capitulo 1 del libro matematica financiera

CONCEPTOS BSICOS DE MATEMTICA FINANCIERA

OBJETIVOS DEL CAPTULO General Entregar la fundamentacin terica necesaria para abordar el conocimiento de la Matemtica Financiera.

Especficos

1. Comprender el concepto de valor del dinero en el tiempo VDT-. 2. Definir el concepto de inters y su importancia en el contexto econmico. 3. Presentar la relacin entre las finanzas y la matemtica 4. Abordar el concepto de cifras equivalentes 5. Mostrar la importancia de la matemtica financiera como herramienta de

apoyo para tomar decisiones financieras. 6. Ensear la relacin existente entre el perodo y la tasa de inters 7. Analizar la importancia de comprender el concepto de flujo de caja y de fecha

focal. 8. Dar a conocer diferentes formas para calcular el nmero exacto de das

trascurridos entre una fecha y otra. 9. Proporcionar una metodologa que permita plantear y solucionar una

operacin financiera, bajo el concepto de valor del dinero en el tiempo.

1. CONCEPTOS BSICOS DE MATEMTICA FINANCIERA

1.1. LA MATEMTICA FINANCIERA Y EL CONCEPTO DE INTERS

El estudio de la Matemtica Financiera MF-, desde sus inicios, fundamenta su desarrollo en la matemtica; de hecho, su solucin se basa en convenciones algebraicas que se derivan de un planteamiento. En tal virtud, el estudio de esta asignatura genera cierto temor en estudiantes de pregrado y posgrado, en programas como administracin, economa, contadura pblica e ingeniera. La MF es un rea de las finanzas encargada de estudiar el valor cronolgico del dinero (valor del dinero en el tiempo -VDT-). En otras palabras, se preocupa por conocer el valor econmico de los flujos de caja en un determinado punto del tiempo, ya que como es sabido, el dinero tiene la facilidad de generar ms dinero o ms riqueza con el paso del tiempo, porque ste no es gratuito. Al respecto, el profesor Gutirrez (1998:53) afirma que El capital, siendo un recurso escaso, tiene, como todo factor de produccin, un valor o un costo. El concepto de valor o costo es relativo y representa simplemente una medida destinada a evaluar la prioridad de un recurso dentro del esfuerzo econmico. Esta mayor riqueza est influenciada por factores de carcter econmico y financiero, tales como la inflacin, el riesgo, la oportunidad y la liquidez en la economa, entre otros. Algunos de estos elementos se pueden definir as:

1.1.1. LA INFLACIN Se trata del crecimiento generalizado y continuo de los precios de los bienes y servicios de una economa, el fenmeno contrario, es decir la cada generalizada y continua de los mismos precios, se denomina deflacin. Por lo extenso y general del concepto, tambin resulta difcil de medir, y cada pas dispone de indicadores cercanos a esta medicin: entre ellos el deflactor implcito de cuentas nacionales, el ndice de Precios al Productor y el ms conocido y utilizado, el ndice de Precios al Consumidor.

CAPTULO 1

Este ltimo, aunque se constituye en el ms conocido y el ms utilizado, contiene limitaciones para la medicin del concepto, esencialmente derivadas del campo de aplicacin del indicador, pues slo se estudian los gastos de consumo final de los hogares1. En Colombia, el clculo de la inflacin lo realiza el DANE Departamento Administrativo Nacional de Estadstica-, a partir del IPC ndice de Precios al Consumidor-. Para construir el ndice de Precios al Consumidor se requiere disponer, primero, de una amplia gama de informacin que permita hacer las definiciones pertinentes para el ejercicio, entre las cuales se encuentran: una encuesta de ingresos y gastos familiares, de la cual se obtiene la canasta para seguimiento de precios del ndice (o canasta familiar) y un sistema de ponderaciones para promediar las variaciones individuales de los precios de cada artculo constitutivo de esa canasta. De igual manera se necesita determinar los hbitos de lugar de compra que tienen los hogares del pas, para poder seleccionar los establecimientos donde se levantarn los precios de los bienes y servicios de la canasta para seguimiento de precios. Y por ltimo una encuesta de marcas y calidades, para establecer las especificaciones o caractersticas de los artculos que hacen parte de la canasta y hacer seguimiento al mismo artculo en la misma fuente, y obtener variaciones puras de precios por artculo y por fuente donde se cotizan. A partir de esas variaciones individuales de cada artculo en todas las fuentes donde se cotiza, se obtiene un promedio ponderado para actualizar el nivel bsico de la estructura, llamado gastos bsicos. Cada nivel superior al gasto bsico se obtiene por promedios ponderados de los componentes, es decir clases de gasto como agregacin de gastos bsicos, subgrupos como agregacin de clases, grupos de subgrupos, y finalmente el total por agregacin de grupos. Esto para cada ciudad que hace parte del marco geogrfico de la investigacin y para el agregado de ciudades, o nacional, se inicia el ejercicio a partir de los gastos bsicos locales como base de clculo de los gastos bsicos nacionales, despus el proceso es tambin el de agregacin de componentes hasta llegar al total nacional. En ambos casos trabajando siempre con los nmeros ndice de cada categora 2. 1 Tomado de la pgina Web del DANE, www.dane.gov.co (17 de mayo de 2008)

2 Tomado de la pgina Web del DANE, www.dane.gov.co (17 de mayo de 2008)

1.1.2. EL RIESGO

Uno de los conceptos bsicos de las finanzas tiene que ver con la relacin riesgo rentabilidad. Por ello, se puede afirmar que a mayor riesgo involucrado en la operacin financiera, mayor ser la Tasa Mnima Requerida de Retorno3 (TMRR) que solicite el inversionista. Es decir, existe una ntima relacin entre la tasa de inters y el riesgo percibido: Se puede definir el riesgo como la parte inevitable de cualquier proceso que implique tomar decisiones y para el caso especfico de las finanzas se asocia con prdidas potenciales que se pueden presentar en un portafolio de inversiones en una cartera debidamente conformada y se asocian con la probabilidad de una prdida en el futuro (Rosillo y Martnez, 2004: 20). Los riesgos se pueden clasificar en:

Riesgo de Mercado

Riesgo de Liquidez

Riesgo Legal

Riesgo Operativo

Riesgo de Inflacin

Riesgo de Intereses

Riesgo de Cambio

Riesgo Econmico

Riesgo de Solvencia

Riesgo Pas (Rosillo y Martnez, 2004: 21-23). Una de las maneras ms adecuadas para minimizar la incertidumbre ocasionada por el riesgo, consiste en diversificar el portafolio de inversiones.

3 Tambin conocida como Tasa Mnima Requerida de Rendimiento.

A mayor riesgo, mayor rentabilidad A menor riesgo, menor rentabilidad

1.1.3. LA OPORTUNIDAD

Se concibe como la posibilidad que tiene el inversionista de invertir en alguna actividad, haciendo que no solamente se proteja de la inflacin, sino tambin que generen una utilidad adicional (Garca, 1999: 92). Estas inversiones se pueden hacer en dos sentidos. Por un lado, aquella que genera una rentabilidad econmica (invertir en ttulos valores, prestar dinero a un amigo, etc.); y por el otro, invertir en actividades de bienestar (un viaje a Europa, la compra de un carro, la compra de ropa, el comer en el mejor restaurante de la ciudad, etc.). El concepto de oportunidad planteado, permite que alguien disfrute de los recursos econmicos dispuestos por el inversionista. Es decir, se mide el impacto que genera la decisin de ceder el principal (P). La interaccin de los anteriores conceptos (inflacin, riesgo y oportunidad), permite expresar la tasa de inters como una interaccin de stos:

11...11 21 niiii njjjj ...21

Las anteriores formulaciones matemticas permiten realizar combinacin de tasas de inters, o aplicacin simultnea de varias tasas con el fin de encontrar la tasa real aplicada en la operacin financiera. A partir de las anteriores variables econmicas y financieras se puede construir el concepto de inters, entendido como el costo de capital y este costo vara de acuerdo con la importancia del dinero, como recurso productivo, en cada situacin. Toca con las preferencias de los individuos, pues, para que alguien d dinero en prstamo, se requiere que la satisfaccin que la persona experimente al recibir la suma prestada, ms los intereses correspondientes, supere la satisfaccin que la misma persona tendra de consumir su dinero ahora mismo. Tambin tiene que ver con el riesgo, pues el dueo de los fondos aspirar a un rdito4, mayor entre menores sean la posibilidades de recuperar la invertido. (Gutirrez, 1998: 53). Con base en lo expuesto, el Inters se puede definir como la utilidad o compensacin recibida o pagada por el disfrute o uso del dinero entregado en un momento del tiempo. Es importante resaltar que existe una relacin directa con el concepto de inversin inicial, tasa de inters y tiempo que dure la operacin financiera, ya que esta integracin permite consolidar la ganancia o inters en trminos monetarios.

PinI As mismo, en la medida en que el capital entregado por un inversionista sea mayor y que el tiempo que dure la operacin financiera tambin lo sea, ste pedir una mayor tasa de inters que compense su expectativa y su riesgo. Quiere decir, por lo tanto, que lo que un inversionista exige como cantidad diferencial por el hecho de no disponer del dinero ahora cambio de hacerlo dentro de un periodo determinado, se llama inters, cuya magnitud vara de acuerdo a sus expectativas y el riesgo que l considera est asumiendo al comprometer sus fondos. Expresado como un porcentaje, este inters tambin suele llamarse Tasa Mnima requerida de retorno o Tasa mnima Requerida de Rendimiento (TMRR)... (Garca, 1999: 93). El inters aplicado en una operacin financiera se puede presentar bajo el concepto de capitalizacin de inters. En este caso, estaramos hablando de Inters

4 Es lo mismo que decir rendimiento o inters.

OPORTINIDAD

ECONMICA

BIENESTAR

TASA DE INTERS

INFLACIN RIESGO OPORTUNIDAD

INTERS COMPUESTO INTERS SIMPLE

Compuesto, o bajo el concepto de inters simple, el cual no permite la capitalizacin de intereses.

Finalmente, se puede concluir que la tasa de inters expresa los factores econmicos y financieros anteriormente mencionados, y en buena medida este elemento define la cantidad de inters a ganar o cobrar en una operacin financiera.

1.2. CIFRAS O CANTIDADES EQUIVALENTES Con la Matemtica Financiera se busca entonces, encontrar que dos cifras diferentes, ubicadas en distintos puntos de tiempo, tengan el mismo efecto econmico (poder adquisitivo o de compra), es decir, que lo que se busca es desarrollar el concepto de equivalencia de los valores, gracias a una tasa de inters que lo permite. Por ejemplo, $ 1.000 de hoy son equivalentes dentro de un ao a $ 1.100, siempre y cuando la tasa de inters que se cobre sea del 10%, es decir que la tasa de inters permite que dos cantidades ubicadas en diferente parte del tiempo sean econmicamente iguales.

Por lo anteriormente expuesto, se puede afirmar que, el principio de equivalencia establece que: una o varias sumas de dinero pueden transformase en otras u otras equivalentes, ubicadas en distintos puntos del tiempo, siempre y cuando la tasa de inters establecida satisfaga al inversionista. (Ruiz, 1985: 37). Sobre el mismo concepto el profesor Ignacio Vlez Pareja afirma que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) mayor al cabo de un (1) perodo. (Vlez, 2006: 42). Se puede concluir entonces que la tasa de inters al relacionarse con el principal y la duracin de la operacin financiera, permite establecer una cantidad econmica que se denomina inters. Dicho inters es la cantidad econmica que le permite a un individuo recibir una suma de dinero el da de hoy o recibirla en un tiempo posterior. Es decir, que el inters es el concepto que permite que dos cantidades sean equivalentes entre s, a pesar de encontrarse ubicadas en diferentes puntos del tiempo.

PRINCIPAL (P) TASA DE INTERS (i) PERIODOS (n)

CLASES DE INTERS

Inters Simple

Inters Compuesto

1.3. IMPORTANCIA DE LA MATEMTICA FINANCIERA El manejo de la herramienta de la MF, permite medir el impacto de las decisiones que toman a diario los miembros de la organizacin con relacin a la situacin financiera (inversin, financiamiento, dividendos, operacin). El profesor Oscar Len Garca afirma que El dominio de las matemticas financieras permite a quien las utiliza realizar infinidad de anlisis de tipo financiero, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:

Determinar el verdadero costo de una alternativa de financiacin, o la verdadera rentabilidad de una inversin.

Disear una poltica de descuentos.

Establecer planes de financiamiento a los clientes cuando se vende a crdito.

Seleccionar el mejor plan para amortizar deudas, segn los criterios de liquidez y rentabilidad que tenga la empresa.

Calcular el costo de capital

Escoger las alternativas de inversin a corto o largo plazo que sean ms favorables

Seleccionar entre alternativas de costos.

Evaluar un proyecto de inversin. (Garca, 1999: 92). Segn Vidaurri (2001: XIX) para ...tomar una decisin financiera adecuada, es necesario tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por tal motivo, el estudio de las matemtica financiera nos capacita para elaborar modelos matemticos que

nos permitan resolver de una manera ms racional los problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria. Las decisiones financieras se pueden presentar tanto en las empresas privadas y pblicas, como tambin en las familias; siguiendo la clasificacin presentada por los profesores Bodie Zvi y Merton Robert (1999:4-7) en su texto Finanzas, se puede encontrar que las decisiones financieras que afrontan las familias son cuatro:

Decisiones de consumo y ahorro

Decisiones de inversin

Decisiones de financiamiento

Decisiones de administracin del riesgo

Mientras que las decisiones financieras que deben tomar las empresas hacen alusin a tres tipos fundamentales:

Decisiones relativas al presupuesto de capital

Decisiones de financiamiento

Decisiones relativas al capital de trabajo

A la hora de entrar a abordar los problemas de MF es importante reconocer y seguir la lgica en que estos se basan, y no, usar las frmulas o la calculadora para su solucin como una receta de cocina. Entender la lgica del valor del dinero le permite no slo desarrollar ejercicios de carcter simple, sino dar solucin a los derivados de las relaciones complejas en el mundo de los negocios, y en el propio mbito personal.

1.4. IMPORTANCIA DEL USO DE LA CALCULADORA Una gran cantidad de errores que comete el alumno de la asignatura de matemtica financiera se presenta al incorporar operaciones aritmticas de manera incorrecta en la calculadora; situacin irnica, si se piensa por un momento que este instrumento fue desarrollado por la humanidad para agilizar los clculos numricos y entregar con ellos gran precisin; esta situacin se da por el desconocimiento por parte del usuario de la manera en que las calculadoras llevan a cabo tales operaciones. La invencin ...de la calculadora se ha convertido, junto con la computadora, en una herramienta bsica de las actividades laborales, acadmicas y de la vida cotidiana.

INTERS

UTILIDAD PRINCIPAL (P) FUTURO (F) + =

CANTIDADES EQUIVALENTES

El uso normal de una calculadora es como una til herramienta empleada para la resolucin de tediosos clculos aritmticos; puede utilizarse para comprender mejor ciertos conceptos matemticos y para desarrollar cierta habilidad matemtica. Sin embargo, la calculadora no podr ser utilizada como un sustituto del razonamiento ni para interpretar resultados; estas actividades continan siendo exclusivas del ser humano (Vidaurri, 2001: 1). En la actualidad, estamos en la era de las calculadoras y, con su advenimiento, ha cado en desuso la regla de clculo, despus de un reinado de tres siglos. Los modelos de calculadoras son muy diversos, incluso las hay con funciones especficas para aplicaciones financieras; los diseos de las calculadoras evolucionan continuamente, por esto resultara intil explicar la forma de explicar la forma de utilizar alguna de ellas. Slo es preciso decir que se trata de una herramienta indispensable para quien pretenda trabajar en el rea de las matemticas financieras. El primer paso ser seleccionar una calculadora adecuada y tener pleno conocimiento sobre su manejo y posibilidades. (Portus, 1998: 7). Las calculadoras han evolucionado de acuerdo a las exigencias del usuario y en la actualidad es posible encontrar en el mercado cuatro tipos5:

La calculadora bsica o estndar

La calculadora cientfica

La calculadora graficadora

La calculadora financiera Gracias al desarrollo obtenido en las calculadoras, la matemtica financiera de ha beneficiado en la medida que ha permitido agilizar los clculos con el fin de tomar decisiones ms rpidas y acertadas; adicionalmente el uso de las tablas de inters ha entrada en desuso6.

5 Se recomienda al estudiante leer el manual de su calculadora para comprender la manera de

introducir operaciones matemticas en ella. 6 Si desea profundizar sobre el tema de las calculadoras puede hacerlo en el libro

Matemticas Financieras de Hctor M. Vidaurri Aguirre, segunda edicin. Editorial Thomson

Learning. Mxico, 2001. Pginas 1-22.

1.5. LAS FRMULAS ALGEBRAICAS AL SERVICIO DE LA MATEMTICA FINANCIERA

Al inicio las operaciones financieras que trataban el tema de la matemtica financiera se realizaban mediante clculos dispendiosos al tener que realizar las operaciones de forma consecutiva con el fin de hallar el valor equivalente, ya que no exista una mecnica (formulas) que permitieran simplificar las operaciones. Es por esta razn que ...hace muchos aos, acadmicos estudiosos de las Matemticas Financieras (MF), disearon una serie de frmulas denominadas formulas de matemticas financieras cuyo propsito es permitir el clculo de valores equivalentes en diferentes momentos del tiempo, por lo que tambin se les denomina formulas de equivalencia (Garca, 1999: 95). Estas frmulas permiten calcular entonces, valores equivalentes ubicados en diferentes partes del tiempo, tanto para operaciones de inters simple como de inters compuesto. Gracias a estas frmulas y antes de aparecer las calculadoras sofisticadas y los sistemas computacionales, se logr construir las tablas de inters o tablas de factores que se utilizaban para la solucin de los problemas. Una frmula es una representacin simblica de ciertos hechos. Pueden usarse cualesquiera smbolos con tal que conozcamos los datos que representa. Se ha establecido la costumbre de usar las letras de los alfabetos griego y romano, con preferencia a otros signos. Las frmulas permiten a menudo resolver con facilidad un problema difcil, cuya solucin por procedimientos puramente aritmticos sera lenta y fastidiosa. Adems, cuando las relaciones numricas pueden expresarse en una frmula, se facilita muchsimo el proceso de hallar una cantidad desconocida. ...una frmula podra considerarse como una gua que permite hallar el camino a travs de un laberinto. (Moore, 1963: 5-6). Es importante destacar que la notacin de cada trmino expresado en las frmulas puede variar dependido la literatura que el usuario llegue a abordar, por ello, es muy comn encontrar que algunos elementos expresados en las frmulas de matemticas financieras se pueden identificar como: Inters (I): Se puede definir como la cantidad que se cobra por el uso del dinero. Renta que se paga por el uso de unos recursos. Dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. Es el rendimiento que se obtiene al invertir en forma productiva el

dinero. En trminos ms concretos se puede definir como una relacin directa entre el capital invertido, la tasa de inters y el tiempo de la operacin. Valor presente (VP): Es el capital inicial invertido en el momento cero, tambin puede denominarse de varias maneras como: Principal (P), Valor de transaccin (VT), Valor lquido (VL), Capital inicial (C), Inversin inicial (INV.), Valor presente (P), etc. Valor futuro (VF): Representa el valor acumulado o incrementado por efecto del inters; otras denominaciones a este concepto son: Capital final (S), Monto (M), Final (F), Valor acumulado, Valor final, cantidad acumulada, valor futuro (F), etc. Cuota Uniforma (R): Es el canon o arriendo peridico; tambin es denominado cuota uniforme o anualidad. Se puede expresar tambin mediante la letra A que representa la inicial de la palabra anualidad. Cuota Variable (R): Es el canon o arriendo peridico que crece o decrece en trminos aritmticos7 (lineales) o geomtricos8 (exponenciales); tambin es denominado cuota variable o gradiente. Nmero de periodos (n): Es el tiempo expresado en periodos de la operacin financiera; puede expresarse tambin como Tiempo de la transaccin (t), plazo, tiempo que dura el prstamo. Cuando se trabaja con las frmulas de anualidades o gradientes significa nmero de pagos peridicos. Tasa de inters (i): corresponde a la rentabilidad generada o cobrada en la operacin financiera. Dependiendo el caso de anlisis, la tasa de inters se puede expresar como TIO (Tasa Interna de Oportunidad), TMRR (Tasa mnima requerida de Retorno), Costo de Capital (KC), Tasa Interna de Retorno (TIR), etc.

1.6. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA9

7 Se refiere al crecimiento o decrecimiento de la cuota siguiente en un mismo valor

monetario 8 Se refiere al crecimiento o decrecimiento de la cuota siguiente en un mismo valor

porcentual 9 Tambin se puede denominar: diagramas de tiempo, lneas de tiempo, escala de tiempo,

flujo de caja, etc.

Para poder visualizar las operaciones financieras, es necesario construir una grfica que permita ubicar en el tiempo los valores o flujos de caja (ingresos o egresos), ya que recordar el lector, que al hablar de matemtica financiera se est haciendo alusin al valor del dinero en el tiempo, circunstancia que hace necesario comprender la ubicacin de los flujos en el tiempo, con el fin de construir adecuadamente la ecuacin que permita dar solucin al caso planteado en el problema. Es decir, que en gran medida el xito que se obtenga al comprender y realizar un problema de matemtica financiera es atribuible a una correcta construccin de la grfica, por esa razn, lo que se pretende es trasladar la informacin del problema, sus datos, a un diagrama que nos permite visualizar y controlar la solucin que le estamos dando (Cardona, 1986:20). Es decir, el diagrama consiste en una lnea horizontal dividida en secciones iguales que representan los periodos entre los cuales se aplica la tasa de inters (Ruiz, 1985: 34); al respecto el profesor Jos Obed Ramrez la define como un fragmento de recta horizontal que muestra el tiempo o plazo n que dura la transaccin. Esta lnea se divide en el nmero de subunidades de tiempo denominadas perodos (Ramrez, 2000:18). Para poder ubicar los flujos en la recta del tiempo, es necesario identificar cuales son los ingresos y los egresos, los primeros se representan con flechas hacia arriba y los segundos, con flechas hacia abajo; adems, es importante colocar sobre el diagrama los flujos en forma cronolgica y secuencial. Las secciones o escalas utilizadas en la construccin de la grfica pueden ser das, meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres, semestres, aos, etc., o cualquier unidad de tiempo que resulte conveniente para resolver los problemas.

$ 10.000.000

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n Aos

i = 10%

P= $ 10.000 En una operacin financiera por ms compleja que sea esta, siempre intervienen dos agentes econmicos, uno que recibe recursos econmicos (deudor) y otro quien los entrega (prestamista); por esta razn, es importante identificar a quien se le debe realizar el flujo de caja. Veamos el siguiente ejemplo: El seor Juan Manuel Ramrez Mora solicita un crdito al Banco Ganadero por valor de $ 10.000.000. La entidad financiera otorga el crdito, dando un plazo de un ao para su cancelacin. Determine el valor Futuro que debe cancelar el seor Ramrez, teniendo presente que el banco cobra una tasa de inters del 10%. En esta operacin financiera, la grfica se debe realizar hacia el deudor, veamos:

Ahora comparemos la grfica del deudor con la del prestamista:

Se puede apreciar claramente que el ingreso inicial del deudor, es un egreso para el prestamista; mientras que el egreso final del deudor, es un ingreso para el prestamista. Finalmente, es importante mencionar que existen diferentes maneras de representar la grfica cuando esta es infinita o cuando el nmero de periodos es muy amplio, se procede de diferentes maneras, pero lo nico que se mantiene estndar, es la forma de ubicar los flujos, de tal manera que los ingresos son flechas ubicadas en la parte superior de la recta, mientras que los egresos en la parte inferior de la misma. Algunos ejemplos de esta representacin son:

1.7. EL PORCENTAJE

El porcentaje es la forma de expresar la tasa de inters cobrada en una operacin financiera, esta forma tambin se le conoce con el nombre de valor porcentual o relativo. Es importante aclarar que la expresin relativa o porcentual de la tasa de inters no puede ser utilizado de manera directa en las ecuaciones, es por ello, que se debe expresar la tasa de inters en forma decimal o en valores absolutos, lo cual se obtiene al dividir el valor porcentual entre 100. Es decir: Valor Relativo Valor Absoluto

El porcentaje, llamado tambin tanto por ciento, proviene de la palabra latina per centum, que significa por ciento. El clculo del porcentaje es una de las operaciones ms utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasas de inters, tasas de descuento, etctera. El trmino por ciento significa centsima; es decir, es decir el por ciento de un nmero N es una fraccin con numerador N y denominador 100. El smbolo de por ciento es %10. As, por ejemplo: 14% significa 14/100 =0,14 2,16% significa 2,16/100 =0,026 348% significa 348/100 =3,48 Inversamente, cualquier nmero puede ser escrito en forma de porcentaje; simplemente se multiplica por 100 y se agrega el smbolo %. Por ejemplo: 0,1814 = (0,1814)(100)% =18,14% 1,175 = (1,175)(100)% =117,5% Qu significa, entonces, la expresin 6% de 78? Como 6% significa 6 centsimas, sta expresin significa: hallar 6 centsimas de 78. Por tanto, 6% de 78 es simplemente la multiplicacin de 78 por 0,06; esto es: 6% de 78 = (6/100)(78) = 4,68

10

El smbolo % surgi como una corrupcin de la abreviatura de la palabra ciento (cto.). El

primero en usar el smbolo fue Delaporte, que en 1685 lo emple en su obra Gua del

Comerciante.

El nmero 4,68 recibe el nombre de producto. 6% es el porcentaje o tanto por ciento y 78 se llama base (Vidaurri, 2001: 103-104).

1.8. LOS PERODOS

Cuando realizamos una transaccin podemos observar que el tiempo transcurre, entre el momento en que se inicia hasta cuando finaliza; solo quizs podemos exceptuar cuando lo realizamos de contado (o en la misma fecha). El tiempo que transcurre lo podemos medir en diferentes unidades: das, semanas, meses, trimestres, semestres o aos, siendo estos los ms frecuentes. Ahora entraremos a considerar en forma genrica el tiempo y decimos que transcurre en periodos, entendindolo como el nmero de veces que la unidad de tiempo se repite (o est contenida). As, si realizamos una negociacin desde el 1 de enero hasta el 30 de septiembre, el tiempo comprendido lo podemos expresar en diferentes perodos, dependiendo de la unidad de tiempo deseada. Veamos: Si la unidad es das, tenemos n = 270 Si la unidad es semanas, tenemos n = 36 Si la unidad es meses, tenemos n = 9 Si la unidad es trimestres, tenemos n = 3 Si la unidad es semestres, tenemos n = 1,5 Si la unidad es aos, tenemos n = 0,75 Veamos en el anterior cuadro que el nmero de periodos (llamado n) puede tomar valores enteros, fraccionarios y menores y mayores que la unidad. Cul valor se debe utilizar? Depende de cada situacin. (Cardona, 1986.18-19) Por esta razn, se debe siempre conocer la cantidad de perodos que se contienen en otra unidad:

30% 30 / 100 0,30

360 Das

48 Semanas

24 Quincenas

Es importante aclarar que un bimestre es entendido como la unidad de tiempo que considera dos meses; es decir que sucede o dura cada dos meses. Tambin es conocido como bimestral. No toca confundir estos dos trminos con el concepto de bimensual, que significa que se hace u ocurre dos veces al mes. Es decir que bimestral no es sinnimo de bimensual11

11

Bimensual y bimestral son palabras con significado completamente distinto. Bimensual es

lo que sucede u ocurre dos veces al mes, y bimestral, lo que sucede u ocurre cada dos

meses.

Una revista bimensual sale veinticuatro veces al ao, mientras que una bimestral sale seis

veces al ao. La confusin cuando se da, puede ser grave. Imagnese usted una clusula

contractual en que los firmantes se comprometan a cobrar y pagar un milln de dlares en

forma bimensual, cuando lo que se pretenda era que lo hicieran en forma bimestral. El

milln se convierte en cuatro millones. Escrito por Fernando vila. Dgalo sin errores.

Bogot, Editorial Norma, 2002. Tomado el 17 de mayo en

http://ftp.eia.edu.co/Sitios%20Web/Fluidos/lecturas/esquina/2_Bimensual.pdf

1 Ao

12 Meses

6 Bimestres

4 Trimestres

3 Cuatrimestres

2 Semestres

1 Semestre

180 Das

24 Semanas

12 Quincenas

6 Meses

3 Bimestres

2 Trimestres

1,5 Cuatrimestres

0,5 Aos

1 Trimestre

90 Das

12 Semanas

6 Quincenas

3 Meses

1,5 Bimestres

0,75 Cuatrimestres

0,5 Semestres

0,25 Aos

1 Bimestre

8 Semanas

4 Quincenas

2 Meses

0,66 Trimestres

0,5 Cuatrimestres

0,3333 Semestres

0,166666 Aos

60 Das

1.9. CLCULO DEL TIEMPO DE UNA INVERSIN EN DAS (FRACCIN DE AO)12

Es comn que el tiempo de una operacin financiera transcurra entre das (fraccin de ao), es decir, se tendra que calcular el tiempo en nmero de das entre dos fechas; por esta razn, resulta importante presentar la forma para poder obtener dicho clculo, el cual se puede hacer de dos maneras:

Tiempo Aproximado o Mtodo Abreviado

Tiempo Exacto o Real

1.9.1. TIEMPO APROXIMADO O MTODO ABREVIADO Clculo utilizado para simplificar las operaciones financieras y comerciales, ya que estima que cada mes del ao contempla 30 das, as mismo, considera que el ao tiene 12 meses o en su defecto 360 das; de esta manera se facilitan los clculos al permitir un gran nmero de simplificaciones13 sin la utilizacin de la calculadora o el computador. Es decir que:

12

Es posible que se presenten diferencias entre el inters calculado por un deudor y por el

acreedor, por efecto de la irregularidades del calendario, ya que los meses de este, no

contienen el mismo nmero de das (febrero 28 das, marzo 31 das, abril 30 das, etc.) 13

360 tiene los siguientes divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45,

60, 72, 90, 120, 180 y 360.

MES DAS

Enero 30

Febrero 30

Marzo 30

Abril 30

Mayo 30

Junio 30

Julio 30

Agosto 30

Septiembre 30

Octubre 30

Noviembre 30

Diciembre 30 Ejemplo 1

Calcule los das transcurridos entre el 20 de agosto de 2005 hasta el 31 de diciembre del mismo ao. Utilice el mtodo abreviado. Solucin:

TIEMPO DAS POR INTERVALO DAS ACUMULADOS

Del 20 de Agosto al 20 de Septiembre 30 30

Del 20 de Septiembre al 20 de Octubre 30 60

Del 20 de Octubre al 20 de Noviembre 30 90

Del 20 de Noviembre al 20 de Diciembre 30 120

Del 20 de Diciembre al 31 de Diciembre 11 131

O tambin se puede de la siguiente manera:

FECHAS AOS MESES DAS

31 de Diciembre 2005 12 31

20 de agosto 2005 8 20

0 AOS 4 MESES 11 DAS

120 DIAS 11 DAS

La operacin que se hace es una diferencia entre fechas

TOTAL

Cada ao se estima en 360 das

Cada mes se estima en 30 das

Interpretacin Los das transcurridos de forma aproximada entre el 20 de agosto de 2005 y el 31 de diciembre son 131 das.

Ejemplo 2 Determine los das aproximados que han transcurrido desde el 20 de junio de 2004 al 31 de octubre de 2007 Solucin


Del 20 de Junio de 2004 al 20 de Junio de 2007 1080 1080

Del 20 de Junio de 2007 al 20 de julio de 2007 30 1110

Del 20 de Julio de 2007 al 20 de Agosto de 2007 30 1140

Del 20 de Agosto de 2007 al 20 de Septiembre de 2007 30 1170

Del 20 de Septiembre de 2007 al 20 de Octubre de 2007 30 1200

Del 20 Octubre de 2007 al 31 de Octubre de 2007 11 1211 O tambin se puede de la siguiente manera:


31 de octubre 2007 10 31

20 de junio 2004 6 20

3 AOS 4 MESES 11 DAS

1080 DAS 120 DIAS 11 DAS



TOTAL

La operacin que se hace es una diferencia entre fechas Interpretacin Los das transcurridos de forma aproximada entre el 20 de junio de 2004 al 31 de octubre de 2007 son 1.211 Das.

Ejemplo 3 Calcule los das transcurridos en forma aproximada desde el 30 de septiembre de 2004 al 5 de junio de 2007 Solucin


Del 30 de septiembre de 2004 al 30 de septiembre de 2006 720 720

Del 30 de septiembre de 2006 al 30 de octubre de 2006 30 750

Del 30 de octubre de 2006 al 30 de noviembre de 2006 30 780

Del 30 de noviembre de 2006 al 30 de diciembre de 2006 30 810

Del 30 de diciembre de 2006 al 30 de enero de 2007 30 840

Del 30 de enero de 2007 al 30 de febrero de 2007 30 870

Del 30 de febrero de 2007 al 30 de marzo de 2007 30 900

Del 30 de marzo de 2007 al 30 de abril de 2007 30 930

Del 30 de abril de 2007 al 30 de mayo de 2007 30 960

Del 30 de mayo de 2007 al 5 de junio de 2007 5 965

O tambin se puede de la siguiente manera:


5 de junio 2007 6 5

30 de septiembre 2004 9 30

TOTAL




Al intentar realizar la diferencia entre las dos fechas del ejercicio, se encuentra que, tanto en la columna de meses, como de das, el minuendo es menor que el sustraendo, por ello se debe disminuir en un ao, la columna aos, con el fin de sumarle su equivalencia en meses en la siguiente columna:


5 de junio 2006 18 5





TOTAL

De igual manera, en la columna meses se deber disminuir en un mes, y sumar su equivalencia en das en la siguiente columna:


5 de junio 2006 17 35


2 AOS 8 MESES 5 DAS

720 DAS 240 DAS 5 DAS



TOTAL


Interpretacin Los das transcurridos de forma aproximada entre el 30 de septiembre de 2004 y el 5 de junio de 2005 son 965 das. Ejemplo 4 Calcule los das transcurridos en forma aproximada en nueve (9) meses

das 270 Meses Nueve

das 30meses 9 Meses Nueve

Interpretacin Los das transcurridos de forma aproximada en nueve (9) meses, corresponde a 270 das. Ejemplo 5 Calcule los das transcurridos en forma aproximada desde el 2 de enero al 2 de noviembre del mismo ao. Solucin Entre el 2 de enero al 2 de noviembre del mismo ao existen 10 meses:

das 300 Meses Nueve

das 30meses 10 Meses Diez

Interpretacin Los das transcurridos de forma aproximada desde el 2 de enero al 2 de noviembre del mismo ao, corresponde a 300 das.

1.9.2. TIEMPO EXACTO O REAL

Utilizando esta forma, se puede obtener realmente los das transcurridos entre dos fechas distintas, considerando precisamente meses no slo de 30 (como lo hace el aproximado), sino tambin meses 31, 28 o 29 das14 dependiendo el intervalo de tiempo analizado (meses).

Para la estimacin del tiempo exacto en das, se pueden utilizar diferentes medios para su clculo:

14

Un ao tiene: Enero 31 das, Febrero 28 das (29 das con ao bisiesto), Marzo 31 das,

Abril 30 das, Mayo 31 das, Junio 30 das, Julio 31 das, Agosto 31 das, Septiembre 30

das, Octubre 31 das, Noviembre 30 das, Diciembre 31 das.

1. Uso del Excel 2. Uso de calculadoras financieras: Hewlett Packard (referencias 19BII, 17BII),

Cassio, entre otras marcas y referencias

3. Utilizando un almanaque o calendario: si se cuenta la salida no se cuenta la llegada o caso contrario15.

4. Tablas de Das: en el texto se presentan dos tablas para su clculo.

Con los dos primeros medios, se puede llegar a estimar tiempo real incluyendo el da de ms cuando es un ao bisiesto. Mientras, con los dos ltimos, se cae en el error de no considerar el da de ms cuando es un ao bisiesto16. En el presente texto se explicar el tema a partir de dos tablas de das:

Tabla de das nmero uno

Tabla de das nmero dos Tabla de das nmero uno: es presentada y utilizada por el Profesor Guillermo Baca Currea en sus textos Ingeniera Econmica y las Matemticas Financieras y los Sistemas:

15

Si se obtiene un prstamo de $ 100 hoy y se devuelve maana, el inversionista slo ha

utilizado los recursos por espacio de un da y no por espacio de dos das. En su libro

Manual de Matemticas Financieras escrito por Justin H. Moore en 1963, se dice

textualmente, ...En justicia, debera pagar inters slo por un da. En realidad, esa es la

costumbre entre los banqueros y hombres de negocios de los Estados Unidos e Inglaterra.

En estos dos pases, para determinar la duracin del perodo de un prstamo, se excluye el

primer da y se incluye el ltimo. En la antigua Roma se incluan el primero y el ltimo da,

esto es, los das terminales, costumbre que sigue usndose todava en Francia, Holanda y

algunos otros pases.

As, para un prstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargara

inters por 23 das en Estados Unidos, pero en Francia se cargara por 24 das.

Fijacin de la fecha del vencimiento: La fecha en que vence un prstamo se fija basndose

en la forma en que est redactada la obligacin.

Por ejemplo, si en una transaccin de fecha de 5 de septiembre un deudor se compromete a

devolver el prstamo a los cuatro meses, habr que entregar el dinero el 5 de enero.

Por otro lado, si otro prstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo

mutuo 120 das, la devolucin habr de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se

cuanta el nmero exacto de das, porque el tiempo se ha expresado en das.(pgina 11).

El profesor Lincoyn Portus Govinden en su texto de Matemticas Financieras (cuarta

edicin de 1998) con relacin al tema afirma Si la fecha terminal corresponde a un da festivo, el sistema local indicar si el pago debe recibirse el primer da hbil siguiente, sin

contar das adicionales para el cobro de intereses. (pgina 20) 16

Este texto, slo considerar aos de 365 das con el fin de utilizar las tablas de das, que

no consideran como ya se dijo el da de ms cuando es ao bisiesto. El lector, debe recordar

que cada cuatro aos, es un ao bisiesto. Ejemplo: ao 1996, ao 2000, ao 2004, ao 2008,

etc.

Da Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Da

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31

* Para ao bisiesto, se adiciona un da ms a partir del 1 de marzo FUENTE: Baca Currea, Guillermo (2002a). Ingeniera Econmica. Pgina 375.

En la anterior tabla no se incluye el da inicial; para su utilizacin, se deben seguir las siguientes reglas:

a) Para obtener el nmero exacto de das en un mismo ao, se debe ubicar el da de la primera fecha en la columna DIA, posteriormente, se ubica el mes de esta fecha en la columna MES que corresponda, buscando el punto de interseccin entre el DIA y el MES. Igual procedimiento se realiza con la segunda fecha, para proceder finalmente, a efectuar la diferencia entre los dos valores obtenidos en la interseccin, ubicando como minuendo el mayor valor (que corresponde a la segunda cifra).

b) Para calcular el nmero de exacto de das trascurridos entre varios aos17, se debe ubicar el da de la primera fecha en la columna DIA, posteriormente, se ubica el mes de esta fecha en la columna MES que corresponda, buscando el punto de interseccin entre el DIA y el MES. Posteriormente, se toma el valor correspondiente a la interseccin del da 31 de diciembre del ao correspondiente (365) y se realiza la diferencia entre este valor y el obtenido de la primera interseccin, establecindose de esta forma el nmero de das trascurridos en el primer ao que se toma como referencia. Finalmente, se busca en la tabla la interseccin que corresponda a la segunda fecha, para sumar este nmero de das al calculado para el primer ao.

Encontrar el nmero exacto de das para los siguientes casos, utilizando la anterior tabla: Ejemplo 6 20 de enero de 2005 al 25 de septiembre de 2005

FECHAS CIFRA DE LA TABLA

25 DE SEPTIEMBRE DE 2005 268

17

Tenga en cuenta que si en el perodo a calcular se presentan aos completos, estos se

asumen de 365 das sin efectuar clculo alguno ya que este se realiza cuando existen

fracciones al inicio y/o al final de un periodo.

20 DE ENERO DE 2005 20

DIFERENCIA18 248 DAS

Ejemplo 7 28 de junio de 2005 al 12 de septiembre de 2005


12 DE SEPTIEMBRE DE 2005 255

28 DE JUNIO 2005 179

DIFERENCIA 76 DAS

Ejemplo 8

8 de enero de 2004 al 15 0ctubre de 2004


15 DE OCTUBRE DE 2004 288


DIFERENCIA 28019 DAS

Ejemplo 9

18 de febrero de 2004 al 10 mayo de 2004


10 DE MAYO DE 2004 130

18 DE FEBRERO 2004 49

DIFERENCIA 8120 DAS

18

Recuerde que se debe de tomar como minuendo la mayor cifra encontrada en la tabla,

para este caso 268 20 = 248 das. 19

La tabla de das no considera en su clculo aos bisiestos como lo es el ao 2004, por esta

razn los das obtenidos con el uso de la tabla son de 280 das y no de 281 das como es la

realidad. 20

La tabla de das no considera en su clculo aos bisiestos como lo es el ao 2004, por esta

razn los das obtenidos con el uso de la tabla son de 81 das y no de 82 das como es la

realidad.

Ejemplo 10

22 de junio de 2004 al 30 de mayo de 2005


31 DE DICIEMBRE 2004 365

22 DE JUNIO DE 2004 173

DIFERENCIA 192 DAS

30 DE MAYO DE 2005 15021

ADICIN 342 DAS

Ejemplo 11 20 de agosto de 2004 al 20 de enero de 2008


31 DE DICIEMBRE 2004 365

20 DE AGOSTO DE 2004 232

DIFERENCIA 133 DAS

AO 2005 365

AO 2006 365

AO 2007 365


ADICIN 1248 DAS

Tabla de das nmero dos: Es presentada por el Profesor Moore, en su obra Manual de Matemticas Financieras (1963), y la denomina nmero exacto de das en la duracin de un prstamo

Desde cualquier da

Al mismo da del prximo

Ene. Feb. Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

21

Valor registrado en la tabla en la interseccin DIA MES.

Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

Junio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Septiembre 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Noviembre 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Diciembre 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

FUENTE: Moore Justin H. (1963) Manual de Matemticas Financieras. Pgina 15.

En la anterior tabla no se incluye el da inicial. De acuerdo con Moore (1963:15-16) para emplear la tabla anterior se deben seguir las siguientes reglas:

a) Para obtener el nmero exacto de das comprendidos entre cualquier fecha de un mes y la misma de cualquier otro mes, hllese el nmero de la tabla situando en la columna encabezada por el mes terminal y en la lnea horizontal correspondiente al nombre del mes inicial.

b) Cuando el nmero del da del mes terminal es mayor que el nmero del da del mes inicial, hllese en la tabla el nmero que corresponde al nmero de das comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses, como en el caso (a), y smesele la diferencia entre el nmero del da del mes terminal y el del mes inicial.

c) Cuando el nmero del da del mes inicial es mayor que el del da del mes terminal, hllese el nmero de la tabla que corresponde al nmero de das comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses, como en el caso (a), y rstesele la diferencia entre el nmero del da del mes inicial y el del mes terminal.

d) Siempre que en la duracin de un prstamo est incluido el 29 de febrero de un ao bisiesto, procdase para hallar el nmero exacto de das en la forma que se ha descrito en los tres prrafos que anteceden y adase 1 al resultado.

Encontrar el nmero exacto de das para los siguientes casos22, utilizando la anterior tabla: Ejemplo 12 20 de enero de 2005 al 25 de septiembre de 2005

NMERO DE LA TABLA

DA MES TERMINAL (DMT)

DA MES INICIAL (DMI)

DMT - DMI NMERO EXACTO DE DAS23

243 25 20 5 248

Ejemplo 13 28 de junio de 2005 al 12 de septiembre de 2005

NMERO DE LA TABLA



DMT - DMI NMERO EXACTO DE DAS

92 12 28 -16 76

Ejemplo 14 8 de enero de 2004 al 15 0ctubre de 2004

NMERO DE LA TABLA

DA MES TERMINAL

(DMT)


DMT - DMI DIA AO BISIESTO

NMERO EXACTO DE

DAS

273 15 8 7 1 28124

Ejemplo 14 18 de febrero de 2004 al 10 mayo de 2004

NMERO DE LA

DA MES TERMINAL

DA MES INICIAL

DMT - DMI DIA AO BISIESTO

NMERO EXACTO DE

22

Los ejemplos presentados son los mismos desarrollados con la Tabla de Das Nmero Uno

(ejemplo 6, 7, 8, 9, 10, 11). 23

Nmero de la tabla + (DMT DMI) = Nmero exacto de das, 243 + 5 = 248 24

El ao 2004 fue bisiesto, es decir que febrero tena 29 das.

TABLA (DMT) (DMI) DAS25

89 10 18 -8 1 82

Ejemplo 15 22 de junio de 2004 al 30 de mayo de 2005

NMERO DE LA TABLA



DMT - DMI NMERO EXACTO DE DAS

334 30 22 8 342

Ejemplo 16 20 de agosto de 2004 al 20 de enero de 2008

NMERO DE LA TABLA

DA MES TERMINAL

(DMT)


DMT - DMI AOS COMPLETOS

26

NMERO EXACTO DE

DAS

153 20 20 0 1095 1248

1.10. FECHA FOCAL

Como ya se mencion la Matemtica Financiera permite medir el impacto de las decisiones financieras que las familias u organizaciones toman a diario. Este anlisis se obtiene al llevar cada uno de los flujos de caja a un mismo punto del tiempo; lo que se busca es que cada cantidad econmica (Ingreso y Egreso) quede expresada en un mismo poder adquisitivo. Por esa razn, el juego operacional de la MF es muy simple, consiste en movilizar por medio del inters (simple o compuesto) vigente en la operacin los flujos a un mismo punto de anlisis; este punto de encuentro se denomina fecha focal. La fecha focal se representa grficamente por una lnea de trazos y por las letras ff y es la fecha en que debe hacerse la igualdad entre ingresos y egresos. La

25

Nmero de la tabla + (DMT DMI) = Nmero exacto de das, 89 +(- 8)= 81 26

Ms 3 aos comprendidos entre el 20 de enero de 2005 a 20 de enero de 2008, que

equivalen a 1.095 das (365 das x 3 aos).

ubicacin de la fecha focal no altera la respuesta final27, por tal motivo la ubicacin de la fecha se deja a libre eleccin de la persona que va a resolver el problema. En inters simple, la posicin de la fecha focal si causa variacin en la respuesta final y por esta razn normalmente es el acreedor quien decide donde ubicarla. (Baca, 2002a:31).

De la anterior grfica se puede concluir que tanto los ingresos y egresos estn siendo comparados en el punto seis (6)

Ingresos = Egresos

27

Siempre y cuando se estn analizando operaciones de inters compuesto.

Al ubicarse el igual en la ecuacin se est afirmando dos cosas importantes:

Que no existen ms flujos que transportar o mover al punto establecido como fecha focal (punto de anlisis).

Que todos los flujos econmicamente se encuentran en el poder adquisitivo de la moneda, en el punto establecido como fecha focal.

Veamos otros ejemplos de fecha focal:

Significa el punto de anlisis de las

cantidades econmicas.

Significa ubicacin de la fecha focal.

Significa el criterio a tener presente a la

hora de construir la ecuacin

De las dos grficas anteriores se puede concluir que las cantidades que se encuentren inicialmente en el punto establecido como fecha focal, no requieren moverse, por encontrarse en el punto de comparacin (fecha focal)

Es importante analizar que toda cantidad ubicada a la izquierda de la fecha focal establecida, se debe considerar como un valor presente, el cual debe ser llevado a su equivalente en trminos futuros (fecha focal) As mismo, toda cantidad ubicada a la derecha de la fecha focal establecida, se debe considerar como un valor futuro, el cual debe ser llevado a su equivalente en trminos presentes (fecha focal)28.

28

La aplicacin de las formulas, depende de la ubicacin de los valores con relacin a la

fecha focal, si los valores bien sean ingresos o egresos estn antes de la fecha focal, estos se

deben de llevar a su valor futuro, es decir, aplicarle el factor de inters; pero si las

cantidades estn ubicadas despus de la fecha focal, estos se deben de trasladar con la

formula de valor presente, es decir quitarle el factor de inters a la cantidad.

Es decir, a los valores (flujos de caja) ubicados a la izquierda de la fecha focal establecida, se les debe aplicar o incorporar inters; a los valores ubicados a la derecha de la fecha focal establecida se les debe quitar inters, y a los valores ubicados en el fecha focal no llevan ninguna clase de inters. Despus de realizar estos ajustes a las cantidades econmicas, se procede a sumar. La tasa de inters utilizada para transportar tanto los ingresos, como los egresos al punto de la fecha focal se denomina tasa de rendimiento o tasa de refinanciacin.

Es importante resaltar que el concepto de fecha focal est ntimamente ligado al de ecuaciones de valor. La ecuacin de valor es un procedimiento matemtico pero a la vez financiero que permite transportar por medio de una ecuacin (construida bajo la lgica financiera y matemtica) los diferentes flujos de una operacin financiera a un punto de la recta con el fin de realizar una igualdad entre las cantidades analizadas, permitiendo de esta manera comparar las cifras; dicho punto se denomina fecha focal o fecha de valuacin (ff). El profesor Vidaurri (2001:168) afirma que La ecuacin de valor se basa en el hecho de que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. El valor futuro de una cantidad invertida o prestada es mayor que su valor presente debido a los intereses que gana. Inversamente, el valor actual de una cantidad de dinero es menor que su valor futuro debido al descuento racional que sufre. Por tal motivo, dos o ms cantidades de dinero no se pueden sumar mientras no se hallan trasladado todas a una fecha de comparacin (fecha focal). Finalmente se puede concluir que el juego de la matemtica financiera consiste en movilizar los flujos de caja de izquierda a derecha con el fin de establecerlos en el mismo punto de anlisis, conocido como fecha focal. Para mover las cantidades en la recta se utiliza el concepto de inters simple o el de inters compuesto.

1.11. RELACIN ENTRE EL PERODO Y LA TASA DE INTERS

La relacin que se da entre el perodo y la tasa de inters es importante; precisamente, esto se debe a que la tasa est expresada en unidades de liquidacin del inters y el periodo est dado en unidades de tiempo. Por lo anterior, a la hora de incorporar la tasa de inters y el nmero de periodos en las formulas de MF, lo primero que se debe hacer, es coincidir el periodo de aplicacin de la tasa de inters y el plazo de liquidacin de la operacin financiera as:

36% y 5 aos,

3% mensual y 60 meses,

9% trimestral y 20 trimestres,

18% Semestral y 10 Semestres, etc.

El mantener siempre esta relacin permite obtener el mismo valor equivalente. Esta relacin en el caso de la tasa de inters, se logra mediante el procedimiento de equivalencia o conversin de tasas de inters, concepto aplicado tanto para operaciones de inters simple, como para inters compuesto. ste ser explicado de manera amplia en el captulo correspondiente a cada clase de inters.

1.12. FORMA DE PLANTEAR Y SOLUCIONAR UNA OPERACIN FINANCIERA

Antes de iniciar con la solucin de cualquier ejercicio financiero en MF, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Leer y comprender el enunciado

2. Extraer los datos o variables que nos dan

2.1 Variables Conocidas:

VP, VF, R, G, K, I, n, i

2.2 Variables Desconocidas: VP, VF, R, G, K, I, n, i

3. Elaborar la grfica de la operacin financiera

3.1 Los ingresos en la parte

superior

3.2 Los egresos en la parte inferior

5. Construir la ecuacin que refleje la situacin

planteada en la grfica

5.1 Inters Simple

5.2 Inters Compuesto

i / 100

6. Convertir la tasa de inters en trminos

absolutos o decimales

Tasa de

Inters

Plazo o

Tiempo

Mensual Meses

Trimestral Trimestre

Semestral Semestres

Anual Aos

7. Hacer coincidir el periodo de aplicacin de

la tasa de inters y el plazo de liquidacin de la

operacin financiera

8. Realizar la Conversin de Tasas de Inters

8.1 Conversin o equivalencia de tasas en inters simple

8.2 Conversin o equivalencia

de tasas en inters compuesto

9. Reemplazar los datos en la ecuacin

10. Desarrollar los clculos de la ecuacin

planteada

Uso de Calculadora o Excel

Fecha Focal

4. Establecer el punto de anlisis de las

operaciones en la grfica

Los anteriores once (11) pasos permiten desarrollar eficazmente un problema de Matemticas Financieras.

Precisamente, uno de los objetivos del presente texto es mostrar de manera amplia el punto ocho (8) denominado Conversin de Tasas de Inters.

1.13. CUESTIONARIO

1. Qu es la Matemtica Financiera MF-? 2. Por qu es importante la Matemtica Financiera? 3. Defina el trmino valor del dinero en el tiempo VDT- 4. Qu es inters? 5. Es posible sumar cantidades monetarias ubicadas en diferente parte del

tiempo? Por qu? 6. Qu factores de carcter econmico y financiero afectan el inters? 7. Qu es inflacin? 8. Qu es el ndice de Precios al Consumidor IPC-? 9. En Colombia que entidad gubernamental est encargada de calcular la

inflacin 10. Qu es riesgo? 11. Presente las clases de riesgo 12. Explique la siguiente afirmacin a mayor riesgo, mayor rentabilidad 13. En finanzas el concepto oportunidad a qu hace referencia? 14. Explique la relacin que se presenta entre inters y tasa de inters 15. Cuntas clases de inters existen? 16. Qu es una cifra equivalente? 17. Qu es una frmula? 18. Defina valor futuro

19. Defina valor presente 20. Defina tasa de inters 21. Defina Cuota Uniforme o anualidad 22. Defina cuota variable 23. Defina perodo 24. Qu es un diagrama de flujo de caja? 25. Importancia del diagrama del flujo de caja en el planteamiento de un

problema 26. Cmo se debe incorporar la tasa de inters en las formulas de

matemticas financieras? 27. Qu se entiende por tiempo aproximado? 28. Qu se entiende por tipo exacto? 29. Qu es bimestral y bimensual? 30. Defina fecha focal y presente su importancia en la solucin de un ejercicio 31. La fecha focal puede estar ubicada en cualquier punto de la operacin

financiera cuando se trabaja bajo el concepto de inters compuesto? 32. La fecha focal puede estar ubicada en cualquier punto de la operacin

financiera cuando se trabaja bajo el concepto de inters simple? 33. Cul es la relacin existente entre periodo y tasa de inters? 34. Presente la secuencia a seguir en el momento de plantear y solucionar una

operacin financiera

1.14. EJERCICIOS

1. Calcule de manera aproximada los das transcurridos entre: a. El 20 de enero de 2007 al 31 de diciembre de 2008. (Respuesta: 701 das) b. El 15 de marzo de 1980 al 21 de enero de 2000. (Respuesta: 7146 das) c. El 22 de junio de 1977 al 22 de junio de 2008. (Respuesta: 11.160 das) d. El 30 de octubre de 1989 al 12 de diciembre de 1994. (Respuesta: 1.842

das) e. El 10 de abril de 2000 al 15 de noviembre de 2005 (Respuesta: 2.015 das)

2. Calcule de manera exacta los das transcurridos entre:

a. El 20 de enero de 2007 al 31 de diciembre de 2008. (Respuesta: 710 das sin incluir aos bisiestos y 711 das incluyendo aos bisiestos)

b. El 15 de marzo de 1980 al 21 de enero de 2000. (Respuesta: 7.247 das sin incluir aos bisiestos y 7.251 das incluyendo aos bisiestos)

11. Interpretar el

resultado obtenido Basarse en el enunciado

c. El 22 de junio de 1977 al 22 de junio de 2008. (Respuesta: 11.315 das sin incluir aos bisiestos y 11.323 das incluyendo aos bisiestos)

d. El 30 de octubre de 1989 al 12 de diciembre de 1994. (Respuesta: 1.868 das sin incluir aos bisiestos y 1.869 das incluyendo aos bisiestos)

e. El 10 de abril de 2000 al 15 de noviembre de 2005 (Respuesta: 2.044 das sin incluir aos bisiestos y 2.045 das incluyendo aos bisiestos)

3. El seor Ramrez Mora, solicita un prstamo al banco ABC por valor de $ 25.000.000; el banco le concede un plazo de 10 aos para su cancelacin, al cabo de los cuales debe pagar la suma de $ 50.000.000 por concepto de inters y capital. Realice el diagrama de flujo de caja de la operacin financiera para el seor Ramrez Mora y el banco ABC.

4. Realice las siguientes equivalencias de tiempo a. En dos aos, cuntos meses hay? (Respuesta: 24 meses) b. En sesenta meses, cuntos bimestres hay? (Respuesta: 30 bimestres) c. En un semestre, cuntos trimestres hay? (Respuesta: 2 trimestres) d. En veinte trimestres, cuntos semestres hay? (Respuesta: 10 semestres) e. En un ao, cuntos bimestres hay? (Respuesta: 6 bimestres)

capitulo 1 del libro matematica financiera

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