Limite casos e indeterminaciones

limite

a) limx→−5

x2−25x2+8 x+15

Cuadrática respuesta: (x-x1). (x-x2) cambiar el signo a las raíces , reemplazar y simplificar

b) limx→ 1

3

4 x−3 x2

4−3. x limx→3

4 x−12x−3

Factor común de letras o númerosx.(4-3x)4.(x-3)

Reemplazar simplificar

c) limx→2

x5−32x−2

Mas de 2 en el exponente ruffini dividir por la base ej :

x5−32=x5−25

Entonces divido con x-2 ruffini cambia el signo

es decir 2

a) limx→3

x3+ x2−17 x+15x3+3 x2−25 x+21

Mas de 2 en el exponente ruffini dividir por el valor del limite con signo opuesto : x-3

limx→0

x1−√x+1

Racionalizarx

1−√ x+1.1−√x+11−√x+1

Solo distributiva donde estén las raíces similares

limx→∞

x3+x2+31+3 x2

Dividir cada termino por la mayor variable y simplificar

limx→∞

x3

x3 +x2

x3 +3x3

1

x3+ 3 x2

x3

Formulas

limx→0

(1+ x )1x=e lim

x→∞ (1+ 1x )

x

=e

limx→0

tan xx

=1 limx→0

sen xx

=1

limx→∞

x√ x

Derivada

Se llama derivada de una función y = F(x) en el punto x, al límite del cociente incremental:

lim∆ x→0

∆ y∆ x= lim

∆ x→ 0

f ( x+∆ x )−f (x )∆ x

Reglas de derivada o tabla de derivada

Función Derivada EjemplosF(x) F’(x) F(x) F’(x)

K 0 3 0X 1 x 1xn n.xn-1 X3 3.x3-1=3.x2

n√ x=x1n 1

n. x

1n−1 3√ x=x

13 1

3. x

13−1

=13x

23

ex ex ex+1 ex+1

ax ax . ln a 2x 2x . ln 2ln x 1

xln (x+3) 1

x+3log a x 1

x . ln alog 2(x+2) 1

(x+2). ln 2

Sen x Cos x Sen (x+3) Cos (x+3)Cos x -sen x Cos(x+5) -sen (x+5)tg x Sec2 x tg (x+3) Sec2 (x+3)

arcsen x 1

√1−x2arcsen (x+4) 1

√1−(x+4)2

arccos x −1

√1−x2arccos (x+7) −1

√1−¿¿¿

arctg x 1

1+ x2arctg (x+3) 1

1+(x+3)2

Func

ione

s Co

mpu

esta

s

(uv)

(u v)’ x3+senx 3. x3−1+cos x=3.x2+cos x

u.v u’.v+u.v’ x4 .cos (x+1) 4. x4−1 .cos ( x+1 )+ x4 .−sen (x+1)4. x3 .cos (x+1 )−x4 . sen (x+1)

uv

u' . v−u . v 'v2

3x

tg ( x+1 )3x ln 3 .tg ( x+1 )−ax . sec2 ( x+1 )

[ tg ( x+1 ) ]2¿

Regla de

cadena

F(u) F’(u).u’ 3x2+senx

u=x2+senxf (u )=¿3u

F’(u)=3u . ln 3=3x2+senx . ln3

u '=2.x2−1+cosx=2.x+cosxF’(u).u’=(3x

2+senx . ln3¿.(2.x+cosx)

Superpicie y volumen

TEMA: SUCESIONES Y SERIES

Actividad Nº 1: Resolver las siguientes situaciones:

1) Juan Pablo recibió un correo electrónico en él se le indicaba iniciar una campaña de conservación ecológica enviando ese correo a otras personas. En el término de la semana en que ocurrió ese hecho, Juan Pablo había enviado el mensaje a 4 personas. Una semana después cada una de esas personas distribuyo el correo a 4 personas más dos semanas más tarde, los nuevos elegidos enviaron el correo a cuatro personas más.a) ¿Cuántas personas enviaron correo seis semanas después que Juan Pablo?b) Determina el término general la sucesión y la serie correspondiente.

2) Toma un folio; sus dimensiones son, aproximadamente, 30 cm. de largo 20 cm. de ancho y 0,1 Mm. de espesor. ¿Calcula su área? Doblado por la mitad su espesor (e ) es: e = 0, 1 . 2= 0,2

Si lo doblamos por segunda vez la mitad e = 0, 1 . 4= 0,2

a) Si hubiéramos podido doblar la hoja 50 veces con cuál de las siguientes dimensiones crees que sería comparable el espesor obtenidoGrosor de una guía telefónica (60mm aproximadamente)

Altura de una habitación (32 m aproximadamente)

Altura de la torre Eiffel (320 m aproximadamente)

Altura del Monte Everest (8880 m aproximadamente)

Distancia de la tierra a la luna (350 000 Km. aproximadamente)

Distancia de la tierra al sol (144000000 Km. aproximadamente)

b) Determina el término general la sucesión y la serie correspondiente.

3) El alquiler de una bicicleta cuesta $5 la primera hora y $2 más cada nueva hora. ¿Cual es el precio total de alquiler de 2, 3,4…n horas?

4) En un rascacielos el primer piso se encuentra a 7,40 m de altura y la distancia entre cada dos pisos consecutivos es 3,80 m ¿a qué altura están los pisos 2º ,3º,4º,…n-ésimo?

5) Sol diseño el siguiente patrón para armar pulseras con perlas colocó una perla dorada y la rodeo con seis perlas blancas como índica el dibujo.a) ¿Calculen cuántas perlas tendrá que colocar si pone 20 perlas doradas?b) Determina el término general la sucesión y la serie correspondiente.

6) Depositamos $100 en un banco que da unos intereses anuales del 10%. Al cabo de 5 años vamos a recoger los intereses ¿En cuánto se han convertido en $10000?

7) Un automóvil costo $ 170000 al cabo de unos años se vendió a la ¾ partes de su precio. Pasado unos años volvió a vender se a las 3/4 y así sucesivamente.

a) ¿Cuánto les costo el auto al quinto dueño?b) ¿Cuál es la sucesión y cuál es la serie?

8) Averigua cuántos palos y cuántas bolas son necesarios para hacer una estructura como la de la figura A, pero de n pisos.¿Y para la figura B?

9) Una rana da saltos en línea recta hacia adelante, y cada vez salta los 2/3 del salto anterior. Quiere atravesar una charca circular de 5 m de radio, y el primer salto es de 2 m.¿Llegará al centro de la charca? ¿Llegará al otro lado de la charca siguiendo el diámetro?

10) En el año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Halley lo descubrió.a) ¿En qué año fue descubierto?

b) ¿Cuándo será visto en el siglo XXI?

11) El 1 de enero de 2005 un banco me concedió un préstamo de $ 2000 a pagar en 8 años del siguiente modo:A partir del año siguiente: 2006, durante 8 años, el 1 de enero de cada año tendría que pagar dos cantidades:

a)Amortización de capital :

18 Del capital prestado;

b)Los intereses anuales del capital que aun no habían sido devueltos, cobrados al 12%

Otra entidad bancaria me concedió un préstamo de $ 1 000 también el primero de enero de 2005, a pagar del siguiente modo:

36 mensualidades de $34 ,665 pagaderas el día 1 de cada mes desde febrero de 2005, a enero de 2008.

En el banco me dijeron que me estaban cobrando unos intereses del 15% anual.

Actividad Nº 2: Resolver las siguientes situaciones:

1) Escribe los seis primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) Cada término se obtiene sumando 3 al anterior. El primero es –8.

¿Qué cantidad debo pagar cada año para amortizar el primer préstamo ¿Qué cantidad total tendré que pagar ?

¿Es verdad que el segundo banco me está cobrando unos intereses del 15%?

b) El primer término es 16. Los demás se obtienen multiplicando el anterior por 0,5.

c) El primer término es 36, el segundo, 12 y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores.

d) El primero es 2. Cada uno de los siguientes se obtiene invirtiendo el anterior.

2) Escribe los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

3) Escribe los términos a10 , a25 y a100 de las siguientes sucesiones:

a) Identificar el tipo de Serie al que pertenece cada una de las sucesiones del práctico.b) Encontrar término general de la serie que forma cada sucesión del práctico.

4) Escribe los 2 términos siguientes en cada conjunto ordenado e induce los términos generales.

5) Representa los 4 primeros términos en la recta numérica

6) Clasifica las siguientes sucesiones como crecientes, decrecientes o alternantes

7) Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

Entre ellas hay una progresión aritmética y otra geométrica. ¿Cuáles son?

8) De las sucesiones siguientes indica cuales son progresiones aritméticas:

a) an=2n b) bn=4n−2 c) cn=

1n d) dn=5n−7

9) Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de estos tipos. Obtén el término general de cada una:

10) Escribe el término general de una progresión aritmética en la que a1 = 7 y a4 = 40.

11) En una progresión aritmética, a8 = 4 y la diferencia es –5. Calcula el primer término y la suma de los veinticinco primeros términos.

12) En una progresión geométrica, a1 = 64 y r = 0,25.

a) Calcula el primer término no entero.b) Expresa, de forma indicada, a25.

13) En una progresión geométrica, a1 = 1 000 y a4 = 8. Calcula la suma de los cinco primeros términos.

14) Comprueba si esta sucesión es una progresión aritmética o geométrica y escribe los tres términos siguientes: 8; 12; 18; 27; 40,5; …

TEMA: LIMITE DE SUCESIÓNES

1) Dibuja las siguientes vecindades o entornos.

2) Para cada una de las siguientes sucesiones, halla la vecindad de radio conveniente en ls que estén todos los términos de la sucesión.

3) Analiza las siguientes sucesiones para determinar cuales de ellas son convergentes en tales casos determina cada limite

4) Calcula el límite de las siguientes sucesiones

5) Clasifica si las siguientes sucesiones son crecientes y decrecientes. En cada caso calcula el límite si existe.

TEMA: LIMITE DE FUNCIONES

1. Calcula los limites de las siguientes funciones polinómicas en el punto dado.

2. Calcula el límite de los siguientes productos.

3. Aplica el límite del cociente de dos funciones y calcula.

4. Halla los siguientes limites

5.

6. Evalúa los siguientes límites.

7. Calcula los siguientes límites.

8. Calcula el límite de las siguientes funciones trigonométricas.

9. Halla los limites siguientes

10. Asigna el valor de verdad a cada preposición y justifica tu respuesta

11. Utiliza la grafica y determina el valor del límite en el punto indicado.

12. Di el límite cuando x →+∞de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:

13. Sobre la gráfica de la función f (x), halla:

14. Resolver los siguientes límites por definición. Salvando las indeterminaciones y calculando los límites especiales.

a) limx→0

sen x4 x

b) limx→0

tan xx

=¿

c) limx→0

sen2 xx

e) limx→0

tan x−sen xx3

f) limx→0

cos x . tanxx

g) limx→0

2.¿¿¿

h) limx→0

sen(x−2)x−2

a) limx→0 (1+ 1

x )2x

b) limx→0

(1+4 x )1

7x

c) limx→∞ (1+ 1

3 x+5 )2 x−3

d) limx→∞ (1+ 7

x )2 x

e) limx→∞

x+2√2 x+4

f) limx→∞

2x +1√4 x−2

15. Calcular el límite de las funciones trigonométricas (considerando las identidades)

16. Calcular los siguientes limites notables

a) limx→−1

x3+3 x+22 x3−2 x2−10 x−6

b) limx→3

x3+ x2−17 x+15x3+3 x2−25 x+21

c) limx→−4

x3−13 x+12x3+6 x2−7 x−60

d) limx→−5

x2−25x2+8 x+15

e) limx→6

x2−8x+12x2−9 x+18

f) limx→−5

x2+12 x+35x2+17 x+70

g) limx→5

x2−25x−5

h) limx→ 11

x−11

x2−121

i) limx→−6

x2−36x+6

j) limx→∞

4 x−3x2+x4

x4+8 x+1

k) limx→0

x1−√x+1

l) limx→√3

x2−3

2−√x2+1

m) limx→ 4

4−x2

x−√4

o) limx→∞

4 x−3x5+x4

x5+8 x+1

p) limx→∞

4 x−3x2+x3

x4+8 x+1

q) limx→∞

4 x5−3 x3+x4

x2+8x+1

r) limx→1

4 x−3 x2

x−1

s) limx→2

4 x−8x−2

t) limx→−2

4 x−7x+2

u) limx→2

4 x−8x+2

v) limx→3

4 x2−8x−2

w) f ( x )=x+1 g ( x )=x2−2x−3

1. limx→−1

f (x )2

2. limx→−1

2.g (x)

3. limx→−1

f ( x ) . g(x )

4. limx→∞

f (x )g (x)

Limite1. Resolver los siguientes límites por definición. Salvando las indeterminaciones y calculando los límites

especiales.

a) limx→−1

x3+3 x+12 x3−2 x2−10 x−6

b) limx→−1

3 x3+ x2−17x+152 x3+3 x2−25x+21

c) limx→−4

x3−13 x+12x3+6 x2−7 x−60d) lim

x→−3

x2−25x2+8 x+15e) lim

x→6

x2−7 x+12x2−9 x+18f) lim

x→−5

x2+12 x+35x2+7 x+10g)lim

x→5

x2−25x−5h) lim

x→10

x−10

x2−100i) limx→−8

x2−64x+8j) lim

x→∞

4 x−3x2+x4

x4+8 x+1k) limx→0

x

1−√x+1l) limx→√3

x2−3

2−√x2+1

m) limx→3

9−x2

x−√9n) limx→∞

4 x−3x2+2x2+8 x+1

o) limx→∞

4 x−3x5+x4

x5+8 x+1

p) limx→∞

4 x−3x2+x3

x4+8 x+1

q) limx→∞

4 x5−3 x3+x4

x2+8 x5+1

r) limx→3

4 x−12x−3

s) limx→2

4 x−8x−2

t) limx→−2

4 x−7x+2

u) limx→2

x−810 x−20

v) limx→2

4 x2−8 xx−2

2. Calcular el límite de las funciones trigonométricas (considerando las identidades)

a) limx→0

sen x

4 x2

b) limx→0

tan x . cosxx

=¿

c) limx→0

sen2 xx2

d) limx→0

tan x−sen xx3

e) limx→0

cos x . tan2 xx

f) limx→2

sen2(x−2)x−2

3. Calcular los siguientes limites notables

a) limx→0 (1+ 4

x )2x

b) limx→0

(1+4 x )1

7x

c) limx→∞ (1+ 3

3 x+5 )2 x−3

d) limx→0 (1+ 7

x )2x

e) limx→∞

x+2√2 x+4

f) limx→∞

2x +1√4 x−2

g) limx→∞

x√2x . x2

h) limx→∞

x+1√2 x+2

Derivada

1. Resolver las siguientes derivadas por definición

a) f ( x )=x+3

b) f ( x )=x2−3 x

c) f ( x )=x3−5x2

d) f ( x )=x3−8

e) f ( x )=x2−5

f) f ( x )=x3+2 x

2. Resolver las siguientes derivadas empleando reglas de derivada.

a) f ( x )=x+2. x+3

b) f ( x )=10 x+4.x2+2+1x+2

c) f ( x )=20x+ 3√ x+ 2x−9

d) f ( x )=x3+lnxe) f ( x )=3 x4−2x−2

f) f ( x )=2x−log4(x+5¿)¿

g) f ( x )= 4x+3

+sec (x+2)

h) f ( x )=sen3 ( x+5 )+( x+1)4

i) f ( x )=sen ( x+3 )+√ x+8

j) f ( x )=cos3 ( x+2 )+ex

k) f ( x )=x .(3+3 x2)

l) f ( x )=1x+ 1

x2+ 1

√ xm) f ( x )=tgπ+e x+ 4√ x+2

n) f ( x )=4 . x7+6. sen ( x+2 )+log 8

o) f ( x )=3. x4+arcsen(x+2)p) f ( x )=sec ( x−4 )+ 5√ xq) f ( x )=9x2−3 x

r) f ( x )=5x+2+ ln (x+6 )s) f ( x )=senx . tg xt) f ( x )=x2 . ln ( x+1 )u) f ( x )=x2 .3x

v) f ( x )=cos ( x+3 ) . 1x

w) f ( x )= ln ( x+8 )x2

x) f ( x )=log4(x+2)cos (x−6)

y) f ( x )= e x+3

log2 x

z) f ( x )=

1x+7

tg(x−9)

3. Resolver las siguientes derivadas empleando regla de cadena.

a) f ( x )=ln (x3 )b) f ( x )=log4 ( sen x )

c) f ( x )=tg( 1x )

d) f ( x )=sen3(2x−3)e) f ( x )= 3√1+x2

f) f ( x )= (lnx )x2

g) f ( x )= (senx )cosx

h) f ( x )=( 7x+2 )

3x

i) f ( x )=2. sen(x2−6 x )

j) f ( x )= 2tgx

k) f ( x )= [cos (x+1)]ln x

l) f ( x )=cos ¿m) f ( x )= 4√tg ( x+2 )

n) f ( x )=sen2[( 2x )

tgx]o) f ( x )=arcsen¿p) f ( x )=tg [ ln ( x+3 ) ]+[ sen(x−9)]lnx

q) f ( x )=cos (x3+2x )+arctg (lnx )

r) f ( x )=(arcsen x )x2

.1senx

s) f ( x )=tg¿

t) f ( x )= (2. senx )log2x . (cosx )x2

u) f ( x )=sen x6 . ln (√ x)

v) f ( x )=(lnx ) x

2

tg( 3√ x)

w) f ( x )=3√senx

arcsec (lnx)

4. Analizar las siguientes situaciones y resolverlas.a) El saldo, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo viene dado por la función:

Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue máximo.

b) Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: 3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. Halla la tasa de variación media del rendimiento R(t) entre t = 2 y t = 4.

c) Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R ( x )=−0,001 x2+0,4+3,5 Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan. ¿Qué rentabilidad se obtendrá?

d)

e)

f)

g)

5. Resolver las siguientes derivadas empleando regla de cadena.

a) f ( x )=sen (x3 )b) f ( x )=lo g4 (cos3√x5 )c) f ( x )=tg¿d) f ( x )=sen3(2x5−3)e) f ( x )= 3√4 x+ x2f) f ( x )= (lnx )

3√x2

g) f ( x )=ln [sen (8 x2)]cosx

h) f ( x )=( 7x+2 )

8x

i) f ( x )=2.arcsen (x4−6x5)

j) f ( x )=log4(cosx )tg (8 x3)k) f ( x )=arcsen [cos (lnx)]❑l) f ( x )=cos [tg ( x−9 )]senxm) f ( x )= 4√arctg (8 x2+12 )

n) f ( x )=sen3[( 2x )

tgx]

o) f ( x )=arcsen(x4)p) f ( x )=tg [ ln ( 3x2 ) ]+ [sen( x−9)]arctag(lnx)q) f ( x )=cos (x3+2x )+arcos ( 5√ x7 )r) f ( x )=[arcsen(tgx)]x2

.1senxs) f ( x )=tg¿t) f ( x )= (2.cosx )log2¿ ¿¿u) f ( x )=actg x6 . log3(

6√ x5)

v) f ( x )=(lnx ) x

2

tg( 3√ x)

w) f ( x )=3√ [sen (lnx)]5

arcsec ( log5 x )

x) f ( x )=

1sen ( x+2 )

ln (2x )y) f ( x )=log4(arcsenx) . ( tgx )12x

z) f ( x )=cos [ ln (e x)]2 . sen [ln ( 3√ x)]

6. Resolver los problemas

Problema 1 La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instanteProblema 2. Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer año viene dado por la función v(t)=t2-6t+10.Explique razonadamente en qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso.Problema 1En 1980  se fundó una asociación ecologista. Se sabe que el número de sus miembros ha variado con los años de acuerdo con la función. N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2)a) Cuántos fueron los socios fundadores?

7. Analizar las siguientes funciones: en todos sus aspectos.

a) f ( x )= x

( x−2 )2

b) f ( x )=x+ 1x

c) f ( x )=3+ x3

d) f ( x )=3 x2+2 x+2e) f ( x )=3+2x3+6 x2

f) f ( x )= x3

x2−1

g) f ( x )= x−12 x+1

h) f ( x )= x

( x−2 )2

i) f ( x )= 3

x2+ x

j) f ( x ) =x-12x+1

k) f ( x )= x

( x−2 )2

l) f ( x )=x+ 1x

m) f ( x )=2+3x2−x3

n) f ( x ) x2−2 x+2x−1

o) f ( x )= x23

x+2p) f ( x )=x+senxq) f ( x )=x .√8−x2

r) f ( x )= x2

√ x2−1

s) y=5 x2/5−2x

t)y= x+1

x−5 u) y= x2−3

x−2

v) y=|x2−1|

w)

x)

8. Hallar los puntos críticos de las funciones

a) f ( x )=( x+1 )2

b) f ( x )=−2 x2−3 x+1

c) f ( x )=( x+1 )3+1

d) f ( x )=( 12x−1)

3

−8

e) f ( x )=13x

3

+52x2+6 x+4

f) f ( x )=13x

3

−52x2+6−6

g) f ( x )=x4−2x2

h) f ( x )=−13x

4

+2 x2

i) f ( x )=sin x

j) f ( x )=cos (2 x+π )

k) f ( x )=ln (2 x2+1)

l) f ( x )=ln (x2+2x+3)

m) f ( x )=12

(e )x2−2x

n) f ( x )=(e )ln ( x2+1)

o) f ( x )=cos2(12x+ π

2 )p) f ( x )=(e)ln [ sen2( x )]

q) f ( x )=(2 )log2x2

9. Analizar las siguientes situaciones y resolverlas.

a)Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros ¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?

b)La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia

c) La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300*Determinar las cotizaciones máximas y mínimas,

d)En el mercado el precio de un artículo, en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función:

*¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo en t= 8?e) Se quiere cercar un terreno rectangular, situado junto a una carretera. Si la valla que está junto a la carretera cuesta a 2400 ptas. por metro y la del resto a 1200 ptas. , hallar el área del mayor campo que se puede cercar con un presupuesto de 432000 ptas.

f) De todos los rectángulos isósceles de 30 cm de perímetro, ¿cuál es el de área máxima?

g)Hallar el radio y la altura del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una superficie esférica de 24 cm. de radio.

5t2+8 si 00≤x≤7

8/12.t3+2t2+26 si 7≤x≤16

h)Un jardinero tiene que hacer un jardín con forma de sector circular de 120 m de perímetro. ¿Qué radio le debe dar para que su superficie sea máxima?

i) Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

j) Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

k) Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el

guardafaros puede remar a , y puede cambiar a , dónde debe desembarcar en la costa,  para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?l) Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?.

m) Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

n)Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.

o)Una ventana tiene la forma de semicírculo montada sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparente, mientras que el semicírculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de área transparente. El perímetro total (exterior) de la ventana es fijo. Hallar las proporciones de la ventana que proporcionan la mayor cantidad de luz.

p)Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3.600 libros a dos bibliotecas, A y B. Sus instrucciones son que los lotes se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A, por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B, sea máximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada biblioteca.

q)Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?

r) Si se quiere hacer una caja rectangular abierta con una cartulina de 8 por 15 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados congruentes y doblando hacia arriba los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que se puede hacer de esta manera con el mayor volumen, y cuál es ese volumen?

s) Una parcela rectangular en una granja tendrá límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una cerca eléctrica con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800 metros de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?

Tema: Estadística descriptiva

Para realizar una investigación estadística debemos tener los siguientes pasos:

Definir el objetivo del estudio y las hipótesis de trabajo. Definir cual es la población objeto de estudio y cual o cuales serán las características de los individuos de la población Recolectar la información pertinente. Organizar y clasificar los datos. Procesar e interpretar Evaluar las hipótesis sobre la base de los resultados del análisis de los datos Sacar conclusión

Para seguir estos pasos debemos conocer los siguientes conceptos básicos:

Población: es el conjunto infinito o finito de todos los individuos, objetos u observaciones motivo de estudio. Que comparten una característica en común.

Muestra. Es un subconjunto de elementos representativos de la población, que se ha seleccionado para el análisis tamaño se denota con: “n”

Unidad estadística: es el elemento u objeto indivisible de la población que será analizado

Variable es una característica presente en todas las unidades estadísticas, que varia de un elemento a otro en la población o en la muestra.

Generalmente los datos obtenidos, mediante los diferentes métodos enumerados no se pueden analizar o interpretar en la misma forma en que se recogen; por lo cual debemos organizarlos convenientemente para facilitar su análisis. Una forma útil de resumir una gran cantidad datos y representarla en forma de cuadros estadísticos es la Tabla de distribución de frecuencias.

GRAFICOS

gº= grados del sector circulart= parte del total que se quiere representar.T=total

tT

g .º360

º

gº= grados del sector circularp= porcentaje de la parte que quiere representar.pg .6,3º

Gráficos de barras: simples o separadas:

Cada valor de la variable se representa por una

barra cuyo largo

corresponde a la

frecuencia con que se

observa ese valor. La

base de ellos puede

estar, sobre el eje de las abscisas o sobre el eje de

ordenadas, según sea el eje que este representando

a la variable.

Las barras también se usan combinadas en la

pirámide de población, donde se representa la

cantidad, el sexo y la edad de la población.

Gráficos lineales:

Son gráficos

adecuados

para analizar

la existencia

de asociación

entre dos variables continuas, usando para ellos

un sistema de coordenadas cartesianas

ortogonales. El diagrama esta formado por

líneas rectas que unen los puntos del plano que

representan valores de la variable.

Gráficos circulares o de “torta”:

Se utilizan para representar

distribuciones en frecuencias relativas para

el caso de variables discretas y cualquier

nivel de medición, con pocos valores.

Esta gráfico consiste en un círculo

dividido en tanto sectores circulares, su

formula es:

Pictogramas:

Se utilizan para representaciones en

público o para fines publicitarios.

Para realizar este tipo de gráfico se debe

tener en cuenta lo siguiente:

Usar símbolos sencillos

Repetir los símbolos para identificar mayor

cantidad (no agrandarlos)

Usarlos sobre todo para hacer comparaciones

0

500

1000

1500

2000

2500

1965 1970 1975 1980 1985

Serie1

Grafico de espiral

Se utiliza para representar series de tiempo con

fuerte tendencia a la expansión.

INTEVALOS:

n° de intervalos= 1+ 3,3. log . n

Amplitud: a= R

n° de intervalos quedando

xmáx−xmin

n°de int ervalos , ya que R=xmáx−xmin

PARÁMETROS ESTADISTICOS

Medidas de tendencia central

Indican los valores centrales hacia los cuales tienden a agruparse los datos.

MEDIA ARITMÉTICA

Es la que conocemos como promedio

Para una serie simple (conjunto de datos enumerados)

Dados los datos x1 , x2 , x3 , . .. , xn la media aritmética se calcula:

x=

∑i=1

n

x i. f i

n

MEDIANA

Es el valor de la variable que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. La mitad de los valores es menor

que la mediana, y la otra mitad es mayor.

Calculo para una serie simple:

1. se ordenan los datos de menor a mayor.

2. se ubica el dato que ocupa la posición central.

Cuando n es impar se ubica la posición de la mediana como:

n+12

Cuando n es par se ubican los valores centrales, el que corresponde a

n2 y el siguiente y se calcula la media

aritmética de ambos.

Pruebas automovilísticas

262728293031323334

1

2

34

5

Automóvil A Automóvil B Automóvil C

Calculo para y una serie de frecuencias

Se ubica el intervalo de clase que contiene a la mediana: es el intervalo de clase al que le corresponde una

frecuencia acumulada inmediata superior, a

n2 . La mediana será el valor que corresponde ha esa clase o

categoría. Si a esa clase le incluye más de un valor, es decir es un intervalo de clase, la median se calculara

utilizando la formula.

Me=L i+

n2−F i−1

fi

.a

MODA:

Es el valor de la variable que se

repite más veces. Se utiliza como primera aproximación para el análisis exploratorio. Solo es representativo

cuando en la distribución de los datos el resto de las clases o categorías tienen frecuencias absolutas no

significativas en relación ala de la moda.

Pueden presentarse distribuciones sin moda, así como las bimodales y multimodales.

En el caso en que la mayor frecuencia absoluta de una serie de frecuencias esté asociada a un intervalo de clase,

entonces la moda se calcula utilizando l formula:

Mo=Li+d1

d1+d2

.a

Li : limite inferior del intervalo que contiene a la Mo.

d1=f i−f ( i−1)

d2=f i−f (i+1)

f i : Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Mo

f ( i−1) : Frecuencia absoluta del intervalo anterior que contiene a la Mo

f ( i+1 ) : Frecuencia absoluta del intervalo posterior al que contiene a la Mo

a: amplitud del intervalo de clase

Me: mediana

Li : limite inferior del intervalo que contiene a la Me.

F i−1 : Frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene a la Me

f i : Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Me

a: amplitud del intervalo de clase

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Indican la variación o dispersión de los datos alrededor de los valores centrales. Las más utilizadas son rango,

Desviación media, varianza, desviación típica, coeficiente de variación.

RANGO: R

Indica el recorrido que tienen los valores de la variable:

R=xmáx−xmin

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

VARIANZA

Mide el promedio de las desviaciones de cada valor de la variable respecto de la media elevada al cuadrado. Se

designa por S2

cuando se refiere a la muestra y por σ2

cuando se refiere a la población

Valores altos de varianza indican que los datos están más dispersos alrededor de la media.

Para series simples: Para series de frecuencias

S2=∑i=1

n

( x i−x )2

n−1 S2=

∑i=1

k

( x i−x )2 . f i

n−1 donde n=∑ f i

El numerador de estas fórmulas se denomina “suma de cuadrados” y el denominados “grados de libertad”

DESVIACIÓN TÍPICA:

Dado que al calcular la varianza la unidad de medida original queda elevada al cuadrado. Para muchas

aplicaciones eso resulta inconveniente y por eso se suele preferir la estadística. La desviación típica la cual se

define como: S=√S2

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad de medida, por lo

que nos permitirá decidir entre dos muestras, cual es la que tiene mayor dispersión. La denotamos por: C .V y se

define por:

C .V=Sx

Anual

1) Resolver los siguientes problemas Una fábrica de dulces los empaqueta en bolsas de una decena, se colocan diez bolsas en una caja para facilitar su entrega a las tiendas y se empacan diez cajas pequeñas en una grande, si siguiéramos empacando 10 de estas cajas grandes en otras de mayor dimensión, y así sucesivamente.1. ¿Cuántos dulces contiene cada caja de 10 bolsas?2. ¿En cada caja grande cuántos dulces caben?3. ¿En la caja n cuántos dulces caben?4. Determínale término general la sucesión y la serie correspondiente.

Una cabeza de flor, en la fase final de su desarrollo, esta repleta de minúsculas semillas al caer al suelo da origen a una nueva planta en el paso de un año. Determina el número de plantas que nacen en 5 años y al cabo de 10 años.

Si lanzamos un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga 6? Si lanzamos dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que salga 6? ¿Y la de qué al lanzar tres, en los tres salga 6?

Calcula la probabilidad de que al lanzar n dados en todos ellos salga 6. Forma la sucesión y la serie de las probabilidades calculadas.

Los biólogos para sus estudios realizan cultivos de células las amebas (seres unicelulares) se reproducen por partición, es decir, cada ameba se parte en dos mitades se desarrolla y cuando le llega su momento vuelve a partirse dando lugar a otras dos y así sucesivamente.

¿Cuál es la ley que me indica el aumento de las amebas?

Dejamos caer una pelota desde una altura de 2 metros y tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior ¿Qué altura alcanzara la pelota en cada uno de los 10 primero rebotes? ¿Y en el rebote vigésimo?

Halla la sucesión y la serie correspondiente

Tal vez ustedes o sus amigos han recibido una carta anónima en la que se indica que para que se cumplan sus deseos, deben enviarse 5 copias de la misma carta a otras 5 personas. Una persona recibió este anónimo y envió 5 cartas. Una semana después cada una de las personas elegidas hizo lo mismo y repitió el proceso. Si no se interrumpió la cadena ¿Cuántas personas enviaron cartas seis semanas después de que la primera lo recibió ¿Cuantas después de 12 semanas? ¿ y en la enésima semana?

2) Comprueba si esta sucesión es una progresión aritmética o geométrica y escribe los tres términos siguientes: 8; 12; 18; 27; 40,5; …3) Clasifica si las siguientes sucesiones son crecientes y decrecientes. En cada caso calcula el límite si existe.

4)   En los ejercicios calcule el límite por intuición:

5) En los ejercicios calcule el límite por intuición:

a) b)limx→1

x2−5 x+4x−1 c)

limx→0

x

√2+x−√2 d)limx→1

2 x2−x−1x−1 e)

limx→ 4

x−4

√ x−√4 f)limx→8

8 x2−64 xx−8

g)limx→3

x−3

√6−x−√3 h)lim

x→4

√2 x+1−3√ x−2−√2

i)limx→ 4

x−4

x2−x−12

j) limx→−1

x2+3 x+2x2+4 x+3

k) limx→−3

x+3

x2−5 x+6 l)lim

x→4

x−4

x2−x−12 m)lim

x→2

x2−2 xx−2

n)limx→7

3 5 x−7x−7 o) lim

x→11

x2−121x−11p)lim

x→4

28 x−47 x−4 q)lim

x→9

x2−81x−9 r) lim

x→−72

x3+72x2

x+72 s) limx→−6

8 x+48x+6

t) limx→0

cosx−sen xcosx u)lim

x→∞ (1+ 52 x−3 )

3x−1

v)limx→∞

x√5x . x3

w)limx→0

sin2 x .cos2 xx2 x)lim

x→0 ( 2+x2 )

5x−1

y)limx→∞

x+2√8 x+16

6) Resolver las siguientes derivadas

a) f ( x )=ln(sen . x )tg .x

b)f ( x )= log8(cos .x4 )

3√x4

c) f ( x )=arcsen [ log4 ( tgx )]x5

d) f ( x )=tg [ ar cos( ln x )]

e) sen[ cos(3 . x5 )]

f) [ ln ( tg5√x6 ) ]arcsen . x

g) [ tg(6 x4 )]5

h) f ( x )=ln [ tg( x+5) ]+[ arctg( 6√ x ) ]x9

7) Analizar las siguientes funciones.

8) Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. ¿Cuánto recibe de valor vencido por el pagaré el primer inversionista?9) Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 4,5 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?10) Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. ¿qué cantidad acumulada paga el deudor?11) Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe $ 19.559,90. ¿A qué tasa se le descontó el pagaré?12) ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500?13) Hallar el valor acumulado o futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.14) Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el valor adelantado15) Hallar el Valor vencido o final $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado al 5%, convertible mensualmente.16) Una mina en explotación tiene una producción anual de $8000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente o principal de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.17) ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?18) Un banco paga 9% anual en cuantas de ahorros. Si se realizaron los siguientes movimientos: deposito de $500 el 2 de febrero, 3 de marzo un deposito de $800, 1de abril, 1de mayo un retiro de 130 y 31 de junio con base en el saldo mensual. ¿Cuánto interés gana hasta el 31 de junio?19) La agencia de viajes Moore, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesías por el Caribe a ciudadanos de la tercera edad. El presidente de la agencia quiere información adicional sobre las edades de las personas que viajan. Una muestra aleatoria de 40 clientes que hicieron un crucero el año pasado dio a conocer las siguientes edades.18 23 34 36 38 41 43 44 45 50 50 51 52 52 53 53 54 54 56 58 58 58 59 60 60 61 62 62 62 63 63 63 65 67 66 71 71 77 83 84 Organice los datos en una distribución de frecuencias

d)

e)

f)

g)

x−7

x3−27

a)

x−9x−16

b)

x2

x 2−25

c)

x1/2

x−36