campos vetoriais, espaços lineares e tensores na física (parte iii análise tensorial e suas...
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AUTHORIZATION FOR PUBLICATION AUTORIZAÇAO PARA PUBLICAÇAO
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PALAVRAS CHAVES/KEY WORDS
OU Tensores, Tensores na Física, Teoria Cravitacio
B
I nal de Einstein - V.W.J.jKirchhoff Dir. Ci&nc!. ttsp. Atmo5
AUTOR RESPONSAVEL DISTRIBUIÇÃO/DISTRIBUTION - RV46ADA POREVISS e
: C EXTERNA/EXTERNAL Pinto
[ INTERNA / INTERNAL J-.
en& Adalid M rano- RESTRITA/RESTRICTED Editor Cinc. Eo. Atn
CDUIUDC- r 514.743.4
DATA/ DATE
Novembro/89
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230 J 229 VERSÃO NQDEMAPAS VERSION NOOF MAPS
PUBLICAÇÃO N2 PUBLICATION NO
41
CAMPOS VETORIAIS, ESPAÇOS LINEARES E TENSORES NA FÍSICA
PARTE III - ANÁLISE TENSORIAL E SUAS APLICAÇÕES
Estudam-se os tensores, suas transformações e propriedades, do ponto de vista da sua interpretaço e utilidade na física. Inicia-se explicitando-a necessidade da existncia dos tensores na física; depois são definidos através das propriedades de transformação por rotaçao em sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais. Segue-se um breve estudo dos tensores referidos a coordenadas oblíquas objetivando o surgimento natural dos conceitos de tensores covariantes e contravariantes. Os tensores referidos a coordenadas curvilíneas generalizadas (tensores generalizados) 5a0, tratados de maneira mais formal estudando-se, entre outros, o Jacobiano, contração, tensores fundamental e recíproco, tensores relativos, Teorema do .Quociente, componentes físicas, direç6es principais, símbolos de Christoffel, derivada covariante, etc. Como introduçao as aplicações deduzem-se expressões para a derivada absoluta de tensores, a equação das geodésicas e o tensor de curvatura. Segue-se um breve estudo da Teoria Gravitacional de Einstein aplicando-se sua solução particular (Schwarzschild) a trajet5ria de planetas em torno do Sol. Deduzem-se também expressões para as equações de Naxwell na relatividade geral. No final de cada capítulo prop6em-se problemas elucidat6rios. Este trabalho é a terceira e última parte do livro "Campos Vetoriais, Espaços Lineares e Tensores na Física", cujas partes 1 e II foram publicadas como relatórios {NPE-2026-RPE/289, mar. 1981 e INPE-2565-MD/020, nov. 1982, respectivamente.
Esta é a terceira parte do livro "Campos Vetoriais, Espaços Lineares e Tensores na Física"
INPE- 149
ÍNDICE
pág.
RESUMO iV
ABSTRACT VI
LISTA DE FIGURAS VFii
CAPITULO 11 - O TENSOR ...........................................1
11.1 - Tensores na física ........................................1
11.2 - Os Tensores e os sistemas de coordenadas ..................7
Problemas........................................................ 1 3
CAPITULO 12 - TENSORES CARTESIANOS ...............................15
12.1 - Matrizes de rotação .......................................15
12.2 - Tensor de primeira ordem ..................................22
12.3 - Diádicas. Tensores de segunda ordem ......................23
12.4 - Tensores de ordem superior ................................33
12.5 - Tensores sjmtricos e anti-simétricos. Pseudotensores . 35
12.6 - Contração de (ou produto interno entre) tensores ..........41
12.7 - Derivadas de •tensores cartesianos .........................43
12.8 - Transformação mais geral de coordenadas ...................47
Problemas........................................................50
CAPITULO 13 - TENSORES CARTESIANOS OBLÍQUOS ......................59
13.1 - Vetores covariantes e contravariantes .....................59
13.2 - Tensor fundamental ........................................60
13.3 - Tensores covariantes, contravariantes e mistos ............Li
13.4 - Tensor reciproco ..........................................67
13.5 - Vetores base covariantes e contravariantes ................70
Problemas........................................................72
-1-
Pág.
CAPITULO 14 - TENSORES GENERALIZADOS ............................75
14.1 - Sistema arbitrário de coordenadas ........................75
14.2 - Vetor contravariante e covariante ........................77
14.3 - O Jacobiano da transformação .............................83
14.4 - Tensores de ordem superior ...............................86
14.5 - Contração ................................................89
14.6 - Tensor fundamental .......................................91
14.7 - Tensor reciproco .........................................99
14.8 - Tensores relativos .......................................101
14.9 - Teorema do quociente .....................................107
14.10- Componentes flsicasdos tensores .........................112
14.11- Módulo de um vetor e ângulo entre vetores ................119
14.12- Direções principais de um tensor simétrico ...............121
14.13- A operação de rotacionar .................................126
14.14- Simbolos de Christoffel ..................................129
14.15- Derivada covariante ......................................134
14.16- Gradiente, divergente e rotacional .......................137
Problemas.......................................................144
CAPÍTULO 15 - APLICACÕES DO CÁLCULO TENSORIAL ...................155
15.1 - Derivada absoluta de tensores ............................155
15.2 - Geodésicas ...............................................161
15.3 - Tensor de (curvatura) Riemann-Christoffel ................172
Problemas.......................................................186
CAPITULO 16 - TEORIA GRAVITACIONAL DE EINSTEIN ..................191
16.1 - Formulação ...............................................191
16.2 - Solução de Schwarzschild .................................196
- 11 -
Pág.
16.3 - Orbitas planetárias 200
16.4 - Equaç6es de Maxwell na relatividade ......................210
16.4.1 - Equações de Maxwell na relatividade restrita 211
16.4.2 - Equações de Maxwell na relatividade geral .......218
APÊNDICE A - ESPAÇO-TEMPO DE MINKOWSKI
BIBLIOGRAFIA ....................................................223
- 111 -
RESUMO
Neste trabalho estudam-se os tensores, suas propriedades
e transformaçéos, do ponto de vista da sua interpretação e utilidade na
fsica. Assim, inicia-se o estudo explicitando a necessidade da exis
tência dos tensores na física. Em seguida, os tensores são definidos
formalmente através das propriedades de transformação, das suas compo
nentes, perante a transformação por rotação de sistemas de coordenadas
cartesianas ortogonais; a seguir estudam-se outras propriedades, inclu
indo os produtos tensoriais e as derivadas de tensores. Segue-se um bre
ve estudo dos tensores referidos a coordenadas oblíquas, com a idéia de
fazer com que surjam, de maneira natural, os conceitos de tensores cova
riantes e contravar -jantes. Os tensores referidos a coordenadas curvill
neas generalizadas (tensores generalizados) são tratados demaneiramais
formal, incluindo-se no estudo o Jacobiano da transformação, a contra
ção, os tensores fundamental •e reciproco, os relativos, o Teorema do
Quociente, componentes fsicas, direções principais, smbolos de
Christoffel e derivada covariante, entre vários outros. Uma introdução
às aplicações é fornecida definindo a derivada absoluta de tensores e
deduzindo expressões para a equação das geodésicas e tensor de curvatu
rã. A Teoria Gravitacional de Einstein, embora fazendo parte das apli
cações, é tratada em separado, apresentando a solução de Schwarzschild
e aplicando esta solução à trajetória de planetas em torno do Sol. Dedu
zem-se também expressões para as equações de Maxwell na relatividade ge
ral. Em cada capítulo, quando possível, apresentam-se exemplos que vi
sam elucidar a teoria e propõem-se problemas que ajudam o leitor a pôr
em prática os conhecimentos adquiridos. Este trabalho é a PARTE III
- iv -
(última) do livro "Campos Vetoriais, Espaços Lineares e Tensores na
Física", cujas Parte 1 e II foram publicadas nos relatórios INPE-2028-
RPE/289, março 1981 e INPE-2565-MD/020, novembro 1982, respectivamente.
Como esses, este trabalho tambni baseado em notas de aula sobre Mito
dos Matemáticos da FÍsica que o autor leciona nos cursos de pós-gradua
ço do INPE.
-v -
APCTDAr'T
In this work the tensors, their transíorniation and other
properties, froni the viewpoint of their interpretation and use in
physics are studied. Tensors are first introduced by showing the need
of their existence in physics. Then they are formally defined through
the transformation properties of their components upon the rotation aí
orthogonal Cartesian coordinates; other properties aí Cartesian tensors
including tensor products and derivatives are alsa studied. It follows
a brieí treatment of tensors referred to oblique Cartesian coordinates
such that the cancepts aí covariant and contravariant terms emerge in
a natural way. Tensors referred ta arbitrary curvilinear coordinates
are íormally treated studing the Jacobian aí the transíarmatian, cantrac
tian, the fundamental and reciproca] tensors, the quatient theorem, ph
sical campanents, principal directions, Christoffel symbals and cova
riant derivative among several athers. An intraductian ta application
af the tensor theory by defining the concept aí absalute derivative, de
riving the equation af geadesics and the curvature tensor, is offered.
The Einsteins's gravitational theary, nanetheless part aí the applica
tians, is separately treated saiving the equatians follawing the
Schwarzschild spherically syninietric solutian applied to planetary ar
bits. General relativistic expressions for the Maxwell's equatians are
alsa derived. In every Chapter, whenever passible, elucidating examples
are worked and prablenis that help the reader to understand better the
theary are prapased. This work is Part III (the last) af the boak "Vector
Fields, Linear Spaces and Tensors in Physics", whose Parts 1 and II
were already published as internal reports INPE-2028-RPE/289, Mar. 1981
- vi -
and INPE-2565-MD/020, Nov. 1982, respectively. As the previous Parts,
this is also based on lecture notes on the Mathematical Methods of Phy
sics course that the author teaches in the graduate prograin of INPE.
- - vii -
LISTA DE FIGURAS
Pág.
11.1 - Tensão num ponto P da secção transversal de uma barra re 3
tangular submetida à ação de uma força F .................
11.2 - Componentes contravariantes (a) e covariantes (b) do vetor
V referido a coordenadas oblíquas ........................10
12.1 - Rotação positiva em torno do eixo é de um ângulo S. O ve
tor V é a projeção de V no plano da figura ..............17
12.2 - Ângulos de Euler , e y correspondentesatrês rotaç6es
sucessivas (começãndo do sistema é. e terminando no é?). 1 1
As regiões com a mesma achura encontram-se num mesmo plano 22
13.1 - Mudança de vetores base em coordenadas oblíquas ..........62
14.1 - Sistema esférico-polar como exemplo de sistema de coordena
das cujos vetores base mudam de orientação para cada ponto
doespaço ................................................76
15.1 - Curva geodésica C que une os pontos x(o) e x( 1 ). A curva
C' & uma muito próxima da C ..............................164
15.2 - Calota de raio geodésico p numa esfera de raio R .......174
16.1 - Concepço bidimensional de um espaço curvo devido à presen
çade uma massa estelar ..................................208
A.1 - Dois sistemas de referência, o S fixo e o S' que se movi
menta com velocidade v = v ..............................A.1
- viii -
PARTE III
ANÁLISE TENSORIAL E SUAS APLICAÇÕES
CAPÍTULO 11
O TENSOR
11.1- TENSORES NA FÍSICA
As leis da f{sica e sua aplicação a problemas práticos
são comumente expressas mediante equações que contam grandezas escala
res, vetoriais, e grandezas denominadas LensoTes; Os tensores são gran
dezas intimamente relacionadas com as propriedades físicas do meio.
As grandezas escalares e vetoriais, e suas propriedades,
são as mais conhecidas dentro da flsica elementar. Na Parte 1 deste li
vro fez-se uma revisão dos métodos principais de estudo destas grande
zas e dos campos escalares e vetoriais que elas originam. Já os tenso
res são grandezas conhecidas, principalmente, nos campos avançados da
flsica, tais como na Eletrodinâmica, Mecnica Quântica, Fsica de Plas
mas, Teoria da Relatividade, etc.
De uma maneira similar à definição dos campos escalares e
vetoriais, define-se um campo tensorial por um tensor cujo valor depen
de, exclusivamente, da posição do ponto considerado no espaço. Mas o
que representa o "valor" de um tensor? Ou, mais apropriadamente, o
se
que é um tensor? A resposta matemática a esta pergunta será encontrada
nesta terceira parte do livro. No que diz respeito ao significado físi
co dos tensores, pode-se dizer que estes encontram-se relacionados com
as propriedades físicas, intrinsecas, do meio. Contudo, uma melhor com
preensão s6 é posslvel através de exemplos específicos, que demonstram
a necessidade da existência deste novo ente matemático. A seguir apre
sentar-se-ão alguns exemplos a este respeito.
Imagine-se uma barra de secção transversal retangular,
apoiada nos seus extremos, e submetida a um esforço devido à força ex
terna E, da maneira indicada na Figura 11.1(a). De uma maneira geral,
o esforço (força que atua sobre uma secção transversal da barra, a qual
tende a separá-la) não será o mesmo em todos os pontos da barra,nem mes
mo para todos os pontos de uma mesma secção. Seja o corte A A', perpen
dicular à direção §2' imaginariamente separada como na Figura 11.1(b);
cada elemento de área do corte estará sujeito a uma tensão diferente,
que, em conjunto, tenderão a separar as duas faces do corte. A tensão
(força por unidade de área) 12 no ponto P será um vetor de componentes
(T 21 , T 22 , T 23 ) cuja intensidade e direção dependerão das propriedades
flsicas do material da barra.
-3-
A
Fig. 11.1 - Tensão num ponto P da secção transversal de uma barra re
tangular submetida ã ação de uma força F.
Se agora o corte for feito por um plano normal à direção
o qual passa pelo mesmo ponto P (corte longitudinal não indicado na
Figura 11.1), ter-se-á que as componentes da tensão T i , que atuam so
bre P, serão respectivamente (T 11 , T 12 , Ti,). Por último, uma tensão
diferente 13 será encontrada na secção transversal normal a e3 no pon
to P. Com todas estas componentes pode-se fazer um arranjo matricial,
da seguinte maneira:
Til T 12 T 1 .
T = T 21 T 22 T.2
T 31 T 32 T33 j
(11.1)
-4-
Observe-se que a matriz 1' engloba todas as propriedades fisicas do pon
to P no interior da barra. Diz-se que o elemento Tij é neste caso,
Íí componente ij do tensor de tensão T".
Outro exemplo da aplicação de tensores na física é repre
sentado pela condutividade elétrica. Num meio condutorde eletricidade,
a densidade de corrente J é, de certa maneira, proporcional ao campo
elétrico E presente no meio. Assim,
3 u , ( 11.2)
onde o coeficiente a é conhecido como condutividade elétrica. Se o
meio for, por exemplo, um metal, a condutividade seria praticamente uma
grandeza escalar constante, e a relação (11.2). converter- se- ia numa
igualdade e', portanto, a direção da corrente elétrica seria a mesma que
a do campo elétrico aplicado. A explicação disto, em termos microscõpi
cos, pode ser atribuida ã facilidade com que os elétrons se deslocam em
qualquer direção, dependendo apenas da direção e sentido do campo E.
Neste caso, diz-se que o meio, cujas caracteristicas estão contidas im
plicitamente em a, é um meio "isotr6pico". Assim, num meio condutor
i sotrópi co:
= a . (11.3)
Todavia, quando o meio é uanisotr6picol (por exemplo ,num
cristal onde a facilidade de deslocamento dos elétrons, em resposta ao
campo elétrico E, depende da direção em que este campo é aplicado e,
-5-
portanto, a condutividade em um mesmo ponto tem propriedades diferentes
para direções diferentes), observa-se que a corrente elétrica flui, em
geral, em direção diferente à do campo elétrico aplicado. Neste caso,
a condutividade elétrica a um tensor, e a equação (11.2) pode ser
escrita mais apropriadamente na forma
=
(11.4)
onde a representa o tensor condutividade, e o produto do segundo mem
bro é um produto tensorial que, neste caso, é um simples produto escalar.
A razão da representação (convencional) do tensor condutividade com dois
tis 5 que este é um tensor de segunda ordem cujas componentes podem tam
bém ser arranjadas numa forma matricial. Este tipo de representação é
conveniente apenas quando os tensores são referenciados a coordenadas
cartesianas, onde os tensores de primeira ordem são representados por
um til, os de terceira por três, etc. Um vetor v é também um tensor
de primeira ordem. Assim como na notação indicial um vetor pode ser ré
presentado por uma de suas componentes, um tensor de primeira ordem V
é, geralmente, representado por uma de suas componentes V.. Neste tipo
de representação, que é a mais comum no estudo dos tensores, um tensor
de segunda ordem T, pode, também, ser representado por uma de suas
"componentes" T. 13
Nesta representação por componentes, a expressão tenso
ria] para a densidade de corrente (que é um tensor de primeira ordem)
pode ser escrita na forma
- 6 -
iJ. E O.. E.
1 1J 3 (11.5)
onde se deve notar que o produto do segundo membro tem de ser equ iva
lente ao de um produto matricial, entre uma matriz de segunda ordem e
um vetor coluna (os indices repetidos deixam implícito o somatErio eri
volvido), para que o resultado seja um vetor. Observa-se, na equação
(11.5), que uma componente qualquer da densidade de corrente, 3, depen
de das três componentes do campo elétrico. A relação (11.5) é a expres -
são da conhecida lei da Ohm.
Como um último exemplo, considere-se o momento de inércia
Um objeto sólido, que gira em torno de um eixo fixo, possui um momento
angular L que, de certa maneira, é proporcional sua velocidade angu
lar w. Quando o eixo de rotação é, ao mesmo tempo, o eixo de simetria
do objeto, tem-se que
L. 1
= 1 w.1
, ( 11.6)
onde a constante de proporcionalidade, i, é o momento de inérciado cor
po que, neste caso, é apenas uma grandeza escalar. Para um eixo de ro
tação arbitrãrio, porém, o momento de inércia é um tensor 1... Portari
to, pode-se dizer que o momento de inércia é uma grandeza que implicita
mente inclui propriedades geométricas e físicas do corpo, em relação ao
eixo considerado. De fato, da Mecânica Clássica sabe-se que o tensor
de inércia é dado por:
1.. 13 13
= p(x) (jxt 2 .. - x 1 .x.)d 3 x , (11.7)
]
v
-7-
onde p(x) é a densidade de massa do corpo, x é o vetor de posição, e
6.. é o deita de Kronecker. Neste caso, o tensor de inércia é também li
um tensor de segunda ordem.
£ interessante observar na equação (11.5) que os elemen
tos de um tensor podem sempre ser arranjados em forma matricial. Assim,
os elementos (ou componentes) de um tensor de segunda ordem, T, podem
ser representados por uma forma matricial, T. Entretanto, as componen
tes de uma matriz não necessariamente são componentes de um tensor. A
diferença fundamental entre estes dois conceitos,conforme ser5 visto
logo mais, encontra-se nas propriedades de transformação de cada elemen
to do tensor.
Nos exemplos citados anteriormente, nota-se que os tenso
res, de certa maneira, "descrevem" (ou, também, representam) as proprie
dades físicas do meio no qual se desenvolve o fen&meno físico. Daqui de
corre que as propriedades de um tensor são independentes do sistema de
coordenadas utilizado para sua representação. O que muda com o sistema
de coordenadas são as suas componentes.
11.2-OSTENSORES E OS SISTEMAS DE COORDENADAS
No estudo dos tensores, o mais importante é o tipo de
transformação a que estão sujeitas suas componentes, quando se muda de
sistema de coordenadas. Assim, por exemplo, quando o sistema de coorde
nadas original é o cartesiano ortogonal fixo (com os vetores base de oh
entação fixa) e as transformações são feitas para outro sistema semelhan
-8-
te, os tensores expressos nestes sistemas são chamados de tensores car
tesianos ortogonais, ou, simplesmente, de tensores cartesianos. O estu
do deste tipo de tensores seu o tema do Capitulo 12.
Alternativamente, quando os tensores são expressos em sis
temas de coordenadas oblTquas (i.e., os vetores base de orientação fixa,
porém com3 1
. . 6 1.
3 .),sistemas de coordenadas que também são chama
-
das de cartesianas obliquas, a transformação de coordenadas dos tenso
res expressos nestes sistemas determina o estudo dos tensores cartesia
nos oblíquos. O que aparece como novidade neste sistema de coordena
das é que as componentes de um vetor (tensor de primeira ordem) podem
ser de dois tipos! E o que é mais importante, ambos os tipos de componen
tes são de natureza diferente. Para dar uma idéia geométrica destas
componentes, considere-se um vetor V, referenciado a um sistema de
coordenadas oblTquas de vetores base unitários e e 2 , na forma mos
trada na Figura 11.1(a). Desta Figura pode-se ver que
= vi é, + V 2 e 2
onde as componentes V 1 e V 2 são obtidas mediante a construção do pa
ralelogramo correspondente, nas direç6es é j e e 2 . Estas componentes
são chamadas de componentes contravariantes do vetor V. Portanto, num
espaço multidimensional, o vetor V pode ser representado, em termos
das suas componentes contravari antes, na seguinte forma:
E v' , ( 11.8)
onde o somatdrio sobre os indices repetidos subentendido.
SE
Esta representação de V, que resulta da soma vetorial
(lei do paralelogramo) entre os vetores v é., é a mesma mostrada na
equação (1.3), onde o vetor v é também o resultado da soma dos veto
res V. ê, onde, porém, as componentes V. so obtidas mediante a ré
laço V = V . é , uma vez que é •1 . . é
3 . = 6.
13.
- -
O outro tipo de componentes que o vetor V pode ter, quan
do referenciado a um sistema obliquo, é aquele formado pelas projeções
de V sobre as direç6es dos vetores base, isto é:
v. = v . é. (11.9)
1 -
Estas componentes chamadas dècovari&ntés séo ilustradas
na Figura 11.2(b). Deve-se notar, entretanto, que embora este tipo de
componentes seja similar ao do caso ortogonal, a soma vetorial destas
componentes é tal que:
v i i i (11.10)
ou seja, com estas componentes no é possível reproduzir o vetor V me
diante uma simples soma vetorial.
e2
v11
(a)
VI
(b)
- 10 -
Fig. 11.2 - Componentes contravariantes (a) e covariantes (b)
do vetor V referido a coordenadas obliquas.
O leitor poderá perceber que, no sistema de coordenadas
oblíquas, o mesmo vetor V pode ser representado tanto pelas suas com
ponentes contravariantes V 1 como pelas suas covariarites V.. Nota-se,
entretanto, que para representação de V pelos elementos V. não exis
te uma expressão similar à(11.8). Esta dificuldade e superada quando
& utilizada a representação matricial do vetor. Assim,
ív 1 1 ív 1 e
= , = v 2 j
LV3i lv3J
onde qualquer um destes vetores coluna representa o vetor V. Desta ob
servação decorre que, em sistemas de coordenadas oblíquas um vetor po
de ser representado alternativamente por suas componentes contravarian
tes ou covariantes. Deve ficar evidente, porem, que suas manipulaç6es
serão em geral diferentes. Em particular, e o que & mais importante,in
- 11 -
tuitivamente não se deve esperar que a lei de transformação das compo
nentes covariantes do vetor V, de um sistema de coordenadas fixo a um
outro,seja a mesma que a lei de transformação das componentes contrava
dantes. Nota-se também que para o caso especial de coordenadas carte
sianas ortogonais (. 1 . J
. = 6 1..3 ), as componentes covariantes e contra
- -
variantes de um vetor são idnticas, e suas relaç6es de transformação a
um outro sistema ortogonal são mais simples. (De certa maneira, estas
relaç6es de transformação são apenas as já estudadas na Parte II deste
livro).
Nos dois casos de coordenadas fixas mencionados anterior
mente (coordenadas ortogonais e oblíquas), os vetores base são fixos.
Isto e, para cada ponto do espaço os vetores base conservam sempre as
mesmas orientaç6es. Todavia, existe ainda o caso mais geral de trans
formação de um sistema de coordenadas arbitrário em um outro, onde as
direç6es relativas dos vetores base mudam entre si para cada ponto do
espaço, seguindo uma lei preestabelecida. Este sistema de coordenadas
& chamado tamb&m de curvilneas generalizadas. Um exemplo particular
deste tipo de coordenadas e o caso das curvilneas ortogonais estudadas
no Capitulo 3 onde, embora as orientaç6es dos vetores base (curvilíneos)
sejam diferentes para cada ponto do espaço em relação ao cartesiano fi
xo, o sistema permanece rgido e ortogonal. O estudo de tensores sujei
tos a transformações deste tipo corresponde à análise dos tensores gene
ralisados, que tambm serão estudados em CapÍtulos po $teri ores.
Algo de extrema importãncia na aplicação da transformação
de coordenadas a problemas práticos, que deve ser sempre lembrado,& que
- 12 -
as leis da flsica, que normalmente so expressas mediante equaç6es, so
as mesmas para qualquer sistema de referncia correspondente ao mesmo
espaço. Assim, por exemplo, a equação (11.5), expressa num sistema de
vetores base arbitrrios, ser:
E'. 1 1] 3
Esta expressão, comparada com a (11.5), implica que se
for feita a transformaço separadamente das componentes 3., a.. e E.,
que serão posteriormente substituidas na equação (11.5), dever-se-á ne
cessariamente obter a relação (11.11).
- 13 -
PROBLEMAS
11.1- No sistema de coordenadas da Fig. 11.2, tem-se que:
• e 2 = - , 2
= 2 1 + 3
Determinar as componentes
coritravariantes de V,
covariantes de V.
11.2- Encontrar as componentes do tensor de inércia de um triângulo re
to, de 450,
lado a e densidade superficial uniforme, referido
origem de um sistema cartesiano coincidente com os lados ortogo
nais do triângulo.
11.3- Um gs parcialmente ionizado, onde a densidade numérica dos el
trons N é igual i dos lons N., é colocado num campo magnéti
co B = B e 3 e elétrico E = E 1 é 1 + E 3 ê3 constantes. Supondo
que a equação de movimento das partTculas carregadas para cada
espécie a é dada pela equação:
q 01
(E xB) = m a 'o v a=e,i
- -a a-a
- 14 -
e sabendo que a densidade de corrente elétrica gerada pelas car
gas elétricas é dada por:
= N(q y + q.
obter a relação J = g E, identificando o tensor condutividade
g. Nas equaç6es acima: q. = -q é a carga do elétron, v é a
velocidade e m é a massa das particulas da espécie a, N(=N=
N.) é a densidade numérica de cada espécie e 'u é a freqüénciaOL
de colisoes das particulas de especie a com as neutras.
Sugestão: Resolver a equação de movimento para cada componente de
ya e, em seguida, substitui-Ias em J
CAPITULO 12
TENSORES CARTESIANOS
12.1- MATRIZES DE ROTAÇÃO
Considere-se um sistema cartesiano tridimensional 5 de
vetores base . ortogonais entre si. Um vetor V, neste espaço, tem
por componentes V 1 , V 2 e V 3 . Suponha-se que o sistema de coordena
das é girado ao redor do eixo ê 3 de um ingulo a, no sentido positi
vo da orientação do sistema, de maneira que a relação entre os vetores
base do sistema 5 e do novo 5' seja tal que:
2 3'= 3 ,
e~1 = e 2 . e = cos a
A representação esquemática desta rotação é a mesma que a
ilustrada na Figura 4.2 onde, porém, o vetor mostrado é a projeção do
vetor tridimensional V sobre o plano da figura. Portanto, as compo
nentes de V neste novo sistema,de acordo com a equação (4.20), são da
das pelas relações:
Vi = V 1 cos a + V 2 sen a
= -V 1 sen a t V 2 cos a
- v a -
- 16 -
ou, alternativamente, fazendo uso da notação matricial:
= [M3 (a) 1 v
onde
cosa sena O
M3(a) = - sen a cos a O , (12.2)
o o 1
matriz que deve ser lida da seguinte maneira: matriz de rotação em tor
no do eixo , num ângulo a. Esta rotação chamada de positiva por
que o sentido da rotação, segundo a regra da mão direita, coincide com
a do eixo . Uma rotação negativa obtida pela simples substituição
de a por -a.
As matrizes de rotação são facilmente obtidas por inspec
ção. A rotação ao redor do eixo de um ângulo , de acordo com a
Figura 12.1 , conseguida pelas seguintes relaç6es entre as componentes
de V, em ambos os sistemas:
= V 3 cosS + VI sen S
= -VsenS + VcosS,
-
'2 - '2 '
- 17 -
ai
e
Fig. 12.1 - Rotação positiva em torno do eixo
&deum ãngulo 8. O vetor V,
a projeção de V no plano da fi .gu
ra.
de onde se tem que a matriz de rotação M2(S)
cosa O -sena
1112 (8) O 1 O
sena O cos$
(12.3)
Entretanto, não é necessârio desenhar esquemas parecidos,
como o mostrado na Figura 12.1, toda vez que se precise encontrar ama
triz de rotação em torno de um eixo qualquer. Para isto, é suficiente
observar algumas caracteristicas comuns na forma das matrizes (12.2) e
(12.3) e,assim, estabelecer conclus6es interessantes. Por exemplo, oele
n
mento da diagonal, que corresponde ao eixo de rotação, é sempre ¶.Assim,
se o eixo de giro é ü &, então M 33 = 1, conforme se pode observar
na equação (12.2). Por outro lado, todos os elementos da linha e colu
na correspondentes a este elemento unitãrio são nulos. Observa-se, tam
bõm, que os elementos restantes da diagonal são sempre o cosseno do in
guio (o) da rotação. Finalmente, os elementos restantes, fora da dia
gonal , são da forma
M.. = ± sen O 1J
onde o sinal (positivo ou negativo) depende dos Tndices numéricos. Se
estes se encontram na seqümncia 1, 2, 3, 1, o sinal é positivo; se na
seqüência inversa 3, 2, 1, 3, o sinal é negativo. Assim, por exemplo,
o elemento M 13 da matriz (12.3) é - sen S; no entanto: M 31 = sen 8.
As observaç6es feitas acima podem ser sumariadas conve
nientemente da seguinte maneira. Se o eixo do giro é o 1, então a ma
triz de giro M(0) terá os seguintes elementos:
14. ii
= Ii i
= 6.i
( i = 1, 2, 3)
Mij = 6ij cos O + 6+. sen O (i,j 0
(12.4)
onde 6.. ij e c. . são os jã familiares simbolos deita de Kronecker
e anti-simétrico de Levi-Civita, amplamente utilizados na Parte 1 deste
livro.
- 19 -
Com os resultados desta análise indutiva, pode-se escre
ver agora a matriz de rotação em torno de qualquer eixo, tomando cuida
do apenas com o sentido da rotação (isto é, ángulo de rotação positivo
para urna rotação positiva e negativo para rotação negativa). Desta ma
neira, a matriz de rotação M 1 (y) terá os seguintes elementos:
1 O O
M 1 (y) = O cos 'r sen 'r
O -sen'r cosy
(12.5)
Matrizes de rotação em torno dos outros eixos podem ser
obtidas por analogia. Uma orientação arbitrária é conseguida mediante
apenas 3 rotaç6es sucessivas. Assim, por exemplo, partindo dos siste
mas base 5. pode-se chegar a um arbitrário 5 , mediante as seguin
tes transformações (ou rotaç6es) sucessivas:
52' 53 i, I., (3 = ,
o
M2 () §i' !z' 3
2" , 3 M3(y) 21112u -
> , , 3 -
Naturalmente, pode-se também fazer outras seqüências de rotaç6es em tor
no de eixos diferentes. O importante é que são necessárias apenas três
rotaçées para chegar a uma orientação arbitrária.
- 20 -
A transformação das componentes de um vetor V, referido
a um sistema de coordenadas 5, a um terceiro sistema S, í efetuada
mediante transformaç6es matriciais sucessivas, da seguinte maneira:
YI = [143(a)] y
= [142(S)] y' = [142(5)] £14(a)] v
V ... = [Mg(y)] [14 (5)1 [M 3 (y)] ti
(12.6)
Conseqüentemente, a matriz de transformação de um sistema
ortogonal tridimensional 5 a um outro similar S" é dada por
!í(a, , ) = [143( -Y)1 [142(5)] [14 3 (a)] . ( 12.7)
Pode-se verificar que, neste caso, a matriz de transformação
M 11 M 12 M 13
M 21 M22 M 23 (12.8)
M 31 M 32 M33 J
- 21 -
tem os seguintes elementos:
M11 = cosy cos$ cosa - seny sena
M12 = cosy cosa sena + seny cosa
ti13 = -cosy sens
ti21 = -seny coss cosa - cosy sena
ti22 = -seny cosS sena + cosy cosa
ti23 = seny sens
M31 = sen8 cosa
M32 = sen sen a
M 33 = cos
Este tipo de transformação é muito comum na Mecânica dás
sica, onde certos tipos de problemas ficam mais fáceis de resolver num
sistema de coordenadas especial (como, por exemplo, o sistema natural
de coordenadas, mencionado na Seção 9.1), para logo depois transformar
a solução de volta ao sistema original de coordenadas. Os ângulos a,
S e y são chamados de Ângulos de Euler. A Figura 12.2 ilustra a ori
entação dos vetores base, após cada rotação, começando do sistema mi
cial (, &, @), passando pelos sistemas ê2' , ) e (, &, ) ate- -2
chegar, finalmente, ao sistema desejado (&f, i', &').
- 22 -
'-1
Fig. 12.2 - Ângulos de Euler ct , e y correspondentes a
três rotações sucessivas (começando do sistema
é. e terminando no ê1. As regiões com a mes 1 -
ma hachura encontram-se num mesmo plano.
12.2- TENSOR DE PRIMEIRA ORDEM
Voltando à equação (12.6) e chamando M 1 ] . aos elementos
da matriz M (ci, , - ), esta expresão na notação indicial fica:
M V. . (12.9) 1 -
M. 3
Esta relação de transformação define os tensores de pri
meira ordem: grandezas que se transformam segundo a relação acima, onde
os coeficientes da transformação são os elementos da matriz de rotação
M, são chamadas de tensores de primeira ordem. Observa-se que este ë
- 23 -
o mesmo tipo de transformação (6.9) que já foi estudado na Seção 6.3,
onde a matriz de transformação C corresponde a M da (12.9). O
leitor pode verificar que a matriz de transformação (12.8) uma matriz
ortogonal, isto :
- AI: = AI
(12.10)
conforme se deveria esperar, uma vez que os vetores base do sistema são
mutuamente ortogonais.
12.3- DIÁDICAS, TENSORES DE SEGUNDA ORDEM
Conforme mencionado no Capítulo 4, considera-se que dois
vetores pertencem ao mesmo espaço vetorial quando cada um pode ser ex
presso por uma combinação linear dos vetores base do espaço. Entretanto,
estes dois vetores não precisam representar grandezas fsicas semelhan
tes. Muito pelo contrário, quando existe interação entre vetores, as
grandezas flsicas que representam são, em geral, intrinsecamente dife
rentes. Assim, da interação entre dois vetores diferentes pode surgir
uma terceira grandeza com propriedades físicas próprias. Por exemplo,
a equação dW = F . dx indica o trabalho dW (grandez escalar) desen
volvido pela força F, quando seu ponto de aplicação percorre uma dis
tância elementar dx. Neste exemplo, E e dx são dois vetores domes
mo espaço (dado que E F. . e dx 5 i. dxj, porm de propriedades
físicas diferentes de cuja interação surge uma terceira grandeza de pro
priedades fsicas definidas. Alm do produto escalar e o já conhecido
produto vetorial, a operação entre dois vetores pode tambm ser feita
- 24 -
mediante o produto tensorial. Os dois primeiros produtos (escalar e ve
tonal) não precisam de maiores explanações após o estudo feito na Parte
1 deste livro. Analisa-se, em seguida, a natureza do terceiro tipo de
associação entre vetores.
Seja o produto (de certa maneira algébrico) dos vetores
8 e B, expressos num sistema ortogonal tridimensional
A B = (A11 + A27 + A33) (B 11 + +
Desenvolvendo este produto algbnico, tem-se:
8 B = A1B1&i1 + A 1B212 + A1B313 +
+ A2B 12 1 + A2B 2 2@2 + A2B323 +
+ A3B131 + A3B232 +
O novo ente, que desta maneira acaba de ser gerado, e cha
nado de d-Lddica. Com a convenção de indices repetidos, a expressão an
tenor fica:
A B E A.B. j. (12.11) -- 1] 1J
Cada um destes termos são chamados de unidades diddicas ou, semplesmen
te diódas. É interessante notar que com as componentes da diádica pode-se
- 25 -
formar, se se quiser, um arranjo matricial. Chamando [ = AB ã nova
grandeza assim formada e a cada elemento
T. .13 1
= A.3
B. , (12.12)
segue-se que
T . (12.13)
Em seguida far-se-ã uma análise das propriedades desta no
va grandeza. Para isto é necessrio nio esquecer que o -ultimo fator, é.,
é simplesmente um vetor, e como tal sujeito a operações conhecidas en
tre vetores. Assim, pode-se, por exemplo, fazer o produto escalar da
didica (12.13) com o vetor V E Vkêk. Assim,
T . V T.. '/ ê.é. . é = T.. V é. 6. = T.. V. é. - ij k-i--j -k 13 k -ijk 133-1
de onde se tem que,
= ( Ti V3)ê + ( T 2 V 1 ) 2 + ( T3j v)ê .(12.14)
Este resultado é um vetor Logo: o produto escalar de uma diádica com
um vetor di outro vetor. Note-se que cada componente do novo vetor,
T.. V, representa, exatamente, a notaçio indicial do produto de uma
matriz T com o vetor coluna v. Portanto, o produto escalar entre 1 e V, na notação matricial, fica:
- 26 -
T 11 T 12 T 13 V 1 A 1 B 1 A1 B 2 A1 B 3 V 1
TV = T 21 T 22 T 23 V 2 = A 2 8 1 A2 B 2 A 2 B 3 V 2 (12.15)
T 31 T 32 T 33 V 3 A 3 B 1 A 3 B 2 A 3 B 3 V 3
£ interessante observar que a matriz T, por sua vez, é
formada pelo produto, em sequência, de um vetor coluna A com um vetor
linha (vetor coluna transposto) È. Assim,
A 1 . A 1 B 1 A 1 B2 A 1 [3
T = = A2 (B1 B2 B3) = A 2 B 1 A2 B 2 A 2 B 3 (12.16)
A 3 A 3 B 1 A 3 B 2 A 3 B 3
Note-se a diferença que existe entre a matriz T, que ape
nas é um arranjo de elementos, e a didica T, que em si representa uma
soma de termos.
O produto AB que gera os elementos A.B. é chamado de
produto externo. Portanto, o produto externo entre dois vetores forma
uma didica.
A seguir, ver-se-í a transformação do produto externo de
dois vetores em um outro sistema de coordenadas. Chamando-se A e B
às componentes de dois vetores no sistema de coordenadas s, e obser
vando que as componentes de cada um dos vetores se transforma segundo
(12.9), tem-se que o produto AB segue a seguinte transformação
A B E M.k A. M. 1 B1 = Mik M.1 A.R B1
1 J 1
- 27 -
ou tamb&:
T. E M.k M.1 Tkl , (12.17a) 1 1]
onde não se deve esquecer a soma dupla implTcita nos indices repetidos.
Esta última expressão define o tensor cartesiano de segun
da ordem. Toda entidade 1, cujas componentes, 1.., se transformam
segundo a equação (12.17a),ë chamada de Tensor Cartesiano de Segunda
Ordem. Desta maneira, o produto externo de dois vetores forma um teri
sor de segunda ordem. Não se deve esquecer que os coeficientes da trans
formação correspondem aos elementos da matriz de rotação (ortogonal) M.
t interessante observar, na equação (12.14), que o produ
to escalar de um tensor de segunda ordem com um vetor resulta em outro
vetor. Aliás, esta conclusão estava iS implicita na equação da lei de
Ohm (11.4).
Lembra-se o leitor que as componentes de um tensor 1(x)
podem ser arranjadas de tal maneira que constituam os elementos de uma
matriz T(x). Agora pode-se imaginar, erroneamente, que os elementos
de uma matriz quadrada seriam também as componentes de uru tensor. Por
esta razão õ necessrio salientar que uma matriz uru simples arranjo
de elementos, ao passo que as componentes de um tensor obedecem a pro
priedades definidas de transformação. Contudo, uma pergunta natural que
surge : dado um conjunto de grandezas escalares, arranjadas em forma
de matriz, como que se sabe se correspondem ou não a elementos de
n
um tensor? Na realidade, tudo se reduzem satisfazer a relação de trans
formação (12.17a) que, alias, uma restrição rigorosa. Daqui decor
re que esta relação de transformação merece urna atenção espetial atra
võs de exemplos esclarecedores. Antes disso, no entanto, a relação
(12.17a) colocar-se-ã numa forma matricial a qual leva, ãs vezes, a ope
rações mais simples. Nesta relação, os fatores M.. e Tkl são Sim
ples escalares; logo:
T!.M. T M = M. T (Ã). ]. k ki i ik ki 1 1] 1 j
T'=MTM. (12.1 7b)
Nesta forma, as componentes do tensor são tratadas como
simples elementos de matriz.
EXEMPLO 12.1
Deseja-se saber se as matrizes seguintes são tensores:
y 2 -xy x 2 -xy
A = e B = -xy x 2 -xy
onde x e y são as coordenadas cartesianas num plano.
A transformação de coordenadas para este caso bidimensio
nal ë dada pela rotação em torno do eixo z: X' =
- 29 -
= xcoscz + ysena ;
y' = - xsena + yCOSa
Z I = z
Observa-se que, para este caso, é suficiente uma matriz de 2 x 2 elemen
tos
cos a sena
-sena Cosa
Antes de continuar com o exemplo, note-se que se os elemen
tos das matrizes A e A forem constantes, as matrizes seriam também
constantes e, portanto, sua transformação levaria i mesma matriz cons
tante referida apenas a outro sistema de coordenadas. Os tensores cons
tantes transformam-se de maneira semelhante, não havendo diferença com
as matrizes. Nestes casos, no entanto, a identificação vem através do
significado fisico ou matemãtico destas grandezas.
No exemplo atual, primeiro transformar-se-ã cada elemento
utilizando a relação (12.17a) e depois seré efetuada a transformação das
coordenadas. Se o resultado que se obtiver para cada elemento for o
mesmo que o elemento original,porém com as variáveis coorespondentes ao
novo sistema, então a matriz será um tensor.
- 30 -
Considerem-se primeiro os elementos da matriz A: Ah E 13
Mik M.1 Aki.
A 1 E Mik M11 Aki
= M 11 (M 11 A 11 + M 12 Al2) + M 12 (M 11 A21 + M22 A22 )
= y2 cos 2 a - 2(x sen a) (y cos a) + x 2 sen 2 a
Observe-se que o elemento A 1 & dado ainda em termos das coordenadas
originais. Portanto, agora necessário fazer a transformação de coor
denadas. Isto, no entanto, & feito diretamente observando que
= (y cos a - x sen a)2 =
E Mik M21 Aki
= _Y2 cosa sena - X3'cOs 2 ci +xysen2 a+x2 senacoSa
= - (x cos a + y sen a) (-x sen a + y cos a)
= - x ' y ' , etc.
Pode-se verificar que todos os elementos da matriz trans
formam-se segundo a relação dos tensores. Logo, os elementos A. j com
p6em um tensor.
- 31 -
Para o caso da matriz E, utilizar-se-ã a forma matricial
da transformação de tensores (12.17b) com S = sen a e O = cos a.
O S y 2 xy O -s BI
-s o xy x 2 s o
(Cy - Sx) 2 SC(x 2 - y 2 ) + (02 - S 2 )xy
SC(x 2 - y 2 ) + (02 - S 2 )xy (Sy - Cx)2
Pode-se ver que:
= (y cos a + x sen a) 2
x y'2
Assim, como pelo menos uni dos elementos de E não se trans
forma segundo um tensor, esta matriz não um tensor.
EXEMPLO 12.2
Uma grandeza matemática que possui dois indices e foi
de uso muito comum nos capTtulos anteriores o delta de Kronecker 6. 13
Ser que esta entidade (que por definição apenas representa um sTmbolo)
um tensor? Evidentemente, se e um tensor, tera que se transfor
mar segundo (12.17a). Ou seja, tem de satisfazer a relação:
- 32 -
6! . E M j
M 6 i
ij k i ki (12.18)
Para isto, e importante lembrar que o deita de Kronecker
uma definição, e, portanto, apiicãvel a qualquer sistema de base veto
ria] ortogonal. Assim:
1 se
6?. = 6.. - 13 13
se ij
Evidentemente, esta a conclusão a que se deve chegar,
partindo da relação (12.18). Aplicando as propriedades do simbolo
6k1'° segundo membro da relação (1.2.18), fica:
6'. E M i j
Mk k
Porem,
= (M) k.
logo:
6.'. = M. (M)
13 ik kj
= (Mfl.. = (i) =
- 33 -
onde foi utilizada a propriedade de M ser uma matriz de transforma
cão ortogonal.
Portanto, o deita de Kronecker é uni tensor cartesiano de
segunda ordem.
12.4- TENSORES DE ORDEM SUPERIOR
Os tensores cartesianos de terceira ordem podem também
ser definidos pela associação de trs vetores na forma: A B C, formando
"triidicas". A transformação destas grandezas pode ser escrita, em ana
logia com as diidicas, da seguinte maneira:
A i ! 8! j C E M. 1 M. jm M
kn A 1 B m
Ck 1
Ê mediante este tipo de transformação que são definidos os tensores car
tesianos de terceira ordem. Assim, toda grandeza que se transforma se
gundo:
T! E M i j M M T ijk i m kn lmn
é chamada de tensor de terceira ordem.
Em geral, um tensor cartesiano de ordem arbitrria se
transforma segundo:
- 34 -
Th i
M j
M M ... M T . (12.19) ijk ... ti a S ky nn dy ... ti
De uma maneira análoga ã definição de produto externo en
tre dois vetores, existe também o produto externo entre tensores de
ordem arbitrária. Assim, por exemplo, o produto externo entre dois teri
sores de segunda ordem T P, agora expresso unicamente em termos das
suas componentes,
T.. k1 =
di como resultado um tensor de quarta ordem. Obviamente, a ordem do ten
sor formado pelo produto externo de dois outros tensores é igual so
ma das ordens de cada um dos tensores. Deste ponto de vista, os veto
res representam tensores de primeira ordem, uma vez que o produto exter
no de dois vetores, A e B,
A. B. = T.. E T 1 3 13 =
forma um tensor de segunda ordem.
Analogamente, o produto externo de um escalar x com um
tensor de primeira ordem,
xA E XA. = B. e 8 - 1 1
- 35 -
di como resultado um outro tensor de primeira ordem. De onde se cmi
clui que o escalar x é um tensor de ordem zero.
12.5- TENSORES SIP4ÊTRICOS E ANTI-SIN(ËTRICOS. PSEUDOTENSORES
Um tensor de segunda ordem, T 1]. . , é chamado de tensor si
-
metrico quando seus elementos satisfazem a seguinte relação:
T.. = T..
13 J1
No entanto, quando
T..= -T..
13 31
o tensor é chamado de anti-simétrico. Aqui, surge a seguinte pergunta:
Seré que um tensor, sendo simétrico num determinado sistema de coordena
das cartesianas, também vem a ser um tensor simétrico em qualquer ou
tro sistema cartesiano? A resposta é positiva, e a demonstraçgo desta
propriedade é como se segue
TL E M ik j 1 M
ki T = M
ik . M j1 1k . T = M J . M ik 1k . T = Th 31 . ( 12.20)
Esta mesma propriedade se aplica aos tensores anti-si
métricos.
- 36 -
Para tensores de ordem superior, podem-se tambeni definir
estas mesmas propriedades de simetria, porém, em relação a apenas dois
de seus indices. Assim, um tensor de terceira ordem é simétrico em re
lação aos seus dois primeiros índices, quando
T.. = T ji ijk k
Chama-se de pseudotensor ao tensor cujas componentes são
regidas pela transformação (12.19), exceto que vai multiplicado pelo de
terminante da matriz de transformação. Isto é,
Thk E M M.s Mk ... M T 6 det M (12.21)
Para o caso da matriz de transformação (12.8), tem-se que: det P4 = 1.
Em geral, pode-se demonstrar (ver problema 5 do Capitulo
5) que o determinante de uma matriz de transformação ortogonal (isto
é, M = M') é: det M = ±1. Portanto, para uma matriz de transformação
ortogonal, têm-se ainda dois tipos de transformação. Quando det P4 =+1,
a transformação é chamada de rotação própria; este é o caso dos siste
mas de mão direita que, nos sistemas tridimensiobais estudados na Parte
1, são representados por . x = Eiik k (ver Seção 1.5).
Quando det M= -1, a transformação é chamada de rotação
imprópria. Este tipo de transformação também leva o tensor (ou melhor,
as suas componentes) a ser expresso no sistema desejado, exceto que a
direçio de um dos vetores base, neste sistema, é invertido. (Isto é, um
vetor base qualquer do novo sistema é. é trocado pelo
£ interessante, ainda, saber qual o tipo de tensor que é
gerado ao fazer o produto externo de um tensor simples (por exemplo
de segunda ordem) T e um pseudotensor r: 1 C.
ThT E M. M T M M T detM ij pq 1 j k i ki pr qs rs
E M i M
j M M T T detM
k i pr qs ki rs
Chamando
R E
kirs ki rs
tem-se que
E ijpq M 1.k M. 1 Mpr Mqg Rkl det M
Portanto, o produto externo de um tensor simples com um
pseudotensor (ou vice-versa) é um pseudotensor.
Obviamente, o produto externo de dois pseudotensores dé
como resultado um tensor, unia vez que (det M) 2 = 1.
EXEMPLO 12.3
Seja o sTmbolo de Levi-Civita E..k que no Capitulo 1
foi definido com um smbo10 anti-simétrico. Dado que este sTmbolo pos
sui três índices, naturalmente surge a pergunta: Este smbolo é, de fa
to, um tensor? Para responder esta pergunta, suponha-se que, de fato,
Clik é um tensor, portanto, satisfaz a relação:
E
Mil Mk Eimn (12.22) ijk
De uma maneira análoga ao feito para otensor de Kronecker,
aqui também se faz uso das propriedades definidas do símbolo de Levi-
Civita. Assim, sabendo que
1 quando os valores numéricos dos índices se encon
tram na seqüência positiva: 1, 2, 3, 1
1Dm = - 1 quando a seqüência é negativa: 3, 2, 1, 3
O quando aparecem índices repetidos
deseja-se saber se Ehk. após a transformação, tem as mesmas proprie
dades no novo sistema de coordenadas. Suponha-se, por exemplo, que:
i = 1, j = 2, k = 3. Para estes valores numéricos dos índices, a rela
ção (12.22) transforma-se em:
E E M11 M 2 M3 lmn
- 39 -
Nota-se que esta expressão é a representação indicial do
determinante de uma matriz de 3x3 elementos (ver a equação (5:10)).
Portanto,
6123 = detM
Para outro conjunto de valores onde os Tndices são repeti
dos, por exemplo, i = 1, j = 2, k = 2, tem-se que,
6122 E c ri ri M = O lmn 11 2m 2n
Este resultado é devido ao fato de que as duas ifltimas linhas do deter
minante são iguais. Analogamente, para outros conjuntos de valores
tem-se:
1 - 6231 r E ri21 M ri 3m = E M ri M dat M lmn in fim
1 21 3m E
6321 = M M M = - c M M M =-detM lmn 31 2m In nnil in 2m 31
onde foram usadas as propriedades de inversão de indices no fator c lmn
Pode-se ver que o smbolo de Levi-Civita satisfaria todas
as relações que definem o simbolo anti-simétrico de Levi-Civita se a
transformação fosse decorrente de uma rotaçcio prõpria, ou seja, quando
det M = 1
n
Se as rotações fossem impr6prias (det M = - 1),os resulta
dos anteriores, então, não corresponderiam 5 definição do simbolo do
Levi-Civita que, por ser definição, não deveria depender de qualquer
sistema cartesiano de referência.
Para que os resultados sejam os desejados, será necess
rio que na transformação (12.22) seja incluTdo o fator det M, ficando,
portanto,
M j
M P1. € detM . (12.23) i ijk i m Kfl lmn
Desta maneira, mesmo para uma rotação imprõpria,ter-se-ia
que:
123 = detM detM = (det /4)2 = 1
= -(det M)2 = - 1
onde todas as propriedades do tensor anti-simétrico são satisfei:tas. Co
no conseqüência, e de acordo com a Equação (12.23), chega-se conclu
são de que o simbolo de Levi-Civita é um pseudotensor.
- 41 -
12.6- CONTRAÇÃO DE (OU PRODUTO INTERNO ENTRE) TENSORES
Considere-se o produto escalar entre dois vetores:
A . B E A.B. . (12.24)
A nova entidade assim formada é evidentemente uma grandeza escalar. O
que tem acontecido, portanto, que da associação de dois tensores de
primeira ordem, A e B, mediante o produto escalar entre ambos, cha
mado também de produto interno, gera-se um tensor de ordem zero.
A relação (12.24) indica que quando dois Tidices do ten
sor são considerados iguais (implicando, portanto, uma soma sobre estes
Indices repetidos), o tensor diminui de ordem. A operação de fazer dois
indices iguais e chamada de contraç5o (ao contrário do produto externo
entre tensores que implica uma "construção").
Em seguida, ver-se-ão as propriedades de transformação do
produto interno assim definido:
A B E M M A B = () M A B = (r) A B i i 1 kilkl kiilkl kiki
E klAkBl = A k B k
- 42 -
Portanto, A B ê um tensor de ordem zero em ambos os sis
temas de coordenadas, ou tambm o produto escalar entre vetores ë uma
invariante sob a transformação por rotação.
Outros exemplos de contração entre tensores foram rnencio
nados nas relações (11.5) e (12.14). A contração não s6 implica uma
redução na ordem do tensor, mas também, e como conseqüência disto, uma
redução do número de componentes do tensor. Por exemplo, o produto ex
terno entre o tensor T.. e: O V 13 k
P.. = T ij
V
ijk k
é um tensor de terceira ordem de 33 = 27 componentes no sistema carte -
siano tridimensional. Entretanto, o produto interno entre os mesmos ten
sores é:
P.. . = T.. Q
13J 1] 3 j
que é um tensor de primeira ordem com apenas 3 componentes.
Em seguida ver-se-ão algumas contraç6es interessantes co
nhecidas sob o ponto de vista do c1cu10 vetorial. Por exemplo, consi
dere-se o produto vetorial:
- 43 -
E Eijk A B . (12.25)
Olhando para o segundo membro pode-se ver que esta opera
ção representa a contração primeiramente entre o pseudotensor Ci•k e
o tensor Bk. cujo resultado dá origem a um pseudotensor de segunda or
dem e, em seguida,à contração .deste novo pseudotensor com o tensor AJ.
Pode-se ver que o resultado final é um pseudotensor de primeira ordem.
Assim, conclui-se que o produto vetorial entre A e B gera um pseudo
tensor.
De forma análoga o produto
A . B x C E E.. A, B. C - ijk 1 j k
representa um pseudoescalar.
12.7- DERIVADAS DE TENSORES CARTESIANOS
Uma das operaç6es muito comuns no cálculo tensorial & a
diferenciação ou derivação. Nesta seção será demonstrado que a deriva
da de um tensor cartesiano em relação a uma outra variável que não seja
nenhuma das coordenadas gera, como conseqüncia, um outro tensor da mes
ma ordem, ao passo que quando a derivação í feita em relação a uma das
coordenadas do sistema ou a alguma variável diretamente ligada às coor
denadas, o resu1tado' um tensor de ordem superior ao original.
- 44 -
Primeiro ver-se-á o que acontece com as propriedades de
transformação quando a derivada i em relação a uma variável não rela
cionada com as coordenadas. Por exemplo, seja üi esta variável e cmi
sidere-se o tensor:
Th (xi, x x, w) E M.k M
j T
13 i (x1, x 2 , x 3 , w)
i ki
DL. 3
FMk M.1 T ikll 30) 30)L
aU. aTkl = M. M. 1
3w 3w
(12.26)
Chamando
3 T 7
- 'ki - k1
tem-se:
Z!. E M. M. 7 ij ik ji ki
Esta relação mostra que, independentemente das proprieda
des fisicas da nova grandeza gerada 1k1'
a transformação deste novo
ente ê a mesma que a transformação de um tensor de segunda ordem. Por
tanto, a derivada de uni tensor cartesiano, em relaçãoa uma variável que
não depende das coordenadas, é outro tensor da mesma ordem.
- 45 -
Para o caso da derivada do tensor em relação a uma das
coordenadas, o caso ë diferente. Seja o tensor fl. = Th (xi, 4, 4). li ij
A derivada deste tensor, e de sua transformação em relação a uma das
coordenadas, e:
aU. a
LMÍk M.1 TklJ = Mik M. 1 - Tkl M m m
Note-se que a matriz de transformação para sistemas de coordenadas car
tesianas sõ depende dos ãngulos de rotação e, portanto, não é afetada
pelas derivadas. Por outro lado
a aT ax ki n - Tkl(xl,x2,x3) E
ax M n m
Lembrando que as coordenadas também se transformam segundo
E M x M mm n
ou na notação matricial:
= Mx
e sabendo que a matriz de transformação, M, é uma matriz (não-singular)
ortogonal, tem-se que:
X x F4
n
Voltando à notaçào tensorial,
X E (M) x' = Mx' n nr r rn r
de onde:
ax - ri _.r = ri 6' = M
rn rn rm mn M m
ax = ri
m ax n M
Com este resultado a derivada do tensor fica:
Th E M.M.1M _À_ 'ki ax' 1 1k mn ax M ti
(12.27)
Nesta expressão, nota-se a presença de 3 fatores de trans
formação, que, segundo a equação (12.19), corresponde à transformação
de um tensor de terceira ordem. Logo, a derivada de um tensor cartesia
no em relação às coordenadas é um outro tensor de ordem acrescido de
uma unidade. r interessante notar que este tipo de derivada correspon
de ao gradiente do cãlculo vetorial, uma vez que a derivada é feita em
relação a todas as coordenadas. Assim, na notação com tis, a operação
de derivar pode ser colocada na forma: v T.
- 47 -
Observe-se que o fato de as derivadas dos tensores, em re
laço às coordenadas, serem diferentes de zero, significa que existe uma
variação do valor do tensor para diferentes pontos do espaço. Ou também
pode-se dizer que, para cada ponto do espaço, existe uni valor definido
do tensor. Esta situação, em analogia com as definições de campo esca
lar e vetorial, conhecida como canrpo tensorial, e o estudo dos campos
tensoriais chamado de cáLculo tensorial.
12.8- TRANSFORMAÇÃO MAIS GERAL DE COORDENADAS
As transformações que at aqui foram vistas referem-se es
pecificamente a transformações por rotação do tipo (12.8). Para campos
tensoriais, em geral, quando se fala de componentes do tensor, o que re
almente interessa são as componentes associadas às direções dos vetores
base do sistema. Assim, por exemplo, um vetor V no ponto x do es
paço pode ser expresso mediante suas componentes
E V 1 ()
Fica evidente que, para que um campo vetorial seja expres
so por suas componentes vetoriais, não interessa onde se encontre a ori
gem do sistema de coordenadas; apenas é necessria a orientação dos ve
tores base. Portanto, para a transformação das suas componentes é ne
cessãria apenas a matriz M de transformação. De uma maneira similar,
para campos tensoriais em geral a transformação das componentes de um
tensor é feita apenas com o conhecimento de M.
n
No entanto, se a transformação envolve não apenas rota
ç6es, mas tambini uma transla03o da origem dó sistema, esta transforma
ção afeta apenas o vetor de posição x, e não as outras grandezas do
espaço. Neste caso, as coordenadas de um ponto no espaço se transfor
mam segundo:
XI = Mx + a OU E P1.. x. + a. , (12.28) 1 1J
] 1
onde a o vetor coluna "translação", cujas componentes são as coorde
nadas da origem do novo sistema.
Entretanto, se x não diretamente o vetor de posição,
mas, por exemplo, a diferença entre dois vetores de posição,
Ax = Xj - fa
então, sua transformação também não depende do vetor translação, confor
me é mostrado a seguir:
= = Mx 1 +a—Mx 2 —a =
de onde se tem que
Ax' = MAx . ( 12.29)
- 49 -
Logo, inclusive para este caso, o vetor translaço não en
tra na transformação. Desta maneira, conclui-se que a relação de trans
formação (mais geral), indicada na equação (12.28), é aplicâvel só a ve
tores de posição. Note-se que, segundo a relação (12.29),o elemento de
linha x transforma-se como um vetor comum.
- 50 -
nnnnl rinr
12.1- Considere-se o vetor:
= + - 2 3
Encontrar as componentes de V no sistema de referncia obtido
depois de girar o sistema de coordenadas inicial:
primeiro em torno do eixo 2' num angulo de 300; depois em
torno do , num ãngulo de 450,
primeiro emtorno do , em 450;
depois em torno do ,em 30°.
12.2- Seja o vetor
= v11 + v22 + v33
Encontrar a matriz de transformação tal que no novo sistema:
y = Cv = YI)
12.3- Demonstrar que a matriz (12.8) do testo & uma matriz ortogonal.
12.4- A transformãço por rotação pode, alternativamente, ser interpre
tada como a transformaçao que leva o ponto P, de coordenadas x.,
ao P', de coordenadas x. Considerando esta nova interpretação:
- 51 -
Determinar as regiões que o ponto P pode ocupar, mediante
transformaçéos deste tipo.
Encontrar a matriz de transformação que leva o ponto de coorde
nadas (1, 1, 1) ao (1 + 2 ,/2
12.5- Num sistema cartesiano tridimensional, considere-se um vetor d de
finido pelas coordenadas esféricas O e •. O sistema cartesia
no é girado em torno de a num ângulo positivo a. Encontrar a ma
triz de transformação entre os sistemas inicial e final.
12.6- Um tetraedro é orientado de maneira que o v&rtice 1 se encontra
sobre o eixo e 3 , o centro do tetraedro coincide com a origem de
coordenadas, o vértice 2 encontra-se no plano dos versores e 3 e ê 1
e o vértice 3 na região de x 2 > O. O tetraedro é girado de ma
neira que o vértice 1 passa a ocupar a posição do 3, o 3 do 4 e o
4 a do 1, respectivamente. O vértice 2 permanece fixo. Encontrar
a matriz de transformação correspondente.
12.7- Se os vetores base é. 1 de um sistema cartesiano ortogonal se trans
—
formam em um outro similar, segundo a relação
3 M 1.. éJ
. 1 -
demonstrar que:
- 52 -
n1 Mk = 1
3 M Mk. = O para ixkii ,i=l
12.8- Considere-se a transformação
Xj = x 1 cosh o + iX4 senh O ,
4 = x2
X = x3
x4 = -ix 1 senh o + xt, cosh o (12 = - 1).
Mostrar que esta uma transformação ortogonal.
Fazendo x 1 = x, x2 = y, x3 = z, xk = ict e tgh o = onde
X, y e z são coordenadas espaciais, t o tempo, c a veloci
dade da luz e v a velocidade relativa entre os sistemas de
coordenadas S e S', determinar a transformação dos siste
mas (x, y, z, t) e (x', y', Z, t'). Esta a transformação
de Lorentz da teoria da relatividade restrita.
- 53 -
12.9- Seja a matriz
cos 2$ sen 2$ O
sen 2$ -cos 2$ O
0 O 1:
Determinar se esta matriz € uma de transformação por rotação.
Se a resposta de a) for positiva, identificar o sistema de coor
denadas ao qual é aplicável.
12.10- Otensor formado pela.diãdica A tem o mesmo conjunto de compo
nentes que o formado por BA. Elucidar as diferenças, relação e
propriedades comuns das matrizes formadas com as componentes de
ambos os tensores. Qual a condição para que uma diãdica forme um
tensor simétrico?
12.11Supondo.que A. A. 1 e A. A. = P.., encontrar as componentes
do tensor A e as do P.. dado que P 11 = =13
12.12- Considere , -se o tensor anti-simétrico A..(f,j= 1,.?, ... , N).De
monstrar que:
A...1.] V 1 . V 3 . = O
O determinante da matriz formada com as componentes deste tensor
é nulo,quando N é impar.
- 54 -
12.13- Considere-se o tensor arbitrário T num espaço tridimensio
na]. Supondo as seguintes relaç6es de simetria:
= T ..kl; T..kl = T..lk; Tj .kl = Tkl..
quantas componentes independentes possui este tensor?
12.14- Demonstrar que a grandeza
=X6 ij 6 +p 6]. +v 6
j. +1(6
1 ki ik j ii k ijkl
onde:
1 se todos os índices so desiguais
ij 6.. =
kl j O se existem dois ou mais indices repetidos
satisfaz as relaç3es:
= Ckli. e c =
•xz x2 •
z 2 -XZj
xz xy -x 2
C = yz -xy
yz -xz
-xz B =
-x 2 xz
xz xy
D = yz
-x 2 yz
-xy
-xz
- 55 -
12.15- Sejam as matrizes:
onde os escalares x, y e z so as coordenadas cartesianas. Su
pondo que as coordenadas se transformam segundo as relações
x' = ax - bz
= y
z' = bx + az
a) determinar quais das matrizes acima podem. ser identificadas como
tensores.
•b) Supondo que os tensores identificados em a) so formados por diã
dicas, determinar os vetores correpondentes.
- 56 -
12.16- Sejam os vetores U. e V.. Demonstrar que, após uma transforma
ção por rotação, ficam inalterados:
os módulos de U. e V.
o ãngulo entre os dois vetores.
12.17- Aequação de uma superficie qudrica 1 dada por:
A.. x. x. + 1 = O 1) 1. 3
Demonstrar que os coeficientes. A.. são componentes de um tensor
simétrico de segunda ordem.
12.18- - Identificar o tipo de tensor a que correspondem as grandezas:
Y
V V
12.19- Determinar se a grandeza: AÍkl = ik 6 íl ~ jk um te!i
sor.
12.20- Determinar se a grandeza: V 2 'P E -.- --- é um tensor.
ax. Bx. 1 1
- 57 -
12.21- Seja A. tj k
unitensor cartesiano arbitrário.
Provar que a grandeza:
P.. = A.. + A .. + A. . + A.. + A .. + ikj ijk ijk ktj jki.
é um tensor.
Mostrar que P é um tensor completamente simétrico (em relaijk
ço a todos os pares de ndices).
Se R.. = R.. , então R. . + R . . + R. . = O, onde
i.jk jik ijk kij jki
R.. = A.. +A.. -A,.. -A,.. ijk ijk jik iCij KJi
CAPÍTULO 13
TENSORES CARTESIANOS OBLÍQUOS
13.1- VETORES COVARIANTES E CONTRAVARIANTES
Os tensores referenciados a coordenadas oblíquas (onde os
vetores base tm orientaçes fixas), chamadas tambni de coordenadas car
tesianas generalizadas, são conhecidos como tensores cartesianos obil
quos. A intenção deste capítulo á fazer que a transição entre o estudo
dos tensores cartesianos ortogonais e oestudo dos tensores generaliza
dos seja gradual, introduzindo conceitos que são mais fáceis de ser "vi
sualizados" utilizando coordenadas oblíquas do que utilizando coordena
das mais gerais, onde o tratamento matemático á mais abstrato.
A interpretação geométrica das componentes de um tensor
de primeira ordem foi ilustrada na Figura 11.2, onde se fez a distinção
entre componentes contravariantes e covariantes de um mesmo vetor.Assim,
o vetor V pode ser representado pelas suas componentes contravarian
tes V 1 , obtidas a partir da lei do paralelogramo, ou pelas suas compo
nentes covariantes V,, obtidas diretamente da projeção do vetor V 50
bre os vetores base do sistema. Não se deve esquecer que em ambos os
casos o vetor & o mesmo. Desta maneira, o vetor V pode ser repre
sentado, alternativamente, por um vetor coluna (matriz coluna) de ele
mentos contravariantes, ou por outro de componentes covariantes. Assim,
para um espaço N-dimensional existirão dois tipos de vetores coluna, o
e o v , que representam o mesmo vetro V, a saber: -cov -
n
vi
V 2
= - vi
v = - 2ov
v i
V2
v. 1
(13.1)
Na análise tensorial, estes dois tipos de vetores coluna são representa
dos apenas por uma de suas componentes: contravariante V' e covarian
te V., respectivamente. Evidentemente, se o sistema de coordenadas 5
o cartesiano ortogonal, os dois vetores coluna são id@nticos, recobran
do-se a conhecida representação ónica, onde as componentes são simples
mente chamadas de " as componentes " do vetor.
13.2- TENSOR FUNDAMENTAL
Comumente, os vetores base do sistema de coordenadas car
tesianas são escolhidos de maneira que Ie.I = 5» = 1. Assim sendo,
para o caso de coordenadas obliquas, tem-se que 5. . 5. = cos a..,
onde a 1] 5 o ângulo entre os versores 5. e 5.. Entretanto, em ge -J -
rã] os vetores base não precisam ser vetores unitarios, isto e, o produ
to escalar entre dois deles pode ser uma grandeza ate maior que a unida
de. Portanto, uma representação mais geral 5 necessária para especi
ficar o produto interno entre os vetores base de um sistema de coorde
nadas oblíquas. Desta maneira, define-se a grandeza 9.. como se segue:
- 61 -
e. . e. = g. . (13.2) -1 li
onde Je i l é unia grandeza que, em geral, é diferente da unidade.
O conjunto de grandezas g. j é chamado de tensor funda
mental ou, também, de tensor metrico. Mais tarde, na seção 14.6, ser
demonstrado que esta grandeza . é de fato um tensor covariante de segun
da ordem.
interessante observar, na definição (13.2), que os ele
mentos g. j formam um conjunto que convenientemente pode ser arranja
do em forma de matriz, e que esta matriz assim formada é uma matriz
simétrica.
13.3- TENSORES COVARIANTES, CONTRAVARIANTES E MISTOS
Voltando ao conceito de vetores base, unia mudança de coor
denadas traz, de forma geral, nio apenas urna mudança nas direç6es dos
vetores base, mas também no valor absoluto dos vetores base do novo sis
tema. A Figura 13.1 esquematiza uma mudança de coordenadas, em duas di
mens&es, entre os sistemas 5 e 5, onde
E N 11 e, + N 12 e 2
e 2 = N21 2i + N 22 e2
- 62 -
Utilizando a notação indicial,este sistema de equações
pode ser representado apenas por:
E N 1J . . e -J
. , ( 13.3)
onde P1.. a matriz de transformação. (De acordo com a Figura 11.2(a), IJ
embora aqui não seja de importncia, interessante notar que os elemen
tos P1.. 1J são as componentes contravariantes dos vetores . , referidos -1
ao sistema de vetores base e.). -3
n -
/
/ /
Fig. 13.1 - Mudança de vetores base em
coordenadas obliquas.
Os elementos da matriz N.. podem ser obtidos da seguin
te maneira. Suponha-se que- o vetor V, da expressão (11.8), o vetor
de posição x; isto i
X E x ei , (13.4)
onde os e. 1 são os vetores base, não necessariamente unitários, e os
x são as componentes contravariantes de x. Com base em (13.4), defi
ne-se o elemento da linha dx como o vetor diferença entre o vetor de
posição (13.4) e um outro infinitesimalmente pr6ximo dela; isto :
dx E dx 1 e. . (13.5a)
Este mesmo elemento de linha pode também ser expresso no
sistema 5 da seguinte maneira:
dx E d (13.5b)
Igualando as duas últimas relações, tem-se:
e. E 4- e. . (13.6) aR' -)
As relações (13.3) e (13.6) são id@nticas; logo:
àxj Nij = --- . (13.7)
ax
Os coeficientes definidos por (13.7) podem ser calculados
utilizando as relações de transformação de coordenadas:
x = x 1 (i', R 2 ... RN) . ( 13.8)
- 64 -
A transformação das componentes covariantes V., de um
vetor V, do sistema de vetores e. ao e. pode agora ser obtida da
seguinte maneira. Seguindo a definição (11.9), a componente covariante
do vetor V é dada por:
e E N 13 . . V . eJ.
1 - - -
onde foi utilizada a relação (13.3). Por outro lado, V. = V . e., de
onde se tem que:
V. 1
E N 13 . . V. . (13.9) :i
O interessante & que esta transformação obedece à mesma
lei de transformação que a dos vetores base, indicada na relação (13.3).
Isto é, as componentes V. do vetor V e os vetores base e. 1 se "co - -
transformam", sendo esta a razão pela qual as componentes V. são cha
madas de componentes covariantes do vetor V. A expressão (13.9) é cha
mada de relação de transformação das componentes covariantes do vetor
v.
A relação (13.3), escrita na notação matricial, fica:
= Ne
Onde e e são vetores coluna cujos elementos são os vetores base,
e e., respectivamente.
sie
Supondo que IV & unia matriz não-singular, tem-se:
= ir'
ou, retornanto à notação inicial:
e. E (r 1 ).. . - 1 13 3
(13.10)
Esta a relação que fornece a transformação inversa entre os vetores
base. Substituindo esta relação na equação (11.8), vem:
V E V e. E V 1 (ir').. . = (ir').. V' . - 1 13J 31. 3
Chamando ainda
E (r').. v' , ( 13.11)
tem-se que:
Ví
e. E V3 ë. ; - J
ou seja, o vetor V pode ser expresso, mediante a mesma representação,
tanto no sistema 5 como no S.
A expressão (13.11) é a relação que define a transforma
cão das componentes contravariantes do vetor V. A denominação de con
travariante pode ser associada natureza inversa da matriz de transfor
mação; (isto , inversa da matriz de transformação covariante).
Em suma, pode-se dizer que os vetores coluna VcoI e V - -cov
ou simplesmente V' e V, respectivamente, são definiç6esmais gerais
de "vetores". As entidades, que se transformam segundo as relações
(13.9) e (13.11) são chamadas de tensores covarianteccontravariante de
primeira ordem, respectivamente.
Analogamente, entidades que se transformam segundo
T. . E N. 1k Nt.1 Tkl (13.12) 1]
e
ii (j( ' )
ik (ia)ji Tkl (13.13)
são chamadas de tensores covariante e contravariante de segunda ordem,
respectivamente.
Como resultado da associação por produto externo de um ve
tor covariante A e outro contravariante B 3 , origina-se uma nova
grandeza, a saber:
E N. k (N ' )..l AIKB'
- 67 -
Chamando:
Ti=A. B 3
tem-se que:
'fl E N (f) j Ti i 1 k i k
(13.14)
Toda grandeza que se transforma segundo a relação (13.14)
chamada de tensor mito de segunda ordem. Naturalmente, este tipo de
tensor não tem paralelo em sistemas cartesianos ortogonais.
O leitor pode verificar que contração entre tensores somen
te existe entre um Tndice covariante e um contravariante (ou vice-versa),
uma vez que a contração entre Tndices do mesmo nivel leva a uma grande
za que não mais tensor. Pode-se demonstar que:
A.B 1 E
A. Bi (13.15) 1 3
13.4- TENSOR RECIPROCO
O produto escalar entre o elemento de linha dx e um dos
vetores base d como resultado a componente covariante dx., confor
definido na relação (11.9), isto ë:
n
dx. = dx . e. J -
E (e.1 dx') . e. e e = J 1 . . . dx'
-J - -
E g. dx' = g.. dx' . (13.16)
Observe-se que, neste caso, o tensor fundamental atua como
se fosse uni operador que converte uma componente contravari ante numa co
variante. Em outras palavras, o tensor g.. tem a propriedade de "abai
xar" o índice do tensor sobre o qual atua. Ao mesmo tempo, pode-se no
tar que no segundo membro existe uma contração entre dois tensores, es
pecificamente entre o Tndice covariante de um deles e o contravariante
do outro.
Em correspondncia com a operação de abaixar um índice
contravariante, existe a operação inversa de "levantar" o índice. Isto
pode ser feito multiplicando a equação (13.16) pela matriz inversa de
g' (formada com os elementos de g.), ou seja g', e definindo:
(q 4 ) 1 = gJ
tem-se
9kj dx. E gki
g 1 dx' . (13.17)
n
No entanto, por definição
9 k = ( 1I' 31 ki
= (1) = deita de Kronecker. ki
Observe-se nesta última expressão que se os elementos das
matrizes g e g 1 forem componentes de tensores, a contração só será
possÍvel se gki for um tensor contravariante, uma vez que:
9 k g.31 = gij
9 j = . ( 13.18) 1
A nova grandeza 9 íassim definida é chamada de tensor
reciproco (do tensor fundamental). Ao mesmo tempo, a relação (13.18)
define também o deita de Kronecker, expresso em coordenadas obliquas. O
leitor pode demonstrar que s é um tensor misto seguindo as mesmas
passagens do Exemplo 12.2.
Voltando à expressão (13.17) tem-se:
9kj dx. E 6 dx' = d xk 3 1
Assim:
dxk = 9ki dx. (13.19)
Pode-se ver que o tensor reciproco (contravariante de se
gunda ordem) atua como um operador que levanta um Indice covariante.
- 70 -
Faz-se notar que sendo o tensor fundamental, g.. , unia gran
deza simétrica em relação aos seus Tndices, o tensor reciproco 9 13 uni
bm serã simëtrico em relação aos mesmos indices.
13.5- VETORES BASE COVARIANTES E CONTRAVARIANTES
Os vetores base, que t&ni sido de uso comum no material vis
to at aqui, são chamados de vetores base covariantes, devido à sua ca
racteristica de transformação indicada na relação (13.3).
Define-se um vetor base contravariante e 1 mediante o se
guinte produto escalar:
e 1 . e. = . (13.20) - 3
Esta definição tem implicações muito interessantes. Por
exemplo
e 1 . e. = O
se i j, -
ou seja, os vetores e 1 são ortogonais aos e. Por outro lado,
e' . e. = - -1
- 71 -
(A titulo de analogia, 5 interessante notar que a relação
entre vetores base covariantes e contravariantes 5 similar à relação en
tre os vetores do espaço "primitivo"e do espaço ÍÍdualII, respectivamente,
estudados no Capitulo 7).
A exist5ncia dos vetores base contravariantes traz como
consequ5ncia uma representação alternativa de um vetor corno uma soma ve
tonal em função das suas componentes covaniantes. Lembrando a repre
sentação (11.8) para um vetor e fazendo uso da propriedade do tensor re
ciproco de levantar os Índices covariantes, tem-se que:
V E vi e.1 E V. e. -
J 1
Dada a simetria do tensor recíproco, tem-se ainda que
91.1 ei = ji = ; ( 13.21)
logo
V E V . (13.22)
O interessante das relações (11.8) e (13.22) 5 que ambas
representam uma adição vetorial das suas componentes, contravariantes
e covariantes respectivamente, de acordo com a lei do paralelogramo!
- 72 -
nni-nI rMftC
13.1- Demonstrar a relação (13.6).
13.2- Demonstrar que a propriedade de contração entre tensores cartesia
nos oblíquos, é posslvel somente entre índices covariante e con
travariante, ou vice-versa, verificando que:
A. 1 B. é uma entidade que não é tensor;
3-
A' B. é um tensor invariante.
13.3- Demonstrar que o delta de Kronecker é um tensor misto de segunda
ordem.
13.4- Demonstrar que o tensor fundamental, g., é um tensor covarian
te de segunda ordem.
13.5- Sejam as coordenadas cartesianas ortogonais x, y e as coordena
das de outro sistema x, 3 relacionadas mediante:
x = - 2
Demonstrar que x e y constituem um sistema de coordenadas oblI
quas encontrando o ângulo entre os vetores base do novo sistema.
- 73 -
13.6- Supondo um sistema cartesiano ortogonal 5 de coordenadas (x, ,y)
e outro obliquo S de coordenadas (€, ri), de maneira que x e
sejam coincidentes e que entre os eixos e r exista um ângu
lo a, determinar:
as relaç6es de transformação entre ambos os sistemas;
os vetores base covariantes do sistema ;
as componentes do tensor fundamental
as componentes do tensor reciproco.
13.7- Supondo os mesmos sistemas de coordenadas do Problema 13.5 e as
componentes V e V, do vetor V, encontrar as componentes
covariantes e contravariantes de V no sistema .
13.8- Seja a seguinte relação de transformação de coordenadas:
= x + y ,
n = -x + y
= 3z ,
onde x, y e z correspondem ao sistema cartesiano ortogonal 5
e , Ti e c, a um sistema obliquo . Determinar:
- 74 -
os vetores base covariantes . (com os resultados, verificar
as relações (13.15));
as componentes do tensor fundamental;
as componentes contravariantes do vetor definido por A=3ê 1 +2e 2
(verificar que = 3i + 22);
os vetores base contravariantes e (verificar que . ë. =
13.9- Utilizando a mesma relação de coordenadas do Problema 13.8:
encontrar as componentes contravariantes no sistema dos veto
res V = (3. 2 0) e = (2 -3. 0) definidos no sistema S;
mostrar que V . U uma grandeza invariante.
13.10- Demonstrar que o tensor reciproco, em termos dos vetores base con
travariantes, dado por
gÍ . .
13.11- Sabendo que o tensor recTproco um contravariante de segunda or
dem, demonstrar que a rei ação de transformação de vetores base con
travariantes dada por
E (p1)
rftDfrIIl A lA
TENSORES GENERALIZADOS
14.1- SISTEMA ARBITRÁRIO DE COORDENADAS
Neste capitulo, ver-se-á a transformação das componentes
de um tensor, referenciadas a um sistema arbitrário de coordenadas chá
madas tai-nb&m de curvilineo generalizado (onde, inclusive, a orientação
relativa entre os vetores base do sistema varia para cada ponto do espa
ço) em um outro sistema igualmente arbitrário. Naturalmente, nesta anã
lise encontram-se incluidos os tensores cartesianos ortogonais e obli
quos, estudados nos captulos anteriores, os quais chegam a ser simples
casos particulares do que se segue.
Exemplos de sistemas de coordenadas, cujos vetores base
mudam de orientação em relação a um sistema fixo, para cada ponto do es
paço, são as coordenadas curvilneas ortogonais embora, neste caso, a
orientação relativa entre os vetores base permaneça fixa. Entre estes
sistemas de coordenadas, tem-se as esférico-polares e cillndrico-circu
lares, estudados no Capitulo 3. No sistema esférico-polar, mostrado na
Figura 14.1, para um ponto x no sistema de coordenadas r, o e •, os
vetores base neste ponto são respectivamente: , ô e . As componen
tes do versor , em função do sistema fixo i, , e i, são:
E = seno cos + seno sen + coso i
- 76 -
Fica evidente que esta direção é diferente para cada ponto do espaço.
Naturalmente, os outros vetores base tambm mudam de direção.
Se, no exemplo da Figura 141., se quisesse mudar do siste
ma esférico-polar para o cartesiano, ter-se-ia de usar as seguintes re
laç6es entre as coordenadas de ambos os sistemas:
x = r seno cos = x(r,e,$)
y = r seno sent = y(r,o,)
z = r cos o
e.
Fig. 14.1 - Sistema esférico-polar como exemplo de
sistema de coordenadas cujos vetores
base mudam de orientação para cada pon
to do espaço.
- 77 -
Note-se que, neste caso, as relações de transformação não
são mais lineares, como foi o caso das transformações cartesianas. De
uma maneira geral, e chamando de x as coordenadas de uni sistema
S, e x ãs do sistema S, as relações de transformação agora podem
ser escritas da seguinte maneira:
= (x 1 x 2 ... , x, ... , (14.1)
t importante esclarecer que as novas coordenadas não precisam ser inter
pretadas de maneira geomtrica. Podem ser simples mudanças de variãveis.
14.2- VETOR CONTRAVARIANTE E COVARIANTE
O vetor elementar dx que une o ponto representado pelo
vetor de posição x com outro muito próximo dele i dxdX 1 e.Todavia,
de uma maneira mais simples, este vetor elementar pode ser representado
apenas por uma de suas componentes, dx'. Analogamente, no sistema ,o
vetor elementar representado por di'. As componentes de d' são
obtidas diferenciando diretamente a relação (14.1); isto :
d_X E . dx3 . ( 14.2)
Esta ultima expressão define a transformação das componeri
tes contravariantes de um vetor ou, mais simplesmente, a transformação
de um vetor contravariante. Assim, toda grandeza que se transforma se
gu ndo:
n
-. -1
V1 E --- V3
(14.3) BX
é chamada de vetor contravariant4. Note-se que, neste tipo de transfor
mação, para obter a transformação de um vetor no sistema S, as deriva
das parciais são feitas nas coordenadas do sistema 'com barra" (numera
dor), em relação às coordenadas do sistema "sem barra" (denominador).
A equação (14.3) é uma generalização das transformaç6es
(12.1) e (13.11), dos tensores cartesianos ortogonais e oblquos, res
pectivamente. Pode-se ver que as grandezas --- são equivalentes aos axJ
elementos das matrizes de transformação correspondentes. De fato, e
chamando Q3. 1 = , vê-se que, com estes elementos,pode-se construir
uma matriz de transformação.
Em seguida, encontrar-se-á a relação de transformação de
um vetor covariante. Para isto, considere-se a função escalar 4(xt ) =
Xi ( x', x 2 , ... ... xN) que, por ser uma grandeza escalar, é invarian
te em relação à transformação de coordenadas; isto é: ïi(xt) = En
tretanto, o conjunto formado com as derivadas é um vetor (grandeza âx
com um indice) que "mede" o grau de variação de o nesse sistema de co
ordenadas. Derivando ' em relação ao sistema de coordenadas S, tem-
-se:
- (1) =-LL (xi ) = -- (xi)
- 79 -
Assim:
3t = 3m ct,
Bk - k (14.4)
Esta expressão define a transformação de um vetor covari
ante. Toda grandeza que se transforma segundo:
- axJ V. E -: V. aR'
(14.5)
é chamada de vetor covariante. Observe-se que na transformação covari
ante as derivadas parciais são feitas nas 'coordenadas do sistema "sem
barra" (numerador), em relação às coordenadas do sistema "com barra" (de
nominador).
Para facilitar a memorização das relações de transforma
ção dos vetores contravariante e covariante, é interessante notar que
quando a posição do fndice é superior (contravariante), ou inferior (co
variante) na grandeza que se encontra no primeiro membro, no segundo mem
bro sua coordenada fica, correspondentemente, no numerador ou no denonil
nador.
Aproveitando a relação de transformação (14.2) e dividin
do ambos os membros por dt, ter-se-ia a relação de transformação do ve
tor velocidade (14.3). Portanto, o vetor velocidade é um vetor contra
variante.
n
EXEMPLO 14.1
Suponha-se que nas coordenadas polares (r, o) se faz a se
guinte troca de varivel: x = ln r, de maneira que as novas coordena
das "polares" agora sejam x e o. £ interessante saber como i que se
transformam neste novo sistema as componentes contravariantes Y do
vetor V, expressas no sistema cartesiana (x, y).
As relações de transformação segundo a equação (14.3) são:
= + - v
= + - ax
Fica evidente.que o problema consiste em encontrar os valores das deri
vadas parciais. Não se deve esquecer que as relações de transformação
das coordenadas polares em cartesianas, são:
x = rcos O
y = rseno
- 81 -
ou, alternativamente,
= x 2 + y2
tge= 1 x
Assim, então
ax - ax ar
ax ar ax
Porém,
ax 1 ar e -- ar r ax r
logo, segue-se que
= = cos e
ax r 2 r
Todavia,
r =
n
de onde se tem:
- - - e
-x COSO
Bx
Analogamente,
- x - - e
- sena
Finalmente:
x V x = e- ( coso Vx + sena V)
De uma maneira similar, encontra-se que
- = -e-x san o e -
de onde se tem que:
= e (-sena Vx + coso V')
n
Pode-se verificar também que a transformação inversa é:
VX = xV' - yV 0 e VY = yV + xV 0
O problema de encontrar as transformaç6es covariantes é
deixado para o leitor.
14.3- O JACOBIANO DA TRANSFORMAÇÃO
No último exemplo apresentado, a transformação inversa dos
vetores covariantes (deixada como exerc{cio) pode ser encontrada apli
cando diretamente as relaç6es de transformação, ou, também, resolvendo
o sistema de duas equaç6es obtido da primeira transformação. Entretanto,
surge sempre a pergunta: Sob que condições existe uma transformação in
versa? Ou melhor ainda: Quando é possTvel a transformação de um siste
ma de coordenadas em um outro, e vice-versa? Em seguida,encontrar-se-á
uma relação matemática que responde a este tipo de perguntas.
Considere-se a relação de transformação (14.5) na sua for
ma matricial. Para isto, é necessário notar que o primeiro índice de
cada elemento da matriz tem de corresponder ao Tndice do operador a xt
por razoes obvias. Assim, chamando
(1
n
a relação (14.5) pode ser escrita na forma
= QV cov -cov
(14.6)
onde os vetores coluna s ão formados com as componentes covariantes e
onde
2 Dx 1 Dx Dx
_1 -1 Dx Dx Dx
1 2 fl Dx Dx Dx
-_2 Dx Dx Dx
Dx 1 DX 2 DX"
Dx -n -n
Dx -n
Dx
A transformaç ão inversa obtida multiplicando a equação
(14.6) por na suposição de que este inverso exista. Assim,
v - v cov
cov (14.7)
Isto , a transformação inversa existe apenas quando Q
é uma matriz não-singular. Lembrar da Seção 5.5 que esta condição 5
satisfeita quando: det 0 ~ O.
n
O determinante da matriz Q é urna grandeza de muita sig
nifidncia e é comumente designado por:
detQ = det = -
~ X il
Assim,
x 1 ax -1 -1
âx
ax ax -2 -2 -2
a BX (14.8)
1 2 Bx
ax
-n -n -n 3x
Este determinante recebe o nome de Jacobiano da transfor
mação, cujo valor diferente de zero garante a exist ência da transforma
cão de um sistema em outro, e vice-versa. Outras representações do
Jacobiano comumente encontradas na literatura correspondente são:
laxi
a
(x 1 , x 2 , ... , x') 1
( ,
-2 x , ... , x )
Embora tenha sido usada a relação de transformação dos ve
tores covariantes para chegar à expressão do Jacobiano, pode-se denions
trar que uma expressão equivalente é obtida se se fizer uso da relação
de transformação dos vetores contravariantes.
Lembrar que o Jacobiano já tinha sido mencionado na Seção
3.5, porém, sob um ponto de vista diferente, embora, na oportunidade,fo
rã adiantado que se tratava do "acoplamento" entre dois sistemas de co
ordenadas.
14.4- TENSORES DE ORDEM SUPERIOR
De uma maneira similar ao caso dos tensores cartesianos
oblTquos, o produto externo entre dois vetores contravariantes origina,
também, um tensor contravariante de segunda ordem. Assim,
A' B 3 E !if ai Ak B1
Chamando, como antes,
T'3 = Ai Bi
tem-se:
E . ( 14.9) axlC âx 1
n
Desta maneira chega-se à definição do tensor contravariante de segunda
ordem. Toda grandeza, cuja transformação seja dada pela relação (14.9),
chamada de tensor contravariante de segunda ordem.
De maneira semelhante, são definidos os tensores seguin
tes:
1] 1 )
ti = 1 - ax i
tensor covariante Tkl = de segunda ordem. (14.10)
= tensor misto de segunda ordem. (14.11)
EXEMPLO 14.2
Neste exempl o, i nvesti ga-se a natureza do deita de Kronecker,
sob o ponto de vista de coordenadas generalizadas. Deve-se lembrar que,
de uma maneira mais ou menos intuitiva, inferiu-se que este símbolo era
um tensor misto conforme a relação (13.18).
Para saber se o deita de Kronecker &, de fato um tensor
misto, é necessário submeta-lo à transformação de um tensor misto e ver
se, depois da transformação, esta grandeza continua a satisfazer as pra
priedades definidas. Assim,
n
= ~ X 1 6k
ax' aR1 1
Aplicando, nesta expresso, as propriedades do slmbolo de
Kronecker no sistema sem barra, tem-se
1 -
a xk j a
O último termo e 1 -t
= 1) ou e zero a tema sao variáveis
mação torna-se uma
Kronecker obedece
se i = (ou seja, para um valor numrico de i=I,
se i = j, uma vez que as coordenadas no mesmo sis
independentes entre si. Logo, a relação de transfor
identidade, de onde se conclui que o deita de
transformação
E .?.iI •4 6k (14.12)
ax jj 1
Esta relação mostra que os elementos 6 são as componen
tes de um tensor misto.
Convida-se o leitor a provar que o deita de Kronecker não
satisfaz as transformações de um tensor contravariante, nem as de uni co
variante.
14.5- CONTRAÇÃO
Conforme já foi adiantado nos capitulos sobre tensores
cartesianos em geral, a propriedade de contração implica redução da or
dem do tensor. Aqui, também, a contração 5 feita igualando dois indi
ces. Porém, e aqui está a diferença mais importante, os indices envol
vidos tem de ser mistos, isto é, uni indice covariante e um contravari
ante, ou vice-versa. A contração não pode ser feita com índices do mes
mo "nve1", conforme é demonstrado a seguir.
Seja o tensor T'j V.; dado que o índice j é repetido,
(este é "mudo " ), o Índice que caracteriza o tensor é o contravariante i.
Chamando
AL E T' 3 V. 3
tem-se que a transformação desta grandeza é:
Ãi E T13 . 3
Tk1 y = ' v - Dxk ax1
Porém,
- - m
- i 1 1 151 ax ax ax
Portanto,
E ---- TSV axk m
= (14.13)
Esta transformação corresponde a um vetor contravariante.
Logo a grandeza T V. (originalmente um tensor de terceira ordem,
contravariante nos índices iJ e covariantes no outro Tndice ) urr
vetor contravariante.
Por outro lado, suponha-se que se queira fazer uma contra
ção entre indices contravariantes, por exemplo: T 13 V1 . Para elucidar
se isto faz sentido, sup6e-se que esta grandeza um tensor. Portanto:
T 11 VI E -- !± TklVm
axk x 1 ac
Pode-se ver que a relação que se obtem no segundo membro não leva a uma
contração e, devido à soma sobre os Tndices repetidos j, nem sequer
a transformação de um tensor. Isto prova que a contração de um tensor
sô ocorre quando os Tndices iguais ficam em niveis diferentes.
Às vezes necessário explicitar que um determinado ten
sor o resultado de uma contração. Assim, por exemplo, na equação
(14.13) o tensor contravari ante A 1 o resultado da contração dos teri
sores T kin e V. Para que isto seja assim entendido, a relação (14.1I
pode também ser escrita na forma:
- 91 -
E A . (14.14) 3 m
• A propriedade de existir contração de tensores somente en
tre indices de nivel diferente permite reconhecer alguns tipos de veto
res na mecânica clâssica. Assim, por exemplo, na expressão dos traba
lhos virtuais, o trabalho 5W desenvolvido por uma força F sobre um
objeto que e deslocado numa distância elementar dx : W = E . dx. Na
anãlise tensorial, este produto escalar vem a ser urna contração entre
o vetor contravariante dx 1 õ (forçosamente) o vetor covariante F..
Assim, 6W E F. dx1 .
14.6- TENSOR FUNDPIENTAL
No capitulo referente aos tensores cartesianos obliquos,
o tensor fundamental foi definido mediante a relação (13.2):
g13 . . = e.1 . -3e.
-
onde os e. são vetores base (ou direções) do sistema cartesiano obil
quo. Neste sistema, a magnitude (ou modulo) de um vetor elementar dx,
no espaço das coordenadas, i dada por:
e
(dx) 2 = (dx) . (dx) E (dx1 e) . (dx 3 e.) = g.. dx 1 dx3
O tensor fundamental g3 (ou melhor, as suas componen
tes) para o caso das coordenadas obliquas é uma orandezaconstante. En
- 92 -
tretanto, em tensores generalizados sffo diferentes para cada ponto do
espaço, dependendo inteiramente das coordenadas do ponto. A seguir, de
monstrar-se-i que estas grandezas são componentes de um tensor covarian
te e não apenas de uma matriz, conforme fora mencionado na seção 13.2 do
capitulo anterior.
Sabendo que jdx I 2 uma grandeza invariante para qual
quer sistema de coordenadas, tem-se que
dx j 2 e . j d d 3 e g1 dxk dx 1 , (14.15)
onde as grandezas g.., nos dois sistemas, são de natureza tensorial
desconhecida.
Efetuando a transformação dos vetores d no primeiro
membro, tem-se:
1 -) .. ddV g.. - dxkdx l 13 13 xk '
Comparando o segundo membro desta última expressão com
o segundo membro da equação (14.15), tem-se que
kl 7[ (14.16)
- 93 -
Esta transformação corresponde a um tensor covariante de segunda ordem
do sistema S ao sistema S. Portanto, conforme já fora adiantado,
conclui-se que o tensor fundamental d um tensor covcniante.
Neste ponto fica interessante encontrar uma interpretação
geométrica para o significado do tensor fundamental. Para isto, suponha-
-se um espaço bidimensional "curvo", tal como o de uma superflcie esfé
rica de raio R. Usando as coordenadas esférico-polares, segundo aequa
ção (3.6), o elemento de comprimento, neste espaço, é dado por:
dx 2 = R2 (de) 2 + R2 sen 2 e (d) 2
Para este caso, com d' = de e d 2 = d, tem-se que:
9,1 = p2 92 2 = R2 sen 2 e
e 9 12 = 921 = O
O importante destas relaçées é que as componentes do tensor fundamental
encontram-se intimamente relacionadas com as características geométri
cas do espaço. De fato, conforme será visto mais tarde, o tensor funda
mental é uma grandeza que descreve as propriedades geométricas do espa
ço.
Aqui vale a pena digressionar momentaneamente para escla
recer o tipo de espaços que aparecem, diferentes do costumeiro tridi
- 94 -
mensional. Note-se que o tensor g. j do exemplo é um tensor com matriz
diagonal. Em geral, quando o elemento de comprimento é obtido mediante
a relação:
dxI 2 = 9 11 (dx') 2 + 9 22 (dx 2 ) 2 + g 33 (dx 3 ) 2 + ... , ( 14.17)
onde as componentes g.. são constantes, o espaço é chamado de espaço
Euclidiano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas x 1 de ve
tores base mutuamente ortogonais. Entretanto, num mesmo espaço [ucli
diano pode ter-se uni sistema de coordenadas obliquas, ou, em geral, um
sistema de coordenadas curvilineas generalizadas, onde o quadrado do com
primento elementar é expresso por:
!dH 2 E g.. dx 1 dx j > O , (14.18)
onde o comprimento elementar s6 é zero quando a distncia entre dois pon
tos adjacentes é nulo.
Todo espaço cujo comprimento elementar seja dado por
(14.18) é também chamado de espaço planoh. Assim ,para o caso da superfi
cie esférica, a qual foi chamada de espaço bidimensional "curvo", che
gou-se a uma expressão Euclidiana para seu comprimento elementar. Isto
significa que este espaço bidimensional é apenas um subespço do
Euclidiano tridimensional.
Espaços que no sEo Euclidianos são chamados de espaços
curvos ou Riemanianos. A definição de um espaço Riemaniano vem, também,
- 95 -
do conceito de distância elementar entre dois pontos adjacentes, porém,
sem precisar- que a grandeza Id1 2 seja positiva. Isto é, neste ti
po de espaços, a grandeza g' 3 dx1 dx3 pode ser também negativa, in
clusive pode ser zero, sem que a distância entre dois pontos adjacentes
seja nula. O que importa mesmo é a existência de um tensor fundamental
simétrico de segunda ordem. Um exemplo deste tipo de espaço é o espaço-
tempo da Teoria da Relatividade Geral. Mais adiante, nos CapTtulos 15
e 16,são tratados os espaços curvos e suas aplicaç6es.
Agora volta-se ao estudo do tensor fundamental. Uma pro
priedade deste tensor é obtida da equação (14.15) depois de rearranjar
convenientemente os Tndices mudos. No segundo membro da expressão:
!dx 2 g.. dx' dx (14.19) 13
trocam-se os i 's pelos j 's e vice-versa, de maneira que:
dxI 2 e g. . dx3 dx' = g. . dx' dx 31 31
Comparando o ultimo membro desta expressão com a (14.19),
conclui-se que
gij = 9ji (14.20)
Isto é, o tensorfundcEnentai é um tensor simétrico. Esta mesma conclu
são tinha sido obtida de uma maneira trivial, em coordenadas obliquas,
uma vez que o tensor fundamental fora definido apenas como o produto
escalar entre os vetores base do sistema de coordenadas, conforme mdi
cado na equação (13.2).
Suponha-se agora que o sistema de coordenadas x é o
cartesiano ortogonal fixo, e que o sistema de coordenadas x é um sis
tema curvilineo generalizado. Para este caso, a equação (14.17) fica
Idxl2 = (dx') 2 + (dx 2 ) 2 +
de onde vem que
= 1
Logo,
Idxj2 E dx 1 dx 1
Por outro lado, da relação (14.15), tem-se que
ldI2 E dx 1 dx1 Egkl d di 1 , ( 14.21)
onde os vetores dx 1 transformam-se segundo:
dx 1 -5 d a xk
- 97 -
Portanto, efetuando esta transformação na relação (14.21),
tem-se:
did' E
Fica evidente que:
- - ax kl - k 1
É importante ressaltar que esta relação permite determi
nar as componentes do tensor fundamental do sistema de coordenadas i',
quando a transformação feita de um sistema cartesiano ortogonal.
EXEMPLO 14.3
Supondo que o sistema de coordenadas i' é o esfrico-
-polar ( = r, = e e = 4'), encontrar-se-ão as componentes do
tensor fundamental, deste sistema, relativas ao cartesiano ortogonal fi
xo.
Lembra-se que a relação de transformação entre os dois
sistemas e o seguinte:
2 _1 x =xsenx cosx, x =x senx senx e =x cosx
SI-
Logo,
É '2 É 2 É \2
- & X 1 a x 2 ax2 - IDxI +— —+ + +
1. 1 -1 -1 1 1 1 1 ax Dx 8c B 1
-2 2 -2 _ 2 -z 2 = (sen x cos x ) + (sen x sen x ) + (cos x ) =
511 = 1
Analogamente,
g 2 2 = r 2 e 53 3 = r 2 sen 2 O
Os outros elementos fora da diagonal so todos zero, conforme pode ser
facilmente verificado. Portanto, os elementos do tensor fundamental,
colocados na forma matricial, sio:
1 O O
g = O r 2 O
O O r 2 sen 2 O.)
Assim o elemento jdx l 2, em coordenadas esférico-polares, é dado por:
12 ...2. - dxl - = (d ). + 22 (dx ) 2 + g 33 (d 3 )
2 (14.23a)
]dxl 2 = ( dr) 2 + r 2 (d) 2 + r 2 sen 2 o (dt) 2 (14.23b)
Naturalmente, a relação (14.23a) é equivalente à equação
(3.6), onde o quadrado das "métricas" h. das coordenadas curvilmneas
identifica-se com as componentes do tensor fundamental (chamado também
de tensor métrico) g. 11
14.7- TENSOR RECIPROCO
A seguir, ver-se-ao as caracterTsticas do tensor recipro
co. Para isto, lembra-se que os elementos do tensor recíproco, ou me
lhor as componentes do inverso da matriz g, foram definidas mediante
a equação (13.18).
g g = 1
onde, de uma maneira arbitrária, os elementos de 9 1 foram chamados de
componentes do tensor (recíproco) contravariante de segunda ordem. Em
seguida esta denominação será justificada.
Chamando (ç') = g aos elementos da matriz g 1 , e
de acordo com a relação (13.18), tem-se que
liii = 51 9jk - k
O que se conhece nesta expressão é que a grandeza g. é um tensor co
variante de segunda ordem, e no segundo membro da equação o delta de
Kronecker, que em coordenadas generalizadas é um tensor misto. Escre
- 100 -
vendo a equação anterior no sistema S e efetuando a transformação
do tensor misto no segundo membro, tem-se:
ak' axm in g ]k E
71 Ç M= — g 9run
Por outro lado, efetuando a transformação do tensor
- fundamental gjkno primeiro membro, esta equação fica:
i] Dx D? - D i DX" in 9 —g = —o g
Dx3 1c nm k - nin
Igualando os coeficientes de Dx"-
g em ambos os membros, tem-se:
D i' x ij - D in =
-. Dx
Multiplicando os dois membros desta equação por - e, evidentemente, ax"
somando sobre todos os Tndices repetidos, tem-se:
ik DX ' aT in (14.24) Dxl Dxfl
A relação (14.24) mostra que os elementos da matriz g'
se transformam segundo as componentes de um tensor contravariante de se
gunda ordem. Portanto, o tensor recíproco 5 um tensor contravariante
de segunda ordem.
- 101 -
14.8- TENSORES RELATIVOS
Existem tensores cuja transformação de coordenadas segue
as relações normais de transformação, exceto que vão multiplicadas por
uma potência do Jacobiano da transformação. Isto é:
R"'• -- - R" - . (1425) ki.... - DXa D '••••
Tensores que se transformam desta maneira são chamados de tensores rela
tivos de peso -ir, onde ir é uma constante e --- é o Jacobiano da trans
formação definido na relação (14.8).
Quando ir = + 1, o tensor é chamado de tensor densidade.
Se ir = - 1 , o tensor é chamado de tensor capacidade.
É muito fácil demonstrar que o produto (interno ou exter
no) entre tensores relativos dá, como resultado, um outro tensor relati
vo, de peso igual à soma algébrica dos pesos de cada tensor.
EXEMPLO 14.4
O tensor de Levi-Civita em coordenadas generalizadas
pode, convenientemente, ser representado como um tensor contravariante
ijk ou covariante 6••k' ainda com as mesmas propriedades conheci
das. Em seguida ver-se-ão as propriedades de transformação da versão
contravariante.
- 102 -
Dado que o simbolo de Levi-Civita decorrente de uma de
finição, deve ficar evidente que em qualquer sistema de coordenadas
suas propriedades serão sempre as mesmas. Isto :
-ijk - ijk E = E
Supondo que este simbolo e um tensor contravariarite de terceira ordem,
sua relação de transformação será a seguinte:
-ijk D lmn
A relação de transformação acima, neste caso,e mais con
venienternente estudada sob o ponto de vista de produto matricial. Assim,
representando os elementos de transformação, 2.Ç, por elementos de
uma matriz Q, e dado que o tensor contravariante de terceira ordem
no sistema de coordenadas x 1 , tem as propriedades do sTrnbolo
de Levi-Civita, então vi-se que o segundo membro da relação de transfor
mação pode ser escrito equivalentemente da seguinte maneira:
ay lmn lmn E Q Q i li TfljQflkE
Assim, a relação de transformação escrita na forma matricial para va
]ores de i=1,j =2 e k=3 fica:
-123 E Q11 Q3 lmn E det Q
m2
- 103 -
Por&,
detQ = Dx
Logo,
_123 = -
Dx
Pode-se ainda provar que
=1, Dx Dx
ou seja,
Dx - Dx _1
Dx
Portanto,
123 x - E = -
Dx
- 104 -
Evidentemente, este não i o resultado desejado, unia vez que, segundo a
definição do sTmbolo, e 12•3
= 1.
Pode-se ver ainda que
-1
-321 ax -221 O
ax
e assim por diante.
Observa-se que todos estes exemplos numéricos; e outros que
o leitor pode verificar,reroduzem os resultados desejados somente quan
do a relação de transformação se acrescenta o fator Logo ,par
que a definição do simbolo de Levi-Civita seja urna invariante, e neces
sino que a sua relação de transformação, como tensor, seja
1 1+ 1 -ijk Elmn l--i , ( 14.26)
ax i 3 xM ax Ial
de onde se conclui que o tensor contravariante de Levi-Civita é um ten
sor relativo de peso ir = + 1, chamado também de tensor densidade con
travariante de terceira ordem.
De uma maneira similar, pode-se provar que E..k é um ten
sor covariante de peso ir = - 1, ou também uni tensor capacidade cova
ri ante de terceira ordem.
- 105 -
interessante observar que o simbolo de Levi-Civita, em
coordenadas cartesianas ortogonais, e apenas um pseudotensor, uma vez
que o Jacobiano da transformação o determinante de simples matrizes
de transformação ortogonal.
EXEMPLO 14.5
Neste exemplo serã determinado o tipo de grandeza que re
presenta o determinante da matriz formada com as componentes de um ten
sor covariante de segunda ordem. Considere-se o tensor covariante Ti,. 1)
ii - ki
Esta relaçio, escrita novamente- numa forma matricial onde
= Qik , fica:
ik Tkl Qj1 = Ik Tkl 1j
ou seja,
= QT.
- 106 -
Tomando o determinante desta equação matricial e lembran
do das propriedades dos determinantes (que o determinante de um produto
de matrizes igual ao produto dos determinantes de cada matriz),tem-se
det ?? = (det Q) (det T) (det )
Por outro lado, ainda das propriedades dos determinantes,
det õ = detQ =
Finalmente,
2 II
det ?2 = detI x—i
ou, de uma maneira simbólica, para salientar o caráter tensorial da
transformação:
- xI+2
det T. E det Tkl I 1J Bx'
(14.27)
Isto é, o determinante das componentes de um tensor covariante de segun
da ordem é um escalar relativo de peso ii = 2.
- 107 -
14.9- TEOREMA DO QUOCIENTE
Este teorema permite reconhecer quando um conjunto de grari
dezas Mi, j, k, ...), individualizadas pelos valores numricos dos In
dices covariantes ou contravariantes: i, j, k, ... , constituem as com
ponentes de um tensor. O procedimento seguido não o de verificar se
todos os elementos deste conjunto de grandezas se transformam como as
componentes de um tensor da maneira apresentada no Exemplo 12.1. Porem,
segue-se um mítodo indireto pelo qual, com a ajuda de outros tensores
definidos, consegue-se saber de uma maneira imediata se A(i,j,k, ...)
um tensor.
O Teorema do Quociente pode ser expresso da seguinte ma
neira: se o produto tensorial (seja interno ou externo) da grandeza
A(i, j, k, ...) com um tensor arbitrãvHo dá como resultado um segundo
tensor, diferente do primeiro, então Mi, j, k, ...) tamb& i um ten
sor. (Na realidade, embora sem ter sido enunciado, este teorema ji foi
aplicado na demonstração de o tensor re&Tproco ser um contravariante de
de segunda ordem).
Para a demonstração deste teorema, suponha-se a seguinte
relação:
A(i, j, k) p pk , ( 14.28) iJ
SD
onde ¶!. & um tensor misto arbitrário e pk um contravariante. De
1]
uma maneira intuitiva, pode-se raciocinar da seguinte maneira. Supondo
que a grandeza Mi,j,k) fosse um tensor e dado que no primeiro membro
existe contração nos indices 1 e j, uma vez que contração entre ten
sores existe apenas quando os índices da contração se encontram em nÍ
veis diferentes, pode-se concluir que os indices i e j da grandeza
K (i,j,k) são indices contravariantes. Olhando para o segundo membro,
observa-se que os dois índices que subsistem são ambos contravariantes,
de onde se infere que o indice k da grandeza (i,j,ic) é também um in
dice contravariante. Logo,
Mi, j, k) = ijk
O método dedutivo anterior é justificado medianteaseguin
te análise. A transformação da equação (14.28) pode ser feita apenas
nos fatores das grandezas conhecidas. Assim, o primeiro membro fica
(i,j,k) ¶? Ã(i,j,k) T1 li ax 1 ai V "
Por sua vez, o segundo membro fica:
pk qr
-k = - - Mm, n, r)
Bxr mm
- 109 -
Subtraindo membro a membro a segunda equação da primeira
e escolhendo convenientemente os indices mudos, tem-se:
- m, n, r = Ã(1, 1 ,k) 4 -- -7 T O - BS 1c
A( ) T1 Bx mii x' axr um
m n.. --rA(i, j,k) - —A(m, ri, dl T 1 = O
- J mii~ X r
Multiplicando esta equação por (operação que implica soma sobre âxP
todos os indices p) e notando que:
2S =
a
tem-se:
r !4Ã(j,],k) -
n, 1
—A(m,r) IT = O L 3' j mn
Porem, Ts & um tensor arbitrário (diferente de zero). Logo, mn
A(i, j, k) E —A(m, n, r) 9i 1 Bi
- 110 -
Multiplicando ambos os membros desta equação por ----- (onde, evi axm
dentemente, a soma sobre os indices repetidos m e n fica impFicita)
tem-se:
-u v Dc' -u v - 6. 6.Mi, j , k) E -- - m, n, r)
ar m x Dx Dx Mm,
Assim, finalmente:
u -v Mu, v, k) E
Dx A(m, n, r) . ( 14.29)
a xr am x Dx
! evidente que a equação anterior (e,mais especificamente,
a relação de transformação) corresponde S transformação de um tensor
contravariante de terceira ordem. Portanto:
Mi, j, k) = ijk
EXEMPLO 14.6
Considere-se outra vez o caso do tensor recTproco. O
problema de determinar se os elementos da matriz g' (onde g é a
matriz formada com os elementos do tensor fundamental) são componentes
de algum tensor foi estudado na Seção 14.6. Naquela oportunidade, fez-
-se um tratamento rigoroso que, ao final, foi urna repetição da demons
tração do Teorema do Quociente, para provar que os elementos desta ma
triz constituem um tensor contravariante de segunda ordem. Desta vez,
- 111 -
aplicar-se-á o mencionado teorema de unia maneira dedutiva. Considere-se
a relação:
g -1 (i, k) 9.. =
i
onde g. 3 . 5 o tensor fundamental e ô
3 5
1 o deita (tensor misto) de
Kronecker. Aqui não pode ser aplicado diretamente o Teorema do Quocien
te, porque g. não 5 uni tensor arbitrário. Por esta razão, escolhe-
-se uni tensor arbitrário, por exemplo um vetor contravariante V 3 , e
faz-se o produto interno com a relação anterior:
g 1 (i, k) 9.. E
Agora g. . E A. 5 uru tensor arbitrário (na realidade g. . = V. 13 1 13 1
lembrando que o tensor fundamental atua como se fosse um operador que
abaixa ndices). Portanto:
g 1 (i, k) A. E
Segundo o Teorema do Quociente, a grandeza g'(i, k) 5 um tensor con
travariante 9jk, uma vez que existe contração no indice 1 e que o
único índice que subsiste 5 o contravariante k.
- 112 -
14.10- COMPONENTES FISICAS DOS TENSORES
Suponha-se um sistema 5 de coordenadas cartesianas orto
gonais x 1 . Um vetor definido neste sistema de coordenadas, por exeni
pio o vetor velocidade de V, tem como componentes:
V . = v .
onde os vetores base ê. são unitãrios (adimensionais que apenas mdi
cam uma direção). Evidentemente,
V E Vi . (14.30a)
Chame-se de v 1 e v, respectivamente, s componentes
cõntravariantes e covariantes deste mesmo vetor V. Naturalmente,neste
sistema de coordenadas, v 1 = v. = V. Estas grandezas, que tm as mes
mas unidades fIsicas que o vetor V, são componentes que possuem signi
ficado fisico, do ponto de vista do cilculo vetorial. Por esta razão,
as componentes V são chamadas de componentes físicas do vetor V.
Suponha-se agora que os vetores base do mesmo sistema
cartesiano ortogonal. não sejam unitírios (isto 1); ainda
neste caso ter-se-ia que
V -- V 1 . (14.30b)
- 113 -
Porém, agora as 'componentes" V não representam mais as "verdadei
ras" componentes de V, uma vez que os e 1 não são unitários. Contudo,
fazendo:
e. e. (sem soma nos índices repetidos)
onde = e», e comparando a relação (14.30a) com a (14.30b), tem-se
que:
1 = 1 1
c. (sem soma)
ou seja, as componentes fisicas do vetor são: Vj G1 , V2 C2, ... etc.
Considere-se agora um sistema 5 curvilneo generalizado
de coordenadas '. Neste sistema, v e Q. são as componentes con
travariantes e covariantes do mesmo vetor V;contudo, fica evidente que
não é posslvel atribuir, a priori, a nenhuma delas a denominação de com
ponentes fisicas do vetor. Mesmo porque estas componentes podem, inclu
sive, não ter as mesmas unidades, perdendo, assim,seu significado fÍsi
co. A seguir analisar-se-á primeiramente o que acontece com as compo
nentes contravariantes do vetor, e depois o que ocorre com as componen
tes covariantes.
Pode-se inferir da discussão acima que os vetores base co
variantes do sistema curvilineo generalizado, que aqui denominar-se-ao
u.,, desempenham um papel muito importante, uma vez que:
- 114 -
V E v U. - 1
(14.31)
Deve-se ressaltar, no entanto, que os vetores base u. não são unit
rios, pois são definidos mediante a relação
U . = -.--;- aR'
(14.32)
onde dx & o elemento de linha. É claro que estes vetores base podem
se tornar unitários através da relação simples:
U. U.
aR'
vetor unitário que agora é também adimensional.
Chamando:
xi =
tem-se que:
u. = x. 1
a. (sem soma) -, 1
(14.33)
- 115 -
(Convenção: quando um índice do primeiro membro encontra-se repetido no
segundo membro, não existe soma). Portanto,retornando à re1ação( .4..30a),
com V. = V i c ,, e a relação (14.31), tem-se:
= v i + V Cz 2 +
= 1 X I G, + V2 À 2 + •.. ,
ou, mais simplesmente,
E , E V 1 À. (14.34)
Nesta expressão, da mesma maneira que as grandezas v . foram chamadas de componentes físicas do vetor V, referidas às dire
ç6es e , , as grandezas:
= À.
1
são tambm chamadas de componentes f(sicas do vetor V, referidas Eis
direções definidas pelos vetores base covariantes 3i, u2, etc. , ou,
mais simplesmente, de componentes fCsicas contravariantes.
Em resumo, as componentes flsicas de um vetor podem ser
interpretadas geometricamente da seguinte maneira. Os vetores vi u 1 ,
U2, etc. definem um para1eleppedo n-dimensional, cuja forma veto
ria] reproduz V. Neste caso, as componentes fsicas de V serão os
comprimentos de cada aresta (1 x.) do paralelepTpedo. Assim, cada
- 116 -
sistema de coordenadas terá sua versão de componentes físicas do mesmo
vetor y
O que resta fazer para complementar a idéia de componen
tes físicas contravariantes de um vetor é a determinação dos x 1 . Para
isto, considere-se um vetor base covariante, por exemplo o u 1 . Assim,
= À 2
Por outro lado, supondo que o sistema S seja o cartesia
no ortogonal e 5 o sistema curvillneo generalizado, tem-se
Dx Dx Dx' Dx 1 • U = • E - -
Dx 1 Dx 1 Dx 1 Dx 1
De acordo com a equação (14.22), tem-se:
Dx 1 DX 3 - - - =
DX'
Portanto,
= 9,, 1
de onde
xl =
- 117 -
De maneira semelhante obtém-se: À2 = 922, À3 =
etc. Portanto:
=
(14.35)
Assim, as componentes fisicas contravariantes de um vetor,
referidas a vetores base covariantes, são dadas por:
*Ii-i 1
(14.36)
Evidentemente, para o sistema curviFineo ortogonal tem-se
LIM
h. 11 1
onde h. são as chamadas métricas do sistema. 1
As componentes fisicas do vetor covariante . podem ser
obtidas lembrando (da relação (13.22)) que:
V E VU
onde os vetores base contravariantes não são, em geral, unitãrios. Defi
nindo: u 1 = À 1 P, tem-se:
V E À , ( 14.37)
- 118 -
onde
ii -i x = u
Porém, da relação (13.21), tem-se
i itit im - u :g u= g xu ; - -IR m-m
logo:
À 1 =u . E gim x G Gi . aim X 5 1 = g
1 ' x. - m-m - - mm 1
Assim,
= = /1T ,Tgii g = 11
/ qu
x i = / q11.. (14.38)
Portanto, as componentes fisicas covariantes do vetor V, referido ao
sistema de vetores base contravariantes, são dadas por:
1 1 /g..
(14.39)
- 119 -
A extensão do conceito de componentes físicas de um vetor,
para tensores de ordem superior imediata, lembrando apenas que estes
tensores podem ser expressos pelo Produto (tensorial) externo entre veto
res. Assim,
*fJ = / 11 .. g.3]
. T .
= 1 T.. 13 Jg..
1]
11 3]
(14.40)
*T l = /—c
gl!L T
3 .. 13
14.11 - MÓDULO DE UM VETOR E ÂNGULO ENTRE VETORES
Na Seção 14.6, o m6dulo de um vetor elementar dx no es
paço das coordenadas foi definido mediante
Idxj' E g..13
dx1 dx -
(14.41)
Por outro lado, lembra-se também que os tensores g. j e g (fundamen
tal e recíproco) funcionam corno operadores que. abaixam e levantam os Tu
dices contravariantes e covariantes, respectivamente, conforme mostrado
nas relações (13.16) e (13.19). Desta maneira, a equação (14.41) pode
tambni encontrar-se na forma:
- 120 -
Id! 2 E dx 1 dx. (14.42)
Isto i, existe uma componente covariante do elemento de linha dx.
Em analogia com o significado da relação (14.42), define-
-se o mddulo de uni vetor IYI da seguinte maneira:
1v12 E V. 1 1)
v1 E ±g.. v v1 , ( 14.43) -
onde os sinais ± são escolhidos de maneira que vi seja sempre um
numero real positivo.
O produto escalar entre dois vetores V . U, o qual ape
nas uma contração entre as componentes covariantes e contravari antes
destes vetores, pode ser colocado tambm em função das suas componentes
contravariantes da seguinte maneira:
V . U E v i E g.. v U 1 E VI JUI cos e . (14.44)
o ãngulo e i definido como o ingulo entre os vetores V e U. Esta
ültima expressão a generalização do ãngulo entre dois vetores do espa
ço Euclidiano tridimensional. Se cos e = 0, diz-se que os vetores
são ortogonais.
As expressões (14.43) e (14.44) podem alt-ernativamenteser
escritas em termos das componentes covariantes, dos vetores em questão,
da seguinte maneira:
- 121 -
E ±g 13 V V 1 ,
(14.45)
V . U E g V. li. E cos o . (14.46)
14.12- DIREÇÕES PRINCIPAIS DE UM TENSOR SIMÉTRICO
Lembra-se (Seção 8.5) que quando uma matriz quadrada se
encontra expressa num sistema de coordenadas, onde suas direções coinci
dem com os seus próprios autovetores, a matriz é uma diagonal e, portan
to, de expressão maissimples. Correspondentemente, um tensor covarian
te simétrico T11 , quando expresso num sistema "especial" de coordena
das, pode também adquirir uma forma mais simples.
Considere-se um tensor covariante simétrico de segunda or
dem, Tu = T1 , tal que
T. .= Xg
13 ii , ( 14.47)
onde X é um escalar (que de certa forma representa o "módulo" do ten
sor T 13 . .
1) e g. 3. ,
o tensor fundamental. Levando tudo ao primeiro mem -
bro e tomando o determinante do resultado, tem-se que
det (T- Àg) = O , (14.48)
onde T e g so as matrizes que correspondem aos tensores T 1j e g..,
respectivamente.
- 122 -
Esta última expressão é equivalente à equação caracteris
tica que serve para a determinação dos autovalores de uma matriz quadra
da (ver Capitulo 8). Por outro lado, lembra-se do Exemplo 14.5 que o
determinante da matriz, formada com as componentes de um tensor de se
gunda ordem, é um tensor relativo de peso ¶ = 2 o qual se transforma
segundo:
det(T1 - À g11) = det(t'i - À g) 1-1 = o
Supondo que exista transformação reciproca entre os siste
mas de coordenadas x 1 e i3 (isto é, -- O), tem-se que IDx
det(T1 - À g1) = det(Tkl - À gk) = O . (14.49)
Esta relação mostra que os valores de À (designados por
À 1 , À11, •.. À f4 ) podem ser obtidos utilizando a equação (14.48) indis
tintamente em qualquer um dos dois sistemas de coordenadas. Observe-se
também que os valores de À são equivalentes aos autovalores de unia ma
triz.
Portanto, e de uma maneira análoga à do caso das matrizes,
pode-se formar um problema de autovalor da seguinte maneira:
T. E (j) E À jg jj E(J) 1 (14.50)
- 123 -
onde X é uma das raizes da equação (14.48) e E(i) é uma grandeza
que corresponde a cada valor de X. (Deve ficar claro que os indices
de letra maii5scula são usados apenas para individualizar a grandeza
que corresponde a À, e não deve ser confundido com os mdi
ces tensoriais. Observe-se na equação (14.50) que, devido aos fndices
repetidos, poder-se-ia supor a existência de uma contração (que, por sua
vez, indicaria a natureza contravariante da nova grandeza) se se soubes
se que a grandeza E(j) é um vetor. Porém, como E(j) é uma gran
deza desconhecida, não se pode afirmar que seja um vetor, nem mesmo com
o Teorema do Quociente, uma vez que, no segundo membro, tem-se outra
grandeza de natureza desconhecida. Por esta razão é necessria a análi
se que se segue.
Transformando os fatores conhecidos da equação (14.50) no
sistema S, tem-se:
-k-1 Tkl E() = ÀJ 9k1 E()
Dx' Bx 3 Bx Dx 1
Multiplicando este resultado por , tem-se: D
-1
j ml E(i) =
Dx E(i)
Dx
Trocando j por n, e m por i, nesta expressão, e subtraindo mem
bro a membro da relação (14.50), obtêm-se:
- 124 -
j T1. .] E Ci) - - L i E (ri) = X a
i. E3(j) - -
E(n)
i J I
(T.. - À q...) E(]) = ( L 1- x E(n) = O
A expressão anterior identicamente nula por causa do primeiro membro.
Portanto, para que a identidade seja mantida no sistema S, serã neces
sino que o fator do segundo membro seja:
-
E3(1) -
(n)
Esta relação demonstra que as grandezas E(j) são, de fato, as compo
nentes contravariantes de um vetor:
E(i) = Ej
Esta grandeza equivalente aos autovetores do problema
matricial e, equivalentemente, o conjunto forma tamb& um espaço de ve
tores linearmente independentes. Evidentemente, os mõdulos destes
vetores podem ser normalizados à unidade, fazendo uso da relação
(14.43):
fg. . E 1 Ej 1 . (14.51) 13 J 3
- 125 -
Em seguida, determinar-se-á a relação mútua existente en
tre vetores contravariantes E, que correspondem a valores diferentes
de x. A equação (14.50) para X fica:
T. EL x g. .3 E'
( 13 K K 1 K
Fazendo o produto interno desta equação com E e a equa
ção (14.50) com E, respectivamente, tm-se:
(T.. ij
- x g..) E 3 E' = 0 13 K K J
(T..-xg..)EE = (T..-Àg..)EE = O
onde, na última relação, foram trocados os Indices mudos i pelos j,
e vice-versa. Subtraindo membro a membro as duas últimas express6es,
tem-se:
T E3 E' - T. . E3 E1 3KJ KJ+ÀJ9..EJEKÀKY..EKEJO i
Porém, o tensor T,.é simtrico por definição; logo,
1 E3 = - ÀK) g O
Í E K
Todavia, para
x
- 126 -
tem-se que:
Ej Ç = o . ( 14.52) gij
Esta relação, segundo a equação (14.44), implica que cos o = O; porJK
tanto, os vetores contravariantes e Ej são ortogonais. Desta m
neira, chega-se à mesma conclusão que para o caso das matrizes
Hermitianas, a saber, um tensor simétrico T.. 1]
determina um sistema de
vetores mutuamente ortogonais, sempre que as raizes de À forem todas
diferentes. Quando existem raizes múltiplas, os vetores contravarian
tes não são determinados de uma maneira unívoca e a propriedade anterior
não se aplica diretamente. Os vetores unitários contravariantes E com
a propriedade (14.52) são chamados de direções principais do tensor si
métrico T. 13
Para o caso do sistema cartesiano ortogonal g 13 . . = á.1.]
., as
grandezas ÀN e E são chamadas de autovalores e autovetores, respec
ti vamente.
14.13- A OPERAÇÃO DE ROTACIONAR
Considere-se um campo vetorial covariante Vjx), isto ,
para cada ponto x do campo existe correspondentemente um vetor covari
ante V.. Este campo vetorial pode ser caracterizado pela variação pon 1 v.
to a ponto do vetor covariante pela relação —4. Entidades similares
Bx ?i podem ser definidas no sistema de coordenadas x : --. A seguir, ver-
-se-á de que forma se relacionam estas entidades, assim definidas, para
- 127 -
o mesmo ponto x do espaço. Para isto, faz-se primeiro a transforma
ção do vetor covariante dentro da derivada.
2 xk
--V V + -.. k j i. k
Por outro lado,
DYk - DVk
- Dx 1
Com esta substituição, a expressão da derivada fica,
DV E V + - -
i k x' (14.53)
Observe-se que, não fosse pela presença do primeiro termo
do segundo membro, esta transformação corresponderia ã de um tensor co
variante de segunda ordem. Portanto, a nova grandeza não um tensor.
Permutando os índices j e j da relação (14.53), por
inspecção consegue-se a seguinte nova expressão:
= V - 3 ij k
Dx 1
Dx' (14.54)
- 128 -
Subtraindo (14.54) de (14.53), tem-se:
Dx' ax av axk Dx' DV __ ___
Di' D D 3x1 a ai 1 Dx
Fazendo a troca dos índices mudos, k por 1 e vice-versa, o segundo Dx 1c DV
termo do segundo membro fica -- -- . Portanto, a expressao ante Dx 3 D Dx
nor pode ser colocada numa forma mais simplificada, como se segue,
DV. DV. x1 axk DV DV - E —r - - -4 - - ; ( 14.55)
Di' Di3 ai' Dx Dx
esta expressão pode ser reconhecida como a transformação de um tensor
covariante de segunda ordem.
Resumindo os resultados obtidos até aqui,observam-se dois DV.
pontos de interesse. Primeiro, a grandeza —4 nao e, necessariamen Dxj
te, um tensor, conforme se pode observar na equação (14.53), onde a pre
sénça do primeiro termo, (no segundo membro), evita que esta seja a re
lação de transformação de um tensor covariante. Isto, porém, é compen
sado com o segundo ponto de interesse a ser notado, o qual se encontra
expresso na equação (14.55), onde se pode reconhecer que esta é a da
transformação correspondente a um tensor covariante de segunda ordem.
Desta maneira, o que se fez foi construir um tensor covariante de segun
da ordem.
DV. DV. T..= —4 - -4 . ( 14.56)
Dx] Dx'
- 129 -
Note-se que em coordenadas cartesianas ortogonais os ele
mentos do tensor covariante T., í representam as componentes do rotacio
na] do vetor V (isto é, E x V). Por esta razão, o procedimento que
se acabou de desenvolver, o qual consistiu na construção de um campo
tensorial a partir de um campo vetorial, é chamado de operciodo de rota
cionar ou, mais simplesmente, do rotacional de um vetor covariante.
14.14- SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL
A equação (14.53) mostra que, em geral, a derivada de um
~xkJ
vetor nao e necessariamente um tensor. Entretanto, se -- = O,
3v. segue-se que a grandeza -4 transformar-se-ia como um tensor covari
x] ante. A razão de isto não ser assim é que os elementos da matriz de
transformação — H- tem valores diferentes para cada ponto no espaço; e
por este motivo que sua derivada é diferente de zero.
Em tensores cartesianos ortogonais, e também nos obliquos,
os elementos M 1]. . , das matrizes de transformação M, são constantes,
de onde vem que as derivadas (ou melhor, o gradiente) de tensores for
mam outros tensores de ordem superior em uma unidade, conforme foi vis
to na seção 12.7. Na próxima seção, ver-se-á uma forma de fazer com
que a derivada de um tensor generalizado seja um tensor. Isto é possI
vel mediante o uso apropriado do tensor fundamental g... Antes, porém,
definir-se-ão certas grandezas que depois serão de utilidade.
- 130 -
Considere-se o tensor fundamental cuja transformação é:
- - 1c lax
11 - a'
Derivando-se esta expressão em relação às coordenadas do sistema
5,
tem-se que:
x1 ax 2x 1 Bx1 2x' k1 13 = - i m kl + j gkl +
xn
9 - Expressões para
mi 39jm e . sao obtidas por analogia. -1
Assim, pode-se ver que:
32Xk x1 x a 2x' ax a x 1 x" Mi = • _ k]7iij k1 jfljij x"
92x'< x1 a xk 2x1 ax1 x' DX" ____
- kl + +
Dx 1
Somando as duas primeiras equações e subtraindo do resultado a terceira,
tem-se:
- 131 -
,gmi ij jm - D2xk Dx' :D 2 x Dx1 D2x Dx' .--- • •- 9k1 -m -i -1 -m -] -m -J -1 - j - i -m ki Dx Dx DX Dx Dx Dx Dx Dx DX DX DX D
1' Dx1 D xk D21 k 21 k 1
X DX DX Dx +1 . ( DV D D 1 D 1 D3 Dm Dx" DX1
+
í Dxk Dx ' Dx DYki Dxk Dx l Dx D9 k1 Dxk Dx l Dx" Dg 1 + E 1(14.57) + - -- ____ - -----
-m - i n 1 -1 J -m n -rn 1 j Ti J. DX DT Dx Dx DX Dx Dx ax DX D DX Dx
Para simplificar a notação, define-se o simbolo:
D9 • . . Dd. Ejm,i] = 1 ti +
Dg 13 - • ( 14.)
2 Dx3 Dx" Dx'
Esta entidade, assim definida, é de extrema importância nas aplicaç6es
do calculo tensorial e é conhecida como símbolo de Christoffel dê pri
meira espécie. (Note-se que a sequ&ncia dos Tndices, neste sTmbolo, cor
responde dos Tndices dos denominadores onde o terceiro termo tem sinal
negativo). O Último parêntesis da equação (14.57) pode ser ainda trans
formado, redefinindo- os ndices repetidos de maneira que os coeficien
tes da transformação sejam todos iguais aos do Último termo. Assim,
Dx" Dx' Dx' DYk + Dx' Dx" Dxk Dg In - Dx' Dx:' Dx" =
D Dm Dx1 Dm Di 1 D3 DXk D3 Dm DR' Dx"
- + Dg1 DYki l Dxk Dx 1 Dx" Dxk Dx' Dx" - L Dx 1 Dxk Dx"JD3 - —j = 2[k1 ,n] — — — D 3 D m D'
- 132 -
Por outro lado, o primeiro parêntesis da equação (14.57),
depois de trocar k por 1 e vice-versa, fica:
a 2 X1 Bx' B 2x 1 Bx' 2 x 1 Bxk j1k + 3x
M —1—
a(1
Lembrando-se ainda que g1 = g 1 , a soma deste termo com os termos con
tidos no segundo parêntesis da equação (14.57) dã:
2 B2x]
m j gkl
Com estes resultados, a equação (14.57) fica:
- BxC 1 axTi ax a 2 x l [ jm,i] = —r - -- E kl, n] g i tn j kl (14.59)
Desta equação pode-se obter uma expressão para a segunda
derivada. Para isto, faz-se primeiro o produto interno desta equação 1
oX com -. O resultado desta operação : r
azxl = t jm,i] - [ kl ,r] 9r1 -
Dx j m
Em seguida faz-se o produto interno deste resultado com g; e lembran sr do-se, todavia, que 9 9
1 = e que 9sr =
gpq, tem-se:
- 133 -
a2xS a-x D xS a x r 1c l
pq Eim,i1 -
- gS fkl,r] 3 m j - 3r p 3 q
No primeiro termo do segundo membro identifica-se ainda que ---
1
q Assim:
a2xS = . 1 g [Jm,i] - __;. Lgsr [kl ,r]
am - Dp D(3 Dx1
Neste ponto define-se um novo sTmbolo:
1
Símbolo de ristoffel [jk ,1] = (14.60) jk}
de senda {
onde o indice superior contravariante e os dois inferiores covarian
tes. Desta maneira pode-se escrever urna expressão simplificada para a
segunda derivada:
x s s p 3x DX1
M - J p 1' 1 (14.61)
- 1 -
DX Dx - D jm) D D m IC1J
Note-se que, para a transformação entre sistemas cartesia
nos au geral, as Componentes do tensor fundamental g. j são constantes
e, portanto, os sirnbolos de Christoffel são nulos.
- 134 -
14.15- DERIVADA COVARIANTE
Considere-se novamente a equação (14.53).
âv a 2 x' axk Dx' DV E V + --
j k D' Di D '
Substituindo, nesta relação, o valor da segunda derivada
(14.61) (tomando cuidado com os Tndices), tem-se:
!±:i j-;-j V D' ij k axi
- Dxk a1
- D' Dx1
0x 1 ax ' k '\
Vkf im
Manipulando apropriadamente os índices no Gltimo termo, obtém-se:
DV. Dx1 ( — axk 3X1 {DVk ( m) 1 1 v
-m 1
x —â { Pij) - D' Di Dx jklJ j
Observa-se ainda que:
Dx k v k = p
Logo,
Dx
DV. ( p '1 - ' Dx' DVk E í m 1 v 1 (14.62)
— v E--
aV liii D ai3 L7 jklJ mJ
- 135 -
Naturalmente, esta é a relação de transformação de um ten
sor covariante de segunda ordem. O tensor assim formado, o qual pode
ser mais simplificadamente representado por
av. V. V. E - v J 1 ax ti p (14.63)
é chamado de derivada covariante do vetor covariante V 1 . De uma manei
rã similar, pode-se também obter a derivada covariante de um vetor con
travariante. V i , verificando-se que o tensor resultante
v. V E
ax 3
í 1 '1
P (14.64)
é um tensor misto de segunda ordem.
Nota-se que, de acordo com a definição de derivada covari
ante, existem dois tipos de operador derivada covariarite: um parao caso
da aplicação a um campo vetorial covariante e outro para o caso da apli
cação a um campo vetorial contravariante. A diferença entre estes ope
radores esta no sinal e na posição dos indices.
A derivada covariante de um tensor de ordem superior é
obtida de uma maneira similar às relações (14.63) e (14.64), onde cada
índice (covariante ou contravariante) tem o seu próprio termo que con
têm o símbolo de Christoffel correspondente. Assim, por exemplo, a de
rivada covariante de um tensor misto de segunda ordem é dada por:
- 136 -
í 1
}
T E í 1
v - + . (14.65)
k j axk lik Lkm i J
Esta última relação tem urna demonstração simples, quando se considera o
tensor misto como o produto externo de dois vetores, um covariante e ou
tro contravariante, respectivamente, e depois se aplica a regra da deri
vada de um produto.
EXEMPLO 14.7
Usando as propriedades dos sImbolos dechristoffel,tornar-
-se-á a provar a relação (14.55) •do rotacional de um vetor covariante.
Subtraindo da equação (14.62) a equação obtida da mesma expressão com
os Indices 1 e j trocados, chega-se a:
a. a. - - ax' ax 1 ax' ax' av V - E -- -- - - -+
ai aia- 1j J ai' ai ai' ai' ax 1
+!±í} VM
ai3 ai ki
~ xk âxl
}v ai í axi ki
Porém, {
?. } = { Y. uma vez que [ij,1] = [ji,i], conforme se pode
verificar pelas definições (14.54) e (14.52), respectivamente.Portanto,
o terceiro e quarto termos do primeiro membro se cancelam entre si.Isto
também acontece com os dois últimos termos do segundo membro. Assim,
- 137 -
a. a. ax ax' av
ai- ai' - ai i ai1 ax' ax'
14.16- GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL
Para urna melhor compreensão do que será tratado a seguir,
é muito útil lembrar que, para o estudo dos campos escalares e vetoriais
em coordenadas cartesianas, o operador ! (que em si representa o Ope
rador diferencial --- é de extrema importância. Este operador pode ax'
atuar diretamente sobre um campo escalar (gradiente) em forma de produ
to escalar (divergente), ou de um produto vetorial (rotacional), sobre
um campo vetorial. Um operador que faz um papel semelhante, em coorde
nadas generalizadas, é o operador derivada covariante que se acabou de
estudar. Aliás, a derivada covariante é a generalização do operador V
dos campos vetoriais Euclidianos tridimensionais. Com estas observa
ç6es podem-se escrever, quase que diretamente, as operaç6es correspon
dentes ao gradiente, divergente e rotacional, conhecidas no cálculo ve
tonal, em forma de tensores generalizados por uma substituição do ope
rador derivada pelo operador derivada covariante.
Considere-se um campo escalar 'Y(x), definido num espaço
multidimensional onde x é o vetor de posição. Define-se o gradiente
do ccmrpo escalar '' (grad 'v) pela seguinte relação simbólica:
(grad 'v). =v i y. (14.66)
- 138 -
Pode-se provar (ver Problema 14.37a) que, para este caso,
o operador derivada covariante 5 um simples operador diferencial:
(grad 'v). = v. = . (14.67) Dx
Esta grandeza, assim formada, segue a lei de transforma
ção de um vetor covariante, conforme indicado na relação (14.4). Assim,
o gradiente de uni campo escalar 5 um campo vetorial covariante.
Para a definição tensorial do divergente (que, em analo
gia com a definição elementar de divergente em coordenadas cartesianas
ortogonais, sugere uma contração entre o operador 7i e o vetor V),
considerem-se as componentes contravariantes do vetor V. O divergente
do vetor V 5 definido por:
div V E v. =
+ { i } v
. ( 14.68) Dx ip
A expressão (14.68) pode ainda ser simplificada devido à contração pre
sente no símbolo de Christoffel, da seguinte maneira:
___ __ E g LP,-J =1 í g'1 ag11 + __ - g'1
3g_1 1 ii __ ____ j ipj 2[ Dx Dx1 Dxli
- 139 -
Trocando os índices i pelos 1, e vice-versa, no últi
mo termo e considerando que os tensores fundamental e reciproco são si
m&tricos, v5-se que os dois últimos termos se cancelam. Assim,
11 - 1 ii ii
Lii - g ax1
Com este resultado, a expressão do divergente, fica:
v i âg divV E
-+ 1 Vp 9 ii il (14.69)
2
Pode-se ainda obter uma expressão alternativa muito mais
prática para o div V, em termos do determinante do tensor fundamental,
da seguinte maneira. O determinante det g, formado com as componentes
do tensor fundamental, pode ser escrito na forma tensorial utilizando
a notação mostrada na expressão (5.10) da seguinte maneira:
-= abc...n detg e
Assim, a derivada deste determinante &:
- 140 -
-Adetg = D abc ... n
9 1a g 2b 9 3c =aXk
abe ... n la = E xk 92b 93c .. . 9Nn +
+ abe ... n
k 3c" Nm g g +
+ ...............................+
+ abc ... n
2b
Observa-se que, nesta expressão, tem-se a soma de N de
terminantes, todas obtidas a partir da matriz . Assim o primeiro ter
mo & o determinante da matriz que resulta da substituição da primeira
linha de (i.e., g1 a ) por ; o segundo & obtido substituindo a
9x 2b segunda linha da matriz por k e assim sucessivamente. Por ax
outro lado, cada um destes determinantes pode ser expresso isolando,res ~ gla 39 2b pectivamente, os fatoresk
' k ' etc. da maneira indicada - Dx Dx
na equaçao (5.22).
- 141 -
D9ia 1+a bc ... mn -
3c det g E (-1)
9 2b + Dx' Dxk
+ ac 2b (1) 2+b . inn g +
D x k g la 9 3c Nn
+ .......................................+
+ a gNn( 1) N+fl abc ... m
a - e
9N-1,mla
Esta expressão pode ainda ser escrita de maneira mais sim
plificada com a ajuda da definição (5.23), correspondente ao co-fator
de um elemento do determinante. Desta maneira tem-se que:
= DY ia Dg2b +
cof g —det g cofg ~ xk1a c0f92b+ Nnâx
= ag 1 . +
- ax cof 91j +
cof 9 2j + kLNI cof Dx Nj
Dy. E t1 cofg..
1 J
Por outro lado, e de acordo com a equação (5.31):
cof g.. = (g'. det g = gJ' det g
- 142 -
Portanto:
det g E 9 det g (14.70) a xk ax
Substituindo 9 desta relação na equação (14.69), a
tem-se:
div aV' + 1 V -- (det g) . (14.71) E ax 1 2 det g 3x
Esta última expressão pode ser colocada numa forma ainda
mais simplificada, observando-se que:
1 (det g) = 1 --- (in det g) = -- (in / det g) = 2 det g axp 2 axp axp
= 1
/ det g ax1'
Assim,
____ /det av' /det[
g + V/detu] div V E ______ i
Todavia, dentro do colchete pode-se reconhecer a derivada
de um produto. Desta maneira, finalmente, tem-se que:
- 143 -
1 a divv v / det g) . (14.72) E __ / det g
__
De uma maneira similar às definiç6es anteriores, e lem
avk brando-se que em coordenadas cartesianas rot V. E -, O rota
1 ax. cional de wn vetor ti e definido por
= (rot v) ijk V. v . ( 14.73)
- 144 -
PROBLEMAS
14.1 - Sejam as seguintes relaç5es de trànsformaço:
x1 = seni 2 co5 3
= X1 sen 2 sen 3
X3 = R' cosi 2
onde as coordenadas x' correspondem ao cartesiano ortogonal. Determi
nar as componentes covariantes e contravariantes do vetor V no sist!
ma 5 e o Jacobjano da transformação.
14.2 - Demonstrar que:
= 1
14.3 - Sejam x, y 1 e 21 trs sistemas de coordenadas generalizadas.
Provar que:
11 = 1 IX Dy Dz Dz
14.4 - Supondo que as grandezas A 1 , Aijl B11 e B 13 sejam todas ten
sores arbitrários, determinar quais das grandeza seguintes so
tensores:
- 145 -
A. a) A. . + ; b) A. . + 13 Bhk _ 11 ; c) _i; d) --
A. 1 Bkk
14.5 - Considerando que v 1 e W. são dois vetores arbitrários, iden
tificar a natureza tensorial da grandeza
• aW. aV 1 1 1
V + W.
Dx' 1 Dx3
14.6 - Mesma questão do problema 14.5 para a expressão:
au
+ jC
Dx 1
Dx'
onde Wi k e u. jk são tensores arbitrários.
14.7 - Na expressão:
DV. aV. +
ax1 ax3
V. um vetor covariante, e a e so coeficientes constantes. Encon
trar as condições necessárias para que esta expressão represente as com
ponentes de um tensor.
14.8 - Na equação: A(i,j ,k)T E V, o tensor T1k arbitrário,
1 por&ni sitrico, e V& um vetor contravari ante.
- 146 -
Provar que a grandeza A(i,j,k) + A(i,k,j) um tensor.
Sob que condiç&es a grandeza A(i,j,k) tanibëm um tensor?
14.9 - Supondo que A.. = -A.., mostrar que a grandeza:
DA DA DA T = st +
tr rs rst axt
uru tensor,
anti-simétrico para todos os pares de Tndices.
14.10 - Provar que se: &fiji
. . v" v w wk E O Para todos os valores dos
tensores & .riij. k , e wk, então:
AhÍk + AjÍhk + A1 + Ajkh{ = o
14.11 - Considere-se a seguinte transformação de coordenadas:
x' = c cosh X 1 cos
= c senh ' sen
onde as coordenadas ' são do cartesiano ortogonal. Determinar:
os vetores base covariantes e contravariantes do sistema .
O tensor fundamental eo reciproco.
- 147 -
14.12- Dadas as seguintes relaç6es de transformação:
-1 = 1 2 x y cosy
-2 1 2 x = y s
-3 3 x = y
onde as coordenadas x ' correspondem ao sistema S definido no proble
ma 14.11, encontrar o comprimento elementar Idx 2 no sistema de coor
denadas y1 .
14.13- Determinar os vetores base covariantes e contravariantes do sis
tema cilíndrico circular (coordenadas cilíndricas) em termos dos
vetores base:
a) . do sistema cartesiano ortogonal,
b)§ e do sistema esférico polar.
14.14- Dado que A. e B são componentes covariantes de vetores, de
ijk A. Bk - monstrar que a grandeza e um vetor.
/ det g
14.15- Se Auj = Aujk (x) é um campo tensorial anti-simétrico nos in
dices contTguos e a 11 = ajj (x) é -um tensor simétrico para o qual
det a > O, demonstrar que as grandezas 1 __ (A 13k/de t a) / det a 3x
representam as componentes de uni tensor anti-simetrico.
14.16 - Demonstrar que as componentes físicas covariantes e contravari
antes de um vetor, associado ao Tndice 1, so dadas por unia
ünica expressão:
A(i) = *Ai = =
14.17 - Supondo que os vetores e x são vetores unitários, de-
monstrar que o ingulo O entre estes vetores é dado por:
sen 2 o E gk g . 1 - g.j i pk )» À 1
14.18 - Encontrar as componentes do tensor de inrcia do problema 11 .2,
no sistema de coordenadas definido pelas direções principais de
1. 13
14.19 - Determinar as direções principais do tensor sinitrico:
+ ( & + ê2 el) - 2 , onde os vetores base unit
rios e . correspondem ao cartesiano ortogonal.
14.20 - Dado o campo escalar v(x), mostrar que . e um campo - 2x 1 Dxi
tensorial desde que transformação de coordenadas seja linear.
g.. 1] - 14.21 - Demonstrar que: D k - {Jk,iJ + [ki,]]
Dx
1
14.22 - Deterninar as componentes de para um sistema de coordena jk
das curvilTneas ortogonais.
- 149 -
14.23 - Se as coordenadas x são as cartesianas ortogonais,demonstrar:
2
D3
m axrn ] . . - [ij ,k
D 1
E 2xm
1. ii i 3(i D 3 ax
14.24 - Supondo que g. j um tensor diagonal, demonstrar que:{ }=o íj quando ij
14.25 - Supondo que g. um tensor diagonal, demonstrar:
( D
n - — in
1 flui
1 g 2 ax nu
1 B . = - -. In g
1. nij 2 ax1 nu
1 Dg nu
Á Lnn 2g. . 1
11
14.26 - Demonstrar a relação (14.65).
14.27 - Demonstrar que v(A' Bk) = A 1 ) 8k A'(v. 8k)
- 150 -
14.28 - Mostrar que:
m vm ;
X yfl) E (7 X ) Y + A 7 Y r m r m
14.29 - Efetuar as operações indicadas:
v 3 .ô = ?
1
V. ijk =
14.30 - Demonstrar que: vk q -ij
. . E 0.
Sugestão: Utilizar o resultado do problema 14.21.
14.31 - Provar que: 7•93k
14.32 - Demonstrar que: v 3 .
3 V. E
j1 q
3 7. V'.
14.33 - Demonstrar que a operação de contração pode ser feita, indistin
tamente, antes ou depois de aplicar a derivada covariante ao
tensor em questão.
14.34 - Trabalhando com a equação: v m ijk
c = O e dando valores numé -
ricos aos indices (por exemplo 1 = 1, j = 2, k = 3), provar
que:
- 151 -
p ln/detg =H
m [pmj
14.35 - Demonstrar que:
a ax = ax3- a2x ax
a ac - ax3 3ik
14.36 - Supondo que f(x) um campo escalar relativo de peso i , de-
monstrar que:
v.f - f {fl
TT
3 axJ 1i
14.37 - Seja q' um campo escalar.
Demonstrar que V. 1' = 31'
1 ax 1
Demonstrar que:
det g q1 -4- .13 / det g âx1 3x3
onde 1' :ij = v.(v. )
- 152 -
14.38 - Y é um campo escalar.
Mostrar que quando O, onde os elementos de g.. corres
pondem a um sistema cartesiano arbitrário, tem-se
= •a2 = o
J í,j ax ax3
Este resultado significativo porque a expressão 9 íj Y
E O reore
senta o Laplaciano de um campo escalar expresso em coordenadas generali
zadas.
Utilizando o resultado do problema 14.37 b), demonstrar que o
Laplaciano expresso em coordenadas esfrico-polares (r, o,*) é da
do por:
1 a 2 'v 1 a 2 2 a y 1 tge = o - + - - + - + - - + - c a r 2 r2 ao 2 r2 sen 2 o a r ar r 2 as
14.39 - Demonstrar a relação (14.66).
14.40 - Mostrar que as componentes contravariantes de rot V são dadas
por:
1 í aV av. '1 Ii
/ det g 9x1 ax1 J
- 153 -
14.41 - Demonstrar que rot(vk ) 0 onde representa um cam
po escalar.
rMÍTIII fl 1Ç
APLICAÇÕES DO CÁLCULO TENSORIAL
O cálculo tensorial tem extensas aplicações na flsica,não
somente no campo da relatividade, mas também nos campos tradicionais da
física, tais como: mecânica clássica, eletrodinâmica bem como em áreas
relativamente novas da física como por exemplo mecânica quântica e fisi
ca de plasmas. a importância do cálculo tensorial comumente diminuí
da pelo fato de os problemas serem resolvidos no sistema cartesiano or
togonal onde as operaç6es com vetores e tensores de segunda ordem são
tratados, de uma maneira indireta, identificando-as com as operações do
cálculo vetorial. No entanto, quando estas mesmas equaç6es, sem alter
nativas, devem ser resolvidas em geometrias curvilTneas, ainda que fami
liares, tais como as esfricas e cilíndricas, começam a surgir dificul
dades no tratamento matemático.
Neste capitulo ver-se-á apenas uma introdução às aplica
ç6es dos tensores, visando deixar o leitor com uma visão da potenciali
dade de aplicação deste importante campo da matemãtica.
15.1- DERIVADA ABSOLUTA DE TENSORES
Entre os tensores, os que são mais importantes são os de
primeira ordem, ou seja, os vetores. Mesmo porque as leis da física en
contram-se expressas na forma vetorial, independentemente do sistema de
coordenadas. Por esta razão é necessário saber o que acontece com o
- 156 -
vetor em si quando é efetuada uma operação de derivada relativa às coor
denadas ou a um parãmetro ligado às coordenadas.
Seja um campo vetorial V expresso em termos das suas com
ponentes contravariantes:
V E V 1 u ;
(15.1)
onde os u são os vetores base covariantes do sistema. Lembra-se que
os vetores base são também funções das coordenadas (para cada ponto do
espaço a magnitude e orientação podem ser diferentes). Assim, derivando
a expressão (15.1) em relação à coordenada xk, tem-se:
aV 1 . Bu. 1 -1
- E —u. + V k
(15.2)
Por outro lado, lembra-se que:
gij =
= . u. + u. au 3
-1
Formando expressões semelhantes com permutações de f "k.'ndices .. k e
somando estas duas últimas e subtraindo do resultado a primeira, tem-
-se:
- 157 -
2[ij,k] = - + í4 +141 ax J ax3 ax j
uk -1
au. —
+ a
Agora:
ax yii= -
âx 1
au. a ax a
a -1 -
ax a» âx
- ax i ax ax 1
Portanto,
au. [ij,k] =
ax
Por outro lado, u k =
Logo, pode-se ver que:
au. [ij,k] k
a x3
au. u'nE [ij,lc] k = [ijk] gkm
ax3 ii
- 158 -
de onde:
au. í m
-1 1 = 4 u
1
3x 13 (15.3)
Substituindo esta expressão na (15.2), tem-se:
âV aV 1 . m 1 - E -U. + V u
-1 ax axk ik
í m i = -.--+ s V
u In axk t 1k
Mas o fator entre parêntesés ê a derivada covariante do vetor contrava
riante vm, assim:
a V
ax E Cv
k v) u
-m (15.4)
Observe-se que, segundo a equação (15.4), d derivada covariante de V aV
4 a componente contravariante do vetor - , referida ao sistema de ve
tores base covariantes u .. - -m
A seguir, considere-se que as coordenadas de um ponto são
dadas em forma paramtrica, isto :
1 x = x(t)
dV k dx a Vm k dx - E (vk
Vm) u dt dt -m k
[ ax dt
dV in J ml v 4i = + u { dt ik J dtj
iii .dx 1 1
+ 1 rV 11k) dt
u -m
- 159 -
onde o parãietro t pode ser, por exemplo, o tempo. O campo vetorial
C*(t)) serã tambmn uma função do parâmetro t, de maneira que:
dv - aV dxk
dt - axk dt
Substituindo a relação (15.4) nesta ultima, tem-se:
Neste ponto define-se a derivada absoluta (ou intrínseca) de um vetor
contravariante DVm- da seguinte maneira: Dt
DP E + j m ividx (15.5) df
Dt dt 11k) dt
Portanto,
dV DV E —u
dt Dt -m
- 160 -
A extensão da definição da derivada absoluta de um vetor
contravariante, para tensores da ordem superior obtida facilmente por
inspecção dos indices e sinais da relação (15.5). Assim, para um ten
sor misto tem-se:
DT'P. dTt. íml dx nm dx 1 13 - 13 + T..— -
Dt dt [np) 13 dt ip) " dt
ín dx 1 :
1 in
l%P]j dt (15.7)
EXEMPLO 15.1
Seja determinar as componentes contravariantes e covarian
tes do vetor aceleração.
Sabe-se que: dx E dx 1 ui, de onde:
dx dx' V = E —u. = v 1 u.
dt dt -1 -1
- 161 -
Por outro lado, da relação (15.6) tem que:
dv m Dv
- m a = - = —u = a u
-m dt Dt
Assim:
= .Px = + íml.dxk
- 3
Dt dt tikj dt
____ am = d2Xm
{ m
i dx k
dt2 ik}
dx
dt dt (15.8)
As componentes covariantes são obtidas pela propriedade de abaixar mdi
ces do tensor fundamental
d2xk dx' dxk a m = g dt2 + [ik,m] - - . (15.9)
15.2- GEODËSICAS
No familiar espaço tridimensional Euclidiano, não se pre
cisa de muita imaginação para provar que a distância mais curta en
tre dois pontos é a linha reta que os une. No entanto, seo espaço for
curvo (por exemplo, um espaço bidimensional representado por uma su
perficie não-plana), a menor distância entre dois pontos não é mais a
reta que os une, pois a medição s5 poderá ser feita no espaço em ques
- 162 -
tão (no exemplo bidimertsional, a medição é feita sobre a superf3cie).
É claro que para pontos muito próximos, a menor distancia será aproxima
damente a reta que os une se o espaço for "pouco curvo". Esta termina
logia é de fácil entendimento quando se fala de espaço bidimensional a
um ser tridimensional; porém, é de difícil imaginação quando se trata
da curvatura de um espaço tridimensional. Entretanto, um ser inteligen
te que vive num mundo bidimensional (não sabe que existe uma terceira
dimensão) não precisa de uma visão tridimensional para saber que seu niun
do é curvo, conforme o raciocínio que se segue.
Suponha que os seres bidimensionais tém sua própria ciên
cia e que tiveram seu Euclides que desenvolveu uma geometria plana. Ima
Üinem-se estes seres em dois tipos de espaços (superfícies): a) plano e
b) esférico.
a) Espaço plano. Neste caso os conhecimentos geométricos dos seres Mdi
mensionais levam às seguintes conclusóes:
A distância entre dois pontos é a reta que os une.
A soma dos ângulos de um triângulo é u (1800).
Num circulo a relação entre o comprimento da circunferênca C e
o raio R é: = R
iv) Com 4 ângulos retos um único comprimento, constrói-se um quadrado.
- 163 -
b) Espaço esférico. Neste caso, as medições efetuadas indicam que:
1) A menor distância entre dois pontos afastados suficientemen
te, não é mais uma reta, mesmo porque não conseguem enxergar
o outro ponto. De fato,a menor distância é medida sobre o
grande circulo que passa pelos dois pontos (geodésica).
A soma dos ângulos de um triângulo é > (para um ser tridi
mensional ,isto é Óbvio pela trigonometria esférica).
-Ç < 2r (isto porque o circulo que se faz sobre uma esfera R é menor que o circulo feito com o mesmo raio R num plano).
Com quatro ângulos retos e um mesmo comprimento, não se cons
trdi um quadrado.
Fica claro que quando as distâncias consideradas são muito pequenas em
relação ao raio da esfera, então os postulados da geometria plana são
aproximadamente satisfeitos na superficie esférica.
De maneira semelhante, de acordo com a teoria de Einstein,
o espaço sideral é " curvo " , sendo mais curvo em regiões próximas a cor
pos estelares. Isto significa que para "medir" o grau de curvatura do
espaço sideral, da maneira imaginada para os seres bidimensionais, ter-
-se-ia que considerar distancias interestelares, o que inviabiliza por
enquanto experimentos semelhantes. Entretanto, qualquer medição de dis
tâncias interestelares, inclusive utilizando a direção de propagação da
- 164 -
luz, só pode ser feita ao longo das geodésicas. Por esta razão é impor
tante a determinação da equação das geodésicas, que para o cotidiano es
paço Euclidiano tridimensional é apenas a equação da reta.
Considere-se uma linha curva C, no espaço n-dimensional,
definida pelas seguintes equações paramétricas:
x1 = x() . (15.10)
Agora, suponha-se uni trecho desta curva entre os pontos de
coordenadas x 1 (€o) e x1 (i) esquematicamente mostrado na Figura
15.1. O comprimento elementar desta curva IdI = ds é dado por:
ds E /g. dx 1 dx1 = /g1. -- d€ 13 d d
õx
xi(Çi)
xi( 0 )
V
Fig. 15.1 - Curva geodésica C que une os
pontos x (€o) e x (). A cur
va C' é uma curva muito próxi
ma da C.
(15.11)
- 165 -
Assim, o comprimento da linha curva C entre os pontos x 1 (€o ) e
1 - x (€i) será
1
= j
gjx) 2t d
dC d€ €0
onde evidentemente o tensor fundamental g depende das coordenadas
no ponto, i.e. , do vetor de posição x, e foi assim colocado para res
saltar este fato.
Todavia, entre os pontos x(€o) e x 1 Ri) existirão ou
tras (infinito número de) curvas. Entre todas estas, a curva que ofe
recer o menor comprimento possve1 é chamada de geodésica. O problema
que se está tentando resolver agora é encontrar uma curva, ou melhor,
encontrara equação da curva, para a qual s = minimo. Este é um proble
ma familiar no câlculo variacional, que aqui seré resolvido de uma ma
neira elementar.
Suponha-se que a curva c é, de fato, a geodésica entre
os dois pontos considerados. Seja, agora, urna outra curva C', muito
pr6xima da geodésica C, tal que para o mesmo valor de
, 1, y 1 €) = x €) + x1(€) , ( 15.13)
onde os y1 são pontos sobre a curva C', e 6 x éum vetor elementar
arbitrério que varia de maneira continua ao longo de C. Evidentemente,
- 166 -
sendo C' uma curva que tambrn une os pontos e x1 (€i ), ter-
-se-á que:
x1(Co) = óxi(i) = O
Agora, o comprimento s' da curva C' entre estes dois pontos será:
1 d 1 dv
= J - d . (15.14) d€
y
d
o
Por outro lado, = g(x + sx). Desenvolvendo es
te tensor em serie de Taylor em torno do ponto x e desprezando ter
mos de segunda e ordem supêrior, tem-se:
Bg. ij k
q1] . . ( y)
gi] . (x) + k - - ax
Chamando por simplicidade g(x) = g, a grandeza que se encontra
dentro do radical na expressão de S fica:
g.jy) ig.. + 6 [d x'
+ _4 ( 6X ')1R_1(6X)i
d€ d d JLd d J
Desprezando outra vez os termos de segunda e ordem superior, vem
gjj d xJ
2 q . 4±I d(óx) ag XiX
d€ dC d íj d d€ axk d d
- 167 -
Assim, voltando à integral (15.14), tem-se:
=
dx1 dx3 g de d
dxt d(óx 1 ) ag.. dx 1 dx3 k 2o .. - _____ .L ____ -
+ d dC Bxk dC dC de 1
dx' dx3
= / de d Cd
dx' d(x3 ) ag.. dx' dx 2 - ____ + 13 kj Sx g, de de axk. de de
1+ d.
dx1 dx3
de de
Observe-se que o segundo e terceiro ternos dentro do col
chete são grandezas de primeira ordem. Chamando apenas para simpli
ficar a notação
dx t d. ag. . dx' dx3 2g - - x1) +
13
dx'dx d de de de [9..—_ 1 =
13 dc de i dx'dx3
"i de de
desenvolvendo o parnteses em série de bin&mio de Newton, tem-se:
. . -
dx1 dx3 1 1 dx 1 dx3 1 dx'dx 3
[ 13 dcdcj 2 11 dcdc 8L '3dcdcJ
Desprezando novamente, termos de segunda e ordem superior, a inte
gral do comprimento da curva C' fica,
=
g13
+ dx 1 dx3
(6x3) + -i -
dx 1 d .
1 q. dx dx3
k
ij dd 2 ax dc dc
dc. (15.12) +
dx 1 dx3 g.
dc dc
Note-se que o primeiro termo, de acordo com a equação
(15.12), o comprimento S. Portanto, segue-se que
6s = s i - 5
onde
gdx 1 d 1 aq.. dx 1 dx3 = dc
-- (6») +— 13 --
/ [13
dc dc 2 ax dc dc / 1 3
co /g.. ----
ôx
ti 1 dc dc
a diferença entre os comprimentos da curva geodésica e a que se encon
tra muito próxima dela.
- 169 -
O cãlculo da integral anterior fica mais simples quando
a variãvel de integração é o próprio comprimento elementar (15.11):
=
/ g.j dx1 dx1
/ - d d
Assim, fazendo esta mudança, a expressão para Ss fica:
dx' d(óx) 1 Dg.. dx 1 dx3 1 _______ - 1] - - 6xk 1 ds 6$
= J [ +
ds ds 2 âxk ds ds j o Nesta expressão, s 1 é o comprimento da curva C entre
os pontos x 1 (o) e x1 (€i'). Integrando por partes o primeiro termo,
tem-se que
dx (1 . d
[
dx'i 1 s 1 Bg. dx 1 dx 3
= g.. - x3 1 - j - g ds + - - ó xk ds. sJ xk ds ds
3 ds ds d
O primeiro termo é zero, uma vez que 5x 3 se anula em ambos os extre
mos. Por outro lado,
d dx ag . dxk dx1 d2xi ir -
- Bxk i
- 170 -
ddx 1 g.3
dxk dx1 d2x
[gj1] = 1
iids2 ds
d2xi 1 3g. dxk dx 1 1 dx' dxk
g______ 13 ______
= ds 2 2 ax k ds cls2 Bx 1 ds ds
= g.. d2x
1
+ 3 kj
ds 2 2 Lx' ax 1 j ds ds
onde o último termo (que igual ao segundo) foi obtido trocando os
indices mudos i pelo k e vice-versa. Assim,
d2xi 1 flBg. g dx1 dxk 5s=- óxg +— 1J] kJó xJ --
j ds2 2 LBxk ds o
1 Bgj k dx' dx ] 1 ds -- óx — 2 ds ds J
Trocando j por e e vice-versa, nos Tndices mudos de todos oster
mos exceto o último, tem-se:
- 171 -
• dx1 1 EBYjk Bg.k Bg. .1 dx1 dx
___ ___ ___ 1] j __bxk ds. ss=_j 9ikd52+[BXi+BXiXkJdSdsi o
Observe-se que o termo entre colchetes 1 o símbolo de
Christoífel de primeira espécie. Assim,
d x Í dx 1 dx3 ] + [ij,k] - ds = - L ds2 d ds
o
Neste ponto deve-se lembrar que a curva C foi considera
da a curva geodésica. Decorre, portanto, que Ss = O será a condição
necessária para que a curva C' se identifique com a geodésica. Assim,
sendo xk um vetor (elementar) arbitrírio, tem-se que
dZx dx dx 9 + [ij,k] - - = O
ds 2 ds ds (15.16)
Esta equação é a chamada equação das geodésicas.
Fazendo oproduto interno da relação (15.16) com o tensor
recíproco gik, segue-se uma outra forma da equação das geodésicas, em
termos do símbolo de Christoffel de segunda espécie.
d2xl 1 + = O . (15.17)
ds2ij ds ds
- 172 -
Todavia, comparando esta relação com a equação (15.5), observa-se que
pode ser colocada numa forma ainda mais simplificada, em termos da defi
nição de derivada absoluta do vetor contravariante - . Assim, ds
O . (15.18)
xl D ds
É importante notar, na equação das geodésicas, que o que
para determinar a equação de famílias de linhas, ao longo das quais
se mede a menor distância entre dois pontos. Pressup6e-se, portanto,
que as componentes do tensor fundamental, g1, são conhecidas.
15.3- TENSOR DE (CURVATURA) RIEMANN-Ct-IRISTOFELL
Na seção anterior menciona-se a diferença comparativa exis
tente entre as geometrias plana e curva num espaço bidimensional. Nesta
seção far-se-á uma análise detalhada do parâmetro que discerne quando
um espaço n-dimensional & plano ou curvo.
Na geometria plana (2 dimens6es) elementar falar de uma
linha curva e poder identificar parâmetros que medem o grau de curvatu
rã da linha; por exemplo, na geometria analítica define-se o raio de cur
vatura p de uma linha, que e o raio do circulo tangente à linha, ou
tarnbem da curvatura da linha K = 1 . Já em 3 dimensões, fala-se de uma P
superficie curva e de parametros tais como o raio de curvatura (raio da
esfera tangente à superfcie) e da curvatura da superfkie K = p 2
em 4 dimensões torna-se difícil imaginar um "volume curvo" e de um raio
- 173 -
de curvatura correspondente a urna esfera quadrimensional. Apesar des
tas dificuldades, é posslvel elaborar urna teoria matemática que permite
determinar parámetros intimamente ligados à curvatura de espaços n-di
mensionais.
Imagine-se um circulo de raio p numa superfkie plana.
A circunferência e a área deste circulo são dados, respectivamente,por:
C = 27rp e A = ¶p2
Nota-se que:
dp
Suponha-se agora urna esfera de raio R » p sobre a qual
se desenhe um circulo com urna corda "molhada" (de maneira que a corda
se encontre sempre em contato com a superflcie da esfera) de comprimen
to p. Em outras palavaras, constrói-se um circulo O' de raio geodé
sico" p, da forma mostrada na Figura 15.2. Fica evidente que a cir
cunferência O no plano é maior que a O' sobre a esfera e também que
A > A' (isto porque, para colocar a calota sobre o plano, ter-se-ia de
fazer muitos cortes radiais, deixando espaços vazios). Desta maneira,
seres bidimensionais com conhecimentos de geometria plana poderiam de
terminar se seu espaço é curvo ou no, comparando os resultados de medi
çes de circunferências, ou áreas de circulo, com os da teoria plana.
(Naturalmente, se o raio R da esfera for muito, mas muito grande, os seres
- 174 -
que habitam neste espaço deverão desenvolver uma teoria de geometria
plana, urna vez que localmente o espaço será praticamente plano).
iP' \
-
1 / )
Fig. 15.2 - Calota de raio geodésico
numa esfera de raio R.
Voltando à Figura 15.2, observa-se que:
e - R
da = (R sen e) d = R sen d R
- 175 -
de onde:
C' = da = 27rP.sen 2- R
dA' Agora, C' = - dp
(JJ p A'=IC'dp=2R 2Tr
J o R { RJ
2 4 5
- [i
p
- 1 -- p - ! 1 P - -
2 R 4! R 6! R
i 1 2 P
=1r p - -
L 12 R2 6! R 4
112
K 4 oL
6
A - 6! R4
onde K a curvatura e A = ir a área do circulo plano
ver que:
12 Um A-A' = - IT pO p4
Pode-se
- 176 -
Pode-se também demonstrar que:
3 11111
c-cI = -
j p-*O p
onde C = 2u p. As expressões anteriores, que foram deduzidas para uma
superfície esférica, podem ser utilizadas para determinar a curvatura
de uma sunerfTcie de forma arbitriria no espaço tridimensional. O lei
tor pode verificar que,para o casa de uma superfTci e em forma de sela,
C < O.
A determinação da:curvatura para um espaço tridimensional
vem a ser muito mais complicado porque ter-se-ia de falar de uma "es
fera geodésica" e compari-la com a esfera Euclidiana. Entretanto, isto
não é necessirio, pois de maneira indireta pode-se obter urna expressão
para a curvatura.
Do calculo diferencial sabe-se que:
L ! L ax y Dy Dx
para o que é necessirio, apenas, que seja uma função que possua de
rivadas segundas. O correspondente para tensores, em temos de deriva
da covariante, em geral não é verdade:
v(v. Vk ) v.(v. Vk)
- 177 -
Esta simples desigualdade tem implicaç6es muito importan
tes, confoniie serã visto a seguir. Seja, oortanto, um vetor covariante
arbitririo V. Chamando, para simplificar a notação, Vi : a deriv a
da covariante de V, tem-se:
íP1V. . = V. V. E - v
] 1 Liii
A derivada covariante desta nova expressão
V i = "k i
= v (v. j Vi :jk k :j k i
Dado que V. um tensor covariante de segunda ordem, chega-se a
Ví:jk E i:j
- {:k} V1.
- {L} Vj:1
= a 2 V. a íp] a í11aV1
- ax k Vpk J tiiVp
- UkJ
í1 pl
v {
j
' fi) Íp1 -
I 1_! ~ ) 1
1j -
kj Bx 1 UkJ t'i }
í
ii
- 178 -
Com base nesta expressão, constr6i-se uma semelhante com os Tndices j
e k permutados. Assim,
a 2 v .
V a í 1 í P 1
.. E . 1 -V— —V- -kj ax axk ) ax [,ikj ikJ Bx3
í'l av '1 p1 i av. fl) í 1 i 1
Ti r - r —- ~ i ri iiij ax ijj lkJ P• kjj ax 1 lkiJ lii P
Subtraindo entre si as duas ultimas equaç&es, tem-se:
r a f a i:jk i:kj K3 ik ax
v (15.19) í1 ri fp
- + I . lii i4 ikj liii J
Nesta expressão observa-se o seguinte. No primeiro mem
bro, os dois ternos são tensores covariantes de terceira ordem; logo,
sua diferença tam!im um tensor covariante de terceira ordem. Assim,
no segundo membro, e dado que v ê um vetor arbitrário, a grandeza en
tre colchetes (de acordo com o teorema do quociente) uni tensor misto
de quarta ordem, contravariante no Tndice p e covariante nos demais
Tndices. Este tensor, que será representado por
- 179 -
lkj ki .1 1 1
í1lp' í1)íp) + 1 - ,(15.20)
Dx ikj Dx ijj Lik) 1jj Lii) Liki
é chamado de Tensor dg Riernann-Christoffcl.
O tensor de Riemann - Christoffel, por ser um dos mais mi
portantes nas aplicaç6es, entre outros, à geometria diferencial, à teo
ria de corpos rígidos e deformáveis, às equações de Maxwell e à teoria
da relatividade, merece uma atenção especial no seu significado. Das re
laç6es (15.19) e (15.20), observa-se que a aplicação sucessiva de duas
derivadas covariantes não é importante na ordem de aplicação quando:
a {
D mlfPl m1p) 1 o' =
1kj ikj - Dx3 ik Dx ij ik Mj ij m
pois, neste caso,
vk(v. v.) = vJ(vk V.)
Esta conclusão trivial tem importantes implicaç6es. A equação:
= O ikj
significa que todas as componentes do tensor de Riemann - Christoffel
são nulas. Portanto, a sua transformação em um outro sistema arbitrá
rio de coordenadas,
- 180 -
-m a11 ax1 Bxk j (15.22) Rb E - - -
ax aia b jc ikj = '
significa que, em qualquer sistema de coordenadas, o tensor de Riemann -
Christoffel identicamente nulo.
Agora vem o mais importante ao responder à pergunta: Sob
que condições R?ki nulo, visto que s6 depende do tensor fundamen
tal e das coordenadas do sistema? Em outras palavras, dado o tensor fun
damental do espaço, expresso num determinado sistema de coordenadas, e
considerando que o tensor fundamental exprime as caracter3sticas intrn
secas do espaço, que tipo de espaço satisfaz a equação (15.21)?
Obviamente, para as coordenadas cartesianas do espaço
Euclidiano tridimensional, g.. = constantes, {}
= O;. portanto:
= 0. De acordo com (15.22), para o espaço Euclidiano pode-se esco iki
lher um sistema arbitrário de coordenadas (obliquas, curvilineas ortogo
nais ou mesmo curvilTneas generalizadas), que de qualquer maneira o ten
sor de Riemann - Christoffel será identicamente nulo. O espaço
Euclidiano, com estas propriedades, é chamado de espaço "plano"
Estas observações levam a definir outros espaços, nos
quais:
R!k. 0 . ( 15.23)
- 181 -
Estes espaços são chamados Riemanianos cúrvos. Note-se que a relação
(15.23) significa que é suficiente uma das componentes de R?ki ser di
ferente de zero para ser considerado um espaço curvo.
Pelas razões acima apontadas, o tensor de Riemann -
Christoffel é também chamado de tensor de Curvatura. O tensor de curva
tura Ré relacionado com o conceito de curvatura Riernaniana K,atra ikj -
vés do teimar covariante de curvatura:
R =9 R rikj rp ik]
(15.24)
mediante a equação:
R. .ArAkB1Bj
1< (15.25)
(j - 9r.j gki Ar A1 B B3
onde os vetores contravariantes A 1 e B-' definem o ponto no espaço.
K é um invariante que permanece inalterado quando A' e B 3 são subs
titufdos por qualquer combinação linear de outros vetores. A relação
(15.25) pode ser interpretada como o equivalente à curvatura de geome
tria Euclidiana c, cujo conceito foi introduzido no inicio desta seção.
Naturalmente, para o espaço Euclidiano, K = O.
- 182 -
EXEMPLO 15.2
Seja o espaço bidimensional onde
(ds) 2 = ( R de) 2 + ( R sene d) 2 (R = constante)
x = O x 2 =
Deseja-se saber se este espaço é plano (Euclidiano) ou curvo. Identifi
ca-se que:
Yii = R 2
922 = R2 sen 2 e
912 = 921 = O
O problema se reduz em determinar todos os valores das componentes do
tensor R!k..Se pelo menos uma das componentes é diferente de zero, então
o espaço é curvo.
Antes de iniciar diretamente o cálculo de todas as compo
nentes do tensor de curvatura, é necessário fazer algumas identificaç6es
•que reduzirão o número dos termos e simplificarão a complexidade da ál
gebra.
Note-se da relação (15.20) que:
= - R (15.26) ikj ijk
- 183 -
Isto &, o tensor de Riemann - Christoffel & anti-sim&trico nos dois 01
timos Tndices covariantes. Esta propriedade permite identificar que,
para k = n e j =
= O (sem soma emn) lnn
Desta maneira, e como 1, k, j, p = 1, 2, do nu-mero total de componen
tes 2 4 = 16, são nulos 8 deles, ficando para determinar tão somente os
8 restantes. Todavia, devido à propriedade (15.26): R 12 = -R? 21 , 4
são independentes. Assim, tem-se apenas as seguintes componentes a 5e
rem determinadas: R11 12, R 12 , R 12 , R 12 .
- ag11 3922 Observa-se por ultimo que . = O, = O.
1 ax
a íím ) í 1 = 1+1 H H
ax2 1 ii i ax1 1 12 J 1 ii J 1 m2 J t 12 J ml J
Do problema 14.23 tem-se as seguintes identidades:
tn} = —1-lng
j nn 2 at nn
= • ---1n { ni} 2 ax 1
nnj 29 ii
n
Assim,
1 a 1 a 1 = - in g' 1 ç - ------ - in giij + 2 ax 2 ax' j 2 ax' 1ax2 J
2 1 i)i 2i
til 112 J ii 22 J 12) ii) 12) 21
Í 11 1 1 í 2l
= 11fl22f - 12J 21
-1 ag,,) í -1a9221
[2922 Bx2 j 2g,1 a*'
ia ia --iR g ------in g 11 2ax 1 2ax 2
Observa-se que ambos os termos do segundo membro cont&ii o fator
-g1 1
= O. Logo, 3x 2 -
Dl "112 -
De fato, pode-se demonstrar que
E O (15.27) ikj
- 185 -
Da mesma maneira, pode-se ainda verificar que:
- -" - cos2B -ctgB , 21.2 - l\221 -
- - - cosec 2 ø - ctg 2 8 112 - 121 -
Portanto,o espaço bidimensional do exemplo é curvo. De fato, o elemen
to de comprimento corresponde a uma geodésica numa superfTcie eslirica.
PROBLEMAS
15.1- Provar que:
Dg. .13 = O ;
Dt
Dgij =
Dt
15.2- Demonstrar que:
i. (g.. A 1 A3 ) = 2g.. A1 DAi
15.3- Demonstrar que as componentes covariantes do vetor aceleração em
coordenadas esférico-polares são:
ar = - rê2 - rsen2 06Z
a 0 = --- (r2 §2) - r 2 seno cose 6 2
dt
= ._i (r2 sen 2 ø 3) dt
15.4- Provar que, para coordenadas cartesianas, a equação das geodésicas
se reduzem ãs equações paramtricas de uma linha reta.
15.5- Supondo que o elemento de comprimento dxj = ds, de um determi
nado espaço, ê dado por:
MUJIM
(ds) 2 = À(r)(dr) 2 + r2 {(do) 2 + sen 2 e(d4) 2 ]
demonstrar que ao longo da geodésica o = , tem-se a - 2 ds s=O
relaçao: = J x'
1 (r) d!p, onde r = b sec i. Interpretar geo
metricamente o resultado quando À = 1.
15.6- Considere-se uma partTcula em movimento sobre urna superficie to
roidal. O elemento de comprimento é dado por:
(ds )2 = ( a - b cos 0)2 (dt) 2 + b 2 (de) 2
onde é o ângulo azimutal e o é o ângulo de afastamento do
plano equatorial. Demonstrar que a trajetória da part3cula satis
faz às seguintes equações diferenciais (onde h e uma constante):
(a - b cos )2 = h ds
('12 b21 4P = 1 (a - b cos o) - (a - b cos
1 dj
15.7- Demonstrar que:
Rm O mkj
15.8 - Demonstrando primeiro:
[rj ,p] + [pj ,r] = pr
ax3
f] - pi
rp »
{ik,r] - {
{tri, p1 + [pj ,r]}, q —.' 1 = 1k j
deduzir a seguinte relaçio para o tensor covariante de curvatura:
R..kl E ,i] - ![ jk,i] +
[ai íi
+ til,a] - . [ik,a] jkJ li')
15.9 - O elemento de comprimento de um espaço tetradimensional defini
do nor:
(ds) 2 = e 2À(x1) (dx 1 ) 2 + (dx2P + (dx3)2 + e2'') (d X4)2
a) Demonstrar que o tensor de curvatura para este caso é nulo
apenas quando x(x 1 ) e (x') satisfazem a seguinte condição:
mil- x' v' + ( x1)2 = O (onde À' dx'
n
b) Quando À = - v, mostrar que o espaço i Euclidiano desde que:
v = ln(a + bx'), onde a e b são constantes.
CAPÍTULO 16
TEORIA GRAVITACIONAL DE EINSTEIN
A teoria gravitacional de Einstein á baseada na suposição
de que o espaço cósmico á um espaço Riemanniano curvo, cuja curvatura á
devida á presença de grandes massas estelares (como o Sol). O espaço
Riemanniano considerado á quadridimensional onde, alám das trás dimen
sionais conhecidas, a variável tempo constitui a quarta dimensão.
16.1- FORMULAÇÃO
Fazendo um retrospecto do que foi exposto no capitulo an
tenor, lembra-se que a equação das geodésicas representa um conjunto
de equações diferenciais parciais, não-lineares, onde se supõe queoten
sor fundamental á conhecido, de maneira que a trajetória de particulas
inerciais (ou mesmo da luz) á determinada pela curvatura do espaço, uma
vez que g.. determina as caracterlsticas geométricas do espaço. Por
outro lado, o tensor de curvatura á a grandeza que identifica se um de
terminado espaço á ou não curvo.
Com inspiração nestes conceitos,á razoável chegar à con
clusão de que, de alguma maneira, o tensor de curvatura esteja relacio
nado com a lei gravitacional. A teoria gravitacional de Einstein é ba
seada nestes conceitos e postula que o campo gravitacional á descrito
pela relação:
- 192 -
R.. = K . 1 g. T - T.. (16.1)
13 2 13
onde: R.. = Rt. = tensor de Ricci (contração do tensor de curvatura), 13
T. .13
= tensor de energia e momentum,
T. .= S. + O
13 13 13
= tensor de energia e momentum do campo eletromagnético,
O. .1]
= tensor de energia cinética e momentum,
T = 1 R = escalar de curvatura (que também é a contração do tensor
misto de energia e momentum),
Ic = constante de proporcionalidade diretamente relacionada
com a constante gravitacional.
O segundo membro da relação (16.1) representa a distribuição de massas
em escala galática porque, de acordo com a relatividade restrita, ener
gia e massa são basicamente a mesma entidade. É interessante notar que,
de acordo com a teoria de Einstein, o campo gravitacional depende tam
bem da presença de campos eletromagnéticos. A relação 816.1) é conheci
da como a Lei Gravitacional de Einstein.
- 193 -
O campo gravitacional devido à presença de uma massa este
lar (tal como o Sol), em ausência de qualquer outro tipo de massa, ê da
do simplesmente por:
Rij = O (16.2)
Na realidade, esta equação ê vãlida inclusive em escala
galàtica, uma vez que K da equação (16.1) ê extremamente pequena, sen
do importante provavelmente em escalas cosmológicas.
Antes de analisar o significado da expressão (16.2), vale
a pena responder à pergunta natural: Por que a relação (16.2), ou a
(16.1), ê chamada de lei gravitacional, dado que na sua concepção não
foi utilizado o conceito de força gravitacional? Mais ainda, como éque
a Lei de Newton pode ser comparada com a sua equivalente (16.2)? As res
postas a estas perguntas obviamente não podem ser simples, uma vez que
ter-se-ia de comparar conceitos de "geometria" com 'força gravitacio
na]". Contudo, as consequências fisicas, que são as que relamente im
portam, unificam ambos os conceitos.
Segundo Newton, a força de atração entre dois corpos de mas
sas M 1 e M 2 ê dada por:
x 1
E = -Gm 1 m 2 = Gm1m 2 v - - H
- 194 -
Chamando:
G m 1 ai2
= potencial gravitacional
tem-se que:
=
Tomando o divergente desta expressão vetorial, chega-se a:
x V.F = -v. m 1 ni 2 G-2— = = O
H
Portanto, a lei gravitacional de Newton pode ser expressa mediante:
a 2. E O
ax' 3x 1 (16.3)
A semelhança na simplicidade entre as expressdes (16.2) e
(16.3) õ ainda maior lembrando que o tensor de curvatura e sua contra
cão, contgm temos de derivadas segundas de g.. , pois da rel ação
(15.20) do capitulo anterior vem que:
- 195 -
R.. = t. 13
m) a í1 í' iíi í' + ím
= aí
- - -
âxM liii 1 imj lii j imj 1 imj lii },(16.4)
onde os simbolos de Christoffei são constituidos de derivadas do tensor
fundamental. Portanto, o tensor fundamental faz o papei de função po
tencial gravitacionai.
A equação (16.1) para o espaço tetradimensional (onde o
tempo é a 4 dimensão) consiste em 42 = 16 equações diferenciais par
ciais não-lineares, que determinam as componentes do tensor fundamental.
A solução geral destas equações é extremamente dificil de obter, mes
mo para o caso simples do campo gravitacionai, devido a uma ünica nassa
estelar descrita por (16.2). No entanto, devido à simetria:
R. .1_] 3
= R. .1
, ( 16.5)
das 16 equações somente 10 são linearmente independentes (na realidade,
prova-se que somente 6 são equações linearmente independentes). Este fa
to, contudo, não ajuda muito, e o que se tenta fazer é encontrar solu
ções particulares de (16.2) mediante expressões de teste para gi, de
maneira, primeiro, que satisfaçam a relação (16.2) e também que, em suas
aplicações, forneçam resultados aproximadamente iguais (diferentes ape
nas em termos de primeira ordem) aos conhecidos da mecãnica Newtoniana.
£ necessério também que as componentes do tensor fundamental assim en
contrados sejam tais que R? . k O, ou seja, que o espaço não seja
- 196 -
Euclidiano. É importante mencionar neste ponto que o espaço de Minkowski
(espaço-tempo) da Relatividade Restrita (ver Apêndice A), que em coorde
nadas cartesianas é identificado por:
(ds) 2 = (cdt) 2 - (dx) 2 - (dy) 2 - (dz) 2 , (16.6a)
correponde a um espaço plano (Euclidiano).
16.2-SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD
Trata-se de encontrar uma solução para a equação (16.2)
para o caso da curvatura espacial produzida pela presença, por exemplo,
do Sol. Muito longe do corpo, espera-se que o tensor fundamental tenha
a forma indicada pelos coeficientes de dx' do espaço-tempo de Minkowski
(16.5a), a qual expressa em coordenadas esféricas toma a forma:
(ds) 2 = (cdt) 2 - (dr) 2 - r 2 (do) 2 - r 2 sen 2 e (4)2 . (16.6b)
Portanto, as componentes g. i não deverão ser muito dife
rentes das indicadas na equação anterior. Por outro lado dever-se-á es
perar que qualquer deformação do espaço-tempo em torno do Sol tenha uma
simetria esférica. Isto é, fora os coeficientes indicados em (16.6b),
outros fatores que deverão aparecer serão funções apenas da variável rã
dia] r. Da equação (16.6b) nota-se que os coeficientes de (dt) 2 e
(dr) 2 são os únicos que não dependem de r. Desta maneira, tenta-se
para (ds) 2 a seguinte relação:
- 197 -
(ds)2 = X(x1)
(dx1)2 - x1 2 (dx2)2 - x 2 sen 2 x 2 (dx 3 ) 2 +
+ (dx4)2 , (16.7)
onde r=x 1 , 6 =x 2 , •=x 3 , ct=x'
Na expressão (16.7) não aparecem termos de produtos cruza
dos dx 1 dx 3 Ci fl, porque, como se está considerando urna simetria esfé
rica, o que equivale a considerar um espaço isotrópico e homogneo, mu
danças no sinal de dx' trariam como consequncia uma mudança na expres
são para (ds) 2 , o que equivaleria a dizer que o espaço não isotrópi
co, contradizendo o postulado inicial.
Da relação (16.7) pode-se ver que:
À i 2 i 2 22
-e ; g22 = -x ; = -x sen x ; 944 = e
(16.8)
gjj = O para ij
As funções x(x') e U(x') devem ser tais que:
um x(x 1 ) = lim v(x 1 ) = O x'-*oo
(16.9)
uma vez que, muito longe da massa estelar, o espaço deve ser o Euclidia
no de Minkowski. As funções À e v são determinadas de maneira que o
tensor fundamental (16.8) satisfaça a equação (16.8) que, por sua vez,
pode ser colocada na forma:
ím) ín . . = 1]
tt mi R
i
ím 1 a + a
2 ln / -det
ax1 ax 3
- {} ln/ -detg E O
(16.10)
(Na dedução desta expressão, utilizou-se a identidade:
1 a det g =--- .I n / ±det q 2 det g ax 1 ax 1
e corno det g negativo, escolhe-se o sinal apropriado). Encontrando
os valores para todos os sTrnbolos de Christoffel, verifica-se que, dos
64 sTrnbolos, somente 9 são diferentes de zero. Estes são:
_2_ [ii = , —x í i 'l
{ 1 }
I 2 dx' ' 122i
-x a , = _xle_ X sen 2 x2 ,
33
É
1 u-X d,; Í11 í21 12J i =—a -, =-senx 2 cosx 2 , =- j I 2 dx 1 [33) 12 x 1
1 1
= ctgx2, 1 4} =1
.4:? { 13} 123j 14 2
- 199 -
Substituindo estes simbolos na equação (16.10), verifica-
-se que das 16 equações possíveis somente 4 são diferentes de zero, sen
do apenas 3 delas independentes!!
R I , = l'2 + - 'Au' - = O 4 2 4 r
R22= 1 + 'r(v'-x') - 1 = O
(16.11)
2
R44= aV_Àí1 V " + À'v' - - 1 = 2 4 4 rj
Nestas expressões voltou-se, por motivos de simplificação, anotação ori
ginal, onde x 1 = r e v ' = . Da primeira e terceira equações de dr
(16.11), vem que:
À = - v
Integrando esta expressão e lembrando a condição (16.9), tem-se:
x(r) = - v(r)
(16.12)
Substituindo este resultado na segunda das equações (16.11)
e integrando a equação diferencial de primeira ordem resultante, tem-se
finalmente:
- 200 -
= 2m (16.13)
r
onde m uma constante de integração.
Desta maneira, obtem-se o desejado tensor fundamental, ex
presso no comprimento elementar, do espaço quadridimensional (16.7):
(ds) 2 = - (dr) 2 - r2(de)2 - r 2 sen 2 0(d) 2 + í1 - 2m
(16.14)
onde T = ct.
Naturalmente, muito longe da massa estelar (ou seja, quan
do r ± ou tambëm quando m = 0), a expressão do comprimento elemen
tar e o correspondente ao espaço 'plano", ao passo que, para distâncias
menores (m t 0), R? . O o espaço curvo. ikj
16.3- ORBITAS PLANETÁRIAS
A determinação da trajet6ria de uma particula livre, num
espaço curvo, ë dada pela equação das geodésicas (15.17)
" d2xÍ í j 1 dxm d (16.15) ds 2 mnj ds ds
- 201 -
Com os valores das componentes do tensor fundamental, que foram determi
nadas na Seção 16.2, fica evidente que possivel a determinação da tra
jet6ria de uma particula no espaço-tempo curvo descrito pelas componen
tes do tensor fundamental:
= -1 -r 2 ; 9 3 3 = -r 2 sen2 e ; 44 = 1
2m r
r
g. = O para ij
Utilizando os valores dos 9 simbolos de Christoffel (diferentes de zero)
indicados na solução de Schwarzschild, na equação (16.15) obtêm-se as
seguintes 4 equações correspondentes a cada uma das coordenadas x' =
= e, x3 = ,
X4 =
( '2 Ç '\2 ( \2 d2r 1
1 dr -xldei - 2 d* 1 v-X ldTj
ds 2 2 [di tds) [dsj 2 dsJ —+—À--- -re 1-1 -re sena— ~ —e v'- = o
(16.16)
( "2 d 2 2 dr g
- cose i-t-j = o , (16.17) - + - - sena ds 2 r ds ds Ldsj
~ ? + 2 ctge g = , (16.18) ds 2 r ds ds ds ds
d 2T + e_V2. ±: d r = o (16.19) ds 2 dr ds ds
- 202 -
Observe-se que uma solução (quase trivial) da equação (16.17) :
(16.20) 2
Esta solução significa que uma particula colocada no plano equatorial
permanecerá sempre neste plano. Ê claro, "plano equatorial" significa
qualquer plano que contenha a origem de coordenadas, uma vez que a ori
entação do sistema arbitrário. Com a solução O = . , as equações 2
(16.16) e (16.18) simplificam-se:
( \2 ( \2 \)-X V. 'j2
d 2 r 1 Idri —XdI 1 d-rj = o + - v 1-1 - r a i ~ - a
ds 2 2 dsJ [dsj 2 [dsj
(16.21)
2 dr db + - - . = o
ds 2 r ds ds
Observe-se que a segunda destas equaç6es ë uma diferencial exata:
= a ds dsj
de onde:
= k = constante . (16.22) ds
- 203 -
Outra equação de fãcil integração a (16.19):
d 2T -vg 4i + = o ds 2 ds ds
+ .tíï .ji = ds 2 ds ds
= 0 ds ds
e = C = constante ds
(16.23)
Finalmente, substituindo LT de (15.50), de (16.22) e (drJ2 de
(16.14), onde do = 0, na equação (16.21), e lembrando (16.12)e (16.13),
tem-se:
d 2 u m + u = - + 3m Li 2 (16.24)
onde se fez a troca u = 1 . Esta ultima equação, junto com a (16.22)
que, por sua importãncia, aqui se reescreve:
dó - k
ds - (16.22)
- 204 -
são as equações que podem ser comparadas com as previstas pela teoria
Newtoniana correspondente ao problema da orbita de uma particula (por
exemplo, um planeta) no campo gravitacional de uma grande massa central
m (por exemplo, o Sol):
d 2 u Gni1 - + u = - (16.25)
= h (16.26) -
dt r2
onde r, u e são as mesmas variaveis utilizadas, h é também uma
constante de integração e G é a constante gravitacional.
Para que a comparação seja completa é necessãrio ainda es
clarecer a natureza das variveis constantes m e k e da variável
ds que aparece na relação (16.22). Lembra-se que longe da massa este
lar tem-se que
(ds) 2 = - (dx 1 ) 2 - (dx 2 ) 2 - (dx 3 ) 2 + c 2 (dt) 2
~ ds dtI
2 ( ( \2 ( 2 + x±
) dt ) td t tdtj
V 2 = -v 2 + c2 = c2{ 1 (16.27)
c2 )
- 205 -
Para valores ti-picos de velocidade planetária
( "2 1 ds -
1 - c 2 ,
tdt) -
de onde
ds = cdt
Assim:
d = d = k
ds cdt
Chamando kc = h, tem-se que
m - c 2 m
- h 2
As equaç6es (16.24) e (16.22) podem ser reescritas da seguinte maneira:
d 2 u c 2 m 3m U2 , (16.28) d 2
= ±. (16.29) dt r2
- 206 -
Agora a comparação é direta identificando-se que c 2m = Gm 1 de onde
m =2m1 . Das relações (16.25) e (16.28), observa-se a presença do ter c 2
mo 3mu 2 , cujo valor comparativo pode sercalculado da seguinte maneira:
1 + h 2 u2 = 1 + 3t1
2 =
c 2 r 2 +
( 3r 2 1 h 1 1 - c2
2
L r 2 J = 1 + 2
c 2 dt
Para o caso de uma órbita terrestre: = 2 x i: , r = 1.5 XI013
dt seu cm, c = 3 x 1010 . Logo: 3x r fi± = 3 x io « 1. Portanto,
seg c dt - o terno 3 mu 2 , para o caso da Terra, e completamente desprezivel. No en
tanto, este termo tem importância para planetas com excentricidade maior
do que a Terra (cuja excentricidade é de apenas 0,016), os quais no pe
riélio se aproximam do Sol. Isto porque a curvatura do espaço é maior
nas regiões próximas do Sol do que nas afastadas. Este é o caso do pla
neta Mercrio, cuja excentricidade é (0.20), um dos maiores do sistema
solar.
De acordo com a teoria Newtoniana, a solução da equação
(16.25) é a elipse:
r = 1
(16.30) Gm1[1 - ecos( - w) 1
onde e é a excentricidade e w a longitude do eixo maior da elipse.
Agora, devido à presença do termo 3mu 2 , na expressão (16.28), a órbita
não é exatamente uma elipse, mas sim uma espécie da " espiral-elíptica " ,
na qual a trajetória percorrida numa órbita não é repetida na seguinte,
causando uma precessão do eixo maior da elipse.
- 207 -
Para o caso do planeta Mercúrio, segundo a teoria
Newtoniana, urna precessio do periélio é produzida pela presença dos
outros planetas. Câlculos muito precisos indicaram que a precessão es
perada era de 531" do arco por século, ao passo que os dados de observa
ç6es, por mais de um século, revelaram que a precessão era de 573" de
arco por século, existindo, portanto, uma diferença inexplicãvel de42".
Contudo, resolvendo a equação (16.28) pelo método das perturbaç6es, é
possível calcular o avanço do periélio para cada õrbita:
6Tr Gm 1 rad (16.31) = -
ac 2 (1 -e 2 ) rev
onde a é o eixo maior da elipse. Corno o ano niercuriano é de aproxi
madamente 88 dias, em 1 século completa 415 revoluç6es. Portanto:
Aw = 415 ów 42"
Isto significa que a lei de Newton é apenas urna aproximação da verdadei
ralei da gravitação.
MEME
\
é é é - - - --'
- - e -a- 1 - - % 1 _••• -
1
.4 •__é :._ é' _I -------- --
-- e, --
Fig. 16.1 — Concepção bidimensional de um espaço curvo devidopresença
de uma massa estelar.
Como ilustração para o melhor entendimento das õrbitas
planetárias, é interessante imaginar que o espaço onde se movimenta um
planeta é um espaço bidimensional curvo, devido à presença de unia estre
Ia. Assim, a estrela cria, de certa maneira, um poço de "potencial" si
métrico da forma mostrada na Figura 16.1. Nesta figura, as linhas fe
chadas tracejadas representam equipotenciais onde a curvatura é a mesma
e as tracejadas abertas representam linhas geodésicas que passam pela
estrela. Devido simetria do poço, fica evidente que um corpo p1anet
rio, com movimento inercial ao longo das equipotenciais, descreveré tra
jet6rias circulares. Corpos planetãrios com 6rbitas excêntricas, porém
de peri&lio muito afastado (Plutão), terão õrbitas praticamente elipti
- 209 -
cas, uma vez que a diferença da curvatura do espaço que encontram na
sua trajetória é mTnima. Entretanto, corpos planetários de órbitas ex
cêntricas com periélio nas proximidades do Sol (Mercúrio), tal como o
mostrado de maneira exagerada pela linha continua grossa na Figura 16.1,
são as que sentem em maior grau a diferença da curvatura do espaço na
sua trajetória, dando origem às órbitas ellptico-espirais.
Na mesma Figura 16.1, com linha contínua fina, é indicada
uma linha geodésica que corresponderia à trajetória seguida por um fel
xe de luz passando muito perto da estrela. Note-se que, de acordo com
o diagrama, seria de se esperar uma deflexão ?ia trajetória do feixe de
luz ao passar perto da estrela. Esta deflexão é calculada partindo da
relação (16.24), a qual fez parte da solução da equação das geodésicas.
O valor da deflexão total calculado é de 1.75 segundos do arco e o vã
lor experimental medido durante os vários eclipses solares e, mais mo
dernamente, através de emissões de radio-fontes pontuais, é de
1.73 ± 0.05 segundos de arco!! Esta é mais uma comprovação de que a
teoria gravitacional de Einstein, que em si consiste na base da Teoria
Geral da Relatividade, é a que rege as leis da fÍsica, especialmente no
espaço sideral.
Outro fato que vale a pena apontar, aproveitando o exemplo
ilustrativo mostrado na Figura 16.1, é que se a densidade de massa da
estrela aumentar, o poço de potencial iria ficar mais "fundo" aumentan
do mais ainda a curvatura do espaço circundante. De fato, se a densida
de aumentar indefinidamente, poder-se-ia cogitar da criação de uma sin
- 210 -
ção de unia singularidade no espaço ("furo" no espaço sideral). Esta co
gitação toma forma de verdade quando se identifica, na equação (16.14),
que o ponto:
r = 2m
(16.32)
representa unia singularidade da equação. (Paul A.M. Dirac, no seu livro,
demonstra que o ponto r = 2 m ê unia singularidade aparente da equação
(16.14)) O raio r ê chamado de raio de Schwarzschild e corresponde
ria ao raio da esfera (contando toda a massa estelar) de um "buraco ne
gro" (black hole). Um buraco negro õ definido como uma região singular
no espaço-tempo de onde nada pode escapar, nem mesmo a luz. Os buracos
negros são temas da pesquisa moderna em astroflsica. Para o caso do Sol,
r = 2.94 km; para a Terra, r = 8.8 mm.
16.4- EQUAÇOES DE MAXWELL NA RELATIVIDADE
A teoria gravitacional de Einstein õ a base fundamental da
chamada Relatividade Geral que, em essência, a formulação das leis da
fisica levando em conta a curvatura do espaço (_ tempo) tetradiniensio
nal. A Relatividade Restrita (ou Especial) relaciona as observações fi
sicas de dois observadores, cujos sistemas da referência movimentam-se
com velocidades relativas constantes, postulando que as leis fisicas são
as mesmas para os dois sistemas inerciais. Isto e, para a relatividade
restrita o espaço (_ tempo) tetradimensional ê "plano", de maneira que
os elementos do tensor fundamental correspondem ao espaço de Minkowski
(ver Apêndice A), ao passo que a relatividade geral considera sistemas
- 211 -
não-inerciais (sujeitos à aceleração) que incorporam a gravitação, que
é interpretada como eventos que se realizam num espaço curvo.
16.4.1- Eouac6es de Maxwell na Relatividade Restrita
No sistema de unidades SI (MKS racionalizado), as equa
ç6es de Maxwell da eletrodinâmica são dadas por:
E = M 1 (16.33) CO
B = O , (16.34)
DB (16.35)
1 3E Vx B = o+ - , (16.36) -
- c 2 Dt
onde E e 8 são campos elétrico e magnético, respectivamente; p e 3
são densidades de carga e corrente, respectivamente; co é a constante
de permissividade; T'0 é a constante de permeabilidade e c é a velo
cidade da luz. Por outro lado, os campos E e B são relacionados com
o potencial elétrico, ' , e com o vetor potencial magnético, A, medi
ante:
DA E = - -
ât (16.37)
- 212 -
= V
(16.38)
Com as componentes contravariantes de A e com potencial
escalar , pode-se formar um vetor contravariante de quatro componen
tes:
= Al , V 2 = A 2 , V 3 = A3; V4 =
Assim, as tr&s componentes contravariantes de E, são:
E' = - .2Y_ - 14
BV 4 E 2 = ---- - c— = (16.39)
E 3 = -- -- - c--- =F 34 x 3
onde, como antes, x 4 = ct. A notação E 14 é conveniente para o que
se segue. De maneira semelhante, as componentes contravariantes de B
são:
- 213 -
= -•-- - = F 23 9X2 âx,
8 2
(16.40) Bx'
v2
Note-se que as componentes da grandeza F13 (que logo
mais será reconhecido como um tensor) determinam os vetores E e B do
campo ei etromagntico.
Lembrando das propriedades do tensor fundamental de abai
xar 3ndices contravariantes, e utilizando os elementos do tensor funda
mental do espaço-tempo de Minkowski (equação (A.6) do Apêndice A):
911=922=933=- 1 J, 944 = C
2
(g.. = 0 para ii j) tem-se que:
t2. 3 . - V1 = -v , v2 = -v , ¶
'; 3 = -¶1v - V
Desta maneira:
av i ri r c - c — -- - - -
Dx'
- 214 -
Analogamente,
E 2 = F24 = -F42
E 3 = F34 = -F 3
= E23 = -E 32
= E 31 = -E 13
= F, 2 =
(i.4i)
Assim, obtém-se urna outra grandeza cujas componentes p0
dem ser colocadas na seguinte forma matricial:
O B 3 -B 2 E'
E = -B 3 O B' E 2
B 2 -B' O E 3
-E' -E 2 -E 3 O
(16.42)
Pode-se notar que E é uma matriz anti-simétrica que ré
presenta as grandezas E e B do campo eletromagnético. Na forma in
dicial, esta matriz pode ser expressa, de acordo com as definiç6es
(16.41), na forma:
3V. DV.
E.. =1 (í,j = 1, 2, 3, 4) , (16.43)
13 âx i Dxi
onde se deve lembrar que a constante c vai associada (como fator c')
coordenada x 4 . Esta expresséo corresponde a um tensor covariante de
segunda ordem, conforme mostra a equaçéo (14455). Como conseqUência,
av1
axi
av. J
a xk
a
ax'
a Vk
ax3
- 215 -
F13 é também um tensor. Os tensores F., e F 1 são chamados de 13 tensores do campo eletromagnético
Derivando a expressão (16.43) ou, mais apropriadamente,to
mando o gradiente desta expressão e trocando os índices convenientemen
te, formam-se as seguintes expressões:
aF13. . -
ax axk
aF. a jk -
ax'
aF a ki ax 3 ax 3
av av. k 1
ax1 axk
Somando membro a membro as três expressões, tem-se:
aF. . aF aF 11 + i + ki = o
ax' 3 ax (16.44)
Dando valores numéricos aos Indices e identificando os elementos do ten
sor com os da matriz (16.42), chega-se à conclusão de que a última equa
ção é a expressão simultânea das equações (16.34) e (16.35), que fazem
parte das equações de Maxwell.
- 216 -
Das relaç6es (16.39) decorre que:
Eik = -F'
Derivando estes elementos em relação às coordenadas x (ou seja, to
mando o divergente destes elementos), e comparando o resultado com a
equação (16.35), tem-se:
- 1 = --7 — p í
Dx' CO (1 4). (16.45)
Por outro lado, fazendo a mesma operação com os elementos
E'', chega-se a:
aB,DF 1 ' DE 12 + DF 13 + 1 DF = - - i 3E 1
Dx' Dx 2 Dx 3 c Dx 4 Dx 3 c Dx 4
Comparando este resultado com a equação (16.36), identi
fica-se que:
li
= 1.10 DX'
O leitor pode verificar, trabalhando com E2' e E31 , que:
k J , (k = 1, 2, 3) . (16.46)
Dx 1 -
- 217 -
As relações (16.45) e (16.46), quando somadas membro a
membro, podem ser expressas mediante uma Ejnica relação:
aFki k T03 + — P.
Co
Todavia, chamando:
Ck = lJoJk (k = 1, 2, 3)
C4 = — p CO
tem-se, finalmente,
E ck
(16.47) x 1
onde Ck pode ser chamado de vetor contravariante de "densidade de ele
tricidade". Esta ultima equação, imagem da (16.44), representa a ex
pressão simultânea das equações restantes de Maxwell (16.33) e (16.36).
As equações (16.44) e (16.47) podem ainda ser colocadas
numa notação mais simplificada, observando que o operador --- ,naequa ax i
ção (16.47), funciona como um operador covariante (uma vez que existe
contração). Assim, chamando
- 218 -
Fk i ____ Eki
. = . e ii
=
as equações (16.44) e (16.47), respectivamente, ficam:
+ F j
. k'i + F O ki'j =
' ( 16.48)
,1 (16.49)
Desta maneira tm-se colocado as equações de Maxwell numa forma tetradi
mensional , que corresponde à forma da relatividade restrita.
16.4.2- Equações de Maxwell na Relatividade Geral
Lembra-se que o tratamento seguido ati aqui vã] ido
apenas para o caso da relatividade restrita que, sob o ponto de vista
de um espaço Riemaniano, foi identificado como sendo Euclidiano tetradi
mensional. Para encontrar as relações equivalentes para o caso rela
tivistico geral, que vem a ser sin&nimo de espaço Riemaniano curvo te
tradiniensional, lembra-se que as derivadas em relação às coordenadas do
espaço Euclidiano devem ser substituidas pelas derivadas covariantes
respectivas. Assim, chamando:
F.. = V E.. E - - i J LF.
n , ( 16.50)
1 ij k k i axk [ikj Ill] jk
- 219 -
onde
v. V. F
1] .. = v
J . v 1 . - v 1 . v J . = -4 - -4
pode-se ver que a definição relativTstica geral do tensor do campo ele
tromagntico é a mesma que a da relatividade restrita.
Permutando os Tndices de Ffjk e somando as três expres
sdes obtidas, tem-se:
F.. ~ F. . + E = E.. + E. - + E . - = O - (16.51) ij:k jk:i ki.j ij,k jk,i ki,j
Este resultado significa que a equação (16.48) é também
vãlida para a relatividade geral. Isto implica que as duas equaçdes
de Maxwell, (16.33) e (16.34), permanecem inalteradas rum espaço
Riemaniano curvo.
Resta encontrar a expressão relativistica geral da equação
(16.49). Para isto, aplica-se o mesmo tratamento anterior. Assim, a
equação (16.49), escrita em termos da derivada covariante, fica:
F ki Ck
. (16.51)
- 220 -
No primeiro membro tem-se uma contração interessante, no slmbolo de
Christoffel correspondente, a saber:
F ki aFki +
Dx'
k(1 +
Mi ni (16.52)
Da relaço (14.70), tem-se que:
1 / det g 1 nit /detg
Por outro lado, e dado que Em! & um tensor anti-simtri
co, o segundo termo do segundo membro da equação (16.52) fica:
ík)
Mi j L
í k F = - FF 1 =
1 mi j
k -
um
Assim,
k 2
Mi
Portanto, este termo nulo.
ELO
- 221 -
Com estes resultados, a equação (16.52) fica:
ki E aF + Fk1 r «det g
/det g' ax 1
ou
/det F7 -r (F'< ' /det g) Bx
Finalmente, multiplicando a equação (16.51) por v"detg'
e substituindo a relação recentemente encontrada, tem-se:
-- (Fki /det g) E v'det ' ck
(16.53)
Esta a forma relativTstica geral das outras duas equa
çães de Maxwell. Esta expressão, comparada com a (16.47),mostra a seme
lhança qualitativa da mesma equação fisica, tanto na relatividade res
trita como na geral. Derivando a relação (16.53), tem-se:
ax' a x k (Fki /dt g') = -
(/det g' ck)
- 222 -
Devido à propriedade anti-simétrica do tensor F ° , tem-
-se que:
a2 (Eki /det 1 ) = - ( Fik /det g')
ax i aJc ax 1 9X k
de onde vem que:
a2 (Fki /det7) = o
ax 1 a xk
ou, o que vem a ser mais significativo ainda:
' - g Ck ) = O . ( 16.54) aa
( x'
/det
Esta equação expressa a conservação da densidade de eletricidade na re
latividade geral.
MURIM
A nPinyt'r
ESPAÇO-TEMPO DE P'IINKOWSKI
Considerem-se dois sistemas cartesianos derefer&icia como
os indicados na Figura A.1, o 5 fixo e o 5' que se movimenta com ve
locidade v = v &. No espaço-tempo da Física, o tempo t considera
do a quarta coordenada que define um ponto no espaço tetradimensional.
Assim, um ponto de coordenadas x, y, z e t no sistema S, tem as se
guintes coordenadas no sistema 5':
= x - vt
= y
7' = z
t i = t
(A.1)
z
1
Fig. A.1 - Dois sistemas de referencia, o 5 fixo e o 5' que se movi
menta com velocidade v = v
- 225 -
Estas relações de transformação de coordenadas são conheci
das como relaç5es de Galileo, as quais são apropriadas quando v« c (c =
velocidade da luz no vácuo). Porém, quando v começa a ter: alguma impor
tncia em relação-a c, então as relações de transformação são as de
Lorentz:
= y(x - vt)
y I = y ,
z' = z (A.2)
ct' = y(ct -$x)
onde = e •r= c V, 1 - s 2
Nas relações (A.2) encontram-se incluldos os efeitos rela
tivsticos de contração de FitzGerald-Lorentz (contração de um comprimen
to orientado na direção de v dQ sistema S', para um observador situa
do no sistema S)ede retardação (para um observador do sistema S 1 , um
re16gio do sistema 5 funciona mais lentamente do que um similar do 5').
As relações de transformação (A.2), depois de multiplicar a última des
tas equações por c, podem ser escritas na seguinte# forma matricial:
= (A.3)
- 226 -
onde,
.:ï 0 O -yS
y O 10 O = e !4:
z O 0 1 O
ct O 0
Pode-se ver, das relações (A.2), que:
c 2 (dt') 2 - ( dx') 2 - ( dy') 2 - ( dz') 2 = c.2 (dt) 2 - ( dx)Z (d?) 2 '- (dz) 2 .
Isto , a grandeza:
= (d(ct) ) 2 - ( dx) 2 - - ( dz) 2
(A.5)
identificada como o quadrado do elemento de comprimento no espaço tetra
dimensional, é um invariante. Este espaço, cujo tensor fundamental tem
componentes:
g= g 22 = 9 3 3 = - 1; 9 44 = 1, g.. = O (ij) (A.6)
é conhecido como o espaço-tempo de Minkowski.
- 227-
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AGRADECIMENTOS
Expresso minha gratidão ao Dr. S.L.G. Dutra pela revisão
cuidadosa deste trabalho. Ao Curso de GeofTsica Espacial que viabili
zou a datilografia através dos recursos CAPES.À Srt Maria da Conceição
Alves pela paciência em decifrar o manuscrito e coloca-lo na forma atual.