) 3m 13 m

−−

A F B

D E C

fig. 16 C) 3m 1

m + 1−

D) m + 12m

E) 2

m + 1

m + 1

54. Se tiene un cilindro circular recto de radio 6 cm y altura 5 cm y se llena con agua, luego

se vacía en un cubo de 10 cm de lado. ¿Hasta qué altura alcanza el nivel del agua en el cubo? (considere π = 3)

A) 5,4 cm B) 10,8 cm C) 4,5 cm D) 0,54 cm E) 1,08 cm

55. ¿Cuál es el volumen de una esfera inscrita en un cubo de área 384 cm2? (considere

π = 3)

A) 256 cm3 B) 512 cm3 C) 1.024 cm3 D) 1.372 cm3 E) 2.048 cm3

17

56. La tabla adjunta muestra las notas de los alumnos de un curso en la asignatura de física. 1,0 - 1,9 2,0 - 2,9 3,0 - 3,9 4,0 - 4,9 5,0 - 5,9 6,0 - 7

mujeres 1 2 5 2 4 1 hombres 2 5 8 10 4 1

Si se elije un alumno al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea mujer y tenga nota igual o superior a 5,0 es 19

.

II) La probabilidad de que el alumno tenga nota inferior a 4,0 es 2325

.

III) La probabilidad de que sea hombre y tenga nota superior a 4,9 es 13

.


57. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con una probabilidad de 0,3. ¿Cuál es la

probabilidad de no dar en el blanco?

A) 0,03% B) 0,7% C) 7% D) 30% E) 70%

58. Se lanza una moneda cuatro veces. La probabilidad de que salga por lo menos un sello

es

A) 1516

B) 58

C) 38

D) 14

E) 116

18

59. En un curso de 42 alumnos 20 son varones, de los cuales 8 fuman y las mujeres que no fuman son 16. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una persona fumadora al azar ésta sea una mujer?

A) 311

B) 821

C) 17

D) 13

E) 37

60. En la siguiente tabla se muestra la distribución de los atrasos semanales en una

empresa. Atrasos (min.) Nº personas

[1,5[ 3 [5,10[ 4

[10,15[ 6

[15,20[ 8 [20,25[ 4

¿Cuál es la probabilidad de no tener un atraso de 10 ó más minutos?

A) 52% B) 72% C) 28% D) 16% E) 48%

61. La tabla adjunta muestra una distribución de frecuencia. Entonces, de acuerdo a la

información entregada en la tabla, la media y la moda son, respectivamente

X 3 4 5 6 7

f 2 5 1 6 3

A) 5,0 ; 5,7 B) 5,0 ; 5,0 C) 5,0 ; 5,5 D) 5,5 ; 6,0 E) 5,5 ; 5,0

19

62. Veinte alumnos de un colegio han sido seleccionados para representar a su colegio en una olimpiada de matemática. La distribución de las edades de estos alumnos seleccionados se muestra en la siguiente tabla:

x f

[10 – 12[ 4 5 8 3

[12 – 14[ [14 – 16[ [16 – 18[

De acuerdo a la información anterior, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Un 80 % de los alumnos seleccionados tienen 12 ó más años de edad. II) La moda está en el intervalo [14 – 16[.

III) La mediana está en el intervalo [12 – 14[.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

63. Javier en 10 notas ha obtenido una media de 5,5. Por su esfuerzo en la asignatura, su profesor ha decidido eliminarle la nota más baja, con lo que su media subió a 6,0. La nota más baja obtenida por Javier fue

A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) falta información.

20


Instrucciones para las Preguntas N° 64 a la N° 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.


A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $2.000.000 más que Q.


En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el

enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:


$ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). D

21

64. m equivale al 75 % de n si:

(1) 4m – 3n = 0

(2) m : n = 3 : 4


65. Se puede determinar el valor numérico de la expresión 22 x z 1

+ y · x 2 2 z− ⎛ ⎞

⎜ ⎟− ⎝ ⎠, con x ≠ 2 y

z ≠ 0, si se sabe que:

(1) y = -3

(2) x = 1

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional

66. Se puede determinar el valor de un kilo de manzanas, si:

(1) Dos kilos de peras más uno de manzanas vale $ 1.600.

(2) El kilo de manzana vale la mitad de lo que vale el kilo de peras.


67. En la figura 17, se puede determinar que BC // DE si:

(1) AB AC =

BD CE

A

B

E

fig. 17

C

D

(2) AB = AC y AD = AE


22

68. En la figura 18, PT es un segmento tangente a la circunferencia, en el punto T, que mide 12 cm y AB es un diámetro. Se puede determinar el radio de la circunferencia si:

(1) PB = 8 cm

fig. 18 T

P A B

(2) PA = 18 cm A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

69. El rectángulo de la figura 19, se hace girar en torno a su lado AB . Se puede determinar

el área lateral del cuerpo generado si se conoce:

(1) El largo del rectángulo. D

fig. 19

C

A B

(2) El área del rectángulo.


70. Dados los eventos A y B, se puede determinar la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez si:

(1) La probabilidad de que ocurra A es 0,12.

(2) La probabilidad de que ocurra B es 0,54.


23

Curso: Matemática


MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA


1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el






≅

≤

>

≥

<

log

φ

∼

⊥

≠

//

AB

|x|

∈

[ ] x

2

1. 1 [2 (-2) + (-11)]2

− − =

A) 3 B) -3 C) 4 D) -4 E) 6

2. Al simplificar la expresión

12

12 2

1

1 + 21 se obtiene

A) 2 + 1

B) 1

3

C) 1

2

D) 11 2−

E) 2 – 1 3. Carlita caminó 990 centímetros. Si ha dado 15 pasos, ¿cuántos centímetros ha avanzado

en promedio con cada paso?

A) 46 B) 56 C) 65 D) 66 E) 67

4. El producto (a3 + b3) · 3 3 -

1

(a b )− 1 es igual a

A) 0 B) a9 – b9 C) a6 – b6 D) a9 – 2a3b3 + b9 E) a6

3

5. El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres. Este año se requiere efectuar el mismo trabajo en sólo 2 semanas. ¿Cuántos hombres hay que contratar?

A) 9 B) 30 C) 80 D) 120 E) 840

6. a es directamente proporcional al recíproco de 2b. Si la constante de proporcionalidad

es 12, entonces el producto entre a y b es

A) 16

B) 112

C) 6 D) 12 E) 24

7. Un curso de inglés tiene un costo mensual de 4p pesos. Si Blanca decide matricular a

tres de sus cuatro hijos por un período de 2 años, ¿cuánto dinero, en pesos, debería cancelar?

A) 48p B) 96p C) 144p D) 288p E) 384p

8. Si x = 1,3 e y = 13 · 10-1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) x = 139

II) x · y = 25

· 13

III) 10-2 · y = 0,013

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

4

9. La mitad de un tercio de 115

es equivalente con

A) 5100

B) 10100

C) 20100

D) 60100

E) 500100

10. Un vendedor de autos recibió $ 900.000 de comisión por la venta de 3 modelos iguales.

Si esta comisión corresponde al 2% del precio de venta, ¿cuál es el valor de cada vehículo? A) $ 45.000.000 B) $ 15.000.000 C) $ 4.500.000 D) $ 1.500.000 E) Ninguno de los valores anteriores

11. Si p = 14

, q = 18

y r = pq

, entonces 1 1 1 + +

p q r es igual

A) 819

B) 198

C) 78

D) 87

E) 252

12. Si la suma de 3 números impares consecutivos da como resultado 21, entonces el

sucesor del número impar mayor es

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

5

13. En la igualdad A = y · x3

– 1, si x se incrementa en 2, entonces la variación que

experimenta A, con x e y distintos de cero, es

A) 2y

B) 3y2

C) 1

D) 2y3

E) ninguna de las anteriores. 14. Si (x 2) + (x − 3) = 1, entonces el inverso aditivo de x es −

A) -4 B) -3

C) 13

D) 3 E) 4

15. Si en el triángulo ABC de la figura 1, α = β, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre falsa(s)?

I) El ABCΔ es obtusángulo.

fig. 1 C

B A α β

II) El ABCΔ es rectángulo. III) El ABCΔ es acutángulo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

16. Si p = 4, ¿cuál de las siguientes expresiones es irracional?

A) p3

B) 3p

C) pp

D) p p

E) p pp

6

17. Andrés tiene 15 años menos que Elena, y Francisca 12 años más que Andrés. Si las tres edades suman 81 años, entonces la edad de Francisca es A) 15 años B) 18 años C) 30 años D) 33 años E) 40 años

18. En un curso de 25 alumnos, 20 aprobaron un examen, ¿cuál es el porcentaje de

reprobados?

A) 15% B) 20% C) 25% D) 80% E) 95%

19. Se tiene un número primo de tres cifras, tal que la suma de ellas es once y la cifra de las

decenas es 1. ¿Cuál es el número, si es menor que 500 y la cifra de las unidades es un número primo?

A) 119 B) 218 C) 317 D) 416 E) No existe tal número

20. Si y + 1 = 3, entonces y5 – 2 equivale a

A) -8 · 4 B) -31 C) 8 D) 10 · 3 E) 17 · 2

21. Si m = -(1)-1, x = 4m 2−

, y = m 24− y z = m

m 1−, entonces el orden decreciente de

x, y, z es

A) x, z, y B) x, y, z C) y, x, z D) z, x, y E) z, y, x

7

22. La expresión 25a 5− · 9a + 95a 5−

, con a > 0 y a ≠ ±1, es equivalente con

A) 3(a + 1) B) 3 a 1−

C) 3(a 1)5−

D) a 15−

E) 3(a 1)5−

23.

3 23 5 3 2

2 3

p q p q:

r r

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

=

A) pq4 B) p3q11 C) p15q19

D) 11 19

8

p q

r

E) 15 19

2

p q

r

24. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 2 3 = 3 2

II) 624

es un número irracional.

III) 3 2

2

8 1 =

1664

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

8

25. El conjunto solución del sistema de inecuaciones 2x + 3 1-x + 2 -1

≥≥

es

A) {x ∈ lR / x ≤ 3} B) {x ∈ lR / x ≥ -1} C) {x ∈ lR / 1 ≤ x ≤ 3} D) {x ∈ lR / -1 ≤ x ≤ 3} E) {x ∈ lR / -3 ≤ x ≤ -1}

26. El gráfico que mejor representa a la función f(x) = , si es -(x 2)x 2

−⎧⎨

−⎩

x < 2

x 2≥

A) B) C)

D) E) 27. Si por el arriendo de un auto cobran $ 10.000 diarios, más $ 500 por cada km recorrido,

entonces la ecuación de la recta que relaciona el costo diario C con el número x de kilómetros recorridos, está representada por

A) C = 10.000 · x + 500 B) C = 500 · x + 10.000

C) C = 500 x2

+ 10.000

D) C = 500 + 10.000 x2

E) C = 500 · 2x + 10.000

y

2

0 x

y y

2 2

0 x 0 2 x

2 0

y

-2 0

y

2

x x

9

28. En un cultivo de plantas se observó que una enredadera tenía un crecimiento

I) La altura h de la planta en función del tiempo x (semanal) está

proporcional al tiempo. Si en un principio la enredadera medía 2 cm y al cabo de una semana 2,5 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

representada por h = x2

+ 2.

II) La gráfica de h(x) está representada en la figura adjunta.

A) Sólo I

Si f(x) =

III) Al cabo de un mes la planta alcanza una altura de 4 cm.

0

h (altura)

2

x (tiempo)

fig. 2 B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

x 22−29. , entonces ¿cuál de las siguientes operaciones es verdadera?

A) Dom f : lR – {2}

e

0. En una escuela han organizado una campaña de invierno, la cual consiste en la

A) 40

1. Para que n sea un número entero en la igualdad

B) f es función constante C) f es función creciente D) f es función decrecientE) f es una función discontinua

3

confección de frazadas, a partir de cuadrados de lana de 2 cm de lado. Si las frazadas deben medir 2 m de largo y 1,6 m de ancho, ¿cuántos cuadrados de lana se necesitan para una frazada?

B) 80 C) 120 D) 160 E) 800

8 4 +

3 km

3 = n, con k ∈ lR+, entonces el

A) uno

o

enor valor positivo de k es

B) dos C) tres D) cuatrE) seis

10

32. log 6 + log 5 − log 3 =

A) -2

3. Si

B) -1 C) 1 D) 2 E) log 8

AD = 10 cm y OC3 = 6 cm (fig. 3), ¿cuánto mide el área del rombo ABCD?

A) 192 cm2

4. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia que es tangente a los ejes

A) (12, -12)

5. En la figura 4, la recta y =

D C

O

A B

fig. 3 B) 100 cm2 C) 96 cm2 D) 50 cm2 E) 24 cm2

3

coordenados en el tercer cuadrante y cuyo perímetro es 12π?

B) (-12, 12) C) (-6, -6) D) (-6, 6) E) Otro punto

x2

Cuál

= 6 intersecta a las rectas y = -x e y = x en los puntos

A y B, respectivamente. ¿ es la longitud de AB

3

?

A) 4

y

x

A B

fig. 4

2

B) 4 5 2C) 8 2D) 12 5E) 8

36. Si 2x = 2(1612) + 2(816), ¿cuál es el valor de x?

A) 48

B) 49 C) 50 D) 96 E) 98

11

37. En la figura 5, β = 4α, el ángulo BCD mide

A) 30º

alor

8. Hoy en día la edad de un padre es el doble de la edad de su hijo, y dentro de 50 años

Padre Hijo

s

riores

9. Un listón de madera de 3 m de largo se corta de tal forma que uno de los trozos es 50

A) 0,175 cm y 0,125 cm

0. El conjunto solución de la inecuación x + 1 ≤ x + 1 es

A) {0}

A

D

C

B

α

β a

a a

a fig. 5 B) 60º C) 90º D) 120º E) otro v

3

será cuatro tercios de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

A) 40 años – 20 añoB) 50 años – 25 años C) 60 años – 30 años D) 90 años – 45 años E) Ninguna de las ante

3

cm más corto que el otro. ¿Cuánto mide cada trozo?

B) 1,75 m y 1,25 m C) 17,5 cm y 150 cmD) 175 cm y 12,5 cm E) 175 m y 125 m

4

B) {1} C) {0,1}D) ∅ E) lR

12

DE = EF = FG = GB41 un rombo y . Si ABCD es (fig. 6), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Área ΔAED = 18

I

Área ABCD

I) Área ΔAED = Área BGCΔ

III) Área ΔAFE = 133 % Δ

3Área DGC

A) Sólo I

II

2. Al aplicar al triángulo de vértices A(-2, 2), B(4, 1) y C(2, 5) una traslación T de

fig. 6

D

A

F

E

G

B

C

B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y IE) I, II y III

4

coordenadas (-2, 2) se obtiene el triángulo A’B’C’, siendo A’, B’ y C’ los vértices homólogos de A, B y C, respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del lado A C ?

A)

3

1, 2⎝

⎛ ⎞⎜ ⎟

B)

⎠11

-2, 2⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

C) 11, -2

2⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

D) -112,

2⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

E) 70,

2⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

3. Si aplicamos una simetría al triángulo ABC de la figura 7 con respecto a la recta y = -x,

A) (-3, -1)

4

las nuevas coordenadas del punto B son

1 2 3 4 5 6 7

C

B

x

4 3 2 1

y

A B) (3, -2) C) (-1, -3) D) (-4, -4) fig. 7 E) (1, 3)

-2 - 1 2 -1

-2

13

44. La sombra de un árbol cuya altura no se conoce mide 15 m y la sombra de una vara vertical de 6 m de alto mide 2 m. Si las medidas fueron tomadas a la misma hora, ¿qué altura tiene el árbol?

A) 30 m B) 35 m C) 40 m D) 45 m E) 50 m

45. Si AD y BC se intersectan en O, entonces para demostrar que los triángulos ΔAOB ≅ ΔCOD, es necesario saber que

A) AB DC≅ B) BAO ≅ DCO

B D

fig. 8

O C) AB // CD

D) AO DO≅ y AB CD≅ A C E) BO CO≅ y AO DO≅

46. En la figura 9, la circunferencia tiene 2 cm de radio. Si b = 4 cm y b = 2a, el perímetro

del rectángulo ABCD es C D

a A) 16 cm B) 24 cm C) 26 cm D) 28 cm E) 40 cm

47. Si una cuerda de 32 cm dista 12 cm del centro de una circunferencia, entonces el área

del círculo y el perímetro de la circunferencia, respectivamente son

A) 256 cm2 y 32 cm B) 324 cm2 y 36 cm C) 400 cm2 y 40 cm D) 36 cm2 y 324 cm E) 40 cm2 y 400 cm

b

a

b

A B

fig. 9

14

48. En la circunferencia de centro O, AB y CD son cuerdas que se intersectan en el punto F, entonces se cumple que

D B

A C

b + 3

a + 2

3a

b – 3

F

O

fig. 10

A) 6a + 2 = 2b B) 3a(a + 2) = b2 – 9 C) 3a(b – 3) = (b + 3)(a + 2) D) 3a(b + 3) = (a + 2)(b – 3) E) 3a + 2 = 2b

49. En la figura 11, PT es tangente a la circunferencia de centro O y radio b. Entonces,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) a2 = c2 (c + b) II) a2 + b2 = (c + b)2

A O B P

T

a

c fig. 11

III) TPO = 12

TOB

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

50. En la figura 12, AB // CD , entonces los valores de a y b, respectivamente son

A

C

D B

a 2

5

a + 2

b + 3 2b O

fig. 12

A) 4 y 9

B) 43

y 15

C) 2 y 3

D) 1 y 23

E) 8 y 5 51. Una tienda sube en un 15% el precio de todos sus artículos. ¿Por cuánto hay que

multiplicar cada precio original para obtener el nuevo precio de cada artículo?

A) 0,15 B) 1,15 C) 11,5 D) 15 E) 115

15

52. ¿Cuál es el coeficiente independiente que se obtiene al desarrollar el cuadrado de

binomio21

a 2a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

?

A) 2 B) -2 C) 1 D) -1 E) Ninguno de los valores anteriores

53. En la figura 13, la suma de los ángulos α , β y ε , es

α

δ

fig. 13

ε

ω

β A) 2ω B) 180° − ω C) ω

D) ω2

E) ninguna de las anteriores. 54. En una calle transitan vehículos con distinta cantidad de ruedas. Al contar un día el

número de ruedas que pasaron, éstas fueron 35. Dentro de los vehículos que pasaron estaban 3 carretillas de mano y 8 bicicletas. Si el resto de vehículos que transitaron por esa calle sólo eran de 4 ruedas, entonces la cantidad de estos vehículos es

A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) ninguna de las anteriores.

55. Durante una liquidación, un libro L se vende con un descuento D, que corresponde al

18% del precio de compra. Si la ganancia determinada previamente a la liquidación, corresponde al 30% sobre el precio de compra, entonces el porcentaje real de ganancia por el libro L corresponde al

A) 22% B) 18% C) 16% D) 15% E) 12%

16

56. Si x= -3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 4x = 164

II) 43 · 4x = 1 III) (4-1)x = 64

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) I, II y III

57. La ecuación del eje de simetría de la parábola de ecuación y = -x2 + 6x – 2, es

A) x = 1 B) x = 3 C) x = 6 D) x = -1 E) x = -2

58. En una biblioteca hay p libros, de los cuales q son libros de ciencias básicas, son f libros

de francés y el resto son de inglés. Si un curso de n alumnos retiran todos los libros de inglés, y se reparten entre otros, ¿cuántos libros de inglés le corresponde a cada alumno?

A) (p + f q)

n−

B) n(p f q)p− −

C) (p q f)n

− −

D) (f + q p)n−

E) Ninguna de las anteriores 59. Sean tres circunferencias tangentes exteriormente, de radios 3, 4 y 5 cm,

respectivamente. Entonces, el perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros es

A) 12 cm2 B) 24 cm2 C) 12 cm D) 24 cm E) ninguna de las anteriores.

17

60. ¿Qué número se debe restar de 7 para que el resultado sea 10? A) -17 B) 3 C) 3 D) 17

E) 107

61. En el campo de don Ruperto durante el año nacieron 12 terneros, cuyos pesos en kg al

nacer fueron: 32, 31, 33, 34, 35, 33, 34, 35, 35, 31, 35, 34. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La moda está representada por 35 kg. II) La media aritmética corresponde a 32 kg.

III) La mediana de los datos es 34 kg.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

62. 1 1

x 1 x + 1−

− =

A) 2

1

x 1−

B) 2

-1

1 x−

C) 2

-2

x 1−

D) 2

-2

1 x−

E) ninguna de las anteriores.

18

63. En el cuadrado de la figura 14, P es el punto de intersección de las diagonales y Q es punto medio de CD . Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ABPQ =

2 D Q C

P

A B

fig. 14

II) QAC = 15º

III) PB = QC

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

19


Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.





para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes


Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $2.000.000 más que Q.


En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto :


$ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). D

20

64. Sean x, y, z números naturales, tales que xy = 2 e yz = 6. Se puede determinar los valores de x, y, z si :

(1) x, y, z son números consecutivos.

(2) xz = 3

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. La razón entre las hipotenusas de dos triángulos rectángulos semejantes es 2 : 3. Se

puede determinar el área de cada uno de ellos si:

(1) Se conoce la razón entre sus perímetros.

(2) Se conocen las alturas trazadas a las hipotenusas de ambos triángulos.


66. Dos conjuntos se dicen disjuntos, cuando no tienen elementos comunes. Entonces, se

puede determinar que A y B son disjuntos si :

(1) A = [a, b]

(2) B es el conjunto de los números enteros mayores que a y que son menores que b.


67. A, B y C son tres poblados vecinos. Se puede determinar la distancia entre los poblados

A y B si :

(1) A está a 3 km al norte del pueblo C.

(2) B está a 4 km al este del pueblo C. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

21

68. En un plano, la ventana de una casa mide 23 mm de ancho. Podemos conocer los metros de ancho que tiene la ventana en realidad si :

(1) La escala utilizada en el plano es 1 : 100.

(2) Se conoce la altura real de la ventana.


69. En el triángulo de la figura 15, se puede calcular el valor de x si :

(1) b = 8

b a

x

fig. 15 (2) a = 2b


70. Una máquina fabrica bolas de acero utilizadas en la molienda de minerales, de cada 100

de ellas 2 son defectuosas. La cantidad de bolas buenas diarias fabricadas se puede conocer si:

(1) Diariamente se venden 1.800 bolas de acero.

(2) Se detectan 36 bolas de acero defectuoso diariamente.


22

Curso: Matemática


MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA









≤

>

≥

< ≅

∼

⊥

≠

log

φ

[x]

//

AB

∈

| x|

2

1. 1 0,313

− =

A) 2 B) 1 C) 0 D) 0,2

E) 0,5 2. Doce postes están situados, uno detrás del otro, a una distancia de 5 m entre sí. ¿Cuál

es la distancia del segundo al último poste?

A) 40 m B) 45 m C) 50 m D) 55 m E) 60 m

3. ¿Cuántas bolitas negras se deberán colocar en la caja de la figura 1, para que la relación

entre bolitas blancas y negras sea 2 : 3?

fig. 1 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) ninguno de los valores anteriores

4. 4 -

1 1

2 4⋅

2 =

A) -2 B) -1

C) 1256

D) 1

32

E) 1

3

5. Una máquina expendedora de bebidas utiliza vasos de 160 cc solamente. Dependiendo del valor que se compre, la máquina llena los vasos en un 50%, 70% ó 90%. Si una tarde a la máquina le quedan sólo 5.040 cc, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

I) Alcanza aún para vender 35 vasos al 90% de capacidad. II) Alcanza aún para vender 45 vasos al 70% de capacidad.

III) Alcanza aún para vender 65 vasos al 50% de capacidad.

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

6. Si a : b : c = 3 : 6 : 8 y b = 24, entonces a + c =

A) 11 B) 33 C) 44 D) 66 E) 88

7. En el siguiente gráfico (fig. 2), se indica el número de hijos que poseen 12 matrimonios

de cierta comunidad. Con respecto a este gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Igual cantidad de matrimonios tienen tanto un hijo como tres hijos. II) Cuatro matrimonios tienen un hijo.

III) Dos matrimonios no tienen hijos.

2

1

1 2 Nº de hijos

Nº de matrimonios

4

3

4 3

A) Sólo I B) Sólo II

fig. 2 C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

4

8. A1, A2, A3, ..., An se construyen de la siguiente forma: A1 = 1, A2 = 1 + 2, A3 = 1 + 2 + 3; An = 1 + 2 + 3 + ... n. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) A5 = A1 + A4 II) A50 – A49 = 50

III) Si A100 = 5.050, entonces A101 = 5.151

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

9. En la tabla adjunta, A es inversamente proporcional a B2. Según los datos registrados, el

valor de nm

, es

A B 4 5

A) 500 14

B) 80 m C) 20 D) 5 1

10 n

E) 52

10. ¿Qué número dividido por 164

da como resultado 8?

A) 164

B) 18

C) 1 D) 8 E) 64

11. Si 4x – 1 = a, entonces x4 =

A) 2 a B) 4 a C) a + 4

D) a4

E) a2

5

12. La diferencia de dos números enteros es 2n. Si al menor se le suma n, ¿cuánto hay que restarle al mayor para que ambos números sean iguales?

A) 0 B) n C) 2n D) 3n E) -n

13. Una canasta con huevos contiene un tercio más de huevos que una segunda canasta. Si

esta última contiene 3 huevos menos que la primera, ¿cuántos huevos contiene la primera canasta?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

14. El conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión 2

(x 5)(x 6)

x 49

− −

− no

está definida es

A) {7} B) {5, 6} C) {-7} D) {5, 6, -7, 7} E) {-7, 7}

15. Dado el sistema 2x y = 8x + y = 4

−, el valor de (x – y) es

A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) 5

6

16. Si a b = a2 – 3b, entonces (2 1) + (4 2) =

A) 3 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14

17. Doña María fue de compras a la feria con $ (s + t). Si gastó $ s en frutas y pagó las

verduras con un billete de $ t recibiendo $ m de vuelto, ¿con cuántos pesos quedó doña María?

A) m B) m – t C) t – m D) s + t – m E) m – s – t

18. Si a + b = 5 c + a = 7b + c = 6

, entonces a b c

+ + 2 2 2

=

A) 18 B) 9 C) 4,5 D) 3 E) 2

19. Si en la expresión p2 – 3, p aumenta o disminuye en una cantidad positiva c, entonces la

expresión varía en una cantidad igual a

A) (p – c)2 – 3 B) 2pc ± c2 C) ± c2 – 3 D) (p + c)2 – 3 E) ± 2pc + c2

7

20. Si 5x – 7 < 8x + 4, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?

A) x < -113

B) x > -113

C) x < 113

D) x > 113

E) x > -3311

21. Si log a – log b + log c = 1, entonces la relación entre a, b y c es

A) ac = b B) a = bc C) ac = 10b D) a = 10bc E) bc = 10a

22. 0,0064 =

A) 0,08 B) 0,032 C) 0,008 D) 0,0032 E) 0,0008

23. Si x2 – 9 > 0, entonces 22( x 9 3)− − =

A) x2 B) x2 – 27 C) x2 – 3x + 9

D) x2 – 3 2x 9−

E) x2 – 6 2x 9−

8

24. En la ecuación exponencial 3x · 5 + 32x = 3x + 2 + 45, el valor de 3x es

A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 27

25. La recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (3, 9), intersecta al eje de las abscisas en el

punto (P, 0). ¿Cuál es el valor de P?

A) 3 B) 2

C) 25

D) -23

E) -32

26. Dada la función f(x) = x x 6

x− −

, entonces f(-3) =

A) 4 B) 3 C) 2 D) -2 E) -3

27. La función f(x) = │x│ + 2 está representada en

A) B) C)

D) E)

y

x

2

y

x 2

y y

x -2

x -2

y

x 2

9

28. Si a > 0, entonces el valor mínimo de la función f(x) = ax2 + bx + c está dado por

A) -ba

B) -b2a

C) b2 – 4ac

D) 2b ac

4a−

E) 24ac b

4a−

29. Si f(x) = 5x + x2 – x3, entonces f(-1) =

A) 3 B) -3 C) -5 D) -7 E) -10

30. Respecto a la función cuadrática f(x) = 6x2 + 7x + 2, ¿cuál(es) de las expresiones

siguientes es (son) verdadera(s)?

I) Las ramas de la parábola se abren hacia abajo.

II) Su eje de simetría es x = -712

.

III) Su vértice es -7 -1,

12 24⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

31. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la parábola asociada a la función f(x) = x2 – 4x?

I) Intersecta al eje x en el punto (4, 0).

II) Intersecta al eje y en el punto (0, 0). III) Intersecta al eje y en el punto (0, 4).

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

10

32. Si los puntos (3, m) y (p, 3) pertenecen a una recta de pendiente igual a 2, entonces m en términos de p es igual a

A) 2p – 3 B) 9 – 2p

C) p 32−

D) 2p 32−

E) 9 p2−

33. De acuerdo al gráfico de la figura 3, el valor de la pendiente de la recta L es

A) 32

B) 2

C) -32

D) -23

E) 3 34. Si 2x + 3 + 2x + 1 = 10, entonces 2x =

A) 10 B) 2 C) 1 D) 0 E) ninguno de los valores anteriores

35. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación (x-1 – 4)(x-1 + 2) = 0?

A) {-4, 2} B) {-2, 4} C) {2, 4} D) {0, 8}

E) 1 1- ,

2 4⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

fig. 3

y L

3

x 2

11

36. Si 2 y -3 son las raíces (soluciones) de una ecuación de segundo grado, entonces la ecuación podría ser

A) x2 + x – 6 = 0 B) x2 – x – 6 = 0 C) x2 – x + 6 = 0 D) x2 + x + 6 = 0 E) x2 – 6x = 0

37. En un rectángulo de perímetro P, el largo es el doble del ancho. ¿Cuál es el área del

rectángulo en términos de P?

A) 2P2

B) 2P2

C) 2P9

D) 2P

18

E) 2P

72

38. Si en el triángulo ABC (fig. 4), DE no es paralelo con AC , entonces ¿cuál de las

siguientes relaciones es siempre verdadera? C fig. 4 γ

A) α + δ = β + γ E B) α + δ = β – γ δ C) α – β = β + δ

β α D) α + β = γ + δ E) α – δ = β – γ A B D

39. En el octógono regular de la figura 5, para que el vértice A ocupe el lugar del vértice F,

se debe realizar una rotación, en sentido horario, con centro en O de

A) 225º C B B) 180º C) 145º D) 135º E) 90º

A D

E

F G

H

y

x

fig. 5

O

12

40. Las coordenadas del punto P son (5, -8). Si P’ es el punto simétrico de P respecto al eje de las ordenadas, ¿cuáles son las coordenadas de P’?

A) (-5, 8) B) (5, 8) C) (-5, -8) D) (-8, 5) E) (-8, -5)

41. En la circunferencia de centro O (fig. 6). CD // AB , CA = x + 20º y DC = 3x + 40º. ¿Cuánto mide α?

E

3x + 40º x + 20º C

D

B

A

α

O

A) 10º B) 20º C) 40º D) 45º fig. 6 E) 80º

42. ¿Cuál es el área de un rombo formado por dos triángulos equiláteros de lado 2?

A) 3 B) 2 3 C) 4 3 D) 2 2 E) 4 2

43. En el triángulo ABC (fig. 7) ⊥AE BC y ⊥BD AC . ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

E

C

F

fig. 7I) ΔAEC ∼ ΔBDC II) ΔAED ∼ ΔBDE

III) ΔABF ∼ ΔDEF

D A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II

A B D) Sólo I y III E) I, II y III

13

44. En la figura 8, si ΔAPC ≅ ΔBPD, entonces ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) AC ≅ BD

P fig. 8

A

C B

D

II) PCA ≅ PDB

III) P es punto medio de AB .

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

45. El cubo de la figura 9, tiene 3 de sus vértices ubicados en los ejes coordenados y

es tangente a los planos xy, yz y xz, y su arista mide 5 cm. ¿Cuáles son las coordenadas del punto M?

Z

Y

fig. 9

X

M

A) (0 , 5 , 5) B) (5 , 5 , 5) C) (0 , 0 , 5) D) (5 , 5 , 0) E) (5 , 0 , 0)

46. En el semicírculo de centro O (fig. 10), AE // OC , OEA = 70º, ODE = nº y

CDO = nº + 1º. ¿Cuál es la medida del DOC?

O A B

C D

E fig. 10

A) 73º B) 72º C) 54,5º D) 36º E) 34º

47. En la figura 11, se ubica el punto P(a, b) con a ≠ b. ¿En cuál(es) de los siguientes pares

ordenados debe situarse el punto Q para que el triángulo OPQ no tenga eje de simetría?

I) (0, b) II) (-a, b)

III) (a, -b)

A) En sólo I B) En sólo III C) En sólo I y II D) En sólo II y III E) En I, II y III

x

y P(a, b)

fig. 11 O

14

48. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una simetría de la figura 12, respecto de la recta L?

L L

fig. 12

A) B) C) L

D) E)

49. El triángulo ABC de la figura 13, es equilátero. ¿Cuál es el valor de sen DCA?

A) 3

B) 32

C) 1

3

D) 12

E) 22

50. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras geométricas cumple(n) con las dos siguientes

condiciones?

− Tener al menos un eje de simetría. − Tener centro de simetría.

I) Rombo.

II) Trapecio isósceles. III) Deltoide (trapezoide simétrico).

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

L L

L L

L L L

A B D

C

fig. 13

15

51. En la figura 14, L1 // L2 y los trazos AD y BC se intersectan en E. Si AE = 4 y ED = 2, entonces ¿cuál es la razón entre el área del ΔABE y el área del ΔDCE, respectivamente?

C D

E

A B

fig. 14

L1

L2

A) 1 : 2 B) 2 : 1 C) 9 : 1 D) 1 : 4 E) 4 : 1

52. En la figura 15, ABCD es un rombo. ABD = 30º, DC // EF , BE = ED = a y DB BF⊥ .

¿Cuál es el perímetro del triángulo BFE?

E

B

D

A C

F

fig. 15 A) 3a + a 3 B) 2a + a 3 C) a + a 3 D) a 3 E) 2a

53. Un técnico que está reparando una línea telefónica, observa desde lo alto de un poste al

carrete con cable que se encuentra en el suelo, con un ángulo de depresión de 35º. Si desde donde observa el hombre al suelo, hay 2,5 metros, ¿a qué distancia está el carrete del poste?

A) cos 352,5

°

B) 2,5tan 35°

C) 2,5 · tan 35º D) 2,5 · sen 35º E) 2,5 · cos 35º

54. En un rectángulo el largo es el doble de su ancho. Si el largo se disminuye a la mitad y

su ancho se aumenta en un 50%, entonces el área

A) disminuye en un 25% B) aumenta en un 25% C) disminuye en un 50% D) aumenta en un 50% E) no varía

16

55. En la circunferencia de centro O (fig. 16), OT PQ⊥ , y PQ = 12 cm. Si el radio de la

circunferencia mide 10 cm, entonces sen QPO =

O P

T

Q

fig. 16

A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1,0

E) 22

56. Se lanzó una moneda al aire cuatro veces, obteniéndose cara, sello, cara y sello,

respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad que en un quinto lanzamiento se obtenga cara?

A) 0% B) 20% C) 25% D) 50% E) 100%

57. Al lanzar un dado no cargado, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)

falsa(s)?

I) Que salga un número primo es equiprobable a que salga un número par. II) Que salga un número par no es equiprobable a que salga un número

impar. III) Que salga un número compuesto es equiprobable a que salga un número

múltiplo de tres.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

17

58. Un refrigerador contiene 4 coca colas y 2 fantas; otro contiene 3 coca colas y 5 fantas. Si se saca, sin mirar, una bebida de cada refrigerador, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean fantas?

A) 524

B) 124

C) 714

D) 14

E) 110

59. En un curso hay 20 hombres y 15 mujeres. Si 6 hombres y 4 mujeres son zurdos, ¿cuál

es la probabilidad de que al elegir uno de ellos, éste sea hombre sabiendo que no es zurdo?

A) 410

B) 610

C) 710

D) 1435

E) 1425

60. Respecto de los siguientes datos 7, 8, 3, 10 y 2, se puede afirmar que:

I) El promedio es 6.

II) La mediana es 7. III) La moda es 10.

De las afirmaciones anteriores son verdaderas

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) Todas ellas E) Ninguna de ellas

18

61. Si la mediana de 5 enteros pares consecutivos es 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La media aritmética de los 5 números es 0. II) La suma de los 5 números es 0.

III) El mayor de los 5 números, menos el menor es igual a 0.

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

62. El promedio (media aritmética) de 5 números es N. Si el promedio de dos de ellos es N2

,

¿cuál es el promedio de los otros tres?

A) N3

B) 34

N

C) 43

N

D) N 34−

E) N 4

3−

63. En un gráfico circular, la medida de un ángulo central de una variable de frecuencia

relativa igual a 0,35 es

A) 35º B) 63º C) 108º D) 126º E) 234º

19


Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.





para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes


Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.


En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P : Q = 3 : 2, luego

(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $ 10.000.000 : Q = 5 : 2

Q = $ 4.000.000 Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). D

20

64. Se puede determinar en qué razón están las cantidades a y b si :

(1) a es el 25% de b.

(2) a + b = 15


65. Se reparte una cantidad x de dinero entre tres personas A, B y C. Se puede determinar

la razón entre el dinero que recibió C y el total del dinero si :

(1) Entre A y B recibieron el 45% del dinero.

(2) C recibió un 2229

% más de lo obtenido por A y B juntas.


66. Sean a y b números enteros. Entonces, a + b = 4 si :

(1) (a + b)2 = 16

(2) a = b = 2


67. Se puede determinar cuánto vale A si :

(1) A : B = 2 : 5

(2) El exceso de B sobre A es 9.


21

68. En la figura 17, ABCD es un rombo. Se puede conocer la razón entre el área del cuadrilátero PQRS y el rombo si :

(1) P, Q, R y S son puntos medios de los lados del rombo.

A C

B

D

P Q

S R

fig. 17

(2) Se conoce el área del cuadrilátero PQRS.


69. En la figura 18, se puede asegurar que P es centro de la circunferencia si se sabe que :

(1) MPN = MN

fig. 18

A

M

P N

B

(2) ΔAPB es isósceles.


70. En la figura 19, C1, C2 y C3 son circunferencias tangentes en P. Se puede determinar el

área de la superficie achurada si :

(1) Se conocen los radios C1 y C3.

C1

C3

C2

fig. 19

P

(2) Se conoce el perímetro de C2.


22

catedras - 2009

Documents