İÇİNDEKİLER

ÖZET ..................................................................................................................................................................... 2

BÖLÜM 1 .............................................................................................................................................................. 3

GİRİŞ .................................................................................................................................................................................... 3

BÖLÜM 2 .............................................................................................................................................................. 4

AHP – Analytic Hierarchy Process ....................................................................................................................................... 4

Analitik Hiyerarşi Süreci Nedir? ...................................................................................................................................... 4

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Aşamaları ........................................................................................................................... 5

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Kullanıldığı Alanlar ......................................................................................................... 11

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Yararları ........................................................................................................................... 11

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Yararları ........................................................................................................................... 11

BÖLÜM 3 ............................................................................................................................................................ 12

TOPSIS – Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution ........................................................................ 12

Topsis Yöntemi Nedir? ................................................................................................................................................... 12

Topsis Yönteminin Aşamaları ........................................................................................................................................ 13

BÖLÜM 4 ............................................................................................................................................................ 16

VIKOR – VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje .................................................................................. 16

Vikor Yöntemi Nedir? .................................................................................................................................................... 16

Vikor Yönteminin Aşamaları? ........................................................................................................................................ 17

Vikor Yöntemi Kullanılabilmesi için Gerekli Koşullar .................................................................................................. 18

Vikor Özellikleri ............................................................................................................................................................. 19

BÖLÜM 5 ............................................................................................................................................................ 19

MCDA Yazılımı ile İş Yeri Seçimi Uygulaması ................................................................................................................. 19

Uygulama Tanımı ........................................................................................................................................................... 19

Hedefin Belirlenmesi ...................................................................................................................................................... 20

Kriterlerin Belirlenmesi .................................................................................................................................................. 20

Kriterlerin Karşılaştırılması ............................................................................................................................................ 21

Normalizasyon Tablosu ve Tutarlılık Oranı ................................................................................................................... 22

Alternatiflerin Belirlenmesi ............................................................................................................................................ 22

Her Bir Kriter için Alternatiflerin Karşılaştırılması ........................................................................................................ 23

Alternatiflerin Normalizasyonu ...................................................................................................................................... 24

AHP Sonucu ve Karar .................................................................................................................................................... 25

Topsis Yöntemi ile Hesaplama ....................................................................................................................................... 25

Vikor Yöntemi ile Hesaplama ........................................................................................................................................ 27

SONUÇ................................................................................................................................................................. 29

MCDA YAZILIMI HAKKINDA ...................................................................................................................... 29

KAYNAKÇA ....................................................................................................................................................... 29

ÖZET

Anahtar kelimeler : Çok kriterli karar verme , Ahp, Topsis, Vikor, Mcda

Çok kriterli karar verme yöntemleri; karar vericinin belirsizlik, karmaşıklık ve birbiriyle

çelişen amaçların olduğu hallerde uygun seçenekler oluşturarak daha iyi karar vermesine

yardımcı olmaktadır. Analitik Hiyerarşi Süreci (Analytic Hierarchy Process-AHP) ,Topsis

(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) ve Vikor (VlseKriterijumska

Optimizacija I Kompromisno Resenje) oldukça fazla kullanılan çok kriterli karar verme

yöntemlerindendirler. AHP çok kriterli ve çok seçenekli problemlerin sonuca ulaşmasında

karar vericiye önemli yardımlar sağlamaktadır. AHP, gruplara ve bireylere karar verme

sürecindeki nitel ve nicel faktörleri birleştirme olanağı veren güçlü ve kolay anlaşılır bir

yöntemdir. Topsis, alternatifler arasından en iyi seçimin yapılmasına imkân tanıyan bir

tekniktir. AHP ile elde edilen kriter ağırlıkları Topsis hesaplamalarında kullanılmaktadır.

Vikor ise, karar vericilerin başlangıçta tercihlerini tam olarak belirtememesi durumunda, çok

kriterli karar vermede etkin bir araç olarak kullanılmaktadır. çok kriterli kompleks sistemlerin

optimizasyonu amacıyla geliştirilmiştir. Yöntemde temel hedef, maksimum grup faydası ve

minimum bireysel pişmanlığı sağlayacak uzlaştırıcı çözüme ulaşmaktır.

Bu çalışmada ise, öncelikle çok kriterli karar verme yöntemlerinden olan AHP, Topsis ve

Vikor yöntemleri hakkında detaylı bilgiler verilecektir. Tanım ve bilgilerin ardından bu üç

yöntem için geliştirilen yazılım uygulaması (MCDA) üzerinde örnek uygulama

gerçekleştirilecektir. Örnek uygulama üzerinde ilk önce AHP ile kriterler ve ağırlıkları

belirlenecek, alternatifler oluşturulacak, oluşturulan alternatiflerin her bir kriter için

karşılaştırmaları yapılacak ve işlemler sonucunda AHP üzerinde en iyi sonuç belirlenecektir.

Belirlenen ağırlıklar ve alternatifler aynen kullanılarak Topsis değerleri hesaplanacak. Son

olarak yine aynı kriter ağırlıkları ve alternatifler üzerinden Vikor için hesaplamalar

gerçekleştirilecektir.

BÖLÜM 1

GİRİŞ

Karar Verme, hedefe ulaşmak ve amacı gerçekleştirmek için alternatif davranış biçimleri

arasından seçim yapma eylemidir. Yaşamsal ve yönetsel fonksiyonların özünde karar verme

yer alır. İnsanlar ve yöneticiler hayatın her aşamasında ve gerçekleştirdikleri her fonksiyonda

karar vermek zorundadırlar. Bir iş veya davranış nerede, kim tarafından, ne zaman, nasıl

gerçekleştirilecektir? Tüm bu soruların cevabı olabilecek çok sayıda alternatif davranış yolları

-her zaman- vardır. Ve bunlardan en uygun olanını seçmek karar vermenin amacıdır. T.L.

Saaty kararı (karar verme süreçlerini) ikiye ayırmaktadır: "Sezgisel" ve "Analitik". Sezgisel

kararlar, verilerle desteklenmez ve genelde keyfi bir biçimde verilirler. Bazı basit, derinliği

olmayan karar durumlarında sezgisel yaklaşım başarılı olabilir. Ancak, bilgi gerektiren

karmaşık karar durumları ile karşılaşıldığında, karar vericiler sonuçta verdikleri kararların

kendi değer yargılarından sapmalar gösterdiğini görebilirler. Bu sapmaların görülmediği

durumlar için "iyi karar verme" ifadesi kullanılmaktadır. Kişinin sezgisel gücünü vurgulamak

anlamında iyi karar verme, bir "sanat" olarak görülmüştür. Bir kararın başarılı sayılabilmesi

için, sıklıkla bir birleriyle çatışan değişik aktörleri ve faktörleri bir arada değerlendirerek, tüm

bunları tatmin eden sonuçlara ulaşabilmesi ve bu sonuçların geçerliliğini zaman içinde

koruması gerekmektedir. Bu nedenle kişilerin değer yargılarını nesnel ve analitik metotlarla

bir araya getiren yaklaşımlar geliştirilmiştir.

"İyi" ya da "rasyonel" karar verme sadece insana has bir özelliktir. Dolayısıyla, insan,

karşısına çıkan ve giderek daha karmaşık bir hal alan karar problemlerinde iyi kararlar

verebilmek için sürekli olarak yollar ve araçlar geliştirmektedir. İşte Çok Kriterli Karar Verme

süreçleri, karmaşık karar problemlerini bilimsel ve analitik bir çerçevede ele alarak karar

vericiye en çok istediği çözüme ulaşmasında yardımcı olmaya çalışan prosedürler bütünü

olarak ortaya çıkmıştır.

Çok Kriterli Karar Verme (kısaca ÇKKV) (Multiple Criteria Decision Making), en kısa

tanımıyla; "Çoklu ve birbiriyle çatışan amaçların (kriterlerin) gerçekleştirilmek istendiği

problemlerin çözümü ’ne verilen genel isimdir.

BÖLÜM 2

AHP – Analytic Hierarchy Process

Analitik Hiyerarşi Süreci Nedir?

AHP yöntemi, problemin sistem yaklaşımı ile birlikte bir bütün olarak ele alındığı ve her

faktörün ana hedefe olan katkısının ayrı ayrı değerlendirildiği en çok tercih edilen çok kriterli

değerlendirme yöntemlerinden biridir.

Saaty tarafından 1980 yılında, insanoğlunun beyin kapasitesinin, karmaşık kararların etkin ve

sezgisel bir şekilde sentezini gerçekleştirmeye yeterli olmadığı yaklaşımından hareketle ortaya

atılan bu yöntem, kişileri nasıl karar vermeleri konusunda bir yöntem kullanmaya zorunlu

kılmak yerine; onlara kendi karar verme mekanizmalarını tanıma olanağı sağlayıp, bu şekilde

daha iyi kararlar vermelerini amaçlamaktadır.

AHP yöntemi, bir ölçüm teorisi olarak, amaçlar, kriterler, nitelikler ve alternatiflerden oluşan

hiyerarşik yapıda, bu elemanlar arasında KV'nin "ikili karşılaştırmalar" biçiminde ifade ettiği

tercihlerinden, oran-skalası ağırlıklarının çıkarılması temeline dayanır. Bu ağırlıklar doğrusal

toplamsal model yardımı ile ilgili alternatifler için bütüncül ağırlık veya önceliklere

dönüştürülür. Böylece alternatifler sonuç öncelik değerlerine göre sıralanabilirler.

Şekil 1 - AHP Yapısı

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Aşamaları

Bir karar verme probleminin AHP ile çözümlenebilmesi için gerçekleştirilmesi gereken

aşamalar aşağıda tanımlanmıştır. Her bir aşamada, formülasyon ile birlikte ilgili açıklamalar

yapılmıştır.

Adım 1 : Karar Verme Problemi Tanımlanır

Karar verme probleminin tanımlanması, iki aşamadan oluşturulur. Birinci aşamada karar

noktaları saptanır. Diğer bir deyişle karar kaç sonuç üzerinden değerlendirilecektir sorusuna

cevap aranır. İkinci aşamada ise karar noktalarını etkileyen faktörler saptanır. Bu çalışmada

karar noktalarının sayısı m, karar noktalarını etkileyen faktör sayısı ise n ile sembolize

edilmiştir. Özellikle sonucu etkileyecek faktörlerin sayısının doğru belirlenmesi ve her bir

faktörün detaylı tanımlarının yapılması, ikili karşılaştırmaların tutarlı ve mantıklı

yapılabilmesi açısından önemlidir.

Adım 2 : Faktörler Arası Karşılaştırma Matrisi Oluşturulur

Faktörler arası karşılaştırma matrisi, nxn boyutlu bir kare matristir. Bu matrisin köşegeni

üzerindeki matris bileşenleri 1 değerini alır. Karşılaştırma matrisi aşağıda gösterilmiştir.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

..

..

..

...

...

21

22221

11211

Şekil 2 - Karşılaştırma Matrisi

Karşılaştırma matrisinin köşegeni üzerindeki bileşenler, yani ji olduğunda, 1 değerini alır.

Çünkü bu durumda ilgili faktör kendisi ile karşılaştırılmaktadır. Faktörlerin karşılaştırılması,

birbirlerine göre sahip oldukları önem değerlerine göre birebir ve karşılıklı yapılır. Faktörlerin

birebir karşılıklı karşılaştırılmasında Tablo 1 deki önem skalası kullanılır.

Örneğin birinci faktör üçüncü faktöre göre karşılaştırmayı yapan tarafından daha önemli

görünüyorsa, bu durumda karşılaştırma matrisinin birinci satır üçüncü sütun bileşeni (

3,1 ji ), 3 değerini alacaktır. Aksi durumda yani birinci faktörün üçüncü faktörle

karşılaştırılmasında, daha önemli tercihi üçüncü faktörden yana kullanılacaksa bu durumda

karşılaştırma matrisinin birinci satır üçüncü sütun bileşeni 1/3 değerini alacaktır. Aynı

karşılaştırmada birinci faktörle üçüncü faktörün karşılaştırılmasında faktörler eşit öneme sahip

oldukları yönünde tercih kullanılıyorsa bu durumda bileşen 1 değerini alacaktır.

Karşılaştırmalar, karşılaştırma matrisinin tüm değerleri 1 olan köşegeninin üstünde kalan

değerler için yapılır. Köşegenin altıda kalan bileşenler için ise doğal olarak (frm-1) formülünü

kullanmak yeterli olacaktır.

ij

jia

a1

(frm- 1)

Yukarıda verilen örnek dikkate alınırsa karşılaştırma matrisinin birinci satır üçüncü sütun

bileşeni ( 3,1 ji ) 3 değerini alıyorsa, karşılaştırma matrisinin üçüncü satır birinci sütun

bileşeni (i=3,j=1), (frm-1) formülünden 1/3 değerini alacaktır.

Önem

Değerleri

Değer Tanımları

1 Her iki faktörün eşit öneme sahip olması durumu

3 1. Faktörün 2. faktörden daha önemli olması durumu

5 1. Faktörün 2. faktörden çok önemli olması durumu

7 1. Faktörün 2. faktöre nazaran çok güçlü bir öneme sahip olması durumu

9 1. Faktörün 2. faktöre nazaran mutlak üstün bir öneme sahip olması durumu

2,4,6,8 Ara değerler Tablo 1 Önem Skalası

Adım 3 : Faktörlerin Yüzde Önem Dağılımları Belirlenir

Karşılaştırma matrisi, faktörlerin birbirlerine göre önem seviyelerini belirli bir mantık

içerisinde gösterir. Ancak bu faktörlerin bütün içerisindeki ağırlıklarını, diğer bir deyişle

yüzde önem dağılımlarını belirlemek için, karşılaştırma matrisini oluşturan sütun

vektörlerinden yararlanılır ve n adet ve n bileşenli B sütun vektörü oluşturulur.

Aşağıda bu vektör gösterilmiştir:

1

21

11

.

.

.

n

i

b

b

b

B

B sütun vektörlerinin hesaplanmasında (frm-2) formülünden yararlanılır.

n

i

ij

ij

ij

a

ab

1

(frm- 2)

Örneğin değerlendirme faktörlerinin birbirleriyle karşılaştırılmalarını gösteren A karşılaştırma

matrisi aşağıdaki gibi tanımlanmışsa ve 1B vektörü hesaplanmak isteniyorsa,

14/15/1

413

53/11

A

bu durumda 1B vektörünün 11b elemanı, 2,031

111

b olarak hesaplanacaktır.

Benzer şekilde 1B vektörünün diğer elemanları hesaplandığında, vektör aşağıdaki gibi elde

edilebilir ve sütun vektörünün bileşenleri toplandığında toplamın 1 olduğu görülebilir.

048,0

714,0

238,0

1B

Yukarıda anlatılan adımlar diğer değerlendirme faktörleri içinde tekrarlandığında faktör sayısı

kadar B sütun vektörü elde edilecektir. n adet B sütun vektörü, bir matris formatında bir

araya getirildiğinde ise aşağıda gösterilen C matrisi oluşturulacaktır.

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C

...

..

..

..

...

...

21

22221

11211

Yukarıdaki örnek göz önüne alındığında C matrisi aşağıdaki gibi oluşur.

100,0158,0048,0

400,0632,0714,0

500,0210,0238,0

C

C matrisinden yararlanarak, faktörlerin birbirlerine göre önem değerlerini gösteren yüzde

önem dağılımları elde edilebilir. Bunun için (frm-3) formülünde gösterildiği gibi C matrisini

oluşturan satır bileşenlerinin aritmetik ortalaması alınır ve Öncelik Vektörü olarak

adlandırılan W sütun vektörü elde edilir.

n

c

w

n

j

ij

i

1

(frm- 3)

W vektörü aşağıda gösterilmiştir

nw

w

w

W

.

.

.

2

1

Yukarıdaki örnek çözüldüğünde öncelik vektörünün elemanları aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

Bu durumda her üç faktör birlikte değerlendirildiğinde yaklaşık değerlerle, birinci faktör % 32,

ikinci faktör % 58 ve üçüncü faktör % 10 öneme sahip olacaktır.

10,0

58,0

32,0

3

100,01580,0048,03

400,0632,0714,03

500,0210,0238,0

W

Adım 4 : Faktör Kıyaslamalarındaki Tutarlılık Ölçülür

AHP kendi içinde ne kadar tutarlı bir sistematiğe sahip olsa da sonuçların gerçekçiliği doğal

olarak, karar vericinin faktörler arasında yaptığı birebir karşılaştırmadaki tutarlılığa bağlı

olacaktır. AHP bu karşılaştırmalardaki tutarlılığın ölçülebilmesi için bir süreç önermektedir.

Sonuçta elde edilen Tutarlılık Oranı (CR) ile, bulunan öncelik vektörünün ve dolayısıyla

faktörler arasında yapılan birebir karşılaştırmaların tutarlılığın test edilebilmesi imkanını

sağlamaktadır. AHP, CR hesaplamasının özünü, faktör sayısı ile Temel Değer adı verilen ()

bir katsayının karşılaştırılmasına dayandırmaktadır. ’ nın hesaplanması için öncelikle A

karşılaştırma matrisi ile W öncelik vektörünün matris çarpımından D sütun vektörü elde edilir.

nnnnn

n

n

w

w

w

x

aaa

aaa

aaa

D

.

.

.

...

..

..

..

...

...

2

1

21

22221

11211

(frm-4) formülünde tanımlandığı gibi, bulunan D sütun vektörü ile W sütun vektörünün

karşılıklı elemanlarının bölümünden her bir değerlendirme faktörüne ilişkin temel değer (E) elde

edilir. Bu değerlerin aritmetik ortalaması ((frm-5) formülü) ise karşılaştırmaya ilişkin temel

değeri () verir.

i

i

iw

dE ( ni ,...,2,1 ) (frm- 4)

n

En

i

i 1 (frm-5)

hesaplandıktan sonra Tutarlılık Göstergesi (CI), (frm-6) formülünden yararlanarak

hesaplanabilir.

1

n

nCI

(frm-6)

Son aşamada ise CI, Random Gösterge (RI) olarak adlandırılan ve Tablo 2’ de gösterilen

standart düzeltme değerine bölünerek ((frm-7) formülü) CR elde edilir. Tablo 2’ den faktör

sayısına karşılık gelen değer seçilir. Örneğin 3 faktörlü bir karşılaştırmada kullanılacak RI

değeri Tablo 2’ den 0.58 olacaktır.

N RI N RI

1 0 8 1,41

2 0 9 1,45

3 0,58 10 1,49

4 0,90 11 1,51

5 1,12 12 1,48

6 1,24 13 1,56 Tablo 2 RI Değerleri

RI

CICR (frm-7)

Hesaplanan CR değerinin 0.10 dan küçük olması karar vericinin yaptığı karşılaştırmaların tutarlı

olduğunu gösterir. CR değerinin 0.10’ dan büyük olması ya AHP’ deki bir hesaplama hatasını

ya da karar vericinin karşılaştırmalarındaki tutarsızlığını gösterir.

Adım 5 : Her Bir Faktör İçin, m Karar Noktasındaki Yüzde Önem Dağılımları Bulunur

Bu aşama yukarıda anlatılan şekilde ancak bu kez, her bir faktör açısından karar noktalarının

yüzde önem dağılımları belirlenir. Diğer bir deyişle birebir karşılaştırmalar ve matris işlemleri

faktör sayısı kadar (n kez) tekrarlanır. Ancak bu kez her bir faktör için karar noktalarında

kullanılacak G karşılaştırma matrislerinin boyutu mxm olacaktır. Her bir karşılaştırma

işleminden sonra 1mx boyutlu ve değerlendirilen faktörün karar noktalarına göre yüzde

dağılımlarını gösteren S sütun vektörleri elde edilir. Bu sütun vektörleri aşağıda tanımlanmıştır:

1

21

11

.

.

.

m

i

s

s

s

S

Adım 6 : Karar Noktalarındaki Sonuç Dağılımının Bulunması

Bu aşamada öncelikle, yukarıda anlatılan n tane mx1 boyutlu S sütun vektöründen meydana

gelen ve mxn boyutlu K karar matrisi oluşturulur. Karar matrisi aşağıda tanımlanmıştır:

mnmm

n

n

sss

sss

sss

K

...

..

..

..

...

...

21

22221

11211

Sonuçta karar matrisi W sütun vektörü (öncelik vektörü) ile aşağıdaki gibi çarpıldığında ise m

elemanlı L sütun vektörü elde edilir. L sütun vektörü karar noktalarının yüzde dağılımını verir.

Diğer bir deyişle vektörün elemanlarının toplamı 1 dir. Bu dağılım aynı zamanda karar

noktalarının önem sırasını da gösterir.

1

21

11

2

1

21

22221

11211

.

.

.

.

.

.

...

..

..

..

...

...

mnmnmm

n

n

l

l

l

w

w

w

x

sss

sss

sss

L

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Kullanıldığı Alanlar

İşletmeler için fabrika alanı seçimi, ürün formülasyonu, müşteri memnuniyeti değerlendirme, tedarik-

çi ve satıcı seçimi.

Her türlü örgüt için bütçelendirme, proje seçimi, eleman terfi ve zam değerlendirmesi, risk analizi.

Hastanelerde risk saptaması, teşhis analizi.

Okullarda öğrenci seçimi.

Orduda yüksek maliyetli silah alımı.

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Yararları

Kullanması kolaydır, uzmanlık gerektirmez.

Geniş katılım sağlar.

İletişimi kolaylaştırır.

Amacı bir hiyerarşi içinde düşünmek amaca yönelik düşünülmesini sağlar.

Tutarsızlık ölçülebilir.

Analitik Hiyerarşi Süreci’nin Yararları

Birebir değerlendirerek alternatifleri sıralamaya dayanan çok kriterli karar verme yöntemidir.

Amaçlar ve alt amaçlar iç içe katmanlar halinde ve bir hiyerarşi içinde tanımlanır.

AHP problemleri en az üç katman halinde tanımlanır.

o Amaç (tekil): En iyi arabayı seçmek

o Kriterler: Performans, maliyet, güvenlik, görünüm...

o Alternatifler: Alınması muhtemel arabalar

Karar verici

o Her alternatifin her kriter de ne kadar ‘başarılı’ olduğunu değerlendirir.

o Her kriterin amaca ulaşmadaki görece önemini değerlendirir.

o Yukarıdaki ikisini sentez yaparak her alternatifin amaca ulaşmadaki başarısını

değerlendirir.

o Hiçbir zaman kesin (belli

değerlerle) değerlendirmeler yapmaz. Değerlendirmeler göreceli oranlarla yapılır.

Güvenlik performanstan 3 kat daha önemlidir.

A arabası, B arabasından 2 kat daha güvenlidir.

o Bu değerlendirmeler nesnel ve öznel olabilir.

Üçten fazla kriter veya alternatif için tutarlılık sorunu çıkabilir.

AHP tam tutarlılık (mükemmellik) gerektirmez. Yeterince tutarlılık ister.

BÖLÜM 3

TOPSIS – Technique for Order Preference by Similarity to Ideal

Solution

Topsis Yöntemi Nedir?

Karar verme sürecinde kullanılan yöntemlerden birisi olan TOPSIS, alternatifler arasından en

iyi seçimin yapılmasına imkân tanıyan bir tekniktir. TOPSIS 1981 yılında Hwang ve Yoon

tarafından geliştirilmiş çok kriterli karar verme(ÇKKV) yöntemlerinden birisidir(Hwang ve

Yoon, 1981). TOPSIS kelimesi, Technique for Order Preference by Similarity to Ideal

Solution kelimelerinin baş harferinden oluşmaktadır.

Şekil 3 - Topsis

TOPSIS yöntemi kullanıcısından az sayıda girdi parametresi alırken çıktılarının anlaşılması

oldukça kolaydır. TOPSIS yöntemi ile karar verirken seçilen bir alternatifin ideal çözüme

yakın olması ve ideal olmayan çözüme(negatif ideal) de uzak olması beklenir(Lai ve diğerleri,

1994). Eğer amacımız getiri ise ideal çözüme yakınlık demek getirinin maksimizasyonu,

negatif ideal çözüme uzaklık ise maliyetin minimizasyonu anlamına gelmektedir. Arzulanan

alternatifin ideal çözüme yakınlığı beklenirken bir o kadar da negatif ideal çözümden uzak

olması beklenir. Bir başka ifade ile TOPSİS ile alternatifler içinden ideal olan çözüme yakın,

negatif ideal çözüme uzak olanı seçilir.

Topsis Yönteminin Aşamaları

Adım 1: Karar Matrisinin Oluşturulması

Karar matrisi karar verici tarafından oluşturulması gereken bir matristir. Oluşturulan bu matris

mxp boyutlu bir matris olacaktır. Karar verici satırlarda karar noktalarını gösterirken

sütunlarda ise faktörlere yer verir. Bu matris aşağıdaki gibi gösterilebilir;

Şekil 4 - Topsis Karar Matrisi

Adım 2: Normalize Matrisin Elde Edilmesi

Karar matrisi oluşturulduktan sonra her bir aij değerlerinin(a11,a21,a31…am1) kareleri alınarak bu

değerlerin toplamından oluşan sütun toplamları elde edilir ve her bir aij değeri ait olduğu sütun

toplamının kareköküne bölünerek normalizasyon işlemi gerçekleştirilir. Bu işlem ile ilgili

notasyon aşağıda gösterilmiştir;

(frm-8)

Normalize matris aşağıdaki gibi elde edilir;

Adım 3: Ağırlıklandırılmış Normalize Matrisin Elde Edilmesi

Normalize edilmiş matrise ait her bir değer wij gibi bir değerle ağırlıklandırılır.

Ağırlıklandırma işlemi TOPSIS yönteminin sübjektif yönünü ortaya koymaktadır. Çünkü

ağırlıklandırma işlemi faktörlerin önem derecesine göre yapılmaktadır. TOPSIS yönteminin

tek sübjektif parametresi ağırlıklardır. Burada dikkat edilmesi gereken husus wij değer

toplamlarının 1’ eşit olmasıdır. Yani olacaktır. Normalize matris ile elde edilen

nij değerleri wij ağırlıkları ile çarpılarak ağırlıklandırılmış normalize matris(V matrisi) elde

edilir.

Adım 4: İdeal ve Negatif İdeal Çözüm Değerlerinin Elde Edilmesi

Ağırlıklandırılmış normalize matris(V matrisi) elde edildikten sonra problemin yapısına bağlı

kalmak koşuluyla yani amacımız maksimizasyon ise her bir sütuna ait maksimum değerler tespit

edilir. Bu maksimum değerler ideal çözüm değerlerimizdir. Daha sonra ise yine her bir sütuna

ait minimum değerler elde edilir. Bu da negatif ideal çözüm değerleridir. Eğer amacımız

minimizasyon ise elde edilen değerler tam tersi olacaktır. İdeal ve negatif ideal çözüm

değerlerinin elde edilmesi ile ilgili notasyon aşağıdaki gibi gösterilmiştir;

İdeal çözüm değerleri:

Negatif ideal çözüm değerleri:

Adım 5: İdeal ve Negatif İdeal Noktalara Olan Uzaklık Değerlerinin Elde Edilmesi

İdeal ve ideal olmayan noktalara olan uzaklık değerleri hesaplanırken öklidyen uzaklık

kullanılmaktadır. Koordinat düzleminde x ve y koordinatları bilinen iki nokta arasındaki

mesafenin bulunmasında yani Öklidyen uzaklığın hesaplanmasında;

(frm-9)

xik: i. Gözlemin k. Değişken değeri

xjk: j. Gözlemin k. Değişken değeri

p: değişken sayısını göstermektedir.

İdeal çözüme en yakın öklidyen uzaklık ile negatif ideal çözüme en uzak uzaklık tespit edilmeye

çalışılır. Bu formül ideal ve ideal olamayan noktalara olan uzaklığın hesaplanabilmesi için

genelleştirilecek olursa aşağıdaki gibi bir hesaplama yolu izlenir;

İdeal uzaklık:

(frm-10)

Negatif ideal uzaklık:

(frm-11)

Burada karar noktası sayısı kadar olacaktır.

Adım 6: İdeal Çözüme Göreli Yakınlığın Hesaplanması

Her bir karar noktasının ideal çözüme göreli yakınlığının hesaplanmasında ideal ve ideal

olmayan noktalara uzaklıklardan yararlanılır. İdeal çözüme göreli yakınlık ile sembolize

edilir. Burada değeri aralığında değer alır ve ilgili karar noktasının

ideal çözüme mutlak çözüm yakınlığını gösterirken, ise ilgili karar noktasının negatif

ideal çözüme mutlak yakınlığını gösterir.

(frm-12)

BÖLÜM 4

VIKOR – VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje

Vikor Yöntemi Nedir?

VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje (VIKOR) yöntemi çok kriterli

kompleks sistemlerin optimizasyonu için geliştirilmiştir. Yu (1973) ve Zeleny (1982)

tarafından temelleri atılan uzlaşık çözüm (compromise solution), birbiriyle çelişen kriterlerin

yer aldığı bir karar verme probleminde ortak bir uzlaşma ile anlaşmaya varmak anlamına

gelmekte ve ideale en yakin uygun alternatif çözümü vermektedir. Vikor yöntemi (1997)

Trajkovic, Amakumovic ve Opricovic tarafından ortaya koyuldu. Bu yöntem bir dizi alternatifi

sıralama ve seçmeye odaklanır ve çelişkili kriterli bir problem için karar vericinin nihai karara

ulaşmasına yardımcı uzlaşmacı çözümler belirler.Uzlaşmacı sıralama Vikor yöntemi çoğunluk

için maksimum 'grup faydası' ve aleyhinde minimum bireysel pişmanlık sağlayan, ideale

yakın, uzlaşılan bir çözüm, belirler. Alternatiflerin her bir kritere göre değerlendirildiği

varsayıldığında, uzlaşma sıralaması ideal çözüm yakınlık ölçüsü karşılaştırılarak

gerçekleştirilir. Son on yılda, Vikor çok kriterli ve alternatifli gerçek hayat problemlerini ele

almada daha popüler bir karar destek aracı haline gelmiştir.

Şekil 5

Vikor Yönteminin Aşamaları?

Adım 1: En İyi (fi*) ve En Kötü (fi-) Değerleri’nin Bulunması

Vikor yönteminin ilk basamağı olarak en iyi (fi*) ve en kötü (fi-) değerleri belirlenir. Aşağıda

gösterilen formüllerde; i karşılaştırma kriterlerini (i=1,2,3,…,n) ve j alternatifleri

(j=1,2,3,…,m) göstermektir. Aşağıdaki formüller yardımıyla her bir kriter için en iyi (fi*) ve

en kötü (fi-) değerler belirlenir.

(frm-13)

Adım 2: Sj ve Rj Değerleri’nin Hesaplanması

Her bir kriter için en iyi (fi*) ve en kötü (fi-) değerleri hesaplandıktan sonra her bir alternatif

için Sj ve Rj değerleri hesaplanır. aşağıdaki formüllerle hesaplanan Sj değeri ortalama grup, Rj

ise en kötü grup değerini gösterir.

(frm-14)

Adım 3: Qj Değerleri’nin Hesaplanması

Her bir alternatif için aşağıdaki formül yardımıyla değerlendirme kriterlerine göre belirlenen

Qj değerleri, maksimum grup faydasını gösterir.

(frm-15)

Yukarıdaki formülde gösterilen S* ve R* minimum Sj ve Rj değerlerini, S- ve R-maksimum

Sj ve Rj değerlerini göstermektedir. Kullanılan formüldeki v değeri maksimum grup faydasını

yaratacak strateji için ağırlık değerini, fakat (1-v) değeri ise karşıt görüşteki karar vericilerin

minimum pişmanlığını ifade etmektedir. Vikor yönteminde maksimum grup faydası için v >

0,5 çoğunluk tercihini, v=0,5 konsesusu (uyuşma) ve v < 0,5 vetoyu temsil etmektedir ve bu v

değeri grup kararı ile belirlenmektedir.

Adım 4: Sj, Rj ve Qj Değerleri’nin Sıralanması

Her bir alternatif için hesaplanan Sj, Rj ve Qj değerleri küçükten büyüğe olacak şekilde

sıralanır.

Adım 5: Kabul Edilebilir Avantaj (C1) ve Kabul Edilebilir İstikrar (C2)Kümelerinin

Belirlenmesi

Sj, Rj ve Qj değerlerinin sıralaması göre karar vericiler için kabul edilebilir avantaj (C1) ve

kabul edilebilir istikrar (C2) kümeleri belirlenir. Herhangi bir alternatifin C1 (Kabul Edilebilir

Avantaj) kümesinde yer alabilmesi için aşağıdaki formülde gösterilen koşulu sağlaması

gerekir.

(frm-16)

Gösterilen formüldeki DQ değeri, m alternatif sayısı olmak üzere (1/(1-m)) ile hesaplanır. Qj

sıralamasına göre A2 alternatifi A1 alternatifinden sonraki sırada yer alıyorsa ve (13) numaralı

formülde gösterilen koşul sağlanıyorsa A1 karar noktası C1 grubunda yer alır. Bu hesaplama

yöntemi tüm Qj değerlerine uygulanıp alternatiflerin hangilerinin C1 kümesinde olup olmadığı

tespit edilir. Kabul edilebilir istikrar (C2) kümesi ise Sj, Rj ve Qj sıralamalarının tamamında

aynı sırada yer alan alternatiflerden oluşur. C1 ve C2 kümelerinin her ikisinde yer alan

alternatifler sıralama mantığına göre istikrarlı karar noktalarını gösterir.

Vikor Yöntemi Kullanılabilmesi için Gerekli Koşullar

Fikir ayrılıklarının çözüme ulaştırılmasında uzlaşma kabul edilebilir olmalıdır.

Karar verici, ideal çözüme en yakın çözümü kabul etmeye istekli olmalıdır.

Karar verici için fayda ile her kriter fonksiyonu arasında doğrusal bir ilişki olmalıdır.

Alternatifler, belirtilen tüm kriterler için değerlendirilmelidir.

Karar vericinin tercihleri ağırlıklar ile ifade edilir olmalıdır.

VIKOR yöntemi, karar vericinin etkileşimli katılımı olmadan başlar, fakat karar verici

nihai çözümü onaylamaktan sorumludur. Karar verici, bu nihai çözüme kendi tercihlerini

de dâhil edebilir.

Vikor Özellikleri

Birbiri ile çelişen kriterler içeren problemler için uzlaşık çözüm, karar vericilere karara

ulaşmada yardımcı olur

VIKOR, uzlaşık bir sıralama belirlemeyi ve belirtilen ağırlıklar altında uzlaşık çözüme

ulaşmayı sağlayan bir yöntemdir.

Birbiri ile çelişen kriterler altında alternatiflerin sıralamasını belirleyerek en uygununun

seçilmesini içerir.

VIKOR yöntemi, ideal çözüme yakınlığa dayanan çok kriterli sıralama indeksini ele alır.

VIKOR yöntemi ilk kez Opricovic ve Tzeng (2004) tarafından karmaşık sistemlerin çok

kriterli optimizasyonu için önerilmiştir.

Vise Kriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje ifadesinin kısaltılmış yazımı

olan VIKOR’un dilimizdeki anlamı ise; çok kriterli optimizasyon ve uzlaşık çözümdür.

Tzeng vd. (2005), Taiwan’da toplu taşımada kullanılacak otobüs yakıtlarının

değerlendirilmesinde TOPSIS ve VIKOR yöntemlerinden yararlanmışlardır

VIKOR yöntemi, birbiri ile çelişen kriterlerin olması durumunda alternatifler kümesinden

birinin seçilmesi ya da alternatiflerin sıralanmasını ele alır.

Her alternatifin her kriter için değerlendirildiği varsayımı altında, ideal alternatife yakınlık

değerleri karşılaştırılarak uzlaşık sıralamaya ulaşılır.

BÖLÜM 5

MCDA Yazılımı ile İş Yeri Seçimi Uygulaması

Uygulama Tanımı

MCDA proje ödevi için yazılan web tabanlı uygulamaya http://mcda.azurewebsites.net adresi

üzerinden erişim sağlayabilirsiniz. Aşağıdaki örnek uygulama bu yazılım üzerinde

gerçekleştirilecektir. Uygulama örneği, bir işçinin iş yeri seçiminde alternatifleri ve kriterleri

üzerinden değerlendirilecektir. Bu değerlendirme için, öncelikle ;

AHP ile kriterler belirlenecek,

Kriterlerin ağırlıkları belirlenecek

Alternatifler belirlenecek

Her bir kriter için alternatifler karşılaştırılacak

Topsis Karar Matrisi oluşturulacak ve Topsis ile hesaplanacak.

Vikor için “v” değeri değiştirilerek vikor sonucu elde edilecek.

Not: Yukarıdaki maddeler de ve uygulama içerisinde(i) her bir adım için formüller ve işlem

adımları anlatılmıştır. Bu nedenle aşağıdaki yazılım tanıtımında formüllere yer

verilmeyecektir.

Hedefin Belirlenmesi

Değerlendirmesini gerçekleştireceğimiz hedefe bir isim belirliyoruz. Bu ismi belirledikten

sonra hedefin kriterlerini belirlemek üzere ikinci adıma geçmek için “Devam” butonuna

tıklıyoruz.

Resim 1 – Hedefin Belirlenmesi

Kriterlerin Belirlenmesi

İkinci adıma geçtiğimiz de yeni bir kriter eklemek için “Kriter Ekle” butonuna tıklanır. Bu

buton dinamik olarak farklı id’lere sahip alanlar (textbox) oluşturur. Oluşturulan her bir alan

istenirse yandaki X butonu ile silinebilir. Form üzerinde dinamik olarak n kadar alan

oluşturulabilir.

Resim 2 – Kriterlerin Belirlenmesi

“Kriter Ekle” butonuna tıklayarak dört adet kriter oluşturduk. Kriterlerimizi maaş, yaşam

kalitesi, sosyal haklar ve kariyer planlama olarak belirledik.

Resim 3- Kriterler

Kriterlerin Karşılaştırılması

Kriterlerin belirlenmesinin ardından üç nolu işleme geçtiğimiz de kriterler karşılaştırılarak

birbirlerine olan değerleri belirlenir. Bir kriterin diğerine göre değerini atadığınız da uygulama

otomatik olarak karşılığını diğer karşılaştırmada atayacaktır. Örnek olarak Maaş, Yaşam

kalitesine göre 3 kat önemli ise, Yaşam Kalitesi, Maaş kriterinin karşılığına otomatik olarak

1/3 değeri gelecektir. Matris tablo üzerinde karşılıklı aynı gelen kriterlerin değeri 1 olarak

atanmıştır. Kriterlere ait karşılaştırma matrisi Resim-4 de yer almaktadır.

Resim 4 - Kriter Karşılaştırma Matrisi

Şekil- 5 üzerinde değerleri atadıktan sonra, sütun toplamlarının alınması ve normalizasyonun

hesaplanması için “Normalizasyon Hesapla” butonuna tıklanır. Böylece Resim-5 de görüldüğü

üzere kriterlerin sütun toplamları elde edilir. Aynı zamanda bu matris tablosunun

normalizasyon tablosu da oluşturulmuştur. Tabloyu görüntülemek için “Devam” butonuna

tıklayarak ilerleyiniz.

Resim 5 - Kriter Karşılaştırma Matrisi

Normalizasyon Tablosu ve Tutarlılık Oranı

Resim-6 üzerinde kriterlere ait normalizasyon tablosu, kriterlerin ağırlık değerleri ve tutarlılık

oranı (0.018) yer almaktadır. Kriterler için girilen değerler 0.10 altında olduğu için tutarlıdır.

Eğer bu değer üzerinde bir değer elde edilseydi tutarsız olacaktı ve kırmızı arka plan rengi ile

gösterilecekti.

Resim 6 - AHP Normalizasyon

Alternatiflerin Belirlenmesi

Kriterler için gerekli işlemleri tamamladıktan sonra alternatiflerimi belirliyoruz. İşlemimiz

aynen kriter belirleme ekranının özelliklerini taşımaktadır.

Resim 7 - Alternatiflerin Belirlenmesi

Her Bir Kriter için Alternatiflerin Karşılaştırılması

6 nolu işleme geçtiğimiz de her bir kriter için alternatifleri karşılaştıracağımız tablolar yer

alacaktır. Bizim dört adet kriterimiz olduğu için dört adet tablo ve bu tablonun matrislerinde

alternatif isimleri yer alacaktır. Ekran görüntüleri Resim-8 ve Resim-9 ‘da yer almaktadır.

Resim 8 - Alternatiflerin Karşılaştırılması -1

Değerler verildikten sonra sayfanın en altında yer alan “Normalizasyon Hesapla” butonuna

tıklanarak sütunların toplamları hesaplanır ve normalizasyon tabloları oluşturulur. Oluşturulan

normalizasyon tabloları ve karşılaştırmalara ait tutarlılık değerleri “7 nolu” işlemde yer

almaktadır.

Resim 9 - Alternatiflerin Karşılaştırılması -2

Alternatiflerin Normalizasyonu

Alternatiflerin normalizasyonun hesaplanması, aynen kriter hesaplamalarında kullanılan

işlemler geçerlidir. Buradaki tek fark, her bir alternatif karşılaştırma tablosu için işlemlerin

tekrar etmesidir. Elde edilen değerler Resim-10’da yer almaktadır.

Resim 10 - Alternatiflerin Normalizasyonu

AHP Sonucu ve Karar

Gerçekleştirilen işlemler sonucunda elde edilen değerler üzerinden en yüksek değere sahip

alternatif bizim kararımız olacaktır. Turkcell seçeneği 0.380 oranı ile birinci alternatif

olmuştur.

Resim 11 - AHP Sonuç

Topsis Yöntemi ile Hesaplama

AHP ile sonucumuzu elde ettikten sonra, dilersek Topsis ile de hesaplama gerçekleştirebiliriz.

Bunun için “Devam” butonuna tıklanır ve Resim-12 de yer alan “Topsis ile Hesapla” butonuna

tıklanır. Karşımıza çıkan alternatiflerin oluşturduğu “Karar Matrisi” doldurulur. Karar

matrisinin tüm alanları doldurulduktan sonra “Topsis Hesapla” butonuna tıklanarak

hesaplamaların yapılması sağlanır. Aşağıdaki hesaplamaların tamamı “Topsis Hesapla”

butonuna tıklandıktan sonra gerçekleştirilir, ancak konunun daha iyi anlaşılması için burada

ekran görüntüleri ayrı ayrı ifade edilecektir.

Resim 12- Topsis Hesapla

Öncelikle “Toplamlar Karekökü” tablosu oluşturulur. Bu tablodaki veriler aşağıdaki diğer

işlemler için kullanılacaktır.

Resim 13 - Toplamlar Karekökü

Yukarıdaki değerler kullanılarak Normalizasyon Matirisi , Ağırlıklandırılmış Normalizasyon

Matrisi, İdeal ve Negatif İdeal değerleri, İdeal Uzaklık ve Negatif Uzaklık değerleri ile Sonuç

Tablosu oluşturulur.

Resim 14- Normlizasyon ve Ağırlıklandırılmış Normlizasyon Matrisi

Resim 15 - İdeal/Negarif İdeal - İdeal / Negatif Uzaklık Değerleri

Resim 16 - Topsis Sonuç

Vikor Yöntemi ile Hesaplama

Topsis işlem sonucu elde ettikten sonra, “Devam” butonuna tıklayarak ilerlenir. Vikor ile

hesaplama işlemi için “Vikor ile Hesapla” butonuna tıklandığında Topsis hesaplama da

belirlediğimiz Karar Matrisi değerleri kullanılacağından tablo burada gösterilmiştir. Ayrıca

yine Topsis’de olduğu gibi AHP’de belirlenen kriter ağırlıkları ve alternatiflerin değerleri

Vikor içinde geçerli olacaktır.

İlk işlem için Resim-17-‘de yer alan “Vikor Max/Min Hesapla” butonuna tıklanarak Karar

Matrisinin deki her sütunun max ve min değerleri belirlenir.

Resim 17- Vikor Hesaplama

Resim-18 ‘de belirlenen max ve min değerleri 1.adım tablosunda yer almaktadır. Ayrıca

aşağıdaki diğer işlemlerde kullanılmak üzere daha önce AHP ile belirlenen kriter ağırlıkları da

bu tablonun en sağında yer almaktadır.(W)

Yine Resim-18 2.Adım tablosunda Sj ve Rj Değerleri’nin Hesaplanarak tabloya ilgili veriler

yazdırılmıştır.

Bu hesaplamalar tamamlandıktan sonra Qj değerlerinin hesaplanması, Sj,Rj ve Qj değerlerinin

sıralaması için bizden V değerinin girilmesi istenmektedir. (küsurlu sayı için .(nokta)

kullanınız)

Resim 18- Min/Max Değerleri ile Sj ve Rj Değerleri

Resim-19 ‘da V değerini belirlediğimiz de yukarıda belirttiğimiz üzere Qj değerlerinin

bulunduğu tablo ve Sj, Rj ve Qj değerlerinin sıralamasının yer aldığı tablolar belirlenecektir.

Resim 19 - Vikor Sonuç

Resim-19’da ayrıca Vikor için belirlenen 1. ve 2. Koşulların oluşup oluşmadığını da

göstermektedir. Koşul sağlanmış ise yeşil arka planla, sağlanmamış ise kırmızı arka planla ve

açıklamaları ile ifade edilmektedir.

SONUÇ

Karar vermenin geçmişte ve günümüzde önemi her alan da büyük öneme sahiptir. Karar

verirken, birden fazla kriterin, seçeneğin olması çoğu zaman doğru kararlar vermeyi

etkilemektedir. Bu kararlar bazen ufak maliyetli işleri kapsarken, bazen büyük kurumsal

yapıları, araştırmaları ve hatta ulusların geleceğini etkilemektedir.

Yukarıdaki maddelerde bilgilerini paylaştığım ödevimin ve yazılımın amacı, birey, kurum ve

kuruluşlara karar vermelerinde bir nebze olsun yardımcı olmaktır. Öncelikle, “Çok Kriterli

Karar Verme Sistemleri” hakkında bilgi verilmiş olup, AHP, TOPSIS ve VIKOR detaylı

olarak işlenmiştir. Ardından bu sistemlere ait yazılımsal bir uygulama geliştirilerek bütünleşik

bir hale getirilmiştir.

Görüleceği üzere bazı karar sonuçları yöntemlere göre aynı çıksa da, bazı durumlar da farklılık

göstermektedir. Yani AHP’de birinci seçenek TOPSIS ve VIKOR da birinci seçenek olarak

gelmeyebiliyor. Bu nedenle her bir sonucunda farklı karar kriterlerine göre değerlendirdikten

sonra uygulamaya konulması yerinde olacaktır.

MCDA YAZILIMI HAKKINDA

MCDA uygulaması, Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Bilişim Sistemleri Ana

Bilim Dalı Uzaktan Tezsiz Yüksek Lisans programında "Proje Ödevi" için hazırlanmıştır.

Asp.Net MVC platformu üzerinde, Jquery,HTML5,CSS3 ve Bootstrap kullanılarak Ahmet

SÖNMEZ tarafından geliştirilmiştir.

s

d

s

Uygulama içerisinde butonuna ile her bir sayfadaki işlem adımlarına ait açıklamalar ve

formüller yer almaktadır. Ayrıca uygulamanın ilk giriş sayfasında yine MCDA, AHP, Topsis

ve Vikor için detaylı bilgiler yer almaktadır.

KAYNAKÇA

http://www.deu.edu.tr/userweb/k.yaralioglu/dosyalar/Analitik_Hiyerarsi_Proses.doc

http://yunus.hacettepe.edu.tr/~aulucan/ppt/AHP.ppt

http://www.muhlisozdemir.com/blog/topsis/?lang=TR

http://iibfdergi.karatekin.edu.tr/Makaleler/2052549987_JFEAS_4_1_14.pdf

www.deu.edu.tr/userweb/k.yaralioglu/dosyalar/TOPSIS_Yontemi.doc

https://www.academia.edu/4483483/VIKOR_Method

http://www.tepav.org.tr/tur/admin/dosyabul/upload/Cok_Amacli_Karar_Verme.pdf

http://dergisosyalbil.selcuk.edu.tr/susbed/article/download/151/135

http://dergi.iibf.deu.edu.tr/index.php/cilt1-sayi1/article/download/339/pdf_312

http://docplayer.biz.tr/523503-Ahp-vikor-ve-moora-yontemlerinin-depo-yeri-secim-

probleminde-uygulanmasi.html

http://www.mmfdergi.gazi.edu.tr/article/view/1061001498/pdf_4