Limite Continuidade

Calculo Diferencial e Integral IIII- 2017

Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Vicosa

Calculo Diferencial e Integral III I- 2017

Limite Continuidade

Limite e Continuidade

Definicao

Sejam D ⊂ Rn e X0 = (x01 , · · · , x0

n ) ∈ Rn. Dizemos que X0 e ponto deacumulacao de D se para todo ε > 0 tem-se B(X0; ε) ∩ (D − X0) 6= ∅.

Definicao

Sejam D ⊂ Rn, X0 = (x01 , · · · , x0

n ) um ponto de acumulacao de D ef : D −→ R uma funcao real de n variaveis. Dizemos que o limite def (x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) se aproxima de X0 e o numero real Lse para todo ε > 0 existir δ > 0 tal que se

(x1, · · · , xn) ∈ B(X0; ε) ∩ (D − X0) 6= ∅

entao|f (x1, · · · , xn)− L| < ε.

Notacao: lim(x1,··· ,xn)→(x0

1 ,··· ,x0n)f (x1, · · · , xn) = L

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Limite Continuidade

Para n = 2,

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = L⇔

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que (x , y) ∈ D e 0 < ‖(x , y)− (x0, y0)‖ < δ

implica |f (x , y)− L| < ε.

ou ainda

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = L⇔

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que (x , y) ∈ D e 0 <√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ

implica |f (x , y)− L| < ε.

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Limite Continuidade

Para n = 3,

lim(x,y ,z)→(x0,y0,z0)

f (x , y , z) = L⇔

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que (x , y , z) ∈ D e 0 < ‖(x , y , z)− (x0, y0, z0)‖ < δ

implica |f (x , y , z)− L| < ε.

ou ainda

lim(x,y ,z)→(x0,y0,z0)

f (x , y , z) = L⇔

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que (x , y , z) ∈ D e

0 <√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ

implica |f (x , y , z)− L| < ε.

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Limite Continuidade

Os resultados abaixos, apresentados para funcoes reais de duas variaveis,permanecem validos para funcoes de tres ou mais variaveis.

Teorema

Suponha que lim(x,y)→(x0,y0)

g(x , y) = M e lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = L. Entao

(a) lim(x,y)→(x0,y0)

(g(x , y)± f (x , y)) = M ± L;

(b) lim(x,y)→(x0,y0)

g(x , y).f (x , y) = M.L;

(c) lim(x,y)→(x0,y0)

k .f (x , y) = k .L, para todo k ∈ R;

(d) se L 6= 0, entao lim(x,y)→(x0,y0)

g(x , y)

f (x , y)=

M

L.

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Limite Continuidade

Exemplo

Temos que lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0 e lim(x,y)→(x0,y0)

y = y0, pois

0 ≤ |x − x0| ≤ ‖(x , y)− (x0, y0)‖

e0 ≤ |y − y0| ≤ ‖(x , y)− (x0, y0)‖

e lim(x,y)→(x0,y0)

‖(x , y)− (x0, y0)‖ = 0.

Exemplo

Sejam n, m ∈ N quaisquer. Podemos concluir pelo exemplo anterior epela propriedade (c) do teorema que

lim(x,y)→(x0,y0)

xy = x0y0, lim(x,y)→(x0,y0)

ym = ym0 ,

lim(x,y)→(x0,y0)

xn = xn0 , lim(x,y)→(x0,y0)

xnym = xn0 ym0 .

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Funcao Polinomial

Exemplo

Sejam m e n inteiros positivos e considere a funcao polinomial

f (x , y) =n∑

i=0

m∑j=0

aijxiy j , aij ∈ R.

Resulta do exemplo anterior e das propriedades (a) e (d) do teorema que

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) =n∑

i=0

m∑j=0

aijxi0y

j0 = f (x0, y0)

e

lim(x,y)→(x0,y0)

1

f (x , y)=

1∑ni=0

∑mj=0 aijx

i0y

j0

, se f (x0, y0) 6= 0

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Exemplos envolvendo funcoes polinomiais

Exemplo

(a) lim(x,y)→(4,−1)

(2x + 6y) = 2

(b) lim(x,y)→(0,0)

1

x2 + y2 + 1= 1

c) lim(x,y)→(1,1)

3x3 − 2y3

x2 + y2=

1

2

(d) lim(x,y ,z)→(1,1,1)

(x2 + y2

)z

x2 + y2 + 4z2=

1

3

(e) lim(x,y)→(0,0)

2x + 6y + 2

x + 3y + 1= 2

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Funcoes Vetoriais

Definicao

Seja I ⊂ R um intervalo. Uma funcao γ : I → Rn que associa a cadat ∈ R um unico vetor γ(t) ∈ Rn e chamada de funcao vetorial.Denotamos

γ(t) = (γ1(t), · · · , γn(t)), t ∈ I

Definicao

O limite de γ(t) quando t se aproxima de t0 e definido por

limt→t0

γ(t) = ( limt→t0

γ1(t), · · · , limt→t0

γn(t)).

A funcao γ(t) e contınua em t0 ∈ I se, e somente se,

limt→t0

γ(t) = ( limt→t0

γ1(t), · · · , limt→t0

γn(t)) = γ(t0),

isto e, se e so se, as funcoes γ1, · · · , γn sao contınuas em t0.

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Curva ou caminho

Definicao

Quando n = 2 (ou n = 3) e γ : I → R2 e funcao contınua, o vetor

γ(t) = (x1(t), x2(t)) (1)

descreve um caminho ou curva C em R2. Dizemos que (1) e umaparametrizacao da curva C e as equacoes

x = x(t), y = y(t)

sao chamadas equacoes parametricas da curva C .

Exemplo

Seja C a curva no xy , grafico da funcao contınua y = f (x), x ∈ I . Umaparametrizacao natural de C e γ(t) = (t, f (t)), t ∈ I .

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Equacoes Parametricas

Exemplo

Curva Eq. cartesiana Eqs. parametricasReta y = mx + b x(t) = t e y(t) = mt + b, t ∈ RParabola y = ax2 x(t) = t e y(t) = at2, t ∈ RCırculo x2 + y2 = a2 x(t) = a cos t e y(t) = a sin t, t ∈ [0, 2π]

Elipsex2

a2+

y2

b2= 1 x(t) = a cos t e y(t) = b sin t, t ∈ [0, 2π]

Hiperbole1 x2

a2− y2

b2= 1 x(t) = a cosh t e y(t) = b sinh t, t ∈ R

Hiperbole2 x2

a2− y2

b2= 1 x(t) = −a cosh t e y(t) = b sinh t, t ∈ R

1 Ramo direito da hiperbole.

2 Ramo esquerdo da hiperbole.

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Exemplo

Seja C a circunferencia no plano xy de centro (x0, y0) e raio a.Determine equacoes parametricas para C .

Resposta: x(t) = x0 + a cos t; y(t) = y0 + a sin t, t ∈ b0, 2πc.

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Regra dos dois caminhos

Teorema

Suponha que lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = L. Entao para qualquer caminho γ tal

que limt→t0

γ(t) = (x0, y0) tem-se limt→t0

f (γ(t)) = L.

Corolario (Regra dos Dois Caminhos)

Criterio para a nao existencia de um limite Sejam γ1 e γ2 doiscaminhos tais que lim

t→t0

γ1(t) = limt→t1

γ2(t) = (x0, y0). Se

limt→t0

f (γ1(t)) 6= limt→t1

f (γ2(t)) entao nao existe lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y).

Observe que se existir um caminho γ tal que limt→t0

f (γ(t)) nao existe,

entao concluımos que lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) nao existe.

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Exemplo

Nos seguintes problemas calcule o limite de f (x , y)quando (x , y) tende a (0, 0), ao longo de cada um dos caminhos indicados.

(a) f (x , y) =5xy2

x2 + y2.

(i) ao longo do eixo x ; (ii) ao longo do eixo y ;(iii) ao longo da reta y = 5x ; (iv) ao longo da parabola y = x2.

(b) f (x , y) =xy

x2 + y2.

(i) ao longo do eixo x ; (ii) ao longo do eixo y ;(iii) ao longo da reta y = x ; (iv) ao longo da reta y = mx .

(c) f (x , y) =3x4y4

(x4 + y2)3

(i) ao longo da reta y = x ; (ii) ao longo da curva y = x2.

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Exemplo

Use a ”Regra dos dois caminhos”para mostrar que os limites indicadosabaixo nao existem:

(a) lim(x,y)→(1,2)

(−2x + y)2

(x − 1) (y − 2)

(b) lim(x,y)→(0,0)

x − y

x2 + y

(c) lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

(d) lim(x,y)→(0,0)

x3y

x5 + y3

(e) lim(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x − y

Sugestao:(d) Tome y = x2. (e) Tome y = x + x3

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Limite Continuidade

Teorema

Suponha que lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = a e limu→a

g(u) = L entao

lim(x,y)→(x0,y0)

g(f (x , y)) = L.

Por exemplo,

lim(x,y)→(x0,y0)

sin(x2 + y2) = sin(x20 + y2

0 )

lim(x,y)→(x0,y0)

ln(x2 + y2 + 1) = ln(x20 + y2

0 + 1)

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Teorema do Confronto ou Regra do Sanduıche

Teorema

(Teorema do Confronto) Suponha que

(a) lim(x,y)→(x0,y0)

g(x , y) = lim(x,y)→(x0,y0)

h(x , y) = M,

(b) g(x , y) ≤ f (x , y) ≤ h(x , y), ∀ (x , y),

entaolim

(x,y)→(x0,y0)f (x , y) = M.

Corolario

Suponha que existe uma constante C > 0 tal que

|f (x , y)| ≤ C , ∀ (x , y) e que

lim(x,y)→(x0,y0)

g(x , y) = 0,

entao lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y)g(x , y) = 0.

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Exemplo

Mostre que:

(a) lim(x,y)→(0,0)

arctg

(1

x2 + y2

)=π

2

(b) lim(x,y)→(0,0)

3x3 − 2y3

x2 + y2= 0

(c) lim(x,y ,z)→(0,0,0)

(x2 + y2

)z

7 (x2 + y2 + 4z2)= 0

(d) lim(x,y)→(0,0)

sin (2x + 6y)

x + 3y= 2

(e) lim(x,y)→(0,0)

x arctg

(1

x2 + y2

)= 0

(f) lim(x,y)→(0,0)

cos (xy)− 1

x= 0.

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Continuidade

Definicao

Uma funcao f : D → R e contınua em um ponto (x0, y0) ∈ D, tal que((x0, y0) e ponto de acumulacao de D, se

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = f (x0, y0).

Dizemos, simplesmente, que f e contınua quando f for contınua emtodos os pontos de D.

Exemplo

Determine o valor de k para que a funcao

f (x , y) =

sen(x2 + y2)

1− cos√x2 + y2

se (x , y) 6= (0, 0),

k se (x , y) = (0, 0)

seja contınua na origem (0, 0).

Resposta: k = 2.Calculo Diferencial e Integral III I- 2017

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Exemplo

Discutir a continuidade das funcoes abaixo:

(a) f (x , y) =

{ xy

|x |+ |y |, se (x , y) 6= (0, 0)

0, se (x , y) = (0, 0)

(b) f (x , y) =

x3y2

x8 + y4, se (x , y) 6= (0, 0)

0, se (x , y) = (0, 0)

(c) f (x , y) =

x3

x2 + y2, se (x , y) 6= (0, 0)

0, se (x , y) = (0, 0)

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Solucao

(a) Como lim(x,y)→(0,0)

y = 0 e

|x | ≤ |x |+ |y |, ∀ (x , y)⇒∣∣∣∣ x

|x |+ |y |

∣∣∣∣ ≤ 1, ∀ (x , y) 6= (0, 0)

segue pelo Teorema do Confronto que lim(x,y)→(0,0)

f (x , y) = 0 = f (0, 0). Se

(x0, y0) 6= (0, 0) temos

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) =

lim(x,y)→(x0,y0)

xy

lim(x,y)→(x0,y0)

|x |+ |y |=

x0y0

|x0|+ |y0|= f (x0, y0).

Concluımos que f e contınua em R2.

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Limite Continuidade

Solucao

(b) Se γ(t) = (t, t2), entao f (γ(t)) =1

2t, t 6= 0.Como nao existe

limt→0

f (γ(t)), concluımos que nao exite lim(x,y)→(0,0)

f (x , y). Logo, f nao e

contınua em (0,0). Se (x0, y0) 6= (0, 0) temos

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) =

lim(x,y)→(x0,y0)

x3y2

lim(x,y)→(x0,y0)

x8 + y4=

x30 y

20

x80 + y4

0

= f (x0, y0).

Logo f e contınua em (x0, y0).Conluımos que f e contınua em R2 − {(0, 0)}.

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