1

BÖLÜM 5

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI

Bu kısımda, gerçek yaşamdan ortaya çıkan pek çok rassal olayın modellenmesinde faydalı

olan, sürekli (tek değişkenli) parametrik olasılık dağılımlarından bazıları incelenecektir. Ele

alınacak dağılımlar, bir hipotetik örnekleme süreci ile ilgili varsayımlar kümesi altında

matematiksel olarak elde edilmiş teorik dağılımlardır. Bu teorik dağılımlar, belirli

parametrelere göre bir olasılık yoğunluk (density) ailesini tanımlayan kurallar kümesi ile ifade

edilirler.

Bir şans değişkeni X ve bir parametre verilmiş olsun. ),( xf ise bir sürekli teorik olasılık

kütle fonksiyonunu tanımlayan kural olsun. Eğer bir reel sayı ise, bu parametre farklı

olasılık yoğunluk fonksiyonlarının; ),,(),,( 21 xfxf bütün bir kümesini belirler. Sonuç

olarak, bu parametrik sürekli dağılım ailesinin değişik elemanlarını içeren küme

/),(Xf elde edilir.

5.1 TEKDÜZE (ÜNİFORM) DAĞILIM

Sürekli şans değişkenleri için kullanılan en basit dağılımlardan biri tekdüze dağılımdır.

Matematiksel hesaplamalara uygunluğuyla özellikle teorik istatistik için oldukça kullanışlı bir

dağılımdır. Bu dağılımın diğer bir önemi istatistik kuramının çeşitli yönlerini açıklamaya,

basitliği nedeniyle, çok yatkın olmasıdır.

Tanım (sürekli tekdüze şans değişkeni): Bir sürekli şans değişkeni X, x aralığındaki

her biri değeri eşit olasılıkla alabiliyor ise bu şans değişkeni kesikli tekdüze dağılıma sahiptir

ve tek düzen dağılımın olasılık yoğunluğu şu şekildedir:

1

),;(xf

Burada ile reel sabitlerdir ve şeklindedirler.

Tek düzen dağılımda olduğuna göre 0 ’ dır ve )(xf bir olasılık yoğunluk

fonksiyonu olabilmenin ilk koşulunu sağlar. Diğer bir deyişle 0 olduğu için

0)( xf ’dır.

Teorem:

1),;( dxxf koşulu sağlanır.

2

Şekil: Tekdüzen Dağılış

Teorem: Eğer X şans değişkeni ],[ aralığında tekdüzen dağılış gösteriyorsa;

a. 2

)(

XE

b. 12

)()(

2 XV

c. t

eetM

tt

)()(

şeklindedir.

İspat:

dxxXE1

2

22

2

22 XEXEXV

2

2

2

1

dxx

43

233

12

2

dxeeEtM xtxtx

1

3

t

ee tt

Tekdüzen dağılış adını ],[ ba aralığındaki tekdüzen yoğunluğundan ve grafikteki şeklinden

almaktadır. Bu dağılıma dikdörtgen biçimli dağılım da denmektedir.

Teorem: Tek düzen şans değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu,

)(

)()(

xxF

ile tanımlanmıştır.

İspat:

xdtxF

x1

)( .

Bu sonuç bazı rassal olgularda araştırıcı için kullanışlı olmaktadır. Örneğin; rassal bir X

değişkeninin değerleri sadece ],[ ba gibi bir sınırlı alan içinde dağılıyorsa; ],[ ba aralığının

eşit mesafeli iki alt aralığının X şans değişkenini içerme olasılıkları eşitse o zaman X , ],[ ba

aralığında tekdüze dağılış göstermektedir. Ya da ]1,0[ aralığında herhangi bir sayı ele

alındığında, aslında bu aralıkta tekdüzen dağılış gösteren bir şans değişkeninden

bahsedilmektedir.

Teorem: Herhangi bir sürekli X şans değişkeni için tanımlanan yoğunluk fonksiyonu,

uniform yoğunluk fonksiyonuna xGy alınarak (burada G(x), X şans değişkeninin

kümülatif dağılım fonksiyonudur) dönüştürülebilir.

1yf 0 < y < 1

Bu teorem ile sadece birim aralıktaki uniform dağılım için birçok sürekli dağılımın özellikleri

ispatlanarak gösterilebilir.

Tekdüzen dağılımın belirli kapalı bir ],[ ba aralığında dağıldığını tanımlamıştık. Ayrıca ),( ba

açık aralığı ya da ],( ba ve ),[ ba yayı açık yarı kapalı aralıklarında da aynı tanımı yapmak

mümkündür. Burada bilinmesi gereken her dört olasılık yoğunluğunun da aynı birikimli

dağılış fonksiyonuna sahip olduğudur.

5.2 GAMA DAĞILIŞI

İstatistikte önemli rol oynayan dağılımlardan ikisi, bir dağılım ailesi olarak görebileceğimiz

gama ve üstel dağılımlardır. Bu iki dağılımın birlikte ele alınmasının sebepleri; üstel

dağılımın, gama dağılımının özel bir durumu olması ve üstel şans değişkenlerinin toplamının

gama dağılımı göstermesidir. Gama dağılışı sık sık bekleme zamanlarının olasılık modeli

olarak kullanılmaktadır. Örneğin yaşam zamanı testinde ölüme kadar geçen süre gama

4

dağılışına uyan bir şans değişkeni göstermektedir. Gama dağılımının Poisson süreci ile ilişkisi

bölüm sonundaki eklerde E.5.3 Kısmında verilmiştir.

Tanım (Gama şans değişkeni): Bir X şans değişkeni aşağıdaki olasılık yoğunluğuna uyuyorsa

(gama dağılımı) gama şans değişkeni olarak adlandırılır.

0)(

1 1

xexxf

olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanabilir. Bu dağılış tek parametreli gama dağılımıdır.

Eğer xy şeklinde bir şans değişkeni tanımlanırsa, iki parametreli gama dağılımı elde

edilir.

Tanım: Bir X şans değişkeni aşağıdaki olasılık yoğunluğuna uyuyorsa (gama dağılımı) gama

şans değişkeni olarak adlandırılır.

/1

)(

1),;( xexxf

0x

Burada 0,0 ve 0)( şeklindedir. Burada ölçek, şekil parametresidir.

Teorem: Eğer X şans değişkeni, ve parametreli gama dağılışı gösteriyorsa,

a. )(XE

b. 2)( XV

c. )1()( ttM

şeklindedir.

İspat: a. Dağılışın beklenen değeri,

dxexXE

x

0

1

xy ile tanımlanan değişken dönüşümü uygulanarak, dydx ,

dyeyXE y

0

1

dyey y

0

1

elde edilir.

b. Gama dağılışının varyansı da benzer şekilde,

5

dxexXE

x

0

12 1

dyey y

0

11

dyey y

0

12

22

21

ve

22 XEXEXV

2

bulunur.

c. Gama dağılışının moment türeten fonksiyonu ise;

dxexeeE

x

txtX

0

1

)(

1)(

dxextx

1

0

1

)(

1

burada yx dönüşümü ile, dydx ,

dyeyeE tytX )1(

0

1

)(

1)(

burada )1( tyz dönüşümü ile, tdzdy 1

dzezt

eE ztX

0

1

1)(

1)(

t1

1

olup bu fonksiyon, 1t için geçerlidir. Sonuç olarak gama dağılımı için,

ttM x

1

1

bulunur.

Teorem: Gama dağılımının orijine göre r-inci momenti,

6

)(

)(

rr

r

eşitliğinden elde edilir.

İspat: Gama dağılışının r-inci momenti,

dxexXE

x

rr

0

11

xy ile tanımlanan değişken dönüşümü uygulanarak, dydx ,

dyeyXE yrr

r

0

1

Gama fonksiyonun tanımı gereği sağ tarafın integrali )( r olduğuna göre,

rr

ispat tamamlanmış olur.

Gamma dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu,

dtetxF t

x

/1

0)(

1

olup α pozitif tamsayı olduğunda bu integral nümerik metotlarla elde edilir.

xexxxx

xF

!

1

!3

1

!2

111

32

x > 0

Bu F fonksiyonuna incomplete gamma fonksiyonu denir.

İki parametreli gama dağılımı 1 alınarak poisson dağılımının parametresine göre de

ifade edilebilir, bkz. Kısım E5.3.

5.3 ÜSTEL DAĞILIM

Üstel dağılım yaşam sürelerinin modelleşmesinde kullanılabilir ve kesikli durumlarda

kullanılan geometrik dağılışın benzeridir. Gama dağılışında 1 olması durumunda ortaya

çıkar.

Tanım (Üstel şans değişkeni): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki tanıma

uyuyorsa üstel dağılış gösterir ve üstel şans değişkeni adını alır.

/1

);( xexf 0x

Burada 0 olup ölçek parametresidir.

7

Teorem: Eğer X şans değişkeni üstel dağılış gösteriyorsa beklenen değeri, varyansı ve

moment türeten fonksiyonu şu şekildedir:

a. XE

b. 2XV

c. 11

ttM x

İspat: a.Üstel dağılımın beklenen değeri,

dxexXE x

/

0

1)(

kısmi integrasyonunda yx alınarak, dydx ,

dyeyXE y

0

)(

integrali kısmi integral ile çözülebilir, bununla birlikte integral bir gama integrali olup,

12 değerini verir ve sonuç olarak

XE

bulunur.

b. Üstel dağılışın varyansı da benzer şekilde,

dxexXE x

/

0

22 1)(

dyey y

0

22

32

ve

222 XV

2

olarak elde edilir.

c.Üstel dağılımın moment türeten fonksiyonu da,

dxeeeE

x

xtxt

0

1

burada yx dönüşümü uygulanarak,

dyeeE tyxt

0

1

8

t1

1

olup, t1 için,

t

tM x

1

1

bulunur.

Üstel dağılımın önemli bir özelliği hafızasızlık özelliğidir.

Teorem: Eğer X şans değişkeni parametreli üstel dağılıma sahip ise, 0 ts olmak üzere,

tsxtxsx Pr/Pr

eşitliği geçerlidir.

İspat: tx

txsxtxsx

Pr

,Pr/Pr

burada ts olduğundan,

tx

sxtxsx

Pr

Pr/Pr

ts

t

s

t

x

s

x

ee

e

dxe

dxe

/

/

/

/

1

1

tsx Pr

X bir makine parçasının çalışma ömrü olarak kabul edilsin. Bu parçanın t birim zamanda

bozulmaması şartıyla s birim zamanda bozulmama şartlı olasılığı ts birim zamanda

bozulmama olasılığına eşittir. Diğer bir deyişle eski çalışan bir parçanın çalışma ömrünün

dağılışı ile yeni çalışan parçanın çalışma ömrünün dağılımı aynıdır.

5.4 BETA DAĞILIMI

1895 yılında Karl Pearson tarafından tanıtılan beta dağılımını açıklamak için bir beta

fonksiyonu tanımlanır ve bu fonksiyon sayesinde beta dağılımı bulunur. Beta fonksiyonu

Eularian integralinin birinci tipidir ve bölüm sonu eklerde Kısım E.5.2’de açıklanmıştır.

Eğer bir süreç Gamma dağılışı gösteren değişkenlerin oranlarını göz önüne alan tipte ise Beta

dağılımı çok yararlı bir dağılıştır. Beta dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu 1,0

aralığında belirlenmiş olduğundan birçok deneysel dağılış Beta dağılışına uyabilir.

Tanım (Beta şans değişkeni): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki tanıma

uyuyorsa beta dağılışı gösterir ve beta şans değişkeni adını alır.

9

11 )1()().(

)(),;(

xxxf 10 x

Burada 1, olup şekil parametreleridir.

Teorem: X şans değişkeni Beta dağılımına sahip ise,

a. )(

)(

)(

)(

r

rXE r

b. )(

)(

XE

c. )1()(

)(2

XV

İspat: a. Bir beta dağılımının r-incı momenti, beta fonksiyonunun özellikleri kullanılarak,

dxxxXE rk 1

1

0

1 )1()()(

)()(

)(

)()(

)()(

)(

r

r

)(

)(

)(

)(

r

r

bulunur.

b. Eğer 1r alınır ise

)!1(

)!1(

)!1)((

)!1(

)(

)1(

)1(

)()(

XE

)(

bulunur.

c. Eğer 2r alınır ise

)!1(

)!1()1(

)!1)()(1(

)!1(

)(

)2(

)2(

)()( 2

XE

))(1(

)1(

ve sonuç olarak varyans,

2

2

)())(1(

)1()(

XV

)1()( 2

bulunur.

10

Bu dağılımın moment türeten fonksiyonu basit bir yapıda olmadığı için kullanışlı değildir.

Beta dağılımının özel durumu: Eğer 1 ve 1 ise Beta dağılımı sürekli üniform dağılımı

tanımlar.

10

1

)1()1()1(

)2()1;1;( 00

xxxxf

Beta dağılımı için 21 noktasında simetrik olup ortalaması da 21 değerine eşittir.

5.5 NORMAL DAĞILIM

Uygulamalı istatistikte kullanılan tekniklerin çoğu Normal dağılıma dayanmaktadır. Bu

dağılım ilk kez 1733’te Abraham de Moivre (1667–1745), tarafından Binom dağılımı

gösteren değişkenlerin toplamının yakınsadığı bir dağılım olarak keşfedilmiştir. Birçok

bakımdan istatistik kuramının temel taşı sayılan normal dağılış, daha sonra ölçme hatalarının

şaşılacak derecede düzenlilik göstermesini gözlemleyen bilim adamlarınca, Pierre Laplace

(1749–1827) ve Karl Gauss (1777–1855) tarafından incelenmiştir.

Gözlenen dağılımların, normal hata eğrileri adı verilen ve şans kurallarına bağlanan sürekli

eğrilere çok yakın olduğu bulunmuştur. İlk olarak bu tür normal eğrileri tanımlayan

2

2

1z

ezh

fonksiyonunun matematiksel özellikleri araştırılmıştır. İlk aşamada integralin mevcut olup

olmadığı ele alınsın,

dzeIz 2

2

1

bu integralin integrandı pozitif sürekli bir fonksiyon olduğundan ve integrali alınabilir bir

fonksiyonla sınırlı olduğu,

12

1 2

0

zz

ee z

için

0

10

11dzedzedze

zzz

0

1

0

1 dzedze zz

k

z

kt

z

tdzeedzee

0

0

limlim

e2

mevcuttur.

11

Teorem: I integralinin değeri sonlu olup

22

2

1

dzez

değerine eşittir.

İspat: I integralinin kendisi ile çarpımı 2I ise

dydzeI

zy

22

22

bu integralin çözümü için kutupsal koordinatlara dönüşüm cosry ve sinrz yapılarak

ve jakobian determinantı;

rdrdrr

d

dz

d

dydr

dz

dr

dy

J

cossin

sincos

hesaplanarak,

2

0 0

2

1

22

rdrdeIr

bulunur. Bu integralde, 22ru dönüşümünü yapılarak, rdrdu

2

0 0

2 dudeI u

de u

2

00

2

0

d

2

ve 2I elde edilerek ispat tamamlanır.

Tanım (Normal Dağılım): Eğer ortalaması µ ve varyansı σ2 olan bir X şans değişkeninin

olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibiyse bu şans değişkeni Normal dağılım

göstermektedir.

222

2

1,;

xexf x

Burada parametreler için sınırlar , 0 eşitsizlikleri ile tanımlanmıştır. Bu

dağılım 2, NX ile gösterilir. Normal dağılım aynı zamanda Gauss dağılımı ya da hata

12

(error) dağılımı olarak da bilinir. Öncelikle normal dağılıma ait fonksiyonun oyf olma

koşullarını sağladığı ispatlansın.

Teorem: ,;xf bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

İspat: xz ve dzdx dönüşümü yapılarak,

dzedxxfA z 22

2

1,;

0

22

2

2dze z

ve 22zw alınarak, wz 2 ve dwwdz 221 olur ve gama fonksiyonunun özelikleri

kullanılarak,

1211

0

21

dwewA w

ispat tamamlanır.

Alternatif bir yaklaşım kutupsal koordinatların kullanılmasıdır,

22

2

1

dzez

olduğu hatırlanarak,

12

12

2

1

dzez

elde edilir.

Teorem: Eğer X şans değişkeni 2, NX dağılışı gösteriyorsa;

a. XE

b. 2XV

c. 222tt

x etM

İspat: İlk olarak a şıkkı incelenmiştir.

dxxeXE x 222

2

1

Değişken değiştirme tekniği ile xz ise zx ve dzdx olur,

dzezXE z

22

2

1

dzedzze zz 22 22

2

1

2

1

Eşitliğin sağındaki ilk integral Z değişkeninin tek bir fonksiyonudur ve yarı integral sonucu

13

1

0

22

dzze z

sonlu olduğundan integral sonucu sıfıra eşittir. İkinci integral ise ortalaması sıfır varyansı bir

olan standart normal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğundan integral sonucu

bire eşittir. Sonuç olarak,

XE .

b. 2 XEXVar

dxex x 2222

2

1

dxe

x x 222

2

22

2

xz dönüşümü ile, dzdx olur,

dzezXV z 222 2

2

1

ve 22zw alınarak, 212wz ve dwwdz 221 olur, integral içindeki fonksiyon çift

fonksiyon olduğundan,

0

212

0

212 222

2

2dwewdwewwXV ww

ve gama fonksiyonunun özelikleri, 223 kullanılarak,

2

322

XV

2

elde edilir.

c. xtttxx eEeeEtM

dxeeex

xtt

2

22

1

2

1

dxxtxet

22

22

2

1exp

2

1

üstel fonksiyonunun üs kısmı ele alınsın.

2424222222 ttxtxxtx

2422 ttx

Bu bilgi integralde yerine konulursa,

14

dxtxeetM ttx

22

2

2

2

1exp

2

122

En son elde edilen eşitlikteki integral, ortalaması t2 ve varyansı 2 olan bir Normal

dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Dolayısıyla bu eğrinin altında kalan alan 1’e

eşittir. Böylece ispat tamamlanır.

Normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu,

dtexF

x

t

22

2

2

1

integrali ile elde edilir. Eğer xz dönüşümü yapılırsa,

dtexF

x

t

222

2

1

şeklinde elde edilir.

Yukarıdaki kullanılan xz dönüşümü özel bir durumdur ve standart normal şans

değişkeni olarak adlandırılır. Standart normal şans değişkeni ortalaması sıfır, varyansı ise bir

olan dağılıma sahiptir. Bu şans değişkenine ait olasılık fonksiyonu ise

22

2

1 zezf

z

şeklindedir. Eğer 1,0 NZ ise standart normal kümülatif dağılım fonksiyonu,

z

dttfz

şeklinde elde edilir.

Standart normal olasılık fonksiyonunda

zfzf

eşitliği tüm reel Z değerleri için geçerlidir. Çünkü zf çift fonksiyonudur. Bir başka deyişle,

standart normal dağılım 0z etrafında simetriktir. zf ’nin özel yapısı nedeniyle,

zzfzf

ve

zfzzf 12

elde edilir. Sonuç olarak zf , 0z noktasında eşsiz bir maksimuma ve 1z noktalarında

ise büküm noktalarına sahiptir. Ayrıca z için 0zf ve

02exp2 2 zzzf ’dır.

15

Aşağıda normal dağılımın örnekleme dağılımları olarak adlandırılan ve istatistik

uygulamalarında ve teorisinde önemli yer tutan Student t, ki-kare 2 ve F Dağılımları

incelenecektir.

5.6 CAUCHY DAĞILIMI

Cauchy dağılımı, istatistik teorileri içerisinde özel bir rol oynar. Tahminler için aşırı bir

durum simgeler. Örneğin gözlemlerin oranlarını hesaplamada alışılmış bir uygulamadır. İlginç

olan bir durum da iki standart normalin bir Cauchy dağılımına sahip olmasıdır.

Cauchy dağılımı simetrik bir dağılımdır ve , aralığında çan biçiminde bir dağılış

gösterir. Cauchy dağılımı normal dağılımdan çok farklı görünmemesine rağmen normal

dağılıma göre büyük farklar içerir. Bunlardan biri Cauchy dağılımının ortalamasının mevcut

olmamasıdır.

Tanım(Cauchy Dağılımı): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki gibiyse

standart Cauchy dağılımına uyar ve Cauchy şans değişkeni adını alır,

)1(

1)1;0;(

2xxf

x

tek parametreli (yer parametresi) Cauchy olasılık yoğunluk fonksiyonu:

2)(1

11)1;;(

xxf x

ve iki parametreli (yer ve ölçek) Cauchy olasılık yoğunluk fonksiyonu:

2

1

1);;(

x

xf x

olarak tanımlanmıştır.

Cauchy dağılımı etrafında simetrik olmasına rağmen ortalaması ve daha büyük momentleri

mevcut değildir. Diğer bir deyişle moment türeten fonksiyonu mevcut değildir.

Teorem: X şans değişkeni standart Cauchy dağılımına sahip ise

a. belirsiz)( XE

b. belirsiz)( XV

İspat: a. dxx

xXE

)1(

12

Eğer 2xu ise xdxdu 2

12

1)(

u

duXE

16

kk

kxLim

)1ln(

2

1 2

belirsizliği bulunur.

b. dxx

xXE

)1(

12

22

dxx

)1(

11

12

dxx

dx)1(

112

kk

k

kk

kxLimxLim

)1ln(

2

1

1 2

belirsizliği bulunur.

Teorem: )1;0;( xf fonksiyonu bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

İspat: dxx

dxxf

)1(

11)(

2

k

ttk

dxx

Lim)1(

112

Burada, 21

1arctan

xx

dx

d

olduğundan,

kt

tk

xLimdxxf arctan1

)(

22

1

1

bulunur.

Cauchy dağılımında parametresi dağılımın merkezi ölçümünü tanımlar ve 5.0)Pr( x

olduğu için dağılımın medyanıdır.

İki standart normal şans değişkeninin oranı Cauchy dağılımına sahiptir.(ispat için bkz… )

5.7 LOGNORMAL DAĞILIM

17

Eğer X logaritması normal dağılım gösteren ),(~log 2NX bir şans değişkeni ise, X şans

değişkeni bir lognormal dağılıma sahiptir. X şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu

normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonuna logaritmik dönüşüm uygulanarak elde

edilebilir.

Tanım(lognormal dağılımı): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki gibiyse

lognormal dağılımına uyar ve lognormal şans değişkeni adını alır,

222log1

2

1,;

xe

xxf x0

Teorem: Eğer X bir lognormal dağılıma sahip ise,

a. )2/( 2

)( eXE

b. 22 2)(2)( eeXV

İspat: X şans değişkenlerinin momentleri ),(~log 2NXY ilişkisi ile normal dağılımdan,

][)( log XeEXE

][ YeE

ile bulunabilir. Bununla birlikte X şans değişkeninin momentleri olasılık yoğunluk fonksiyonu

ile de bulunabilinir.

a. dxeXE

x2

log

2

1

02

1)(

Burada Logxt dönüşümü ile dtedx t

dteeXE

tt

2

2

1

2

1)(

dtee

tt

2

)2( 2

2

dtee

tt

2

2 222

2

dtee

t

2

2/22

2

Burada zt dönüşümü ile dzdt ,

22

2

dte

z

olur. Sonuç olarak,

2

2

)(

eXE

18

bulunur.

b.

dxxeXE

x2

log

2

1

2

2

1)(

Burada Logxt dönüşümü ile dtedx t

dteeeXE tt

t

2

2

1

2

2

1)(

dteee t

t2

2

1

22

2

dtee

tt

2

4442222

2

dtee

t

2

22222

2

Burada zt 2 dönüşümü ile dzdt ,

2222 eXE

bulunur ve

2

222

2

2

)(

eeXV

22 2)(2 ee

elde edilir.

Lognormal dağılım sağa çarpık bir dağılımdır.

5.8 LAPLACE (ÇİFT ÜSTEL) DAĞILIMI

Bu dağılım birbirinden bağımsız iki üstel dağılışlı şans değişkeninin aralarındaki farkların

dağılımıdır.

Tanım: Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi ise X değişkeni

laplace şans değişkeni adını alır.

x

exf2

1,; x

Burada ve 0 ile tanımlanmıştır.

19

Şekil: Laplace Dağılımı

Teorem: Laplace dağılışının ortalaması ve varyansı şu şekildedir.

a. )(XE

b. 22)( XV

5.9 İKİ DEĞİŞKENLİ NORMAL DAĞILIM

İki değişkenli normal dağılım, çok değişkenli normal dağılımın en basit şeklidir. Çok

değişkenli normal dağılımı açıklamak için matris cebiri kullanmak gerektiğinden sadece iki

değişkenli normal dağılım ana hatlarıyla anlatılacaktır.

Tanım: X1 ve X2 rassal değişken çiftinin ortak olasılık yoğunlukları aşağıdaki gibiyse iki

değişkenli normal dağılıma uyarlar ve ortak normal dağılmış şans değişkenleri olarak

adlandırılırlar.

ve için;

221

2

2

22

2

22

1

11

2

1

112

21

12

2)1(2

1exp

),(

xxxp

x

xxf

Burada 1x , 2x , 01 , 02 ve 11 olup korelasyon katsayısıdır.

Yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonda 0 konulduğunda, olasılık yoğunlukları 1xf

ve 2xf olan bağımsız X1 ve X2 tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının

çarpımı elde edilir.

Bu ortak dağılımı inceleyebilmek için önce 2121 ,,, parametrelerinin, X1 ve X2 şans

değişkenlerinin, ortalamalarıyla standart sapmaları olduğu gösterilmelidir.

20

Yoğunluk fonksiyonundan hareketle X2’ ye göre integral alınırsa X1’ in marjinal yoğunluğu

elde edilir:

2

2

22

1

11

2

2

22

2221

2

1

11

2

1 2)1(2

1exp

12

)1(2

1exp

)( dxxxx

x

xf

Gösterimi basitleştirmek için 1

111

xz ve

2

222

xz şeklinde değişken dönüşümü

yapıldığında aşağıdaki ifadeye ulaşılır:

2212222

1

212

1 )2()1(2

1exp

2

1

12

)1(2

1exp

)( dzzzz

z

zf

Aşağıdaki eşitlik kullanılarak;

21

221221

22 )(2 zzzzzz

ve terimler toplanarak şu aşamaya gelinir:

2

2

2

12

21

21

12

1exp

1

1

2

1

2

2

1exp

)( dzzz

z

xg

Burada köşeli parantez içindeki ifade 1z ve 22 1 olan normal şans değişkeninin

, aralığındaki integralidir. Dolayısıyla bu ifadeyi 1’ e eşitlersek x için şunu

buluruz:

1

11

2

1

11

21

12

1

2

2

1exp

)(

x

e

z

xf

Bu ifade görüldüğü gibi; X1’ in marjinal yoğunluğu, ortalaması μ ve standart sapması σ

olan bir normal dağılıştır. Simetriden dolayı da X2’ in marjinal yoğunluğu, ortalaması μ ve

standart sapması σ olan bir normal dağılış olacaktır.

Teorem: X1 ve X2, iki değişkenli normal dağılıma uyuyorsa 11 xX verilmişken X2’ nin

koşullu yoğunluğu, ortalaması;

11

1

22/ 12

xxx

varyansı

222

2/ 1

12 xx

21

olan bir normal dağılımdır.

22 xX verilmişken X1’in koşullu yoğunluğu, ortalaması

22

2

11/ 21

xxx

varyansı

221

2/ 1

21 xx

olan bir normal dağılımdır.

İspat: 1

1212

,/

xf

xxfxxf olduğuna göre; ifadeyi basitleştirmek için

1

111

xz ve

2

222

xz yazıldığında şu ifade bulunur:

21

1

2221

2122

2112

2

1exp

2

1

2)1(2

1exp

12

1

)/(

z

zzzz

xxf

2221

21

2

222

2)1(2

1exp

12

1zzzz

2

2

12

22 12

1exp

12

1

zz

Bu sonuç ilk değişkenlerin cinsinden yazılırsa şu elde edilir:

2

22

11

1

222

22

12

12

1exp

12

1)/(

xx

xxf

Görüldüğü gibi bu ifade; ortalaması 11

1

22/ 12

xxx ve varyansı 22

22

/ 112

xx

olan bir normal yoğunluktur. 22 xX verilmişken X1’ in koşullu yoğunluğuna karşılık gelen

bulgular simetri yoluyla bulunabilir.

Teorem: İki şans değişkeni, iki değişkenli normal dağılıma uyuyorlarsa ve 0 ise

bağımsızdırlar.

İspat: 0 için;

2

2

22

2

1

11

21

212

1exp

2

1),(

xxxxf

22

sonucuna ulaşılır ki bunlar )( 1xf ve )( 2xf olasılık yoğunluk fonksiyonlarıdır. İstendiği

takdirde çarpım bir şekilde parçalanarak da yazılabilir.

Teorem: İki değişkenli normal dağılımın moment türeten fonksiyonu

)2(

2

1exp 2

2222121

21

212211, 21

ttttttM xx

şekildedir.

Bu fonksiyondan hareketle X1 ve X2’ nin beklenen değer, varyans ve kovaryansları

bulunabilir. Bunun için yapılması gereken istenen değişkenin t değerine göre türev alıp sıfıra

eşitlemektir.

)2(2

1 22

222121

21

212211 ttttttA

olsun.

1

21

2122111

211

21,

10

)02(0

),()( 21

ttett

ttt

ttMXE Axx

2

21

2112222

212

21,

20

)02(0

),()( 21

ttett

ttt

ttMXE Axx

21

21

21

222

2111

21

2121

21,2

21

0)((

0

),()( 21

ttette

ttt

ttMXE AAxx

22

22

21

211

2222

22

2122

21,2

22

0)((

0

),()( 21

ttette

ttt

ttMXE AAxx

21

21

21

21

21

211 )]([)()( XEXEXV

22

22

22

22

22

222 )]([)()( XEXEXV

2121221121 )()])([(),( XXExxEXXCov

2121

2121

21,2

210

),()( 21

tttt

ttMXXE

xx

yerine koyulduğunda;

2121212121 ),( XXCov

elde edilir.

23

BÖLÜM 5 EKLER

E.5.1 TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR

Her hangi bir xf fonksiyonu,

xfxf

ise çift fonksiyondur,

xfxf

ise tek fonksiyondur.

Eğer xf çift fonksiyon ise

0

0

dxxfdxxfdxxf

0

2 dxxf .

Eğer xf tek fonksiyon ise ve

Kdxxf

0

ise,

0

0

dxxfdxxfdxxf

00

dxxfdxxf

0

elde edilir.

E5.2 GAMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Gama dağılış ailesi ele alınmadan önce,

0

1 dyey y

integrali ile tanımlanan gama fonksiyonu incelenecektir. Eğer 1 ise

0

11 dye y

Eğer 1 ise,

0

2

0

1 1 dyeyey yy

21

Ardışık iterasyon ile;

!1)(

24

bulunur. Değerlendirilmesi gereken özel durumlardan biri de 21 değeridir.

1

2

0

1 11 1 1 !

2 2

1!

2

1 1!

2 2

1

2

yy e dy

Burada, 22zy dönüşümü yapılarak,

dze

dze

zdzez

z

z

z

2

0

2

0

2

21

0

2

2

2

2

.2

1.

22

1

22

1!

2

1

Bu integral standart normal dağılımın yarı alanına eşit olduğundan

2!

2

1

bulunur. Ayrıca gerekli olan diğer bir bilgi 21 ’ dir.

dyey y

0

2

1

2

1

Burada 22zy alındığında,

dze

zdzez

z

z

2

0

2

21

0

2

2

2

2

22

1

Burada normal dağılıştan, 222

dze z, olduğu hatırlanarak 22

0

22

dze z, ve

sonuç olarak,

1 22

2 2

bulunur.

E.5.3 BETA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

(a,b) aralığında tanımlanan

25

f x C x a b x

1 1 .

Bu fonksiyondaki C sabit ve , tamsayı olarak ifade ederiz. , >0 olmak üzere ve (a,b)

tanım aralığını beta dağılımının olasılık yogunluk fonskiyonu olarak tanımlayabileceğimiz

(0,1) aralığı alırsak;

1

11

0

, 1B x x dx

beta fonksiyonunu elde ederiz.

Beta fonksiyonu tanımlamak için iki gama fonksiyonunun çarpımından faydalanılır:

yx

yx

y

y

x

x

ddeyx

deydex

)(

00

00

))(()1()1(

Burada yx

xu

dönüşümü uygulanarak

)1(

.

u

yux

ve

2)1(

.

u

dyd u

x

ve u değişkeninin

sınırları 10 x olacaktır,

yuu

y

ddu

yey

u

yu2

)1

(

0

1

0)1()1(

.)1()1(

Bu integralde )1( uvy dönüşümü ile vy dud )1( ve burada v değişkeninin sınırları

v0 olacaktır,

)2(

)1(

)1(

)1()1(

)1())1(()

)1(

)1(.()1()1(

1

00

1

0

1

0

2

0

1

0

uvv

vuv

vuv

duudev

dvdeuvvu

dduu

uveuv

u

uvu

)2(

)1().1(.)1.(

1

0

uduu

eşitliğinin solundaki ifade Beta fonksiyonudur:

uduu .)1.()1;1(

1

0

Gama ve Beta fonksiyonları arasındaki ilişki ise;

26

)(

)().();(

Yukarıda elde edilen Beta fonksiyonu kullanılarak,

dxxx 1

1

0

1 )1()(

)().(

dxxx .)1()().(

)(1 1

1

0

1

eşitliği bulunabilir.

E.5.4 GAMA DAĞILIŞININ POİSSON SÜRECİ İLE İLİŞKİSİ

Bazı durumlarda W şans değişkeni k adet olay ortaya çıkıncaya kadar geçen ölçeği tanımlar.

Eğer sabit olarak kabul edilse, W’ nun dağılım fonksiyonu,

wWwWwG Pr1Pr

W uzunluğunda k adet olay ortaya çıkıyorsa, wW durumu için en fazla 1k adet olay

ortaya çıkar. Başka bir deyişle w,0 aralığında 1k adet olay mevcuttur:

1

0!

)()(k

x

wx

X

ewwWP

ve

wk

x

wx e

X

ewwG

1

1!

)(1)(

olup w şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu )()(' wgwG ;

wk

x

wxxw

ex

ewX

x

wewg

1

1

1

!

)(

!

)()(

wk

x

wxwx

ex

ew

x

ew

1

1

1

)!1(

)(

!

)(

...

!2

)(

!1

)(

!1

)( 211 wwww ewewew

e

wwkwkwkwk

ek

ew

k

ew

k

ew

k

ew

)!1(

)(

)!2(

)(

)!2(

)(

)!3(

)(..

1223

)!1(

)( 1

k

ewee

wkww

)!1(

)()( 1

k

ew wkk

Burada k ve )!1()( alındığında;

27

wewwg

1

)()(

bulunur ki bu da gama şans değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

E.5.5 ÜSTEL DAĞILIMIN POİSSON SÜRECİ İLE İLİŞKİSİ

İlk olay oluşuncaya kadar geçen rasgele uzunluğun W olduğu kabul edilsin. W uzunluğunun

dağılım fonksiyonu:

wWwWwG Pr1Pr

İlk olayın ortaya çıkmasının uzunluğu W’nun w uzunluğundan büyük olması, w uzunluğunda

hiç olay oluşmaması anlamına gelir. Başka bir deyişle bu olasılık, w,0Pr değerine eşittir. Bu

durumda,

wewwG 1,0Pr1

wewg

Üstel dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Burada , w ’ ya göre bir sabittir ve

1

(2)1 1 1 1

w

w

d dw G w g w e

G w G w e

ya da

0

1,limh

P h

h

olarak tanımlanır. Güvenilirlik analizinde hata oranı (failure rate) olarak bilinir.

Burada ile arasındaki ilişkiye bakılacak olursa 1/ , bir olay meydana gelirken geçen

sürelerin dağılımını gösterir. Yani burada = 1/ olacaktır.

Şüphesiz pek çok durum için, ekipmanların ya da insanların hata oranı, w ’ dan bağımsız

değildir, ( )w . Eşitlik (2)’ nin en solundaki basit diferansiyel denklem, 1x G w için, ve

0 0G sınır koşulu için;

0

ln 1

w

G w t dt

G w için çözüldüğünde,

0

1 exp

w

G w t dt

W ’ nin o.y.f.,

28

0

exp

w

g w w t dt

bulunur.

Üstel dağılım koşullar arası bekleme sürelerine de uygulanabilir. Örneğin bekleme kuyruğu

problemlerinde üstel dağılım oldukça kullanışlı olmaktadır. Müşteriye hizmet süresinin

belirsiz olduğu durumlarda bu belirsizlik çoğu zaman yakın bir biçimde üstel dağılım

gösterebilir.

E.5.6 BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞIMI

X, tesadüfi değişkeni binom dağılım gösteren bir kesikli değişken olsun. X değişkeninin

olasılık fonksiyonu,

f(x)=Pr{X=x}= xnx ppx

n

)1( dir. n ve x’in stirling formülünün uygulanmasına imkan

verecek kadar büyük olduğunu varsayalım:

n!= nn

en

2

1

2 , x!= xx

ex

2

1

2 bu durumda;

Pr{X=x}= xnx ppxxn

n

)1(!)!(

!

= xnx

xx

xnxn

nn

pp

exxexn

en

)1(

2)(2

2

2

1

)(2

1

2

1

= xnx

xxn

n

pp

xxn

n

)1(

)(2 2

1

2

1

2

1

her iki tarafı )1( pnp ile çarpalım.

)1( pnp Pr{X=x}= 2

1

2

1

2

1

2

1

1

)1(

)(2

xnx

xxn

n

pp

xxn

n

= 2

1

2

11

)1

()(2

xnxn

xn

p

x

pn

olarak bulunur. Burada u=

)1( pnp

npx

dönüşümü yardımıyla,

x=np+u )1( pnp n-x=n-np-u )1( pnp elde edilir. Bu değerleri yukarıdaki eşitlikte

yerlerine koyalım ve (1-p)=q olarak yazalım.

2/1

2/11

)(2

Pr

npqunq

npqunpn

npqunq

q

npqunp

pnxXnpq

29

=2/12/1

)/1(

1

)/1(

1

2

1

npqunqnpqunp

nqpux

npqu elde edilir.

A=2/12/1

)/1()/1(

npqunqnpqunp

nqpuxnpqu diyelim.

logA= )/1log()2/1()/1log()2/1( nqpunpqunqnpqunpqunp

Burada her iki logaritmik fonksiyonu seriler halinde geliştirirsek, n→∞ olduğu da dikkate

alındığında,

logA=

...)2//)(2/1(....)2//)(2/1( 22 nqpunqpunpqunqnpqunpqunpqunp

= nqpunqpunqpnqunpququnpqnpu /)/1(//2/1/ 22

= 2/2/// 2222 puqupuqunqpnqunpqnpu

=[u2/2](p+q)

=u2/2 elde edilir.

logA=u2/2 , Aeu 2/2

bulunur. Şimdi bu değerleri dikkate alarak,

2/2

2

11

2

1Pr ue

AxxXnpq

, u=npq

npx olduğundan,

= npq

npx

e 2

)( 2

2

1

Pr{X=x}= npq

npx

enpq

2

)( 2

2

1

Binom dağılımında μ=np σ2=npq olduğundan,

Pr{X=x}=f(x)=2)(

2

1

2

1

x

e

olarak elde edilir. Şu halde binom dağılım ortalaması np, varyansı npq olmak üzere bir normal

dağılıma yaklaşır.

n’in büyük olduğu durumda Binom olasılık fonksiyonu aracılığıyla ilgilenilen olasılıkların

hesaplanması oldukça güçleşir. Dolayısıyla binom bir dağılım gösteren X kesikli tesadüfi

30

değişkeni için p=q ise, dağılımın simetrik olduğunu biliyoruz. Şu halde n’in büyük olduğu

durumda p ile q birbirlerine yakın iseler binom dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma

benzeyecektir. Bu durumda X tesadüfi değişkeninin sürekli bir değişken halini aldığını

düşünerek ilgilenilen olasılıkların hesaplanmasında normal dağılımdan yararlanırız.