funÇÕes vetoriais
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FUNÇÕES VETORIAIS
Em geral, uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a
um elemento de sua imagem. Uma função vetorial é uma função cuja o domínio é
um conjunto de números reais e cuja a imagem é um conjunto de vetores.
Em particular, isso significa que para todo numero t no domínio de r existe um
único vetor de V3 denotado por r(t). Se f(t), g(t) e h(t) são componentes do vetor
r(t), então f, g e h são funções de valor real chamadas funções componentes de r e
escrevemos:
𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , (𝑡) = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌
Como na maioria das aplicações a variável independente é o tempo, utilizaremos
a letra t para indicá-la.
LIMITE
O limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os limites de suas
funções componentes.
Se 𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 , 𝒈 𝒕 , 𝒉𝒉(𝒕) , então:
𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂
𝒓 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂
𝒇 𝒕 , 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂
𝒈 𝒕 , 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂
𝒉𝒉(𝒕)
desde que estes limites existam.
Os limites da função vetorial obedecem as mesmas regras dos limites de uma
função real.
EXEMPLOS
Determine 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟎 𝒓 𝒕 , onde 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡3 𝒊 + 𝑡𝑒−𝑡𝒋 +𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡k
Resp: i + k
CONTINUIDADE
Uma função r é contínua em a se:
𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂
𝒓 𝒕 = 𝒓(𝒂)
De acordo com a definição de limite, r é considerada contínua em a se e somente
se suas funções componentes f, g e h são contínuas em a.
As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente
relacionadas. Se f, g e h são contínuas em um intervalo I, então o conjunto C de tds
os ptos (x, y, z) no espaço para os quais:
x = f(t) y = g(t) z = h(t)
onde t varia no intervalo I é chamado curva espacial. As equações acima são
denominadas equações paramétricas de C e t é conhecido como parâmetro.
DERIVADA
A derivada r’ de uma função vetorial é definida do mesmo modo que as funções
reais:
𝑑𝑟
𝑑𝑡= 𝑟′ 𝑡 = lim
→0
𝑟 𝑡 + − 𝑟(𝑡)
se este limite existir.
P: vetor posição r(t);
Q: vetor posição r(t + h);
𝑃𝑄 : vetor secante r(t + h) – r(t);
𝑟 𝑡 + − 𝑟 𝑡
: mesma direção e sentido que
𝑟 𝑡 + − 𝑟 𝑡 ; (escalar 1 )
A reta tangente a C em P é definida como a reta que passa por P e é // ao vetor
r’(t). O vetor tangente é dado por:
𝑇 𝑡 =𝑟′(𝑡)
𝑟′(𝑡)
TEOREMA:
Se 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , (𝑡) = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌, onde f, g e h são funções
diferenciáveis, então:
𝑟′ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ′(𝑡) = 𝑓′ 𝑡 𝒊 + 𝑔′ 𝑡 𝒋 + ′ 𝑡 𝒌
EXEMPLO 1: Dada a função vetorial 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡3 𝑖 + 𝑡𝑒−𝑡𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑘:
a) Encontre a derivada de r(t).
𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2𝑖 + 𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡 𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑘
𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2𝑖 + 1 − 𝑡 𝑒−𝑡𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑘
b) Encontre o vetor tangente no ponto onde t = 0.
𝑇 0 =𝑟′ (0)
𝑟′ (0) =
𝑗 + 2𝑘
1 + 4=
1
5𝑗 +
2
5𝑘
EXEMPLO 2: Determine as equações paramétricas para a reta tangente a hélice
com equações paramétricas
𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧 = 𝑡
no ponto 0, 1, 𝜋2 .
Solução:
𝑟 𝑡 = 2 cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡
𝑟′ 𝑡 = −2 sen 𝑡, cos 𝑡, 1
ponto 0, 1, 𝜋2 , parâmetro t = 𝜋 2 → 𝑟′ 𝜋 2 = −2, 0,1 .
Recordando que as equações paramétricas de uma reta que passa por (x0, y0, z0) e
é // ao vetor 𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 são dadas por:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
A reta tangente passa por 0, 1, 𝜋2 e é // a 𝑟 ′ 𝜋 2 = −2, 0,1 .
Temos: 𝑥 = −2𝑡 𝑦 = 1 𝑧 = 𝜋2 + 𝑡
Do mesmo modo que para as funções reais, a derivada segunda de uma função
vetorial r é dada pela derivada de r’, ou seja, r’’ = (r’)’.
Por exemplo, a segunda derivada do exemplo anterior é:
𝑟′′ 𝑡 = −2 cos 𝑡, − sen 𝑡, 0
REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis, c é um escalar e f, uma
função real. Logo,
𝑑
𝑑𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 + 𝑣′ 𝑡 ;
𝑑
𝑑𝑡 𝑐 𝑢 𝑡 = 𝑐 𝑢′ 𝑡 ;
𝑑
𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′ 𝑡 ;
𝑑
𝑑𝑡 𝑢 𝑡 . 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 . 𝑣′ 𝑡 ;
𝑑
𝑑𝑡 𝑢 𝑡 × 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 × 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 × 𝑣′ 𝑡 ;
𝑑
𝑑𝑡 𝑢 𝑓 𝑡 = 𝑓 ′ (𝑡) 𝑢′ 𝑓 𝑡 ; (Regra da Cadeia)
INTEGRAL
A integral definida de uma função vetorial contínua r(t) pode ser estabelecida da
mesma forma que uma função real, exceto que a integral resulta em um vetor.
Expressando a integral de r em função de suas componentes f, g e h, temos:
𝑟 𝑡 𝑑𝑡 = lim𝑛→∞
𝑟 𝑡𝑖∗ ∆𝑡
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
𝑓 𝑡𝑖∗ ∆𝑡
𝑛
𝑖=1
𝑖 + 𝑔 𝑡𝑖∗ ∆𝑡
𝑛
𝑖=1
𝑗 + 𝑡𝑖∗ ∆𝑡
𝑛
𝑖=1
𝑘
𝑟 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑏
𝑎
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑗 + 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑘
Pelo TFC:
𝑟 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑏
𝑎
𝑅(𝑡) 𝑎𝑏 = 𝑅 𝑏 − 𝑅(𝑎)
EXEMPLO: Se 𝑟 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 2𝑡 𝒌, encontre 𝑟 𝑡 𝑑𝑡𝜋
2
0.
Sol: 𝑟 𝑡 𝑑𝑡𝜋
2
0= 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒊 − cos 𝑡 𝒋 + 𝑡2 𝒌
0
𝜋2
= 2𝒊 + 𝒋 + 𝜋2
4𝒌
COMPRIMENTO DE ARCO
Se 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , (𝑡) , 𝑎 ≥ 𝑡 ≥ 𝑏, onde f’, g’ e h’ são funções contínuas, temos:
𝐿 = 𝑓 ′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2+ ′ 𝑡 2𝑑𝑡𝑏
𝑎
𝐿 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+ 𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
+ 𝑑𝑧
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡𝑏
𝑎
= 𝑟′ (𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Exemplo: Calcule o comprimento do arco da curva da hélice circular de equação
𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌
do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 2, 2π).
Sol: 𝑟′ 𝑡 = −sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌
𝑟′ (𝑡) = −sen t 2 +𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 1 = 2
parâmetro t: 0 ≥ 𝑡 ≥ 2𝜋
𝐿 = 2 𝑑𝑡
2𝜋
0
= 2 2𝜋
A função comprimento de arco pode ser dada, para um parâmetro genérico qq,
por:
𝑠 𝑡 = 𝑟′(𝑢) 𝑑𝑢
𝑡
𝑎
= 𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
+ 𝑑𝑦
𝑑𝑢
2
+ 𝑑𝑧
𝑑𝑢
2
𝑑𝑢𝑡
𝑎
onde s(t) é o comprimento da parte de C entre r(a) e r(t).
Diferenciando ambos os lados da equação acima:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑟′(𝑡)
Uma curva pode ser reparametrizada em termos de s substituindo o parâmetro t,
do modo: r = r(t(s)). Assim, se s = 3, (r(t(3)) é a posição do ponto que está a 3
unidades do início da curva.
Se reparametrizarmos
𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌
utilizando a medida de comprimento de arco de (1, 0, 0) na direção de
crescimento de t, temos:
Pto inicial (1, 0, 0) → t = 0
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑟′ (𝑡) = 2
𝑠 𝑡 = 𝑟′ 𝑢 𝑑𝑢𝑡
0
= 2𝑑𝑢𝑡
0
= 2𝑢 0
𝑡= 2𝑡
parâmetro t: 0 ≥ 𝑡 ≥ 2𝜋 → 2 2𝜋
CURVATURA
A direção de uma curva pode ser dada pelo vetor tangente (figura).
Podemos observar que T(t) muda de direção devagar qdo a curva C é
razoavelmente reta, mas muda de direção mais rápido qdo C se dobra ou retorce
mais acentuadamente.
A curvatura de C em um certo ponto é medida de quão rapidamente a curva muda
de direção no ponto.
Def: A curvatura de uma curva é
ĸ = 𝑑𝑇
𝑑𝑠
onde T é o vetor tangente.
Usando a Regra da Cadeia para usarmos o parâmetro t (em vez de s):
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
𝑑𝑇
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
ĸ = 𝑑𝑇
𝑑𝑠 =
𝑑𝑇𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑡
Mas, como visto anteriormente,
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑟′(𝑡)
então,
ĸ(𝑡) = 𝑇′(𝑡)
𝑟′(𝑡)
EXEMPLO: Mostre que a curvatura de um círculo de raio a vale 1 𝑎 .
Solução: Círculo na origem e parametrizado,
𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡 𝒊 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋
𝑟′ 𝑡 = −𝑎 sen 𝑡 𝒊 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋
𝑟′ 𝑡 = −𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2+ 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 𝑎
Portanto,
𝑇 𝑡 =𝑟′ (𝑡)
𝑟′ (𝑡) = − sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋
𝑇 ′ 𝑡 = − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋
𝑇 ′ 𝑡 = 1
ĸ = 𝑇′ (𝑡)
𝑟′(𝑡) =
1
𝑎
Outro modo de calcular a curvatura é dado por:
ĸ 𝑡 = 𝑟′ (𝑡) × 𝑟′′ (𝑡)
𝑟′ (𝑡) 3
EXEMPLO: Determine a curvatura da cúbica retorcida 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 , 𝑡3 no ponto
(0,0,0).
Solução: 𝑟′ 𝑡 = 1, 2𝑡, 3𝑡2
𝑟′′ 𝑡 = 0, 2, 6𝑡
𝑟′ 𝑡 = 1 + 4𝑡2 + 9𝑡4
𝑟′ 𝑡 × 𝑟′′ 𝑡 = 𝒊 𝒋 𝒌
1 2𝑡 3𝑡2
0 2 6𝑡
= 6𝑡2 𝒊 − 6𝑡 𝒋 + 2 𝒌
𝑟′ 𝑡 × 𝑟′′ 𝑡 = 36𝑡4 + 36𝑡2 + 4
ĸ 𝑡 = 𝑟′(𝑡) × 𝑟′′ (𝑡)
𝑟′ (𝑡) 3=
36𝑡4 + 36𝑡2 + 4
1 + 4𝑡2 + 9𝑡4 3
2
Na origem, ĸ 0 = 2.
VETOR NORMAL
O vetor normal unitário é dado por:
𝑁 𝑡 =𝑇′ (𝑡)
𝑇′ (𝑡)
e é ortogonal ao vetor tangente.
VETOR BINORMAL
é também um vetor unitário dado por:
𝐵 𝑡 = 𝑇(𝑡) × 𝑁(𝑡)
EXEMPLO: Determine os vetores normal e binormal da hélice circular
𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌
Solução:
𝑟′ 𝑡 = −sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌
𝑟′ 𝑡 = 2
𝑇 𝑡 =𝑟′ (𝑡)
𝑟′ (𝑡) =
1
2 − sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌
𝑇′ 𝑡 =1
2 − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋
𝑇′ 𝑡 =1
2
𝑁 𝑡 =𝑇 ′(𝑡)
𝑇 ′(𝑡) = − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 = − cos 𝑡 , −𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0
𝐵 𝑡 = 𝑇 𝑡 × 𝑁 𝑡 =1
2
𝑖 𝑗 𝑘−𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 1− cos 𝑡 −𝑠𝑒𝑛 𝑡 0
=1
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, − cos 𝑡 , 1
O plano determinado pelos vetores normal e binormal em um ponto P sobre a
curva C é chamado plano normal de C em P.
APLICAÇÕES: Movimento no espaço
O vetor 𝑟(𝑡+)−𝑟(𝑡)
fornece a velocidade média no intervalo de tempo de
comprimento h e seu limite é o vetor velocidade v(t) no instante t:
𝑣 𝑡 = lim→0
𝑟(𝑡 + ) − 𝑟(𝑡)
= 𝑟′ (𝑡)
A rapidez da partícula no instante t é o módulo da velocidade, ou seja:
𝑣(𝑡) = 𝑟′(𝑡) =𝑑𝑠
𝑑𝑡= taxa de variação da distância em rel. ao tempo
No caso de movimento unidimensional, a aceleração é dada por:
a(t) = v’(t) = r’’(t)
EXEMPLO: O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
𝑟 𝑡 = 𝑡3 𝒊 + 𝑡2 𝒋. Determine a velocidade, a rapidez e aceleração no instante
t = 1 e ilustre geometricamente.
Solução: 𝑣 𝑡 = 𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2 𝒊 + 2𝑡 𝒋
𝑎 𝑡 = 𝑟′′ 𝑡 = 6𝑡 𝒊 + 2 𝒋
𝑣(𝑡) = 3𝑡2 2 + 2𝑡 2 = 9𝑡4 + 4𝑡2
Para t = 1:
𝑣 1 = 3 𝒊 + 2 𝒋 𝑎 1 = 6 𝒊 + 2 𝒋 𝑣(1) = 13
EXEMPLO:
Uma partícula se move de uma posição inicial 𝑟 0 = 1,0,0 , com velocidade
inicial 𝑣 0 = 𝒊 − 𝒋 + 𝒌. Sua aceleração é dada por a(t) = 4t i + 6t j + k.
Determine sua velocidade e posição no instante t.
Solução: a(t) = v’(t)
𝑣 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 4𝑡 𝑖 + 6𝑡 𝑗 + 𝑘 𝑑𝑡 = 2𝑡2 𝒊 + 3𝑡2 𝒋 + 𝑡 𝒌 + 𝐶
𝑣 0 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘
𝑣 𝑡 = 2𝑡2 𝒊 + 3𝑡2 𝒋 + 𝑡 𝒌 + 𝑖 − 𝑗 + 𝑘
= 2𝑡2 + 1 𝒊 + 3𝑡2 − 1 𝒋 + 𝑡 + 1 𝒌
v(t) = r’(t)
𝑟 𝑡 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 23 𝑡3 + 𝑡 𝒊 + 𝑡3 − 𝑡 𝒋 + 𝑡2
2 + 𝑡 𝒌 + 𝐷
Para t = 0, temos D = r(0) = i.
𝑟 𝑡 = 23 𝑡3 + 𝑡 + 1 𝒊 + 𝑡3 − 𝑡 𝒋 + 𝑡2
2 + 𝑡 𝒌