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Capítulo 8

Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es informalmente una rotación en 90∘ de la transformada de Fourier y este capítulo está dedicado a ella. Su principal aplicación es a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y a los sistemas de ecuac iones d i f e renc ia l es . Pe ro tamb ién estudiaremos algunos tipos sencillos de ecuaciones integrales.

La primera sección de este último capítulo trata sobre la transformada de Laplace y su inversión dejando para la siguiente su aplicación a las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales. En algún sentido esta sección es isomorfa a la primera sección del capítulo anterior y lo mismo ocurre con la siguiente.

Sección 1

CONTENIDO.

1. Definición y propiedades básicas.

2. Transformada inversa.

3. Cálculo de integrales.

Transformada de Laplace. Transformada Inversa.

167

Problemas.

1) Hallar la transformada de Laplace de las funciones

a) f (t) = te−3tH(t)

b) g(t) = (t − 2)e−3t+6H(t − 2)

y graficar ambas funciones.

Solución.

a) Es trivial. Como la transformada de Laplace de t

es 1s2

tenemos, usando el teorema de translación,

que

L{te−3t} =1

(s + 3)2.

b) Notemos que esta función es precisamente la de la parte a) trasladada y comenzada desde el punto de abscisa t = 2 como vemos en la galería 8.1.

Por eso aplicando el segundo teorema de traslación obtenemos que

L{(t − 2)e−3(t−2)H(t − 2)} =1

(s + 3)2e−2s.

□

168

La función de la parte a) y a continuación .....

Galería 8.1. Las funciones del ejercicio.

2) Hallar la transformada de Laplace de

f (t) =cos(t) − 1

t

y a partir de ella calcular la integral

∫∞

0

cos(t) − 1t

e−2tdt.

Solución.

Por la propiedad de la transformada de Laplace de la división por t tenemos que

L{f (t)} = F(s) ⟹ L{ f (t)t } = ∫

∞

sF(u)du.

En nuestro caso, como

f (t) = cos(t) − 1

tenemos que

F(s) =s

s2 + 1−

1s

.

Por lo tanto

L{ cos(t) − 1t } = ∫

∞

s

uu2 + 1

−1u

du

y calculando tenemos que la última integral es

12

ln(u2 + 1) − ln(u)∞

s= ln( u2 + 1

u∞

s )de lo cual evaluando (límites incluidos) llegamos a que

L{ cos(t) − 1t } = − ln( s2 + 1

s ).

Finalmente de la misma manera que la transformada de Fourier se usó para el cálculo de integrales lo mismo puede hacerse con la de Laplace. En efecto,

∫∞

0

cos(t) − 1t

e−2tdt

169

no es otra cosa que la transformada de Laplace de la

func ión f (t) =cos(t) − 1

t pe ro eva luada es ta

transformada en s = 2, es decir

∫∞

0

cos(t) − 1t

e−2tdt = − ln( 22 + 1s ) = − ln( 5

2 ).

□

3) Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones

a) F(s) =s + 1

s2 + 5s + 6

b) F(s) =s2 − s + 1s2(s − 1)

c) F(s) =s

s2 + 2s + 5.

Solución.

a) Las fracciones simples de la función

F(s) =s + 1

s2 + 5s + 6

son de la forma

s + 1(s + 2)(s + 3)

=A

s + 3+

Bs + 2

pero sabemos, de la teoría de los residuos que precisamente

A = Resz=−3

F(s) =−2−1

= 2

y análogamente

B = Resz=−2

F(s) =−11

= − 1.

Luego

F(s) =2

s + 3+

−1s + 2

170

e invirtiendo obtenemos

f (t) = 2e−3t − e−2t.

b) Como ahora tenemos una raíz múltiple en en denominador las fracciones simples son de la forma

F(s) =s2 − s + 1s2(s − 1)

=As2

+Bs

+C

s − 1.

Ahora b i en , s i l l amamos ϕ(s) =s2 − s + 1

s − 1

podemos escribir

F(s) =s2 − s + 1s2(s − 1)

=ϕ(0)

s2+

ϕ′�(0)s

+C

s − 1

es decir

F(s) =−1s2

+0s

+C

s − 1

de lo cual, como C es el residuo de F(s) en s = 1 obtenemos

F(s) =−1s2

+0s

+1

s − 1.

Nota : Plantear unas fracciones simples de la forma

F(s) =s2 − s + 1s2(s − 1)

=As2

+B

s − 1

es incorrecto aún cuando en este caso hubiésemos

tenido suerte ya que el término Bs

se anula.

c) Para este tercer caso de raíces complejas, puesto que no queremos que haya constantes complejas en los numeradores debemos completar cuadrados en el denominador para obtener

F(s) =s

s2 + 2s + 5=

s(s + 1)2 + 4

171

y luego sumando y restando 1 en el numerador obtenemos

F(s) =s

(s + 1)2 + 4=

s + 1(s + 1)2 + 4

−1

(s + 1)2 + 4

de lo cual invirtiendo obtenemos aplicando el teorema de traslación que

f (t) = cos(2t)e−t −12

sen(2t)e−t.

□

172

En esta última sección estudiamos y aplicamos la transformada de Laplace a ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales y a algunos tipos sencillos de ecuaciones integrales.

Nuevamente esta herramienta nos dará una comprensión mayor al tener interpretaciones geométricas y físicas dinámicas que se fijan y se impregnan en nuestra mente para siempre.

Sección 2

CONTENIDO

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales.

3. Ecuaciones integrales.

4. Ecuación integral de Abel.

5. Problema de la tautócrona.

Ecuaciones Diferenciales. Sistemas. Ecuaciones Integrales.

173

Problemas.

1) Resolver el problema de valor inicial siguiente

y′�′�+ 4y′�+ 4y = 8e−2t y(0) = 1, y′�(0) = 1.

Solución.

Sea L{y(t)} = Y(s) . En tonces tomando l a transformada de Laplace a ambos miembros de a ecuación diferencial y considerando las condiciones iniciales tenemos

[s2Y(s) − s − 1] + 4[sY(s) − 1] + 4Y(s) =8

s + 2.

Operando obtenemos

Y(s)(s2 + 4s + 4) =8

s + 2+ s + 5

o sacando denominador común

Y(s)(s2 + 4s + 4) =s2 + 7s + 18

s + 2

es decir

Y(s) =s2 + 7s + 18

(s + 2)(s2 + 4s + 4)=

s2 + 7s + 18(s + 2)3

.

Descomponiendo en fracciones simples el miembro de la derecha obtenemos entonces

Y(s) =8

(s + 2)3+

3(s + 2)2

+1

s + 2

de lo cual, tomando la transformada inversa obtenemos la solución

y(t) = 4t2e−2t + 3te−2t + e−2t.

□

2) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

{x′�(t) = x(t) − y(t)y′�(t) = 5x(t) − 3y(t)

174

con las condiciones iniciales x(0) = 1, y′�(0) = 2.

Solución.

Para resolver este sistema observemos primero que evaluando ambos miembros de la segunda ecuación en t = 0 obtenemos de las condiciones iniciales

y′�(0) = 5x(0) − 3y(0) ⟹ 2 = 5.1 − 3y(0)

es decir

y(0) = 1.

Introduzcamos ahora las transformadas

L{x(t)} = X(s) L{y(t)} = Y(s).

Entonces, tomando transformada de Laplace a cada ecuación del sistema obtenemos

{sX(s) − 1 = X(s) − Y(s)sY(s) − 1 = 5X(s) − 3Y(s)

o despejando

{(s − 1)X(s) + Y(s) = 1−5X(s) + (s + 3)Y(s) = 1

o lo que es lo mismo, en forma matricial

(s − 1 1−5 s + 3) (X(s)

Y(s)) = (11).

Luego, aplicando la regla de Cramer, obtenemos

X(s) =

1 11 s + 3

s − 1 1−5 s + 3

es decir,

X(s) =s + 2

s2 + 2s + 2.

Completando cuadrados en el denominador obtenemos

X(s) =s + 2

(s + 1)2 + 1

175

es decir

X(s) =(s + 1) + 1(s + 1)2 + 1

=(s + 1)

(s + 1)2 + 1+

1(s + 1)2 + 1

.

Por lo tanto invirtiendo, obtenemos la solución para x(t)

x(t) = cos(t)e−t + sen(t)e−t.

De la misma manera

Y(s) =

s − 1 1−5 1

s − 1 1−5 s + 3

es decir

Y(s) =s + 4

(s + 1)2 + 1=

s + 1(s + 1)2 + 1

+3

(s + 1)2 + 1

de lo cual, invirtiendo obtenemos

y(t) = cos(t)e−t + 3sen(t)e−t.

Luego, la solución del sistema es la función vectorial

176

Nuestro punto se moverá a través del tiempo comenzando en el punto colorado (1,1) (hemos cambiado de escala el eje x) sobre la curva dibujada en negro. Se observa que al tender t → ∞ el punto se acerca al origen.... A continuación el campo vectorial.

Galería 8.2. Imagen de la curva parametrizada por (x(t), y(t)).

(x(t)y(t)) = ( cos(t)e−t + sen(t)e−t

cos(t)e−t + 3sen(t)e−t)resultado que puede escribirse así

(x(t)y(t)) = e−t ( cos(t) + sen(t)

cos(t) + 3sen(t)) En la galería 8.2. vemos claramente el significado físico de esta solución y en la movie 8.3. lo vemos dinámicamente.

□

Se puede ver una solución on-line aquí.

177

Una partícula en el punto (1,1) en el instante t = 0 se moverá en función del tiempo como se muestra en esta movie.

Movie 8.3. Solución del ejercicio en función del tiempo.

https://youtu.be/WhGyQSgS844

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Capítulo 3 - Funciones armónicas.

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Cambio de escala (Transformada de Fourier)

Si la transformada de Fourier de f (t) es F(w) entonces la transformada de Fourier de la función f (at) es

F{ f (at)} =1

|a |F( w

a ) a ≠ 0.


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Capítulo 7 - Transformada de Fourier. Capítulo 7 - Ecuaciones Diferenciales.


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Conforme (Transformación)

Informalmente una transformación conforme, es una función w = f (z) que localmente conserva los ángulos y las orientaciones.

Teorema : w = f (z) es una transformación conforme en z0 ∈ C si y sólo si es holomorfa en z0 ∈ C y f′�(z0) ≠ 0.


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Capítulo 2 - Funciones Elementales.


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Conjunto abierto.

Un conjunto A ⊂ C es abierto si

( ∀zo ∈ A)(∃δ > 0) : B(z0, δ ) ⊂ A

donde

B(z0, δ ) = {z ∈ C : |z − z0 | < δ}

denota la “bola abierta con centro en z0 y radio δ”.


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Capítulo 1 - Topología del plano Complejo.


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Conjunto acotado.

Un conjunto A ⊂ C se llama acotado si existe un δ > 0 tal que

A ⊂ B(0,δ ).


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Un conjunto F ⊂ C se llama cerrado si su complemento F̄ es abierto.


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Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una función derivable en z0 = x0 + iy0.

Entonces se satisfacen las igualdades

u′�x(x0, y0) = v′�y(x0, y0)

u′�y(x0, y0) = − v′�x(x0, y0)

que se llaman ecuaciones de Cauchy-Riemann.


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Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann.Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann.Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann.Capítulo 3 - Funciones armónicas.


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Fórmula integral de Cauchy

Sea f (z) una función holomorfa dentro y sobre una curva cerrada simple positivamente orientada C. Entonces

f (z0) =1

2π i ∮C

f (z)z − z0

dz.

Una generalización de esta fórmula es con las misma hipótesis

f (n)(z0) =n!2π i ∮C

f (z)(z − z0)n+1

dz.

Informalmente, estas fórmulas expresan los valores de una función holomorfa y de sus derivadas en el interior de una curva en términos de los valores de la función sobre la curva.


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Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.


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Homográfica (función)

Se dice que una función es homográfica si tiene la forma

f (z) =az + bcz + d

con ad − bc ≠ 0.

Una propiedad importante de las funciones homográficas es que siempre se las puede expresar en la forma

f (z) = α +β

γz + δ

lo cual es útil para transformar recintos.

Una función homográfica queda determinada por tres puntos del dominio con sus correspondientes imágenes.


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Capítulo 2 - Funciones Elementales.


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Igualdad de Parseval

La igualdad de Parseval para integrales de Fourier dice que si f ∈ L2 entonces su transformada de Fourier F ∈ L2 y además

∫∞

−∞| f (t) |2 dt =

12π ∫

∞

−∞|F(w) |2 dw


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Capítulo 7 - Transformada de Fourier.


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Inversión

Se llama así a la función f (z) =1z

.

Una de las propiedades más importates de la misma es que si

D = {(x, y) : a(x2 + y2) + bx + cy + d = 0}

entonces

f (D) = {(u, v) : d(u2 + v2) + bu − cv + a = 0}.


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Capítulo 2 - Funciones Elementales.Capítulo 2 - Funciones Elementales.


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Potencial complejo

Dada una fuerza (función) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) en cada punto (x, y) ∈ D ⊂ R2 interpretando con u(x, y) y v(x, y) las componentes de la fuerza en la dirección del eje x e y respectivamente, llamamos potencial complejo de f (z) a cualquier función Φ(z) tal que

Φ′�(z) = f (z)

o lo que es lo mismo

Φ′�(z) = f (z).


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Raíz cuadrada.

Dado un número complejo z0 = a + bi se define la raíz cuadrada de z0 como el conjunto

z 1/20 = {w ∈ C : w2 = z0}.

Dicho conjunto es explícitamente el siguiente :

z 1/20 = {± |z | + a

2± |z | − a

2i}

donde tomaremos signos iguales si b ≥ 0 y distintos si b < 0. El símbolo x para x ∈ R+0 se

reserva para la único número real positivo y : y2 = x.


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Capítulo 1 - Operaciones Algebraicas.Capítulo 4 - Funciones sin desarrollo en serie.


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Segundo teorema de traslación

Si L{ f (t)} = F(s) entonces L{ f (t − a)H(t − a)} = F(s)eas.


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Capítulo 8 - Transformada de Laplace.


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Teorema de Dirichlet

Sea f una función absolutamente integrable en (−π, π) - que se escribe f ∈ L1(−π, π) - suave a trozos salvo en una cantidad finita de puntos x1, x2, …, xn donde hay discontinuidades de tipo salto finito, es decir, los límites

limx→xi+

f (x) = f (x+i ) y lim

x→xi−f (x) = f (x−

i ) i = 1,2,…, n (1)

existen y son finitos. Entonces la serie de Fourier de f converge en los puntos de continuidad al valor de la función y en los de discontinuidad converge al promedio de los límites laterales (1), es decir :

limn→∞

Sn( f )(x0) = f (x0) si f es continua en x0

y

limn→∞

Sn( f )(xi) =f (x+

i ) + f (x−i )

2 si f es discontinua en xi


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Capítulo 6 - Desarrollo en serie de Fourier.Capítulo 6 - Desarrollo en serie de Fourier.


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Teorema de inversión (Fourier)

Sea f ∈ L1 una función suave a trozos. Sea F(w) la transformada de Fourier de f.

Entonces

f (t+) + f (t−)2

=1

2π ∫∞

−∞f (w)eiwtdw

y por lo tanto, en los puntos de continuidad tenemos

f (t) =1

2π ∫∞

−∞f (w)eiwtdw.


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Capítulo 7 - Transformada de Fourier.


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Teorema de Liouville

Si f (z) es una función holomorfa y acotada en todo el plano complejo C entonces f (z) es constante. (Teorema de Liouville, 1847)


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Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.Capítulo 4 - Desarrollos en Serie.


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Si L{ f (t)} = F(s) entonces L{ f (t)eat} = F(s − a).


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Capítulo 8 - Transformada de Laplace. Capítulo 8 - Transformada de Laplace.


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Teorema del módulo máximo

Si f (z) es una función analítica no constante en un dominio abierto y conexo D entonces | f (z) | no alcanza un valor máximo sobre D. Esto es, no existe z0 ∈ D tal que| f (z) | ≤ | f (z0) | .

Una consecuencia importantísima del teorema del módulo máximo es que si una función f (z) es analítica en el interior de un conjunto compacto D y continua en el borde de D entonces el valor máximo de | f (z) | sobre D, que se alcanza siempre, se alcanza en la frontera, nunca en su interior.


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