capÍtulo 3 el plano euclidiano: puntos, rectas y … · emergerán eventualmente. en este tratado,...
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CAPÍTULO 3
EL PLANO EUCLIDIANO: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS.
3.1 INTRODUCCIÓN.
Según el profesor español Eugenio Hernández: “La geometría es la rama de la matemática
que estudia la forma y el tamaño de las figuras, así como las transformaciones que sobre
ellas se ejercen.” Debe entenderse por transformaciones aquellas funciones esenciales de la
geometría, como la simetría, la traslación, la rotación, la semejanza, etc.
La geometría euclidiana es un sistema formado por un conjunto no vacío de elementos
llamados puntos, un conjunto no vacío de elementos llamados rectas y un conjunto no
vacío de elementos llamados planos, que satisfacen ciertos axiomas. Estos primeros
principios, que aceptamos como verdaderos, se irán enunciando de acuerdo con las
conveniencias teóricas. El conjunto de los puntos se llama espacio euclidiano, y lo
denotamos por .
En la geometría euclidiana, se considera que la “dimensión” del espacio es tres, aunque
esta asignación es más subjetiva que lógica. Es decir, no hay contradicción lógica si se
toma otro número natural como la dimensión del espacio euclidiano. La razón de ello, se
erige sobre discusiones que están en la frontera entre la filosofía y la matemática.1
A seguir, haremos la construcción teórica de toda la geometría euclidiana. Para ello,
sugerimos aceptar, de momento, que ningún conocimiento geométrico poseemos y que
tenemos una lógica (descripta en el capítulo anterior), el lenguaje natural validado por la
Real Academia Española, el alfabeto griego y unos cuantos símbolos apropiados que
emergerán eventualmente. En este tratado, usaremos letras mayúsculas para los puntos,
minúsculas para las rectas y letras griegas para los planos. Otro tipo de notaciones, se irán
desglosando a lo largo del texto. Nuestra primera lista de términos primitivos o no
1 Cf., Russell, B., Ensayos sobre los fundamentos de la geometría (obras completas), Aguilar, 1973,
vol.2., págs. 118-140.
31
definidos es: punto, recta, plano y preceder. Esto quiere decir, que hemos pasado de
nuestra supuesta ignorancia geométrica al conocimiento de los cuatro primeros elementos
de la geometría en gestación, los cuales quedarán bien determinados por lo que de ellos se
diga a través de las definiciones, los axiomas y los teoremas. Los términos punto, recta,
plano y preceder son, así, el génesis de todo lo que sigue.
3.2 AXIOMAS SOBRE PUNTOS Y RECTAS.
A1. Por dos puntos diferentes sólo pasa una recta. 2
La recta que pasa por dos puntos diferentes A y B la denotamos por AB
(léase recta AB).
Una representación gráfica3 de la recta AB se ilustra en Fig.3.0.
4
Fig.3.0
A2. Una recta tiene al menos dos puntos distintos.5
A3. Para cada recta, existe un punto que no pertenece a ella.6
Un punto A que no pertenece a una recta r se llama punto exterior a r.
A es un punto exterior a la recta r, A r.
A4. Si A y B son dos puntos de una recta, entonces se cumple sólo una de las siguientes
afirmaciones: A precede a B o B precede a A o A = B. 7
2 O sea, si A y B son dos puntos diferentes, entonces existe sólo una recta a la cual A y B pertenecen.
Note que A1 no garantiza la existencia de dos puntos diferentes, sólo asegura que de haberlos hay sólo
una recta de la cual son elementos.
3 Una geometría, netamente axiomática, no incluye gráficas; está regida sólo por los términos no
definidos, las definiciones, los axiomas, los teoremas y la fuerza del razonamiento lógico. Las gráficas
tienen la ventaja de vislumbrar resultados, pero encierran, a veces, el peligro de dar por cierto lo que
no se ha demostrado o de conjeturar lo que es falso. Sin embargo, sacrificaremos un poco de rigor,
para obtener una presentación más didáctica.
4 El instrumento para interpretar gráficamente o trazar una recta es la regla.
5 Con A2, se tiene que en la recta y, por tanto, el espacio euclidiano existen mínimo dos puntos distintos.
6 Ya con A3, el espacio euclidiano posee mínimo tres puntos.
A B
• A
r
32
A5. Si A, B, C son puntos de una recta y A precede a B y B precede a C, entonces A
precede a C.8
B está entre A y C
Fig.3.1
Si A precede a B y B precede a C, escribimos A-B-C. Si A precede a B, diremos, también,
que B sigue a A, Es decir, son equivalentes A precede a B y B sigue a A.
A6. Para cada punto de una recta existe un punto de ésta que le precede y otro que le
sigue.9
Si A, B y C son puntos de una recta y B precede a uno de ellos y sigue al otro, se dice que
B está entre A y C10
. Si varios puntos pertenecen a una misma recta, se dice que son
colineales o que están en línea recta o que están alineados. Ver Fig.3.1.
A7. Si A y B son puntos de una recta, diferentes, existe un punto C de ésta, que está entre A
y B.
A cualquier conjunto de puntos del espacio se le llama figura. Si dos figuras tienen uno o
más puntos en común se dice que ellas se intersecan o se cortan en dichos puntos.
Hagamos un memorándum, aunque sea por única vez, de lo que hemos construido, para
saber qué tanto se ha corrido el velo de nuestra hipotética “ignorancia geométrica.”
Poseemos cuatro elementos no definidos, punto, recta, plano y preceder, que hemos ido
comprendiendo por medio de siete axiomas, enunciados hasta ahora, y seis definiciones: la
7 A4 afirma, además, que el término preceder establece una relación entre parejas de puntos de una
recta. En Fig.3.0, se podría interpretar que A precede a B, también que B precede a A; sólo una de las
dos. Lo anterior se resume diciendo que preceder introduce un orden en los puntos de la recta.
8 A5 no afirma que la recta ya tenga tres puntos distintos, sino que de haberlos se les aplica A5. Por otra
parte, con A5, la relación preceder es transitiva.
9 A2, A4 y A6 ya implican que la recta tiene mínimo cuatro puntos diferentes, podrían ser seis, pero…
10
Esta definición aclara que la relación estar entre es una relación ternaria, entre puntos de una recta.
A B C
C B A
33
de punto exterior a un recta, las de las relaciones entre puntos de una recta seguir a y
estar entre, la de puntos colineales, la de figura y la de intersecarse dos figuras.
Además, hay un símbolo para la recta que une dos puntos y otro para el enunciado A
precede a B y B precede a C, y hay nuevo conocimiento en la teoría dado por las siguientes
proposiciones o teoremas que se deducen de los términos no definidos, de las definiciones y
axiomas anteriores:
1) La recta tiene infinitos puntos diferentes11
.
2) Existen infinitos puntos que preceden e infinitos puntos que siguen a un punto dado de la
recta.
3) Si A, B, C, D son puntos de la recta y D está entre A y B, B entre A y C, entonces D está
entre A y C.
4) Entre dos puntos de una recta, diferentes, existen infinitos puntos de la recta diferentes.
5) El espacio euclidiano tiene infinitos puntos, diferentes, no colineales.
Antes de continuar, con la construcción geométrica, mostremos que para un número finito
de axiomas, pueden existir varios modelos que los satisfagan. En efecto12
, sea un
conjunto, cuyos elementos se denominan puntos, y un conjunto no vacío, cuyos
elementos son subconjuntos de , llamados rectas. Supongamos que se cumplen los
axiomas A1, A2, A3 de la teoría en curso, además de éstos:
A4*: Dos rectas diferentes tienen al menos un punto en común.
A5*: Cada recta tienen a lo más tres puntos.
Daremos a continuación tres modelos que satisfagan los axiomas A1, A2, A3, A4* y A5*.
Modelo 1: Sea el conjunto de letras A, B, C, D, E, F, G, y el conjunto formado por
las ternas (A, B, D), (B, C, E), (C, D, F), (D, E, G), (E, F, A), (F, G, B), (G, A, C). Es decir,
ahora, nuestros puntos son letras y nuestras rectas son ternas de puntos. El lector puede
verificar que este modelo satisface los axiomas A1, A2, A3, A4* y A5*.
Para modelos 2 y 3 consideremos Fig.3.2: En ambos definimos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y
las rectas son los conjuntos de ternas de alineados, incluyendo la terna (0, 4, 5), que no es
alineada. Así, por ejemplo, la terna (1, 5, 6) es una recta. Nuevamente, el lector puede
verificar que estos dos modelos, de Fig.3.2, satisfacen los axiomas A1, A2, A3, A4* y A5*.
Estos tres modelos permiten entrever que el mundo físico no necesariamente modela a la
geometría que se está construyendo, y que cualquier modelo que satisfaga los axiomas es
válido como interpretación de la teoría. No obstante, nuestra construcción es “ideal” en el
sentido de que radica sólo en el mundo del pensamiento puro, siendo el modelo una forma
“burda” de interpretarla. Aclaramos que la familiaridad con el mundo físico hace de la
geometría euclidiana, en algunos casos, algo trivial.
11
Es decir, dado un conjunto de n puntos, siempre existe otro punto diferente a todos los anteriores.
12
Blumenthal, L.M., Geometría axiomática, Aguilar, S.A., Madrid, 1965, págs. 53-54.
34
Fig.3.2
3.3 SEGMENTO Y SEMIRRECTA.
Si A y B son puntos diferentes, el segmento AB es el conjunto de puntos formado por A, B
y todos los puntos de la recta AB que están entre A y B; y la semirrecta AB es la unión del
segmento AB y el conjunto de todos los puntos de la recta AB que siguen a B. La figura 3.3
da un modelo para el segmento AB y la 3.4 dos modelos para semirrecta AB, dependiendo
de cómo se interpreten los términos preceder y seguir. En la semirrecta AB, denotada por
se dice que A es el origen de la semirrecta.
Los puntos de la recta AB, que están entre A y B, se denominan puntos interiores del
segmento AB y A, B son sus extremos. El segmento AB lo denotamos por AB y el
conjunto de sus puntos interiores por int AB (Fig.3.3).
A B
Fig.3.3
Si fijamos un punto A en una recta se determinan dos semirrectas de origen común A,
llamadas semirrectas opuestas.
Fig.3.4
Resolver ejercicios 3.2, 3.3 y 3.4.
B A A B
35
3.4 AXIOMAS SOBRE PUNTOS Y PLANOS
A8. Un plano tiene por lo menos tres puntos no colineales13
.
Ver Fig.3.5 (a); ésta muestra un modelo de plano con tres puntos no colineales.
A9. Por tres puntos no colineales sólo pasa un plano.14
Fig.3.5 (a)
Si A, B y C son puntos no colineales y es un plano que pasa por A, B y C, decimos que
el plano está determinado por A, B y C. El plano determinado por los puntos A, B y C lo
denotamos por ABC, y se lee plano ABC.
A10. La recta que pasa por dos diferentes puntos de un plano está contenida en el plano15
.
Ver figura 3.5 (b).
A11. Para cada plano, existe un punto que no pertenece a él.
Un punto que no pertenece a un plano, se llama punto exterior al plano16
. En Fig.3.5 (b),
Q 17 Si dos o más figuras están contenidas en el mismo plano, se dice que son
coplanarias. En Fig.3.5 (b), los puntos A y B son coplanarios. Tres puntos no colineales
son coplanarios, de acuerdo con el axioma A9.
13
Esto es, para cualquier plano α existen tres puntos A, B, C, no alineados, que satisfacen A, B, C α.
14
Es decir, si A, B, C son tres puntos no colineales, entonces existe sólo un plano al cual pertenecen A,
B y C.
15
Este axioma, junto con el axioma A8, implica que el plano tiene infinitos puntos no colineales.
16
A11 afirma que mínimo hay un punto exterior a cada plano.
17
Imaginarse una hoja de papel horizontal, sumamente grande y delgada, y un objeto diminuto, arriba
o debajo de ella, ayuda a visualizar el concepto de punto exterior a un plano.
• A •
•
B
C
36
•
Fig. 3.5 (b)
A12. Axioma de separación del plano
Toda recta contenida en un plano, determina en éste dos conjuntos no vacíos, llamados
semiplanos, que satisfacen:
1) El segmento que une dos puntos de un mismo semiplano está contenido en él.
2) El segmento que une un punto de uno de los semiplanos y un punto del otro
semiplano corta la recta.
Un modelo para este axioma lo da la figura 3.6. En ella α es el plano, ℓ es la recta o
frontera de los semiplanos S1 y S2. Puede probarse, por reducción al absurdo, que
S1 S2 = , ¿cómo se hace? Si A S1 y B S2 o viceversa, se dice que A y B están en
semiplanos opuestos o que ℓ separa a A y B, ver Fig.3.6. Escribimos semiplano
( PQ
, R) para referirnos al semiplano cuya frontera es la recta PQ y al cual pertenece el
punto R, exterior a PQ
. Así, en Fig.3.6, S1 = semiplano (ℓ, A) y S2 = semiplano (ℓ, B).
Fig.3.6
Resolver ejercicios 3.6 y 3.7.
A B
Q
α
α
A
B
ℓ
S1
S2
37
3.5 ÁNGULO Y REGIÓN ANGULAR.
Un ángulo es la unión de dos semirrectas que tienen el mismo origen. El origen común se
llama vértice y las semirrectas son los lados. Si las semirrectas son opuestas, el ángulo se
llama llano. Si las semirrectas coinciden, el ángulo se llama ángulo nulo. El ángulo de
vértice A y lados se denota por BAC. Ver figura 3.7. El interior de BAC, no
llano, es la intersección de los semiplanos ( ( ) llamada región angular
abierta. La región angular cerrada incluye, además, los lados del ángulo. Los puntos del
plano que no pertenecen al ángulo ni son puntos interiores, se llaman puntos exteriores al
ángulo.
Ángulo llano
Fig.3.7
Ángulos adyacentes son pares de ángulos con vértice común cuya unión de sus regiones
angulares es un semiplano y su frontera. Ángulos opuestos por el vértice son pares de
ángulos con vértice común cuyos lados son semirrectas opuestas. Así, por ejemplo, en
Fig.3.8, ABD y CBD son ángulos adyacentes, mientras que B’AC’ y BAC son
ángulos opuestos por el vértice, lo mismo BAC’ y B’AC. También se tiene que los
pares de ángulos BAC’ y CAB, C’AB’ y B’AC son ángulos adyacentes.
Fig.3.8
3.6 CONVEXIDAD
Un subconjunto , del espacio, es un conjunto convexo si, y sólo si, para cada par de
puntos A y B de , con A B, se cumple que el segmento AB está contenido en . Es
38
decir, un conjunto de puntos es convexo es equivalente a que (A, B ) (A B
AB ).
A B
A
B
Conjunto convexo Conjunto no convexo
Fig.3.9
De la definición de convexidad, se concluye que un conjunto formado por un punto es un
conjunto convexo. En efecto, sea A un punto y = {A}. La implicación A B AB
es verdadera para = {A}, pues A B es falso en este caso. Es decir, se cumple la
definición de convexidad y, así, = {A} es un conjunto convexo. También, la intersección
de dos conjuntos convexos del espacio es un conjunto convexo. Para probar esto, sean 1,
2 dos figuras espaciales convexas. Probemos que 1 2 es un conjunto convexo. Si
1 2 = , obviamente se cumple (basta analizar la veracidad de la implicación antes
considerada). Si 1 2 es un conjunto de un elemento, nuevamente es un conjunto
convexo por lo ya demostrado. Consideremos el caso en el cual 1 2 tiene al menos
dos elementos A, B diferentes. De las definiciones de intersección y convexidad de 1, 2
se deriva que AB 1 y AB 2. Luego, AB 1 2 para todo A, B 1 2. En
consecuencia, 1 2 es un conjunto convexo.
Resolver ejercicios 3.1 y 3.5.
3.7 POLÍGONOS Y REGIONES POLIGONALES.
Si A1,…, An es una lista de puntos del espacio, no necesariamente diferentes, con al menos
dos diferentes y sin tres puntos consecutivos colineales, se llama poligonal A1,…, An a la
unión de los segmentos
os segmentos de la poligonal se llaman lados.
Los puntos A1 y An son los extremos de la poligonal. Ver Fig.3.10; en ésta, la última
gráfica es una poligonal generada por una lista de puntos de la forma A1, A2, A3, A4, A5, A3,
A6, A7, A3, A8, A9, A3. Un polígono es una poligonal en la cual sus dos extremos
coinciden18
. Los extremos de los segmentos, que determinan un polígono, se llaman
vértices y los segmentos se denominan lados. Vea figura 3.11(a) y póngale letras a los
18
En lo sucesivo, sólo trataremos de poligonales y polígonos en el plano, mientras no se diga lo
contrario.
39
vértices del polígono, ¿cuáles son sus lados? Recorra con un lápiz los lados de cada uno, de
manera que vuelva al punto de partida, cubriendo sólo una vez cada lado.
Fig.3.10
Los polígonos se clasifican, según el número de lados19
, en triángulos (3 lados),
cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos o exágonos (6 lados), heptágonos
(7 lados), octágonos u octógonos (8 lados), eneágonos (9 lados), decágonos (10 lados),
undecágonos (11 lados), dodecágonos (12 lados), tridecágonos (13 lados), tetradecágonos
(14 lados), pentadecágonos (15 lados),…, icoságonos (20 lados),…, triacontágonos (30
lados),…, hectágonos (100 lados),…, miriágonos (10 mil lados),…, megágonos (un millón
de lados), etc.
Fig.3.11 (a)
El triángulo de vértices A, B y C se denota por ABC (léase triángulo ABC). El interior
de ABC es la intersección de los semiplanos ( , A), ( , B), y se llama región
triangular abierta ABC; si a ésta se le incluyen los lados del triángulo, se denomina
región triangular cerrada. Así, toda región triangular abierta o cerrada es un conjunto
convexo.
19
Se prueba por inducción, aplicando el axioma de separación del plano y reducción al absurdo:
para todo entero n 3, existe un polígono convexo de n lados.
40
A los vértices del triángulo de Fig.3.11(a) asignarle las letras anteriores y señale cada uno
de los semiplanos que definen la región triangular.
Una región poligonal cerrada es la unión finita de regiones triangulares cerradas del
mismo plano que satisfacen:
1) Cada región triangular tiene al menos un lado en común con alguna de las otras
regiones.
2) Los vértices que no pertenecen al lado común de dos regiones triangulares, están
en semiplanos opuestos, respecto a la recta que lo contiene. Ver Fig.3.11 (b).
Fig.3.11 (b)
La región que resulta de excluir de la región poligonal cerrada el polígono que la limita, se
llama región poligonal abierta, y se dice que ésta es el interior del polígono. El polígono,
a su vez, es la frontera de la región poligonal que le corresponde20
. Un punto del plano del
polígono, que no pertenece a él ni a su interior, se llama punto exterior. Un polígono es
convexo si su región poligonal es un conjunto convexo. En un polígono convexo: un
segmento que une dos vértices no consecutivos se llama diagonal; un ángulo determinado
por dos lados que tienen un vértice común se llama ángulo interior y el correspondiente
ángulo adyacente se llama ángulo exterior. Ver figura 3.11(a), y trace los ángulos
exteriores y las diagonales de los polígonos que sean convexos.
Un polígono es convexo si, y sólo si, cada recta que une dos vértices consecutivos de
deja a los otros vértices en el mismo semiplano respecto a la recta; y, en consecuencia, el
interior de es la intersección de todos los semiplanos anteriormente anotados. La
demostración de esta proposición se hace por reducción al absurdo y aplicando el axioma
de separación del plano. Ilustre esta propiedad con el triángulo y el pentágono convexo de
Fig.3.11 (a), señalando cada uno de los semiplanos de la intersección y la intersección de
todos ellos.
20
Hemos visto que toda región poligonal define un polígono, la recíproca también se cumple, pero es
compleja su demostración.
41
Resolver ejercicio 3.8.
3.8 RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si son iguales21
, o existe un plano que las contiene y no se cortan.
Si ℓ es paralela a m, lo denotaremos por ℓ m. Si ℓ no es paralela a m, escribimos ℓ m.
En la figura 3.12 se han diseñado dos rectas paralelas.
En la definición de rectas paralelas, es de suma importancia la condición previa de que haya
un plano que las contenga, pues es posible que dos rectas no se corten ni estén contenidas
en un mismo plano, y, por tal, no son paralelas. En efecto, sean un plano, ℓ una recta
contenida en él, P un punto de exterior a ℓ y Q un punto exterior a . Entonces, la recta
PQ no corta a ℓ ni es paralela a ℓ, ¿por qué?, haga un gráfico ilustrativo.
Fig.3.12
A13. Quinto postulado de Euclides 22
Por un punto P, exterior a una recta ℓ, pasa sólo una recta paralela a ℓ.
TEOREMA 3.1
Si ℓ, m y r son rectas de un plano , entonces: 1) Cada recta es paralela a sí misma. 2)
ℓ m m ℓ. 3) ℓ m y m r implica ℓ r.
Demostración El numeral 1) es verdadero por definición de rectas paralelas. Por la misma
razón, 2) es verdadero (escriba los detalles). El numeral 3) se cumple cuando ℓ = m = r
ó ℓ = m r ó ℓ m = r ó ℓ = r m, también por definición. Supongamos, ahora, que las
rectas son todas diferentes y apliquemos reducción al absurdo para probar 3). Es decir,
21
Por ejemplo, si A, B, P y Q son puntos colineales, entonces = ; luego, y son paralelas.
22
Recibe este nombre, porque es uno de los principios equivalentes al genuino quinto postulado de
Euclides.
ℓ
m
α
42
debemos suponer que ℓ m y m r y ℓ . Entonces, ℓ y r se cortan en algún punto P.
De esto se infiere que por P pasan dos paralelas a m, ℓ y r. Esto contradice el quinto
postulado de Euclides. En consecuencia, ℓ r.
Resolver ejercicio 3.9.
A14. Métrica en una recta Existe una correspondencia biunívoca
23entre los puntos de una recta y los números reales, y
si el punto A se corresponde con el real a y el punto B con el real b, entonces A precede a B
si, y sólo si, a < b. Ver figura 3.13 (a).
Fig.3.13 (a)
En el axioma A14, el número real a que le corresponde a un punto A de una recta se llama
coordenada de A. Si la correspondencia la denotamos por , el enunciado “a es la
coordenada de A se simboliza por (A) = a, y se lee fi de A igual a a. De se dice que es
una métrica para la recta.
Según el axioma A14, en la recta existen puntos de coordenadas 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, etc.
Además, a todo número real entre los enteros consecutivos j y j 1 le corresponde un
punto en la recta entre los puntos correspondientes a j y j + 1.24
Esto lo ilustramos en
Fig.3.13 (b)25
.
Fig.3.13 (b)
23
Cuando introduzcamos el concepto de función, en cap.4, este concepto será el de función biyectiva.
24
Este es el principio de la regla numerada.
25
El concepto de preceder, interpretado gráficamente, es relativo y establece un orden en los puntos.
A B
a= b= B)
- 3 -2 - 1 0 1 2 3…
... 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3…
43
A15. Axioma de la distancia
Existe una correspondencia recíproca d entre parejas de puntos del espacio y los números
reales no negativos26
, que a cada pareja de puntos (A, B) del espacio le asigna sólo un
número real no negativo, y satisface:
1) d (A, B) = 0, sólo si A = B.
2) d (A, B) = d (B, A).
La expresión d (A, B) se lee la distancia entre A y B o distancia de A a B27
. Del
axioma A15, se infiere que la distancia entre dos puntos es un número real no negativo.
Para puntos A y B de una recta, de coordenadas a y b, definamos d (A, B) = a - b,
entonces d satisface el axioma A15.
3.9 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que están a igual distancia de un
punto fijo del plano. El punto fijo se llama centro y la distancia del centro a un punto de
ella o el segmento que une el centro con este punto se llama radio. El interior de una
circunferencia es el conjunto de puntos de su plano que están a una distancia menor que el
radio. Un punto del plano que no es interior ni está en la circunferencia, se llama punto
exterior. El segmento que une dos puntos de la circunferencia, se llama cuerda. La cuerda
que pasa por el centro se denomina diámetro28
.
Un ángulo con centro en la circunferencia se llama ángulo central, y el conjunto de puntos
de ésta que están en el ángulo central o en su interior, se llama arco. Los dos puntos del
arco que pertenecen al ángulo central son los extremos del arco, y cada uno de los puntos
del arco que no sea un extremo se llama punto interior del arco. Un diámetro determina
en la circunferencia dos arcos, cada uno recibe el nombre de semicircunferencia.
Un círculo o región circular es una circunferencia unida a su interior. La recta que corta la
circunferencia en dos puntos se llama recta secante, y la recta que la corta sólo en un punto
se llama recta tangente29
. Ver Fig.3.14, ponga las letras apropiadas y señale las cuerdas,
los arcos, la tangente, el diámetro, el radio, el ángulo central, el círculo, una tangente y una
semicircunferencia. Un instrumento para graficar o trazar circunferencias es el compás.
26
d es recíproca, en el sentido de que cada real no negativo es correspondido por alguna pareja de
puntos del espacio.
27
La longitud del segmento AB, es por definición d (A, B).
28
La existencia del diámetro, y que éste corta a la circunferencia en dos puntos, está garantizada por el
comentario que sigue al axioma A16 de la sec.3.10.
29
La existencia de rectas tangentes a la circunferencia se garantiza en cap.5, después de teorema 5.2.
44
Fig.3.14
3.10 AXIOMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS Y ÁNGULOS
De lo visto hasta aquí, en nuestro curso de geometría, se observa que la regla por sí sola es
insuficiente para las construcciones geométricas. Aún más, algunos problemas sobre estas
construcciones equivalen a encontrar la intersección de dos rectas, de una recta y una
circunferencia, y de dos circunferencias. Las dos últimas no son posibles sólo con la regla.
De otro lado, no tenemos todavía los fundamentos teóricos que nos garanticen la
solubilidad de la intersección de una recta con una circunferencia y de dos
circunferencias30
. Esto nos lleva a introducir un axioma, conocido como el axioma de
continuidad o axioma de Dedekind31
.
A16. Axioma de continuidad
Si los puntos de una recta ℓ 32
se clasifican en dos conjuntos C1, C2 y:
1. Existen puntos de ℓ en cada conjunto,
30
Gráficamente estos problemas son intrascendentes, pero en teoría presentan algunas dificultades.
31
J. W. Richard Dedekind (1831 - 1916), matemático alemán autor de una teoría sobre los números
irracionales.
32 El axioma continúa siendo válido, si sustituimos ℓ por un conjunto totalmente ordenado.
45
2. Todo punto de ℓ está en alguno de los conjuntos,
3. Todo punto de C1 precede a todo punto de C2.
Entonces, existe sólo un punto P de ℓ, de manera que todos los puntos que le preceden
pertenecen a C1, y todos los que le siguen pertenecen a C2.
Con este axioma se pueden demostrar los siguientes teoremas, básicos en las
construcciones con regla y compás, y cuyas demostraciones omitimos por su
complejidad33
: 1) Toda semirrecta con origen en el interior de una circunferencia la
corta sólo en un punto. 2) Si un punto A de una circunferencia es interior a otra
circunferencia y un punto B de la primera es exterior a la segunda, entonces las
circunferencias tienen dos puntos en común.
Describamos en qué consiste la demostración de 1, ver Fig.3.14 (a); en la semirrecta r su
origen A es interior a la circunferencia. Sean C1 el conjunto de puntos de r interiores a la
circunferencia y C2 el conjunto de los no interiores. Hay que verificar con razonamientos
lógicos, y no gráficos, que se cumplen las hipótesis del axioma de continuidad. Luego, se
prueba que el punto P, de la conclusión del axioma, pertenece a la circunferencia y, por
tanto, este es el punto de corte. De ahí, aplicando esto a la semirrecta opuesta a r, toda recta
que pasa por un punto interior a una circunferencia, la corta en dos puntos.
Fig.3.14 (a)
Para la descripción de la demostración de 2, ver Fig.3.14 (b), se muestran dos
circunferencias de centros O y O’ y radios respectivos r y r’. La primera tiene un punto A
interior y otro punto B exterior a la segunda. Se verifican lógicamente, y no de manera
gráfica, cada una de las hipótesis del axioma de continuidad al conjunto de puntos de la
semicircunferencia MABN, tomando como C1 el conjunto de puntos de ésta interiores a la
circunferencia de centro O’ y a C2 los no interiores a ella.
33
Además, presentar la demostración nos llevaría a aplazar el axioma de continuidad para capítulo 6,
después del teorema 6.6. En este proyecto didáctico, preferimos adelantar ciertos resultados.
A
r P
46
Luego se prueba que el punto P de la conclusión del axioma está en la circunferencia de
centro O’ y, por tanto, es el punto de corte. De ahí, existe un punto Q de corte de la otra
semicircunferencia con la circunferencia de centro O’.
A17. Medida angular Existe una correspondencia recíproca m que a cada ángulo del plano le asigna sólo un
número real en el intervalo cerrado [0, 180]34
, y satisface: 1) m (BAC) = 0 sólo si
BAC es nulo. 2) Si D es un punto interior a BAC, entonces m (BAC) = m (BAD) +
m (DAC).35
La expresión m (BAC), se lee medida del ángulo BAC.
A18. Construcción del ángulo. Si A y B son diferentes puntos de la frontera de un semiplano S, entonces para cada número
real a en el intervalo abierto (0, 180) existe sólo un punto C en S tal que m (BAC) = a.
Ver Fig. 3.15.
A19. División del ángulo
Para cada ángulo BAC y entero n >1, existe sólo un punto D en el interior de ángulo BAC,
tal que m (BAD) = (1/n). m (BAC). 36
34
La correspondencia es recíproca en el sentido de que cada número del intervalo [0, 180] es
correspondido por algún ángulo.
35
Si D es un punto interior a ángulo BAC, entonces la semirrecta AD, menos el punto A, está contenida
en el interior de ángulo BAC. La prueba se hace combinando reducción al absurdo y el axioma de
separación del plano. En este caso, se define + = 36
En este caso, definimos n. = y = 1/n. .
r’
’’ r
O’ O M
A
P
Q
B
N
Fig.3.14 (b)
47
Fig.3.15
Si n = 2, en el axioma A19, la medida angular de BAD es la mitad de la medida angular
de BAC. De manera gráfica, esto significa que “la región angular BAC se divide por la
mitad”. En general, según el axioma A19, la región angular de un ángulo se puede
dividir en n regiones angulares cuyos ángulos tienen la misma medida (la enésima parte
de la medida del ángulo dado), si n = 2, 3,..., etc.
Fig.3.16
0 - 360
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
B A
C S
a
48
Una unidad de medida angular es el grado sexagesimal, la cual se obtiene aplicando el
axioma A19, tomando n = 180 y BAC un ángulo llano. Así, si trazamos una
circunferencia con centro en A, se determinan 360 ángulos centrales de vértice A, cada uno
con medida m (BAD) = (1/180).m (BAC). Elegimos, ahora, a m (BAD) como unidad,
llamada unidad de grados sexagesimales. Al dividir el grado en 60 partes iguales
obtenemos la unidad de medida angular minuto sexagesimal, y dividiendo de nuevo por
60 llegamos al segundo sexagesimal. Luego, 1grado = 60 minutos y 1 minuto = 60
segundos sexagesimales37
. El instrumento que se usa para medir ángulos de esta forma es el
transportador, ver Fig.3.16. La justificación teórica del transportador se sustenta en los
axiomas del A16 al A19 y de los dos teoremas que se derivan del axioma A16, anotados
anteriormente.
Un ángulo que mide: 90 grados se llama ángulo recto; más que cero y menor que 90 se
denomina ángulo agudo; más que 90 y menos que 180 es ángulo obtuso. En la primera
figura de Fig.3.17, AOB y BOC son agudos y AOC es recto, y en la segunda BOC
es obtuso y AOB es agudo.
AOB y BOC son complementarios AOB y BOC son suplementarios
Fig.3.17
Un par de ángulos cuyas medidas suman 90 grados son ángulos complementarios, y un
par de ángulos cuyas medidas suman 180 grados son ángulos suplementarios, ver
Fig.3.17.
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta cuyo origen es el vértice del ángulo y
determina en su región angular dos ángulos de igual medida. En figura 3.18, la semirrecta r
de origen O es bisectriz de AOA’ sólo si rOs’ = (1/2). AOA’.
37
Se debe a los babilonios, unos 2000 a.C., la invención de estas unidades, derivadas de su sistema de
numeración sexagesimal que forjaron sus matemáticos y astrónomos, poco antes de la época del rey
Hamurabi (1792 – 1750 a.C.).
49
Fig.3.18
Un par de rectas que se cortan formando ángulos rectos se llaman rectas perpendiculares.
Si las rectas ℓ y r son perpendiculares, escribimos ℓ r. Se Llama mediatriz de un
Fig.3.19
segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto medio. En figura 3.19, se
muestran dos rectas perpendiculares ℓ y r (el cuadrito en el vértice se usa para indicar
ángulo recto), y la mediatriz ℓ del segmento AB.
Fig.3.20
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento de perpendicular
trazado del punto a la recta, y la distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un
• P ℓ ℓ
m
P
Q
•
•
• •
r
ℓ
A
ℓ
B
50
punto de una de ellas a la otra recta. Ver Fig.3.20. La distancia del punto P a la recta ℓ se
denota por d (P, ℓ), la cual es cero sólo si P está en ℓ.
En geometría, son de uso frecuente los términos recta horizontal, recta vertical y recta
oblicua, referentes a las posiciones de la gráfica de la recta. Estas designaciones son
relativas en el siguiente sentido: una recta es horizontal, si es paralela respecto a otra recta
que se toma de referencia; una recta es vertical, si es perpendicular a otra recta que se toma
como horizontal; una recta es oblicua, si corta a la horizontal formando ángulos que no son
rectos.
En dibujo, es de uso frecuente tomar la recta que contiene el borde superior de la hoja de
papel como la recta horizontal, pero es un simple convenio También son relativos los
términos derecha e izquierda, arriba (superior) y abajo (inferior), que pueden definirse
geométricamente. En una recta ℓ horizontal, si O precede a A y B precede a O, se dice que
A está a la derecha de O y B está a la izquierda de O; y si ℓ es vertical, se determina que A
está arriba de O y B abajo (debajo) de O. Ver Fig.3.20(a).
Fig.3.20 (a)
El trazado de rectas paralelas y perpendiculares puede hacerse de manera precisa usando
dos escuadras, como se ve en la figura 3.21. Una de ellas se deja fija y se desliza la otra
sobre uno de los lados de la primera. El sustento teórico de por qué este método funciona se
dará en el capítulo 5, cuando se estudien los ángulos alternos internos y correspondientes.
B O A
A
O
B
B O A
P
Q
51
Fig.3.21
Resolver ejercicios 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.18.
3.11 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS38
Triángulo isósceles es aquél que tiene al menos dos lados de igual longitud. El Triángulo
equilátero tiene sus tres lados de igual longitud. El triángulo escaleno tiene las longitudes
de sus lados desiguales. El triángulo rectángulo tiene un ángulo interior recto; los lados
que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto39
al ángulo recto es la
hipotenusa. El triángulo acutángulo tiene todos sus ángulos interiores agudos. El
triángulo obtusángulo tiene un ángulo interior obtuso. Ver Fig.3.22.
38
La existencia de las figuras que aquí se definen es obvia en algunos casos, en otros se apela al teorema
5.9, de los ángulos interiores de un triángulo, del capítulo 5.
39
En un triángulo, un lado opuesto, a un ángulo interior, es el que no forma a este ángulo; y el vértice
del ángulo se llama vértice opuesto a aquel lado.
52
Fig.3.22
En un triángulo, se llama: mediana a un segmento que une el punto medio de un lado con
el vértice opuesto; altura al segmento de perpendicular trazado desde un vértice a la recta
que contiene el lado opuesto. También, por extensión, se denomina altura a la longitud de
este segmento.
Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo si sus lados opuestos40
son paralelos. Si el
paralelogramo tiene todos sus ángulos interiores rectos se llama rectángulo. El rectángulo
que tiene todos sus lados de igual longitud es un cuadrado. El paralelogramo que posee
todos sus lados de igual longitud se denomina rombo.
El cuadrilátero convexo que tiene al menos dos lados opuestos paralelos se llama trapecio.
Los lados paralelos del trapecio se llaman bases. El trapecio isósceles es aquél que tiene
dos lados no consecutivos de igual longitud, y el trapecio rectángulo el que posee un
ángulo interior recto. Un segmento perpendicular, trazado desde una base del trapecio a la
otra, se nomina altura del trapecio; también, por extensión, se le da el nombre de altura a
la distancia entre las bases. En un paralelogramo, una altura es un segmento perpendicular
trazado entre dos de sus lados paralelos o la distancia entre dos de éstos. Ver Fig.3.23.
40
En un cuadrilátero convexo, lados opuestos son pares de lados que no se intersecan; y ángulos
opuestos son pares de ángulos cuyos vértices están en semiplanos opuestos respecto a una de sus
diagonales.
Isósceles
y equilátero Isósceles Rectángulo
y escaleno
Obtusángulo y escaleno
•
53
Trapecios
Paralelogramos
Fig.3.23
Resolver ejercicio 3.17.
54
EJERCICIOS
3.1 Demostrar las siguientes proposiciones:
a) Por dos puntos diferentes pasan infinitos planos.
b) Por un punto pasan infinitos planos.
c) Toda recta está contenida en infinitos planos.
d) Toda recta es un conjunto convexo.
e) Para todo triángulo dado, existe una recta que interseca sus tres lados.
f) La unión de conjuntos convexos, del mismo plano, no necesariamente es un
conjunto convexo.
3.2 Si A-B-C, encontrar la intersección de las semirrectas AB y BC; BA y BC, y la unión de
las semirrectas AB y BC.
3.3 Si A-B-C y B-C-D, encontrar la intersección de las semirrectas BA y CD; AB y BC, y la
unión de las semirrectas BA y CD.
3.4 Si A-B-C, B-C-D y C-D-E, utilizando los símbolos de unión o de intersección de
conjuntos expresar:
a) AC en términos de AB y BC ; AD en términos de AC Y BD
b) AD en términos de AC y CD ; BD en términos de AD y BE
c) AD en términos de AB y BD ; AD en términos de AB , BC y CD .
3.5 Demostrar:
a) Dos rectas diferentes tienen a lo más un punto en común. (Use reducción al
absurdo).
b) Todo plano es un conjunto convexo.
c) Si ℓ es una recta que no está contenida en un plano α, entonces ℓ interseca a α a lo
más en un punto. (Use reducción al absurdo).
d) Si los puntos P, Q están en semiplanos opuestos y Q, R en semiplanos, también,
opuestos; entonces, P, R están en el mismo semiplano.
e) AB = BA ; BAC = CAB; ABC = BAC.
3.6 Si dos rectas se cortan, probar que existe sólo un plano que las contiene. (Use
reducción al absurdo).
3.7 Si tenemos n puntos (n 3) diferentes:
a) ¿Cuántos conjuntos, de dos puntos, se pueden formar?
b) Si no hay tres de ellos colineales, ¿cuántas rectas se pueden trazar?
c) Si n = 6 y no hay cuatro de ellos coplanarios, ¿cuántos planos determinan?
Justificar en cada caso su respuesta.
3.8 a) Si desde un vértice fijo de un polígono convexo de n lados se trazan diagonales,
¿cuántos triángulos se forman después de agotar todas las posibilidades?, ¿por qué?
b) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n lados?, ¿por qué?
3.9 Si ℓ, m y r son rectas, contenidas en un plano α, y ℓ es paralela a m y ℓ no es
paralela a r, demostrar que m no es paralela a r.
3.10 Dada una recta ℓ y P un punto exterior a ℓ trazar, usando las dos escuadras:
a) Una paralela a ℓ por P, si ℓ es horizontal (use papel en blanco ) .
55
b) Una paralela a ℓ por P, si ℓ es oblicua (use papel en blanco).
3.11 En una recta, A y B son puntos. Hallar d (A, B), si: a) La coordenada de A
es – 35 y la de B es 147.b) La coordenada de A es 96 y la de B es 341. c)
La coordenada de A es – 80 y la de B es – 274.
3.12 Sea P un punto exterior a una recta ℓ. Trazar una perpendicular de P a ℓ,
usando las escuadras y papel en blanco, si: a) ℓ es horizontal.
b) ℓ es oblicua.
3.13 Con ayuda de las escuadras, usando papel en blanco, trazar: a) Un
cuadrado de lado 5cm. b) Un rectángulo con lados 6cm y 4cm. c) Un
trapecio de bases 7cm y 3cm y altura 2.5cm. d) Un paralelogramo de
lados 5cm y 3cm, si un ángulo interior mide 50 grados. d) Un triángulo
rectángulo de catetos 6cm y 3.5cm.
3.14 Con ayuda del compás trace un triángulo de lados de 7cm, 5.5cm y 4cm.
3.15 Demuestre que dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma
medida.
3.16 Dos circunferencias de centros O y O’ tienen radios respectivos r y r’ con
r > r’, hallar d (O, O’) si son tangentes interior o exteriormente.
3.17 En triángulos de dimensiones 6cm, 8.5cm y 4cm (uno por cada numeral)
trazar: a) Todas las medianas. b) Las mediatrices de sus lados. c) Las tres
alturas. d) Las tres bisectrices de sus ángulos.
3.18 A, B y C son puntos de una recta.
a) Si A-B-C y M es punto medio del segmento AB, probar que CM = 1/2 (AC + BC).
b) Si las coordenadas de A y C son, respectivamente, 1.4 y – 5.2 y AB = BC,
hallar la coordenada de B.
56
NUEVA PRESENCIA Venías de tan lejos como de algún recuerdo. Nada dijiste. Nada. Me miraste los ojos. Y algo en mí, sin olvido, te fue reconociendo. Desde una azul distancia me caminó las venas una antigua memoria de palabras y besos, y del fondo de un vago país entre la niebla retornaron canciones oídas en el sueño. Mi corazón, temblando, te llamó por tu nombre. Tú dijiste mi nombre... Y se detuvo el tiempo. La tarde reclinaba su frente pensativa en las trémulas manos de los lirios abiertos, y a través de las nubes los pájaros errantes abrían sobre el campo la página del vuelo. Con los hombros cargados de frutas y palomas interminablemente pasaba el mismo viento, y en el instante claro de los bronces mi alma, llena de ángelus, era como un sitio en el cielo. Una vez, antes, antes, yo te había perdido. En la noche de estrellas, o en el alba de un verso. Una vez. No sé dónde... Y el amor fue, tan sólo, encontrarte de nuevo. Meira Delmar Poetisa colombiana
57
LA BALADA DEL AMOR TARDÍO Amor que llegas tarde, tráeme al menos la paz: Amor de atardecer, ¿por qué extraviado camino llegas a mi soledad? Amor que me has buscado sin buscarte, no sé qué vale más: la palabra que vas a decirme o la que yo no digo ya... Amor... ¿No sientes frío? Soy la luna: Tengo la muerte blanca y la verdad lejana... -No me des tus rosas frescas; soy grave para rosas. Dame el mar... Amor que llegas tarde, no me viste ayer cuando cantaba en el trigal... Amor de mi silencio y mi cansancio, hoy no me hagas llorar. Dulce María Loynaz Poetisa cubana
ELEGÍA PARA N. N. Si es demasiado lejos para ti, dilo. Habrías podido correr sobre las pequeñas olas del Báltico, atravesar el campo de Dinamarca, la floresta de hayas, virar hacia el océano, y ya está, cerca, el Labrador, blanco en esta estación del año. Tú, que soñabas una isla solitaria, si temes las ciudades, el parpadeo de los fuegos sobre las autopistas, habrías podido tomar el camino de los bosques sordos, sobre torrentes revueltos y azules, y rastros del ciervo y del reno, hasta las Sierras, hasta las minas de oro abandonadas. El Río Sacramento te habría llevado entonces, por entre las colinas recubiertas de encinas espinosas. Todavía un bosque de eucaliptos, y estarás en mi casa. Es cierto, cuando la manzanita florece, y la bahía es azul en las mañanas de primavera, yo pienso a mi pesar en la casa entre lagos
58
y en las redes recogidas bajo el cielo Lituano. La cabaña donde te despojabas de tu traje antes del baño se cambió para siempre en un cristal abstracto. Y en él está la oscura miel de la tarde, junto al balcón, y las pequeñas lechuzas, graciosas, y el olor de los arneses. Cómo podíamos vivir entonces, yo no puedo decirlo. Las costumbres, los trajes, vibran imprecisos, inconsistentes, tensos hacia el final. ¿Es tal vez que pensábamos en las cosas tal como son? El saber de los años fogosos ha enrojecido los caballos ante la forja, y las pequeñas columnas en el mercado de la aldea, y los peldaños de madera y la peluca de Mamá Fliegeltaub. Mucho hemos aprendido, tú bien lo sabes: cómo nos es quitado, cosa por cosa, todo aquello que no podía ser, la gente, las comarcas. Y el corazón no muere cuando uno creyó que debería, pero sonreímos, el té y el pan sobre la mesa. Sólo el remordimiento de no haber amado como se debe esa pálida ceniza de Sachsenhausen con un amor absoluto, que no está a la medida del hombre. Tú te has acostumbrado a nuevos inviernos, húmedos, a la ciudad donde la sangre del propietario alemán fue raspada de los muros, y a donde él jamás regresó. Tampoco yo he llevado más de lo que podía, ciudades y país. No se puede entrar dos veces en el mismo lago, sobre hojas descompuestas de abedul, y quebrando una estrecha estría de sol. Tus faltas y las mías, no fueron grandes faltas, tus secretos y los míos, no eran grandes secretos. Cuando te anudan la mandíbula con un pañuelo, cuando te ponen una cruz entre los dedos, y a lo lejos un perro ladra, brilla una estrella. No, no es porque estés tan lejos que no has venido el otro día, la otra noche. De año en año madura en nosotros y nos invadirá, yo, como tú, lo he comprendido: la indiferencia.
Czeslaw Milosz Poeta polaco
(Versión de William Ospina, poeta y escritor colombiano)