bloc2.pdf geometria
TRANSCRIPT
-
1
Matemtiques
BLOC 2:
GEOMETRIA
AUTORA: Alcia Espuig Bermell
Curs de preparaci per a la prova
daccs a cicles formatius de
grau superior
-
2
Bloc 2: Geometria
Tema 4: Trigonometria.......... 3
Tema 5: Vectors en el pla.......107
Tema 6: Nombres complexos...195
-
3
TEMA 4: TRIGONOMETRIA
1. Figures planes. rees.
2. Cossos geomtrics. Volums.
3. Trigonometria.
4. Escales.
-
4
-
FIGURES PLANES
5
s1 s1 r
s2
2. FIGURES PLANES
Angles Dues semirectes del pla, s1 i s2, dorigen com O divideixen el pla en dues regions.
Cadascuna daquestes regions sanomena angle.
Aix, un angle s una regi del pla limitada per dues semirectes dorigen com.
Mesura dangles. Graus sexagesimals
Normalment, per mesurar angles, es fan servir els graus sexagesimals i els seus divisors,
els minuts i els segons.
Quan les dues semirectes sn coincidents (una sobre laltra) formen un angle nul i un
angle complet.
angle nul angle complet
En el sistema sexagesimal un angle complet mesura 360.
Es defineix:
1 grau sexagesimal = 1 = 1
360 part dun angle complet.
1 minut = 1= 160
part dun grau.
1 segon = 1= 160
part dun minut.
La mesura dun angle tamb sanomena amplitud de langle.
s1
s2
s1
s2
- s1 i s2 sanomenen costats de langle.
- O sanomena vrtex de langle.
O
0
s2
O
360
1 = 60
1= 60
-
FIGURES PLANES
6
Tipus dangles
Angle recte: Angle que mesura 90. s determinat per dues semirectes perpendiculars.
Angle agut: Angle ms petit que un angle recte (< 90).
Angle pla: Angle que mesura 180. s determinat per dues semirectes oposades.
Angle obts: Angle ms gran que un angle recte (>90) i ms petit que langle pla
(180) .
Angle nul: Angle que mesura 0. s determinat per dues semirectes coincidents.
Angle complet: Angle que mesura 360. s determinat per dues semirectes coincidents.
Angle recte Angle agut Angle pla Angle obts Angle cncau Angle nul Angle complet
Angles complementaris i suplementaris
Dos angles sn complementaris si la suma de les seves mesures s igual a 90.
Dos angles sn suplementaris si la suma de les seves mesures s igual a 180.
Polgons Una lnia poligonal s una lnia formada per diversos segments rectilinis.
Un polgon s la porci del pla limitada per una lnia poligonal tancada.
Angles complementaris Angles suplementaris
90 90
180
Lnia poligonal
-
FIGURES PLANES
7
r
r a
90
radis
angle central
apotema
Elements dun polgon:
Costats: Segments que limiten el polgon.
Vrtexs: Punts duni dels costats.
Angles interiors: Angles determinats per dos
costats consecutius a linterior
del polgon.
Diagonal: Segment que uneix dos vrtexs no consecutius.
Polgons regulars
Un polgon s regular si t tots els costats i angles iguals. Si no t tots els costats i
angles iguals, es diu que el polgon s irregular.
Exemples
Sn regulars:
No sn regulars:
(t els angles iguals, per (t els costats iguals, per (t costats i angles
els costats desiguals) els angles desiguals) desiguals)
Elements dun polgon regular
Centre: Punt equidistant de tots els vrtexs.
Radi (r): Segment que uneix el centre del polgon
amb un vrtex.
Hi ha tants radis com vrtexs.
Apotema (a): Segment traat des del centre del
polgon fins a un costat i que s
perpendicular al costat.
Angle central: Angle determinat per dos radis
consecutius.
Mesura: 360
Nre. de costats
Permetre i rea dun polgon
Anomenem permetre dun polgon la longitud del seu contorn, s a dir, la suma de les
mides de tots els seus costats. El representarem amb la lletra P.
diagonal costat
vrtex
angle interior
-
FIGURES PLANES
8
Anomenem rea del polgon la mesura de la superfcie (porci del pla) que ocupa. La
representarem amb la lletra A.
Classificacions dels polgons
Hem vist que podem classificar els polgons en regulars i irregulars.
Tamb els podem classificar:
Segons els angles
- Polgon convex: Polgon en qu tots els angles interiors mesuren menys de 180
Si prolonguem un costat qualsevol dun polgon convex, la prolongaci no passa
per linterior del polgon.
- Polgon cncau: Polgon que t almenys un angle interior cncau (que mesura ms
de 180).
En un polgon cncau, almenys una prolongaci dun costat passa per linterior
del polgon.
Exemples:
Sn convexos:
Sn cncaus:
Segons el nombre de costats
- Triangle: Polgon que t 3 costats. - Heptgon: Polgon que t 7 costats.
- Quadrilter: Polgon que t 4 costats. - Octgon: Polgon que t 8 costats.
- Pentgon: Polgon que t 5 costats. - Ennegon: Polgon que t 9 costats.
- Hexgon: Polgon que t 6 costats. - Decgon: Polgon que t 10 costats.
Triangles Els triangles sn polgons de tres costats.
-
FIGURES PLANES
9
Propietats dels triangles
- La suma dels angles interiors dun triangle s 180
Si dibuixes en un full un triangle, el retalles i en doblegues els vrtexs,
unint-los tots en un mateix punt, comprovars que els tres angles sumen
180.
- La longitud dun costat qualsevol s sempre ms petita que la suma de les
longituds dels altres dos costats.
Si hi hagus un costat ms gran que la suma dels altres
dos, no es podria tancar el triangle, tal com es veu en el
dibuix segent:
Classificaci de triangles
Els triangles es poden classificar segons els costats i segons els angles:
Segons els costats
- Triangle equilter: Triangle que t els tres costats iguals (de la mateixa
longitud). Tamb t els tres angles iguals (de 60).
- Triangle issceles: Triangle que t dos costats iguals (de la mateixa longitud).
Tamb t dos angles iguals.
- Triangle escal: Triangle que t els tres costats diferents (de diferent longitud).
Tamb t els tres angles diferents.
Triangle
equilter
Triangle
issceles
Triangle
escal
180 + + =
-
FIGURES PLANES
10
Segons els angles
- Triangle acutangle: Triangle que t els tres angles aguts.
- Triangle rectangle: Triangle que t un angle recte (90). Els costats que formen
langle recte sanomenen catets i laltre costat, loposat a langle recte,
sanomena hipotenusa.
- Triangle obtusangle: Triangle que t un angle obts.
Triangle
acutangle
Triangle
rectangle
Triangle
obtusangle
Teorema de Pitgores
El teorema de Pitgores estableix que en un triangle rectangle, el quadrat de la
longitud hipotenusa s igual a la suma dels quadrats de les longituds dels catets.
Allant cadascun dels costats obtenim les frmules segents:
( )( )( )
2 2 2 21 2
2 2 2 2 2 2 21 2
2 2 2 2 2 2 22 1
hipotenusa catet catet a b c
catet hipotenusa catet b a c b a c
catet hipotenusa catet c a b c a b
= + = +
= = =
= = =
a b
c
2 2 2
1 22 2 2
a b chipotenusa catet catet
= +
= +
catet2 hipotenusa
catet1
-
FIGURES PLANES
11
Exemples:
1. Calcula la hipotenusa dun triangle rectangle els catets del qual mesuren 6 i 8 cm:
2 21 2hipotenusa catet catet= +
2 26 8 36 64 100 10x cm= + = + = =
2. Sabem que la hipotenusa dun triangle rectangle mesura 10 cm i que un dels seus catets mesura 5 cm. Quant mesura laltre catet?
2 21 2catet hipotenusa catet=
2 210 5 100 25 75 8,66x cm= = = =
Exercici: Calcula el valor de x:
a)
b)
c)
Sol.: a) x = 15 cm b) x = 3,87 cm c) x = 7,07 cm
Altures dun triangle
La base dun triangle s qualsevol dels seus costats. Si hi ha un costat horitzontal,
aquest se sol triar com a base. Es representa amb la lletra b.
Laltura dun triangle respecte a una base donada s el segment perpendicular a la base
traat des del vrtex oposat a la base fins a la base o la seva prolongaci. Es representa
amb la lletra h.
5 cm 10 cm
x
6 cm
8 cm
x
x
9 cm
12 cm
8 cm
7 cm
x
x 5 cm
-
FIGURES PLANES
12
Un triangle t tres bases i tres altures. El punt dintersecci de les tres altures (o les
seves prolongacions) sanomena ortocentre.
Quadrilters
Els quadrilters sn polgons de quatre costats.
Classificaci dels quadrilters
Rectangle :
RombeParallelograms
Quadrat
Romboide
Quadrilters
T quatre angles iguals.
T quatre costats iguals.
T quatre costats i quatre angles iguals.
T els costats i angles iguals dos a do
-
- :-
- :
- :
Issceles
Trapezis Rectangle
Escal
Trapezoides
.
s.
Els dos costats no parallels sn iguals.Els angles sn iguals dos a dos.
T dos angles rectes.
No s ni rectangle ni issceles
- :
- - :
- :
-
: No t cap parell de costats parallels.
h 90
h 90
Base
Ortocentre
Base
Ortocentre
T els costats parallels dos a dos.
T dos costats parallels i els altres dos no parallels.
-
FIGURES PLANES
13
Circumferncia i cercle Circumferncia
Una circumferncia s una corba plana i tancada els punts de la qual equidisten (sn a
la mateixa distncia) dun altre punt anomenat centre.
Elements duna circumferncia
Centre (O): Punt equidistant de tots els punts de la
circumferncia.
Radi (r): Qualsevol segment que uneix el centre amb un punt de
la circumferncia.
Hi ha infinits radis.
Dimetre (d): Qualsevol segment que uneix dos punts de la circumferncia passant pel
centre. El dimetre mesura el doble del radi (d = 2r).
Arc: Qualsevol porci de la circumferncia. Cada arc s determinat per dos radis.
Angle central (): Angle que t el vrtex en el centre de la circumferncia.
Cercle
Un cercle s la porci del pla limitada per una circumferncia. Est format per la
circumferncia i linterior de la circumferncia. Aix, la circumferncia s el contorn del
cercle. El radi, el dimetre i el centre de la circumferncia tamb ho sn del cercle.
Un sector circular s la porci del cercle limitada per un arc i els radis que el
determinen.
Una corona circular s la porci del pla compresa entre dues circumferncies
concntriques (que tenen el mateix centre i radi diferent).
El trapezi circular s la porci de corona circular limitada per dos radis.
Cercle Sector
circular
Corona
circular
Trapezi circular
-
FIGURES PLANES
14
Clcul drees Lrea duna figura plana s la mesura de la superfcie (porci del pla) que ocupa.
Nota: Per estudiar aquest apartat cal conixer les unitats de mesura del sistema mtric
decimal i els procediments per fer canvis dunitats.
Base i altura dun parallelogram
La base, b, dun parallelogram s qualsevol dels seus costats. Si hi ha dos costats horitzontals, se sol triar com a base el costat horitzontal inferior.
Laltura, h, dun parallelogram s un segment perpendicular a la base traat des de la base fins del seu costat parallel.
rea del rectangle
Tal com es dedueix fcilment en el dibuix segent, lrea del rectangle es calcula
multiplicant la base (b) per laltura (h):
rea del quadrat
Lrea del quadrat es calcula igual que la del rectangle: multiplicant la base (b) per laltura (h).
Com que la base i laltura mesuren el mateix (la mida del costat), lrea es calcula
multiplicant el costat per ell mateix (costatcostat), s a dir, elevant el costat al
quadrat.
b
h h
b b = c
b = c
b h h
h = 3 cm
b hA = rectangle
En lexemple de la figura:
A = 34 = 12 cm2 (Hi ha 12 quadrats d1 cm2 drea).
En els rectangles i quadrats, la base i laltura coincideixen amb dos costats.
En els quadrats, la base i laltura mesuren el mateix: el costat (c).
b = 4 cm
-
FIGURES PLANES
15
rea del romboide
Fixem-nos en les figures segents. Si retallem el triangle gris del romboide (Figura 1) i
el colloquem a la dreta, obtenim un rectangle (Figura 2) amb la mateixa rea i les
mateixes mides de base i altura que el romboide inicial.
Aix, la frmula per calcular lrea del romboide s la mateixa que la del rectangle.
Exemple: Calcula lrea del parallelogram segent:
Exercici: Calcula lrea dels parallelograms segents:
a)
b)
c)
Sol.: a) 54 cm2 b) 30 cm2 c) 4 cm2
rea del triangle
Tal com podem veure en les figures segents, un triangle ocupa la meitat de superfcie
que un rectangle o un romboide amb la mateixes mides de base i altura:
b = c = 3 cm
h = c = 3 cm
2b h cA = =quadrat
En lexemple de la figura:
A = 32 = 9 cm2
b
h
b
b b
h
Figura 1 Figura 2
b hA = romboide
A = bh = 74 = 28 cm2 4 cm
7 cm
6 cm
9 cm
2 cm
2 cm
10 cm
3 cm
-
FIGURES PLANES
16
Aleshores, lrea del triangle s la meitat de lrea dun rectangle o un romboide, s a
dir, la meitat de la base per laltura.
Exemples: Calcula lrea dels triangles segents:
1.
2.
La base i laltura dun triangle rectangle sn els dos catets. En aquest cas, coneixem laltura, per no coneixem la base.
Haurem daplicar el teorema de Pitgores per calcular la base:
2 210 6 100 36 64 8b cm= = = =
28 6 48
2 2 224b hA cm = = ==
Exercici: Calcula lrea dels triangles segents: Sol.: a) 17,5 cm2 b) 12,25 cm2
a)
b)
rea del rombe
Lrea del rombe es pot calcular utilitzant la frmula de lrea del romboide.
Tanmateix, en moltes ocasions no coneixem les mides de la base i laltura del rombe i s
que coneixem les mides de les seves diagonals.
Representem la diagonal gran amb la lletra D i la diagonal petita amb la lletra d.
6 cm
4 cm 4 cm
b
h
b
h
2b hA =triangle
26 4 24 122 2 2
b hA cm = = = =
10 cm 6 cm
b b
5 cm
7 cm 5 cm
7 cm
-
FIGURES PLANES
17
Vegem com es calcula lrea del rombe a partir de les seves diagonals. En la figura
segent veiem que lrea dun rombe s la meitat de lrea dun rectangle que t per
base i altura les diagonals del rombe:
Aix, lrea del rombe s la meitat del producte de les seves diagonals.
Exemples:
1. Calcula lrea dun rombe les diagonals del qual mesuren 7 cm i 5 cm:
2. Calcula lrea dun rombe de 13 cm de costat i 10 cm de diagonal menor:
Exercicis:
1. Calcula lrea dun rombe les diagonals del qual mesuren 10,5 cm i 3 cm:
D
d
d
D
5 cm
7 cm
2D dA =rombe
27 5 35 17,52 2 2
D dA cm = = = =
- Apliquem el teorema de Pitgores per calcular
la meitat diagonal major (x):
- Calculem la diagonal major: 2 2 12 24D x cm= = =
- Calculem lrea: 210 24 240
2 2 2120D dA cm = = ==
2 213 5 169 25 144 12x cm= = = =
13 cm
5 cm
x
-
FIGURES PLANES
18
2. Calcula lrea dun rombe de 10 cm de costat i 16 cm de diagonal major:
Sol.: 1. A= 15,75 cm2 2. A= 96 cm2
rea del trapezi
Un trapezi t dos costats parallels i dos de no parallels. Els dos costats parallels
sanomenen bases del trapezi. La base major la designarem amb la lletra B i la menor,
amb la lletra b.
Laltura del trapezi s qualsevol segment que uneix les dues bases i s perpendicular a
aquestes.
Lrea del trapezi s la semisuma de les bases (la mitjana de les bases) multiplicada
per laltura.
Exemples:
1. Calcula lrea del trapezi segent:
Error!
2. Calcula lrea del trapezi issceles segent:
h
B
b
2B b hA + =trapezi
27 4 113 3 16,52 2 2
B bA h cm+ += = = =
7 cm
4 cm
3 cm
2 cm
5 cm
8 cm
h
-
FIGURES PLANES
19
10 cm
5 cm
2 cm
4 cm
Hem de calcular laltura del trapezi.
Com que s un trapezi issceles, el podem dividir en un rectangle i dos triangles
rectangles iguals:
Apliquem el teorema de Pitgores per calcular laltura, la qual s un catet
daquests triangles rectangles:
2 25 3 25 9 16 4h cm= = = = - Una vegada calculada laltura, ja podem aplicar la frmula de lrea del
trapezi:
28 2 104 4
2 2 220B b hA cm+ + = = ==
Exercici: Calcula lrea dels trapezis segents:
a)
b)
Sol.: a) A= 15 cm2 b) A= 38,06 cm2
rea dun polgon regular
Si tracem tots els radis dun polgon regular de n costats, el polgon queda dividit en n
triangles iguals. La suma de les rees daquests triangles ser lrea del polgon. Per
tant, si calculem lrea dun daquests triangles i la multipliquem per n (nombre de
costats), obtindrem lrea del polgon.
La base de cada triangle coincideix amb el costat del polgon i laltura coincideix amb
lapotema. Aix lrea ser:
10 cm
12 cm
4 cm
-
FIGURES PLANES
20
r a
c
}
22 2
PP ac a n c a
nA = ==polgon regular (nc s el
permetre)
Exemples:
1. Calcula lrea dun hexgon regular de costat 7 cm i apotema 6,06 cm.
2. Calcula lrea dun octgon regular de costat 5 cm i radi 6,53 cm.
2P aA =polgon regular
6,53 cm
5 cm
a
- Apliquem el teorema de Pitgores per calcular lapotema:
2 26,53 2,5 36,3909 6,03h cm= = =
- Calculem el permetre: 8 5 40P cm= =
- Calculem lrea aplicant la frmula de lrea del polgon
regular:
A = 240 6, 03
2120,6
2P a
cm
=
=
2,5 cm
6,53 cm a
7 cm
6,06 cm
- Calculem el permetre multiplicant el nombre de costats (6)
per la longitud de cada costat (7 cm):
6 7 42P cm= =
- Calculem lrea aplicant la frmula de lrea del polgon
regular:
242 6,06
2127,26
2P aA cm == =
-
FIGURES PLANES
21
r
L= 2 r
Exercicis:
1. Calcula lrea dun decgon regular de costat 1 cm i apotema 1,54 cm.
2. Calcula lrea dun pentgon regular de costat 4 cm i radi 3,4 cm.
Sol.: 1. A= 7,7 cm2 2. A= 27,5 cm2
rea i permetre del cercle
Permetre del cercle o longitud de la circumferncia
El permetre del cercle s la longitud de la circumferncia (L).
Si dividim la longitud duna circumferncia pel seu dimetre, obtenim sempre el mateix
nombre, independentment de la mida de la circumferncia. Aquest nombre s el
nombre pi .
Aix, la longitud duna circumferncia sobt multiplicant el seu dimetre (dues
vegades el radi) pel nombre :
rea del cercle
Si considerem el cercle com un polgon regular amb molts costats (infinits costats), el
seu radi seria lapotema daquest polgon i la seva rea seria:
22
P aA ==polgon regular 2r rpi 2
rpi=
2L d rpi pi= =
ld
pi=
-
FIGURES PLANES
22
r
A = r2
6 cm
Aix, lrea del cercle sobt multiplicant pel quadrat del radi:
Exemples:
1. Calcula lrea i el permetre dun cercle de 6 cm de radi.
Calcula el radi duna circumferncia de 10 m de longitud.
1010 2
21,59r r mpi
pi= = =
Exercicis:
1. Calcula lrea i el permetre dun cercle de 2 cm de radi.
2. Calcula el radi dun cercle de 10 cm2 drea.
Sol.: 1. A = 12,57 cm2 L = 12,57 cm 2. r = 1,78 cm
rea de la corona circular
Lrea de la corona circular s igual a lrea del cercle major menys lrea del cercle
menor.
2 2 6 37,7L r cmpi pi= = = 2 2 26 36 113,1r cmA pi pi pi = = ==cercle
2 2 2 2( )R r R rA pi pi pi= = corona circular r
R
2rA pi= cercle
-
FIGURES PLANES
23
Exemple:
Calcula lrea de la corona circular compresa entre dues circumferncies de radis
10 dm i 60 cm.
Exercici: Calcula lrea de la corona circular compresa entre dues
circumferncies de radis 5 cm i 10 mm.
Sol.: A = 75,4 cm2
rea del sector circular
Sabem que lrea del sector circular d1 damplitud s la 360a part de lrea de la
circumferncia:
2
360rA pi =sector circular 1
Per calcular lrea dun sector circular damplitud , multipliquem per lrea del
sector circular d1 damplitud:
- Passem totes les mides a la mateixa unitat. Per
exemple, a dm:
60 cm = 6 dm
60 cm 10 dm
2
360rA pi = sector circular
-
FIGURES PLANES
24
Exemple: Calcula lrea dun sector circular de 45 en una circumferncia de
10 dam de radi. Expressa-la en m2.
Exercici: Calcula lrea dun sector circular de 130 en una circumferncia de 15
hm de radi. Expressa-la em m2.
Sol.: A = 2.552.544 m2
rea del trapezi circular
Sabem que lrea dun trapezi circular d1 damplitud s la 360a part de lrea duna
corona circular:
2 2 2 2( )360 360
R r R rA pi pi pi = =trapezi circular
Per calcular lrea dun trapezi circular damplitud , multipliquem per lrea del
trapezi circular d1 damplitud:
- Calculem lrea del sector circular aplicant la frmula:
2 2
210 45 39,27360 360
r damA pi pi= = =sector circular
- Passem el resultat a m2:
2 239, 27 3.927dam m=
2 2( )360R rA pi = trapezi circular
r R
10 dam
-
FIGURES PLANES
25
Exemple: Calcula lrea dun trapezi circular de 100 damplitud en una
corona circular de 10 m i 15 m de radis. Expressa-la en cm2.
Exercici: Calcula lrea dun trapezi circular de 300 damplitud en una corona
circular de 12 dm i 2 m de radis. Expressa-la en cm2.
Sol.: A = 67.020,64 cm2
- Calculem lrea del trapezi circular aplicant la frmula:
2 2 2 22( ) (15 10 ) 100
360 360109,08R r mA pi pi = ==trapezi circular
- Passem el resultat a cm2: 2 2109,08 1.090.800m cm=
15 m
10 m
-
EXERCICIS: FIGURES PLANES
26
Figures planes
1. Classifica els angles segents:
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j) k) l)
2. Calcula langle suplementari i complementari dels angles segents:
a) 45 b) 85 c) 90 d) 10
Complementari
Suplementari
3. Indica si els polgons segents sn cncaus o convexos, regulars o irregulars, i
classificals segons el nombre de costats:
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j) k) l)
4. Calcula langle que falta:
a) b) c)
-
EXERCICIS: FIGURES PLANES
27
5. Indica si podrem construir un triangle amb els costats a, b i c.
a) a = 4 cm b) a = 5 cm c) a = 6 cm
b = 5 cm b = 3 cm b = 2 cm
c = 8 cm c = 1 cm c = 4 cm
6. Classifica els triangles segents, segons els costats i segons els angles:
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j) k) l)
7. s possible dibuixar un triangle equilter rectangle? I equilter obtusangle? Raona la
resposta.
8. Calcula el valor de x, aplicant el teorema de Pitgores:
a)
b)
c)
d)
9. Classifica els quadrilters segents:
a) b) c) d) e) f) g)
10 cm
14 cm
x x
10 cm x
8 cm
10 cm 3 cm
x
12 cm
9 cm x
-
EXERCICIS: CLCUL DREES
28
Clcul drees
1. Calcula lrea, el permetre i la diagonal dun rectangle de 100 mm de base i 3 cm daltura.
2. Calcula la base dun rectangle de 12 m2 drea i 3 m daltura.
3. Calcula lrea i el permetre dun quadrat de costat 8 hm.
4. Calcula el costat i la diagonal dun quadrat drea 36 cm2.
5. Calcula lrea dun romboide de 15 cm de base i 2 dm daltura.
6. Calcula laltura dun romboide de 10 m2 drea i 2 m de base.
7. Calcula lrea dun triangle de 14 cm de base i 7 cm daltura.
8. Calcula laltura dun triangle de 15 dm2 drea i 3 dm de base.
9. Calcula lrea i el permetre dun triangle issceles de costat desigual 6 cm i altura 4 cm.
10. El costat desigual dun triangle issceles fa 6 cm i els costats iguals fan 8 cm. Troban lrea i el permetre.
11. La hipotenusa dun triangle rectangle fa 25 cm i un dels catets fa 7 cm. Calculan lrea i el permetre.
12. Calcula lrea i el permetre dun triangle equilter de 3 cm de costat.
13. Les dues diagonals dun rombe fan 12 cm i 8 cm. Calculan lrea i el permetre.
14. Calcula lrea dun rombe de 15 cm de costat i 18 cm de diagonal menor.
15. Les bases dun trapezi mesuren 9 dm i 140 cm, i laltura mesura 5 dm. Calculan lrea.
16. Calcula lrea i el permetre dun trapezi issceles, sabent que els seus costats iguals mesuren 17 cm i les bases mesuren 10 cm i 26 cm.
17. Calcula lrea dun ennegon regular de 6 cm de costat i 8,24 cm dapotema.
18. Calcula lrea dun octgon regular d1 m de costat i 1,31 m de radi.
19. Calcula lrea i el permetre dun cercle de 14 cm de dimetre.
20. Calcula el radi dun cercle de 8 m de longitud.
21. Calcula lrea de la corona circular compresa entre dues circumferncies de 4 km i 8 Km de radi.
22. Calcula lrea dun sector circular de 30 en un cercle de 2 dm de radi.
23. Calcula lrea dun trapezi circular de radis 9 cm i 5 cm i amplitud 120.
-
EXERCICIS: CLCUL DREES
29
24. Calcula lrea de les figures segents:
a)
g)
m)
b)
h)
n)
c)
i)
o)
d)
j)
p)
e)
k)
q)
f)
l)
9 cm
7 cm
7 cm
7 cm
6 cm
3 cm
4 hm
9 hm
25 cm
48 cm
1 dm
11 cm
8 cm
8,5 cm
3 cm
10 cm
4 cm 8 cm 8 cm
5 dam
12 dam
2 cm
5 cm
3 cm
10 cm
20 cm
13 cm
10 cm 10 cm 17 cm 8 cm
1,38 cm
2 cm
5,196 cm 6 cm
5 cm
3 m
5 m
15 mm
r)
1 m
2 m
-
SOLUCIONS: FIGURES PLANES
30
1.
a) complet b) obts c) agut d) recte e) agut f) pla
g) cncau h) obts i) cncau j) agut k) obts l) recte
2.
a) 45 b) 85 c) 90 d) 10
Complementari 45 5 0 80
Suplementari 135 95 90 170
3.
a) convex
irregular
quadrilter
b) cncau
irregular
hexgon
c) convex
regular
octgon
d) cncau
irregular
pentgon
e) convex
irregular
triangle
f) convex
irregular
pentgon
g) convex
regular
quadrilter
h) convex
regular
ennegon
i) cncau
irregular
dodecgon
j) convex
irregular
hexgon
k) convex
irregular
triangle
l) convex
regular
pentgon
4. a) 55 b) 20 c) 50
5. a) S ( 4 + 5 = 9 > 8 ) b) No ( 3 + 1 = 4 < 5 ) c) No ( 4 + 2 = 6 = 6 )
6.
a) issceles
acutangle
b) escal
acutangle
c) equilter
acutangle
d) issceles
rectangle
e) escal
obtusangle
f) escal
rectangle
g) escal
rectangle
h) issceles
acutangle
i) issceles
rectangle
j) escal
rectangle
k) escal
acutangle
l) issceles
obtusangle
7. Tots els triangles equilters sn acutangles, ja que tenen tots tres angles iguals, de
60 (180 : 3 = 60 ). Aleshores, no podem dibuixar un triangle equilter obtusangle o
rectangle.
8. a) 6 cm b) 9,54 cm c) 15 cm d) 8,6 cm
9.
a) parallelogram
rectangle
b)
trapezi
issceles
c)
parallelogram
romboide
d)
trapezi
rectangle
e)
trapezoide
f)
parallelogram
rombe
g)
trapezi
escal
-
SOLUCIONS: CLCUL DREES
31
Solucions: Clcul drees
1. A = 30 cm2 P = 26 cm
d = 10,44 cm
2. b = 4 m
3. A = 64 hm2 P = 32 hm
4. c = 6 cm d = 8,49 cm
5. A = 3 dm2
6. h = 5 m
7. A = 49 cm2
8. h = 10 dm
9. A = 12 cm2 P = 16 cm
10. A = 22,26 cm2 P = 22 cm
11. A = 84 cm2 P = 56 cm
12. A = 3,9 cm2 P = 9 cm
13. A = 48 cm2 P = 28,84 cm
14. A = 216 cm2 P = 60 cm
15. A = 57,5 dm2
16. A = 270 cm2 P = 70 cm
17. A = 222,48 cm2
18. A = 4,84 m2
19. A = 153,94 cm2 P = 43,98 cm
20. r= 1,27 cm
21. A = 150,8 km2
22. A = 1,05 dm2
23. A = 58,64 cm2
24.
a) A = 63 cm2 j) A = 8 cm2
b) A = 49 cm2 k) A = 180 cm2
c) A = 18 cm2 l) A = 164 cm2
d) A = 12,75 cm2 m) A = 6,9 cm2
e) A = 31,2 cm2 n) A = 93,53 cm2
f) A = 30 dam2 o) A = 78,54 cm2
g) A = 18 hm2 p) A = 50,27 m2
h) A = 336 cm2 q) A = 117,81 mm2
i) A = 84 cm2 r) A = 2,62 m2
-
COSSOS GEOMTRICS
32
vrtex cara
aresta
3. COSSOS GEOMTRICS
Un cos geomtric s la porci de lespai tancada i limitada per figures geomtriques.
Poliedres Un poliedre s un cos geomtric limitat per superfcies planes poligonals.
Exemples:
Elements dun poliedre
Cares: Polgons que limiten el poliedre.
Arestes: Costats de les cares. Sn lnies
dintersecci de dues cares.
Vrtexs: Vrtexs de les cares. Sn punts comuns a tres o ms cares i arestes.
Angle diedre: Regi de lespai limitada per dues cares.
Angle poliedre: Regi de lespai limitada per tres o ms cares que concorren en un
mateix vrtex.
Hi ha molts tipus de poliedres, per nosaltres noms estudiarem els tres tipus segents:
poliedres regulars, prismes i pirmides.
Poliedres regulars
Un poliedre regular s un poliedre que compleix les condicions segents:
- Les seves cares sn polgons regulars iguals.
- En cada vrtex concorren el mateix nombre de cares i arestes.
Tots els angles dels poliedres regulars sn iguals.
Noms hi ha cinc poliedres regulars, coneguts tamb com a slids platnics, que sn els
que hi ha representats a la taula segent:
-
COSSOS GEOMTRICS
33
Poliedres regulars
Tetraedre Hexaedre o cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre
Cares:
4 triangles
equilters
Cares:
6 quadrats
Cares:
8 triangles
equilters
Cares:
12 pentgons
regulars
Cares:
20 triangles
equilters
Prismes
Un prisma s un poliedre que compleix les condicions segents:
- T dues cares iguals i parallels entre si, anomenades bases.
- La resta de cares, anomenades cares laterals, sn parallelograms. El nombre de
cares laterals coincideix amb el nombre de costats que tenen les bases.
Laltura (h) del prisma s la distncia entre les bases (la longitud dun segment que
uneix les dues bases i s perpendicular a aquestes).
Les arestes de les bases sanomenen arestes bsiques i la resta sanomenen arestes
laterals.
Classificacions dels prismes
Hi ha diferents classificacions dels prismes, segons la inclinaci del prisma i segons la
forma de les bases.
Segons la inclinaci del prisma:
- Prisma recte: Prisma en el qual les cares laterals sn rectangles perpendiculars a
les bases.
base
cara lateral h
aresta lateral
aresta bsica
-
COSSOS GEOMTRICS
34
- Prisma oblic: Prisma en el qual les cares laterals sn romboides o rombes.
Prisma recte Prismes oblics
Un prisma en el qual totes les cares sn parallelograms sanomena paralleleppede:
Un paralleleppede recte s un ortoedre (t forma de caixa). Totes les cares dun ortoedre sn rectangles:
Segons el nombre de costats de les bases:
- Prisma triangular: Prisma en el qual les bases sn triangles.
- Prisma quadrangular: Prisma en el qual les bases sn quadrilters.
- Prisma pentagonal: Prisma en el qual les bases sn pentgons.
- Prisma hexagonal: Prisma en el qual les bases sn hexgons.
Etc.
Segons si les bases sn regulars o no:
- Prisma regular: Prisma recte amb bases regulars.
- Prisma irregular: Prisma no regular.
Prisma
triangular
Irregular*
Prisma
quadrangular
Irregular
Prisma
pentagonal
Regular
Prisma
hexagonal
Regular
* Suposant que la base s un triangle issceles (com que est en perspectiva podria ser equilter).
-
COSSOS GEOMTRICS
35
Pirmides
Una pirmide s un poliedre que compleix les condicions segents:
- Una de les cares s un polgon qualsevol, anomenat base.
- La resta de cares, anomenades cares laterals, sn triangles amb un vrtex com,
anomenat vrtex de la pirmide. El nombre de cares laterals coincideix amb el
nombre de costats que tenen les bases.
Laltura (h) de la pirmide s la distncia entre la base i el vrtex (la longitud dun
segment que uneix el vrtex amb la base i s perpendicular a aquesta).
Les arestes de la base sanomenen arestes bsiques i la resta sanomenen arestes laterals.
Classificacions de les pirmides
Les pirmides es classifiquen de la mateixa manera que els prismes.
Segons la inclinaci de la pirmide:
- Pirmide recta: Pirmide en la qual totes les cares laterals sn triangles issceles.
- Pirmide obliqua: Pirmide que no s recta.
Segons el nombre de costats de les bases:
- Pirmide triangular: Pirmide en la qual la base s un triangle.
- Pirmide quadrangular: Pirmide en la qual la base s un quadrilter.
- Pirmide pentagonal: Pirmide en la qual la base s un pentgon.
- Pirmide hexagonal: Pirmide en la qual la base s un hexgon.
Etc.
Segons si la base s regular o no:
- Pirmide regular: Pirmide recta amb base regular.
- Pirmide irregular: Pirmide no regular.
cara lateral
vrtex
aresta bsica
base
altura
aresta lateral
-
COSSOS GEOMTRICS
36
Vegem uns quants exemples de pirmides:
Pirmide quadrangular
Regular
Pirmide hexagonal
Regular
Pirmide quadrangular
Irregular obliqua
Pirmide pentagonal
Irregular obliqua
Pirmide triangular
Irregular* recta
* Suposant que la base s un triangle issceles (com que est en perspectiva podria ser
equilter).
Cossos de revoluci Un cos rod s un cos geomtric que t alguna cara corba.
Els cossos de revoluci sn cossos geomtrics rodons generats per una figura plana que
gira al voltant dun eix. Els cossos de revoluci que estudiarem nosaltres sn el cilindre,
el con i lesfera.
El cilindre
El cilindre s el cos de revoluci generat per un rectangle que gira al voltant dun dels
seus costats.
El con
El con s el cos de revoluci generat per un triangle rectangle que gira al voltant dun
dels seus catets.
Lesfera
Lesfera s el cos de revoluci generat per un semicercle que gira al voltant del seu
dimetre.
Tots els punts de la superfcie de lesfera equidisten dun punt anomenat centre, que
coincideix amb el centre del semicercle generador.
-
COSSOS GEOMTRICS
37
Elements dels cossos de revoluci
Elements del cilindre Elements del cilindre Elements del cilindre
r = radi g = generatriu
h = altura
r = radi g = generatriu
h = altura
r = radi d = dimetre
Classificaci dels cossos geomtrics
- Tetraedre
- Cub o hexaedre
-Poliedres regulars - Octaedre
- Dodecaedre
- Poliedres - Icosaedre
- Paralleleppedes (ortoedre i altres)- Prismes
- Altres
- PirmidesCossos geomtrics
- Altres
- Cossos rodons
- Cilindre
- Con- Cossos de revoluci
- Esfera
- Altres
- Altres
eix de gir
bases
eix de gir
vrtex
base
circumferncia mxima
eix de gir
-
COSSOS GEOMTRICS
38
Clcul drees i volums de cossos geomtrics El volum dun cos geomtric s la quantitat despai que ocupa.
Lrea dun cos geomtric s la suma de les rees de les superfcies que el limiten.
Nota: Per estudiar aquest apartat cal conixer les unitats de mesura del sistema mtric
decimal i els procediments per fer canvis dunitats.
Noms estudiarem lrea i el volum dels cubs, els ortoedres, els prismes, les pirmides i
els cossos de revoluci.
rea i volum dun cub
Les cares dun cub sn sis quadrats iguals. Aleshores, lrea dun cub sobt
multiplicant per sis lrea dun daquests quadrat.
En la figura 1 veiem que un cub de 2 cm daresta t un volum de 222 = 8 cm3 (cont 8
cubs petits d1 cm3). En general, per calcular el volum del cub, elevem al cub la seva
aresta.
Si anomenem a a laresta del cub:
Figura 1
Exercici: Calcula lrea i el volum dun cub daresta 5 cm:
Sol.: A = 150 cm2; V = 125 cm3
rea i volum dun ortoedre
Un cub s un cas particular dortoedre. Per tant, el raonament per deduir les frmules
de lrea i el volum dun ortoedre s anleg al que hem usat per al cub.
Per calcular lrea dun ortoedre calculem les rees de les cares i les sumem (tenint en
compte que les cares sn iguals dos a dos).
26 aA = cub
3aV =cub 2 cm
2 cm
2 cm
En lexemple de la figura 1:
A = 6 22 = 64 = 24 cm2 V = 23 = 8
5 cm 5 cm
5 cm
-
COSSOS GEOMTRICS
39
En la figura 2 veiem que un ortoedre darestes 4 cm, 3 cm i 2 cm t un volum de 342 =
24 cm3 (cont 24 cubs petits d1 cm3). En general, per calcular el volum de lortoedre,
multipliquem les longituds de les tres arestes.
Si anomenem a, b i c a les longituds de les arestes:
Figura 2
Exemple: Calcula lrea i el volum de lortoedre de la figura 2:
Exercici: Calcula lrea i el volum dun ortoedre darestes 8 cm, 5 cm i 1 cm:
Sol.: A = 106 cm2; V = 40 cm3
rea i volum dun prisma recte
Lrea dun prisma recte sobt calculant lrea de les seves cares i sumant-les. Per
fer-ho, es calcula lrea de la base, Ab, i lrea lateral (suma de les rees de les cares laterals), Al, per separat. Aquesta ltima coincideix amb lrea dun rectangle, tal com veiem en el desenvolupament pla.
El volum dun prisma sobt multiplicant lrea de la base per laltura.
2 2 2a b a c b cA = + + ortoedre
a b cV = ortoedre
22 4 2 2 4 3 2 2 3 16 24 12 52 cmA = + + = + + =
34 3 2 24 cmV = =
b a
c
h
Ab
h
Pb
2 2b l b b hA A A PA = + +=prisma
b hAV =prisma
bA = rea de la base lA = rea lateral bP = permetre de la base
1 cm 8 cm
5 cm
Desenvolupament pla
-
COSSOS GEOMTRICS
40
Exemples:
1. Calcula lrea i el volum dun prisma hexagonal regular de 4 cm daltura, 2 cm
daresta bsica i 1,73 cm dapotema de la base:
2. Calcula lrea i el volum dun prisma triangular regular de 6 cm daltura i 4 cm
daresta bsica.
Exercicis:
1. Calcula lrea i el volum dun prisma pentagonal regular de 25 cm daltura, 3 cm
daresta bsica i 2,06 cm dapotema de la base:
- Calculem lrea de la base, que s un hexgon regular, i lrea lateral:
bA = 212 1,73 10,38
2 2b bP a cm = =
212 4 48bl P h cmA = = = - Calculem lrea i el volum del prisma aplicant les frmules corresponents:
22 2 10,38 48 68,76b l cmA AA == + + =prisma
310,38 4 41,52b h cmAA = ==prisma
- Calculem lrea de la base, que s un triangle equilter. Prviament, haurem de calcular laltura de la base aplicant el teorema de Pitgores:
2 24 2 16 4 12 3,46b cmh = = ==
bA = 24 3, 46 6,92
2 2bb h cm = =
- Calculem lrea lateral:
212 6 72bl P h cmA = = = - Calculem lrea i el volum del prisma aplicant les frmules corresponents: 22 2 6,92 72 85,84b l cmA AA == + + =prisma
36,92 6 41,52b h cmAV = ==prisma
2 cm
4 cm hb
4 cm
2 cm 1,73 cm
6 cm
4 cm
-
COSSOS GEOMTRICS
41
2. Calcula lrea i el volum dun prisma octagonal regular de 20 m daltura, 10 m
daresta de la base i 13,07 m de radi de la base:
Sol.: 1. A = 405,9 cm2; V = 386,25 cm3 2. A = 2.566,4 m2; V = 9.664 m3
rea i volum duna pirmide regular
Lrea duna pirmide sobt calculant lrea de les seves cares i sumant-les. Per fer-
ho, es calcula lrea de la base, Ab, i lrea lateral (suma de les rees de les cares
laterals), Al, per separat.
Calcularem noms rees de pirmides regulars, les cares de les quals sn triangles
issceles iguals. Per calcular lrea lateral, calcularem lrea dun daquests triangles i
la multiplicarem pel nombre de triangles. En una pirmide regular, laltura de les cares
laterals sanomena apotema de la pirmide (ap).
El volum duna pirmide s un ter de lrea de la base per laltura (un ter del volum
dun prisma amb la mateixa base i altura que la pirmide).
h
Ab
b lA AA +=pirmide 3b hAV =pirmide
bA = rea de la base lA = rea lateral ab
ap
-
COSSOS GEOMTRICS
42
Exemples:
1. Calcula lrea i el volum duna pirmide hexagonal regular de 4 cm daltura, 2
cm daresta bsica i 1,73 cm dapotema de la base:
2. Calcula lrea i el volum duna pirmide quadrangular regular de 10 cm daresta
bsica i 13 cm daresta lateral:
- Calculem lrea de la base, que s un hexgon regular:
bA = 212 1,73 10,38
2 2b bP a cm = =
- Calculem lrea lateral. Prviament haurem de calcular
lapotema de la pirmide (altura dels triangles que formen les
cares laterals), utilitzant el teorema de Pitgores:
ap = 2 24 1,73 4,36 cm+ =
22 4,366 6 26,162l triangle
cmA A = = =
- Calculem lrea i el volum del prisma aplicant les frmules corresponents:
210,38 26,16 36,54b l cmA AA =+ + ==pirmide
310,38 4 13,843 3b h cmAV = ==pirmide
- Calculem lrea de la base, que s un quadrat:
bA = 2 210 100 cm=
- Calculem lrea lateral. Prviament haurem de calcular
lapotema de la pirmide (altura dels triangles que formen
les cares laterals), utilitzant el teorema de Pitgores:
ap = 2 213 5 144 12 cm = =
210 124 4 240
2l trianglecmA A = = =
- Calculem laltura de la pirmide aplicant el teorema de
Pitgores:
2 212 5 119 10,91h cm= = =
4 cm ap
1,73 cm
13 cm ap
5 cm
h ap = 12 cm
5 cm
4 cm
2 cm
ap
1,73 cm
13 cm
h ap
5 cm
10 cm
90
5 cm
-
COSSOS GEOMTRICS
43
- Calculem lrea i el volum del prisma aplicant les frmules corresponents:
2100 240 340b l cmA AA = ++ ==pirmide
3100 10,91 363,673 3b h cm
AV = ==pirmide
Exercicis:
1. Calcula lrea i el volum duna pirmide pentagonal regular de 25 cm daltura, 3
cm daresta bsica i 2,06 cm dapotema de la base:
2. Calcula lrea i el volum duna pirmide quadrangular regular de 13 cm daresta
lateral i 10 cm daresta bsica:
Sol.: 1. A = 203,55 cm2; V = 128,75 cm3 2. A = 340 cm2; V = 363,67 cm3
-
COSSOS GEOMTRICS
44
rea i volum dun cilindre
Per calcular lrea dun cilindre, es calcula lrea de la base, Ab, i lrea lateral, Al, per separat.
Tal com veiem en el desenvolupament pla del cilindre, lrea lateral s lrea dun
rectangle de base 2r (la longitud del cercle que fa de base del cilindre) i daltura h (laltura del cilindre).
El volum del cilindre s lrea de la base per laltura (es calcula de la mateixa manera
que el volum del prisma).
Exemple: Calcula lrea, el volum i la capacitat dun cilindre de 4 cm daltura i 2 cm
de radi:
Exercici: Calcula lrea, el volum i la capacitat dun cilindre de 20 cm de generatriu i 4
cm de radi.
Sol.: A = 603,19 cm2; V = 1005,4 cm3 = 1,005 l
h
Ab
2 22 2b l rhA A rA pipi=+ += cilindre b hAV =cilindre
bA = rea de la base lA = rea lateral
r
Al
Ab
Ab
- Calculem lrea de la base i lrea lateral:
2 2 22 4 12,57b r cmA pi pi pi= = = = 22 2 2 4 50,26l r h cmA pi pi= = = - Calculem lrea i el volum del cilindre aplicant les frmules corresponents:
22 12,57 50, 26 75, 42 b l cmA AA = + =+= cilindre 312,57 4 50, 28 0,05b h cm lAV = = ==cilindre
2 cm
4 cm
-
COSSOS GEOMTRICS
45
rea i volum dun con
Per calcular lrea dun con, es calcula lrea de la base, Ab, i lrea lateral, Al, per separat.
Tal com veiem en el desenvolupament pla del con, lrea lateral s lrea dun sector
circular de radi g i longitud darc 2 rpi . Lrea daquest sector circular s equivalent a la dun triangle de base 2 rpi i altura g.
22lrg
rgA pi pi= =
El volum del con s un ter de lrea de la base per laltura (un ter de lrea del
cilindre amb la mateixa base i altura que el con).
Exemple: Calcula lrea i el volum dun con de 4 cm daltura i 2 cm de radi:
h
Ab
2b l rgA A rA pipi=+ +=con
3b hAV =con
bA = rea de la base lA = rea lateral r
Al
Ab
- Calculem lrea de la base:
2 2 22 4 12,57b r cmA pi pi pi= = = = - Calculem lrea lateral. Prviament haurem de calcular la generatriu aplicant el teorema de Pitgores:
2 24 2 20 4, 47g cm= + = =
22 4, 47 28,09l r g cmA pi pi= = = - Calculem lrea i el volum del con aplicant les frmules corresponents:
212,57 28,09 40,66b l cmA AA = + =+=con 312,57 4 16,76
3 3b h cmAV = ==con
2 cm
4 cm 4 cm
2 cm
g
g
-
COSSOS GEOMTRICS
46
Exercici: Calcula lrea, el volum i la capacitat dun con de 25 cm de generatriu i 7
cm de radi.
Sol.: A = 703,72 cm2; V = 1231,52 cm3 = 1,23 l
rea i volum duna esfera
Les frmules per calcular lrea i el volum de lesfera sn les segents:
Exemple: Calcula lrea i el volum duna esfera de 5 cm de radi:
Exercici: Calcula lrea, el volum i la capacitat duna esfera de 40 cm de dimetre:
Sol.: A = 5.026,55 cm2; V = 33.510,32 cm3 = 33,51 l
24 rA pi=esfera 3
34 rV pi =esfera
r r
5 cm 2 2 2314,164 4 5 cmrA pi pi= ==esfera
3 33523,6
3 34 4 5
cmrV pi pi= = =esfera
-
COSSOS GEOMTRICS
47
r a c
Taules drees i volums REES DE FIGURES PLANES
Rectangle
Quadrat
Romboide
Triangle
Rombe
Trapezi
Polgon regular
Cercle
Corona circular
Sector circular
Trapezi circular
D
d
d
D
4 cm h
b
c
c
b
h A = b h A = 2c
b
h A = b h A = 2b h
A = 2
D d
h B
b
A = 2
hB b +
A = 2
P a
n costats cP =
r A = 2
rpi
L= 2 r
r
R A = 2 2( )R rpi= A =2
360rpi
=
A =2 2( )
360R rpi
-
COSSOS GEOMTRICS
48
REES i VOLUMS DE COSSOS GEOMTRICS
Cub
Ortoedre
Prisma recte
Cilindre
Pirmide
Con
Esfera
a a
a
r
A = 24 rpi
V = 3
34 rpi
A = 26 a
V = 3a b a
c
A = 2 2 2ab ac bc+ +
V = a b c
h
A =2 b lA A + V = bA h
l bA P h=
A = 2 b lA A +
V = bA h 2
2b
l
A rA r h
pi
pi
=
=
h
r
Ab
A = b lA A+
V = 3
bA h
h
Ab
ap
ab Ab r
h
A = b lA A+
V = 3
bA h
2b
l
A rA r g
pi
pi
=
=
-
EXERCICIS: COSSOS GEOMTRICS
49
Exercicis 1. Classifica els cossos geomtrics segents:
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j) k) l)
m) n) o) p) q) r)
2. Calcula lrea i el volum dun cub de 7 cm daresta.
3. Calcula lrea i el volum dun ortoedre de dimensions: 3 cm, 4 cm i 7 cm.
4. Troba lrea i el volum dun prisma hexagonal regular de 5 cm daresta bsica, 4,33
cm dapotema de la base i 12 cm daltura.
5. Calcula lrea i el volum dun prisma regular triangular daresta bsica 8 cm i altura
5 cm.
6. Troba lrea i el volum duna pirmide octagonal regular de 8 dam daresta bsica,
50 m daltura i 9,66 dam dapotema de la base.
-
EXERCICIS: COSSOS GEOMTRICS
50
7. Troba lrea i el volum duna pirmide quadrangular regular daresta bsica 6 cm i
apotema 5 cm.
8. Calcula lrea i el volum duna pirmide quadrangular regular daresta bsica 12 cm
i aresta lateral 10 cm.
9. Calcula lrea, el volum i la capacitat dun cilindre de 7 cm de radi i 15 cm
daltura.
10. Calcula lrea i el volum dun con de 8 m de radi i 15 m daltura.
11. Calcula lrea i el volum duna esfera de 8 cm de radi.
12. Calcula lrea i el volum dels cossos geomtrics segents:
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
8 m 8 m
8 m 10 cm
3 cm
2 cm
3 cm = altura base
9 cm
7 cm
5 cm
12 cm 4 cm
3 cm 5 cm
5 cm
2,06 cm 3 cm
17 cm
16 cm 16 cm
9 cm
6,19 cm
13 cm
2 cm
-
EXERCICIS: COSSOS GEOMTRICS
51
Solucions 1.
a) Cos de revoluci, esfera
b) Poliedre, prisma pentagonal regular
c) Poliedre, pirmide quadrangular obliqua
d) Cos de revoluci, con
e) Poliedre regular, octaedre
f) Poliedre, prisma recte quadrangular, ortoedre
g) Cos de revoluci, cilindre
h) Cos de revoluci
i) Poliedre regular, icosaedre
j) Poliedre, prisma triangular recte
k) Pirmide pentagonal irregular obliqua
l) Poliedre regular, dodecaedre
m) Pirmide hexagonal recta
n) Poliedre regular, tetraedre
o) Prisma pentagonal oblicu
p) Poliedre regular, hexaedre o cub
q) Poliedre r) Poliedre, prisma hexagonal
2. A = 294 cm2; V = 343 cm3
3. A = 122 cm2; V = 84 cm3
4. A = 489,9 cm2; V = 779,4 cm3
5. A = 175,44 cm2; V = 138,6 cm3
6. A = 657,28 dam2; V = 515,2 dam3
7. A = 96 cm2; V = 48 cm3
8. A = 336 cm2; V = 253,92 cm3
9. A = 967,61 cm2; V = 2309,1 cm3 = 2,31 l
10. A = 628,32 m2; V = 1005,3 m3
11. A = 804,25 cm2; V = 2144,66 cm3
12.
a) A = 384 m2; V = 512 m3
b) A = 94 cm2; V = 60 cm3
c) A = 105,9 cm2; V = 77,25 cm3
d) A = 102 cm2; V = 54 cm3
e) A = 463,28 cm2; V = 603,55 cm3
f) A = 736 cm2; V = 1.082,88 cm3
g) A = 703,72 cm2; V = 1.385,46 cm3
h) A = 282,74 cm2; V = 314,2 cm3
i) A = 50,27 cm2; V = 33,51 cm3
-
TRIGONOMETRIA
52
4. TRIGONOMETRIA
Mesura dangles. Graus sexagesimals i radians Ja hem vist que, habitualment, sutilitzen els graus sexagesimals per mesurar angles.
Per, en trigonometria tamb es fa servir una altra unitat anomenada radian, que s la
unitat de mesura dangles del Sistema Internacional.
Radians
Quan langle central duna circumferncia abasta un arc de longitud igual al radi de la
circumferncia, direm que mesura un radian (rad). Lamplitud del radian s sempre la
mateixa, independentment del radi de la circumferncia.
Canvi de graus sexagesimals a radians i viceversa
Com que la longitud duna circumferncia s 2r, aquesta cont 2pi vegades la longitud
del radi. Aleshores, una circumferncia cont 2 radians i, a la vegada, 360:
Per passar de graus a radians i viceversa, apliquem una regla de tres, utilitzant
lequivalncia anterior:
Exemples:
1. Expressa en radians langle ==== 30.
360 2 rad
30 x rad
r
r
= 1 rad
360 = 2 rad
180radpi =
1 rad =360 57 17 ' 44,81''2pi
=
2 30 60360 360 6
xpi pi pi
= = = rad Tamb podem fer la regla de tres aix:
180
rad
30
x rad
-
TRIGONOMETRIA
53
Nota: Els radians se solen expressar en funci de (com que s un nombre irracional, no el podem expressar de manera exacta i no se sol substituir).
Per tant, quan passem de graus a radians, deixem el resultat en funci de i
simplifiquem la fracci sempre que sigui possible.
2. Expressa en graus sexagesimals langle = 3 rad.
2 rad 360
3 rad x
3. Expressa en graus sexagesimals langle = 4pipipipi
rad.
Si els radiants estan expressats en funci de , no cal aplicar una regla de tres,
noms cal substituir per 180.
180180 45
4 4pi
pi = = = =rad
Exercicis: Passa de graus a radians o viceversa.
a) = 70
b) =1,25 rad
c) 32pi
= rad
Sol.: a) 718pi
= b) 71,62 = c) 270 =
Forma complexa i incomplexa en el sistema sexagesimal
Per expressar un angle en graus sexagesimals, ho podem fer en forma complexa
(expressant els graus, minuts i segons) o en forma incomplexa (expressant els graus
com un nombre decimal).
3 360 171,892
xpi
= =
-
TRIGONOMETRIA
54
Per passar duna forma a laltra, s convenient fer servir la calculadora, amb la tecla:
Exemple:
1. Expressa els angles segents en forma complexa, fent servir la teva
calculadora, i apuntat com es fa:
a) 50,5 =
b) 30,46=
2. Expressa els angles segents en forma incomplexa, fent servir la teva
calculadora, i apuntat com es fa:
a) 30 15 =
b) 80 45 10 =
c) 34 40 =
Exercici: Passa de forma incomplexa a complexa i viceversa, fent servir la calculadora:
a) 35,84 =
b) 5,3 =
c) 120,54 =
d) 225,90 =
e) 35,57 =
f) 32 22 49 =
g) 115 4 13 =
h) 45 25 7 =
i) 86 45 =
j) 12 21 =
Sol.:
Exemples:
1. a) 50 30 b) 30 27 36
2. a) 30,25 b) 80,753 c) 34,01
Exercici:
a) 35 50 24 b) 518 c) 120 32 24 d) 225 54 e) 35 34 12
f) 32,38 g) 115,07 h) 45,42 i) 86,01 j) 12,35
-
TRIGONOMETRIA
55
Raons trigonomtriques dun angle agut Donat un triangle rectangle amb un angle agut , definim les raons trigonomtriques
de langle , sin , cos tgi , de la manera segent:
Com que els catets sn ms petits que la hipotenusa:
0 sin 1 i 0 cos 1
Donat un angle , les seves raons trigonomtriques sn sempre les mateixes,
independentment del triangle que dibuixem. Podem dibuixar molts triangles rectangles
amb un angle igual a , per tots seran semblants entre ells i, per tant, les raons entre
els seus costats seran les mateixes:
' ' '' ''
sin' ''
' ' '' ''
cos' ''
' ' '' ''
tg' ''
CA C A C ABC BC BCBA B A B ABC BC BC
CA C A C ABA BA BA
= = =
= = =
= = =
Exemples:
1. Calcula les raons trigonomtriques dels angles i del triangle segent:
Observa que:
- i sn complementaris: + = 90 - sin = cos , sin = cos i tg = 1 / tg
b
a
c
sin ( )
cos ( )
tg ( )
catet oposat bhipotenusa a
catet contigu chipotenusa a
catet oposat bcatet contigu c
= =
= =
= =
sinus de
cosinus de
tangent de
6 8 6sin 0,6 cos 0,8 tg 0,75
10 10 8
8 6 8sin 0,8 cos 0,6 tg 1,3
10 10 6
= = = = = =
= = = = = =
)
-
TRIGONOMETRIA
56
2. Calcula les raons trigonomtriques de 30 a partir dels triangles rectangles segents i comprova que et surt el mateix resultat en tots dos casos. Fes servir el regle per mesurar els costats.
Sol.: sin 30 = 0,5; cos 30 = 0,866; tg 30 = 0,577
Exercici: Calcula les raons trigonomtriques dels angles i del triangle segent:
Sol.:
sin 0, 28 cos 0,96 tg 0, 29; sin 0,96 cos 0, 28 tg 3, 43 = = = = = =
-
TRIGONOMETRIA
57
s de la calculadora
Les raons trigonomtriques dun angle agut es poden calcular utilitzant la calculadora
cientfica, amb les tecles:
Tamb podem fer el clcul invers: donades les raons trigonomtriques dun angle agut,
calcular aquest angle. Per fer-ho, utilitzem les tecles: sin-1, cos-1 i tan-1.
Exemple:
Calcula les raons trigonomtriques de 60 utilitzant la teva calculadora i apuntat com es fa:
sin 60 =
cos 60 =
tg 60 =
Sol.: sin 60 = 0,866 ; cos 60 = 0,5 ; tg 60 = 1,73
Exercici:
Calcula les raons trigonomtriques segents utilitzant la calculadora. Arrodoneix el resultat a tres xifres decimals:
a) sin 45 = d) sin 32 = g) sin 10,3 =
b) cos 45 = e) cos 15 = h) cos 80 5 =
c) tg 45 = f) tg 24 = i) tg 75 25 30 =
Sol.: a) 0,707 b) 0,707 c) 1 d) 0,530 e) 0,966 f) 0,445 g) 0,179 h) 0,174
i) 3,846
sin cos tan
-
TRIGONOMETRIA
58
Raons trigonomtriques inverses
Encara que aquest curs no les utilitzarem, conv saber que existeixen tres raons
trigonomtriques ms, que sn les inverses de les que ja hem vist:
1 1 1
sec ( ); cosec ( ); cotg ( )cos sin tg
= = =secant de cosecant de cotangent de
Exemple: Calcula langle , utilitzant la calculadora, i apuntat com es fa:
a) sin = 0,9659225826 =
b) cos = 0,5 =
c) tg = 1,5 =
Sol.: a) = 75 b) = 60 c) = 56,31
Exercici: Calcula langle utilitzant la calculadora i expressal de manera complexa:
a) sin = 0,70710678 =
b) cos = 0,25 =
c) tg = 0,5 =
d) cos = 1,5 =
e) sin = 0,6 =
f) cos = 0,95 =
g) tg = 1 =
h) sin = 2 =
Sol.:
a) 45 b) 75 31 20,96 c) 26 33 54,18 d)
e) 36 52 11,63 f) 18 11 41,54 g) 45 h)
-
TRIGONOMETRIA
59
Raons trigonomtriques de 30, 45 i 60
El quadre segent mostra lexpressi exacta de les raons trigonomtriques de 30, 45 i
60:
sin cos tg
30 1
2 3
2
33
45 22
2
2 1
60 32
1
2 3
Resoluci de triangles rectangles Resoldre un triangle consisteix a determinar tots els seus elements (costats i angles).
Mitjanant la trigonometria podem resoldre un triangle rectangle si coneixem dos dels
seus elements, un dels quals, almenys, ha de ser un costat*.
*NOTA: Si coneixem noms els tres angles, no podrem determinar els costats, ja que
hi ha infinits triangles, tots semblants entre ells, amb els mateixos angles.
Exemple: Els angles daquests dos triangles mesuren el mateix,
per els costats, no.
El quadre segent mostra les frmules utilitzades per resoldre triangles rectangles. La
nomenclatura utilitzada normalment s la presentada en el triangle del quadre: els
angles es representen amb les lletres majscules A (angle recte), B i C (angles aguts), i
els costats es representen amb les lletres minscules a (hipotenusa), b i c (catets oposats als angles B i C, respectivament).
-
TRIGONOMETRIA
60
Frmules:
sin
cos
tg
catet oposat chipotenusa acatet contigu bhipotenusa a
catet oposat ccatet contigu b
= =
= =
= =
2 2 2 ( )
18090 90
teorema de Pitgores
A B Csi A B C
a b c
+ + =
= + =
= +
Estudiem els diferents casos en els exemples segents.
Nota: A vegades hi ha ms duna manera dobtenir un element, per s preferible
utilitzar les dades que ens dna el problema, sempre que sigui possible, que les
que ja hem calculat nosaltres (que podrien ser equivocades).
Exemples:
1. Coneixem la hipotenusa i un catet
2. Coneixem els dos catets
c
b
a
A
B
C
- Calculem b, aplicant el teorema de Pitgores:
2 213 5 169 25 144 12b cm= = = =
- Calculem B:
Usarem cos B, ja que el cosinus s la ra trigonomtrica
que relaciona les dues dades conegudes (hipotenusa i catet
contigu a B) amb la desconeguda (B).
5cos 0,38 67,38
13B B= = =
- Calculem C:
90 90 67,38 22,62 22,62C B C C= = = =
- Calculem a, aplicant el teorema de Pitgores:
2 212 10 144 100 244 15,62b cm= + = + = =
-
TRIGONOMETRIA
61
- Calculem B:
Usarem tg B, ja que la tangent s la ra trigonomtrica que relaciona les dues dades conegudes (catet oposat i catet contigu a B) amb la desconeguda (B).
10 0,83 39,8112
tgB B= = =)
- Calculem C: 90 90 39,81 50,19 50,19C B C C= = = =
3. Coneixem un catet i un angle agut
4. Coneixem la hipotenusa i un angle agut
- Calculem C: 90 90 30 60 60C B C C= = = =
- Calculem a:
Usarem cos B, ja que el cosinus s la ra trigonomtrica
que relaciona les dues dades conegudes (B i catet contigu
a B) amb la desconeguda (hipotenusa).
20 20cos30 23,1 23,1
cos30a cm a cm
a= = = =
Nota: Si el catet conegut fos loposat a langle conegut,
usarem el sinus, com en lexercici c).
- Calculem b: (usarem tg B)
30 20 30 11,55 11,5520b
tg b tg b= = = =
- Calculem C: 90 90 25 65 65C B C C= = = =
- Calculem b: Usarem sin B, ja que el sinus s la ra trigonomtrica que
relaciona les dues dades conegudes (B i la hipotenusa) amb
la desconeguda (catet oposat).
sin 25 18 sin 25 7,6 7,618b b m b m= = = =
- Calculem c: (usarem cos B)
cos 25 18 cos 25 16,31 16,3118c
c c cm= = = =
-
TRIGONOMETRIA
62
Exercicis: Resol els triangles rectangles segents:
a)
b)
c)
d)
Sol.: a) C = 62,18; B = 27,82; c = 13,27 cm b) C = 28,07; B = 61,93; a = 17 cm
c) B = 75; b = 14,93 cm; a = 15,45 cm d) C = 20; b = 9,4 cm; c = 3,42 cm
-
TRIGONOMETRIA
63
Problemes en qu saplica la resoluci de triangles rectangles
Vegem exemples de problemes que es resolen utilitzant la trigonometria, en particular,
la resoluci de triangles rectangles.
Exemples:
1. Situats a 10 m del peu dun arbre, veiem el seu extrem superior sota un angle de 70
(angle que forma la visual amb lhoritzontal, tamb conegut com a angle delevaci).
Calcula lalada de larbre.
La ra trigonomtrica que relaciona les dades conegudes (un angle i el
catet contigu) i la desconeguda (el catet oposat) s la tangent:
tg 70 10 tg 70 27, 4710x
x m= = =
Lalada de larbre s 27,47 m
2. Calcula langle delevaci del Sol sobre lhoritz quan una persona que fa 1,65 m
dalada projecta una ombra de 1,25 m.
La ra trigonomtrica que relaciona les dades conegudes (els
dos catets) i la desconeguda (un angle) s la tangent:
1,65
tg 1,32 52,851, 25
= = =
La inclinaci del Sol s de 52,85 sobre lhoritz
3. Els dos costats iguals dun triangle issceles mesuren 10 m i formen un angle de 50.
Calcula laltre costat i lrea del triangle.
Laltura corresponent a langle diferent divideix un triangle
issceles en dos triangles rectangles iguals.
- Calculem laltura del triangle (h) utilitzant el cosinus:
cos 25 10 cos 25 9,0610h h m= = =
- Calculem x (la meitat de la base del triangle), usant el sinus:
sin 25 10 sin 25 4, 2310x
x m= = =
1,25 m
1,65 m
-
TRIGONOMETRIA
64
- Calculem la base (costat desigual) b = 2x: 2 4, 23 8, 46b m= =
- Calculem lrea del triangle: 28, 46 9,06 38,32
2A m= =
El costat desigual fa 8,46 m i lrea fa 38,32 m2
4. Calcula lrea dun pentgon regular de 8 cm de costat.
Per calcular lrea, prviament hem de calcular lapotema. Per fer-
ho, utilitzem el triangle rectangle gris del dibuix, del qual coneixem
un catet (la meitat del costat) i podem conixer un angle (la meitat
de langle central).
- Calculem langle central :
360 360 72 36Nre. costats 5 2
= = = =
- Calculem lapotema:
4 436 5,5136
tg a cma tg
= = =
- Calculem lrea:
240 5,51 110, 2
2 2P aA cm = = = Lrea fa 110,2 cm
5. Observem el punt ms alt dun edifici sota un angle de 70. Si ens allunyem 30 m,
lobservem sota un angle de 30. Quina altura fa ledifici?
En aquest esquema hi ha dos triangles rectangles: el triangle ABD i el triangle ACD.
Utilitzant un sol triangle rectangle no podem resoldre el problema, ats que no tenim prou
dades.
Haurem de plantejar un sistema de dues equacions amb dues incgnites (h i x), utilitzant
a
2
8 cm
-
TRIGONOMETRIA
65
un triangle rectangle per a cada equaci.
La ra trigonomtrica que farem servir s la tangent, ja que les dades desconegudes sn
els catets.
- Plantegem el sistema i el resolem per igualaci:
( )
*
tg 70
30 tg30
h x
h
h
hx
=
=
+
tg 70
tg 3030
allem
allem
h=
x
h=
x +
Igualem:
( )tg 70 30 tg30x x = + - Resolem lequaci per calcular x:
( )tg 70 30 tg30 tg 70 tg 30 30 tg 30 tg 70 tg30 30 tg3030 tg 30(tg 70 tg 30 ) 30 tg30
tg 70 tg30
x x x x x x
x x
= + = + =
= =
- Substitum* per calcular h:
tg 70 tg 7030 tg 30 30 tg 30 tg 70 30 tg 30 tg 70 21,93tg 70 tg 30 tg 70 tg 30 tg 70 tg 30
h x h m= = = =
6. Un pal est subjectat per dos cables, tal com indica la figura. Calcula laltura del pal:
- Plantegem el sistema i el resolem per igualaci:
( )
*
tg 60
15 tg 45
h x
h
h
hx
=
=
tg 60
tg 4515
allem
allem
h=
x
h=
- x
Igualem: ( )tg 60 15 tg 45x x =
- Resolem lequaci per calcular x:
( )tg 60 15 tg 45 tg 60 15 tg 45 tg 45 tg 60 tg 45 15 tg 4515 tg 45(tg 60 tg45) 15 tg 45
tg 60 tg 45
x x x x x x
x x
= = + =
+ = =+
- Substitum* per calcular h:
-
TRIGONOMETRIA
66
15 tg 45 15 tg 45 tg 60 15 tg 45 tg 60 15 3
tg 60 tg 60 9,51tg 60 tg 45 tg 60 tg 45 tg 60 tg 45 3 1
h x h m= = = = = =+ + + +
Raons trigonomtriques dun angle qualsevol Circumferncia goniomtrica
Una circumferncia goniomtrica o trigonomtrica s una circumferncia de radi 1
centrada en lorigen de coordenades que sutilitza per representar angles i les seves
raons trigonomtriques.
Els angles que es representen tenen les caracterstiques
segents:
- Sn angles centrals (amb el vrtex al centre de la
circumferncia).
- Tenen un costat sobre la part positiva de leix 0X.
- Es mesuren en sentit directe (sentit contrari al de les agulles del rellotge) des de
leix 0X.
A cada angle li correspon un punt (x,y) de la circumferncia.
Definici de les raons trigonomtriques a partir de la circumferncia goniomtrica
Podem definir les raons trigonomtriques dun angle qualsevol utilitzant la
circumferncia goniomtrica.
Sinus i cosinus
El cosinus i sinus de es defineixen com les coordenades
(x,y) del punt que correspon a langle :
Si calculem el sinus i cosinus de a partir del triangle gris de la figura de la
dreta, dhipotenusa 1, obtenim el mateix resultat:
sin cos1 1
catet oposat y catet contigu xy xhipotenusa hipotenusa
= = = = = =
( ) ( )
coscos sin
cos
x x, y = ,
y ====
====
-
TRIGONOMETRIA
67
Tangent
La tangent es defineix com el quocient del sinus entre
el cosinus:
Grficament, la podem representar en la
circumferncia goniomtrica tal com sindica en la
figura de la dreta. La tangent s la longitud del
segment que uneix el punt (1,0) amb el punt dintersecci entre la recta perpendicular
a leix 0X que passa pel punt (1,0) i la prolongaci del costat de langle que no es troba
sobre leix 0X.
Representaci de les raons trigonomtriques dangles situats en diferents quadrants
Primer quadrant Segon quadrant Tercer quadrant Quart quadrant
sintg =
cos
Si calculem la tangent de a partir del triangle rectangle gris de la figura, obtenim el
mateix resultat:
tg1
catet oposat catet oposatcatet oposat
catet contigu = = =
-
TRIGONOMETRIA
68
Nota: Si el segment que representa la tangent queda situat en el quart quadrant,
significa que la tangent s negativa.
Exercicis: Representa en la circumferncia goniomtrica els angles segents i les
seves raons trigonomtriques:
a) 45
b) 150
c) 200
d) 300
Propietats de les raons trigonomtriques dun angle qualsevol
De les representacions de lapartat anterior, en podem deduir les propietats segents:
- El sinus i el cosinus prenen valors entre -1 i 1:
1 sin 1 1 cos 1
- El signe de les raons trigonomtriques va variant en funci del quadrant en qu es
troba situat langle, tal com es mostra en lesquema segent:
sin cos tg
-
TRIGONOMETRIA
69
- Les raons trigonomtriques de 0, 90, 180 i 270 sn:
0 90 180 270
sin 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tg 0 * 0 *
Angles negatius
Es considera que els angles negatius sn els mesurats en el sentit de les agulles del
rellotge, al contrari que els positius. Un angle negatiu - s equivalent a 360- .
360 =
Clcul de langle a partir de la ra trigonomtrica
Nota: La tangent de 90 i 180 no es pot calcular, ats que el cosinus daquests dos
angles s igual a 0 i no podem dividir per 0:
sin 90 1
tg 90cos 90 0
= = sin 270 1
tg 270cos 270 0
= =
Grficament, tampoc es pot representar, perqu la prolongaci del costat de langle
s parallela a la recta perpendicular a leix 0X i que passa per (1,0).
Nota: i sanomenen angles oposats.
-
TRIGONOMETRIA
70
En lapartat Raons trigonomtriques dun angle agut hem vist que, utilitzant la
calculadora (amb les tecles sin-1, cos-1 i tan-1), podem calcular un angle agut coneixent
una de les seves raons trigonomtriques.
Tanmateix, ara hem vist que hi pot haver dos angles que tinguin la mateixa ra
trigonomtrica. La calculadora noms ens dna una soluci. Laltra soluci possible
lhaurem de calcular nosaltres utilitzant les relacions de lapartat anterior (o deduint-
les amb la circumferncia goniomtrica).Vegem-ho:
Suposem que coneixem una ra trigonomtrica de i x s la soluci que ens dna la
calculadora.
Coneixem sin Coneixem cos Coneixem tg
Els angles suplementaris
tenen el mateix sinus:
180x
x =
Els angles oposats tenen el
mateix cosinus:
360
x
x x =
=
Els angles que es diferencien
en 180 tenen la mateixa
tangent:
180
x
x =
+
-
TRIGONOMETRIA
71
c) tg = -1
d) sin = - 0,5
Exemples: Calcula i dibuixa els angles , compresos entre 0 i 360, que verifiquen la condici:
a) sin = 0,5
(soluci calculadora)30
180 30 150
=
=
b) cos = 0,8
(soluci calculadora)
36,87
36,87
323,13
=
=
c) tg = 1
(soluci calculadora)45
180 45 225 =
+ =
Exercici: Calcula i dibuixa els angles , compresos entre 0 i 360, que verifiquen la condici:
a) sin = 0,75
b) cos = 0,5
Sol.: a) 48,59 i 131,41 b) 60 i 300 c) 135 i 315 d) 210 i 330
-
TRIGONOMETRIA
72
Aix, quan calculem langle a partir de la ra trigonomtrica, hi ha dues solucions (dos
angles amb la mateixa ra), excepte en els casos segents:
sin 1 90 ( ) cos 1 0 ( )sin 1 270 ( ) cos 1 180 ( )
soluci nica soluci nicasoluci nica soluci nica
= = = =
= = = =
Angles que mesuren ms de 360
Quan un angle s ms gran que 360, sinterpreta que ha donat una o diverses voltes
completes a la circumferncia. Les raons trigonomtriques de seran les mateixes que
les de langle que queda desprs de fer les voltes completes (aquest angle s el residu
de la divisi : 360).
Exemples:
1. Calcula langle comprs entre 0 i 360 que t les mateixes raons trigonomtriques
que langle donat:
a) 500
sin 500 sin140 0.64500 360 cos500 cos140 0,77
tg500 tg140 0,84
= =
= + = =
= =
140 Langle demanat s 140
b) 2450 *sin 2450 sin 290 0.94
2450 6 360 cos 2450 cos 290 0,34tg 2450 tg 290 2,75
= =
= + = =
= =
290 Langle demanat s 290
2. Troba tots els angles ms petits que 900 que compleixin que sin = 0,5.
Si calculem amb la calculadora langle que t per sinus 0,5, ens dna 30. La calculadora
sempre dna langle entre 0 i 360. La resta els calcularem sumant 360 (voltes
completes) les vegades que calgui:
30 360sin 0,5
150 360; 30 360 ; 30 360 2
150 360 ; 30 360 2
kk N
k
= + =
= +
+ = + =
+ = + =
30 390 750150; 510 870
:pot prendre els valors segents
* 2450 360290 6
-
TRIGONOMETRIA
73
Exercicis:
1. Calcula langle comprs entre 0 i 360 que t les mateixes raons trigonomtriques
que 1300.
2. Troba tots els angles ms petits que 1000 que compleixin que cos = 0,5.
Sol.: 1. 220 2. 60; 420;780; 300; 660
-
TRIGONOMETRIA
74
Relacions fonamentals entre les raons trigonomtriques dun mateix angle
Les raons trigonomtriques dun angle verifiquen certes relacions, que permeten trobar
el valor duna ra a partir del valor duna altra. Les ms importants sn:
- Frmula fonamental de la trigonometria:
Nota: Les potncies de les raons trigonomtriques sescriuen amb lexponent
abans de langle, de manera que no calgui escriure els parntesis:
( )2 2sin sin = . La frmula fonamental de la trigonometria permet calcular el valor del sinus dun
angle conegut el seu cosinus (sense calculadora) o viceversa. Si allem el sinus i el
cosinus, obtenim:
- Frmula que relaciona la tangent amb el sinus i el cosinus:
Amb les dues relacions que hem vist, podem calcular dues raons trigonomtriques dun
angle, coneixent-ne la tercera:
Exemples: Resol els exercicis segents utilitzant les relacions entre les raons
trigonomtriques:
1. Troba les raons trigonomtriques dels dos angles compresos entre 0 i 360 de sinus -0,6:
( )20,6
t 0, 750,8cos 1 0,6 0,8 0,6
t 0,750,8
cos 0,8 t 0,75
cos 0,8 t 0,75
g
g
g
g
= = = =
= =
= =
= =
sin2 + cos2 = 1
2 2sin 1 cos cos 1 sin = =
sin tg =
cos
-
TRIGONOMETRIA
75
2. Calcula sin i tg , sabent que cos = 0,8 i que s un angle agut:
2 2sin 1 cos 1 0,8 0,36 0,6 = = = = Com que s agut triem la soluci
positiva.
sin 0, 6sin 0, 6 tg 0, 75
cos 0,8
= = = =
2. Calcula les raons trigonomtriques dun angle del segon quadrant, sabent que tg = -1:
Resolem per substituci el sistema segent:
( )
*
22 2 2
sin1 sin coscos
sin cos 1 cos cos 1
= =
+ = + =
( )2 2 2 2 2 1cos cos 1 cos cos 1 2 cos 1 cos2
2 0,7072
+ = + = = = = =
Com que s un angle del segon quadrant, cos s negatiu cos2
2
=
Calculem sin *: 2
sin cos sin2
= =
Exercici: Calcula les raons trigonomtriques dun angle del tercer quadrant sabent que sin = -0,5
Sol.:3 3
cos 0,866; tg 0,5772 3
= = = =
Allem sin
Substitum sin
-
TRIGONOMETRIA
76
Resoluci de triangles no rectangles Per resoldre triangles no rectangles, utilitzem el teorema del sinus i el del cosinus,
que estan enunciats en el quadre segent, i la propietat que estableix que els angles
interiors dun triangle sumen 180.
Frmules:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
sin sin sin
2 cos2 cos2 cos
a b cA B C
a b c bc Ab a c ac Bc a b ab C
= =
= +
= +
= +
Teoremadel sinus :
Teorema del cosinus :
La suma dels angles dun triangle s 180:
180A B C+ + =
Recordem que resoldre un triangle consisteix a determinar tots els seus elements
(costats i angles). La trigonometria ens permet resoldre un triangle si coneixem tres
dels seus elements, un dels quals, almenys, ha de ser un costat.
Estudiem els diferents casos en els exemples segents.
Exemples:
1. Coneixem els tres costats: a = 5 cm; b = 4 cm; c = 2 cm
Calculem A, aplicant el teorema del cosinus:
2 2 2 2 2 22 cos 5 4 2 2 4 2 cos 25 20 16cos20 25
cos 0.3125 108, 2116
a b c bc A A A
A A
= + = + =
= = =
A
B
C
a c
b
Si t soluci, s nica.
-
TRIGONOMETRIA
77
- Calculem B, aplicant el teorema del sinus (tamb podrem tornar a aplicar el teorema
del cosinus):
5 4 5 sin 4 sin108, 21sin sin sin sin108, 21 sin
49, 464 sin108, 21sin 0,76
5 130,54
a b cB
A B C B
B Bsoluci no factible
= = = =
= = =
- Calculem C, aplicant que la suma dels angles dun triangle s 180:
180 180 108,21 49, 46 22,33 22,33C B A C C= = = =
Nota: Si el resultat de la suma dels dos costats ms petits s ms petit que el costat
gran, no es pot construir el triangle i en aplicar el teorema del cosinus sortir que no t
soluci:
Exemple:
2 2 2 2 2 2
no existeix un angle tal que el seu cosinus sigui 1,14
ja que -1
-
TRIGONOMETRIA
78
3. Coneixem dos costats i langle comprs A = 45; c = 3 cm; b = 5 cm
- Calculem a aplicant el teorema del cosinus:
2 2 2 2 2 22 cos 5 3 2 5 3cos 45
34 30 cos 45 3,57586 3,58
a b c bc A a
a cm a cm
= + = +
= = =
- Calculem B aplicant el teorema del sinus:
3,58 5sin sin sin 45 sin
81,395 sin 45sin 0,988722686
180 81,39 98, 613,57586?
a bA B B
B B
= =
= = = =
- Calculem C aplicant el teorema del sinus per veure quina de les dues solucions de
B s possible:
36, 39 soluci factible
180 36, 39 143, 61 Aquesta soluci no s possible
ja que 143, 66 45 180
3,57586 3 3 sin 45sin 0,593233611
sin sin sin 45 sin 3,57586a c
CA C C
C = + >
= = = =
=
- Tornem a calcular B aplicant que la suma dels angles dun triangle s 180:
180 45 36,39 98,61 98,61B B= = =
-
TRIGONOMETRIA
79
4. Coneixem dos costats i un angle oposat a un dells (no comprs)
(pot tenir una soluci, dues solucions o cap soluci)
a) A = 35; a = 60 cm; c = 50 cm
- Calculem C aplicant el teorema del sinus:
60 50 50 sin 35sin 0, 477980363
sin sin sin 35 sin 6028,55 nica soluci factible
180 28,55 151, 45 Aquesta soluci no s possible ja que 151, 45 35 180
a cC
A C C
C
= = = =
= =
+ >
- Calculem B (aplicant que la suma dels angles dun triangle s 180):
180 35 28,55 116, 45B B= = =
- Calculem b aplicant el teorema del sinus:
60 sin116, 4593, 66
sin 3560
sin sin sin 35 sin116, 45
93,66
ma b b
bA B
b m
=
= = =
=
b) A = 35; a = 20 cm; c = 50 cm
Calculem C aplicant el teorema del sinus:
20 50 50 sin 35
sin 1, 43 No t soluci ( sin 1)sin sin sin 35 sin 20
a cC C
A C C
= = = = >
T SOLUCI NICA
NO T SOLUCI
50 m 20 m B
A C b
-
TRIGONOMETRIA
80
c) A = 35; a = 40 cm; c = 50 cm
- Calculem C aplicant el teorema del sinus:
1
2 2180 45,8 134, 2 134, 2 35 180
40 50 50 sin 35sin 0, 716970545
sin sin sin 35 sin 4045,8
134, 2
Hi ha dues solucions
a cC
A C CC
C CC
= = + <
= = = =
=
==
- Calculem B1 i B2 (aplicant que la suma dels angles dun triangle s 180):
1 1180 35 45,8 99, 2 99, 2B B= = =
2 2180 35 134, 2 10,8 10,8B B= = =
- Calculem b1 i b2 aplicant el teorema del sinus:
1 1 1 11
40 40 sin 99, 2 68,84 68,84sin sin sin 35 sin 99, 2 sin 35
b ba b m b mA B
= = = = =
2 2 2 22
40 40 sin10,813,07 13, 07
sin sin sin 35 sin10,8 sin 35b ba b m b m
A B
= = = = =
T DUES SOLUCIONS
1 45,8C = 1 99, 2B = 1 68,84b m=
2 134, 2C = 2 10,8B = 2 13,07b m=
-
TRIGONOMETRIA
81
Exercici: Resol els triangles segents (dibuixa triangles esquemtics, sense mantenir les
proporcions reals):
a) a = 3 cm; b = 8 cm; c = 7 cm
b) A = 60; C = 40; b = 10 cm
-
TRIGONOMETRIA
82
c) A = 75; c = 7 cm; b = 8 cm
d) A = 40; a = 10 cm; b = 9 cm
e) A = 40; a = 5 cm; b = 9 cm
-
TRIGONOMETRIA
83
f) A = 40; a = 6 cm; b = 9 cm
Sol.:
a) A = 21,79; B = 98,21; C = 60 d) B = 35,35; C = 104,65; c = 15,05 cm
b) B = 80; c = 6,53 cm; a = 8,79 cm e) No t soluci
c) B = 57,47; C = 47,53; a = 9,17 cm f) B1 = 74,62; C1 = 65,38; c1 = 8,49 cm
B2 = 105,38; C2 = 34,62; c2 = 5,3 cm
-
EXERCICIS: MESURA DANGLES
84
1. Expressa en radians (en forma de fracci i en funci de ):
a) 15 g) 105 m) 195 s) 285
b) 30 h) 120 n) 210 t) 300
c) 45 i) 135 o) 225 u) 315
d) 60 j) 150 p) 240 v) 330
e) 75 k) 165 q) 255 w) 345
f) 90 l) 180 r) 270 x) 360
2. Expressa en radians (en forma de fracci i en funci de ):
a) 73 b) 38 c) 21 d) 7
3. Expressa en graus:
a) 4 rad d) 1,5pi rad g) 53pi
rad j) 7pi
rad
b) 2,53 rad e) 45pi
rad h) 518pi
rad k) 34pi
rad
c) 1,25 rad f) 8pi
rad i) 12pi
rad l) 76pi rad
4. Expressa en graus, minuts i segons:
a) 25,32 c) 95,56 e) 40,01 g) 325,003
b) 8,3 d) 247,925 f) 130,5 h) 125,124
5. Passa a forma incomplexa:
a) 12 52 45 c) 8 30 e) 50 25 10 g) 332 25
b) 15 45 d) 10 50 35,3 f) 120 40 13 h) 86 30
6. Realitza les operacions segents utilitzant la calculadora:
a) 12 52 45 + 81 35 40 b) 50 25 10 - 12 2040
-
SOLUCIONS: MESURA DANGLES
85
1.
a) 1512
radpi= g) 710512
radpi= m) 1319512
radpi= s) 1928512
radpi=
b) 306
radpi= h) 21203
radpi= n) 72106
radpi= t) 53003
radpi=
c) 454
radpi= i) 31354
radpi= o) 52254
radpi= u) 73154
radpi=
d) 603
radpi= j) 51506
radpi= p) 42403
radpi= v) 113306
radpi=
e)57512
radpi= k) 1116512
radpi= q) 1725512
radpi= w) 2334512
radpi=
f) 902
radpi= l) 180 radpi= r) 32702
radpi= x) 360 2pi=
2.
a) 73180