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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Cap. 4 – aula #10
Temas:
i. Análise de volume de controle diferencial,
ii. Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente
iii. Exercícios
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Conteúdo desta aula
A partir da equação da quantidade de movimento seguindo
uma linha de corrente sem ação de forças viscosas pode-se
deduzir uma relação entre: trabalho de pressão, energia cinética e
energia potencial conhecida como equação de Bernoulli.
No contexto desta aula vamos aplicar Bernoulli em linhas
de corrente e em jatos. Vamos explorar a interação com placas.
Será feito uso de Bernoulli e das equações da massa e da
quantidade de movimento para determinar forças.
As aplicações ocorrem em diversas áreas e serão
exploradas no texto.
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Análise de V.C. Diferencial
Hipóteses:Escoamento incompressível, = const.;Escoamento sem atrito, = 0;Escoamento em regime permanente;
Análise num plano xz (2D) ao longo de um tubo de corrente.
s
n
s
V V
A
g
z sSen
m V A
r
S.C. S.C. V.C
V V n dA P n dA g d
O lado direito eq. q. mov. reduz p/ os termos de pressão e força g:
• s é paralelo ao vetor velocidade V. • O elemento de área é A• m é a vazão mássica que cruza A
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Análise na direção s
A variação q. movimento cruza S.C.,
Agrupando os termos:
A pressão na S.C.:
s
n
s
V V
A
g
z s Sen
m V A
r
S.C.
V V n dA
S.C.
P n dA P A
A gravidade no V.C.: s s
V.C
g d g s A mas g g Sen
^
2V
A P A g z A 02
2V
P gz 02
V V V V A
V.C
g d g s Sen A g z A
2VA
2
r
S.C. S.C. V.C
V V n dA P n dA g d 0
2
02
SV P g z
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Bernoulli ao longo linha de corrente, s
Para que a expressão seja verdadeira,
2
02
SVP g z
Esta é a equação de Bernoulli ao
longo de uma linha de corrente.
É necessário que:
2
SVP g z constante
2
s
n
s
V V
A
g
z sSen
m V A
^
Ela fornece uma relação direta entre campo de pressão e
velocidade desde que o efeito da viscosidade seja desprezível.
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Tubo de corrente c/ curvatura
Sistema de coordenadas local, s e nrepresentam vetores unitários tangente e normal à linha de corrente;
As equações tangencial e normal à linhade corrente são:
2teSV
P gz c2
BERNOULLI, s
ao longo linha corrente
2S
c
V P
R n
BERNOULLI, nnormal à linha correnteRc = raio de curvatura
Apêndice I - dedução Bernoulli c/ linha corrente c/ curvatura.
Na figura acima a pressão na linha de corrente (1) é maior que a (2)!
sn
Rc
x
z
Linha de
corrente
q
(1)
(2)
Rc
No contexto de Bernoulli (sem efeito viscoso) toda vez que uma linha de corrente possui curvatura aparece um gradiente de pressão que cresce na direção do raio de curvatura.
O gradiente pressão normal a linha de corrente com curvatura possui grande influência nos escoamentos que merece ser mencionado.
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Curvatura linha corrente e grad P normal
Rc
Rc
Patm
P1 > Patm
P2 < Patm
2
S
c
VdP
dn R
Linhas de corrente paralelas, Rc .
Não há gradiente pressão normal!
• Área Baixa Pressão: linhas de corrente com curvatura, a menor pressão está na sucção. Manifestação de Bernoulli na direção normal.
• Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas. A curvatura , não há gradiente de pressão normal às L.C. portanto a pressão é constante.
Sucção x Injeção:
diferenças (filme)Área sucção
P < Patm
Área jato P = Patm
Psup < Patm
Pinf > Patm
Psup > Patm
Pinf < Patm
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Aplicação Bernoulli, s2
SV 2 P g z constante ^
Bernoulli é aplicado em escoamentos onde o efeito das forças viscosas é desprezível. Tipicamente ocorre fora da camada limite e em regime turbulento.
Aplicações em jatos, descarga de tanques, turbinas serão abordadas. Bernoulli normal às linhas de corrente ajudará a compreensão física dos fenômenos.
Escoamento externo C. L. Re
Jatos com mudança direção
60oVj
Vj
X
Y
g
Trajetória do jato
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Exemplos e aplicações
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Tubo de Pitot (1732)
O escoamento livre é desacelerado reversívelmente até a estagnação.
= 0
Bernoulli de (1) a (2)
2 21 11 1 2 22 2
P V P V
2 1
1
f
2 P PV
Medida da velocidade
da corrente livre
Medida velocidade
c/ ‘h’ do manometro
m f
1
f
2 g hV
Definições:P1 = PS – pressão estática da corrente livre medida na parte cilindrica do Pitot;P2 = PT – pressão total ou de estagnação, velocidade igual a zero; frontal Pitot;f – densidade do fluidom – densidade do fluido manométrico
Pitot faz uma medida local da velocidade do escoamento
Corrente livre:
P, V, T
manômetrodiferencial
Ps - pressão estática:
4 a 8 furos na circunferência
PT - pressão estagnaçãoou total, V = 0 h
(1)Pressão
corrente livre(2)
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Faixa operacional de Pitot
1
10
100
1,000
10,000
0.1 1 10 100 1000
mm
de
colu
na
agua
V ( m/s)
Ar
água
w f21f f T S w2 21
f 1 w2
V 2gh. 1000 h em (mm)V P P gh
h 1000. V g h em (mm)
O Pitot tem uso em gases e em líquidos. As aplicações mais comuns são o ar em (aeronautica e ventilação industrial) e a água (tubulações).
Para medir a velocidade é necessário medir uma diferença de pressão. Expressando dif. pressão em mm de coluna de água, mm CA, considera-se o mínimo de 1 mmCA p/ aplicações práticas.
Para aplicação em ‘água’ a menor velocidade é de 0,14 m/s e o máximo é da ordem de 10 m/s p/ maioria das medidas.
Para aplicação em ‘ar’ escoando na corrente livre a menor velocidade é 4 m/s e atinge velocidades supersônicas!
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Aplicação: tubos de Pitot (1732) - filme
Foi desenvolvido em 1732 por Henry Pitot para realizar medidas
locais da velocidade de correntezas em rios.
Até hoje muito utilizado na indústria aeronáutica, em instalações
industriais (linhas de vapor, gases e líquidos) em sistemas de
ventilação e em laboratórios de pesquisa.
Pode ser empregados tanto para fluidos compressíveis como para
incompressíveis.
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Determinação velocidade com Pitot
Bernoulli relaciona campo de velocidade c/ campo de pressão.
1
2T121 PPV
2
1
T222 PPV
2
1
T 1
1
f
2 P PV
T 2
2
f
2 P PV
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Exemplo 1 – Considere o escoamento de água a 10oC por um bocal em um túnel de água. Um tubo de Pitot com tomada de pressão estática (S) está conectado a um manômetro U contendo mercúrio ( densidade relativa 13,55). Determine o desnível da coluna de mercúrio, zm:
i. Quando P e S estão localizados como mostradoii. Quando P é colocado na posição (a) e S permanece na posição mostradaiii.Quando S é colocado na posição (b) e P permanece na posição mostrada.iv.Quando P é colocado na posição (a) e S na posição (b)Nota: o Pitot está fora da camada limite das paredes do túnel.
Considere: w = 1000 kg/m3 e m = 13550 kg/m3.
EM 461 – Prof. Eugênio Rosaw=1000 kg/m3 e m=13550 kg/m3.
(C) (D)
zm = 406 mmHg
(B)
zm = 25,4 mmHg
1 2P1
V1
A1
P2
V2
A2
21P1
V1
A1
P2
V2
A21 2
P1
V1
A1
P2
V2
A2
(A)
zm = 25,4 mmHg
1 2P1
V1
A1
P2
V2
A2
zm = 406 mmHg
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Exemplo 2 - Dados: velocidade e área de descarga: v0 e A0.Aplique Bernoulli de (0) e (1) para determinar a velocidade, a área transversal e a trajetória (z,x) do jato.
Respostas:
2 2x z
2
1 0 0 1
v v
v v 2g z z (i)
(ii)0
1 0
1
vA A
v
0
2
0
2
0 2
0
x v t
1z z g t
2
gz z x
2 v
(iii)
g
z
x
A0
v0
v
0gz
2
0v
2
2
1v
2
1gz
jato em regime
permanente
(0)
(1)
Verifique se as relações acima são dimensionalmente concistentes
Trajetórias
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Impacto de JatosUm jato ao impactar numa superfície sólida é desviado, veja filme jato d’agua.Basicamente sua quantidade de movimento muda de direção .
A transferência de quantidade de movimento de um jato para uma placa tem muitas aplicações em turbomáquinas!
• Procure esboçar as linhas de correntes na placa.
• Identifique onde está Patm e na placa?
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q=60o
Vj = 25 m/s
Vs = 25 m/s
X
Y
Ref. inercial estacionário
g
A força que o fluido exerce no V.C. é :
Para que o V.C. permaneça estacionário é necessário uma força igual a Fx e Fy!
Exemplo 3 – Um jato horizontal de água atinge uma pá curva estacionário e é defletido para o alto de um ângulo de 60º. A velocidade do jato, Vj = 25 m/s, e sua área é 0,010 m2. Determine a força resultante sobre a pá. Considere: • O atrito do fluido com a pá é desprezível face a V2/2; • A pressão na S.C. é uniforme e igual a Patm e • O termo gsz é desprezível porque a dimensão da pá em z é pequena!
mec,x j mec,y jF mV 1 Cos e F mVSen
Comentários: A linha de corrente da interface ar-água está a Patm, a variação energia potencial desprezível logo Bernoulli define V fica constante e igual Vj= Vs.
A força que surge no V.C. é devida à
variação da direção do jato.
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Se você cuidadosamente
aproxima um jato de água
a uma superfície curva a
água passa a seguir a
curvatura da superfíce
(ela não tangencia!)
O efeito Coanda (Henry Coanda 1800) causa um jato de fluido acompanhar a curvatura do corpo.
No caso do balão, a curvatura das linhas de corrente cria a uma região de baixa pressão que cria uma sucção no balão que equilibra a força peso do balão.
Veja bola suspensa por jato de ar, filme.
Veja aplicações
do efeito Coanda
em aeronáutica
no wiki
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Exemplo 4 - Um cilindro circular, preso por um cabo, é inserido de través numa corrente de água com m. O cilindro deflete o escoamento de um ângulo q (efeito Coanda). Determine o ângulo e a tensão T no cabo.
.
A variação de q.movimento cria umacurvtura no filme de líquido, baixa a pressãoe gera uma força no sentido do raio decurvatura, como indicado.
A variação de q. movimento e a tensão nocabo equilibram a força do efeito coanda e aforça peso, inclinando cilindro em relação avertical.
j
direção z
mV 1 cos M g T sen
q
j
direção x
mV sen T cos
q
z j
x j
definindo notação compacta:
F = mV 1 cos
F mV sen
q
q
Balanço q. movimento na S.C.
z
x
T sen F Mg
T cos F
z
x
F Mg
F
2 2
z x
atan
T F Mg F
Link 1
Mg x
z
Vj
qS.C.
c/ Patm
zona baixa pressão,
cria força coanda
T
g Vj
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Explicações sobre a interação do jato com a placa curva e com efeito Coanda
Podemos pensar em pelo menos duas questões:
(1) Há atrito do fluido com a placa e também com o cilindro. Porque o atrito não é grande para invalidar Bernoulli?
Resposta: no contexto de pás a extensão delas é pequena e por consequência a componente de força atrito é desprezível comparada com a variação d q.movimento. Poderemos estimar o atrito nos capítulos 8 e 9.
(2) A escolha da S.C. está correta mas não explica: como surge uma força na placa ou no cilindro
Resposta: próximo slide
Mg x
z
Vj
qS.C.
c/ Patm
T
g Vj
S.C.c/ Patm
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Exemplos 3 e 4 – A variação de q. movimento devido à mudança de direção faz surgir uma força na S.C. Pergunta: como surge uma força na pá devido a variação q. mov.?Resp. – Devido a curvatura do filme líquido que cria distrib. pressão na pá.
2j
c
V P
R n
Aplicação Bernoulli normal a linha de corrente
Para o fluido fazer uma curva é necessário haver um gradiente de pressão que cresce na direção do raio de curvatura, Rc, da curva.
2j
atmc
VP P P 0
R
- Na pá a pressão é P;
- Na parte reta da pá P = Patm, Rc.
- Na parte com curvatura, P > Patm
- P no filme líquido resulta na força pressão sobre a pá!
Rc
X
Y
60oVj
Vj
Interface livre P = Patm
zona alta pressão, cria força pressão Fmec na pá
Mg x
z
Vj
q
T
g Vj
zona baixa pressão cria força de sucção gerando T
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Exexmplo 5 - Pá defletora com curvatura q movendo-se com U constante, sob a influência de um jato Vj, Aj e . Obtenha uma expressão para força na dir. xnecessária a ser aplicada na pá para deslocar com U constante. Calcule a potência P. Mostre que a potência máx. ocorre para U = Vj/3.
Vj =20 m/s
Ref. InercialEstacionário
V.C. desloca c/ U
D = 50mm
Fx = ?Ref. Inercial
c/ U constante
q = 150o
U
2
x j j
2
x j j
j j
F V U 1 A 0
Pot F U V U U 1 A
V é constante, a potência depende U; a máx. P. ocorre p/ dP/dU = 0 ou U= V 3!
q
q
cos
cos
Respostas:
Nota: • S.C. c/ fronteiras fixas, deslocando com U. • Referencial é inercial pq U é constante. • Vamos trabalhar pela 1ª vez com ref. inercial (x,y) que desloca com carro!
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Exercício 1 – Tente fazer o problema anterior a partir de um referencial inercial estacionário, XY, com S.C. também estacionário, comprido o suficiente para que no tempo de simulação o carrinho fique dentro dele. Veja figura abaixo. A resposta é a mesma do anterior.
Para que servem exemplos com carrinhos?
Eles formam os fundamentos para estudar máquinas de fluxo, pois máq. fluxos trabalham com pás móveis similar aos carrinhos.
- S.C. com fronteira fixa, Vb=0. e comprida o suficiente que o carro desloque dentro dela.
- A medida que o carro avança há acúmulo de massa e de q. movimento; d/dtdV0 e d/dtudV 0
- XY é estacionário, calcule a velocidade do jato defletido deste ref. Dica: do ref. que desloca c/ carro V2 = Vj-U . Para o ref XY tem que somar vetorialmente V2 a velocidade carro, U.
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Ap
licaç
ão–
máq
uin
as
de f
luxo
-
Tu
rbin
aP
elt
on
Pelton movie - 20s
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Usina hidroelétrica Henry Bordon, CubatãoA mais antiga das usinas possui oito condutos forçados externos e uma casa
de força convencional. A primeira unidade foi inaugurada em 1926, as demais
instaladas até 1950, num total de oito grupo geradores, com capacidade
instalada de 469 MW.
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Exercícios de Fixação de Conceito
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Exercício 2 - Um tubo de Pitot é conectado a um manômetro U contendo álcool (S=0.8). O Pitot é colocado numa corrente de ar (Patm = 101.3 kPa e T = 30oC). Se a coluna de álcool for de 10.3 cm, qual deve ser a velocidade do ar?
Ar -> gas perfeito, R = 287 J/K, = 1.165kg/m3
sm 3337gh2
Var
m .
Dica: similar exemplo 1
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Exercício 3 – Descarga de um tanque. Calcule a velocidade de descarga de um tanque com nível constante como indicado na figura. (filme)
Patm
D
H0
Patm
Ve
d
0
e e 04
Torricelli
2gH dResp : V se 1 V 2gH
D1 d D
2 2
e
2
0
2
0
dHdica : D d V
dt
HResp : 1 t
H
para t
2HDonde
d g
Desafio: Tanque com altura inicial H0 começa a ser esvaziado. Considere que d/D<<1 de forma que o nível H do tanque varia muito lentamente. Assuma uma hipótese de regime ‘quase-permanente’, utilize a resposta do item acima e determine como o nível do tanque varia com o tempo.
Dica: aplique Bernoulli da sup. livre até Ve.
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Exercício 4 - Um jato de água com diâmetro D é usado para suportar o objeto cônico mostrado. Deduza uma expressão para a massa combinada do cone e da água, M, que pode ser suportada pelo jato, em termos de parâmetros associados a um volume de controle adequadamente escolhido. i. Use a expressão obtida para calcular M quando V0 = 10
m/s, H = 1 m, h = 0,8 m, D = 50 mm e θ = 30°.
Comentário: O objeto cônico deflete o jato causando uma
mudança de direção. Pode-se esperar uma diminuição da
quantidade de movimento na direção z que sai da S.C. A
variação na q. movimento dá uma resultante para z >0 que deve
ser balanceada pela força peso do cone!
Hipóteses:
sem atrito, sem força de pressão (Patm em
todas as faces), nas seções o escoamento é
uniforme e incompressível.
Z
g
Escolha da S.C.
Resposta:
2
j 0 1
2Dj 0 1 04
M m V V Cos g
onde m V e V V 2gH
q
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Exemplo 4 cont. – A variação de quantidade de movimento é capaz de equilibrar a força
peso do cone. Pergunta: qual é o mecanismo que faz este equilíbrio?
Resposta – Houve uma mudança de direção da quantidade de movimento portanto uma força
gerou esta mudança e, pela lei ação e reação o filme de líquido também foi modificado.
No Apêndie I desta aula (conteúdo fora da ementa do curso) mostra a equação de Bernoulli
normal à linha de corrente. O resultado é que para o fluido fazer uma curva é necessário haver um
gradiente de pressão que cresce na direção do raio de curvatura, Rc da curva: dP/dn = .V2/Rc
onde V é a velocidade linha de corrente e ‘n’ é a direção normal a linha de corrente.
2
S
c
V dP
R dn
Superfície livre
está na Patm
Raio curvatura
aproximado
Longe do vértice do cone
as linhas de corrente são
paralelas e não há variação
de pressão em n
Região onde a
P>Patm devido a
curvatura
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Exercício 5: Numa brincadeira as crianças
molham passarinhos com jatos de água que se
formam na saída de uma seringa hipodermica.
Com que velocidade, Ve, o êmbolo da seringa
deve ser deslocado para que molhe um
passarinho que está a 5 metros de altura
(vertical) da seringa. No problema o fluido é
água a 30oC e não considere as possíveis
perdas por atrito, de tal forma que a aplicação
de Bernoulli é válida. Veja esquemático na
figura ao lado. O diâmetro do êmbolo é de 5
cm enquanto que o diâmetro do furo por onde
sai o jato tem 1 cm.
5 m
êmbolo
Resp.: -> Ve = 0,4 m/s
Ve =
Dica: aplique Bernoulli Ve até z = +5m
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Exercício 6 - A velocidade e a área do jato na descarga são V0 e A0. Além disto, em qualquer seção a velocidade é uniforme.
- Deduza expressão para a velocidade do jato em função da altura z;
- Determine a distância H onde a área de seção do jato é ½ de A0.
Resp.: -> Expressão geral para V:
Qdo. a área for 1/2Ao então V = 2Vo (massa)
:
2
0V V 2g H z
2
2 2 00 0
V2V V 2g H z H z 3
2g
Seção de
descarga
Jato com
diâmetro
menor
z
H
z=H
z=0
V = V0
A = A0
Dica: use eq. Massa e Bernoulli de z=0
até z=+H
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Resp.: -> h = 88,1 mm
F = 0,238 N
Exercício 7 - Um jato de ar (=1,21 kg/m3) com V = 50 m/s e d = 10mm diâ. atinge um disco com 200 mm. Suponha que o jato sai paralelo a direção radial do disco.
i. Calcule a altura h que um tubo Uindica se o fluido manométrico tem SG = 1,75 (1750 kg/m3);
ii.Escolha uma S.C. apropriada e calcule a força no disco.
Vd
x
y
Dica: use eq. q. movimento direção x para determinar a força. A S.C. tem que envolver o disco e o jato.
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Exercício 8 – Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro. Um jato d’água, de velocidade V atinge o prato concentricamente.
i. Faça uma escolha apropriada da S.C. Procure fazer a S.C. cortar ortogonalmente os fluxos que cruzam a S.C.
ii. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V.
iii. Avalie a força para V = 5m/s, D = 100 mm e d = 20 mm.
iv. Trace um gráfico da força requerida em função do ângulo com a razão de diâmetros como parâmetro.
2 2 2 2 2
x
x
Respostas :
R V D d D d Sen4
R 321N
q
q = 40o
V
D
V
d
VDica: empregue eq. Massa e eq q.
movimento para determinar a força.
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(1) A rectangular jet of air is so directed at a rigid flat plate that part ofthe jet is interrupted as shown . Bernoulli’s equation implies that thevelocity in all three streams is equal at positions where the streamlinesare all parallel (the pressure is atmosphere). Derive an expression forthe force F on the plate if one-third of the mass flow rate, m1, isdiverted down the plate. Hint: exercice (5) is similar to this exercise.
(2) Um túnel de vento opera por sucção
de ar a pressão atmosférica a 20oC e
101,3kPa por um ventilador próximo da
saída. Se a velocidade do ar no túnel é
de 80 m/s determine a pressão no túnel.
Exercícios recomendados
(3) The air-cushion vehicle brings in sea level standard air through a fan
and discharges it at high velocity through an annular skirt of 3-cm
clearance. If the vehicle weighs 50 kN, estimate (a) the required airflow
rate and (b) the fan power in kW.
(4) Um canal aberto para atmosfera possui uma
largura W = 0,5m. Neste canal possui uma comporta
com um orifício cujo diâmetro é 3cm. Determine a
vazão que passa pelo orifício. Despreze o atrito e
use a equação de Bernoulli. (bernoulli-canal-vazão)
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(5) Quando um jato plano de líquido atinge uma placa inclinada, ele se parteem duas correntes de velocidades iguais, mas de espessuras desiguais. Paraescoamento sem atrito, não pode haver força tangencial na superfície daplaca. Use esta simplificação para desenvolver uma expressão para h2/hcomo função do ângulo da placa, θ. Trace um gráfico dos seus resultados ecomente sobre os casos limites, θ = 0 e θ = 90°.
Respostas:
h2/h = (1+Senq)/2
h3/h = (1- Senq)/2x
y
S.C.g
z
z
Dicas:
- Use Bernoulli para mostrar que as velocidades de saída são iguais a V desde que 2gz/V2 << 1 onde z é avariação de cota na saída em relação ao centro;
- Mostre que a equação da massa reduz para: V.h = V.h2 + V.h3 ou simplificando: h = h2 + h3
- Se considerarmos que a força de atrito e a força peso sejam desprezíveis na direção x então a eq. q.movimento não tem o lado direito: Fext = 0, logo a variação de quantidade de movimento é nula. Mostreque a eq. q. movimento direção x reduz para: -h.Senq + h2 - h3 = 0.
- Resolvendo p/ massa e q. mov. x e p/ h2 e h3 encontra h2/h = (1+Senq)/2 e h3 = h3/h = (1-Senq)/2
- No referencial da placa o jato age na direção y apenas (componente normal). Mostre que eq. q. mov. nadireção y reduz para : -(Vh).V.Cosq= Fx, observe que aponta para y < 0 como era esperado.
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FIM
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Apêndice I
CONTEÚDO OPCIONAL (não cai na prova!)
Bernoulli na direção perpendicular
a linha de corrente.
Análise qualitativa do efeito
de curvatura das linhas de corrente
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Análise de V.C. Diferencial
Hipóteses:
Escoamento incompressível, = conts;
Escoamento sem atrito, = 0;
Escoamento em regime permanente;
Análise num plano xz (2D) ao longo de um
tubo de corrente.
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Tubo de
CorrenteSistema de coordenadas
local, s e n representado vetores
unitários tangente e normal à
linha de corrente;sn
Rc
Rc
x
z
sˆ ˆV V s 0n
Linha de
corrente A velocidade é:
O tubo de corrente pode ter curvatura e área transversal variável,
Mas a massa que passa por ele é constante porque a velocidade é tangente a ele
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Coordenadas
s e n
Rc
Rc
x
zDentro do tubo de corrente V é
uniforme em qualquer seção
transversal, só varia com s:
s
As dimensões tangencial e
normal do tubo de corrente
são s e h,
h
2P PP P s,h s h O( )
s h
)s(Oss
VVV 2
S
Mas a pressão P pode variar com s e h, assim uma aproximação
de ordem 1 temos que:
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O V.C.
Rc
Rc
x
z
O balanço de forças para o
V.C. envolve os termos: fluxo
de Q.M. , a pressão (força de
superfície) e o peso (força de
volume ou campo).
s
O V.C. envolve o tubo de
corrente de dimensões s
e h,
h
r
S.C. S.C. V.C
V V n dA P n dA g d
S.C.
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Sequencia da demonstração
Os próximos passos será demonstrado como são avaliados as
componentes s e n de:
1. O fluxo de quant. de movimento (4 slides)
2. Força de superfície, pressão (2 slides)
3. Força campo devido a g (1 slide)
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Fluxo
Q.M.
Rc
Rc
x
z
Ao longo de s a velocidade
varia, mas devido a curvatura o
versor s também varia (o livro
texto esqueceu disto!)
A velocidade nas faces
está representada por:
S.C.
sVS
ssVV SS
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Fluxo
Q.M. (II)
Rc
Rc
x
z Por sua vez o fluxo de
Q. M. na S.C. passa a ser:
O fluxo de massa no tubo de
corrente é:
S S Sˆ ˆ ˆV m s V V m s s
S.C.
sVS
ssVV SS
2
2Sr S
S.C.
Vˆ ˆV V n dA h s V h s
2
Sm V h
r
S.C.
V V n dA
Desprezando produtos de ordem (2), o fluxo Q.M. passa a ter duas
componentes: uma tangencial s e outra (ds!) que deve ser avaliada
h
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Fluxo Q.M. (III):
Como avaliar ?
para s ->0,
q
2sins
2
s
Logo:
Como avaliar ? sq
1s
2s
s s
cR
ss
q
z
x
Rc
Rc
1s
2s
q
s
c
ss n
Rˆ ˆ
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Fluxo Q.M. (IV)
O fluxo de Q. M. tem duas componentes uma tangencial e
outra normal dadas por:
2 2S S
rS C
V VV V n dA h s h s n
2 Rc
. .
ˆ ˆ
O resultado era esperado, haja visto que num cotovelo 90o
também surgem duas reações em direções ortogonais
(exemplo 4.7 do livro texto)
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Força de Superfície na direção
Para s ->0 o elemento de arco
pode ser aproximado por um
segmento de reta,
s
As forças normais à S.C.
estão representadas.
Rc
Rc
x
z
P.n
PM.s/cos
(P+dP).(n +n))
A resultante na direção s é:
Ps
P sF P h P P h h P sin
2 cos
Pm é a pressão média na lateral da
S.C. e tan = (n)/ds
desprezando termos dP ( h),
PsˆF P h s
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Força de Superfície na direção n
As forças normais à S.C. estão
representadas;
Note que:
A resultante na direção n é:
nsPFPn
z
Rc
Rc
x
(P+dP) .s2
P.s1
(P+dP) .ds2 = (P+dP) .s1.(1+h/Rc)
s1/Rc = s2/(Rc+h)
logo:
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Força de Campo nas direções
Reconhecendo que:
dV = dh.ds
gs=-g.sinq = -g.dz/ds;
gn=-g.cosq = -g.dx/ds;
s
x
z
Logo:
C s n
V.C.
ˆ ˆF g d g s g n
g
gs
gn
x
zq
As componentes s e n da força
de campo:
Cˆ ˆF g h z s g h x n
n
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Análise nas direções sAs componentes s e n do balanço de forças resultam em:
n
2SV
n h s P s g h xRc
ˆ
zgP2
Vs
2S
2
SV Ps g z 0
2
2SV P
n gRc h
q
ˆ cos
Simplificando os termos Euler nas direções Tangencial e Normal:
BERNOULLI
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Análise nas direções sIntegrando ao longo de uma linha de corrente o balanço de forças
resultam nas relações que são válidas nas direções tangencial e
normal à linha de corrente:
n
2
SV Ps g z 0
2
2SV P
n gRc n
ˆ cos q
BERNOULLI
As expressões acima são também conhecidas como as componentes
da Eq. de Euler ao longo das direções s e n. A primeira expressão é
uma forma da equação de Bernoulli pois ela foi deduzida a partir da
integração ao longo de uma linha de corrente.
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Tubo de corrente
c/ curvatura Sistema de coordenadas
local, s e n representado vetores
unitários tangente e normal à
linha de corrente;
As equações tangencial e
normal à linha de corrente
são:
2SV P
nRc n
ˆ
sn
Rc
Rc
x
z
Linha de
corrente
q
2
SVs P gz constante
2 BERNOULLI, s
BERNOULLI, n
Veja dedução completa de Bernoulli com curvatura
no pdf anexo no EA-UNICAMP
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Análise na direção n Se o termo V2/gR >>1, então a equação na direção n indica que para
o fluido fazer uma ‘curva’ é necessário que haja um gradiente de
pressão normal a direção do fluido:
O termo do lado esquerdo da equação é a força centrífuga por unidade
de volume. Note que a pressão cresce no sentido do Raio de curvatura,
dp/dn > 0
2
S
c
V dP
R dn
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EFEITO DE CURVATURA DAS LINHAS
DE CORRENTE
Uma partícula de fluido para fazer
uma curva é necessário que haja
um equilíbrio entre a força
centrífuga (MV2/Rc) e o gradiente
de pressão.
A força centrífuga tende a
deslocar a partícula para fora.
O gradiente de pressão ‘empurra’
a partícula para dentro.
2
c
P V
R
Pi
Pe
MV2/Rc
V
Rc
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PARTÍCULA SÓLIDA DESCREVENDO UMA
CURVA NO FLUIDO
A partícula de sólido tende fugir
do centro de curvatura
(comportamento centrífugo).
Como o sólido tem densidade
maior que o líquido, o gradiente
de pressão exercido pelo líquido é
menor que a aceleração centrífuga
do sólido
22s
c c
VP V
R R
Rc
fluidosólido
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CURVATURA LINHA CORRENTE =
GRAD PRESSÃO NORMAL!
Rc
Rc
Patm
P1 > Patm
P2 < Patm2
S
c
VdP
dn R
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FIM