caos em equações diferenciais - instituto de física · sistema de lorenz . ampliação do...
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CaosemEquaçõesDiferenciais
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
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Chaos Alligood et al.
Convecção em um gradiente de temperatura
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b r, , : controle de Parâmetrossional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z b -y x z
y -r x y x - y
y x - x
Lorenz de Sistema
σ
→
=
+=
σ+σ=
•
•
•
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Chaos Alligood et al.
Atrator Caótico Sistema de Lorenz
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Ampliação do Atrator de Lorenz
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Ampliação do Atrator de Lorenz
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b r, , : controle de Parâmetrossional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z b -y x z
y -r x y x - y
y x - x
Lorenz de Sistema
σ
→
=
+=
σ+σ=
•
•
•
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Atratores do Sistema de Lorenz
Chaos Alligood et al.
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reais,estáveisCeCPontos 1 r r
ensionaldimbiestáveliedadevar0ensionaldimuniinstáveliedadevar0
instávelOPonto 1 r
0 pois ,1r0 intervalo no estável O Ponto
0 b- 0 0
0 1- r0-
jacobiana matriz da valores-auto pelos adeterminad é O ponto do deEstabilida
0r 10 8/3 b
) 1-r ,1) -(r b - ,1) -(r b- ( C
) 1-r ,1) -(r b ,1) -(r b ( C
0) 0, (0, z) y, ,(x O:fixos Pontos
3,2,1s
3,2
1
i
λʹ⇒>>⎩⎨⎧
⇒<λ
⇒>λ⇒>
<λ<<
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λ−
λ−
σλ−σ
λ
>=σ=
≡ʹ
≡
=≡
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rs > r > 1C e ʹC atratoresBacias atração separadas pela variedade bidimensional estável do ponto O
r0 > r> rs
λ1, 2 complexos, Reλ1, 2 <0C e ʹC atratores
r = ro = 13.93 ⇒ Órbitas homoclínicas
r > r0 = 13.93⇒ caos transiente e caos
r < 24.06 ⇒ transiente caótico
r > 24.06 ⇒ atrator caótico(coexiste com atratores C e ʹC )
r > 24.74 ⇒ C e ʹC pontos de sela(atrator caótico persiste)
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
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Origem do Atrator Caótico de Lorenz
Chaos Ott
a) O ponto fixo estável b) O instável; C, C` estáveis c) O instável, C, C` estáveis d) Idem e) Órbita homoclínica f) Atrator caótico
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Atratores do Sistema de Lorenz
Chaos Alligood et al.
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Essa equação possui raízes cujas partes reais não são positivas para r < ru =2414
19 , logo C+ e C� são estáveis. Para r > ru aparecem raízes com parte realpositiva, logo todos os pontos de equilíbrio são instáveis.
c)
Figura 1 – Para r = 0, a origem é pontofixo estável
Figura 2 – Para r = 10, a origem é pontofixo instável e surgem dois outros pontosfixos estáveis C+ e C�
Figura 3 – Para r = 20, existem órbitascaóticas não atratoras (transientes)
Figura 4 – Para r = 24.5, coexistênciado atrator caótico com os pontos fixosestáveis C+ e C�
2
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Essa equação possui raízes cujas partes reais não são positivas para r < ru =2414
19 , logo C+ e C� são estáveis. Para r > ru aparecem raízes com parte realpositiva, logo todos os pontos de equilíbrio são instáveis.
c)
Figura 1 – Para r = 0, a origem é pontofixo estável
Figura 2 – Para r = 10, a origem é pontofixo instável e surgem dois outros pontosfixos estáveis C+ e C�
Figura 3 – Para r = 20, existem órbitascaóticas não atratoras (transientes)
Figura 4 – Para r = 24.5, coexistênciado atrator caótico com os pontos fixosestáveis C+ e C�
2
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Figura 5 – Para r = 30, só existe o atratorcaótico
d)
Figura 6 – Expoentes de Lyapunov (no alto) e diagrama de bifurcação (em baixo). Emvermelho está marcado o parâmetro do atrator da figura 5
3
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Chaos Alligood et al.
Mapa de Retorno do Atrator de Lorenz
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Chaos Alligood et al.
Diagrama de Bifurcação para o Sistema de Lorenz
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Chaos Alligood et al.
Transiente Caótico no Sistema de Lorenz
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c b, ,a : controle de Parâmetrossional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z ) c - x ( b z
y a x y
z -y - x
Roessler de Sistema
→
+=
+=
=
•
•
•
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Chaos Alligood et al.
Atrator Caótico de Roessler
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Atratores do Sistema de Roessler
Chaos Alligood et al.
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Diagrama de Bifurcação Sistema de Roessler
Chaos Alligood et al.
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Chaos Alligood et al.
Atrator de Pêndulo Forçado
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Mapa Estroboscópico do Atrator da Equação de Duffing
Chaos Alligood et al.
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Mapa Estroboscópico
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CaosnoCircuitoElétricodeChuaParâmetrosdeControleControledasOscilaçõesAtratores
• M.S.BaPstaeI.L.Caldas-PhysicaD(1999).• R.O.Medrano-T.,M.S.BaPstaeI.L.Caldas,PhysicaD(2003).
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CircuitodeChua• .
Relementolinearporpartes• Variáveisdinâmicas:
Vc1tensãoVc2tensãoiLcorrente
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Circuito de Chua
Curva Característica Linear por partes
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PeriodicA\ractor
Vc1voltageacrossC1
Vc2voltageacrossC2
iLcurrenttroughL
Experiment
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Experiment
• DoubleScrollAtrator
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OCircuitodeChua
)(1CR Vi
C 2 2CV
C 1C
V 1
g
R L
Li
Fig.1. Circuito de Chua. R é a resistência não linear.
Aplicando a lei de Kirchoff ao circuito:
( ) ( )( )2
212
1121
2
1
CL
LCCC
CRCCC
ViL
iVVgVC
ViVVgVC
−=
+−=
−−=
!
!
!
Simetria ímpar: f(x)=-f(-x)
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ResistênciaLinearporPartes
Fig. 2. Curva característica da resistência linear por partes.
Função da curva característica da resistência linear por partes:
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≤−−
≤
≥−+
=
pCpC
pCC
pCpC
CR
BVBmmVm
BVVm
BVBmmVm
Vi
11
11
11
1
,)(
,
,)(
010
1
010
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SistemaAdimensional
e
,
01
222
1
2
21
gmb
gma
t,Cgτ
LgC ,
CC
gBi e z
BV
y, BV
xp
L
p
C
p
C
==
===
===
βαMudança de
variáveis:
( ) ( )( )2
212
1121
2
1
CL
LCCC
CRCCC
ViL
iVVgVC
ViVVgVC
−=
+−=
−−=
!
!
!
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≤−−
≤
≥−+
=
pCpC
pCC
pCpC
CR
BVBmmVm
BVVm
BVBmmVm
Vi
11
11
11
1
,)(
,
,)(
010
1
010
( )[ ]
βyzzyxyxkxyαx
−=
+−=
−−=
!
!!
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤−−
≤
≥−+
=
1 ),(1 ,1 ),(
xbabxxaxxbabx
xk
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AtratoresdoSistema
Legenda: Período 1 Período 2 Período 3 Período 4 Período 5 Período 6 Rossler Double Scroll
Fig. 3. Atratores no espaço dos parâmetros.
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Atratores no Espaço dos Parâmetros
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(a) (b)
(c) (d)
Fig. 4. Atratores: (a) Período 1, (b) Período 2, (c) Período 4, (d) Tipo Rössler.
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Atratores do Circuito de Chua
Chaos Alligood et al.
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Atratores do Circuito de Chua
Chua Alligood et al.
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Atratores e pontos fixos instáveis
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Coexistência de Atratores Caóticos no Circuito de Chua
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Órbita Homoclínica do Circuito de Chua
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Órbitas Homoclínicas
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Órbitas Homoclínicas Espaço dos Parâmetros
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Família de Órbitas Hoclínicas Espaço dos Parâmetros
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Circuito de Chua Perturbado
Oscilação forçada Sincronização de dois circuitos
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PerturbaçãoSenoidal
(Tese de doutoramento, Murilo Baptista, IF-USP, 1996)
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Sincronização de Dois circuitos de Chua (tese de doutoramento Elinei dos Santos IF-USP, 2001)
Chaos Alligood et al.