bootstrap de volatilidades -...

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and Econo-mics) vol. 6, num. 2 (2012), pp. 01-28.

Bootstrap de VolatilidadesRicardo Massa*

Montserrat Reyna**

Recibido 12 de Octubre de 2012. Aceptado 04 de Diciembre de 2012.

Resumen

Con la gran expansion que ha sufrido el mercado de derivados de tasa de interes enlas ultimas decadas se ha vuelto indispensable contar con herramientas de valuacionpara estos instrumentos. Es claro que para valuar estos derivados se debe conocer laestructura del subyacente, y sea cual sea el modelo de valuacion que se desee seguires crucial conocer la volatilidad de la tasa de interes. En el presente trabajo revisamoscon cuidado un algoritmo para obtener las volatilidades tipo forward para la TIIE 28 yrealizamos la valuacion de un Cap sobre esta mediante la formula de Black.

Abstract

With the great expansion that the derivatives-on-interest-rate market has suffered inthe last few decades, it has become crucial to have useful tools to value this type ofinstruments. It is clear that, in order to make a correct valuation of these instruments,the structure of the underlying asset must be known; hence, for any type of modelchosen to value an interest rate derivative, one must know the structure of its volatility.In this paper we review carefully an algorithm to obtain the forward volatilities of theTIIE 28 of the Mexican market, and use it to value a Cap applying Black’s formula.

Clasificacion JEL: G12Palabras Clave: derivados de tasa de interes, cap, floor, volatilidad.

Introduccion

Un producto Derivado de Tasas de Interes es un producto financiero cuyos pagos ypor tanto su precio dependen del nivel de una tasa de interes. Segun Venegas (2008),a partir de la decada de los 80‘s se ha observado un crecimiento importante en elmercado de los derivados de tasas de interes, por lo que contar con metodos para suvaluacion se ha vuelto indispensable.

Los derivados de tasas de interes mas comunes son los caps y los floors, estos sonopciones sobre tasas de interes, que protegen bien de una subida inesperada en la tasade interes o una caıda respectivamente.

*Departamento de Economıa y Finanzas, ITESM Campus Santa Fe. Tel. (55) 91778000 Ext. 7852 [email protected]**Candidata a doctora en Ciencias Financieras por el ITESM. Tel (55) 43841092,[email protected]

2 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

Ademas de los derivados de tasas de interes existen otros instrumentos interesantesque son hıbridos entre instrumentos de deuda y derivados, a saber, las notas estructu-radas Venegas (2007). Una nota estructurada es por ejemplo un portafolio consistentede un bono cuponado flotante y la opcion de recomprarlo en una fecha futura. La op-cion puede ser un cap, un floor, o un portafolio de ambos (llamado collar por obviasrazones).

De acuerdo a Longstaff et al. (2001) el crecimiento del mercado de swaps de tasasde interes durante las ultimas decadas ha llevado al crecimiento del mercado de capsde tasas de interes y de swaptions (ambos derivados de tasas de interes), ademas Vene-gas (2007) afirma que el mercado de notas estructuradas tambien a tenido un ampliocrecimiento desde la decada de los 90, esto hace que el contar con herramientas paravaluar derivados de tasa de interes sea de gran importancia.

Ho & Lee (1986) senalan que la valuacion de demandas contingentes sobre tasasde interes depende crucialmente tanto de su estructura intertemporal ası como de sucomportamiento estocastico.

Uno de los primeros intentos de resolver el problema de la valuacion de demandassobre tasas de interes es el de Pye (1966), quien asume que las tasas de interes semueven de acuerdo a una matriz de transicion de un proceso de Markov. De acuerdoa Ho & Lee (1986) las investigaciones mas recientes se han efocado en desarrollarmodelos de equilibrio.

Bali (2007) menciona que, tanto en los modelos de equilibrio de las tasas de interescomo en los modelos de arbitraje, se usan la tasa de interes y su volatilidad estimadacomo entradas para valuar las demandas contingentes sobre ellas. Es por eso que pro-pone que, para calcular la estructura de volatilidad de las tasas de interes, se utilice unadistribucion de valores extremos; su aplicacion la realiza al mercado de los Bonos delTesoro de los Estados Unidos.

Para calcular la estructura de volatilidad de las tasas de interes Bali (2007) proponeel uso de una distribucion de valores extremos y lo aplica al mercado de los Bonos delTesoro de los Estados Unidos.

De acuerdo a Hull & White (1990), en la practica comunmente se asume que latasa forward es lognormal y se sigue el modelo de Black (1976) para la valuacion. Sinembargo concuerdan mas con el uso de algun modelo de tasas de interes, por ejemploVasicek (1977) o Cox et al. (1985), e incluso proponen extensiones de estos.

Ya sea que se use un modelo de equilibrio o se suponga alguna distribucion paralas tasas de interes, es crucial conocer la estructura de volatilidades de esta.

El objetivo del presente trabajo es, a traves de la metodologıa de bootstraping devolatilidades, realizar el calculo de la estructura de volatilidades tipo forward y con ellarealizar la valuacion de un Cap de tasa de interes bajo la formula de Black (1976). Estametodologıa nos ayuda a encontrar la estructura de volatilidades tipo forward que lograque un Cap valuado con dichas volatilidades (cada una valua el caplet correspondiente)tenga el mismo precio; a diferencia de cuando se valua con una volatilidad unica.

Para la realizacion de este trabajo, se ha implementado un codigo en Visual Basicfor Applications y Microsoft Excel. Se han usado datos sobre Caps de la Tasa de InteresInterbancaria de Equilibrio del mercado mexicano (TIIE 28) y sus volatilidades en elperiodo de Diciembre 2006 a Diciembre 2016. Dichos datos fueron obtenidos a traves

Bootstrap de Volatilidades 3

del proveedor de precios: Valuacion Operativa y Referencias de Mercado S.A. de C.V.(VALMER)

En la Seccion 1 se presentan algunas definiciones necesarias para el entendimien-to del trabajo, en seguida se presentan algunos teoremas que sustentan el metodo deBootstraping de Volatilidades; siendo el Teorema del Punto Fijo de Brower1 el masdestacado. Reprodujimos la prueba de Milnor (1978), que hace uso del Teorema de laBola Peluda y del cual Jarvis & Tanton (2004) proponen una prueba que utiliza com-binatoria para realizarlo. Posteriormente, se revisan los Metodos de Newton-Raphsony del Punto Fijo para obtener raıces de funciones. En la Seccion 3, se presenta ladescripcion del Metodo de Bootstraping de Volatilidades, ademas de los resultados yconclusiones del ejercicio para la TIIE 28 del mercado mexicano.

1. Preliminares1.1 Definiciones Basicas

Asumimos que el lector esta familiarizado con las definiciones de conjunto, operacio-nes basicas entre conjuntos (union, interseccion), pertenencia a un conjunto, espaciovectorial, producto punto, Rn, funcion, funcion inversa, polıgono, sucesion2.

Sean A,B conjuntos tales que A \ B 6= ;, sea f : A ! B una funcion. Entoncesdecimos que x 2 A \B es un punto fijo de f si f(x) = x.

Sea A un conjunto y B ✓ A, entonces el complemento de B en A es el conjun-to ˆB = {c 2 A | c /2 B}, cuando es claro del contexto quien es el conjunto Asimplemente decimos que ˆB es el complemento de B.

Sea X un conjunto y sea ⌧ ✓ P(X) que cumple con lo siguiente:i) X 2 ⌧ , ; 2 ⌧ ;ii) Si A 2 ⌧ y B 2 ⌧ , entonces A \B 2 ⌧ ;iii) Si {Aj}j2J ✓ ⌧ , entonces

Sj2J Aj 2 ⌧ ;

entonces decimos que ⌧ es una topologıa sobre X y que (X, ⌧) es un espacio topologi-co. Ademas se dice que A 2 ⌧ es un conjunto abierto y C es un conjunto cerrado siˆC 2 ⌧ .

Sea (X, ⌧X) un espacio topologico, sea U 2 ⌧X un abierto de X , sea x 2 U ;entonces decimos que U es un abierto alrededor de x.

Sea X un conjunto, sea A ✓ X , entonces la topologıa inducida por A sobre X, ⌧Aes la topologıa mas pequena que contiene a A, es decir, si ⌧ es una topologıa sobre Xy A ✓ ⌧ , entonces ⌧A ✓ ⌧ .

Sea X un conjunto y sea d : X ⇥X ! R+ [ {0} una funcion que cumple que:i) d(x, y) � 0 para cada x, y 2 X ,ii) d(x, y) = d(y, x) para cada x, y 2 X ,iii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y;entonces decimos que d es una metrica y que (X, d) es un espacio metrico.

1Se dice que el 99% de los matematicos conoce su enunciado, pero solo el 1% es capaz de demostrarlo,ya que la demostracion requiere herramientas avanzadas de topologıa algebraica.

2Las definiciones que se presentan en esta seccion son muy conocidas, para una referencia el lector puedeconsultar Spivak (2003), Dugundji (1967), Courant & Fritz (2005) o Elliot (1982).


Sea X un conjunto, el diametro de X se define como

diam(X) = max{d(x, y) | x, y 2 X,x 6= y}.

La bola abierta de dimension n con centro en x y radio r, Bn(x, r), es el conjunto{y 2 Rn | d(x, y) < r}. Cuando la dimension n en la que se esta trabajando no sepreste a ambiguedad entonces simplemente se denotara a la bola abierta como B(x, r).

La topologıa usual de Rn es aquella generada por el conjunto A = {B(x, r)|x 2Rn, r 2 R}.

La bola cerrada de dimension n con centro en x y radio r, ¯Bn(x, r), es el conjunto{y 2 Rn | d(x, y) r}. Cuando la dimension n en la que se este trabajando nose preste a ambiguedad simplemente se denotara ¯B(x, r). El lector puede demostrarque en efecto la bola cerrada con centro en x y radio r es un conjunto cerrado bajo latopologıa usual de Rn.

La frontera de la bola cerrada (o de la bola abierta) de dimension n con centro enx y radio r es el conjunto @ ¯Bn(x, r) = {y 2 Rn | d(x, y) = r}.

Sean A, B conjuntos y sea f : a ! B una funcion. Sea C ✓ A, la imagen directade C bajo f es el conjunto f [C] = {y 2 B | 9c 2 C talque f(c) = y}. SeaD ✓ B, entonces la imagen inversa de D bajo f es el conjunto f�1

[D] = {a 2A | f(a) 2 D}.

Sean A, B conjuntos; sea f : A ! B una funcion. Decimos que f es inyectiva sipara cada a1, a2 2 A sucede que f(a1) = f(a2) si y solo si a1 = a2. Decimos que fes suprayectiva o sobre si para cada b 2 B existe a 2 A tal que f(a) = b. Decimosque f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Sean (X, ⌧X), (Y, ⌧Y ) espacios topologicos. Sea f : X ! Y una funcion. Deci-mos que f es continua si para cada U 2 ⌧Y sucede que f�1

[U ] 2 ⌧X . Decimos que fes un homeomorfismo si f es biyectiva y tanto f como f�1 (la funcion inversa de f )son continuas.

El disco de dimension n, Dn es la imagen de un homeomorfismo de ¯Bn(x, r)en Rn, podemos pensar que Dn

= {x 2 R | ||x|| 1}. La frontera del disco dedimension n, @Dn, es la imagen homeomorfa de @ ¯Bn(x, r), entonces @Dn

= {x 2R | ||x|| = 1}.

La esfera de dimension n, Sn es la frontera de Dn+1, es decir un conjunto homeo-morfo a {y 2 Rn+1 | d(y, x) = r; x, r fijos}.

Sea P un polıgono. Una triangulacion de P es una descomposicion de P entriangulos T = {t1, . . . , tk} de forma quei) P =

Si2{1,...,k} ti;

ii) los vertices de cualquier ti son vertices de Piii) los triangulos o bien comparten un lado, o se tocan en un vertice o son disjuntos;ademas esta demostrado que cualquier polıgono admite una triangulacion y que si Ptiene k vertices, cualquier triangulacion T de P tendra k � 2 triangulos (notese que Pno necesariamente es convexo, puede tener puntos en el interior).

Sea (X, ⌧) un espacio topologico. Sea {Ui | i 2 I} ✓ ⌧ tal que X ✓S

i2I Ui,entonces decimos que {Ui}i2I es una cubierta abierta de X.

Sea (X, ⌧) un espacio topologico, decimos que X es compacto si para cada cu-bierta abierta {Ui}i2I de X existe una subcuebierta finita, es decir, existe k 2 N tal


que existen U1, . . . , Uk 2 {Ui}i2I tales que X ✓Sk

i=1 Ui. Si X es un espacio metri-co, entonces X es compacto si y solo si para cada sucesion {xi}i2I ✓ X existe unasubsucesion convergente, es decir, existe x⇤ y un conjunto de ındices K ✓ I tales que{xik}k2K ! x⇤.

El lector puede demostrar que la esfera Sn y el disco Dn son conjuntos compactos.Sea (X, ⌧) un espacio metrico, un Campo Vectorial es una funcion ~A : X ! Rn.

La representacion geometrica de los campos vectoriales se realiza mediante las lıneasvectoriales.

Sea ⌦ un conjunto y sea F ✓ P(⌦) (la potencia de ⌦) tal que:i) ⌦ 2 F ,ii)A 2 F ) ˆA = ⌦�A 2 F ,iii)An 2 F , n � 1 )

S1n=1 An 2 F ,

entonces decimos que F es una �-algebra sobre ⌦.Sea ⌦ un conjunto y F una �-algebra sobre ⌦ tal que 2 F . Sea P : F ! [0,1]

una funcion con las siguientes propiedadesi) P () = 0,ii) Sean A 2 F y An 2 F , n � 1 tales que Ai \ Aj =, i 6= j y A =

S1n=1 An,

entonces P (A) =

P1n=1 P (An),

iii)P (⌦) = 1;entonces decimos que P es una medida de probabilidad sobre ⌦.

Sea ⌦ un conjunto y F una �-algebra sobre ⌦, sea µ una funcion que cumple lospuntos i) y ii) de la definicion anterior, entonces decimos que µ es una medida sobre⌦. Ademas decimos que (⌦,F) es un espacio medible y que (⌦,F , µ) es un espaciode medida.

Sea⌦ un conjunto, F una �-algebra sobre⌦ y P una medida de probabilidad sobre⌦, entonces decimos que (⌦,F , P ) es un espacio de probabilidad.

Sean (⌦,F ]) y (S,⌃) espacios medible. Sea X : (⌦,F) ! (S,⌃) tal que paracada B 2 ⌃

X�1[B] 2 F ,

entonces decimos que X es una funcion F-medible.Sea (⌦,F , P ) un espacio de probabilidad y (S,⌃) un espacio medible. Sea X :

(⌦,F) ! (S,⌃) medible, entonces decimos que X es una variable aleatoria.Sea (⌦,F , P ) un espacio de probabilidad, y sea F = {Ft}t2T una familia de �-

algebras sobre ⌦ tales que para cada t 2 T Ft ✓ F y tales que siempre que s tentonces Fs ✓ Ft. Entonces decimos que F es una filtracion.

Sea (⌦,F , , P ) un espacio de probabilidad con una filtracion F, sean Xt, t 2 Tvariables aleatorias, a la familia {Xt}t2T se le llama proceso estocastico. Decimosque el proceso estocastico {Xt}t2T es adaptado si para cada t 2 T , Xt es Ft-medible.

Sea (⌦,F , , P ) un espacio de probabilidad con una filtracion F. Un Proceso deWiener o Movimiento Browniano es un proceso estocastico {Wt}t�0 que cumple quei) W0 = 0 con probabilidad 1,ii) Wt es continuo en t para cada t � 0,iii) {Wt}t�0 es adaptado a F,iv) Si 0 s < t, entonces el incremento Wt �Ws es independiente de F y normal-mente distribuido con media 0 y varianza t� s.


1.2 Teoremas

Empezaremos con el resultado de combinatoria que anunciamos al principio del capıtu-lo el Lema de Sperner, quien en 1928, presento un resultado simple pero poderososobre triangulos.

Lema 1. de Sperner

Si P es un polıgono con una triangulacion arbitraria T y etiquetamos los verticesde la frontera de P con ”A”, ”B” o ”C” de tal forma que todas las aristas ”A � B”

que aparecen tienen la misma orientacion, entonces cualquier intento de etiquetar losvertices interiores, de nuevo con ”A”, ”B” o ”C” necesariamente produce al menosn = |{ aristas exteriores inicialmente etiquetadas con ”A � B”}| subtriangulos eti-quetados ”A�B � C”.

Demostracion:Imaginemos que el polıgono triangulado es el piso de un palacio con cuartos truangu-lares, donde las aristas A�B (tanto exteriores como interiores) son puertas y todas lasdemas aristas son paredes. Entonces, por hipotesis, hay n puertas por las cuales puedesentrar al palacio desde el exterior.

Si uno entra al palacio desde el exterior y despues sigue el camino de cuartos ypuertas tan lejos como pueda llegar sucede que acaba o bien dentro del palacio, o fuerade el. Observemos que para salir del palacio debimos haber pasado por una puerta, quees una arista A�B, pero esto es imposible pues todas las puertas estaban etiquetadascon la misma orientacion A�B, de modo que nuestro camino debe terminar dentro depalacio. En el cuarto donde termina hay una puerta A � B, el tercer vertice no puedeestar etiquetado con A o B o habrıa podido salir de ahi, de modo que esta etiquetadocon C, ası que termine en un cuarto A�B � C.

Ahora observemos que no puedo entrar a un cuarto dos veces, pues ningun cuartotiene dos puertas A � B, ası que los n caminos que puedo tomar al principio debenterminar en n cuartos distintos, dichos cuartos son los n triangulos A � B � C quebuscabamos.

Q.E.D.

Si uno no orienta bien las puertas exteriores del palacio pordrıa acabar entrandopor una puerta A� B y despues saliendo por una de orientacion inversa B � A, peroen este caso todavıa acabarıamos adentro en tantos cuartos cuantas puertas A � Btengamos en exceso, ası podemos enunciar el siguiente resultado

Lema 2. Cualquier forma de etiquetar los vertices de un polıgono P triangulado conlas etiquetas ”A”, ”B” y ”C”, contiene al menos d tiriangulos etiquetados ”A�B�C”, donde d es la diferencia entre el numero de aristas exteriores etiquetadas ”A�B”

y el numero de aristas exteriores etiquetadas ”B �A”.

Ahora si estamos listos para demostrar el Teorema de la Bola Peluda. Este teoremadice que un campo vectorial continuo tangente a una esfera de dimension par se anulaen algun punto, es decir, una esfera de dimension par no admite un campo vectorialtangente que sea continuo y distinto de cero en todos los puntos; en otras palabras lo


Figura 1: Los caminos terminan dentro del palacio.

Figura 2: Fuente: Jarvis & Tanton (2004)

que el teorema dice es que si tenemos una bola de dimension par con pelos, siempreque intentemos peinarla de forma que los pelos sean tangentes a la bola y de forma queel angulo entre los pelos cambie continuamente (es decir que para cualquier angulo quedeseemos, siempre hay pelos muy cercanos con angulo entre ellos mas pequenos queel deseado), entonces siempre nos va a salir un remolino (Jarvis & Tanton (2004)).

Teorema 1. Bola Peluda

Sea n par, entonces Sn no admite ningun campo vectorial tangente continuo devectores no nulos.

Demostracion:Lo demostraremos solo para el caso n = 2. Supongamos que existe un campo vectorialtangente continuo a S2 de vectores no nulos. Usaremos este supuesto campo paraetiquetar la triangulacion de algun polıgono.

Primero escojamos algun punto N de la esfera como el polo norte. Como asumi-mos que el campo vectorial tangente es continuo entonces existe un abierto P de S2

alrededor de N dentro del cual todos los vectores apuntan en virtualmente la mismadireccion, es decir, dado " > 0 existe P abierto alrededor de N tal que si nos escoge-mos cualesquiera dos vectores tangentes dentro de P el angulo entre ellos es a lo mas". Sea " = 1

�.Ahora dibujemos cırculos sobre la esfera que sean tangentes en N y cubran toda

la esfera, todos con la misma direccion (nos quedara como el dibujo de un campomagnetico de un dipolo). Observemos que uno de estos cıculos parte la esfera en doshemisferios.

Sea p un punto en la esfera distinto de N , entonces p esta sobre uno y solo uno delos cırculos que acabamos de dibujar. Sea ✓(p) el angulo medido en grados en sentidocontrario a las manecillas del reloj que se forma entre el vector tangente en p (delcampo vectorial tangente a la esfera) y la direccion en la que pintamos el cırculo, es


Figura 3: Cırculos sobre la esfera.


decir, la direccion del vector tangente unitario al cırculo en p.Etiquetemos el punto p con ”A” si ✓(p) 2 [0

�, 120�), con ”B” si ✓(p) 2 [120

�, 240�)y con ”C” si ✓(p) 2 [240

�, 360�). Ası tenemos todos los puntos de la esfera etiqueta-dos con ”A”, ”B” o ”C”, excepto el polo norte.

Consideremos ahora la frontera @P del disco P . Observemos que el angulo ✓ re-corre dos vueltas completas cuando caminamos una vez sobre @P . Por continuidad esposible encontrar puntos pA, pB , pC sobre @P y todos sobre el mismo hemisferio yotra terna de puntos qA, qB , qC sobre @P en el hemisferio opuesto, que cumplen que✓(pA) = ✓(qA) = 60

�, ✓(pB) = ✓(qB) = 180

� y ✓(pC) = ✓(qC) = 300

�.De nuevo por continuidad y gracias a que " = 1

�, podemos estar seguros de quetodos los puntos en la frontera entre pB y pC tienen solo etiquetas ”B” o ”C”, todoslos puntos entre pC y qA tienen etiquetas ”C” y ”A” solamente y analogamente para elresto de los casos. Podemos darnos una idea de que es lo que pasa (que hemos descritohasta ahora) viendo la figura 3, en ella todos los pelos del disco alrededor de N apuntanescencialmente a la derecha, y podemos ver como se recorren todas las direcciones dosveces efectivamente.

Ahora triangulemos la region de la esfera que queda fuera del disco, es decirSn � P , hagamoslo de modo que pA, pB , pC , qA, qB , qC sean vertices de la trian-gulacion. Dado que un numero non de cambios de etiqueta deben ocurrir cuando reco-rremos @P de pA a pB , se deduce que debe haber un numero non de aristas etiquetadasA � B en este arco de @P . Entonces hay un exceso de una (al menos) arista exterioretiquetada A� B de una alguna orientacion. Ademas alguna de la misma orientacionocurre cuando se recorre @P de qA a qB . De modo que, por el Lema de Sperner, todatriangulacion de Sn � P tiene al menos dos triangulos etiquetados A�B � C.

Ahora tomemos cada vez triangulaciones mas finas de Sn � P , de modo que lan-esima triangulacion consista de triangulos de diametro no mas grande que 1/n. Paracada una de estas triangulaciones existen tres puntos x(n)

A , x(n)B y x

(n)C que representan


Figura 5: Los pelos apuntan a la derecha.


tres vertices de algun subtriangulo etiquetado A�B�C. Como la esfera es un conjuntocompacto,entonces existe una subsucesion de {x(n)

A } que converge a algun x⇤. Masaun, este punto se encuentra fuera del disco abierto P .

Observemos que el punto x⇤ es lımite de puntos en la esfera etiquetados todos con”A” y que son parte de triangulos totalmente etiquetados (es decir, A � B � C). Sesigue que x⇤ tambien es lımite de una sucesion de puntos etiquetados con ”B” y de unasucesion de puntos etiquetados con ”C” (a saber los otros vertices de los triangulostotalmente etiquetados mencionados anteriormente).

Ahora nos preguntamos: ¿que angulo forma el pelo que esta sobre p con la tangenteunitaria al cırculo que pasa por x⇤? Por continuidad el angulo debe estar simultanea-mente en los intervalos [0,120], [120,240] y [240,360], lo cual por supuesto no esposible.

Dado que nuestro razonamiento es logicamente correcto, la hipotesis primera esincorrecta, es decir, que no existe un campo vectorial tangente continuo que no seanule en ningun punto.

El teorema para n > 2 se demuestra de la misma forma pero utilizando el simplexcorrespondiente a la dimension en lugar de triangulos.

Q.E.D.

Ahora si estamos listos para probar el Teorema del Punto Fijo de Brouwer.

Teorema 2. Punto Fijo de Brouwer

Sea f una funcion continua del disco Dn sobre si mismo (f : Dn ! Dn), entoncesf tiene un punto fijo.


Demostracion:Supongamos que n es impar y que el teorema no es cierto, es decir, existe f : Dn !Dn tal qye f(x) 6= x para cada x 2 Dn. Entonces la formula v(x) = x � f(x)produce un campo vectorial que no se anula en ningun punto sobre Dn y que apuntahacia ”afuera” en la frontera, en el sentido de que u · v(u) > 0 para cada punto u enSn�1.

Definamos el siguiente campo vectorial w sobre Dn, que no se anula en ningunpunto y apunta exactamente hacia afuera sobre la frontera, es decir w(u) = u paracada u 2 Sn�1:

w(x) = x� y(1� x · x)/(1� x · y),

donde y = f(x) 6= x. Claramente cuando x · x = 1 entonces w(x) = x, que es loque querıamos. Ademas w es continua en x pues el denominador nunca se anula. Six y y son linealmente independientes, entonces w(x) 6= 0; si x y y son linealmentedependientes se cumple la identidad (x ·x)y = (x ·y)x (pues existe ↵ tal que ↵x = y),y esto implica que

w(x) = x� y(1� x · x)/(1� x · y)= (x� y)/(1� x · y)6= 0.

Ahora transplantemos el campo vectorial w(x) al hemisferio sur de la esfera Sn enRn. Identifiquemos Rn con el hiperplano {x 2 Rn+1 | xn+1 = 0}, que pasa por elecuador de Sn. Usemos la proyeccion estereografica desde el polo norte (0 . . . , 0, 1)para mapear cada punto x de Dn a un punto s(x) = u en el hemisferio sur de la esfera,un+1 < 0, esto es

s(x) =(2x1, . . . , 2xn, x · x� 1)

(x · x+ 1)

.

Aplicando la derivada de la funcion s en el punto x al vector w(x), obtenemos elvector W (u) tangente a Sn en el punto s(x) = u. De esta forma obtenemos un campovectorial tangente en el hemisferio sur de la esfera que no se anula en ningun punto.

En cada punto del ecuador u = s(u), dado que w(u) = u apunta ”hacia afuera”, elvector W (u) = (0, . . . , 0, 1) correspondiente apunta hacia el norte, es decir, lejos delhemisferio sur.

Analogamente, usando la proyeccion estereografica desde el polo sur, el campovectorial w(x) corresponde a un campo vectorial tangente al hemisferio norte quetambien apunta hacia el norte en el ecuador. Si pegamos estos dos campos nos quedaun campo vectorial W tangente a la esfera, continuo y que no se anula en ningun punto.

Pero esto contradice el Teorema de la Bola Peluda, por lo tanto la funcion f tieneun punto fijo.

Sea n impar.Supongamos que existe una funcion f : Dn ! Dn continua que no tiene un punto

fijo. Definamos una funcion F : Dn+1 ! Dn+1 como

F (x1, . . . , xn+1) = (f(x1, . . . , xn), 0).


Dado que f no tiene puntos fijos, F tampoco los tiene, contradiciendo el resultadoanterior.

Ası, para cada n 2 Rn y cada funcion f : Dn ! Dn continua, f tiene un puntofijo.

Q.E.D.

Hay muchas cosas que se pueden concluir como corolarios, entre otras cosas elTeorema del Punto Fijo de Brouwer nos asegura que por mas que movamos nuestrocafe siempre hay un punto del cafe que no cambia de posicion (Milnor (1978)). Tam-bien uno se puede parar en su oficina por ejemplo y tirar al piso un plano de la ciudaddonde trabaja, el Teorema del Punto Fijo de Brouwer nos asegura que hay un puntoque cayo exactamente sobre si mismo (suponga que trabaja en la planta baja).

Teorema 3. Valor Medio Unidimensional

Sea f : R ! R continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo (a, b).Entonces existe c 2 (a, b) tal que

f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a).

Demostracion:Consideremos la siguiente funcion

g(x) = f 0(x)� x� f(b)� f(a)

(b� a)

como f es continua y b 6= a, entonces g es continua y por el Teorema del Punto fijo deBrouwer existe c 2 [a, b] tal que

g(c) = c,

entonces

c = f 0(c)� c� f(b)� f(a)

(b� a),

de modo que

f 0(c) =

f(b)� f(a)

(b� a).

Q.E.D.

Teorema 4. Valor Medio

Sea A ✓ Rn abierto convexo. Sea f : A ! R diferenciable en A, luego

f(b)� f(a) = Df(c)(b� a).

Donde c = a+ ↵(b� a) con 1 ↵ 1, y Df es el jacobiano de la funcion f .


1.3 Metodo de Newton-Raphson

Este es un metodo numerico iterativo que nos ayuda a encontrar las raices de unafuncion f real valuada. Es uno de los metodos mas usados y es muy efectivo (Brandi-marte (2002)), sin embargo existen casos donde el metodo no converge, revisaremoscon cuidado las condiciones necesarias para que lo haga.

Empecemos con la siguiente definicion. Sea A un conjunto y f : A ! R unafuncion, decimos que a 2 A es raız de f si f(a) = 0. Observemos que si A = R ya 2 R es una raız de f , entonces la grafica de f corta el eje horizontal en el punto(a, 0), e inversamente, si la grafica de f corta al eje horizontal en un punto (c, 0) esporque c es raız de la funcion f . Este es el razonamiento que seguiremos en el metodode Newton-Raphson, buscaremos aquellos puntos donde la grafica de f corta al ejehorizontal.

Sea f : [a, b] ! R derivable.Escojamos x0 2 [a, b] un valor inicial.La tangente a la grafica de f en (x0, f(x0)) corta al eje horizontal en el punto

(x1, 0), donde x1 esta definido por

x1 = x0 �f(x0)

f 0(x0)

.

Primero obtengamos la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto(x0, f(x0)) mediante la ecuacion punto-pendiente de la recta, puesto que la derivadade f , f 0, es la pendiente de la recta tangente a la grafica en el punto dado. Entoncestenemos que la ecuacion de la recta es

l : y � f(x0) = f 0(x0)(x� x0),

ahora debemos intersectar la recta l con el eje horizontal y = 0 para obtener el puntode interseccion (x1, 0)

0� f(x0) = f 0(x0)(x1 � x0),

de modo que

x1 = x0 �f(x0)

f 0(x0)

,

que es lo que querıamos.Este punto de interseccion se puede considerar como una primera aproximacion

al punto en que la grafica de f corta al eje horizontal. Si repetimos ahora el proceso,considerando que tenemos definida una xn, definimos xn+1 de la siguiente forma:

xn+1 = xn � f(xn)

f 0(xn)

, (1)

observemos que es necesario pedir que f 0(xn) 6= 0, en otro caso no podemos definir

xn+1.Ası podemos construir una sucesion de puntos {xn}n2N y se espera que la sucesion

converja eventualmente.


Figura 7: El metodo converge.

Para terminos practicos uno continua las iteraciones hasta que la distancia |xn �xn+1| es suficientemente pequena, digamos menor que un valor de tolerancia " pre-viamente determinado, ie

|xn � xn+1| < ".

Cuando se trata de hacer aplicaciones numericas no siempre se cuenta con una fun-cion f que sea facilmente derivable analıticamente, en este caso tambien se aproximala derivada de f de la siguiente forma.

Recordemos que

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h,

entonces podemos aproximar f 0(xn) como

f 0(xn) ⇡

f(xn + h)� f(xn)

h,

para algun h suficientemente pequeno que debe ser determinado de antemano (digamosh = 1/10000).

Es claro que el Metodo de Newton-Raphson tiene algunos problemas, para empe-zar la derivada de f(x), f 0

(x), debe ser distinta de cero en el intervalo [a, b], de otraforma la ecuacion (2.1) no tiene sentido.

Ademas notemos que si f tiene una raız c y esta es un repulsor de la funcion (esdecir, para cada " > 0 y cada x tal que |x � c| < " existe k 2 N tal que |fk

(x) �fk

(c)| = |fk(x)� c| > ", donde fk

(x) es la funcion aplicada a x k veces, es decir elk-esimo elemento de la orbita de x bajo f ), entonces no importa que punto escojamoscomo punto inicial, el metodo no puede converger.


Los siguientes resultados nos proporcionan una condicion suficiente para que elmetodo converja.

Lema 3. Sea f : R ! R una funcion derivable tal que f 00 > 0 y sea x0 2 R tal quef(x0) > 0. Si definimos xn conforme el metodo de Newton-Raphson, entonces existec 2 R tal que x0 � x1 � · · · � c.

Lema 4. Sea m = ınf{f 0(x) | x 2 [c, x1]} y sea M = sup{|f 00

(x)| | x 2 [c, x1]}.Si x0 � c < m/M entonces el metodo de Newton-Raphson resulta eficaz.

El siguiente resultado es inmediato del hecho de que Rn es compacto y por lotanto toda sucesion de Cauchy converge. Se dice que una sucesion {xn}n2N es deCauchy si para cada " > 0 existen n0 2 N tal que para cada n,m > N0 sucede que|xn � xm| < ".

Lema 5. Sea f : R ! R una funcion tal que para cada x, y 2 R sucede que |f(x)�f(y)| < |x� y|, entonces el metodo de Newton-Raphson es eficaz.

A contunuacion se encuentra el pseudocodigo para el metodo de Newton-Raphson.

Funcion derivadaEntradas:funcion fCalculos:calcula la funcion derivada de f , f 0 con la aproximacion sugerida anterior-

mente o analıticamenteNewton-Raphson

Entradas:funcion fx0

Calculos:tolerancia=0.000001diferencia=100000000mientras |diferencia| >tolerancia, entoncesx = x0

diferencia= �xx0 = x0 � f(x)/funcion derivada(f)diferencia=diferencia+xSalidas:x

1.4 Metodo del Punto Fijo

El metodo del Punto fijo es un metodo iterativo que resuelve el problema de, dada unafuncion f : R ! R, encontrar un punto x 2 R tal que f(x) = x.

Al igual que el metodo de Newton-Raphson, el metodo del punto fijo puede usarsepara encontrar raices de una funcion f , pues si y 2 R es una raız de f , f(y) = 0


entonces y es un punto fijo de la funcion g : R ! R dada por g(x) = f(x) + x(veamos, g(y) = f(y) + y = y).

Supongamos entonces que tenemos una funcion f : R ! R y queremos encontrarun punto fijo de esta. Primero se fija una tolerancia " deseada (digamos " = 0.000001)y se elige un valor inicial x0. Luego aplicamos la funcion f a x0 y calculamos ladiferencia |x0 � f(x0)|, si esta es menor que la tolerancia " entonces podemos decirque x0 es un punto fijo de la funcion f .

En caso contrario definimos x1 = f(x0) y repetimos el procedimiento, es decircalculamos la diferencia |x1 � f(x1)|.

De esta forma, para cada n 2 N podemos construir una xn = fn(x0), y ası tene-

mos una sucesion {|xn � f(xn)|}n2N que esperamos converja a cero cuando n tiendea infinito.

Al igual que el metodo de Newton-Raphson, el metodo del punto fijo puede fa-llar, sin embargo el siguiente resultado nos asegura la convergencia de la sucesion dediferencias.

Lema 6. Sea g : [a, b] ! R una funcion continua y diferenciable en [a, b], entonces elMetodo del Punto Fijo es eficaz si y solo si |g0(x)| < 1 para cada x 2 [a, b].

Demostracion:Supongamos que xf 2 [a, b] es un punto fijo de g, esto es g(xf ) = xf .

Supongamos que el metodo del punto fijo es eficaz, supongamos que empezamosen un punto x0 6= xf . Entonces dada la iteracion xi la siguiente se calcula comoxi+1 = g(xi). Ası, tenemos que

xf � xi+1 = g(xf )� g(xi).

Por el Teorema del Valor Medio existe un punto ⇠ 2 (xi, xf ) tal que

g0(⇠) =g(xf )� g(xi)

(xf � xi),

se sigue queg(xf )� g(xi) = g0(⇠) · (xf � xi),

es decirxf � xi+1 = g0(⇠) · (xf � xi).

Tomando valor absoluto de ambos lados de la igualdad, se tiene que

|xf � xi+1| = |g0(⇠)| · |xf � xi|.

Observemos que el termino |xf � xi+1| es precisamente el error absoluto en la(i + 1)-esima iteracion, y el termino |xf � xi| es el error en la i-esima iteracion. Porlo tanto, solamente si |g0(⇠)| < 1 se disminuira el error en la siguiente iteracion.

Si |g0(⇠)| = 1 el error no se podra disminuir, sera constante. Si |g0(⇠)| > 1 el errorira en aumento.

Q.E.D


A continuacion se presenta el pseudocodigo para el metodo del punto fijo.

Punto FijoEntradas:funcion fx0

Calculos:tolerancia=0.000001diferencia=100000000mientras |diferencia| >tolerancia, entoncesx = x0

diferencia= �xx = f(x)diferencia=diferencia+xSalidas:x

2. Derivados de Tasas de Interes

Un derivado de tasa de interes es un instrumento financiero cuyo pago y precio depen-den del nivel de una tasa de interes.

2.1 Caps y Floors

Supongamos que un agente quiere comprar un bono cuponado flotante a base de unatasa de mercado f , desea ademas comprar un contrato de opcion europea para cubrirsecontra perdidas cuando la tasa forward del mercado f exceda una cota superior fK .El instrumento que el agente esta buscando para cubrir sus perdidas se llama InterestRate Cap o simplemente Cap, y el lımite fK se conoce como Tasa Cap.

Sea B un bono cuponado flotante con una vida de T y nominal de N , supongamosque los cupones se fijan en las fechas t0, . . . , tk�1 a una tasa f1, . . . , fk respectiva-mente, y que se pagan en t1, . . . , tk. Ahora sea C un cap (tambien con una vida de T ynominal de N ) para cubrir el riesgo de que la tasa del bono B suba mas alla de la tasacap fK . Notemos que para cada i 2 {1, . . . , k} tenemos la opcion de ejercer el cap, esdecir que para cada tiempo ti la tasa fi de mercado esta por arriba o por abajo de fKy podemos escoger alguna. Ası, un Cap en realidad es un portafolio de opciones, cadauna de ellas llamada Caplet. La funcion de pago de cada caplet esta dada por

Caplet i = N · (ti � ti�1) ·max(fi � fK , 0). (2)

Supongamos que ahora el agente quiere cubrir el caso en que las tasas bajen dema-siado, lo que necesita entonces en un instrumento llamado Floor, que es un portafoliode opciones cada una de las cuales se denomina floorlet, en cada punto i del tiempo, elfloorleti nos da la opcion de escoger entre la tasa de mercado f y la Tasa Floor fK .


Veamos con mas detalle.Sea B un bono cuponado flotante con una vida de T y nominal de N , supongamos

que los cupones se fijan en las fechas t0, . . . , tk�1 a una tasa f1, . . . , fk respectivamen-te, y que se pagan en t1, . . . , tk. Ahora sea F un floor con una vida de T y nominal deN , para cubrir el riesgo de que la tasa del bono B caiga mas alla de la tasa floor fK .La funcion de pago de cada floorlet esta dada por

Floorlet i = N · (ti � ti�1) ·max(fK � fi, 0). (3)

Para la valuacion de Caps y Floors se usa el modelo de Black (1976) para valuaropciones sobre tasas forward para cada caplet y floorlet, veamos en que consiste elmodelo.

2.2 Modelo de Black para Valuar Opciones sobre Tasas ForwardEl supuesto principal del modelo de Black (1976) es que el subyacente, es decir la tasade interes, tiene una distribucion lognormal.

Supongamos que el precio del subyacente St sigue la dinamica dada por

dSt = µStdt+ �StdWt,

donde {Wt} es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de probabili-dad con su filtracion aumentada (⌦,F ,F, P ); µ 2 R es el rendimiento medio esperadoy � > 0 la volatilidad instantanea.

Si se tiene una opcion sobre el subyacente con precio de ejercicio K, que inicia ent y vence en T , el precio de la opcion esta dado por

c(St, t) = St�(d1)�Ke�r(T�t)�(d2), (4)

donde r es la tasa libre de riesgo, y

d1 =

ln

�StK

�+ (r + 1

2�2)(T � t)

�pT � t

,

d2 = d1 � �pT � t,

�(d) =

1p2⇡

Z d

�1e�

12y

2

dy.

Ahora notemos que el precio futuro del suyacente Ft,T tambien es de la forma

dFt,T = (µ� r)Ft,Tdt+ �Ft,TdWt.

Si el precio futuro del subyacente se sustituye en 2.3, tenemos que el precio de laopcion es

c(Ft,T , t) = B(t, T )[Ft,T�(d1)�K�(d2)], (5)

donde B(t, T ) = e�r(T�t),

d1 =

ln

�Ft,T

K

�+

12�

2(T � t)

�pT � t

,

d2 = d1 � �pT � t.


Si ahora consideramos que el subyacente es una tasa forward de interes aplicableen [T, S], S > T , con referencia en t que sigue una dinamica

df(t, T, S) = �ff(t, T, S)dWt,

y tenemos una opcion sobre esta tasa con nominal N que nos cubre de que la tasaf(t, T, S) suba mas alla de cierto nivel fK , el precio de la opcion esta dado por

c(t, T, S) = B(t, S)N(S � T )[f(t, T, S)�(d1)� fK�(d2)], (6)

donde

d1 =

ln

� f(t,T,S)fk

�+

12�

2f (T � t)

�f

pT � t

,

d2 = d1 � �f

pT � t.

Observemos que la tasa forward spot se calcula como

s(t, T, S) =ln[B(t, T )]� ln[B(t, S)]

S � T.

2.3 Valuacion de Caps usando el Modelo de Black

Volvamos a nuestro bono B con vida de T y nominal de N . Recordemos que la funcionde pago de un caplet es

Caplet i = N · (ti � ti�1) ·max(fi � fK , 0). (7)

Ahora consideremos que en la fecha t se pacta un cap con n caplets y una tasa capde fc.

Como un caplet es una opcion sobre una tasa de interes podemos usar el modelode Black para valuarlo, de modo que segun la ecuacion (2.5), si la tasa sigue unadistribucion lognormal, el precio PCaplett, ti�1 del caplett, ti�1 con i 2 {2, . . . , n+

1}

PCaplet t, ti�1 = B(t, ti)N(ti�ti�1)⇥f(t, ti�1, ti)�(di)�fc�(di)��f

pti � ti�1

⇤,

donde

di =ln

� f(t,ti�1,tifc

�� 2

f

2 (ti � ti�1)

�fpti � ti�1

,

y �f es la volatilidad de la tasa forward.Como un cap es un portafolio de caplets independientes, el precio del cap PCap

es la suma de los precios de los caplets, es decir

PCap =

n+1X

i=2

PCaplet t,ti�1. (8)


2.4 Valuacion de Floors usando el Modelo de Black

De la misma forma en la que valuamos el Cap podemos valuar un Floor.Consideremos un Floor que se pacta en la fecha f con n floorlets y una tasa floor de

fp. Si suponemos que las tasas de interes siguen una distribucion lognormal entoncessegun el modelo de Black, el precio de cada floorlet PFloorlet esta dado por

PFloorlet t, ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)⇥� f(t, ti�1, ti)�(�di)

+fp�(�di) + �f

pti � ti�1

⇤,

donde

di =ln

� f(t,ti�1,tiff

�� 2

f

2 (ti � ti�1)

�fpti � ti�1

,

y �f es la volatilidad de la tasa forward.Dado que un Floor es un portafolio de floorets independientes, entonces el precio

del Floor, PFLoor es la suma de los precios de los floorlets, de la siguiente forma

PFloor =

n+1X

i=2

PFloorlet t,ti�1 . (9)

2.5 Paridad Cap-Floor

Consideremos un portafolio consistente de una posicion larga en un cap con tasa capfc y una posicion corta en un floor con tasa floor fp. Supongamos que fc = fp = fK .Entonces el pago de cada caplet y cada floorlet traido a valor presente es

Caplet t,ti�1= B(t, ti)N(ti � ti�1)E(max{f(t, ti�1, ti)� fK , 0})

Floorlet t,ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)E(max{fK � f(t, ti�1, ti), 0}).

De modo que

Caplet t,ti�1� Floorlet t,ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)[fK � f(t, ti�1, ti), 0].

Ası que

n+1X

1=2

Caplet t,ti�1�

n+1X

1=2

Floorlet t,ti�1 =

n+1X

1=2

B(t, ti)N(ti � ti�1)

[fK � f(t, ti�1, ti), 0],

es decirCapt � Floor t = Vt,

donde Vt es el precio de un swap con tasa swap fK .


2.6 Sensibilidad de Opciones de Tasas de Interes

Como hacemos con las opciones sobre acciones, cuando tenemos una opcion sobrealguna tasa de interes podemos calcular las ”griegas”de la opcion, que representan lasensibilidad del precio de la opcion a cambios en diversos factores.

Supongamos que tenemos una opcion sobre una tasa de interes f con una vida deT y tasa strike de fK que tiene un precio V .

La Delta de V mide la sensibilidad a cambios en el precio del subyacente, es decir,mide la sensibilidad a cambios en la tasa f , y esta dada por

� =

@V

@f.

La Rho de V mide la sensibilidad a la tasa de descuento que usamos para traer avalor presente, se le llama la tasa libre de riesgo r, esta dada por

⇢ =

@V

@r.

En el caso particular de Caps y Floors de TIIE, la tasa de descuento r es la mismaTIIE.

La Vega de V se representa con la letra griega nu (⌫) y mide la sensibilidad de V ala volatilidad implıcita de la tasa de interes subyacente f . Se calcula como

⌫ =

@V

@�f.

donde �f es la volatilidad implıcita de la tasa de interes f .Para las aplicaciones financieras generalmente se calculan las sensibilidades de

las opciones de tasas de interes numericamente, aproximando las derivadas mediantediferenciales numericos.

Supongamos que a cierto nivel 0 de f se tiene una f0 y a cierto nivel 1 una f1,entonces calculamos el precio de la opcion correspondiente a cada nivel, V (0) y V (1)

respectivamente, y aproximamos de la siguiente forma

� =

@V

@f

⇡ dV/df

= (V (1)� V (0))/(f1 � f0).

Ası mismo, se calcula un diferencial numerico para la tasa de interes libre de riesgoy se obtiene lo siguiente

⇢ =

@V

@r⇡ dV/dr

= (V (1)� V (0))/(r1 � r0).


Para una opcion de tasa TIIE, Cap o Floor, el Valor Presente de un Punto Base,PVBP por sus siglas en ingles, es el diferencial de precios de la opcion cuando la tasaTIIE se mueve un punto base. Notemos que en este caso la tasa TIIE es tanto la tasasubyacente como la tasa libre de riesgo, por lo que el PVBP es un diferencial numericoque se calcula como

PVBP = �+ ⇢.

3. Bootstraping de Volatilidades

En la primera parte de esta seccion se presenta la descripcion del metodo de Boots-traping de Volatilidades y en la segunda parte se presenta la aplicacion de este paraobtener la curva de la TIIE 283 del mercado mexicano.

3.1 Metodologıa

Como mencionamos en la introduccion, esta metodologıa nos ayuda a encontrar laestructura de volatilidades tipo forward que logra que un Cap valuado con dichas vola-tilidades (cada una valua el caplet correspondiente) tenga el mismo precio que cuandose valua con la volatilidad yield unica.

La metodologıa usa los datos conocidos en un nodo inicial y calcula para el siguien-te a partir de estos, despues, en cada momento de la curva, usa toda la informacion delos nodos anteriores para calcular el nodo siguiente. Aprovecha toda la informaciondisponible en el mercado para estimar la estructura deseada. La metodologıa suponeque los siguientes factores son conocidos:

1) La tasa swap del IRS (Interest Rate Swap) Se requiere la cotizacion de las tasasdel Swap de tasa de interes hasta el plazo en cuestion.

2) La volatilidad yield del Cap Se requiere la cotizacion de las volatilidades tipo yieldpara todos los plazos hasta el plazo en cuestion para la valuacion.

Ahora estamos listos para empezar a calcular, veamos cuales son los pasos a seguir.

a) Calculo del periodo de cada Caplet. Necesitamos encontrar los periodos de iniciode cada uno de los caplets. Recordemos que estamos usando la tasa TIIE a 28 dıas,por lo que un Cap a 1 ano tendra 13 caplets. Uno podrıa empezar a partir el anocada 28 dıas, excepto que esto traera problemas pues frecuentemente caeremos endıas inhabiles, ası habra que establecer una convencion para saber que hacer con estosdıas, es decir, hay que responder la pregunta ¿a donde movemos el dıa de inicio delcaplet?

3Tasa de Interes Interbancaria de Equilibrio, la serie de tiempo de di-cha tasa es publicada por Banco de Mexico, puede recuperarse dehttp://www.banxico.org.mx/SieInternet/consultarDirectorioInternetAction.do?accion=consultarCuadro&idCuadro=CF113&sector=18&locale=es.


Podemos convenir que si la fecha de inicio del caplet i cae en dıa inhabil se muevaal dıa habil inmediato anterior (previous), o al inmediato siguiente (following); unasolucion mas compleja, pero que arregla ciertos problemas con la contabilidad es mo-verlo al inmediato anterior a menos que esto nos obligue a cambiar de mes en cuyocaso se movera al inmediato siguiente (modified previous); o bien, moverlo al inmedia-to siguiente a menos que esto nos obligue a cambiar de mes en cuyo caso se movera alinmediato anterior (modified following).

Una vez que se ha resuelto el problema y que se sabe exactamente cuando iniciacada caplet es necesario calcular su vigencia. Esto se hace con la siguiente formula

PV ci = FIci+1 � FIci,

donde PV ci es el plazo de vigencia del caplet i; FIci+1 es la fecha de inicio del capleti+ 1; FIci es la fecha de inicio del caplet i.

b) Generacion de los factores de descuento a partir de las tasas swap. A partir dela informacion conocida sobre las tasas swap (2)), mediante la tecnica de bootstraping(similar a la obtencion de los factores de descuento mediante bootstraping de bonos4)se obtienen los factores de descuento para cada punto de la curva, especificamente senecesitan los factores de descuento diarios.

c) Generacion de las tasas forward a partir de los factores de descuento. Con baseen la informacion de la curva diaria de los factores de descuentos obtenida en el pasoanterior (b)) calcularemos la tasa forward pertinente para cada caplet y su placo. Parael caplet vigente entre el dıa i y j la tasa forward es

ifj =

✓Zi

Zj� 1

◆·✓basis

⌧

◆,

donde Zi es el factor de descuento para el periodo i; Zj el factor de descuento obtenidoen b) para el periodo j y ⌧ es el periodo subyacente de la tasa de interes.

d) Calculo del precio del Cap utilizando las volatilidades tipo yield en la formulade Black (1976). Se usara una unica volatilidad para el calculo del valor de cada caplety del Cap. La formula de Black (1976) dice lo siguiente

Q =

X

i

B(t, ti)N(ti� ti�1)⇥f(t, ti�1, ti)�(di)� fc�(di)��f

pti � ti�1

⇤, (10)

donde Q es el precio del Cap. Observemos que suponiendo una unica volatilidad yieldpara todos los caplets ya conocemos todo lo necesario para calcular la formula.

Podemos simplificiar la ecuacion (2.1) para que nos quede de la siguiente forma

Q =

X

i

P (0, ti) ·Bli(fK ,�), (11)

4Para una descripcion sencilla e ilustrativa del metodo revise Valmer (2007).


donde Q es el precio del Cap, fK es la tasa cap, � es la volatilidad yield del Cap,P (0, ti) es el factor de descuento del tiempo ti al tiempo 0, Bli(fK ,�) es el valor dela formula de Black (1976) para el caplet i.

Ahora consideraremos el valor recien obtenido como fijo, esto es Q =

¯Q. Estesera la base del resto de los calculos pues lo que buscamos es una estructura de vola-tilidades tipo forward que genere un precio P igual al calculado con volatilidad yield,es decir, buscaremos P tal que P =

¯Q

e) Definicion de un metodo de interpolacion para la volatilidad. Necesitamos inter-polar la volatilidad tipo yield para cada uno de los caplets, se debe escoger el metodode interpolacion: lineal, algun polinomio de grado n, con n > 1; splines, etc.

f) Calculo de la prima del Cap utilizando la volatilidad forward. En cada iteracionque hagamos a partir de aquı lo que se busca es calcular el precio de cada caplet conbase a la volatilidad forward y no a la volatilidad unica tipo yield.

En la primera iteracion se toma como fijo o dado el valor para la volatilidad delplazo mas corto, este sera el primer nodo t1,1 que usaremos para interpolar.

Despues escogemos un punto x0 de partida para el valor de la volatilidad en eltiempo t1,2 (que sera nuestro nodo) y a partir del metodo del punto fijo aproximamoseste valor (�t1,2 ).

Ahora sı contamos con dos nodos a partir de los cuales podemos interpolar lasvolatilidades forward en medio de ellos.

En las siguientes iteraciones se tomara como dado o fijo el valor de la volatilidaden t1,2, es decir, nuestro ”nuevo” t1 sera el ”antiguo” t2, ası en la iteracion i tendremosti,1 = ti�1,2 y calcularemos ti,2 con el metodo del punto fijo.

g) Calculo de la estructura de volatilidades. A partir de las volatilidades obtenidasen el paso anterior se calculara el valor del Cap mediante la formula de Black (1976).El lector notara que en efecto el valor P obtenido de esta forma coincide con el valor¯Q que obtuvimos en el paso d).

Notese que para cada nivel de tasas de interes se calcula una curva de volatilidades,lo cual implica que con la metodologıa descrita se obtienen curvas de nivel de unasuperficie de volatilidades que depende de las tasas de interes.

3.2 Resultados

En esta seccion discutiremos los resultados de implementar el algoritmo anterior enExcel-VBA5. Para nuestra aplicacion hemos utilizado la Tasa de Interes Interbancariade Equilibrio del mercado mexicano (TIIE 28) y sus volatilidades al 15 de Diciem-bre del 2006 y su valor para 10 anos, es decir Diciembre 2016. Dichos datos fueronobtenidos a traves del proveedor de precios: Valuacion Operativa y Referencias deMercado S.A. de C.V. (VALMER). El Cuadro1 presenta las tasas swaps TIIE 28 quese utilizaron.

5Para obtener el codigo favor de contactar a los autores.


Cuadro 1: Tasas swaps TIIE 28Tasa O/N 7.2500%TIIE28 7.3400%3⇥ 1 7.3350%6⇥ 1 7.3210%9⇥ 1 7.3400%13⇥ 1 7.3400%26⇥ 1 7.3980%39⇥ 1 7.4570%52⇥ 1 7.5420%65⇥ 1 7.6280%91⇥ 1 7.7760%130⇥ 1 7.9300%195⇥ 1 7.1225%260⇥ 1 7.2400%

Siguiendo paso a paso la metodologıa descrita en la seccion anterior se trabajo conla siguiente estructura. Para la seleccion del periodo para los caplets utilizamos la con-vencion following, pero hemos dejado abierta la opcion para que pueda ser modificadaal momento de efectuar la valuacion. Por lo que se puede seleccionar entre previous,following, modified previous y modified following. Una vez cargados los valores delas tasas presentados en la tabla anterior, se generaron los factores de descuento y lastasas forward a partir de la curva obtenida. Ya que se trabaja con una tasa a 28 dıas, seutilizaron como basis= 360 y ⌧ = 28.

En el presente trabajo usamos un metodo de interpolacion lineal por comodidad ala hora de la implementacion computacional.

Con ello obtuvimos los resultados mostrados en el Cuadro 2 para las volatilidadesdel yield y forward mediante la formula de Black. Y la grafica de la estructura devolatilidad obtenida se puede observar en la Figura 8.

Cuadro 2: Tasas swaps TIIE 28Volatilidad Dıas al Premium Volatilidad

Anos Yield (%) Vencimiento ( %) Forward (%)1 6.5000% 364 0.1146% 6.5000%2 7.0000% 728 0.3538% 7.6277%3 8.5000% 1092 0.7716% 11.8563%4 9.5000% 1456 1.3057% 11.1415%5 10.3500% 1820 1.9447% 13.5877%7 11.0000% 2548 3.2269% 10.7000%10 11.7500% 3640 5.2542% 14.6015%


Figura 8: Estructura de Volatilidad

Referencias

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