bodó bea, simonné szabó klára matematika 1. közgazdászoknak

1

ábra: Ábra

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára

Matematika 1. közgazdászoknak

2

I. modul: Halmazok

1. lecke: Halmazok

Tanulási cél: Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok

ábrázolása Venn-diagramon.

Motivációs példa

Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x és y vásárlására. Az x termék

egységára 1000 pénzegység, az y ára 2000 pénzegység. Hogyan változik a költségvetési egyenes és

a költségvetési halmaz, ha a fogyasztó pénzjövedelme növekszik 25 százalékkal?

Elméleti összefoglaló

A halmaz a matematikában alapfogalom (nem definiáljuk).

Ha megpróbálnám a halmaz fogalmát körül írni, akkor azt mondanám, hogy bizonyos dolgok

összessége. A halmazba tartozó dolgokat a halmaz elemeinek mondjuk. A halmazokat általában nagy

betűkkel jelöljük.

Nevezetes számhalmazok

A természetes számok halmazát az 1,2,3,4,... számok alkotják. A természetes számok halmazának

jele: . A természetes számok halmazának végtelen sok eleme van.

1,2,3,4,...

Az egész számok halmazát a …-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... számok alkotják. Az egész számok

halmazának jele: . Az egész számok halmazának végtelen sok eleme van.

... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...

A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b

a alakban, ahol a ,

b és 0b . Például: 4 247 7

4 ;2,47 ;2,31 100 3

. A racionális számok halmazának jele: . A

racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

Az irracionális számok halmazát a végtelen nem szakaszos tizedes törtek alkotják. Például:

3,505005000500005... Látható, hogy mindig eggyel több nullát írtunk az ötösök közé. Az így kapott

szám biztosan végtelen nem szakaszos tizedes tört. Az irracionális számok halmazának jele:*. A

irracionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. A valós számok

halmazának jele: .

3

A halmazt a következő módon adhatjuk meg:

felsoroljuk az elemeit két kapcsos zárójel közé írva

3,4,5,6,7,8A

, ,B eper alma barack

az elemek tulajdonságainak megadásával

: 1 5C x x

A C halmazt a 1,0,1,2,3,4 egész számok alkotják.

: 8D x x

A D halmazt a 8,9,10,11,12,... természetes számok alkotják.

: 2E x x

Az E halmazt olyan természetes számok alkotnák, amelyek kisebbek, mint mínusz kettő.

Ilyen természetes szám nincs.

Ha egy halmaznak véges sok eleme van, akkor azt véges halmaznak nevezzük. Ha végtelen sok

eleme van, akkor végtelen halmaznak. Azt a halmazt, amelynek egyáltalán nincs eleme üres

halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele: vagy .

A példaként megadott halmazok számossága:

, ,A B C – véges halmazok

D – végtelen halmaz

E – üres halmaz

Ha egy elem a halmazhoz tartozik, azt jellel jelöljük. Ha nem tartozik a halmazhoz, azt jellel

jelöljük.

8 A (8 eleme az A halmaznak)

9 C (9 nem eleme a C halmaznak)

Fontos megjegyezni, hogy egy halmazban az elemek sorrendje nem számít.

Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. Eszerint az , , , , , ,a b c b a c a c b .

A halmazokat, azok egymás közti viszonyait, műveleteit Venn-diagramok segítségével tudjuk

szemléltetni.

Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden eleme B

halmaznak is eleme. Jelölés: A B .

4

{á:1_1.png}

1. ábra

A B ábrázolása Venn-diagrammal

Halmazműveletek

Az A és B halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A

vagy a B halmaznak. Jelölés: A B .

{á:1_2.png}

2. ábra


A A A . Bármely halmaz önmagával vett uniója önmaga.

A A . Bármely halmaz üres halmazzal vett uniója önmaga.

A B B A . Kommutatív (felcserélhető) tulajdonság.

A B C A B C A B C . Asszociatív (csoportosítható) tulajdonság.

Az A és B halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A

és a B halmaznak. Jelölés: A B .

{á:1_3.png}

3. ábra


A A A . Bármely halmaz önmagával vett metszete önmaga.

A . Bármely halmaz üres halmazzal vett metszete üres halmaz.

A B B A . Kommutatív (felcserélhető) tulajdonság.

A B C A B C A B C . Asszociatív (csoportosítható) tulajdonság.

Halmazok uniójára és metszetére teljesül a disztributív tulajdonság.

5

Az unió disztributivitása a metszetre nézve: A B C A B A C

A metszet disztributivitása az unióra nézve: A B C A B A C

Az A és B halmaz különbségét az A halmaznak azok az elemei alkotják, amelyek nem elemei a B

halmaznak. Jelölés: \A B .

{á:1_4.png}

4. ábra

\A B ábrázolása Venn-diagrammal

\A A . Bármely halmazból önmagát kivonva üres halmazt kapunk.

\A A . Bármely halmazból az üres halmazt kivonva önmagát kapjuk.

\ \A B B A . A kivonás nem kommutatív (felcserélhető) tulajdonság.

A kivonás nem asszociatív (csoportosítható) tulajdonság.

Ha az A halmaz részhalmaza H halmaznak, akkor az A halmaz H halmazra vonatkozó

komplementerhalmazát (kiegészítő halmazát) a H halmaz azon elemei alkotják, amelyek nincsenek

benne az A halmazban. Jelölés: A . A H halmazt alaphalmaznak nevezzük.

Tehát: \A H A

{á:1_5.png}

5. ábra

A ábrázolása Venn-diagrammal

Tetszőleges A és B halmazra igazak az alábbi összefüggések: BABA és BABA .

(De Morgan azonosságok)

példa rész

6

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Legyen 1,2,3,4,10,11,12,16A , 1,3,5,6,7,11,12B és 1,2,5,8,9,12,15C .

Határozza meg a \A B C halmazt!

Megoldás: Először meghatározzuk az A B halmazt. Mivel a metszetben azok az elemek vannak,

amelyek mindkét halmazban benne vannak, ezért 1,3,11,12A B . A kivonást úgy végezzük el,

hogy az A B halmaz elemei közül elhagyjuk azokat, amelyek a C halmaznak is elemei, vagyis az

1 és 12 elemeket. Így \ 3,11A B C .

2. feladat: Legyen 3: 25 0A x x x és : 2 11 4B x x . Határozza meg a

, , \ és B\AA B A B A B halmazokat!

Megoldás: Először meghatározzuk az A halmaz elemeit. Az egyenletet az egész számok halmazán

oldjuk meg.

3

2

25 0

25 0

x x

x x

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha 0x vagy 5x . Tehát 5,0,5A .

Meghatározzuk a B halmaz elemeit. Olyan természetes számokat keresünk, amelyekre

2 11 4x . Ez pontosan akkor teljesül, ha:

4 2 11 4 hozzáadunk 11-et

7 2 15 elosztjuk 2-vel

3,5 x 7,5

x

x

Tehát 4,5,6,7B .

Az A B halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek legalább az egyik halmazba beletartoznak,

így 5,0,4,5,6,7A B .

Az A B halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek mind a kettő halmazba beletartoznak, így

5A B .

Az \A B halmazba az A halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek a B halmazban, tehát

\ 5,0A B .

A \B A halmazba a B halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek az A halmazban, tehát

\ 4,6,7B A .

7

3. feladat: Legyen 2 8

: 25

xA x

, : 9 5B x x és

: 7 3 8C x x . Határozza meg a \A C B halmazt!

Megoldás: Először meghatározzuk az A halmaz elemeit. Az egyenlőtlenséget a természetes számok

halmazán oldjuk meg.

2 82

5

2 8 10

2 18

9

x

x

x

x

Tehát 1,2,3,4,5,6,7,8,9A .

Most meghatározzuk a B halmaz elemeit. Olyan egész számokat keresünk, amelyekre 9 5x .

Ez éppen akkor teljesül, ha:

9 5 vagy 9 5

4 vagy 14

x x

x x

Vagyis 4,14B .

A C halmaz elemeit olyan egész számok alkotják, amelyek teljesítik a 7 3 8x egyenlőtlenséget.

7 3 8

3 15

5

x

x

x

A 6,7,8,9,10,.....C halmaznak végtelen sok eleme van.

Az \A C halmazt azok az elemek alkotják amelyek az A halmazba beletartoznak, de a C halmazba

nem. \ 1,2,3,4,5A C

Az \A C B halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek elemei \A C halmaznak vagy a B

halmaznak. Így kapjuk, hogy \ 1,2,3,4,5,14A C B .

teszt rész

8

Ellenőrző kérdések

1. Legyen 3,4,5,6,7,9,10A , 1,2,3,4,5B és 2,3,4,7,8C . Határozza meg a

\A B C halmazt!

1,2,6,8,9,10

6,9,10

1,2,8

3,4,5,7

2. Legyen 2: 30 0A x x x és 9

: 62

xB x x

. Határozza meg a \B A

halmazt!

5,1,2,3,4,7

5,1,2,3,4,5,6,7

1,2,3,4,5,7

1,2,3,4,5

3. Legyen 3: 16 0A x x x , 2

: 23

xB x x

és : 2 5 6C x x .

Határozza meg a \A C B halmazt!

3,4,5,6,7,8,....

4,0,3,4,5,6,7,8

4,0

példa rész

9


4. feladat: Legyen 2: 12 0A x x x és : 2 3 7B x x . Határozza meg a

, , \ és B\AA B A B A B halmazokat!

Megoldás: Először meghatározzuk az A halmaz elemeit. A másodfokú egyenlőtlenséget a valós

számok halmazán oldjuk meg.

2 12 0x x

Nézzük az 2 12f x x x függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit az

2

1,2

4

2

b b acx

a

képlet segítségével.

2

1,2

1 1 4 1 12

2 1x

, vagyis a függvény zérushelyei a 3 és a 4 .

Ábrázoljuk a függvényt.

{á:1_6.png}

6. ábra

Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték kisebb mint nulla (a

függvény x tengely alatti része) vagy nulla. Az ábrából látható, hogy 3,4A .

Meghatározzuk a B halmaz elemeit. Olyan valós számokat keresünk, amelyekre

2 3 7x

Ez éppen akkor teljesül, ha

2 3 7 vagy 2 3 7

2 10 vagy 2 4

5 vagy 2

x x

x x

x x

Tehát , 5 2,B .

10

{á:1_7.png}

7. ábra

Az A B halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek vagy az A vagy a B halmazba

beletartoznak, így , 5 3,A B .

Az A B halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek mind a kettő halmazba beletartoznak, így

2,4A B .

Az \A B halmazba az A halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek a B halmazban, tehát

\ 3,2A B .

A \B A halmazba a B halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek az A halmazban, tehát

\ , 5 4,B A .

5. feladat: Határozza meg az 2: 20 0A x x x halmaz valós számok halmazára

vonatkozó komplementerhalmazát!

Megoldás: Először határozzuk meg az A halmazt, amit olyan valós számok alkotnak, amelyekre

teljesül az 2 20 0x x egyenlőtlenség.

Vegyük az 2 20f x x x függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit.

2

1,2

1 1 4 1 20

2 1x

A függvény zérushelyei 5 és 4 .


11

{á:1_8.png}

8. ábra

Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték nagyobb mint nulla (a

függvény x tengely feletti része). Az ábrából látható, hogy 5,4A .

Az A halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmaza \A R A . Tehát azokat a

valós számokat keressük, amelyek nincsenek benne az A halmazban.

, \ 5,4 , 5 4, A

{á:1_9.png}

9. ábra

6. feladat: Legyen 2: 3 4 0A x x x és 5 7

:8 32

xB x

. Határozza meg

az A B halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát!

Megoldás: Először határozzuk meg az A halmazt, amit olyan valós számok alkotnak, amelyekre

teljesül az 2 3 4 0x x egyenlőtlenség.

Vegyük az 2 3 4f x x x függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit.

2

1,2

3 3 4 1 4

2 1x

A függvény zérushelyei 1 és 4 .


12

{á:1_10.png}

10. ábra

Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték kisebb mint nulla (a

függvény x tengely alatti része), vagy nulla. Az ábrából látható, hogy 1,4A .

Most határozzuk meg a B halmazt, amely olyan valós számokból áll, amelyekre teljesül az alábbi

egyenlőtlenség.

5 7 8 3

2

16 5 7 6

5 9 6

5 15

3

x

x

x

x

x

Tehát 3,B .

A A B halmazba azok a valós számok tartoznak, amelyek vagy az A halmaznak vagy a B

halmaznak elemei. 1,A B

{á:1_11.png}

11. ábra

Az A B halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmaza \A B R A B .

Tehát azokat a valós számokat keressük, amelyek nincsenek benne az A B halmazban.

, \ 1, , 1 A B

13

{á:1_12.png}

12. ábra

teszt rész


4. Legyen 2: 3 4 0A x x x és : 4 2 10B x x . Határozza meg a A B

halmazt!

1,3

1,3

2,4

1,4

5. Legyen 2: 3 4 0A x x x és : 4 2 10B x x . Határozza meg a A B

halmazt!

2, 1

2,4

2,3

1,3

6. Legyen 2:3 2 21 0A x x x és 2 2

: 13

xB x x

. Határozza meg a

\A B halmazt!

7

,3

14

7

1,3

3,1

, 3

7. Legyen 2:3 2 21 0A x x x és 2 2

: 13

xB x x

. Határozza meg a

\B A halmazt!

3,1

, 3

7

,3

3,1

8. Határozza meg az 2: 6 12 0A x x x halmaz valós számok halmazára vonatkozó

komplementerhalmazát!

3 4

, ,2 3

4 3

, ,3 2

4 3

, ,3 2

3 4

, ,2 3

9. Legyen 2: 2 11 6 0A x x x és 7 2

: 1 24

xB x x

Határozza meg

az A B halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát!

10

,3

15

1 10

,2 3

10

,3

példa rész


7. feladat: Legyenek , ,A B C tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a

\B C A B C halmazt!

Megoldás: Ha semmilyen információnk nincs a halmazokról, akkor azt kell feltételezni, hogy

mindhárom halmaznak vannak olyan elemei, amelyek a másik két halmazban nincsenek benne,

továbbá bármely két halmaz metszetének vannak olyan elemei, amelyek a harmadik halmazhoz nem

tartoznak hozzá és végül a három halmaz metszete sem üres. Ezért a következő ábrából indulunk ki.

{á:1_13.png}

13. ábra

Ábrázoljuk először a \B C halmazt. Ide a B halmaznak azok az elemei tartoznak, amelyek nem

elemei az A halmaznak.

{á:1_14.png}

14. ábra

Ábrázoljuk a A B C halmazt. Ide azok az elemek tartoznak, amelyek mind a három halmaznak

elemei.

16

{á:1_15.png}

15. ábra

Végül ennek a két halmaznak az unióját kell venni. Tehát az \B C A B C halmaz:

{á:1_16.png}

16. ábra

8. feladat: Legyenek , ,A B C tetszőleges halmazok. Igazolja Venn-diagram segítségével a következő

egyenlőséget!

\ \ \A C B C A B C

Megoldás: Ábrázoljuk az \A C és \B C halmazokat.

{á:1_17.png}

17.ábra

\A C

17

{á:1_18.png}

18. ábra

\B C

Az egyenlőség bal oldala az \ \A C B C halmaz.

{á:1_19.png}

19. ábra

Ábrázoljuk az A B halmazt.

{á:1_20.png}

20. ábra

Az egyenlőség jobb oldala a \A B C halmaz.

{á:1_21.png}

21. ábra

Mivel az egyenlet bal és jobb oldala megegyezik, ezért az egyenlőség teljesül.

18

teszt rész


10. Legyenek , ,A B C tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a

\A B C A B halmazt!

{á:1f10a.png}

{á:1f10b.png}

{á:1f10c.png}

{á:1f10d.png}

19

11. Legyenek , ,A B C tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a

\ \A B C A B halmazt!

{á:1f11a.png}

{á:1f11b.png}

{á:1f11c.png}

{á:1f11d.png}

12. Tetszőleges , ,A B C halmazok esetén \A B C

\A B C

\ \A B A C

20

\ \A B A C

\A B C

13. Tetszőleges , ,A B C halmazok esetén \A B C

\ \A B B C

\A B C

\ \A C B C

\A B B C

14. Tetszőleges , ,A B C halmazok esetén \ \A B C

\ \A B C

\ \A B B C

\ \A C B C

\ \ \A C B C

21

Modulzáró ellenőrző kérdések

1. Legyen 2: 2 0 A x x x , : 3 5 0 B x x és 2

: 25

xC x x .

Ekkor \ A B C

{0,1,2,3}.

{-1,0,1,2}.

{-1,0,1,2,3}.

{1,2,3}.

1 pont

2. Ha 3 2: 5 6 0 A x x x x és : 5 8 B x x , akkor \ \ B A A B

{0,-2}.

{0,-2,-3}.

{-2,0,13}.

{-3,-2,-13}.

1 pont

3. Legyen 2 1

: 33

xA x x és 2: 6 B x x x . Ekkor A B valós

számokra vonatkozó komplementerhalmaza:

8

,35

2, 3

8

, 35

, 2 3,

1 pont

4. Melyik halmazzal egyenlő az \ A B B C B ?

22

\A B

( ) A B B C

\ A C B

1 pont

5. Legyenek , ,A B C tetszőleges halmazok. Az \ A B C A B halmaz Venn-

diagramon ábrázolva:

{á:1m5a.png}

{á:1m5b.png}

{á:1m5c.png}

{á:1m5d.png}

1 pont

23

II. modul: Százalékszámítás és

alkalmazásai

2. lecke: Százalékszámítás és alkalmazásai

Tanulási cél: Százalékszámítás ismétlése, megismerni az ÁFA valamint az egyszerű és kamatos

kamat számítási módszereit

Motivációs példa

Az újságban olvassuk, hogy a csirkehús ÁFA kulcsa csökken. Az eddigi 25%-ról 5%-ra mérséklődik.

Mennyibe fog kerülni akkor egy kg csirkemell?

Melyik megtakarítási formára helyezzük el a pénzünket, melyik feltétellel járunk jobban?

A hétköznapi életben (szezonvégi leárazásoknál, az év végi adóbevallásnál, egy termék vagy

szolgáltatás után fizetendő adó kiszámításánál, amikor pénzt helyezünk el egy bankban, vagy amikor

kölcsönt szeretnénk felvenni lakásvásárlásnál) ilyen és ehhez hasonló kérdések merülnek fel.

Megoldásnál az egyik leggyakrabban előforduló matematikai módszert, a százalékszámítást

alkalmazzuk. Ebben a fejezetben a százalékszámítás lépéseit ismételjük át, majd legegyszerűbb

alkalmazásait nézzük meg.


Matematikában gyakran előfordul, hogy arra vagyunk kíváncsiak, hogy az egyik mennyiség egy másik

mennyiség hányszorosa, azaz mennyi az arányuk. Az arány értékének egyik legelterjedtebb megadási

módja, ha az eredményt századokban adjuk meg.

definíció rész

Definíció: Az x és y arányán az x

y hányadost értjük, amely megmutatja, hogy x hányszorosa y -

nak, vagy másképp megfogalmazva x hanyadrésze y -nak.

normál rész

Példa: 3 és 15 aránya 3 1

0,215 5

; ami azt jelenti, hogy a 3 a 15-nek 0,2-szerese, másképp

megfogalmazva 20 század része.

Példa: 8 és 5 aránya 8

1,65 ; ami azt jelenti, hogy a 8 az 5-nek 1,6 szorosa vagy másképp 160

század része.

definíció rész

Definíció: Egy mennyiség 0,01 részét a mennyiség 1 százalékának (1%) nevezzük.

24

normál rész

Egy mennyiség 100

p részét a mennyiség p %-ának nevezzük.

Százalékérték kiszámítása: Jelölje 0T az alapot, T a százalékértéket és p a százaléklábat, akkor

0T -nak a p százaléka egyenlő:

0100

pT T

Alap: Mindig az a mennyiség, aminek a valahány százalékát szeretnénk számolni.

Százalékláb: A százalékban megadott érték.

Százalékérték: Az alap valamely százalékkal módosított értéke.

Ha az alapot p százalékkal növeljük, akkor a számolás módja a következő:

0 0 0 1100 100

p pT T T T

Ha az alapot p százalékkal csökkentjük, akkor a számolás módja a következő:

0 0 0 1100 100

p pT T T T

példa rész


1. feladat: Határozza meg 350-nek az 1%-át, 28%-át, majd 153%-át!

Megoldás: 350-nek az 1%-a, azaz az 0,01 része: 350 0,01 3,5

350-nek a 28%-a, azaz az 0,28 része: 350 0,28 98

350-nek a 153%-a, azaz az 1,53 része: 350 1,53 535,5

2. feladat: Határozza meg 5 000 Ft 15%-ának a 30%-át!

Megoldás: Két lépésben számoljunk. Először vegyük 5 000 Ft-nak a 15%-át.

5 000 0,15 750 Ft

Majd a kapott 750 Ft-nak a 30%-át.

750 0,3 225 Ft

Az eredmény 225 Ft.

25

A számolást egyszerűbben is felírhatjuk: 5 000 0,15 0,3 225 Ft.

3. feladat: Egy láda alma teljes tömege 28 kg. Hány kg alma van a ládában, ha tudjuk, hogy a láda

tömege a teljes tömeg 9%-a?

Megoldás: Ha a teljes tömeg 9%-át a láda tömege adja, akkor 28 kg 0,09 része a ládatömege, a

maradék 0,91 része pedig az alma tömege. Így a 28 kg 0,91 része:

28(1 0,09) 28 0,91 25,48 kg

Tehát az alma tömege 25,48 kg.

4. feladat: Egy 12 000 Ft-os termék árát 25%-kal csökkentették. Mennyibe kerül most?

Megoldás: Ha a termék ára 25%-kal csökken, akkor ez azt jelenti, hogy a teljes ár 0,25 részét nem

kell kifizetni, csak a maradék 0,75 részt. Így 12 000 (1 0,25) 12 000 0,75 9 000 Ft.

Megjegyzés: Úgy is gondolkodhattunk volna, hogy 12 000 0,25 3 000 Ft-ot elengednek, tehát a

ruha csak 9 000 Ft-ba kerül.

5. feladat: Ha egy szolgáltatás ára tavaly még 7 000 Ft volt, idén pedig 8 500 Ft -ba kerül, akkor hány

százalékkal nőt a szolgáltatás ára?

Megoldás: Nézzük meg, hogy az új ár hányszorosa a régi árnak, ehhez osszuk el az új árat a régivel:

8 5001,2143

7 000

Ez azt jelenti, hogy az új ár a régi ár 0,2143 részével több, ami 21,43%-os növekedést jelent.

6. feladat: Egy gép árát 20%-kal csökkentették. Néhány nappal később a csökkentett árra még

további 15%-os engedményt adtak. Ha az eredeti ár 32 000 Ft volt, akkor mennyi lett a végső ár?

Hány százalákos csökkenést eredményezett a kétszeri árváltozás?

Megoldás: Nézzük az első árcsökkentést. A gép árának csak 0,8 részét kell fizetni.

32 000 (1 0,2) 32 000 0,8 25 600 Ft

Tehát az első csökkentés után 25 600 Ft-ot kell fizetni. Ezt az új árat kell csökkenteni 15%-kal.

25 600 (1 0,15) 25 600 0,85 21760 Ft

A második árcsökkentés utáni ár 21 760 Ft.

Vegyük észre, hogy a számolást egyszerűbben is felírhatjuk.

32 000 (1 0,2)(1 0,15) 32 000 0,8 0,85 21760 Ft

A számolásból jól látszik, hogy a végösszeg a 32 000-nek a 0,8 0,85 0,68 -szorosa, tehát az

árcsökkenés 32%-os.

26

7. feladat: Egy bizonyos áru árát csökkentették 30%-kal, majd az így kapott árat emelték 25%-kal.

Hány százaléka a kétszeri változással kapott új ár a régi árnak? Hány százalékos és milyen irányú a

végső árváltozás?

Megoldás: Ha csökkentik az árat 30%-kal, akkor csak a régi ár 70%-át kell kifizetni. Az így kapott árat

növeljük 25%-kal, azaz venni kell az új ár 125%-át.

0 0 0(1 0,3)(1 0,25) 0,7 1,25 0,875T T T

Tehát a végső ár az eredeti ár 0,875 része, azaz 87,5%-a, ami 12,5%-os árcsökkenésnek felel meg.

8. feladat: Egy termék árát először 15%-kal, majd pár héttel később újabb 10%-kal emelték. Ha a

termék az emelések után 6 325 Ft-ba kerül, akkor mennyibe került eredetileg?

Megoldás: A keresett árat jelöljük 0T -lal és írjuk fel, hogy a két áremelés hatására 0T hogyan

változik.

0 0 0(1 0,15)(1 0,1) 1,15 1,1 1,265 6 325 T T T

Kaptunk egy egyszerű egyenletet 0T -ra, amit megoldva kapjuk, hogy 0 5 000T Ft.

teszt rész


1. Határozza meg 700-nak a 13%-át!

910

9,1

91

324

2. Határozza meg 700-nak a 221%-át!

1547

847

147

2247

3. Határozza meg 8 000 Ft 72%-ának a 23%-át!

7600 Ft

27

3920 Ft

1547 Ft

1324,8 Ft

4. Mennyi a bruttó éves fizetése annak a dolgozónak, aki 693 000 Ft éves személyi jöveledelem

adót fizetett be? (A személyi jövedelem adó 18%-os.)

3 550 000 Ft

817 740 Ft

3 850 000 Ft

4 105 500 Ft

5. A benzin árát a hét folyamán kétszer növelték. Először 4%-kal, majd az új ár 6%-ával.

Mennyibe került eredetileg a benzin, ha az áremelések után a 395 Ft volt?

359 Ft

435,4 Ft

375,2 Ft

358,3 Ft

6. Egy adott hónapban a benzin árát minden héten csökkentették. Az első héten 4%-kal,

második héten 1%-kal, majd a harmadik és negyedik héten 0,5-0,5%-kal. Hány százalékos volt a

benzin árának csökkenése az adott hónapban?

5,91%

6%

5,64%

4,93%

7. Ha egy autó értéke minden hónapban az értékének 2%-ával csökken, akkor eredeti értékének

hány százalékát veszíti el egy év alatt?

78,47%

15%

24%

21,53%

28

8. Egy termék árát először 20%-kal növelték, majd kétszer 10%-kal csökkentették.

Hány százaléka az új ár a réginek?

97,2%

96%

nem változott

2,8%

normál rész


Szolgáltatások és megvásárolható termékek árait szokás fogyasztói vagy bruttó árnak nevezni, ami

két részből tevődik össze. Egyrészt az alap vagy tiszta árból, amit szokás nettó árnak nevezni,

másrészt az ÁFA-ból (Általános Forgalmi Adó), ami a nettó ár valahány százalékát jelenti. Az ÁFA

értéke az államilag szabályozott áfakulccsal adható meg. Az általános áfakulcs ma Magyarországon

27%. Bizonyos termékek esetén ettől eltérő értékek is előfordulnak.

Határozzuk meg először az ÁFA értékét, ha az áfakulcsot ÁFA

p -val jelöljük.

ÁFA Nettó ár100

ÁFAp

Ha 27%ÁFA

p , akkor ÁFA Nettó ár 0,27 .

Az ÁFA ismeretében most már írjuk fel az ÁFA-val növelt összeget.

ÁFABruttó ár Nettó ár ÁFA Nettó ár 1100

p

Az egyenletet átrendezve a nettó ár kifejezhető a bruttó árral.

ÁFA

Bruttó árNettó ár

1100

p

Ha az áfakulcs éppen 27%, akkor

Bruttó ár Nettó ár 1,27

1Nettó ár Bruttó ár 0,7874 Bruttó ár

1,27

Az ÁFA kifejezhető a bruttó árral is.

29

1ÁFA Bruttó ár Nettó ár Bruttó ár 1 Bruttó ár 0,2126

1,27

Ügyeljünk az áfakulcs megváltozásánál a megfogalmazásra. Későbbiekben látni fogjuk, ha az

áfakulcs például 3%-ról 4%-ra változik, azt nem lehet úgy mondani, hogy a változás egy 1%-os. (3-nak

az 1%-a 0,03, így ha 3% értéke 1%-kal nő akkor 3,03% lesz.) Helyette a helyes megfogalmazás az,

hogy a 3%-os áfakulcs 1 százalékponttal nő, tehát 4% lesz.

példa rész


9. feladat: Egy termék nettó ára 15 000 Ft. 27%-os ÁFA kulccsal számolva mennyi lesz a termék után

fizetendő ÁFA és mennyi a bruttó ára?

Megoldás: 27%-os áfakulccsal számolva a fizetendő adó:

ÁFA 15 000 0,27 4 050 Ft

A termék bruttó ára pedig:

Bruttó ár 15 000 1,27 19 050 Ft

10. feladat: Egy termék bruttó ára 50 000 Ft. 27%-os áfakulccsal számolva mennyi ÁFA-t tartalmaz a

termék ára, és mennyi a nettó ára?

Megoldás: Először határozzuk meg a nettó árat, majd a bruttó és nettó ár különbségével az ÁFA

kifejezhető.

1Nettó ár 50 000 50 000 0,7874 39 370 Ft

1,27

ÁFA 50 000 39 370 10 630 Ft

A bruttó ár és áfakulcs ismeretében a fizetendő ÁFA közvetlenül is kifejezhető:

1ÁFA 50 000 1 50 000 0,2126 10 630 Ft

1,27

Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a számolás azt jelenti, hogy a bruttó ár 21,26% az ÁFA.

Általában 1

1ÁFA

p megadja, hogy a bruttó ár hány százaléka az ÁFA.

11. feladat: Egy termék áfakulcsa 20% és 5 000 Ft ÁFA-t fizetünk utána. Mennyi a termék nettó illetve

bruttó ára?

Megoldás: Tudjuk, hogy a keresett nettó ár 20%-a éppen 5 000 Ft.

30

5 000 Nettó ár 0,2

Fejezzük ki az egyenletből a nettó árat.

5 000Nettó ár 25 000 Ft

0,2 .

Bruttó ár Nettó ár ÁFA 30 000 Ft

12. feladat: Egy termék áfakulcsa 25%. A bruttó ár hány százaléka a befizetendő ÁFA?

Megoldás: Írjuk fel az ÁFA és a bruttó ár arányát.

ÁFA Nettó ár 0,25 0,25 10,2

Bruttó ár Nettó ár 1,25 1,25 5

Tehát az ÁFA a bruttó ár 0,2 része, azaz a 20%-a.

13. feladat: Ha egy termék ÁFA-ja a bruttó ár 16%-a, akkor mekkora a termék áfakulcsa?

Megoldás: Az áfakulcs azt mutatja meg, hogy a befizetett adó hány százaléka a nettó árnak. Tudjuk,

hogy a bruttó ár 10%-a ÁFA, akkor a 90%-a pedig a nettó ár. Írjuk fel az ÁFA és nettó ár arányát.

ÁFA 0,16 Bruttó ár 160,1905

Nettó ár 0,84 Bruttó ár 84

Tehát az áfakulcs 19,05%.

14. feladat: Egy termék áfakulcsa 27%-ról 20%-ra csökken. Hány százalékos lesz az árcsökkenés, ha

a termék nettó ára nem változik?

Megoldás: Azt szeretnénk megtudni, hogy az új bruttó ár hány százaléka a régi bruttó árnak.

Fejezzük ki a régi és új bruttó árat a változatlan nettó árral:

régi Bruttó ár Nettó ár 1,27

új Bruttó ár Nettó ár 1,2

A kérdéses arány számításához osszuk el az új bruttó árat a régivel.

új Bruttó ár Nettó ár 1,2 1,20,945

régi Bruttó ár Nettó ár 1,27 1,27

Mivel az új bruttó ár a régi 0,945 része, azaz a régi ár 0,055 részével csökkent, ezért az árcsökkenés

5,5%-os. Tehát az áfakulcs 7 százalékpontos csökkenése az termék árának 5,5%-os csökkenését

eredményezte.

15. feladat: Egy termék 15%-os áfakulcsa 25%-ra változik. Hány százalékkal nő a termék bruttó ára,

ha a nettó ár nem változik?

Simonné Klári

Öntapadó jegyzet

16%

Simonné Klári

Öntapadó jegyzet

84%

31

Megoldás: Először írjuk fel a régi és új bruttó árakat az ismert áfakulcsokkal.

régi Bruttó ár Nettó ár 1,15

új Bruttó ár Nettó ár 1,25

Írjuk fel az új és a régi bruttó ár arányát.

új Bruttó ár Nettó ár 1,25 1,251,0870


A kapott érték azt jelenti, hogy a régi bruttó ár 0,0870 részével nőtt, ezért a termék bruttó ára 8,70%-

kal nőtt. Tehát az áfakulcs 15%-ról 10 százalékponttal nő, akkor a termék ára 8,70%-kal emelkedik.

16. feladat: Egy termék áfakulcsa 27%-ról 20%-ra csökkent. Közben a termék nettó ára 4%-kal nőtt.

Hogyan változott a termék új ára a régihez viszonyítva?

Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan most is az új és a régi bruttó ár arányát szeretnénk

meghatározni, de most figyelembe kell venni, hogy közben a nettó ár is változott.

régi Bruttó ár régi Nettó ár 1,27

új Nettó ár régi Nettó ár 1,04

új Bruttó ár új Nettó ár 1,2 régi Nettó ár 1,04 1,2

A kérdéses arány számításához most is osszuk el az új bruttó árat a régivel.

új Bruttó ár Nettó ár 1,04 1,2 1,04 1,20,9827


Mivel az új bruttó ár a régi 0,9827 része, azaz a régi ár 0,0173 részével csökkent, ezért az

árcsökkenés 1,73%-os. Tehát az áfakulcs 7 százalékpontos csökkenése és a nettó ár 4%-os

növekedése a termék árának 1,73%-os csökkenését eredményezte.

teszt rész


9. Egy szolgáltatás nettó ára 28 000 Ft. 18%-os áfakulccsal számolva mennyi a szolgáltatás

bruttó ára?

5 040 Ft

33 040 Ft

32 500 Ft

22 960 Ft

32

10. Egy terméket a boltban 80 000 Ft-ért árulnak. 27%-os áfakulccsal számolva mennyi ÁFA-t

kell a termék után a kereskedőnek befizetnie?

17 008 Ft

21 600 Ft

15 340 Ft

101 600 Ft

11. Egy termék után a kereskedő 12 000 Ft ÁFA-t fizet. 5%-os áfakulccsal számolva mennyi a

termék bruttó ára?

240 000 Ft

228 000 Ft

264 000 Ft

252 000 Ft

12. Egy termék áfakulcsa 18%. A bruttó ár hány százaléka a befizetendő ÁFA?

15,25%

5,5%

18%

14,8%

13. Ha egy termék ÁFA-ja a bruttó ár 10%-a, akkor mekkora a termék áfakulcsa?

9,1%

10,5%

11,11%

12.3%

14. Egy termék 5%-os áfakulcsa 18%-ra változik. Hány százalékkal nő a termék bruttó ára, ha a

nettó ár nem változik?

13%

12,38%

13,01%

33

13,8%

15. Egy termék áfakulcsa 25%-ról 12%-ra csökkent. Közben a termék nettó ára 6%-kal nőt.

Hogyan változott a termék új ára a régihez viszonyítva?

13%-kal csökkent

7%-kal csökkent

11,2%-kal csökkent

5%-kal csökkent

normál rész


Ha egy pénzintézetbe betesszük a pénzünket, akkor a pénz használatáért a bank fizet nekünk, amit

szokás kamatnak nevezni. A kamat mértékét a betett összeg, a tőke (jele legyen ) valamely

százalékában határozzák meg. Ezt a százalékértéket kamatlábnak hívjuk, és jelöljük R -rel. A

kamatláb mindig egy megadott időintervallumra, úgynevezett kamatperiódusra vonatkozik.

Egy kamatperiódus elteltével a felvehető összeget 0 1

100

RT T

összefüggés alapján számoljuk,

ahol T a felvehető végösszeg.

Általában az intézetek éves kamatlábat adnak meg, függetlenül attól, hogy mennyi időre kötjük le a

pénzünket. Így adódhat, hogy a pénzünket nem egy, hanem több kamatperiódusra is leköthetjük.

Ekkor a kamatszámításnak kétféle módját szokás alkalmazni. A két számolási mód abban tér el, hogy

a tőkét hogyan növetjük a kamattal.

Az első számolási módot egyszerű vagy lineáris kamatozásnak nevezzük. Ilyenkor a kamatperiódus

végén jóváírják a kamatot, majd a következő periódusban újra az eredeti alap után számolják a

kamatot. Tehát a kamat nem kamatozik. (Felfogható úgy is, hogy az összes kamatperiódus után

egyben írják jóvá a kamatot.) A számolás módja pedig:

0 0Kamat t és 1 t100 100

R RT T T ,

ahol t a futamidő években megadva. Ezt a számolási módot akkor használják leggyakrabban, amikor

nem telik el egy teljes kamatperiódusnyi idő. Ilyenkor az egy kamatperiódusra eső kamatnak csak az

időarányos részét fizetik ki. Ez azt jelenti, hogy t értéke lehet nem egész szám is.

Nézzünk erre néhány példát! Vegyük azt az alapesetet, amikor a kamatláb egy évre vonatkozik.

Ha a pénzünket 3 illetve 5 évre tesszük a bankba, akkor a t értéke 3 illetve 5.

34

Egy hónapos lekötés, futamidő esetén teljes kamatperiódusra eső kamatnak csak 1

12 részét kapjuk

meg, t értéke tehát 1

12.

15 hónapos lekötés, futamidő esetén az egy hónapra eső kamat 15-szörösét kapjuk, ekkor 15

12t .

50 napos lekötés, futamidő esetén az egy napra eső kamat 50-szörösét kapjuk meg, tehát 50

360t .

A másik esetben minden kamatperiódus végén hozzáírják a kamatot a tőkéhez (tőkésítik), és a

kamattal növelt összeg fog tovább kamatozni. Tehát itt a kamat is kamatozik. Ezt az esetet kamatos

kamatnak nevezzük és a felvehető összeget a 0 1

100

nR

T T

összefüggés alapján számolunk,

ahol n a kamatperiódusok száma.

Kamatos kamatnál is az a gyakorlat, hogy éves kamatlábat adnak meg. De a tőkésítés gyakrabban,

például havonta vagy negyedévente is történhet. A tőkésítési periódusra eső kamatlábat ekkor az

éves kamatláb időarányos részeként kapjuk, és utána már a szokásos kamatos kamattal számolunk.

Nézzünk néhány példát! Ha az éves kamatláb 6%, és havonta tőkésítenek, akkor a havi kamatláb a

6%-nak az 1

12 része, azaz 0,5%. Negyedéves tőkésítésnél a negyedéves kamatláb 6%-nak a

negyede, azaz 1,5%.

Ha az évközi tőkésítések számát növeljük, akkor a felvehető összeg is növekedni fog. Bebizonyítható,

hogy a felvehető összeg nem fog minden határon túl növekedni.

példa rész


17. feladat: 150 000 Ft elhelyezünk egy bankban évi 5%-os kamatlábbal számolva. 3 év múlva

mekkora összeget vehetünk fel egyszerű, majd kamatos kamattal számolva?

Megoldás: Számoljunk egyszerű kamattal. A kamat nem kamatozik, minden évben a 150 000 Ft 5%-

át fogják jóváírni. A kamatláb 5%R , kamatperiódusok száma 3n . Helyettesítsünk be a

megadott képletbe.

0 1 150 000 1 3 172 500100 100

5

RT T n Ft

Kamatos kamattal számolva a kamat is kamatozik. Itt is 5%R és 3n . Helyettesítsünk be a

megadott képletbe.

35

3

0 1 150 000 1 173 643,75100 100

5

nR

T T Ft

Jól látható, hogy kamatos kamattal több pénzt tudunk felvenni lejáratkor.

18. feladat: 2 000 000 Ft-ot egy bankban elhelyezünk. Évi 5%-os kamatlábbal és egyszerű

kamatozással számolva mennyi pénzt vehetünk fel 3 hónap múlva?

Megoldás: Ebben az esetben nem a teljes kamatperiódusra, hanem csak 3 hónapra hagyjunk a

pénzünket a bankba, így a teljes kamat időarányos részét kapjuk csak meg.

Mivel a 3 hónap a teljes év negyede, csak a teljes éves kamat negyedét, azaz 0,25 részét kapjuk meg.

Ebben az esetben tehát 0,25n .

0 1 2 000 000 1 0,25 2 025 000100 10

5

0

RT T n Ft

19. feladat: 4 évre 1 500 000 Ft-ot elhelyezünk egy bankban. Kamatos kamattal és havi tőkésítéssel

számolva mekkora összeget vehetünk fel, ha az éves kamatláb 3%?

Megoldás: Kamatperiódus egy év, de havonta tőkésítünk, akkor a tőkésítések száma a 4 év alatt

12 4n és a tőkésítési periódusra eső kamatláb pedig havi

13 0,25%

12R .

h

48

0avi1 1500 000

01 1690 992,032 Ft

100 1

5

00

,2

n

TR

T

Tehát a felvehető összeg 1 690 992,032 Ft.

20. feladat: 100 napra elhelyezünk egy bankba 600 000 Ft-ot. Egyszerű kamattal számolva 2 000 Ft

kamatot kapunk. Mekkora az éves kamatláb?

Megoldás: A betett és lejáratkor felvehető összeget ismerjük. Keressük a kamatlábat, R -t.

Helyettesítsünk be a kamat képletébe.

1002 000 600 000

100 360

R

Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy 1,2%R .

21. feladat: 500 000 Ft-ot elhelyezünk egy bankban 5 évre. Az első két évben a kamatláb 3%, majd a

további 3 évben csak 1,5%. Mekkora összeget vehetünk fel 5 év múlva?

Megoldás: A szöveg külön nem jelöli, akkor kamatos kamatot kell számolni. A változó kamatlábbal

írjuk fel az év végi tőkésített összeget:

Az első év végén a tőkésített összeg: 500 000 1,03

36

Második év végén a tőkésített összeg: 2500 000 1,03

Harmadik év végén: 2500 000 1,03 1,05

Ötödik év végén: 2 3500 000 1,03 1,05 554 680,09Ft

22. feladat: Mennyi ideig tartsuk a pénzünket a bankban, ha kamatos kamattal számolva a betett

összeg dupláját szeretnénk visszakapni? Az éves kamatláb 10% és a bank csak egész évekre fizet

kamatot.

Megoldás: A betett összeg 0T , akkor a felvehető összeg ennek a duplája, azaz 02T . Keressük n -t,

az évek számát. Helyettesítsünk be a kamatos kamat képletébe.

0 0 2 22 1 2 1,1 log 2 log 1,10

0

0

1

1

n

nT T n

Az egyenletet oldjuk meg n -re.

2

2 2

log 2 17,27

log 1,1 log 1,1n

A duplázás ideje 7,27 év, de a valóságban a pénzünket legalább 8 évig kell a bankban tartani, viszont

így a kétszeres összegnél többet vehetünk fel.

23. feladat: Egy ingatlan eladásából nagyobb összeghez jutottunk. A pénz egy részéből egyetlen

gyerekünk, aki most 12 éves, jövőjét kívánjuk megalapozni. A jelenleg elérhető legmagasabb éves

kamatláb 4%. Mekkora összeget helyezzünk el a bankban most, hogy gyerekünk 26 éves korában

10 000 000 Ft-ot vehessen fel?

Megoldás: Ha a szöveg külön nem hangsúlyozza, akkor kamatos kamattal kell számolni. Most 14

évre szeretnénk a pénzünket betenni egy bankba, az éves kamatláb 4%R , évente tőkésítünk és a

felvehető összeg 10 000 000 Ft. Helyettesítsünk be a képletbe.

14

010 000 000 10

4

10

T

A megoldás 0 5 774 750,83T Ft

24. feladat: 5 évre elhelyezünk 600 000 Ft-ot 6%-os éves kamatlábra egy bankba. Mennyi pénz lesz a

számlánkon, ha a bank

a) negyedévente tőkésít?

b) havonta tőkésít?

c) naponta tőkésít?

Megoldás: Negyedéves tőkésítéssel számolva:

37

4 5

20

600 000 1 600 000 1 808113 Ft100 10

,

0

61 54

T

Havonta tőkésítve:

12 5

60

600 000 1 600

60,5

000 1 809 310,092 Ft100 10

12

0

T

Naponta tőkésítve:

365 5

1825

600 000 1 600 0

6

0,016400 1 809 895,32 Ft

100 100

365

T

Figyeljük meg, ha a tőkésítések számát növeljük, akkor a felvehető összeg egyre több lesz. Ez az

összeg azonban nem fog végtelenségig növekedni. A növekedésnek jól meghatározható felső határa

van.

25. feladat: 6%-os éves kamatlábbal számolva mekkora éves kamatlábat realizálhatunk, ha a bank

a) negyedévente tőkésít?

b) havonta tőkésít?

c) naponta tőkésít?

Megoldás: Vizsgáljuk a negyedévenkénti tőkésítés esetét. Írjuk fel először, ha 0T összeget egy év

alatt négyszer tőkésítjünk, akkor hogyan változik, ha 6

1,5%4

negyedR :

4

0 110

1,5

0T

Mi történik, ha ugyanezen összeget R kamatlábbal csak évente egyszer tőkésítjünk?

0 1100

TR

Azt kell megnéznünk, hogy milyen R esetén kapjuk ugyanazt a végösszeget.

4 4

0 01 1 1 1100 1

1,5

00 100 10

1,5

0

RT

RT

38

41,5

100 1 1100

R

A számolás eredménye 6,1364%R .

Havonkénti tőkésítés esetén hasonlóan járunk el és az alábbi egyenlethez jutunk:

12

12

0 01 1 1 1100 100

60,512

100 100

TR R

T

6,1678%R .

Naponkénti tőkésítés esetén hasonlóan járunk el és az alábbi egyenlethez jutunk:

365

365

0 0

6

1 1 1 1100 100 100 365 100

6365

T TR R

Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy 6,183%R .

Jól látható, hogy ha növelem a tőkésítések számát, akkor egyre nagyobb éves kamatláb realizálódik.

teszt rész


16. 400 000 Ft elhelyezünk egy bankban 8%-os éves kamatlábbal. Egyszerű kamattal számolva

másfél év múlva mekkora összeg lesz a számlánkon?

432 000 Ft

448 947,6 Ft

448 000 Ft

440 000 Ft

17. 400 000 Ft-ot elhelyezünk egy bankba 10 hónapra. 8%-os éves kamatláb mellett, egyszerű

kamattal számolva mekkora összeget vehetünk fel a futamidő végén?

426 666,67 Ft

427 481,06 Ft

432 114,56 Ft

39

863 570 Ft

18. Egyszerű kamattal számolva 100 000 Ft-ra 40 nap után 278 Ft kamatot kaptunk. Mekkora az

éves kamatláb?

2%

2,9%

2,5%

2,32%

19. Öt évvel ezelőtt elhelyezünk a bankban 100 000 Ft-ot. Mennyi volt az éves kamatláb, ha öt

év elteltével 176 234 Ft-ot kaptunk vissza?

10%

11%

12%

13%

20. Mekkora éves kamatláb realizálható kéthavonkénti tőkésítéssel, ha az éves kamatláb 7%?

6,83%

7,21%

7%

7,5%

21. Mekkora összeget helyezzünk el a bankban ma, ha 4 év múlva havi tőkésítéssel

2 600 000 Ft-ot szeretnénk felvenni és az éves kamatláb 9%?

1 945 340,12 Ft

1 816 396,75 Ft

2 134 045,6 Ft

2 012 145,78 Ft

22. Évi 7%-os kamatos kamattal számolva, mennyi idő alatt duplázódik meg a betett összeg?

10 év alatt

8 év alatt

40

9 év alatt

11 év alatt

példa rész

További kidolgozott feladatok

26. feladat: Egy termék áfakulcsa kezdetben 15%. A nettó ár 5%-os emelése közben az áfakulcs is

változott. Mekkora az új áfakulcs, ha a bruttó ár 10%-kal emelkedett?

Megoldás: Most az új és régi bruttó ár arányát ismerjük. Tudjuk, hogy a régi ár 10%-kal nőtt, akkor ez

azt jelenti, hogy az új bruttó ár a régi 1,1 része.

új Bruttó ár1,1

régi Bruttó ár

A számunkra ismeretlen új áfakulcs legyen %.x Ismerjük a nettó ár változását, így írjuk fel az új és

régi bruttó ár arányát az ismeretlen áfakulccsal. Írjuk fel először a régi és új bruttó árat.


új Nettó ár régi Nettó ár 1,05

új Bruttó ár új Nettó ár 1 régi Nettó ár 1,05 1100 100

x x

Helyettesítsünk be a két mennyiség arányára kapott kifejezésbe.

régi Nettó ár 1,05 1 1,05 1új Bruttó ár 100 100

1,1régi Bruttó ár régi Nettó ár 1,15 1,15

x x

Kaptunk egy egyenletet x -re, amit oldjunk meg.

1,05 11,1 1,15100

1,1 11,15 100 1,05

x

x

Az egyenletet megoldva 20,48.x Tehát az új áfakulcs 20,48%.

27. feladat: Egy termék áfakulcsa kezdetben 18% volt. A nettó ár 6%-kal emelkedett.

Hogyan és hány százalékponttal változzon az áfakulcs értéke, ha azt szeretnénk, hogy a termék

bruttó ára ne változzon?

Megoldás: Mivel a termék ára nem változik, ez azt jelenti, hogy a régi és új bruttó ár ugyanannyi, azaz

az arányuk 1.

41

új Bruttó ár1

régi Bruttó ár

Írjuk fel ezt az arányt az ismeretlen %x -os áfakulccsal.


új nettó ár régi Nettó ár 1,06

új Bruttó ár új Nettó ár 1 régi Nettó ár 1,06 1100 100

x x

Helyettesítsünk be.

régi Nettó ár 1,06 1 1,06 1új Bruttó ár 100 100

1régi Bruttó ár régi Nettó ár 1,18 1,18

x x

Az egyenletet megoldva 11,32.x Tehát az új áfakulcs 11,32%, azaz régi áfakulcs 6,68

százalékponttal kell, hogy csökkenjen.

28. feladat: Egy telket szeretnénk eladni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemi ajánlatot.

A vevő ajánlata: most fizet 2 000 000 Ft-t.

B vevő ajánlata: most fizet 1 000 000 Ft-ot, s egy év múlva 1 200 000 Ft-ot.

C vevő ajánlata: most fizet 600 000 Ft-ot, majd évenként még háromszor 600 000 Ft-ot.

D vevő ajánlata: most fizet 500 000 Ft, majd kétévente, tehát kétszer 1 000 000 Ft-ot.

Melyik a legkedvezőbb ajánlat, ha az éves kamatláb 15%?

Megoldás: Az ajánlatok összehasonlítását az nehezíti meg, hogy a kifizetések nem azonos

időpontban történnek. Ilyenkor azonos időpontra kamatoljuk a különböző összegeket, és így

hasonlítjük össze őket. A két leggyakrabban használt számítási mód, amikor a feladatban szereplő

legkésőbbi időpontra kamatolunk, illetve amikor a legkorábbi időpontra, azaz diszkontálunk.

Számoljunk most a legutolsó időponttal, ez a vétel után 4 év lesz. Ekkor fizeti be az utolsó részletet a

legkésőbb fizető D vevő. Határozzuk meg a különböző vevőktől kapott pénzösszegek ezen időpontbeli

értékét.

A vevő:

42 000 000 1,15 3 498 012,5 AT Ft

B vevő:

4 31000 000 1,15 1200 000 1,15 3574 056,25 BT Ft

C vevő:

42

4 3 2600 000 1,15 600 000 1,15 600 000 1,15 600 000 1,15 3355 428,75 CT Ft

D vevő:

4 2500 000 1,15 1 000 000 1,15 1 000 000 3 197 003,125CT Ft

Az ajánlatokat így összehasonlítva látható, hogy a B vevő ajánlata a legkedvezőbb, ezt célszerű

választani.

teszt rész


23. Egy termék nettó ára 15%-kal nőtt. Hány százalékos legyen az új áfakulcs, ha eredetileg

25%-os volt, és azt szeretnénk, hogy a bruttó ár növekedés csak 5%-os legyen?

13,43%

10%

14,13%

15,22%

24. Egy termék áfakulcsa 15%. A nettó ár 8%-kal csökken. Hány százalékos legyen az új

áfakulcs, ha azt szeretnénk, hogy a termék bruttó ára ne változzon?

23%

24%

25%

26%

25. Egy termék áfakulcsának értéke duplájára nőt. Határozza meg az eredeti áfakulcs értékét,

ha a változás hatására a bruttó ár 7,41%-kal nőtt!

7%

8%

9%

10%

26. Szeretnénk eladni egy gazdaságunkban feleslegessé vált munkagépet. A környékbeli

gazdák közül négy ajánlatot kaptunk. Melyik ajánlatot fogadjuk el, ha az éves kamatláb 10%?

Most fizet 1 500 000 Ft-t.

43

Most fizet 1 000 000 Ft-ot, majd egy év múlva 600 000 Ft-ot.

Most fizet 600 000 Ft-ot, majd egy év múlva 1 100 000 Ft-ot.

Most fizet 600 000 Ft-ot, majd még kétszer 600 000 Ft-ot évenként.

44

Modulzáró ellenőrző kérdések

1. Egy ládában 5 kg alma volt. Kiderült, hogy 12%-a férges, amit kidobtak. A maradék 85%-át

sikerült eladni. Mennyi alma maradt?

3,74 kg

66 dkg

1,2 kg

72 dkg

1 pont

2. Mennyi pénzt helyeztünk le a bankban 18 hónappal ezelőtt, ha 4%-os kamatláb mellett

egyszerű kamattal számolva 238 500 Ft az egyenlegünk?

220 000 Ft-ot.

224 874 Ft-ot.

225 000 Ft-ot.

230 000 Ft-ot.

1 pont

3. Egy termék ÁFÁ-ja a bruttó ár15%-a. Mekkora a termék áfakulcsa?

17,65%

16,85%

14,65%

17,15%

1 pont

4. Egy termék áfakulcsa kezdetben 17% volt. A nettó ár 10%-os csökkenése mellett az áfakulcs

is változott. Mekkora az új áfakulcs, ha a régi bruttó ár 5%-kal emelkedett?

27%

15,4%

21,26%

36,5%

1 pont

45

5. Rendelkezésünkre áll 3 millió forint. Melyik befektetés lenne számunkra a legkedvezőbb az

alábbiak közül?

5 év múlva 3 650 000 Ft-ot kapunk.

5 év évre lekötjük 4%-os éves kamatláb mellett kamatos kamattal és éves tőkésítéssel.

5 év évre lekötjük 3%-os éves kamatláb mellett kamatos kamattal és havi tőkésítéssel.

5 év évre lekötjük 4,5%-os éves kamatláb mellett egyszerű kamatozással.

1 pont

bodó bea, simonné szabó klára matematika 1. közgazdászoknak

Documents