Capítulo IV Conceptos básicos y estrategias de control predictivo

4.1. Introducción El Control Predictivo Basado en Modelo, Model Based Predictive Control (MBPC o MPC), constituye un campo muy amplio de métodos de control desarrollados en torno a ciertas ideas comunes e integra diversas disciplinas como control óptimo, control estocástico, control de procesos con tiempos muertos, control multivariable o control con restricciones. El Control Predictivo no es una estrategia de control específica, sino que se trata más bien de un campo muy amplio de métodos de control desarrollados en torno a ciertas ideas comunes. Estos métodos de diseño conducen a controladores lineales, que poseen prácticamente la misma estructura y presentan suficientes grados de libertad. Las ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familia de controladores predictivos son básicamente:

• Uso explícito de un modelo para predecir la salida del proceso en futuros instantes de tiempo (horizonte).

• Cálculo de las señales de control minimizando una cierta función objetivo. • Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va desplazando

hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera señal de control en cada instante y desechar el resto, repitiendo el cálculo en cada instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC difieren entre sí casi exclusivamente en el modelo usado para representar el proceso y los ruidos y en la función de coste a minimizar. El Control Predictivo es un tipo de control de naturaleza abierta dentro del cual se han desarrollado muchas realizaciones, encontrando gran aceptación tanto en aplicaciones industriales como en el mundo académico. El buen funcionamiento de estas aplicaciones muestra la capacidad del MPC para conseguir sistemas de control de elevadas prestaciones capaces de operar sin apenas intervención durante largos períodos de tiempo. El MPC presenta una serie de ventajas sobre otros métodos, entre las que destacan:

• Resulta particularmente atractivo para personal sin un conocimiento profundo de control, puesto que los conceptos resultan muy intuitivos, a la vez que la sintonización es relativamente fácil.

• _Puede ser usado para controlar una gran variedad de procesos, desde aquellos con dinámica relativamente simple hasta otros más complejos incluyendo sistemas con grandes retardos, de fase no mínima o inestables.

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• _Permite tratar con facilidad el caso multivariable. • Posee intrínsecamente compensación del retardo. • _Resulta conceptualmente simple la extensión al tratamiento de restricciones, que

pueden ser incluidas de forma sistemática durante el proceso de diseño. • _Es muy útil cuando se conocen las futuras referencias (robótica o procesos en

batch). • _Es una metodología completamente abierta basada en algunos principios básicos

que permite futuras extensiones. Pero, lógicamente, también presenta inconvenientes. Unos de ellos es la carga de cálculo necesaria para la resolución de algunos algoritmos. Pero quizás el mayor inconveniente venga marcado por la necesidad de disponer de un modelo apropiado del proceso. 4.2. Estrategia MPC La metodología de todos los controladores pertenecientes a la familia del MPC se caracteriza por la estrategia siguiente, representada en la figura 4.1. 1. En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las futuras salidas para un determinado horizonte N, llamado horizonte de predicción. Estas salidas predichas

)(ˆ tkty + para k =1…N dependen de los valores conocidos hasta el instante (entradas y salidas pasadas) y de las señales de control futuras )( tktu + , k =1…N-1 que se pretenden mandar al sistema y que son las que se quieren calcular.

Figura 4.1. Estrategia de los controladores predictivos 2. El conjunto de señales de control futuras se calcula optimizando un determinado criterio en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la trayectoria de referencia )( kt +ω (que puede ser directamente el setpoint o una suave aproximación a éste). Este criterio suele tomar la forma de una función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de referencia también predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control. Si el criterio es cuadrático, el modelo lineal y no existen

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restricciones se puede obtener una solución explícita, en otro caso se debe usar un método iterativo de optimización. Adicionalmente se hace alguna suposición sobre la estructura de la ley de control futura, como por ejemplo que va a ser constante a partir de cierto instante. 3. La señal de control )( ttu es enviada al proceso mientras que las siguientes señales de control calculadas son desechadas, puesto que en el siguiente instante de muestreo ya se conoce )1( +ty y se repite el paso 1 con este nuevo valor y todas las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto )11( ++ ttu (que en principio será diferente al )1( ttu + _al disponer de nueva información), haciendo uso del concepto de horizonte deslizante. Para llevar a cabo esta estrategia, se usa una estructura como la mostrada en la figura 4.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso, basándose en las futuras señales de control propuestas. Estas señales son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función de coste así como las restricciones. Por tanto el modelo juega un papel decisivo en el controlador. El modelo elegido debe ser capaz de capturar la dinámica del proceso para poder predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y de comprender.

Figura 4.2. Estructura básica del MPC Si la función de coste es cuadrática, el mínimo se puede obtener como una función explícita de las entradas y salidas pasadas y de la trayectoria de referencia. Sin embargo, cuando existen restricciones de desigualdad la solución debe ser calculada por métodos numéricos con más carga de cálculo. 4.3. Control Predictivo Generalizado El Control Predictivo Generalizado (GPC) fue propuesto por Clarke y asociados en 1987 y se ha convertido en uno de los métodos más populares en el ámbito del control predictivo tanto en el mundo industrial como en el académico. Se ha empleado con éxito en numerosas aplicaciones industriales, mostrando buenas prestaciones a la vez que un cierto grado de robustez respecto a sobreparametrización o retardos mal conocidos. El Control Predictivo Generalizado tiene muchas ideas en común con otros controladores predictivos ya que está basado en las mismas ideas pero posee a su vez algunas diferencias.

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Como se verá más adelante, es capaz de proporcionar una solución explícita (en ausencia de restricciones), puede trabajar con procesos inestables o de fase no mínima. 4.3.1 Formulación del Control Predictivo Generalizado La mayoría de los procesos de una sola entrada y una sola salida (single input single output, SISO), al ser considerados en torno a un determinado punto de trabajo y tras ser linealizados, pueden ser descritos de la siguiente forma [6] :

)()()1()()()( 111 tezTtuzBztyzA d −−−− +−= (4.1)

Donde )(tu y )(ty son respectivamente la señal de control y la salida del proceso y )(te es un ruido blanco. A, B y T son los siguientes polinomios en el operador de desplazamiento hacia atrás 1−z :

nana zazazazA −−−− ++++= ....1)( 2

21

11

nbnb zbzbzbbzB −−−− ++++= ....)( 2

21

101

ntnt ztztztzT −−−− ++++= ....1)( 2

21

11 (4.2)

Donde d es el tiempo muerto del sistema. Este modelo es conocido como autorregresivo de media móvil (Controller Auto-Regressive Moving-Average CARMA). En muchas aplicaciones industriales en las que las perturbaciones son no-estacionarias resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA integrado, dando lugar al CARIMA, que viene descrito por:

∆+−= −−−− )()()1()()()( 111 tezTtuzBztyzA d (4.3)

Con 11 −−=∆ z En los siguientes párrafos que explicarán el cálculo de predicciones, el polinomio T se va a tomar igual a 1. Sin embargo en la práctica este polinomio puede ser escogido y puede influir de manera notable en el desempeño del controlador predictivo. El algoritmo del control predictivo generalizado (GPC) consiste en aplicar una secuencia de señales de control que minimice una función de coste de la forma:

[ ] [ ]∑∑==

−+∆++−+=uN

j

N

Nju jtujjttjtyjNNNJ

1

2221 )1()()()(ˆ)(),,(

2

1

βωγ (4.4)

Donde )(ˆ tjty + es la predicción óptima j pasos hacia delante de la salida del proceso con datos conocidos hasta el instante t , 1N y 2N son los horizontes mínimo y máximo de coste,

uN es el horizonte de control y )( jγ y )( jβ son las secuencias de ponderación (pesos relativos) mientras que es la futura trayectoria de referencia, que se puede calcular .En muchas situaciones se considera )( jγ es igual a 1 y )( jβ constante.

53

El objetivo es pues el cálculo de la futura secuencia de control ),....1(),( +tutu de tal manera que la salida futura del proceso )( jty + permanezca próxima a )( jt +ω . Esto se logra minimizando ),,( 21 uNNNJ . 4.3.2. Predicción óptima

Con la intención de minimizar la función de coste, se obtendría previamente la predicción óptima de )( jty + para 1Nj ≥ y 2Nj ≤ . Considérese la siguiente ecuación diofántica:

)(~)(1

)()(111

11

−−−

−−−

+=

+∆=

zFzAzE

zFzAzE

jj

j

jj

j (4.5.)

Los polinomios jE y jF están únicamente definidos con grados 1−j y

an respectivamente. Se pueden obtener dividiendo 1 entre )(~ 1−zA hasta que el resto pueda ser factorizado como )( 1−− zFz j

j . El cociente de la división es entonces el polinomio

)( 1−zE j Si se multiplica la ecuación (4.3.) por ∆− j

j zzE )( 1

)()()1()()()()()(~ 11111 jtezEdjtuzBzEjtyzEzA jjj ++−−+=+ −−−−− (4.6.) Teniendo en cuenta (4.5), la ecuación (4.6) queda:

)()()1()()()())(1( 1111 jtezEdjtuzBzEjtyzFz jjjj ++−−+=+− −−−−−

La cual se puede escribir como: )()()1()()()()()( 1111 jtezEdjtuzBzEjtyzFzjty jjj

j ++−−+++=+ −−−−− (4.7) Al ser el grado del polinomio )( 1−zE j igual a 1−j los términos del ruido en la ecuación (4.7) están todos en el futuro. La mejor predicción de )( jty + será por consiguiente:

)()()1()()(ˆ 11 tyzFdjtuzGtjty jj−− +−−+=+

Donde )()()( 111 −−− = zBzEzG jj Resulta simple demostrar que los polinomios jE y jF se pueden obtener recursivamente, de forma que los nuevos valores en el paso 1+j ( 1+jE y 1+jF ) sean función de los del paso j. A continuación se muestra una demostración simple de la recursividad de la ecuación diofántica. Existen otras formulaciones del GPC que no están basadas en la recursividad de esta ecuación.

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Considérense que los polinomios jE y jF se han obtenido dividiendo 1 entre )(~ 1−zA hasta

que el resto haya sido factorizado como )( 1−− zFz jj .Con::

na

najjjj zfzffzF −−− +++= ,1

1,0,1 ...)(

)1(1,

11,0,

1 ...)( −−−

−− +++= jjjjjj zezeezE

Supóngase que se utiliza el mismo procedimiento para obtener 1+jE y 1+jF , es decir, dividir

1 entre )(~ 1−zA hasta que el resto se pueda factorizar como )( 1)1(

)1( −+

+− zFz jj con:

na

najjjj zfzffzF −+

−++

−+ +++= ,1

11,10,1

11 ...)(

Está claro que solamente es necesario dar un paso más en la división para obtener los polinomios 1+jE y 1+jF . Al ser 1+jE el nuevo cociente de la división, sería igual al cociente que había hasta el momento ( jE ) más un nuevo término, que sería el 0,jf pues el divisor

( )(~ 1−zA ) es mónico. Por tanto: j

jjjj zezEzE −+

−−+ += ,1

111 )()( con 0,,1 jjj fe =+

Teniendo en cuenta que el nuevo resto será el resto anterior menos el producto del cociente por el divisor, los coeficientes del polinomio 1+jF se pueden expresar como:

10,1,,1~

+++ −= ijijij afff con nai ...0= En resumen, la forma de obtener los polinomios jE y jF es la siguiente:

1. Comenzar con 11 =E , )~1(1 AzF −= 2. Ir añadiendo nuevos términos a jE con 0,,1 jjj fe =+ 3. Calcular 10,1,,1

~+++ −= ijijij afff nai ...0= , (siendo 01, =+najf ).

El polinomio 1+jG puede ser obtenido recursivamente como sigue:

BzfGBzfEBEG jjj

jjjjj

−−++ +=+== 0,0,11 )(

Es decir, los primeros j coeficientes de 1+jG serán idénticos a los de jG , mientras que el resto viene dado por: ijiijijj bfgg 0,,,1 += +++ Para resolver el GPC es necesario obtener el conjunto de señales de control )(tu , )1( +tu ,..., )( Ntu + que minimizan la ecuación (4.4). Al tener el proceso un retardo de d períodos de muestreo, la salida sólo se verá influenciada por la señal )(tu después del instante 1+d .

55

Los valores 1N , 2N y UN que marcan los horizontes pueden ser definidos como 11 += dN , NdN +=2 y NNu = . Es irrelevante hacer 11 +≤ dN ya que los términos de

(4.4) sólo dependerán de las señales de control pasadas. Por otro lado, haciendo 11 += dN los primeros puntos de la secuencia de salida, que serán los mejor estimados, no se tendrán en cuenta. El conjunto de las j predicciones óptimas:

)()()1(ˆ 11 tyFtuGtdty dd ++ +∆=++

)()1()2(ˆ 22 tyFtuGtdty dd ++ ++∆=++

)()1()(ˆ tyFNtuGtNdty NdNd ++ +−+∆=++ Puede ser escrito en forma matricial como: )1()(')()( 11 −∆++= −− tuzGtyzFGuy (4.8) Donde:

++

++++

=

)(ˆ

)2(ˆ)1(ˆ

tNdty

tdtytdty

yΜ

−+∆

+∆∆

=

)1(

)1()(

Ntu

tutu

uΜ

=

−− 021

01

0

000

ggg

ggg

G

NN ΚΜΜΜΜ

ΛΛ

−−−−

−−

−

=

−−−

−−+

−−+

−+

−

))((

))(())((

)('

)1(1

110

1

110

12

20

11

1

NNNd

N

d

d

zgzggzGz

zggzGzgzGz

zG

ΚΜ

=

−+

−+

−+

−

)(

)()(

)(

13

12

11

1

zF

zFzF

zF

d

d

d

Μ

Al depender los últimos términos de la ecuación (4.8) sólo del pasado, pueden agruparse en f, dando lugar a: fGuy += (4.9)

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Obsérvese que es la misma expresión que se obtuvo para el DMC, aunque en este caso la respuesta libre es distinta. 4.3.3. Obtención de la ley de control Entonces la ecuación (4.4) puede escribirse como: ( ) ( ) uuwfGuwfGuJ TT λ+−+−+= (4.10) Donde: [ ]TNdtdtdtw )()2()1( ++++++= ωωω Λ (4.11) La ecuación (4.10) se puede poner como:

021 fbuHuuJ T ++= (4.12)

Donde: ( )IGGH T λ+= 2 ( ) Gwfb T−= 2 ( ) ( )wfwff T −−=0 El mínimo de J , siempre que no existan restricciones en la señal de control, puede ser calculado igualando a cero el gradiente de J , lo cual conduce a: TbHu 1−−= (4.13) Debido al uso de la estrategia deslizante, sólo se aplica realmente el primer elemento del vector u, repitiendo de nuevo el mismo procedimiento al siguiente instante de muestreo. La solución propuesta involucra la inversión de una matriz de dimensión NN × , lo cual conlleva una gran carga de cálculo. El concepto ya usado en otros métodos de horizonte de control se emplea con la finalidad de reducir la cantidad de cálculo, asumiendo que las señales de control permanecerán en un valor constante a partir del intervalo NNu < . Por tanto la dimensión de la matriz que hay que invertir queda reducida a uu NN × , quedando la carga de cálculo reducida.

4.3.4. GPC multivariable

La mayoría de las plantas industriales tiene muchas variables que tienen que ser controladas (salidas) y muchas variables manipuladas o variables que controlan la planta (entradas). En ciertos casos un cambio en una de las variables manipuladas afecta la variable controlada correspondiente y cada uno de los pares del entrada-salida puede ser considerado como una planta SISO y se puede controlar por lazos independientes. En muchos casos, cuando se cambia una de las variables manipuladas, no sólo afecta la variable controlada correspondiente, sino también perturba las otras variables controladas.

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Estas interacciones entre las variables del proceso pueden ocasionar un pobre desempeño en el control del proceso o peor aún, inestabilidad. Cuando las interacciones no son despreciables, debe considerarse que la planta es un proceso de entradas y salidas múltiples (MIMO) en lugar de un juego de procesos de SISO.

El control de procesos MIMO se ha tratado extensivamente en la literatura; quizás la manera más popular de controlar los procesos de MIMO consiste en diseñar compensadores del desacoplamiento para suprimir o disminuir las interacciones y entonces diseñar múltiples controladores SISO. Esto primero requiere determinar cómo aparear las variables de entrada y de salida, es decir cuál variable manipulable se usará para controlar cada una de las variables del salida, y también que la planta tenga el mismo número variables manipulables y de control. El desacoplamiento total es muy difícil de lograr para los procesos con dinámica compleja o que exhiban tiempos muertos. Una de las ventajas del control predictivo es de ese procesos multivariable pueden tratarse de en un modo global.

Derivación del GPC multivariable

Un modelo CARIMA para un proceso multivariable de n-salidas y m-entrada puede expresarse como:

)()(1)1()()()( 111 tezCtuzBtyzA −−−∆

+−= (4.14)

Donde )1( −zA y )( 1−zC son matrices polinómicas mónicas n x n y )( 1−zB es una matriz polinómica n x m que se definen como:

cc

bb

aa

nnnn

nnnn

nnnn

zCzCzCIzC

zBzBzBIzB

zAzAzAIzA

−−−×

−

−−−×

−

−−−×

−

++++=

++++=

++++=

...)(

...)(

...)(

22

11

1

22

11

1

22

11

1

(4.15)

El operador ∆ se define como 11 −−=∆ z . Las variables )(ty , )(tu y )(te son respectivamente el vector del salida 1×n , el vector de la entrada 1×m y el vector del ruido en momento t. Se asume que el vector del ruido es un ruido blanco con cera media. En muchas ocasiones el problema radica en la obtención adecuada del modelo en esta forma a partir de una matriz de transferencia en continuo que puede haberse obtenido a partir de la curva de reacción. Una forma de hacerlo se muestra en [6]. Una vez obtenido el modelo, el criterio a minimizar tendrá la forma general

∑∑==

−+∆++−+=32

1 1

22321 )1()()|(),,(

N

jQ

N

NjR jtujtwtjtyNNNJ (4.16)

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Donde )|( tjty + es una predicción óptima de j-pasos de la salida de la salida del sistema basado en datos al instante t; eso es el valor esperado del vector de la salida en el momento t si las entradas pasadas y los vectores de salida y la secuencia de control futura son conocidas. . 1N y 2N son los horizontes de la predicción mínimo y máximo y )( jtw + es el setpoint futuro o secuencia de referencia para el vector del salida. R y Q son definidos como las matrices de peso. La minimización se realiza igual que en el caso monovariable dando como resultado un vector de señales de control a enviar a la planta en el instante actual: )(),...,(),( 21 tututu m . 4.4. Control Predictivo EPSAC Las ideas fundamentales del controlador predictivo EPSAC (Extended Prediction Self-Adaptive Control ) son las mismas que las de cualquier controlador predictivo: estimar una secuencia futura de control, minimizando un índice que esta relaciona con los errores de las variables controladas y el esfuerzo de control, sujeto a ciertas restricciones. 4.4.1. Modelo del proceso El algoritmo EPSAC [7] trabaja con modelos que pueden ser representados de la siguiente forma:

)()()( tntxty += (4.17) Donde:

)(ty : salida medida del proceso )(tu : entrada el proceso )(tx : salida del modelo )(tn : disturbios del modelo y del proceso

Figura 4.3. Modelo del proceso en EPSAC Los disturbios pueden ser modelados como un ruido coloreado

)()()()( 1

1

tezDzCtn −

−

= (4.18)

Donde )(te es ruido blanco, y )( 1−zC y )( 1−zD son polinomios de órdenes apropiados. En general el efecto de )(tu sobre )(tx puede ser representado por un modelo dinámico general:

59

),....)2(),1(),...,2(),1(()( −−−−= tututxtxftx (4.19)

Donde f puede ser una función de tipo lineal o no lineal. 4.4.2. Predictor multipaso Un paso fundamental en la metodología MPC consiste en la predicción de las salidas del proceso { })( tkty + basada en: • Las mediciones disponibles en el instante t: { }),....2(),1(),....,1(),( −−− tututyty • Los valores futuros (postulados) de las entradas En GPC, se utiliza el modelo CARIMA y el problema de las predicciones de las salidas es resuelto usando ecuaciones diofantinas. En EPSAC, se utiliza un modelo genérico, como el que se ha descrito en las ecuaciones 4.17 a 4.19, y el problema de la predicción multipaso es resuelta mediante técnicas de filtrado. Siguiendo la ecuación 4.17 se tiene:

)()()( tktntktxtkty +++=+ (4.20)

Predicción de )( tktx + Esta puede ser efectuada por un procedimiento recursivo del modelo del sistema. Hay dos posibles configuraciones ilustradas para un proceso de tercer orden en las figuras 4.4 y 4.5.

Figura 4.4. Modelo en paralelo

Figura 4.5. Modelo en serie-paralelo

60

El modelo paralelo sólo puede ser usado para procesos estables. El modelo serie paralelo también puede ser usado para procesos inestables. La diferencia en la implementación de las estructuras mencionadas se muestra en la siguiente figura:

Figura 4.6. Implementación de modelos en paralelo y serie-paralelo En cada instante de muestreo t, el cálculo recursivo se inicia para k=0, y x(t|t) es calculada usando el vector de entradas del modelo [ ]),...3(),2(),1(),...,3(),2(),1( −−−−−− tutututxtxtx el cual contiene valores pasados, por tanto conocidos en el instante t. Note que )()( ttxtx ≡ y el valor debe ser almacenado para ser usado en los siguientes instantes de muestreo. Entonces para k=1, x(t|t) que ha sido previamente calculado es usado en las entradas al modelo para calcular x(t+1|t). Predicción de )( tktn + En el tiempo t, )(tx puede ser calculado como se ha descrito anteriormente. Usando la salida medida del proceso )(ty es posible el valor actual del disturbio media la modelo genérico: )()()( txtytn −= . Note que los valores previos )1( −tn , )2( −tn ,…. son conocidos, ya que han sido calculado en instantes previos. Calculando la señal de disturbio filtrada:

)()()()(

1

1

( tnzCzDtn f −

−

= ; luego

)2()1()(....)2()1()( 2121( −+−++−−−−−= tndtndtntnctnctn fff

De esta manera se obtienen los valores fn . Como el modelo del disturbio viene dado por:

)()()()( 1

1

tezDzCtn−

−

=

61

La conclusión es que la señal )(tn f será un ruido blanco con media cero: )()( tetn f = . Debido a que el ruido blanco es por definición, su mejor predicción es el valor promedio, por lo que; ,0)(( =tn f 2...1 Nk = Por tanto la mejor predicción del disturbio se observa en la siguiente ecuación:

)()()()( 1

1

tktnzDzCtktn f +=+ −

−

El cual puede ser calculado utilizando la siguiente ecuación diferencia

....)1()(.....)2()1()( 121 +−++++−−+−−+−=+ tktnctktntktndtktndtktn ff El procedimiento recursivo va de 2....1 Nk = . Para 1=k , los valores en el lado derecho

)( ttn , )1( ttn + ,…., )( ttn f , )1( ttn f − son conocidos en la base de datos, mientras que

0)1( ≡− ttn f . El valor calculado de )1( ttn + es entonces usado junto con 0)2( ≡+ ttn f ,

con el objetivo de calcular )2( ttn + , etc. De esta manera se calcular las predicciones de los disturbios. 4.4.3. Estrategia del controlador EPSAC Con un MPC lineal, lo que se busca es una secuencia de valores futuros de las variables manipuladas que minimicen una función objetivo, sujeta a ciertas restricciones. En EPSAC, esta secuencia de valores se considera estas como la suma de unas acciones de control futuras base, 0),( ≥+ ktktubase , y unas acciones de control futuras optimizadas,

)( tktu +δ , 10 −≤≤ uNk .

)()()( tktutktutktu base +++=+ δ (4.21) De la misma manera las salidas predecidas se considerarán como la suma de dos términos, que se muestran en la siguiente ecuación.

)()()( tktytktytkty optimizebase +++=+ (4.22)

Más adelante, se explicará el significado de los términos de las ecuaciones 4.21 y 4.22. La siguiente figura ilustra el concepto de acciones de control básica y optimizada.

62

Figura 4.7. Conceptos de acciones de control básica y optimizada

El concepto de horizonte de control implica que uubasebase NktNtutktu ≥−+=+ ),1()( y

uu NktNtutktu >−+=+ ),1()( δδ como sugiere la figura 4.7 (en este caso uN igual a 4).

El término )( tktyoptimize + es el resultado de los términos )( tktu +δ . Por lo tanto

)( tktyoptimize + es el resultado del efecto acumulativo de una serie de entradas impulso y una entrada escalón. Se describen a continuación:

• Un impulso con amplitud )( ttuδ en el instante t , que resulta en una contribución

)( ttuhkδ en la salida del proceso del sistema en el instante kt + ( k períodos de muestreo, observar figura 4.8).

• Un impulso con amplitud )1( ttu +δ en el instante 1+t , que resulta en una

contribución )1(1 ttuhk +− δ en la salida del proceso del sistema en el instante kt + ( 1−k períodos de muestreo, observar figura 4.9).

• Finalmente un escalón con amplitud )1( tNtu u −+δ en el instante 1−+ uNt , que

produce una contribución )1(1 tNtug uNk u−++− δ en la salida del sistema en el

instante kt + ( 1+− uNk periodos de muestreo después)

Figura 4.8. Efecto en el instante kt + de un impulso en el instante t

63

Figura 4.9. Efecto del instante kt + de un impulso en el instante 1+t

Recordando que las predicciones de las variables de salida se pueden considerar como la suma de dos efectos:

)()()( tktytktytkty optimizebase +++=+ La primera componente, )( tktybase + , se calcula empleando el modelo linealizado ,

aplicando la secuencia conocida de la variable manipulada, )( tktubase + como entradas al modelo linealizado del proceso. En esta primera componente están contenidos:

• Efectos de las futuras perturbaciones (predecidas). • Efecto de señales de control pasadas. • Efecto de un futuro escenario de control básico ( baseu ) que es definido a priori.

La segunda componente, )( tktyoptimize + , es el resultado de las acciones uδ las cuales pueden considerarse como una serie de entradas impulso y escalón. )1(....)1()()( 11 tNtugttuhttuhtkty uNkkkoptimize u

−+++++=+ +−− δδδ (4.23) Donde los parámetros

2,...,,...,, 21 Nk hhhh son los coeficientes de las respuestas de impulso

unidad del sistema en las condiciones de operación actuales. Y los valores de kg son los coeficientes de la respuesta a un escalón unidad. En esta segunda componente están contenidos los efectos de la optimización de futuras acciones de control. Si se emplea una notación matricial, la ecuación 4.18 quedaría como:

GU+Υ=Υ (4.24) Donde:

64

[ ])()( 21 tNtytNty basebase ++=Υ Κ

[ ]Tu tNtuttuU )1()( −+= δδ Λ

=

+−−−

+−−+

+−−−

121

211

121

2222

1111

1111

u

u

u

NNNNN

NNNNN

NNNNN

ghhh

ghhhghhh

G

ΚΚΚΚΚΚ

ΚΚ

(4.25)

Donde 1N y 2N son los horizontes inicial y final de predicción, y uN es el horizonte de control. Teniendo las predicciones de las salidas como una función de la secuencia de control, entonces es posible expresar nuestro índice J (ver ecuación 4.4) a optimizar como una función de dicha secuencia. Una forma habitual de la función del índice es la siguiente

[ ]2

2

1

)()(∑=

+−+=N

NktktytktrJ (4.26)

Donde: r representa las referencias de las variables controladas, y las variables controladas Expresar la ecuación 4.26 en notación matricial es fácil

[ ] [ ] [ ]GUYRGUYRYRYRtktytktr TTN

Nk−−−−=−−=+−+∑

=)()()()()()(

22

1

(4.23)

En ausencia de restricciones, se puede calcular de manera explícita la ley de control. Al minimizar esta función representada en la ecuación anterior se tiene como respuesta:

)()( 1 YRGGGU TT −= − (4.28) Donde R es la trayectoria de referencia similar a como se definió la matriz Y en la ecuación 4.25. Sólo el primer elemento )( ttuδ de U es requerido para calcular la acción de control actual que ha de aplicarse al proceso:

)1()()()()( Uttuttuttutu basebase +=+= δ

La función de la índice puede expresarse de una manera más general de manera que se incluya el esfuerzo del control

65

[ ] [ ]∑∑−

==+∆++−+=

1

0

22 )())()((2

1

uN

j

N

NktjkutktrtktyJ βγ (4.29)

Donde: u∆ representa los cambios de las variables manipuladas, γ y β son factores de ponderación. 4.5. Restricciones aplicadas a control predictivo El problema de control ha sido formulado previamente considerando todas las señales del proceso dentro de rango ilimitado. Esto no es muy real, porque en la práctica todos los procesos están sujetos a restricciones. Los actuadores tiene un rango limitado de acción y una razón de giro limitada , como es el caso de las válvulas de control , las cuales están limitadas por una posición completamente abierta y completamente cerrada y una máxima razón de giro. Razones de seguridad y construcción, así como el rango de sensores, determinan los límites en las variables del proceso, como en el caso de niveles en tanques, flujos en tuberías y presiones en depósitos. Sin embargo, en la práctica, los puntos de operación de las plantas están determinados para satisfacer objetivos económicos y se encuentran en la intersección de ciertos límites. El sistema de control normalmente opera cerca de ciertos límites y la violación a las restricciones es probable que ocurra. El sistema de control tiene que anticipar la violación a las restricciones y corregirlas de una manera apropiada. Aunque las restricciones de las entradas y las salidas son básicamente tratadas en la misma forma, las implicaciones de las restricciones difieren. Las restricciones en las salidas son básicamente debidas a razones de seguridad, y deben ser controladas por anticipado debido a que las variables de salida son afectadas por procesos dinámicos. Las variables de entrada o manipuladas pueden siempre mantenerse dentro de ciertos límites por el controlador sujetando la acción de control a un determinado valor satisfaciendo restricciones en las amplitud y oscilaciones.

4.5.1. Restricciones y control predictivo

Recordemos que las acciones del control predictivo fueron calculados por el cálculo del vector u de futuros incrementos en la señal de control, que minimizan una función objetivo cuadrático dado por:

021)( fbuHuuuJ T ++= (4.30)

La solución óptima a este problema se encuentra resolviendo la ecuación lineal: bHu −= En la práctica, la forma normal de usar un GPC es calcular )(tu como se ha descrito previamente y aplicándola al proceso. Si )(tu viola una restricción es saturada al límite respectivo, ya sea por el programa de control o por el actuador. El caso de

)(,),1( Ntutu ++ Λ violando las restricciones no se considera y como en la mayoría de los

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casos no se calcula. Este modo de operar no garantiza que se obtenga lo óptimo cuando las restricciones son violadas. El objetivo principal del GPC, el cual es aplicar la mejor señal de control posible minimizando la expresión (4.30), no se estaría cumpliendo.

Figura 4.10. Restricciones en la señal de control

Para ilustrar este punto, considere los casos de violación a restricciones mostrados en la figura 4.10 de un problema de GPC con un horizonte de control de dos. La figura 4.10 a) muestra el caso donde max)( utu > . En este caso la forma normal de operar sería aplicar

maxu al proceso en lugar de cu donde el mínimo de la función J es alcanzado cuando las restricciones son consideradas. En el caso mostrado en la figura 4.10 b), )(tu no viola las restricciones, y sería aplicada al sistema en lugar de la señal óptima cu , el cuál debería ser aplicada cuando las restricciones son tomadas en cuenta. No considerar las restricciones en las variables manipuladas en toda su extensión, puede resultar en valores muy elevados de la función objetivo y por tanto en un pobre desempeño del sistema de control. Sin embargo, las variables manipuladas siempre son mantenidas en sus límites por el programa de control o por el actuador y esta no es la principal razón para tratar las restricciones de una manera apropiada. Violar los límites en las variables controladas puede ser muy costoso y peligroso así como que puede causar daño a los equipos y pérdidas en la producción. Cuando los límites han sido establecidos por razones de seguridad, la violación de dichos límites puede causar daños a los equipos, desbordamiento, o en la mayoría de los casos la activación del sistema de emergencia, el cual produce normalmente una parada del proceso, pérdida y/o retraso en la producción. La violación de las restricciones en las variables de salida no es contemplada cuando la única manera de manejar restricciones es saturar las variables manipuladas. Una de las principales ventajas del MPC, su capacidad de predicción, no es usada en todo su potencial en esta manera de operar. Los sistemas de control, especialmente los predictivos de gran escala, deben anticipar la violación a las restricciones y corregirlas de una manera apropiada.

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Las restricciones que aparecen serán básicamente amplitud y velocidad de cambio en la señal de control y amplitud en la salida y se pueden expresar como:

t )( yt )1()(u

t )(

∀≤≤

∀≤−−≤

∀≤≤

ytyututu

UtuU (4.31)

Para un proceso de m entradas y n n salidas y restricciones en el horizonte, las restricciones se pueden expresar como:

t fu y1t 1 1ut 1 1)1(Tu 1

∀≤+≤

∀≤≤

∀≤−+≤

yGuu

UtuU (4.32)

Donde 1 es un vector de longitud N cuyos términos son uno y T es una matriz triangular inferior por bloques cuyos elementos no nulos son matrices identidad de dimensión mm× En forma condensada se pueden expresar como:

cRu ≤

Donde:

−

−

−

=

×

×

GGT

TI

I

R

NN

NN

−−−

−+−−−

−

=

fyfytuU

tuUu

u

c

11

)1(11)1(11

11

(4.33)

Las restricciones en las variables de salida )( y yty ≤≤ son normalmente impuestas por razones de seguridad. Otro tipo de restricciones puede ser establecido en las variables controladas del proceso para forzar que la respuesta tenga ciertas características. Además de la clasificación en restricciones en la entrada y en la salida según a que tipo de variable se apliquen, se puede hacer otra clasificación atendiendo a la forma de tratarlas. Así se puede hablar de:

• Restricciones duras como aquellas que no se pueden violar bajo ningún concepto. En este grupo se incluyen las restricciones relacionadas con la operación segura del proceso.

• Restricciones blandas, que son aquellas que pueden ser violadas en un momento

dado por no ser cruciales, pero la violación se penaliza en la función objetivo como un término más. Es una forma de relajar la restricción.

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4.5.2. Resolución del problema Con la adición de restricciones el problema general de control predictivo se puede formular como

Minimizar )(uJ Sujeto a cRu ≤

Es decir, el problema consiste en la minimización de una función cuadrática con restricciones lineales, lo que se conoce como Programación Cuadrática, QP. En este caso no se puede encontrar una solución analítica como en el caso sin restricciones, sino que hay que recurrir a métodos iterativos.

Resulta evidente que la carga de cálculo será considerable, ya que hay que encontrar la solución resolviendo el algoritmo iterativo en cada periodo de muestreo. Normalmente el esfuerzo está justificado por el beneficio económico obtenido al trabajar más cerca del punto de operación óptimo. Para resolver el problema QP existen diversos algoritmos suficientemente probados. Un problema asociado a la implementación del control con restricciones es el análisis de la estabilidad del bucle cerrado. Como es necesario utilizar métodos numéricos para resolver el problema de la optimización, la ley de control resultante no se puede describir de forma explícita, haciendo el problema muy difícil de atacar mediante la teoría clásica de control. En los últimos años se ha trabajado mucho sobre la estabilidad en estas circunstancias, proponiéndose soluciones basadas en la teoría de Lyapunov. La idea básica consiste en que la función de coste cuando el horizonte es infinito es monótona decreciente (si existe solución factible) y se puede interpretar como función de Lyapunov que garantiza por tanto la estabilidad. Sin embargo, como la solución tiene que ser numérica, el número de variables de decisión tiene que ser finito, por lo que se han propuesto dos ideas. En la primera, se descompone la función objetivo en dos partes: una con horizonte finito y restricciones y otra con horizonte infinito y sin restricciones. La segunda idea es en esencia equivalente y consiste en imponer restricciones terminales al estado y usar un horizonte infinito. En cualquier caso es un tema muy abierto, sobre todo si se quieren considerar las incertidumbres en el modelo y los temas asociados con la factibilidad. 4.5.3 Gestión de restricciones Durante la etapa de optimización puede aparecer problemas de no existencia de solución óptima para unas restricciones dadas (no existe compatibilidad entre las restricciones), por ejemplo por el planteamiento de unos objetivos inalcanzables para unas restricciones dadas. Existen otras posibles causas de inexistencia de solución, como es el caso de que una perturbación saque al proceso fuera de la zona de trabajo usual. La factibilidad de un problema de optimización significa que la función objetivo esté acotada y que todas las restricciones sean satisfechas. La no factibilidad puede aparecer en régimen permanente o en el transitorio. El problema de la falta de solución en régimen permanente puede venir provocado por un objetivo de

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control irrealizable. Sin embargo, este tipo de no factibilidad puede ser fácilmente eliminado en la etapa de diseño evitando la inclusión de tales objetivos. También puede ser debido a cambios en referencias que hagan incompatibles las restricciones (se quiera llevar alguna variable a un punto que es imposible de alcanzar con una entrada que está acotada). En el régimen transitorio puede aparecer no factibilidad incluso cuando las restricciones impuestas parezcan razonables. Restricciones que no causan problemas en operación normal pueden producir problemas bajo ciertas circunstancias. Puede que una perturbación o cambio de referencia grande fuerce a una variable fuera de su límite y sea imposible introducirla de nuevo en su zona permitida con señales de control de energía limitada. En estos casos las restricciones se hacen temporalmente incompatibles. 4.5.4. Técnicas de búsqueda de soluciones factibles Los métodos de gestión de restricciones tratan de recuperar la factibilidad actuando sobre las restricciones según diferentes criterios. Los límites de las restricciones se pueden considerar de los siguientes tipos:

• Limites físicos: nunca se pueden sobrepasar, principalmente por motivos de seguridad o por la propia construcción de los equipos (por ejemplo, actuadores)

• Limites de operación: son fijados por los operarios para mantener las condiciones nominales de funcionamiento. Se pueden sobrepasar bajo ciertas circunstancias

• Limites reales: son los que usa el algoritmo de control en cada instante. Son los que proporciona el gestor de restricciones, quien debe calcularlos de forma que nunca superen los límites físicos.

Es decir, el gestor de restricciones calculará los límites reales (los que se envían al algoritmo QP) en base a los límites de operación pero sin salirse nunca de los límites físicos, según se observa en la figura 4.11. Se analizan a continuación posibles soluciones para este problema, que se pueden agrupar en: 1. Desconexión del controlador. 2. Eliminación de restricciones. 3. Relajación de restricciones. 4. Otras técnicas.

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Figura 4.11. Gestión de restricciones

Desconexión del controlador La forma más sencilla de resolver de este tipo de problemas es pasar el controlador a posición manual cuando aparecen las incompatibilidades de restricciones y volver a operación automática cuando se recupera la admisibilidad de la solución. Este método, como se puede comprender tiene serias desventajas. Normalmente, cuando aparecen problemas de incompatibilidad de restricciones es porque el sistema en bucle cerrado se encuentra en un estado crítico donde normalmente el operador tendrá muy poca experiencia en la operación. Adicionalmente, si las restricciones están relacionadas con aspectos de seguridad o económicos, las decisiones llevadas a cabo cuando aparecen problemáticas de compatibilidad de restricciones suelen ser críticas dado que en estos casos alguno de los objetivos del control no puede ser satisfecho. El método suele ser utilizado cuando los problemas de incompatibilidad de restricciones no son frecuentes. Eliminación de restricciones La factibilidad se analiza en cada periodo de muestreo, por lo que la eliminación de restricciones se realiza de forma temporal. Periódicamente se chequea la factibilidad para poder reinsertar restricciones eliminadas. La eliminación de un grupo de restricciones ha de realizarse en aquellos casos en que el conjunto completo de restricciones que se imponen sobre el sistema sea incompatible. Cada vez que existe un problema de incompatibilidad de restricciones, se forma un conjunto de restricciones no admisibles que no se tienen en cuenta en el proceso de optimización. Se pueden distinguir en la metodología de eliminación de restricciones varios tipos:

• Eliminación indiscriminada: Con esta estrategia todas las restricciones se eliminan cada vez que aparezcan problemas de existencia de solución factible, quedando la optimización de un problema sin restricciones. No es un método muy óptimo para resolver el problema de la existencia de solución admisible, pero es la forma más rápida de tener en cuenta incompatibilidad de restricciones. La eliminación indiscriminada de restricciones no es adecuada en todas las aplicaciones.

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No debe ser por ejemplo usada en casos en que las restricciones estén directamente relacionadas con límites de seguridad.

• Eliminación jerárquica: En este caso sólo se eliminan las restricciones que provocan problemas de incompatibilidad. En este método se asigna en la etapa de diseño una prioridad a cada restricción, que da un grado de importancia relativa de dicha restricción frente a las otras. Esta prioridad se usará para clasificar las restricciones de una forma jerárquica (se asigna un número que indica su posición en la jerarquía). De este modo, cada vez que haya problemas de factibilidad o existencia de solución el gestor de restricciones va eliminando por orden las restricciones menos prioritarias hasta que se restablece la factibilidad de la solución, que se chequea cada periodo de muestreo para reinsertar restricciones que hubieran sido temporalmente eliminadas.

Relajación de restricciones Otro método para tener en cuenta el problema de existencia de solución es la relajación de las restricciones. Se puede hacer una relajación de los límites de forma temporal o convertir restricciones duras ( cRu ≤ ), cambiándolas en restricciones blandas ( ε+≤ cRu , con 0≥ε ) para asegurar la existencia de solución, añadiendo un término εε TT a la función de coste de forma que se penalice la violación de la restricción y obtener un mejor comportamiento del sistema controlado. A largo plazo, el término de penalización en la función objetivo llevaría las variables auxiliares a cero.