Álgebra e análise tensorial

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DO CONTÍNUO

NOTAS DE AULAS (Álgebra e Análise Tensorial)

Sergio Persival Baroncini Proença

São Carlos, Janeiro de 2011.

Introdução à Mecânica do Contínuo - Elementos de Álgebra Tensorial

Autor: Sergio P.B. Proença

1. Espaços Vetoriais Reais Def.1 - Espaço vetorial sobre o campo R dos números reais é um sistema (V,+, R, ) constituído por: - um conjunto não-vazio V cujos elementos são chamados vetores; - uma operação binária + sobre V chamada adição de vetores, cujo elemento neutro será representado por 0; - um campo = (R, +, ), dotado das operações de soma e multiplicação, cujos elementos são chamados escalares, sendo os elementos zero e identidade, representados por 0 e 1, respectivamente; - uma aplicação () de RV em V chamada multiplicação de escalar por vetor, que associa ao par ( , x) o vetor representado por x. Para a operação de adição, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas: a) A adição de vetores é comutativa

,x y y x x y V (1) b) A adição de vetores é associativa

( ) ( ) , ,x y z x y z x y z V (2) c) Existe um único vetor 0 em V, chamado vetor nulo ou elemento neutro, tal

que: x 0 x x V (3) d) Para cada vetor x V , o chamado vetor oposto ou simétrico de x é tal

que:

( )x x 0 x V (4) Def.2 - sejam dois vetores x e y, define-se por vetor diferença ou subtração entre x e y ao vetor resultante da soma de x com o simétrico de y, representado por x - y, ou seja:

( )x y x y (5)



A operação de multiplicação por escalar deve apresentar as seguintes propriedades: e) ( ) ( ) , ex x x V f) 1x x x V g) ( ) , ex x x x V h) ( ) e ,x y x y x y V (6 a,b,c,d) Os exemplos que seguem constituem espaços vetoriais. Exemplo 1: o conjunto dos números reais para as definições usuais de soma e produto. Exemplo 2: o sistema ( , , , )n R das n-uplas de números reais

( , ,..., )1 2 nx e ( , ,..., )1 2 ny sendo ,i i R , em que as operações igualdade de vetores, a adição de vetores e a multiplicação por escalar são definidos por:

se ;

( ,..., )

( ,..., )

1 1 n n

1 1 n n

1 n

x y

x y

x

Exemplo 3: o espaço vetorial V cujos elementos são funções reais de mesmo domínio D tais que ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

f g x f x g x

f x f x

Exemplo 4: o sistema ( , , , )m n R de todas as m n matrizes sobre o

campo , sendo a adição de matrizes e a multiplicação de matriz por escalar operações já conhecidas. 2. Dependência e independência linear de um conjunto de vetores Def.3 - sendo V o espaço vetorial sobre o campo , um subconjunto S com número finito de vetores , , ,1 2 nx x x de V é dito ser linearmente dependente

se existirem escalares ( , ,..., )1 2 n não todos nulos tais que:



1 2 n

1 2 nx x x 0 (7) A notação empregando índices superiores é, por hora, introduzida e será justificada mais adiante. Def.4 - um subconjunto S é dito linearmente independente se para quaisquer vetores não-nulos , ,1 nx x de S, em número finito, e escalares j , a igualdade:

1 2 n

1 2 nx x x 0 implicar em ...1 2 n 0 Exemplo 5: dois vetores (segmentos orientados clássicos) não-colineares no plano são linearmente independentes. Exemplo 6: os monômios 1, x1, x2, ... , xn são vetores linearmente independentes no espaço dos polinômios em x. Evidentemente, neste caso os índices superiores indicam potências. 3. Espaços com produto interno Def.5 - Denomina-se produto interno em V, toda aplicação que associa a cada par de vetores (x,y) de VV um único real denotado por (x . y) tal que: i. x y y x ii. ( )x y x y

iii. x y z x z y z

iv. x x 0 sendo que x x 0 se e só se x 0 (8 a,b,c,d)

Um espaço vetorial com produto interno é denominado Espaço Euclidiano. Exemplo7 - No espaço 2 o produto interno entre x = (x1,x2) e y = (y1,y2) pode ser definido por:

1 1 2 2 1 2 2 1x y x y x y x y x y (9) Exemplo8 - No espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [a,b] define-se produto interno por:



b

af g f t g t dt (10)

Exemplo9 - No espaço das matrizes reais de ordem nn define-se produto interno por: TA B tr A B (11)

onde a operação traço, denotada por tr(.), realiza a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Def.6 - Sendo V um espaço euclidiano, denomina-se norma de um elemento u de V ao número real não-negativo obtido por:

.1

2u u u (12)

A norma assim definida satisfaz às seguintes propriedades: i. u u

ii. / ; u 0 p u 0 0 0

iii. u v u v (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

iv. u v u v (desigualdade triangular) (13 a,b,c,d)

Obs. Qualquer operação que não necessariamente faça uso do produto interno, como na (12), mas que satisfaça às propriedades acima constitui uma norma. Assim o conceito se estende aos espaços vetoriais quaisquer. Def.7 - a distância entre dois elementos x e y de um espaço vetorial V é definida como a norma da diferença entre eles, sendo representada por: ,d x y x y (14)

A medida assim definida satisfaz às seguintes propriedades: i. , ,d x y d y x

ii. , ,d x y 0 se x y e d x x 0 (15 a,b,c)



iii. , ,d x y d x z d z y (a distância é o menor caminho entre dois

pontos) Um espaço com operação distância definida é chamado de espaço métrico. Def.8 - Da desigualdade de Cauchy-Schwarz decorre a definição de ângulo 0 entre dois vetores não-nulos, representada por:

cos ,

x yx y

x y

(16)

Obs. Não se define ângulo entre vetores quando pelo menos um deles é o vetor nulo. Outras definições complementares são também de interesse: Def.9 - Dois vetores x e y são ortogonais se x y 0 ; logo, o ângulo entre

eles é 2

.

Def.10 - Um conjunto de vetores de V é ortogonal se seus vetores forem ortogonais dois a dois. Def.11 - Um vetor x é dito unitário, ou versor, se x 1 .

Exemplo10 - No espaço das funções contínuas no intervalo [-1,1] com produto interno definido por:

1

1f g f t g t dt

(17)

os polinômios ( ) e ( ) 2f t t g t 3t 1 são ortogonais, assim como as funções ( ) cos e ( )f t 2m t g t sen2n t , com m e n inteiros quaisquer. 4. Combinações lineares. Base e dimensão Def.12 - um vetor x do espaço vetorial V é dito ser uma combinação linear dos vetores , ,1 nx x de V se existirem escalares , ,...,1 2 n tais que:



1 2 n

1 2 nx x x x (18) Def.13 - uma base de um espaço vetorial V é um subconjunto de V linearmente independente tal que todo vetor do espaço pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos vetores da base. Existem infinitas bases em um espaço vetorial. Def.14 - a dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independentes do espaço. O espaço V é dito de dimensão finita se admitir uma base finita. O teorema seguinte é apenas enunciado. Teorema1 - Em qualquer espaço euclidiano: i. Um vetor x é ortogonal a todo vetor do espaço se, e só se, x é o vetor

nulo. ii. Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é linearmente independente. Def.15 - Num espaço euclidiano, um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal de vetores unitários. Exemplo10 - Considerando-se o produto interno definido por i ix y x y (i = 1,...,n) , os vetores:

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1

2

n

x 1 0 0 0

x 0 1 0 0

x 0 0 0 1

(19)

são unitários e constituem uma base ortonormal para o n . Os teoremas que seguem são enunciados sem demonstração: Teorema2 - Todo espaço vetorial possui uma base.



Teorema 3 - Num espaço de dimensão finita qualquer conjunto de vetores linearmente independente pode ser estendido a uma base. Corolário - Se V for um espaço de dimensão finita n então: a) Qualquer conjunto de n + 1 vetores de V é linearmente dependente; b) Nenhum subconjunto de V contendo menos de n vetores pode gerar V. Sendo com ( , , ),ie i 1 n uma base de V, qualquer vetor x do espaço dado

por 1 2 n

1 2 nx e e e pode ser escrito segundo uma notação indicial na forma:

i

ix e (20) onde os i são as componentes de x na base ie , também denominadas, por uma razão que ficará clara mais adiante, componentes contravariantes. Nota-se que na notação indicial, a repetição de índices no mesmo termo tem o significado de somatória, sendo o número de parcelas igual à dimensão do espaço. O índice repetido é denominado índice mudo. Aliás, para índice mudo pode-se adotar qualquer letra, de modo que segundo uma mesma base o vetor x pode ser representado indiferentemente por:

i j k

i j kx e e e (21)

uma vez que todos os índices variam de 1 a n . No caso de vetores diferentes, escritos cada um como combinação linear de uma mesma base, é conveniente adotar letras diferentes para os índices mudos. Entretanto, a notação indicial permite representar, por exemplo, um conjunto de m vetores escritos em função de uma mesma base de dimensão n, do seguinte modo:

j

i i jx a e com i = 1, ..., m e j = 1, ... , n (22)

O que é equivalente a:



1 2 n

1 1 1 1 2 1 n

1 2 n

2 2 1 2 2 2 n

1 2 n

m m 1 m 2 m n

x a e a e a e

x a e a e a e

x a e a e a e

(23)

Decorre da definição 15 e do teorema 2 que todo espaço euclidiano de dimensão finita admite uma base ortonormal. Os vetores da base ortonormal verificam a condição:

i j ije e (24)

ou seja: se e se i j i je e 0 i j e e 1 i j . Essas condições são

resumidas na (24) pelo símbolo de Kronecker ij .

Em termos práticos, a base ortonormal pode ser obtida de uma base ortogonal dividindo-se cada vetor pela sua norma. Sejam ie e jf duas bases de Vn (espaço vetorial de dimensão n). Então como

os jf são vetores de Vn, também eles podem ser representados por

combinações lineares dos ie :

i

j j if C e (25 a)

A mesma expressão pode ser colocada em forma matricial admitindo-se, por exemplo, que nas componentes i

jC o índice superior i está associado ao

número de uma linha da matriz C e o índice inferior j ao número de uma coluna. Nessas condições vale também a representação:

Tf C e (25 b)

sendo C interpretada como matriz de mudança de base.

Sendo, por outro lado, i e j as componentes de um vetor x nas bases ie e

jf , respectivamente, então:



i j

i jx e f

Substituindo-se a relação (25 a), segue que:

j i i

j i ix C e e (26)

Como as componentes segundo uma mesma base são únicas, então:

i j i

jC (27 a)

ou ainda, matricialmente: C (27 b)

Sendo a matriz C inversível e conhecidas as componentes i , vale escrever: 1C

ou D , com 1

D C

.

Em notação indicial:

j i j

iD (28) Nota-se, portanto, que a variação das componentes de um vetor escrito na base ie para a base jf se dá com o inverso da matriz que opera a mudança

dos vetores da base ie para os vetores da base jf . Segue daí a denominação

de componentes contravariantes. A condição de que D e C são inversas uma da outra pode ser colocada em notação indicial como:

i k k

j i jC D (29)

onde se fez uso, novamente, do símbolo de Kronecker, mais formalmente definido por:



k

j

0 se k j

1 se k j

(30)

Observa-se que nos vetores a notação com índices superiores das componentes contravariantes é proposital e está para diferenciar das componentes covariantes, que se escrevem em relação a uma base dual e são identificadas por um índice subscrito. Um mesmo vetor pode então ser escrito segundo componentes contravariantes numa base natural ou covariantes numa base dual. Sendo ie

e jg versores das bases natural e dual, ambos se relacionam pela seguinte condição:

j j

i ie g (31) Conclui-se, portanto, que por definição os versores da base dual obedecem a uma relação de ortogonalidade em relação aos versores da base natural regida pela (31). O interesse pela base dual existe quando a base natural não é ortogonal, entretanto, nestas notas, por simplificação, admite-se que as bases naturais adotadas sejam sempre ortonormais, de modo que as componentes naturais e duais se confundem. Nesse caso, o posicionamento dos índices nas representações dos versores da base ou das componentes de vetores em relação a elas torna-se irrelevante. Segue, por exemplo, que o símbolo de Kronecker pode ser representado indistintamente com índices em posição mista, sobrescritos ou subescritos como: j ji

i ji .

Por outro lado, em função de sua propriedade o símbolo de Kronecker pode funcionar, numa dedução, como um trocador de índices, pois:

j i ij (32)

O mesmo símbolo serve, ainda, para indicar a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz ( n n ) como segue:



ij iiija a (33)

(nesse caso fica implícito que: )ii 11 22 nna a a a .

5. Produto vetorial e produto misto O produto vetorial de dois vetores u e v é definido como a operação que apresenta as seguintes propriedades: i. u v v u

ii. u v w u w v w u,v V ; ,

iii. u . u v v . u v 0

iv. 2u v . u v u.u v.v u.v (34 a,b,c,d)

O resultado do produto vetorial é um vetor ortogonal ao plano definido por u e v, como indica a propriedade iii. Em relação a uma base ortonormal de V, a operação produto vetorial é definida por: ijk i j ku v u v e (35)

onde ijk é o operador de permutação, que assume o valor +1 para uma

permutação cíclica ('horária') dos índices i, j e k, -1 para uma permutação anti-cíclica e zero no caso de coincidência nos valores de quaisquer pares ou tripla de índices. Escrevendo-se u e v em função de suas componentes na base ortonormal de V i i j ju u e ; v v e e substituindo-se na relação anterior, conclui-se que:

i j ijk ke e e (36)

Realizando-se o produto interno da anterior por ke e por m ne e resultam,

respectivamente:



ijk i j ke e .e (37)

i j m n ijk mnp k pe e . e e e .e (38)

Da anterior seguem os seguintes casos particulares: - se k = p

ijk mnk i j m n im jn in jme e . e e (39)

- se k = p e j = n

ijk mjk i j m j ime e . e e 2 (40)

- se k = p, j = n e i = m

ijk ijk 6 (41)

As duas últimas relações podem ser verificadas considerando o seguinte desenvolvimento:

ijk mjk i 21 m21 i31 m31 i12 m12 i32 m32 i13 m13 i 23 m23

Tendo-se em vista a (34 d) e a (16), resulta a definição do módulo do produto vetorial:

2 2

2 2 2 2 2

u v u v . u v u.u v.v u.v

u v u v cos u,v

u v u v sen u,v

(42)

A relação do módulo do produto vetorial ao quadrado escrita em componentes fica dada por:



2

ijk mnk i j m n

im jn in jm i j m n

i i j j i i j j

u v u v u v

u v u v

u u v v u v u v

(43)

Seguindo um procedimento análogo é possível demonstrar que:

u v w u.w v u.v w (44)

Geometricamente o módulo do produto vetorial coincide com a área do paralelogramo definido por u e v. Assim, admite-se a denominação "vetor área" para o vetor resultante do produto vetorial de dois vetores com módulo igual à área do paralelogramo por eles definido e com direção normal ao seu plano. O produto misto de vetores, simbolizado por: u v .w é definido pela

operação:

1 1 1

ijk i j k 2 2 2

3 3 3

u v w

u v .w u v w u v w

u v w

(45)

O produto misto apresenta as seguintes propriedades:

i.

u v .w w u .v v w .u

v u .w u w .v w v .u u,v,w V

ii. u v w .d u w .d v w .d u,v,w,d V ; ,

iii. w. u v 0 se os vetores são linearmente dependentes.

O resultado do produto misto, em módulo, pode ser geometricamente interpretado como o volume do paralelepípedo de arestas alinhadas com u, v e w.



6. Formas lineares, bilineares e quadráticas Chama-se forma linear em um espaço vetorial V toda aplicação f que a cada vetor x de V associa um único número real f(x), de modo que:

( ) ( ) ( )f x y f x f y ( ) ( )f x f x (46)

Uma forma bilinear é uma aplicação B que a cada par de vetores de V associa um único número real satisfazendo as seguintes condições:

( , ) ( , ) ( , )B x y z B x z B y z ( , ) ( , )B x y B x y ( , ) ( , ) ( , )B x y z B x y B x z ( , ) ( , ) , ,B x y B x y x y z V R (47)

Uma forma bilinear é dita simétrica se:

( , ) ( , )B x y B y x (48) Seja B uma forma bilinear simétrica definida em um espaço vetorial V de dimensão finita. Define-se forma quadrática associada à forma bilinear como a aplicação que a cada vetor x de V associa um único número real ( )B x , de modo que:

( ) ( , )B x B x x (49) Uma forma quadrática se diz positivo-definida se:

( ) ( , ) 0B x B x x (50)

7. Transformações Lineares em Espaços Euclidianos Sendo U e V espaços vetoriais reais, uma função :F U V é dita uma transformação linear se vale a seguinte relação:

( ) ( ) ( )F u v F u F v (51)



onde , são números reais, u e v são vetores de U e ( ), ( )F u F v são vetores de V. Exemplo 12 - Seja f uma função de em tal que: : 3f x x , então:

a) ( ) ( )f x f x b) ( ) ( ) ( )f x y f x f y

De fato:

( ) 3 3 ( )f x x x f x ( ) 3( ) 3 3 ( ) ( )f x y x y x y f x f y

A função f como definida acima é uma transformação linear de em . Exemplo13 - Analogamente pode-se mostrar que a função f de em tal que : 3 5f x x não é uma transformação linear de em . Exemplo14 - Seja V o espaço vetorial das funções polinomiais f sobre o corpo dos números reais, dadas por:

0 1

0 1: n

nf x a x a x a x Seja D o operador de derivação tal que:

1

1 2( ) : 2 n

nD f x a a x na x . Então D é uma transformação linear de V em V, ou seja, em um ponto x qualquer do domínio de f:

a) [ ( ] ( )D f x Df x b) 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )D f x f x Df x Df x

Voltando à consideração da (51), se V = R a transformação F é denominada forma linear, ou funcional linear. O teorema da representação das formas lineares diz que dada uma forma F existe um único vetor a U tal que:

( ) .F v a v v U .



Por outro lado, sendo x e y vetores de um espaço vetorial de dimensão finita, a uma forma bilinear B definida em V pode-se associar uma transformação linear T, tal que:

( , ) . ,B x y T x y x y V (52)

8. Vetores e valores próprios Seja T uma transformação linear num espaço vetorial de dimensão finita. Um vetor x do espaço que satisfaz a relação: T x x (53) é chamado vetor próprio da transformação. O escalar , que pode assumir valores reais ou complexos, é chamado valor próprio, ou autovalor de T. Existem alguns teoremas importantes no estudo dos autovalores. Os seus enunciados são aqui apresentados sem demonstração. Teorema 4: Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Se T é uma transformação linear simétrica definida em V, então todos os seus autovalores são reais. Teorema 5: Seja T uma transformação linear num espaço vetorial de dimensão finita. O conjunto de auto-vetores de T correspondente a autovalores distintos é linearmente independente. Teorema 6: Seja T uma transformação linear simétrica num espaço vetorial de dimensão finita. Existe em V uma base ortonormal relativa à qual a matriz de T é diagonal. Teorema 7: Seja T uma transformação linear simétrica num espaço vetorial de dimensão finita. Auto-vetores de T associados a autovalores distintos são ortogonais entre si. Teorema 8: Seja V um espaço vetorial real euclidiano de dimensão três. Seja uma forma quadrática definida sobre versores 1 2 3, ef f f de V e a transformação linear a ela associada. Então a forma quadrática passa por um



mínimo 3 e por um máximo 1 , respectivamente nos versores 3f e 1f , onde

1 2 3 são os autovalores reais da transformação.

9. Tensores de segunda ordem Quando os espaços U e V forem um mesmo espaço vetorial, a transformação linear :F V V é chamada de tensor. Um tensor A de segunda ordem associa a um vetor arbitrário a outro vetor Aa. A transformação em questão é tal que: A a b Aa Ab (54)

O tensor nulo de segunda ordem O associa o vetor nulo ao vetor arbitrário a: Oa 0 (55) O tensor identidade I associa o vetor a à ele mesmo: Ia a (56) 9.1 Produto Tensorial O produto tensorial de dois vetores u e v de V é o tensor definido pela relação: ( ) ( )u v w v w u (57) onde w é um vetor de V.

Note-se que o produto tensorial é uma transformação linear de V em V, ou seja: ( )( ) ( ) ( )u v x y u v x u v y (58) 9.2 Base e componentes de um tensor Seja V um espaço vetorial euclidiano de dimensão finita n, sendo ie versores de uma base. O conjunto de tensores:



/ , 1, ,i je e c i j n (59)

constitui uma base para o espaço dos tensores de segunda ordem. A representação de um tensor T em componentes com relação à base tensorial pode ser escrita por:

/ , 1, ,ij i jT T e e c i j n (60)

Por outro lado, dado o tensor T, suas componentes em relação à base tensorial podem ser determinadas por:

. / , 1, ,ij i jT e Te c i j n (61)

9.3 Algumas Propriedades

O transposto de um tensor S representado por TS é o tensor que obedece a seguinte propriedade:

,TS u v u S v u v V . (62) Decorrem dessa definição e da (57):

a) ( )Tu v v u

b) ( ) ,Tu v L u L v u v V . c) ( ) . .( )u v w d w v u d d) ( )( ) ( . )( )u v c d v c u d e) ( ) ( )L u v Lu v (63 a,b,c,d,e)

Um tensor é dito simétrico se TS S e é dito antissimétrico se TS S . Da relação (62) sendo S um tensor antissimétrico segue que:

,S u v u S v u v V (64 a) No caso particular de u = v na relação anterior, resulta:



0S u u (65 b) Outras relações de interesse envolvendo transposto de um tensor são as seguintes: a) ( )T T TS T S T

b) T TS S

c) T T TST T S

d) TTS S (66 a,b,c,d)

Todo tensor pode ser escrito, de forma única, como a soma de sua parte simétrica e outra antissimétrica, as quais são definidas, respectivamente, por:

12 ( )TU F F 12 ( )TW F F (67 a,b)

onde F U W . Como conseqüência: v Fv v Uv .

O traço de um tensor é a aplicação que a cada tensor associa um número real definido por:

( )tr u v u v (68) O produto interno entre dois tensores S e T é o número real representado por (S.T) e obtido pela seguinte operação:

. TS T tr S T (69)

A norma de um tensor é o número real não-negativo determinado por:

1 2.S S S (70)

A norma obedece às seguintes propriedades: a) S v S v

b) SF S F



c) S G S G

d) u v u v (71 a,b,c,d)

O determinante de um tensor S é o determinante da matriz que reúne suas componentes em relação à uma base qualquer: det det[ ]S S (72) Em termos das componentes do tensor S, a relação anterior pode ser escrita na forma:

ijk pqr ip jq kr

1det S S S S

6 (73)

Levando-se em conta que ijk ijk 6 , pode-se ainda escrever:

ijk pqr ip jq krdet S S S S (74)

Com as relações anteriores pode-se concluir que:

3

det det

det det

det ( ) det det

det 1

TS S

S S

AB A B

I

(75 a,b,c,d)

Se det A 0 o tensor é inversível e, portanto, existe 1A tal que:

11det detA A (76)

Com a relação anterior, pode-se mostrar que:

1 1 1AB B A (77)

Uma interpretação geométrica para o determinante de um tensor de segunda ordem pode ser obtida mediante o produto misto, o qual, como já foi visto, representa o volume de um paralelepípedo.



Um tensor T que atua sobre os vetores que concorrem no produto misto transforma linearmente o paralelepípedo envolvido em outro cujo volume é determinado por:

pqr pi i qj j rk k ijk i j kv T u T v .T w T u T v T w u v w detT (78)

Assim sendo:

T u T v .T wvdetT

V u v . w

(79)

Em aplicações de interesse, particularmente quando T representa um tensor de deformação, é comum impor a restrição que det T > 0, isto é: a deformação não implica em inversão do volume inicial. Nessas condições, os sinais de módulo na relação anterior podem ser suprimidos. Em outro caso particular, quando w u v segue que:

TT u T v .T u v T T u T v . u vdetT

u v . u v u v . u v

(80)

ou ainda,

TdetT u v . u v T T u T v . u v (81)

de onde resulta:

1TT u T v detT T u v

(82)

9.4 Invariantes de um tensor de segunda ordem As propriedades do produto misto permitem mostrar que dado um tensor de segunda ordem T arbitrário e duas bases também arbitrárias definidas pelos vetores (u,v,w) e (l,m,n) valem as seguintes relações:



T u v .w u Tv .w u v .Tw T l m .n l Tm .n l m .Tn

u v . w l m .n

T u Tv .w u Tv .Tw T u v .Tw T l T m .n l Tm .Tn Tl m .Tm

u v . w l m .n

Tu Tv .Tw Tl Tm .Tn

u v . w l m .n

(83 a,b,c)

Das relações anteriores, nota-se que o resultado numérico de cada igualdade é o mesmo independente da base adotada e, por isso denominado invariante. Respectivamente para as relações (83 a,b,c) os invariantes são representados por 1I , 2I e 3I . Formalmente, invariantes são aplicações que fazem corresponder a um tensor de segunda ordem um único número real, independente da base escolhida para representá-lo. Dado um tensor qualquer A, os invariantes podem ser definidos pelas seguintes operações:

1 iiI tr A A

2 2

2

1 1( )

2 2 ii ij jiI tr A tr A A A A A

3 detI A (84 a,b,c) Da (84 a) segue que:

Ttr A tr A

tr AB tr B A (85)

Da (84 c) pode-se concluir que: det detTA A (86) Admitindo-se que um tensor A seja definido pelo produto tensorial de dois vetores arbitrários u e v, isto é: A u v , as relações (83) e as definições dos invariantes permitem concluir que o segundo e o terceiro invariantes de A se anulam e:



.

det 0

tr u v u v

u v

(87 a,b)

A partir de uma representação matricial para o tensor A cuja base é definida a partir de uma base de versores ie , pode-se mostrar que o primeiro invariante (traço) coincide com a soma dos elementos da diagonal principal. O segundo invariante coincide com a soma dos determinantes menores de ordem dois e o terceiro invariante é dado pelo determinante da matriz do tensor. Do anterior decorre uma propriedade útil em algumas aplicações de interesse, que consiste na derivada do determinante de um tensor em relação a um escalar. Nesse sentido, seja T um tensor inversível que depende de um parâmetro real . Segue da (79) sucessivamente que: u v . w detT T u T v .T w (88 a)

d d du v . w detT T u T v .T w T u T v .T w

d d d

dT u T v . T w

d

(88 b)

Introduzindo o tensor 1dB T T

d

, ou

dBT T

d

, a anterior assume a

forma:

du v . w detT BT u T v .T w T u BT v .T w

dT u T v .BT w

(89)

Considerando que Tu, Tv e Tw são vetores e com a (83 a) e a definição do primeiro invariante, resulta:



du v . w detT tr B T u T v .T w tr B detT u v .w

d

(90) Conclui-se, finalmente, que:

1d d TdetT detT tr T

d d

(91)

9.5 Vetores e valores próprios de um tensor de segunda ordem Seja A um tensor de segunda ordem arbitrário. Um vetor x é um vetor próprio de A se existe um escalar λ que satisfaz a relação:

ou 0Ax x A I x (92)

O escalar pode assumir valores reais e é chamado valor próprio, ou autovalor de A. Por outro lado, diz-se que λ é um autovalor de A se satisfaz a equação característica:

det 0A I (93)

Em forma expandida, a equação característica pode ser representada na forma:

3 2

1 2 3I I I 0 (94) onde e1 2 3I ,I I são invariantes do tensor A. Um tensor simétrico S possui três autovalores e1 2 3, e três vetores

próprios e1 2 3e ,e e , ou autoversores, que compõem uma base ortonormal.

Aplicando a (59) os autoversores constituem uma base segundo a qual o tensor S pode ser escrito tendo os autovalores como componentes:

1 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (95)



A forma anterior é denominada representação espectral do tensor simétrico. Explorando essa representação, os invariantes dados pelas (62) assumem as seguintes expressões:

1 1 2 3I tr S

2

2 1 2 1 3 2 3

1

2 ii ij jiI S S S

3 1 2 3 1 2 3ijk i j kI S S S (96 a,b,c)

Um tensor é dito positivo-definido se: a Sa 0 a 0 (97) Um tensor simétrico positivo-definido possui autovalores positivos. Nessa condição, pela (69 c) det S > 0 e, portanto, S é inversível. A representação espectral do tensor inverso é dada por:

1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (98)

Um tensor antissimétrico possui pelo menos um autovalor não-nulo. 9.6 Relação entre um tensor antissimétrico e o produto vetorial É possível associar a um vetor a do produto vetorial um tensor antissimétrico A tal que:

com e Av a v a V A LinV (99 a)

Adotando-se uma base ortonormal ke , em forma indicial a relação anterior passa a ser dada por:

ik k ijk j kA v a v (99 b)

Segue ainda que:



2 2ik ijk j

ikm ik ikm ijk j ikm ikj j jm j m

A a

A a a a a

(100)

As relações anteriores permitem determinar as componentes do tensor A e do vetor a umas em função das outras. Tais relações escritas em notação matricial são dadas, respectivamente, por:

32 23

3 2

3 1 13 31

2 1

21 12

1

201

0 ;2

0 1

2

A Aa a

A a a a A A

a aA A

(101)

Em particular, se o vetor a se apóia no eixo 3x ( 3a a ) resulta:

0 0

0 0

0 0 0

a

A a

(102)

Nota-se uma correspondência válida em três dimensões: o número de componentes independentes de a e de A coincidem. Em geral, diz-se que a é o vetor associado ao tensor A e A é o tensor do vetor a. Um exemplo da utilização do conceito de "vetor de tensor" apresenta-se na relação seguinte:

es a sT v T v T v T v a v v V T LinV (103) onde sT é a parte simétrica de T, aT a parte antissimétrica e a é o vetor de

aT . 9.7 Tensor Ortogonal Sejam x e y dois vetores quaisquer de V e Q um tensor tal que:



x Q x ; y Q y ; x x ; y y (104)

Observa-se que o tensor Q assim definido preserva o produto interno de vetores, ou seja: x y x y (105) De outro modo, pela (16), o ângulo entre x e y é mantido entre x e y . Ainda da (100):

Tx y x y Q x Q y Q Q x y . (106) Logo, pode-se concluir que TQ Q I , ou que 1TQ Q . O tensor Q é chamado de Tensor Ortogonal. Considere-se a ação de um tensor ortogonal sobre um dos versores de uma base ortonormal:

*

j je Qe (107)

Assim, explorando as (56) e (57) pode-se concluir que:

* *; T

i i i iQ e e Q e e (108 a,b) Portanto, conhecidos os versores * e i ie e as componentes do tensor ortogonal podem ser calculadas mediante as seguintes relações:

* *

* *

. . cos ,

. cos ,

ij i j i j i j

T

ij ji i j i j

Q e Qe e e e e

Q Q e e e e

(109 a,b)

Ainda, se detQ 1 o tensor ortogonal é dito próprio e efetua, conforme se mostra em seguida, rotação em torno de pontos ou de eixos que passam por esses pontos (eixo de rotação). Se detQ 1 o tensor ortogonal é dito impróprio e efetua tanto rotação quanto reflexão de eixos em relação a planos perpendiculares a estes eixos.



Para mostrar que o efeito do tensor ortogonal próprio sobre um vetor pode ser interpretado como uma rotação do vetor em torno de um eixo, inicialmente considera-se a seguinte identidade:

TTQ Q I Q I (110)

Operando-se o determinante em ambos os lados da igualdade, encontra-se:

det Q I 0 (111)

Comparando-se a relação anterior com a (66), conclui-se que o tensor Q possui um autovalor unitário e, portanto:

TQ p p Q p (112) Admitindo-se que p seja um versor, pode-se acrescentar a ele dois outros versores e compor uma base ortonormal. Pela propriedade (74) e com a condição de ortogonalidade entre vetores (24), conclui-se que q, r, Qq e Qr são ortogonais ao vetor p e estão contidos num mesmo plano. Nessas condições, valem as relações:

;Q q q r Qr q r (113) Pela ortogonalidade inicial entre q e r e com a propriedade (74) do tensor Q, conclui-se ainda sobre a ortogonalidade entre Qq e Qr, e que ambos são versores, isto é:

0; 1Qq Qr Qq Qr (114)

Com as (77) e (79), pode-se escrever o determinante do tensor Q como:

detQ p q r Qp Qq Qr 1 (115)

Seguem, das (79) e (80), substituindo-se nelas as definições dadas pelas (78), as seguintes relações entre os parâmetros , , e :



2 2

2 2

1

1

0

1

(116 a,b,c,d)

As relações anteriores garantem a existência de um ângulo θ

definido no plano q-r tal que: cos e sen . Por outro lado, com os pares de versores da base (p,q,r) pode-se gerar uma base tensorial e em relação à ela escrever o tensor Q nos moldes descritos pela (56), isto é:

pp pq pr

qq qp qr

rr rp rq

Q Q p p Q p q Q p r

Q q q Q q p Q q r

Q r r Q r p Q r q

(117)

As componentes de Q podem ser determinadas conforme indica a relação (57) e escritas em função de , , e aplicando-se as (78) e (79). Nessas condições a (82) assume uma forma mais simplificada:

cosQ p p q q r r sen q r r q (118)

Em notação matricial o tensor de rotação descrito pela (83) fica representado por:

1 0 0

Q 0 cos sen

0 sen cos

(119)

Aplicando Q sobre os versores q e r, conclui-se, conforme ilustra a Figura 1, que o efeito é o de uma rotação de um ângulo θ em torno da direção definida por p:



0 1 0 0 0 0

q 1 Q q 0 cos sen 1 cos

0 0 sen cos 0 sen

(120)

0 1 0 0 0 0

r 0 Q r 0 cos sen 0 sen

1 0 sen cos 1 cos

(121)

(det Q =1)

q

q

r

p

(det Q = -1)

*

p*

q*

r *

p =

q

+

Figura 1 – Interpretação do tensor de rotação sobre uma base Para fins de interpretação geométrica do efeito da aplicação do tensor Q sobre um vetor x qualquer, considere-se um ponto O para origem em relação à qual é posicionada a base (p,q,r) e também para origem de vetores representados geometricamente no espaço tridimensional correspondente. A aplicação de Q sobre x leva ao seguinte vetor:

cos cosp q r q ry Qx x p x x sen q x sen x r (122)

onde: ; ; .p q rx x p x x q x x r



Analisando a (84), e em particular as componentes do vetor y em relação à base (p,q,r), nota-se, em primeiro lugar, que a componente segundo p é a mesma do vetor x segundo aquele mesmo versor. As outras componentes encontram-se no plano q-r.

A

q

r

q

xQx

A'

a

yq

yr

xq

xr

xQx

p

qr

q

o

o'

Figura 2 – Interpretação geral do tensor de rotação

A Figura 2 ilustra uma interpretação geométrica para o efeito do tensor de rotação sobre um vetor x. Na representação espacial claramente pode-se concluir que a componente de x e de Qx é a mesma em relação ao eixo p. Na projeção no plano q-r, destacam-se as componentes de Qx, que segundo a geometria indicada podem ser facilmente determinadas pelas relações:



cos

cos cos sen sen

cos sen

q

q r

y Qx

x

x x

(123 a)

sen

sen cos sen cos

cos sen

r

r q

y Qx

x

x x

(123 b)

Nota-se que as relações anteriores aparecem na (84), validando a interpretação geométrica proposta. Pode-se, finalmente, com o auxílio da Figura 2, determinar as seguintes relações para o cálculo das componentes e m do deslocamento do ponto A (posicionado pelo vetor x) respectivamente nas direções de q e r:

cos 1 sen

cos 1 sen

q q q r

r r r q

x y x x

m y x x x

(124)

Em notação matricial a relação anterior fica expressa como segue:

cos 1 sen

sen cos 1q

r

x

xm

(125)

Incluindo a componente segundo p, o deslocamento do ponto A fica expresso por:

cos 1 sen 0

sen cos 1 0

0 0 1

q

r

p

x

m x

p x

(126)

Existe uma relação entre um tensor ortogonal Q e um tensor antissimétrico A dada por:



21 1

2! !A nQ e I A A A

n (127)

Observa-se que sendo A antissimétrico:

1TT A AQ e e Q (128) A (127 ) pode ser entendida como uma função de argumento tensorial e valor tensorial. Além disso, ela apresenta a propriedade de isotropia. Diz-se que uma função tensorial ( )H F T apresenta isotropia se:

( )T T TQHQ QF T Q F QTQ (129)

sendo Q um tensor ortogonal. No caso da relação (127 ), tem-se que AH e e:

2

2

1 1

2! !

1 1

2! !T

T A T n T

T T T n T

I

QAQ

QHQ Qe Q Q I A A A Qn

QIQ QAQ QA Q QA Qn

e

(130)

Funções tensoriais isotrópicas podem ser construídas a partir de funções analíticas. Assim, a (127) resulta de:

21 11

2! !x ne x x x

n (131)

Por outro lado, substituindo-se na matriz do tensor ortogonal (119) os seguintes desenvolvimentos em série:

3 5 7

3! 5! 7!sen

(132 a,b)

2 4 6

cos 12! 4! 6!



e após separar a soma de matrizes e compará-la com a (127) , conclui-se que:

0 0 0

A 0 0

0 0

(133)

Em notação tensorial:

A q r r q (134)

9.9 Relação entre as componentes de um tensor de segunda ordem numa

mudança de base Há várias situações em que grandezas vetoriais e tensoriais em geral precisam ser referenciadas a bases que diferem entre si por uma rotação. Nesses casos há interesse em relacionar as componentes daquelas grandezas escritas segundo as diferentes bases. Sejam, então, ie e je as bases em questão, cujos versores se relacionam por

uma rotação mediante as relações:

j jk ke Q e (135)

ou e Qe (136) Certo vetor u pode ser escrito nessas bases pelas relações:

i i j ju u e u e u (137)

Levando-se em conta a relação entre os versores das bases:

j jk k ji j iu u Q e Q u e (138)



Segue da anterior a relação entre as componentes do vetor u:

T

j ji iu Q u u Q u (139)

ou u Qu (140) No caso de um tensor de segunda ordem T, o mesmo pode ser escrito segundo duas bases tensoriais como:

ij i j kl k lT t e e t e e (141)

Considerando a relação de rotação entre os versores das bases segue que:

kl km m ln n kl km ln m n mn m nT t Q e Q e t Q Q e e t e e (142)

Entre as componentes do tensor vale, portanto, a relação:

mn km kl lnt Q t Q (143) ou, matricialmente

TT Q T Q (144) ou

TT QT Q (145) Assim, um tensor de segunda ordem numa mudança de base deve obedecer a regra anterior. Uma conclusão importante resulta do cálculo dos autovalores do tensor T :

det det 0TT I QT Q I (146)

Explorando uma propriedade do determinante segue que:



det det

det det det det 0

T T T

T T

QT Q I QT Q Q I Q

Q T I Q Q T I Q

(147)

Finalmente, conclui-se que:

det det 0T I T I (148)

Ou seja: λ é também autovalor para T.

10. Diferenciação em Espaços Vetoriais Seja g uma função com domínio num intervalo aberto I R e cujos valores podem ser escalares, vetores ou tensores 1. Sendo α um escalar, a derivada de g em t, ( g ), é definida por:

0

1( ) lim

d g tg t g t g

dt

(149)

A definição de derivada e o conceito de parcela de ordem superior implicam em que se pode escrever o valor da função em torno de t como: ( ) ( )g t g t g t (150)

isto é, um termo linear em mais um termo que tende a zero mais rapidamente, ou de ordem superior, quando 0 . Portanto, observando a consistência dimensional em cada parcela da (150), conclui-se que a derivada de uma função de valor vetorial é um vetor e de uma função de valor tensorial é um tensor. Por outro lado, pode-se ainda interpretar que a derivada é uma aplicação (linear) que, para pequeno, permite aproximar a variação g t g por um termo linear no acréscimo. Esse conceito pode ser

generalizado para as aplicações em espaços vetoriais. 1 g(x) denota o valor de g em x.



Sejam agora V e U espaços vetoriais normados e f uma aplicação definida numa região em V e com valores em U. Diz-se que a medida de f(v) aproxima-se de zero mais rapidamente que a medida de v, ou é de ordem superior nessa medida ( ( ) ( ) / 0f v v p v ) se:

00

( )lim 0vv

f v

v

. (151)

Considerando-se, então, uma aplicação f sobre V que leva a valores em U e seja W um subconjunto aberto em V. Então, :f W U é diferenciável em x W na direção do vetor u se existir uma transformação linear

( ) :Df x V U tal que: ( ) / 0f x u f x Df x u u p u (152)

Em particular ( )D f x u é a parcela linear no acréscimo e define o conceito de derivada direcional. No sentido de estender o papel da derivada expresso na (149) para este caso, considere-se uma vizinhança de x na direção de u definida, com o auxílio de um escalar , na forma: x u . Então, para x e u fixos, tem-se que:

*( ) ( )f x u f (153) Pode-se, agora, desenvolver a (153) em série em torno de :

* * *

0

0 ( )d

f f fd

(154)

Substituindo-se na (153) e truncando o desenvolvimento em série no termo linear em , a relação anterior passa a ser escrita como:

0

( )d

f x u f x f x ud

(155)

Para o confronto com a (152) é interessante reescrevê-la na seguinte forma:



f x u f x Df x u (156)

Segue da comparação entre a (156) e a (155) que:

0

d f x uDf x u

d

(157)

Diz-se que a relação anterior define a derivada direcional de f e exprime a parte linear do acréscimo de f conforme indica a (152). Em cada caso, pode-se determinar a parte linear do acréscimo ou por aplicação da definição dada pela (152) ou por aplicação direta da (157). Por exemplo, seja :V R dada por: ( ) .v v v . Então, pelo conceito de diferenciabilidade: ( ) / 0v u v D v u u p u

Impondo-se, então, um acréscimo no argumento e pela definição da aplicação dada, tem-se que:

( ) ( ).( ) . 2 . .v u v u v u v v v u u u

( ) ( ) 2 . .v u v v u u u Finalmente, deve-se mostrar que u.u é de ordem superior quando 0u ,

ou seja, verifica a condição: 0

0

.lim 0uu

u u

u

.

Pela desigualdade do triângulo: .

.u u

u u u u uu

. Logo o limite

indicado na condição é igual à zero. Assim sendo,

( ) 2 .D v u v u Uma observação importante é que no caso analisado ( )D v u é uma forma linear, pois é uma função de valor escalar ( :V R ). Pode-se, portanto,



aplicar o teorema da representação das formas lineares e representar o diferencial na forma do produto interno do vetor u por outro vetor:

( ) . ( 2 . )D v u u v u (158) Onde (.) é o operador gradiente que associa a cada um vetor . Claramente neste caso: 2v . Ao mesmo resultado anterior pode-se chegar aplicando-se a definição (157). Segue, então, que:

2( ) . 2 . .v u v v v u u u

0

( ) 2 . 2 .

( ) 2 .

dv u v u u u

dd

v u v ud

A derivada direcional satisfaz as propriedades usuais de derivadas, quais sejam as regras do produto e da cadeia.

11. Regras do produto e da cadeia Frequentemente é necessário computar a derivada da operação 'produto' de duas funções cujos argumentos e valores pertencem a espaços vetoriais normados. O 'produto' pode ser representado mediante operações bilineares diferentes, de acordo com os tipos de espaços envolvidos, como por exemplo:

( , )

( , ) .

( , )

( , )

( , )

prod v v

prod u v u v

prod u v u v

prod S v Sv

prod S S

(159)

Em termos gerais a operação produto pode ser simbolizada por:



:prod F G W (160) onde F, G e W são espaços normados de dimensão finita e prod é bilinear. Assim, sendo :f D F e :g D G , então ( , ) :h prod f g D W é definida por:

( ) ( ), ( )h x prod f x g x x D (161)

com D um subconjunto aberto de um espaço vetorial de dimensão finita U. Regra do produto: sejam f e g diferenciáveis em x D . Então o produto

( , )h prod f g é diferenciável em x e ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ),D h x u prod f x Dg x u prod Df x u g x u D (162)

Para a demonstração usam-se as condições de diferenciabilidade de f e g:

( )

( )

f x u f x Df x u u

g x u g x Dg x u u

E, portanto, da bilinearidade da operação produto: ( ) ( ) ( ) ( )h x u f x u g x u f x g x f x Dg x u Df x u g x u

sendo que os termos de ordem superior existem uma vez que:

1( )Df x u k u e 2( )Dg x u k u .

Para o caso em que U = R, da regra do produto decorrem:

( )

( . ) . .

( . ) . .

v v v

v w v w v w

T S T S T S

(163)



( )

( )

( )

TS TS TS

Sv S v S v

S S S

(163)

Regra da cadeia: seja g diferenciável em x D e f diferenciável em

( )y g x . Então a composição h f g é diferenciável em x e

( ) ( ) ( )D h x D f y dg x ou,

( ) ( ) ( )Dh x u D f g x Dg x u u D (164)

Supondo U R então, escrevendo t em lugar de x:

( ) ( ) ( )d

f g t Df g t g tdt

(165)

12. Gradiente e divergente

Considerem-se funções gerais definidas num subconjunto aberto de V (um espaço vetorial associado ao espaço de pontos) e que podem ser campos escalares, vetoriais ou tensoriais. O conceito de derivada direcional estendido a essa situação geral enseja a introdução dos operadores gradiente e divergente. Num primeiro caso, considere-se f como um campo escalar. Então: ( ) / 0x u x D x u u p u

e ( )D x é uma aplicação linear de V em R . De fato, pelo teorema da representação das formas lineares ( )D x u pode ser escrito como o produto interno vetor u pelo vetor gradiente, ( )x V :

( ) .D x u u (166)



Noutro caso, se f v é um campo vetorial, escreve-se: ( )v x u v x Dv x u u

e ( )Dv x é uma transformação linear de V em V, ou seja, um tensor. Neste caso, representa-se essa transformação por ( )v x , lendo-se gradiente de v em x, de modo que:

( ) ( )tensor

Dv x u v x u (167)

Por definição, dado um campo vetorial regular V associado ao espaço pontual euclidiano, o campo escalar:

( )divv tr v (168) é chamado divergente de v. O divergente de um campo tensorial S é o único campo vetorial com a propriedade: . ( )divS a div S a a V (169)

Nota-se que o resultado da operação anterior é um escalar. Assim, como S a é um campo vetorial, a operação ( )div Sa é uma forma linear em V2, a qual pode ser representada pelo produto interno de a pelo vetor divS de V. Pelas definições anteriores, observa-se que o gradiente aumenta a ordem do espaço e o divergente diminui. Seja V um campo vetorial, uma relação para ( )v , com R , pode ser deduzida a partir da aplicação da regra do produto:

( )v x h v x D v h h

( ) ( )vetor vetor escalar

D v h Dv h v D h

2 Dado a Є V a operação div(S a) associa um escalar.



( ) .v h vh v h

vh v h

v v h

v v v (170)

Aplicando-se a definição (168) do divergente de um campo vetorial, resulta:

.

div v tr v v

tr v v

( ) .div v div v v (171)

Outras relações de interesse envolvem .u v e S v . Para .u v :

.

. ) . . ( )u v

v x h u x h u x v x D u v h h

( . ) .( ) .

( . ). . .

. .

escalar vetor vetor

T T

D u v h u Dvh v Du h

u v h u vh v u h

v u h u v h

. T Tu v v u u v (172)

Para S v :

( )S x h v x h Sv D Sv h h

( ) ( )

( )

( )

vetor vetor tensor

D Sv h S Dvh DS v h

Sv h S vh divS v h

Sv S v divS v

(173)



Explorando mais uma vez a relação entre o traço de um campo vetorial e o divergente, da relação anterior obtém-se:

[ ( )] ( ) ( )tr Sv div Sv tr div S v tr S v

( ) . . .Tdiv S v div S v tr S v div S v S v (174)

Também se pode mostrar que:

( )S x h S D S h h

( ) ( )

( )

tensor tensor vetor

T

T

D S h D S h D S h

div S h divS h Sh

divS h S h

divS S h

( ) Tdiv S divS S (175)

Por outro lado, o divergente de um tensor de segunda ordem pode ser obtido pela contração primeira do gradiente desse tensor, sendo essa operação representada por: divT T I (176) Nota-se que na relação anterior T é um tensor de terceira ordem. Uma definição importante para o que segue é a do transposto de um tensor de terceira ordem. O transposto de um tensor de terceira ordem representado por T é o tensor que obedece a seguinte propriedade:

. . ,TA B A B A B (177) onde A e B são tensores de segunda ordem.



Os resultados anteriores podem ser empregados na demonstração da seguinte proposição:

T S h div S h (178) De fato, operando-se em ambos os lados da igualdade o produto interno pelo tensor identidade de segunda ordem, resulta:

. .

.

. .

T S h I div S h I

h S I tr I divS h

h divS divS h

(179)

13. Cálculo das componentes do gradiente e do divergente de campos

escalares, vetoriais e tensoriais Seja uma base fixa (ou invariável) em V e um campo regular de natureza escalar, vetorial ou tensorial. Então, definindo-se o acréscimo por um vetor h alinhado com o versor ke da base, pode-se escrever que:

( ) / 0k k

h

x e x D x e p

(180)

Portanto,

0

1limk kD x e x e x

(181)

O escalar pode ser interpretado como a componente do vetor acréscimo segundo a direção definida pelo versor ke , ou seja: .k kh h e . Além disso, se a base está atrelada a um sistema cartesiano adotado, segundo os versores da base definem-se as coordenadas cartesianas kx . Nessas condições o limite indicado na (181) exprime uma derivada parcial (direcional) de em relação a kx :

k

k

xD x e

x

(182)



O conceito geral expresso pela (182) pode ser usado para o cálculo das componentes do gradiente e do divergente de campos escalares, vetoriais ou tensoriais. Num primeiro caso, considere-se que seja um campo escalar regular. Então, kD x e fica representado por um produto interno entre o gradiente

do campo escalar ( ) e o versor da base. Assim sendo, a derivada direcional fornece as componentes desse gradiente:

. ( )k k k

kescalar

D x e ex

(183)

Conhecidas suas componentes num espaço de dimensão n, o vetor pode ser representado pela seguinte combinação linear dos versores da base:

1 2

1 2

k n

k n

e e e ex x x x

(184)

Sendo, agora, v um campo vetorial regular. Segue a seguinte relação entre a derivada direcional e o gradiente do campo vetorial:

k k

kvetor

vD x e ve

x

(185)

Como v é um tensor, empregando a relação (61) suas componentes obtêm-se do seguinte desenvolvimento:

( )( ) . . .

( . )ki

k kik i k i i

k k

k ik i

k k

v v ev e ve e e

x x

v ve e

x x

(186)

Uma vez conhecidas suas componentes o tensor v pode ser representado pela seguinte combinação linear dos tensores da base:



( ) , 1, ,ik i kv v e e i k n (187)

Com a (168) pode-se exprimir a relação para o cálculo do divergente do campo vetorial:

( )

( ) .

ik i k

i iik i k ik

ik i

divv tr v tr v e e

v vv e e

x x

(188)

Noutra situação, considere-se S como um campo tensorial regular. Explorando o desenvolvimento feito na (175), em particular com

k kD S x e divS e , segue uma relação envolvendo a derivada direcional e

o divergente do campo tensorial:

k k

ktensor

SD S x e divS e

x

(189)

Realizando-se a operação traço sobre a relação anterior, obtém-se a expressão para o cálculo da componente do divergente do campo tensorial:

( ). k k

k k

S tr SdivS e divS tr

x x

(190)

Escrevendo-se o tensor S como combinação linear dos tensores da base, resulta:

( ) ( )ik i k ik ik ik

k k k i

tr S tr S e e S S

x x x x

(191)

Uma aplicação da relação anterior aparece no estudo das tensões, particularmente na relação de equilíbrio do elemento de volume. Sendo b o vetor que reúne as componentes das forças por unidade de volume e T o tensor que reúne as componentes de tensão normal e de cisalhamento do estado de tensão, aquela relação pode ser representada como:

0divT b (192)



De fato, a mesma expressão escrita em componentes fica dada por:

0 ( 1,2,3)kk kdivT b e k (193)

Ou ainda, tendo-se em vista a (191):

0 ( , 1,2,3)ikkk

i

Tb e i k

x

(194)

Considerando-se a independência linear dos versores da base, segue que a relação anterior representa o seguinte conjunto de equações:

11 21 31

11 2 3

T T Tb 0

x x x

12 22 32

21 2 3

T T Tb 0

x x x

(195)

13 23 33

31 2 3

T T Tb 0

x x x

Normalmente, costuma-se associar os números 1, 2 e 3 com as direções dos eixos de referência x, y e z. Além disso, as componentes do tensor T que possuem índices iguais são as componentes de tensão normal e aquelas de índices diferentes as componentes de cisalhamento. Nessa notação a (195) (cuja dedução pode ser obtida a partir da figura abaixo) passa a ser dada por:

11 21 31

11 2 3

b 0x x x

12 22 32

21 2 3

b 0x x x

(196)

13 23 33

31 2 3

b 0x x x



14. Teorema da divergência O teorema da divergência aplica-se na transformação de integrais de campos definidos sobre volumes (V) para integrais sobre as superfícies de contorno ( S ) desses volumes. A origem do teorema está na integração por partes, como se procura ilustrar em seguida. Considere-se uma função diferenciável de duas variáveis e resultante do produto de duas funções diferenciáveis. Então, pela regra do produto:

( , ), ( , )f g

f x y g x y g fx x x

(197)

Portanto:

2 2 2

1 1 1

22

1

1

( , ), ( , )x x x

x x x

xx

xx

g ff dx g dx f x y g x y dx

x x x

fg dx f g

x

(198)

Seja, agora, Ω um domínio no plano x-y. A normal ao contorno tem por cossenos diretores: 1 xn n l e 2 yn n m .



ymáx

ymin

x (y)1

x (y)2

S1

S2

W

a

n

dy

dx

a

n

dx

dy

X

Y

a

a

n

Figura 3 – Interpretação para integração por partes

Segue que:

2

min 1

22

1

min 1

( )

( )

( )( )

( )( )

máx

máx

y x y

y x y

y x yx y

x yy x y

g gf d f dx dy

x x

fg dx f g dy

x

2 1

min min

2 1

min min

( ) ( )

2 1( ) ( )

máx máx

máx máx

y y

x y x yy y

y y

x y x yy y

fg d fg dy fg dy

x

fg d fg l dS fg l dS

x

Nota-se que o sinal negativo no integrando da última parcela da relação anterior decorre do fato que em S1, indicado na Figura 3, a componente xn da normal aponta no sentido contrário ao do eixo x de referência. Do desenvolvimento anterior, conclui-se que:

ouS

g ff d g d f g l dS

x x

S

f gd f g l dS

x

(199)



Analogamente ao último resultado:

S

f gd f g mdS

y

(200)

Em conjunto, as relações (199) e (200) são representações do teorema da divergência. De acordo com a interpretação dada ao produto (f g) o teorema assume diferentes representações. Sendo, em particular, f g um campo escalar, as relações do teorema da divergência podem ser reunidas na seguinte forma:

, / 1,2i iS i

n dS d d c ix

(201)

Passando para uma notação intrínseca, cada uma das relações anteriores pode ser interpretada como integrais de componentes de campos vetoriais e n :

S

d ndS

(202)

Por outro lado, somando-se as relações (199) e (200):

S

f g f gd f g l f g m dS

x y

(203)

e interpretando-se (f g) como componentes de um campo vetorial v, isto é,

1 2v fg e fg e , o teorema da divergência se expressa por integrais envolvendo campos escalares ( divv ) e ( .v n ):

.S

divvd v n dS

(204)



A relação anterior pode ser generalizada considerando-se dois vetores arbitrários a e b 3 e substituindo-se v por: .v v a Tb . Por um lado, segue

que:

. . . .

.

v

T

v a Tb n Tb v a n a v Tb n

a v T n b

(205)

Por outro lado, levando-se em conta as (171), (172) e (174):

. . . .

. . .

. . .

. .

T

div v a Tb v a div Tb Tb v a

v a divT b Tb va

divT b v a vTb a

v divT b a vT b a

(206)

Voltando à integral (204 ) e tendo-se em vista a arbitrariedade dos vetores a e b, resulta; T

S

v divT vT d v T n dS

(207)

Há outros dois casos particulares de interesse da relação anterior. Em primeiro lugar, sendo T = I (tensor identidade), obtém-se:

S

vd v n dS

(208)

Num segundo caso, considerando-se v um vetor fixo, da (207) resulta:

T

S

v divT d v T n dS

(209)

de onde se conclui que:

3 a e b são vetores arbitrários e não campos vetoriais, por isso seus gradientes são nulos!



T

S

divT d T n dS

(210)

Ainda se pode escrever outra forma de interesse, explorando-se o produto vetorial entre os versores de uma base e o conceito de rotacional. Então:

ou .j k ljk l j k i ijke e e e e e (211)

O rotacional associado a um campo vetorial a é o campo vetorial definido por:

,

3 2 1 3 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

ijk k j irot a a e

a a a a a ae e e

x x x x x x

(212)

Considerando-se a relação (201) e particularizando para o caso em que

ijk ka , segue que: ijk i k jn a n a e , ,j ijk k ja , coincidindo,

respectivamente, com as i-ézimas componentes do vetor n a e do

rotacional de a. Assim sendo, em modo intrínseco resulta:

S

rot a d n a dS

(213)

Todas as relações entre as integrais de volume e de superfície apresentadas constituem formas do teorema da divergência. Portanto, a depender dos campos envolvidos o teorema da divergência apresenta-se segundo diferentes formas. Em resumo, as formas de maior interesse são dadas segundo uma notação intrínseca por:

S

d ndS

(214)

com um campo escalar.

S

vd v ndS

(215)



.S

divvd v ndS

(216)

S

rot vd n v dS

(217)

sendo v um campo vetorial.

T

S

divT d T ndS

(218)

onde T é um campo tensorial. Uma aplicação para o teorema da divergência aparece na ponderação da equação de equilíbrio (192) para fins de geração de uma forma fraca. Para ilustrar tal aplicação, seja v um campo vetorial homogêneo nas condições de contorno essenciais de um sólido, com significado de deslocamentos virtuais e com grau de continuidade suficiente para que as integrais definidas que seguem apresentem valores finitos. A integração da equação de equilíbrio (192) ponderada por esse campo escreve-se: 0divT v d b vd

(219)

Substituindo-se a relação (174) sobre a primeira integral e observando-se a simetria do tensor de tensão T, obtém-se: 0divTv d T v d b vd

(220)

O teorema da divergência aplicado na primeira integral fornece: 0

S

Tv n dS T vd b vd

(221)

O contorno S é dividido em partes complementares tS e uS aonde se prescrevem forças e deslocamentos, respectivamente. Considerando-se, ainda, a definição do transposto de um tensor na integral de contorno, a relação ( t T n ) que define o equilíbrio na parte estática do contorno ( tS ) e



lembrando que o campo v é homogêneo na parte cinemática do contorno ( uS ), resulta:

tS

T v d t n dS b v d

(222)

Dada a simetria do tensor T, então o produto interno indicado no primeiro integrando fica dado por: sT v T v . Ao tensor sv pode-se dar a interpretação de campo tensorial de deformação virtual e, nessas condições a (222) pode ser interpretada como a expressão do P.T.V.

Álgebra e análise tensorial

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