III

t f I;

, f

la curva. expresada en relacion a 1 desde el valor de z hasta infinito. t" 1 1 h 10 misma direccion. Es decir, para un z positivo, desde z hasta + CD Y p,riotr P1ara 0

. d d h ua y raro. ra un z negatlVO. es e z asta ... 00. d 1 En nuestro ejemplo, en que z : + 1.75, e1 area cor responde a1 val d't al vee

anotado en 10 interseccion de 10 fila correspondiente a 1.7 Y 10 column 0.05 y es 0.0401. Esto significa que segun el modelo de la s El normal que la probabilidad de encontror valores iguales a superiores Iitt r. 1 n e c 0.0401 a bien que hay un 4.01% de valores iguales a superiores a 90 mg poc arm narlamods 100 1 d ue correspon e

m. e samFe hfarior. Para S1 defl.llieramos como raros, aquellos valores que ocurren menos de 5% \l" 1 d l'

las veces en este caso deberiamos declarar anormal 10 glicemia encontradQj VpQ or e z_ t ' La b1 . d t . b b'1'd d . 1 tara encon I to a permlte e erffilnar atros pro all a ee, por eJemp 0, 1a formula de

de encont,rar valor en d.terminado Inter:,a.lo de 1a varl.able x, para If cual habra que tener presente que la superflcle total vale 1. i

Si par ejemplo q-uisieramos conocer la probabilidad de encontrar valor(' = K - jJ-de glicemia entre 75 y 85mg, buscariamos z y su area para ambos valorel z -u--

= 75 83

z = = -2 1 4 4

P1 = 0.0228

z2 = 85 - 83 = 2 = 0.5 -4 4

En el grafico , las areas correspondientes se indican par 10 parte breada.

15 I

-2

f = 83

= 1.6

1

15 "IIUp ='. 83

I e1 gr&fico Ip s valores ,raro , _ . ' J , j

I'

-1.0 que nos interesaba, sin embargo, era el area en areua eXlnHntlS y rt:3stanc)olus Cl lu superficie lolal 1 bilidad buscado.

t, blanco. Suruando I! \. Como se encolllruUIOS 10 probfit oonsiderara l

1% etc. deper

0.0228 + 0.3085

0.3313

1.= :. ,.' ,.'

0.6915

41tlmo d

cion que se I 1. '. Lo.s requis

intervalo!! 00 De modo que 10 probabilidad de encontrarvalores entre 75 y 85 es de se o 10 que es 10 mismo. esperCBllOS que el 69,15% de los individuos san os tenln los dlst.lnto: glicemia entre 75 y:85. i?1D8nte con las

La tabla Bolucionar no solo problemas relativos a la probabiDBncia se dad de encontrar valores de z superiores. inferiores 0 entre eate memento. valor es de z sino que sirve tambien para encontrar los valores de z y secuentemente los de x que delimitan areas preestoblecidas. Supongamos q en e1 problema de 10 glicemia quisiercunos establecer limites inferior y 8'

, hasta in~inito. "'rior para 10 habitual. En primer lugar habria que definir e1 criteria de e z hasta ro Y p qbitual y raro. Supongamos que consideramos raro un hecho que ocurre 0610

n 5% de lao veceo. Aplicado eete criteri~ a1 limite inferior de 1a gliee-orresponde a1 1010 ia, debemos encontrar e1 valor de z bajo e1 cual queda 'e1 5% del area de

a 1.7 Y.lo co um~a distribuci6n. 0 en otras pa1abras que tiene p~obabi1idad 0.05 de oeu-de 10 dlst~lbuCl rir. En eat. C080 buacaremo. en 81 centro de la'tabla el valor 0,0500 y

les. a Buperlores e '.terminarlomo8 a que' z corresponde. La mas proximo a eate valor as 0.0505 )erlores a 90 mg P \18 corresponde a z .:. 1,64. Eate z tendra valor ,negativ~ para e1 Ilmite

.nferior. Para el limite superior. rigiendo e1 mismo criteria, tendremos urren ~enos de 5% n valor de z limite de + 1.64. 111cemla e~contrad Para eneontrar los valores de x correspondiente s610 reeta despejar x O~~ par eJemplo. ela formula de z: var l.oble x. para \ "~ . ale 1. de :ion t rar valor pat~ ambos valore

, j

x. f In

z sup

x.up

" 83 - 1.64

" 1.64 =

" 83 + 1.64

x - 83 - 1.64 " 4

(4) = 76.44

x - 83 4

(4) = 89.56

n el grafico los valores habituales corresponden \11 area sombreada (9ClY.) y :an por 10 parte iii pi valorea rarOB en peraonca normales, 01 area en' blanco (lm).

5

-l. 64

3 I o

89.56 I

I. 64

x z

Como se puede desprender del ejemplo. el limite que 5e fije para 10 que considerara habitual y raro es arbitrario. Podria haberse dado un 2%. 1% etc. dependiendo del criteria del investigador.

lanco. Sumando 1. ncontramos 10 prob1~

Por ultimo debe quedar en claro que. por muy atractivo que cesulta aste etodo para csiqner probabiliclades a un intervalo de valores 0 para deter inar limite. de variaci6n habitual. esto 5610 tiene sentido cuando los da-as con que se trabaja se conducen segun al modelo de 10 distribucion nar-01. Los requisitos que deben cumplir son: que sea una variable en escala

75 Y 85 es de 0.69 dividuos sanos ten

e intervalo. oontinua, que lu distribuci6n sea unimodal y simetrlca. que u histogram se asemeje a1 de 10 distribucion normal y que las frecuencias n los distintos lntervalos de 10 variable estudiacla coincidan aproxima-awente con las que se esperan par 10 distribucion normal. Esta coinci _

ivos 0 la prababif ~ncia se puede evaluar con otros metodos estcdisticos que no se detailen o entre determina n Q~te momento. vulores de z y co

dos. Supongamos q mite. inferior y

55

,

I I

...... __ ._. __ .- .... -.-

PROBAB III DAD Imbo,oKfa:

i~ n Un conceplo usado corrienlemenle en la vida diaria ,= num . m

A

= num de

Un caracter comun a 10. hecho. cuya frecuencia expreaQ en termi,", P(A) = ~~: de probabilidad. e"s 1a incerticlumbre previa sobre 10 ocurrencia del hee; en un caso particular. A pesce de ella, .p~~de existi~ la necesidad de P~tonces: decir e1 resultado para adoptar una declsIon. Por ejemplo, cada vez que} P(A hace un viaje en avian no 88 conOC8 con certeza .i ocurrira 0 no Un ace, dente: hay una pequeno probabilidad de que "ste ocurra y; complementari .. . _ mente, una alta probabilidad de que no suceda. Tomar la decision de h~,flnlclon: el viaje supane predecir que no habra Un accidente en su curso, predicq . que se baaa en la probabilidad antedicha. f LA PROBABIL

r.IiTO~ NUESTRAL

Por que interesa en medicina U TOTAL DE P

Aun con las tecnicas actuales, no es posible identificar y cuantifJi' ~; .L?S Pfuntos od 1 f '1 t 1 1 . d t . 1 . 1.enClQ or man t os os aetores, mU Ip es y comp eJos. que e ermlnan a ocurrenClQ "E.pacio mu.

loa hecho. bio!oqico8. Con to~o. ~n ~edlcina e}tn.lca y ante un enfer'ual uier resuj nos vemos forzados a hacer un dlGgnostlCo y pronostLco probab1es, y a II 1 q . t

1 . p. 1 d 1 f ,. e con J un o. mu ar un trotauuento. or eJemp o. uno e os aetores pronostlcoS en luaatral" .. per.ona quemado. e8 la extension de 10 quemadura. La experiencia mue., En nu;stro que euonde esta no excede al 2c::Po de 10 superficie corporal. falleeen 1CR,os al azar E los enfermos; euendo 10 quemadura aleanza 10 mitad de toda 10 superfiYaris sin 6scc corparel, la mortalidad llega a 95%. Ante una persona que tiene una qUI!!. ('1 -os). . d d . . - d ' 1' b >Os n n ca ura e eseasa ex~enslon. lrlomos que e p-onostlco es enlgno porque , . La definici mas probable es que sobreviva; este pronostico no tiene seguridad ahsolul-eprese~t_a la t tal enfermo podria ser precisamente uno de los que mueren a pesar de ~\xparimento .e loa quemaduraa no 80n extenao.. ~ El es cio m

Lo importante 88 que es po.ibis hacer predicciones probdb111sticas. -pa base a la experiencia anteric.r. PRDICCIONS Que SON VALIDA S . con restri ciones, PARA GRUPOS DE INDIVIDUOS. Por ejemplo: 10 tasa de mortalid,d I neral en Cllile fluctua alrededor de 9'/0 y esto significa que de cada 1,( chilenos van a mor,i r 9 en e1 plazo de un ana; esta prediccion se cumpli con bastante exactitud sin que seamos capaces de predecir qUienes son 1 que viviran y quienes morireD.

Definicion y medicion de probabilidad

Ejemp1o: .. En un estudio hecho en e1 Hospital Calvo Mackenna sobre cia de parasitos en ninos se encuentra:

22 casas de ascaris 178 casos sin ascaris

200 ninos estudiados

El modelo q. ual probabilid U eleccion I!S , , . '9tese qae se c [!''tcfa, la prol l :, .... -: ~ :~ -:-. ~.

S1 se eliqe a1 azar uno de estos ~1 este infestado ~on eate para.ito?

200 ninos tcual es 1. ,"- n - :

probabilidad ,'\': p (A) =

Adaptacl&n de -Encue~ta enteroparaslta16giea en Hospital 801. Chile. Para.sit. X.V,II: 93-100. Oct.-die. 1962.

Calvo Nacke

n

i! " E~to ~ Si9nif J'?~i!~'l l!lrte: , ' f .....

.I i

Qsleller. Rau . l 96l I

56

, .. .. v~ -- . ____ . ___ ._t, ~_. ~

,,'II' .

mboloafa:

n = num.ra de ninas de caSOB posibles = numero probabilidad ss 8studia =

de puntas en e1 = numefo d. ninos

numero de cas os probabilidad de e expresa en termi . PtA) =

ocurrencia del he

examinadoa = numero espacio muestral. con heeho A cuya "favorables lt ocurrencia de A.

10 nece~idad de P ntonces: 3mplo, cada vez que ~ curriro 0 no un ac :i ra y ~ complemen tar ,;'" ..

P(A) = 22/200 = 0.11 0 bien 11%

la decision de hoOf I" I C I on: 1 5\1 curso, predicc'"

LA PROBABILIDAD DE QUE UN HECIIO A (~URRA ES LA RAlON UNTOS NUESTRALES QUE COIIRESPONDEN A LA OCUHRENCIA DE A ~L TOTAL DE PUNTOS (CASaS POSIBLES).

ENTRE EL NUMERO DE (CASOS fAVORABLES)

ltificor y cuantifi ninan 10 ocurrencia co y ante un enfer ~o probables. y Q f res pronostlcos en .Q exper iencia mues poral. falleeen l~ de toda la superfi a que tiene una que ) as benigno porque ne aeguridad abaolu mueren a pesar de

les probabi lis t ieos VALIDAS, con restr'

tasa de mortalid,d : lea que de cada 1. )red; -~116n 88 cumpl ,dec quienea Bon

~ckenna sabre free

es 1. prQbabi1idad

Lo~ puntas que represent an todos los posibles resultados de una expe-,iencia forman e1 espacio muestral.

"Espacio muestral de un experimento es un conjunto de~lementos t~l que .ualquier cesultada del experimento cor responde exactamente a un elelllento 'l conjunto. Un elernento en e1 espacio muestral se designa como punta .'hestral". "

En nuestro ejemplo e1 experimento consiste en elegit uno de los 200 ni-08 01 azar. El casulteda del experimento puede ser de dos tipos: con as-~ris. sin ascaris. E1 espccio muestral asta constituido por 200 elemen-~~ (ninos); Gada nino es un punto muestral.

La qat in1cion -de probabilidad que hamos

III

",

f PIA) + ptA) = 1 . I" ~ puede ve , ~'~u~l~uiera Q d I b . . f t d ' . 0,41 0,05:: Si en elA t10tal e 2(0 niiiosdno lU lera n~ngun~ lnpe(sA)a:! lconEascarl'~ignifica: aBC

PtA) = 0, a lnversa, Sl to as tuvleran aSCOrlS, -. n cons'f, (A B) 1 cuencia toda probabiLidad tendra un valor entre 0 y l: h 0 A Bes ( ec os , , .

O:;;P:;;l si P ::: 0 hay imposibilidad de ocurrencia r Si compara1, r (AB) dif lare d, si P ~ 1 hay certeza de ocurrencia~o{l ascpris los

A veces 10 probabilidad puede ser determinada "a priori". Por ejemp1P(B) 'en: que en en e1 lanzamiento de Ull dado tacias las caras tienen igual probabilidad Jlos 10 casos qUI ocurrencia y podemos. e.sl ablecer de antemano todos los casos posibles y 10' Luego: favorables. Par ejemplo, 10 probabilidad de obtener un seis es 1/6, porq. los casos posibles en un lanzomien to son: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6, y el onie caso favorable es 6. rCA 0 B) = P(AB

Ip ( A 0 B ) En muchas otras a:::asiones 10 probabilidad se determina "a posteriori'\'

en base a 10 frecuencia relativa observacla en experiencia previa. Por e: jemplo.- en 1958 81 total de nacido8 vivos en OdIe fue de 250.247. De 1 11os, 127.432 fueron hombres y 122.815 fueron mujeres. De estos datos de ducimos que la proba~ilidad de que un nacido vivo sea hombre es de: 'Este es e1

127.432/250.247 = 0,5092 (50,92%) Teorema de adicion de probabilidades

gue oeurra par ilidades simples .fP:le ambos oeur n ~,:: Petra nues t rc

u.t . P (A 0 B) '" A (Denudo inter.aa la ocurrencio de Ul6. de un hecho. En e1 ejemp10 r do an ter iormen te. se" inves t igo tamblen 10 axis tencia de at roO perosi to. I~ Gra fieamen t

ranera: 1emblia .. con los rest,1 tados siguien les:

~-

Infestacien Infestacien por lamblias por ascaris

s1 no total

si 10 12 22

no 82 96 178

Total 92 _LlO8 __ 2CD Originalmente ten.i.amos dos probabilidades: que un nino elegido

ascaris [P(A) = 0,11] 0 que no los tuviera

Ambos probabi l.idades sutl!oban 1. Vemos que 01 agregar Un dato mas a nuestro

una ser i"e de at fOS prohaL il iclades. DenolllinelDos par A y til dti taller lombIiaa par B.

l!'Oi) =O.8~

investigacion han e1 hecho de tener

1

,1 i it "1,

, .. , - '~

, .j

La certeza actual::: I, est6 constituida par la suma de las siguient y! ~,,: probll.bilidades: . f P (AS) ;:; probabiljdad~ de tener ascaris y no tener lamblias = 12/200 ::: 0 ~,~.,; , P (AB) ;:; probabilidad de leller lamblios y no tener ascaris:::: 82/200 = 0:( . Es posible { P (AID ::: probabilidad de tener Jalliblios yascaris = 10/2eD = O~ ... r. que fl? pue P (AB) = probabiLidad de no tener lamblias ni ascaris = 9612CD = 0:1; eoremil de Adicj

58

Total

1.1~..:.'(. . },\~ '1 ' :: r '. ~i":. ' j;?, .

_.\,. , ' .. "f,-,'.,"w .. "!.,., '-..::~:'!t< "~'''''''''''''''''",_,''''''''-''''''''~'~ .. :.-................ .,.,.....-~

l Se puede ver facilmente que la probabilidad d~que un_nino elegido ten-

19a cualquiere 0 ambos porasitos es la suma,de P(AB) + P(AB) + P(AB) = 0,06

f d ' . + 0,41 + 0,05 = 0,52. Simbolizaremos esta situacion por PIA 0 B) en que "0"

n asta 0 con ascarIS . .. ,.. .' . P(A) = 1 E plgnlflCa! ascarIS a lambllos 0 ambos. Esto es equl.valente Q declf que , n conse (A Q B) es la probabilidad da que oeurra POR LO MENOS UNO de los : .~chQS A, B.

[encia _Si comparamos con las probabilidades simples origina1es. vemos que f(AB) difiar. de PIA) en que en el numerador S0 he restado_a los 22 casas co{} ascaris los 10 que ademas ten ian lamblias. A su vez peAB) difiere de

prl.Oll. . Por ejemplP(B) en que en e1 num~rador, Q los 92 cas os con lamblias se les ho restado igual probabilidad JOB 10 casos que ademas tenlon ascaris. ; casos posihles y 1 Luego; un seis es 1/6 I porq' 4 ) - 6. Y el uni

(A 0 B) = P(AB) + P(AB) + P(AB) = @(A) - P(AB]

lp ( A 0 B ) = P(A) + P(B) - p(ABll rmina a pas ter ior i", . encia previa. Por e; ue de 250.247. De.; ). De es tos datos de .

Este es el teorema de adieion de probabilidades: la probabilidad de que ocurra por 10 menos uno de los hechos A a B es la suma de las probabi-lidades simples de ocurrencia de cada uno de elIas menos 10 probabilidad de 'que ambos ocurran simultaneomente.

hombre es de:

, Para nuestro ejewplo:

P (A 0 B) = 221200' 92/200 - 101200 = 0.52 o. En e1 ejemplo us ,; I de'otro' parasito. 1 Gr6ficarnente se puede representor e1 espucio muestral de 10 siguiente

onera:

Ai! AB AB AB I

1 ......

,/1 7j /

~ ~ .'J.

, olfio alegido tuvia~

=O.8~

umo de las siguien t, .. -.

stigacion han surgid:

8cho de tener ascar)' . . "

Iblias = 1212m = 0, . , ;car is = 82/2m = O,~ , Es poslble que los dos hechos A y B sean MUTUAMENTE EX~r "YENTES. es de-= 10/2m = 0 Clr, que no pueden aeontecer conjuntamente. En tal easo P(AB) = 0 y el

= 96/2m = O:~ Teoremq de Adieion se simplifiea a: . 1.

59

'II

I .

P (A a B) = PtA) + PCB) .i A. B mutuamente exeluyente8 Graficamente e1 e.pacio muestra1 serla:

If)

'I

. " ,

,.

~ J;, ' , f ~

Dividiend

P(AIB)

Luego:

E.te reau

\ Este es E ! COIiPUESTA 0 C .. Habriamoe i punto de vis t [v1omente se c

f: P(AB) = P Este teorema se puecle generali~ar a mas de dos hechoa. Per ejemplOt"H.~hoa Indape

1963 notificaron 28.543 casoll de Sarampion en Chile, de 1011 cual! 13.768 Deurrieren en Santiago. 2.709 en Valparaiso y 2.186 en Concepci~; 008 IDa Estos eventos son mutUQmente excluye ntes. La probabilidad de que un ~ e110s no afec de sarampion haya ocurr i do ep Santiago. Valparaiso 0 Concepcion es: En tal co

= 18,663/ 28.543 = 0,65 I' P(AIB) = Teorema de Composicion de Probabilidades ' ~. con 10 c\lQl e

13.768/ 28.543 + 2.709/28.543 + 2.186/28.543

Entendewos por probabilidad cOlDpuesta 0 eonjunta, 1a probabilidad !lL~LII>(AB) = f que dos 0 ma. hech08 ocurran simultaneamente. En nuestro ejewplo seria .! LOS HCH probabilidad de que un nino tuviera 01 mismo tie ropo ascaris y lamblias, ." Siendo PtA) D to es, P(AB). l.alesde otro pI

Con e1 fin de dedueir una formula para P(AB) es neee"ario introducirf la ocun'encit concepto de PROBABILIDAD CONDICIONAL. Esta es, 1a probabi~idad de que OCI: cluyentes. es rra un hecho cuando se establece como concilclon que preVlawent~ hoya ~. CO. rem rrida oteo hecho. En sImbolos se r e presenta por: P(AIB} = prohabilidad;: cuando = 10 (

' que ocurra A habiendo ocurrido previawente B. . If. En una 81 En nuestro ejemplo P(A/B) serla 10 probabilidad de eucontrar un D .:'- tritivo en r.

infestado por ascaris en c ircunstanc ias de haberse comprobado que port : Sa define lawblias. El e8pa~io mue.tral de caeoa pOlllblea ae reduce entone a _ . 92 ninos Infestados por lcunblias y los casos favorables son 105 10 nii A = homb que adicionalwente tienen ascaris: '

= muje A

P(A/ B) ",-- = 10/ 92 = O.1087x(10.B7 %) \~, '. 81 el rei

60

It ' " I

" ; ~.

,

. S

.. ~

, i

" . "

Dividiendo numerador y denominador del termino derecho por n tenemoa:

P(AIB) "AB/n P(AB)

= = '"BIn P (B)

Luego:

&) = P(B) P(AIB) I = 92/2CO.IO/9~ = (0,46) (0,1087) = = 0,05 (5 %)

Este resultedo es equivalente a 10/ 200 = 0,05 Eats 88 el rORNA DE NULTIPLICACIOH DE PROBABILI DAD ES 0 PROBABILIDAD

CONPUESTA 0 CON]VNTA . Habriaao8 lleqado 01 alemo resultado apllcando eate teorema desde el

punlo de visla de 10 probabilidad condicional de lener lamblias cuando pre-viamente se co~prueba 1a existencia de ascaris: .

P(AB) = PtA) , P(B/A) = 221200 10/22 = (0,11) (0,4545) = 0,05 (5%) has. Par ejemplo, "echos independientes :hi I e . de los eual ~ 2.186 en Concepci ' I Do. 0 .Cia hecho. aon ind.pend~ent cuand'o la ocurrencia de uno de

ilidad de que un c el108 no afecta lq probabiliQad de ocurrencia de, al 0 de los otros. :oncepcion es: En tal C080, 8& claro que:

,63128.543 = 0,65 P(AIB) = P(A} y can 10 cnal el teorema de

P (B/A) =, P(B) composicion de prohahilidades sa transforma en

I P(AB) = PtA) '. PCB) a1 A y B son independientesl LOS HECHOS INDEPEHDINTES lAMAS PUEDEN SEn MUTUANENTE EXCLUYNTES.

'. 10 probobilidad dtro &Jewplo serio icaris y. lowblios, Siendo PIA) mayor que 0 y P(B) mayor que 0, su producto nunca podro ser O.

Desde otro punto de vista: 81 la ocurrencia de un hecho hiciera iUlposible ~cesa ri o introducir 10 ocurrencia de otro hecho. COiDO sucede en aeontecilllientos wutuamente ex-bnb i l idud d~ que 0 ' cluyentel, datal hecho. logicamente no son independientes. prev~amen t~ ~a~a oc Comparemos ahara 10 que sucede cuando dos hechos son independientes y lB) - probab111dad cuando no 10 son.

d8 encon t rar un n' omprobado que port reduce entonees a :)1es son loa 10 n1 - ,

(10,87 %)

, " , ,

', '

En una escuela se examino tritivo en r~laci6n a1 aexo.

58 define:

A = hombre A = mujer

Si e1 resultedo es:

1.500 alumnos pa~a estcblecer su estado nu-

B = deanutricion B = ausencia de desnutricion

61

II I I I

i ' (

N a1umnos

Hombres I.CID

Mujeres 500

Total 1.500

4'

o

o

o

endientes es to escue la sea hom,

. 1/lCF2/3CFO.067

ute:

.s

%

5

LO

6.

B no son inde ..

~ dvsnutrido ro en

iCD = 0.033

= 0.044

~r hombre y desnutr~ J probabilidad es 5

DISTRIBUCION BINOMIAL

I problema

Con cierto frecuencia en medicinu una lnvestigacicn C01l5i~tv -.:il J." oh .. ancien de un determinodo numero de unidades de observacion. en coda una de as cuoles el hecho en estudio puede expresarse en 5610 dos alternativas. or ejemplo:

Se seleccionan 100 escolares a quienes se les ~lace una reaccion de tuber-~'culino. :gue put::de ser "positiva" 0 "negative" . . Se ensaya llno nueva droga en 3q enfermos y los resultados individuales se

clasifican en "curacion" 0 "frucaso". ,. Sa inoculon 20 ratas con una substanciu presumiblemente toxico y se ob~

servo en cada ani mol si "muere" 0 "sobrevive".' Entonces surge 10 pregunta de cucil es la probabil1dad de que se observe

n ,numero dado de veces una de eslus alternativas. Por ejemplo. en el ex -rimento con 10 nueva droga se observan 20 curociones (67% de curaciones);

on 10 droga haste ahora usada las cliraciones eran habitualmente sac; y en o enfermos deberiamos esperat' IS curaciones. Si la nueva droga no es me .. 0[" que 10 antigua, (,cuon probabl~ es que se registren 20 mejorias en vez

,6 15 por mera suerte en una experiencia con solo 30 enfermos? Problemas de esta especie pueden" ser resueltos utilizando 10 distribu-

lon binp,icd, si se curnplen detenuinados requisitos.

pquisitos para utilizar la distribucion binomial

1. Debe haber' un numero Ii jo de "ensayos" 1m escalares, 30 enfermos. 20 rutas. etc. 2. En cada 'ensayo, los resultados posibles son necesariamente s610 dos, a menudo denolllinados "exilo" y "fracaso~'. La idea de binomio indica justumente dos nombres. dos terminos. En 10

ractica los resultados posibles podriun ser mas' perc si se agrupan en dos Iternulivas el modelo, es aplicable. POl' ejemplo. los resultados c1inicos e un tratamiento podrien ser: Guracion. mejoria. estacionamiento. agrava ... +00, mu~rte; pod,"iomos llamor "exilo" (] 106 dOB primeros y "fracaso" a los ,~stantes.

3. La probabilidad de "exito" debe ser igual en todos los ensayos Por ejemplo, 8i se sabe que el porcentaje de' ninos tuberculino _ posi ..

tivos en las escuelas primarias de Santiago es 30% y se taman 01 azar 10 de 110s. podemos suponer que 10 probabilidud 01 elegir coda nino es 0.3 de pe ,sea positivo.

4. los ensayos ueben ser Inuepenulentes entre sf Esto es, la ocun-encia de ulla alternativa en un ensayo no debe efectar

a probabilidad de ocurrenciu de ella ell ninguno de los otros ensayos. En 1 ejemplo de in droga ensaynda en 30 diferentes enfermos. la probabilidad e curacion del segundo enfermo es igual haya 0 ilO curado e1 primer enfer ..

' 0 8i estu probabilidud fuera 0.70. entonces 10 probubilidod de que el rimero y el segundo enfermo curen sera (0.70) (0.70) = 0.49.

IQIbQlogia

n ::: mime ro de ensayos. s itmdo n :;.. 1 p = probabilidad de .. exi to" en un ensoyo; 0 ...::: p < 1 q = 1 - p = probabi lidaJ de .. f rucaso" en un ensayo x = numero de exi tos en n ensayos = 0,1. 2. . .......... n

63

r"""

'_. 'I ': ~ "j , "

I I

I

Ii

I

I ! ,

1"\ I I

Un ejemplo. En 1a d1fter1a lar!ngea 1a leta1idad e. hab1tua1mente de 1~. 81

ligen dos de estos enfermos al azar. ,-Cual es la probabilidad de que -de elIas muera y e1 otro sobreviva?

En este caso e1 numero de ensoyos es das enfermos. e1 curso de 10 fermedad puede terminar en sobrevida (8) 0 mUllrte (M), 8e han elegido casos cualquiera a los cuales podemos atribuir una probabilidad "0 de sobrevivir iguo1. y 10 que suceda a1 primer enfermo no afecta 10 cion del segundo. Luego:

n - 2 p = probabilidad de sobrevivir = 0,90 q = probabilidad de morir = 0,10 x ~- numero de exitos, este es, sobrevivientes

Se pide P(x = 1) = probubilidad de observar un sobreviviente. El numero de pun~os muestra1es es 4, porque e1 primer enfermo

brevivir 0 morir (dos alternativas) y el segundo tarnbiem (dos alte vas), 10 que da 2 x 2 :;:;: 4 resultados posihles. E1 eapae'io muestral as:

E = (SS. SM. MS. 1Vf,1)

Coda uno de estos puntos representa una probabilidad conjunta

sss

hechos independientes. que corresponde 01 producto de las probabil"u'.U\'~1 simples.

Por ejemplo: P(SS) = P(S) PIS) = p.p (0, 0Cl) (0, SO) = 0,81 De modo similar se obtiene:

---'--------.----~--~~----~--~~-------,

Punto muestrul

SS

SM

MS

Numero de "exilos"

2

1

o

P r 0 b a b iIi dad "-"~~-"~---~---

p2 - (0. SO) (0. SO) "" 0.81

pq - (0. SO) (0.10) = 0,09 qp = (:).10) (0.9J) = 0.09 q2 = (0.10) (0.10) = 0.01 ---

1.00 ---"----~ ----"---------------~---

Se ha pediclo 10 probabilidad de obtener un sobreviviente. Aplicando teorema de adicion de probabllidades (que hay a un sobreviviente. sea primer enferlllo 0 e1. segundo). en hechos que son mutUQlIlente excluyentes, obtiEine:

P(x = 1) = P(SMVMS) = P(SM) j P(M'3) = 2 pq = 2(0,09) = 0,18 Se ve de inmediato que. tratandose de 2 ensoyos. 10 probabilidod

ner 2. 1 60 exitos, ,se obtiene por los b~rminos de expansion del b

(p + q) 2 = p2 + 2. pq + '12 S1 se huLieran elegido, en simi lares condiciones, 3 enfermos. (n ::

e1 esraeio muestral tendrio:

2 x 2 x 2 ::; 23

;:: -8 puntos, cuyas probabilidades son:

64

-El-hecho de probabilidc probab i lida,

to. Hemos vis to

los -un sob rev i vier

difetentes:

Es neeesari( un punto mue tintoa de n ,

de n e

p3

Pro b a b 1 1 1 dad e a

- (0.90)3 =0.729

=0.243

. =3 (0, 90) (0.10) 2=3 (0 .009)

=0.027

=(0.10)3 =0.001

Tot a 1

Jidad eonjuntu de d,,\ Es decir, cuando n = 3. se obt ienen las probabilidades de 3. 2. 100 de las probabll1dad '~itos, por la expansion del eubo del binomio:

0 ,81

0) (0,90) = 0,81

0) ''1 ,10) = 0,09

:11 '10,901 " 0,09

:J) (0. 10) = 0.01 ---

"

(p + q) 3 = p3 + 3p~ + 3pq 2 + q 3

caso general para n ensayos

,,-Cue l es 10 probabi lidad de obtener en gene tal x exi tos en n ensayos si Q probab~lidad de exito es p? Designemos as ta probabilidad por:

PIx, n, p)

Si en n ensayos hay x ex itos. debe haber tambit?n (n -x) fracases . La frobabilidad de obtener x exitos, puesto que se trato de hechos indepen-rdientes. es p multiplicado x vecas por si mismo. es decir pX, De igual Eodo , la probabilidad de obtener exaetamente (n - x) fracasos eS qn-x, De

; p"q (n-x) (1) . .. ,

.... ste modo. la probabilidad de obtener. EN CUALQUIER ORDEN. exac tamente x _,X it os y (n .. x) f rocusos es:

El hecho de que el orden en que aparecen exitos y fracasos no altera ivien te. Aplieando er sta probabilidad depende de que 1a independeficia impliea multiplieaeion de :.ourevlv iente. sea e Oti probah ilidade s simples, y e l orden de estos fce tares no altera el pro ..

1.00

Jlue nt e excluyentes. ueto. Heme s vista que existen varies modos diferentes por los cuales pueden

,09) = 0,18 resentarse los x exi tas y los (n .. x) fracasas. Por ejemplo. dos muertes

un aobreviviente en a1 ejemplo antedicho_ puei:len presentarse de tres mo-diferentes: to probabilidad de te , 0.

, , ~' I

",h: : ~i l' ~, ," ! I ~ I'

l

(n - x) son de o tre; e st e coeficiente corresponde tambien a las nes de n elementos tornados de a x c oda ve z :

nl =---

xl (n-x)!

nl es el aimbolo para n factorial que significa n(n-l) (n-2) ........ (n Para el ejemplo anterior en que n = 3, x = 1. n - x = 2

= 3. 2 . 1

1 (2. l) = 3

Por definicion 01 = 1. de modo que las mane res de optener 3 exit os en

3 ! 3 . 2. I ensayos ;;;: = = = I

3! O! (3. 2. 1) (1)

In) d ' . Existen pues x puntas que correspon en a exactamente x eXltos

f o rman el subconjunto de hecho. "favorables". Cada punto tiene 10 probabi lidad indicada en (1) . La probabilidad total de x exitos en n en.ayoa obtiene' por 10 sumo de es tas probabilidode s.

x = 0.1. 2, ... .. n (2)

Por ejemplo. en e 1 coso de los tres enfermos de difterla, 10 prob,abiil dad de obtener un solo sobreviviente (exito) y por tanto dOB muerte. CQ.o.) :

P(1.3. 0.90) = (;) (0.90)1 (0.10)2 = 3(0.90) (0.01) = 0.027

= p[

embargo q = 0.5

= . . ', P~>r e j e mplo

r 6 caras '9flaJ.CJ on se ob

ida Aa . . es recesivo a

Loa gra f icol 0,5. El aum

: estes v Pera s '

En 10 serie de terminos obtenidos por el desarrollo del binomio ( el e xponente de p disminuye de x = n hasta x = O. 5i pes 10 probabi ,.~,. de axito, los terminos .expresan ordenadamente las probabilidades de ob n, nl. n-2, ....... 0 exitos. En "el ejemplo utilizado:

(ptq) 3 = p3 + 3 pZq + 3 P q2 + q3 reemplaz

:ambien a las combinaci (p+q) 0 = pO + (0) pO-~ ........ (0) pX q (n-x) + ..... qO 1 x

obabilidad 0 obtener exitos

0-1 exitos

x exitos

o exites

}.1) (n.2) ....... (n-n+ , El hecho de que (p + q) n ::::. 1. indica que sus termines corresponden a = 2 ~08 probabilidades de todes los puntas muestrales. Estos puntas son 2n ,

n x orqu. en cada enaayo. por definioion, exiaten doa alternativa.: 'xito 0

"ener 3 exi los en

xactamente x exitos q 1 punto tiene 10- prebab ~ exites en n ens ayes

n (2)

difteriu, 1a probabil tanto dos muertes (fr

01) "0,027

ro1 __ del bioomio (p+q Si p es la probabilid

.robabi1idades de obten :ado:

~ 1 x " 0

raCGSo. E1 numero total de terminos. que es e1 numero total de resultados posi.

les del experimental es n + 1. Para cad a termino. los expanentes de p y e q. que son x y (n-x), suman n. puesto que el total de ensayos se compone 010 de exitos y fracasos.

Los coeficientes son simetricos. porque:

01 01 =

x! (n-x)! (0 - x)! x!

Sin embargo, 10 distribucion de probabilidades no es simetrica. a menos ue p "q = 0,5. Entooces:

pX qO-X = (O,5)x (O,5)0-x = (0,5)0

Par ejemp1o. si se lanzan a1 aire 6 monedes, es igualmente probable ob-teoer 6 caras que obtener 6 sel10s, y esta probabi1idad es (0,5)6, E.ta ond1cion se observa en algunos experimentos en genetica. Si se tiene un ibrido Aa, es igua1mente probable que uo gameto reciba e1 gene dominante A e1 recesivo a.

Los graficos que siguen muestran en (1) y (2) 10 simetria producida par ~ 0,5. E1 aumeoto de 0 = 10 a 0 = 30 aumeota 1a amp1itud en el numero de

'xitos: estos varian entre 1 y 9 en el primer coso. entre 9 y 21 en el se-undo. Pera 81 e1 numera de exltos se expresa como un porcentaje. se va ue el aumento en el tamaho de 10 muestra reduce 10 variacion. Para n = 10 sta variacion es de 10 a 90%. es decir, 8OYo. para n = 30 varia entre 30 y ~, es decir, 40%. Esto eSt 51 hacewo5 una exper1encia con un mayor nume-

,,0 de enfermos f 108 resul todos porcen tuoles obtenidoB seran men os variables or 10 influencia del azar.

En el grafico (3) se observa una di5trihucion muy asimetrica para p = ,2 Y n ~ 10. Sin embargo, si n aumenta a 30. 10 distribucion "tiende a 10 imetda.

En general. puede decirse que 10 distribucion binomial puede conside-arse simetrica 51:

op ~ 5 y nq ~ 5

E.ta propiadad tiene importancia porque permite utilizar la curva oor-01 como una aproximacion del binomia, bajo determinadas condic~one5.

67

I r

I ,

.. ,

I , ,' - , .. , ) .

! .)

.. j

LI I I , ', 1 \

Cd'

Q,5 n 30

1 l 13 1,41 5 1617 1819 20 11

1,2 n 30

I I 4 5 6 7 8 9 ro II 12

I

rPIlcaCi6n a un experimento de muestreo

! En un trabajo practico se ha hecho un experimento que co06istio en ob. ;tener repetidas muestras aleatorias de 10 bol,itea de un saco que contiene ,~chQ' Ool1t08 y de laB cuales ~ tienen determinado color. Supanemoa que ~.to rapr nta 10 extracclon de mueatco8 aleatorias de 10 ninos. de una !..Beuala donde se sabia que existia un 4CPo de nines tuberculino -positivQS ~l proposito era ver 5i e1 porcentaje de positiv~s observado en cada mues-1ra podia diferir por simple azar de 10 proporcion ex i stente en 10 Escuela. ~ta diferenc ia 8S importante porque en 10 prac tica e 1 problema consiste en "stimac 10 proporcion desconocida que existe en un universo 0 poblaci6n. ~~ad08 solo en los resultados .de una mue stra. La distribuc ion obtenida en P70 muestras se preaenta en la tabla adjunta.

Laa probabilldadea obtenlda. por el desarrollo del binomlo (0.4~.6)10 , prsasntan en la tabla y ae V~ que coinciden boatante bien con 108 reaul-gelo. cla1 experi ... nto: .

I I Positivos I N %

., 0 0

1

2

10

20

3 30

4

5

6

7

8 1

9

. ,10 .;

40

50

60

70

80

ro

100

T e r m i n 0 del binomio

(0.6) 10

10(0.4) (0.6)9

4510.4)2(0.6)8

120(0.4) 3(0.6)7

210(0.4)4(0.6)6

25 2 (0. 4)5 (0.6) 5

210 (0.4)6 (0.6) 4

120(0. 4)7 (0.6)3

45(0.4)8(0.6)2

10(0.4)9(0.6)

(0. 4) 10

Probabilidad en (%) Binomia l Experimento

0.6 0.5

4.0 2.8

12 .1 12.6

21.5 22,3

25.1 25.1

20.1 20.2

11.2 11.8

4.2 4.2

1.1 0 . 5

0 .2 -0.0 -

. Sa observa que en e1 experioento e n 80lo 25.1% de las muestraa se obtu wo 01 ~ de po.itlvoe existentes en la Escuela.

51 hub1eramoa inducido a la Escuela los resultados de una de estas

~ue8tras. en 1000 25.1% = 74.~/O de las veces habriamos llegada a una c on . luaion erroneo .

, Eate error deriva del hecho mismo de usar una muestra (ERROR DE MUfS-. neo) : desaparecerla si pudieramas examinar a toda e1 universo 0 poblacion.

De acuerdo 01 experimento. este error es freeuente e inevitable. Esto ignifica que toda induccion cientifico tiene'cierto grado de incertidum_ ., " .(

69

I ,

[i !

\ ..

'.:1 , i

t .: i ! ! ' I I, " j ' d "

I 1' - - .

) : -,

:.'- 1

i: '

!' .

' '' -_-J

, . ''''I

La diatdbucion obtenlda as unimodal y cantrooa an el % exiatenta 8n Escuela: de todos 108 resultados posible al mOs probable a8 la tasa vel. dodara, . ~

La diatr ibucion es aproximadamente simetr ica, A lDedida que al porce( Se .define taje de la muestra 8e distancia mas del 40% (e. decir. a medida que el estadistic rror de mue.treo Qumenta), 10 frecuencia de las mus.tras ea menor. --:YQ,,,,,tado8 gbt . la probabll1dad d. oo .. ter grand error baJa: maa probable Ooe 80n 10 taner una .ue.tra que coincida con 10 tosa existeote en 10 EBcuela 0 que docimasia d. sea muy diferente de ella, astadis

Si las bolita. 8e han extraido una a una. reponiando la bolita al aaco deliPues de cada ensayo para mantener constante p = 0.4. es Antes de e: que esta es una distribucion binomial donde: ia de hip

n = 10 p = 0.4 q = 0.6

EN SUMA. 10 induco16n ba.ada en musatras ta expueata inevitalbl".", a error de mueatreo. No obstante . diaponemos de una teoria 'de probabil que permite a.timor eete error. 8i .e cumplen determinado8 8upuestol. ejemplo. lcual es e1 riesgo de obtener una muestra que difiera en 3QVo 0 de la verdadera tasa existente en la Escuela en el experimento que se liza? Estas muestras seran las que tengan O. 1. 7. 8. 9" 10 posit

Se Halla p,

Luego. la probabilidad de cometer este error es: la suma de las pr,obabil~l~cll;~ dades individuales de los terminos de l binomio correspondientes:

0.6 + 4.0 + 4.2 + 1.1 + 0.2 = 1O.JJ>

La aplicocion de la teoria de 1a probabilidad a 10 induccion mueatraa ea 10 que .e conoce como inferencia eatadiatica.

70

.),. ... ~ ~--.----.------- .. - . ---~----.-.----------.-.-. ~~.-.-~"". ; .,...~. :'!l';'......,.,." ... ; .. ~ .. __ . __ ~_~.~l':

., ....

,n e1 % existente en obab1e es 1a taaa vo!

INFERENCIA

,medida que .1 pore. Se define 10 inferencia estadistica como aquel10 pOite de 10 metodolo-ir, a Inedida que e1 _ gia estadistica que, a troves de un razonamiento inductivo, extiende los 38 tres es menor. Es r asultado8 obtenidos en las mues tres a su wli verso de origen. ia; es mas probable 01' Dos son ios objetivos de 10 inferencia: 10 estimacion de parametros y en 10 Escuela 0 que la docimasia de hipotesis. esta ultima mas conocida como prueba de signifi"

coo ion estadisticu. mdo 10 bolita extra!". Antes de explicar en que consisten 10 estimacion de parametros y 10 do ... te p = 0.4. es eviclen pimusia de hipotesis conviene definir algunos tenninos.

Se llama PAH.4JoI'TflO a una rnedida que describe un universa. Cuando 10 me ... dido correapondiente describe una UlUestra se 10 denomina ESTADISTICA., , , Supongamos por ejeUlplo que se Conoeell las ~staturas de todos los Indl'"

:pUl. ; inevi toblemen V iduos de un universe. Si quisieramos una wedida que describa la posicion teor-1.ode probabilid pentral de eate unive'rso calculariaruos el promedio de todas las estuturas,

linados 8upuestos. P '!Q qu~ cons tituiria e1 parametro I-ix. Si solo tuvieramos informacion _sohre 1e difiera en 3C6 0 .'las estaturas de una muestra extraida' de este universa, el promedia x cal ... ~xperimento que. s,: an . \llqda en 10 muestra serio 10 estadistica correspondiente.

8, 90 10 pO.ltlV~.:;, Si par otra parte nos interesara 10 dispersion de los valores indivi-sumo de las prohahll duales de las estaturas, calculariawos 10 desviacion standard, que para e1 :lpondientes:!' fliverso se simbolizara por ax y para 10 mueetra por tl

x El procedimlento

10 induccion tica .

~~ calculo del parametro ax difiere en este caso del de la estadistica Sx a que en esta ultima la suma de las desviaciones cuadraticas se divide por

(n ... 1) en vez de dividir por Neoma se hace en el univ~rso. Aceptando estas definiciones -la STIMACION'DE PARAMTROS consiste en el

calculo de estaqisticas pora muestras. con al fin de obtaner informacion ,obre el valor de lOB parametres del universo. Esta in4uccion se basa en 10 ,taorio de probabilidades y. s610 es posible cuando se canoce 10 'conducta 0 "distribucion muestral" de las estadisticas. . CUande en una investigacion explicativa se verifica la veracidad de 10

'hip6tesis, los procedimientos estadisticos ewpleados en 10 prueha de Sig111--ficacion ayuden a1 cientifico a tomar una decision respecto a 10 hipotesis 1anteada. .

La DOCIMASIA DE HIPOTESIS cODsiste en determiner 10 probabilidad de pcurrencia del resultado obtenido en 10 investigacion. basandose en la dis. ~ribucion wuestral de la estadistica utilizada para medir tal resultado.

istribuciones muestrales

Tanto para 10 estiwacion d~ pcJcametros Como para 10 docimaala de hip6 .. teal! &8 Jaltllciono 10 Import~nci(J de conoear las distribuciones Uluestrales4 fstas adoptlln diferentes fonnus segun las estad.isticas invtwtigadas.

f'Jra tlDhlll,deJ' 10 que es U~j

,

I ! ..

1 (

t .~

cereade sm y au de.viacien .tandard tendra un valor cereano a 20. fk En al pre, A traves de la' teorla estadlstlca se puede demostrar que 81 se extr~

todas las distintas muestras posibles de tamano n de un universo con!lx . Promedio:

lTx conocidos, los 'promedios de es tas mues tras se dis t r ibuyen normalment con

prqmedio: J1.x = J1.x lTX

Y Error Standard: lTx = --"--

en e1 presente ejemplo

Promedio: J1. X = 500 . Y Error Standard: eriC 20

~'~'\ "l- ' :' .' . " ;~ihigua11 #JillI .:I'" inues

, . I:J1i!!I~!lJ" d. Uki -# ';:i f,'; Jft~';:::.;i 'j', : ~ :. ; .

" Promedio:

t~li"'~'''; iF ;

. dj~ ~Yl! ,. . .;

Supongamos oh9ra que e n vez de tener un universo de fichas con valo~. _ '~1~f' i ~~'esente en escola de intervalos continua tuvieramos un universo con una variable.: I escala nominal, por eJ' emp10 un uni verso de boli tas en que e1 40%: de las i' , . Promedio: litas iueran azules y el 60%: grises. En este coso e1 parametro del uni r. 8. P = 0.4 10 pt9Porcion 0 taBQ de boli taa azulea. aiendo Q su complemenf . 1 - p, 10 proporeion de boli tas gr ises. ~ . .

Al aaear repetidas mu".tras de tamafio n = 20 d te univer.o (re, .~ l< L niendo lao bolita. deapu8s de cada extraccion) 1a proporeion p de bo1i~ , Qzules de las muestras s e distribuica en forma aproximadamente normal 1

Promedio: J1. p' = P Y Error Standard: IT p

en e1 preaente ejemplo:

Promedi 0 : J1. p = 0,4 Error Standard

=V~ IT P =V_O_'4 __ X_O_'_6

20 = O.

. 'ue ell la ' pra '.' t!!IJI!t4Jolll!be ' 1 -," ,

Nota: Es .aceptable describir esta distribucion cOIla normal siempre que" ./ -V< - ". , muestra tenga tamano suficiente para q'ue nP y nQ tengan valores iguale,;. _ Sx superiores a 5. t'~i " , =, _,--.

Estos dos . e~emplos de [Q~eat~t;0 de un ~niverso nOB serviran para en3tl .. , .. , .... ,/:~,.lt.11 Cf , v: :' dec e1 procedlID18nto de 8&tl110010n d. para troe. Para comprender loa d -,,' tribucionea mueatrales que .e ut'l11zan en 10 docimClala de hipoteaia ~. util considerar los siguientes casos: .';lrmal y 10 v

Supongamos que en vez de extraer cada vez una muestra de nuestro ,'.'- . verso de fic hes, s eCQlDOS pares de muestras de 25 fichas cada una y que .1 tudiamos 10 diferencia entre los promedios de_estos pares. Si 11a.amo~ a1 promedio de 1a primera muestra2el ~r y x2 a1 promedio de la . muestro. ocurre que 10 estadistica Xl - X2 Be distribuye normalmente

Promedio I~ Xi -x2 = 0 y Er ror St andard:

IT 2 IT_

'" X x

Xl -"2 + nl n2

72

" .. " .. .... ~, ... . ...... ~ ..... ~" "'~ ... -----'-------... -... ---.... -... ..

cercano a 20. En el presento ejomple: trar que 8i se extr "'. ! un universo con ~ stribuyen normalmeD

Promedio: fl - - = 0 XlX2

y Error SluClJard:

D - - 20 :5

de fichas con valo '50 con una variable

= 10 .(XX) + 10. (XX) 28 25 25

Si igual procedimie nto se siyue en e 1 univers o de holitas. e x trayendo ures de muestras de tomono n =:: 20 10 dislribnc i on de dife rencias entre

.orcenlajes de fXlres de mues tr~ s tendra una distribuc i on norma l con

Promedio:

" Jl:el pre~ente ejeQlplo:

I que el 4m de las parametro del unive . '.f

iendo Q su complemen ,-, .

Promedie: =0 y Error Standa,-d: d Pl P2

teat. universo (r. roporcion p de boli ximadamente normal

.. I

'" VO'4 x 0,6 + 20

0,4 x 0,6 = 0.16

20

Por los ejemplos expuesto~ plldielo quedar 10 impres i on que loda distri. pucion muestral es una di s t ril luc i o u UO l" mol. 5to 110 es efec tivo. As! por ,jellplo 10 estadistica up para U1u~s trus extraidas Gon re posic i on tlene dis ... t r ibucion binomial. Una d. la8 diM t ,-ibuciunes maa importcm to. en inferencia 1,4 x 0,6 = 0,1\ O~ 10 distribucion t de Student. CUQndo se desconoce el a x de l univer.so, 10

oJ ,

'que en 10 practice es 10 8i tuac ion luas corrisnte. el error standard del ~omedio debe culculurli6

I r I

la distribucion'de t para 24 grados de libertad corresponde a un t 2.064. Para n infinito 10 distribucion t es igual a 10 normal pero en practica cuando el numero de observaciones as superior a 30 los valoree z y t aon tan parecido8 que ae puede utilizar como aproximaclon la bucion normal.

comunmenl

orresponde a un t la normal pero en

If a 30 los valoree )foximaeion 10 dis

comunmente se eonoes como 10 prueba de significacion estadistica. Con_iste en plalltear dos hip"tesis: la hip"tesis de nulidad Ho Y la hi

alternativa HI" En 10 hipotesis de nulidad se plantea que las mues ... provienen del wismo univenw y por tunto conocemos 10 distribucion de

estadistica bajo este supuesto. En 10 hipOtesis alt~rnativa se plantea muestrales tiend.e'lt:e~l~a:ad~muestra8 provienen de diferentes universos. Cuando 10 diferencio

~s grande. 8a tan grande que bajo el supu&slo de l.a hipotesiii de nulidad es ... hecho e. poco probable, se rechuza 10 hipota_i. da nulidod y en camhio ncepta 1a hipetesis alternativa.

La cali f ieaci"n de poco probable ~s arbi t .-ac ia y poe cos tUDlbce se ce e1abocado a una pcobabilidad de 5% 0 de 1%. Esto es 10 que se llama el Divel de

I practice u." ,qn.loficacion. Si para una diferencia entre dos grupos se encuentra que eSa universo dE,s"oinoc~t4 a mas de 2 errores standard de 0 sabew.os que eato ocurre 0 10 mas en al

leat En otros de los cas os en que se extraen muestros de Wl miSlno universo. Como esto part. ... de las as consideramos improbable rachazawos asta procedencia comun y oceptamos

realmente provienen de universos diferentes. P,or eate motivo en las pu-:lios muestrales que 1I ",u".,ull~~ cientificas aparece con frecuencia 10 anotaciOD al lade de una co f1x del universo, Her.neia: nDiCerencia eetadisticamente signiflcativa, p < 0,05" a bien )blenec como pc < 0,01" 10 que se ref ieee 01 pccceDtaje de 5% 0 1% habitual paca el ni-tea. 1a es tOOis t qe signif icacion.

a "estimacion pun 0' E1 mismo 10 estadistica p. nformacion incompl, distribucion muest mue~trales, per ej

~~ de lo~ promed lejari mas de 2 er se puede decir qu~

lvereo. su

standard del ),95 de inc1uir

),95

l 100 prediccioDes adero valor del

llama "estimacion 95%, de 99%, etc. imocion.

Ite a 10 Vim as que paca 1 de las diferEIDc1o. oven~ente8 de un ) los conocimiento8 tas nistribuciones las 1II~ tl'a.

ilidades a z. E1 conoc,mien t ~"

)cimar hipotelia 10

75

!: '. n

j.

-... .... -------.------.-----------r------

ESTIMACION DE LA TASA DEL UNIVERSO (P) BASADA EN LA TASA MUESTRAL (p)

[I problema

Con el propos ito de evaluar un programa de ateneion materno-infantil se deBea eonocer la tasa de mortalidad neonatal de la poblaeion sometida a .It. programa. Para el10 se tomb una mu tra d. ~ nacldo8 vivos d ta poblac16n y 8e regl$tro el N2 de defunciones ocurridas antes de los 29 dias de vida. Estas fueron 16 10 que da una tasa de mortalidad neonatal de 2QP~ Aunque este valor no as necesariamente igual a 10 tasa de mortalidad neona~ tal de la poblaeion. 55 10 podemoB utilizar como una e5timaeion d~ ella.

Eslimacion punlual

La distribuclon de las tasas (p) de muestras aleatoriaa extraidas de un universo donde 1a taaa ea P. &8 apro,ximadamente una curva normal con:

promedio

error standard =

p

a p

Podemos decir, pues, que 10 tasa observada. 20%0, e8 una estimaci on de 10 desconocicla tosa de mortalidad neonatal de 10 poblacion sometida a este programa materno-infantil. .

Estimac.i6n por int~rvalo

Considerando la freeuente disparidad entre la tasa muestro1 y 1a del universo. parece mejor establecer un intervalo, para estimar 10 lasa de 10 pob1aci6n.

De acuerdo al teorema referido. repetidas muestras de tamano n = 800. obtenidas aleatoriomente de u"n universo en e1 cual 10 tasa de mortalidad neonatal es P. se distribuyen aproximadamente de acuerdo a una curva nor ... lRal. con promedio y error standard yo indicadoso Debereruos esperar que e1 95% de las muestras, aproximadamente tengon tosas (p) comprendidas entre los limites:

(P

2.5%

1. 96 0- ) P

y (P + 1. 96 a ) p

95% de lasa de mues-

lras comprendidas eS!os I imi les.

p

2.5 ~

/ P + 1.96 up

La tasa d e Dlortaj1dod neonatal dioll por 1000 naci dos vivos:

el NP de def~nciones de menOTes de 28

76

Ln L:O H~eCUe l.l:1l [tlera de es

Estos limit pacte de la ta, pueden eatablec

(p 1. 96

Pues to que mas de 1.96"0 e universo (Pl" er Por ella se ha proxima pagina)

En 5 de cad mas de 1.98 0 f entre sus limPt

1m % - 95

p

IL (p)

Ifanti! se ometida a 'B de esta IS 28 diaB 11 de 20%. lad necna ... ella.

das de un 'on:

wcion de :10 a este

y la del Jsa de la

n " 800. ,rtalidad (rVa 11or-iC que el as entre

!S de 28

Lt; (.:dl\$eCuencia, solo 5'; df.! las rnue!'Jtras corresponder6n a tasas que es-tU11 fuera de estes limites.

Estos limitee no son determinables, puesto que P 9S desconocido. S1 Be pOi'te de 10 tasa de 10 muestra, que si es conocide .(en eete caso = 2CtYoo), pueden establecerse los limites.:

(p y (p +

Puesto que 10 tasa de 10 muestra no diferira de 10 tasa del Universo en mas de 1.9600 en 95% de Ius muestros, estes limites incluiran 10 tasa del universo (P)' en 95 de cada 100 intervalos que construyamos de este modo. Por ella se habla de INTERVALDS DE 95% DE CONfIANZA. (Ver esquema de 10 proxima pagina).

En 5 de cada 100 veces, 10 tasa de 10 muestra diferira del universo en mas de 1.96~(lp' y los .intervalo~ que constrllyamos con este'p no incluiran entre sus 11m tes Itt toso del un1verso. Este error acontecera en:

100 % .. 95 ~~ 5%

95\

p p 85 , d. I"

intervalos de p confianza in 8

clui ran la t~ sa del univel so.

I I

I ! d. I" p .I i ntervalos de confianza no

incluyen P.

p'

77

,

!l

II

: I

."

i' , ,.

Para c~lcular eAtoe lrll il eR d~ confian~d neC88itamo8 determinar el error standard.

up = IjPnQ

Se ve que este valor no es determinable porque requiere el valor de p. que es precisomente 10 taso de"conocida del universo. Nos vemos obligados a estimarlo basados en 10 muestra y designaremoB e1 efror standard estimado por fl p .

V;O" 980 = 800 VI9 Goo = 800 24.5 = 4.95 5 El intervalo d. oonflan"o de 95% queda determlnado en t. eJemplo por

los siguientes limites:

p + 1. 96 s = 20 + 1.96(5) = 29.8 %, ~ 30 %0 p

p - 1. 96 s = 20 - 1.96(5) '" p .

10,2 %" !. 10 %,

EN SUMA. basados en una exper iencia de 800 recJ.en naci~oB_' podemos de-cir con una c onfianza del 95%., que 10 tosa d~ mortalidad neonatal en 1"0 po-blacion oeneficiaria de este programa este comprendida entre lO.2Y~y 29,B%o

Seguridad y precision de la eslimacion

Hay dos elementos de interes practico en la eBtimacion de 10 toea del universo. La SGURIDAD 0 CONrrANZA es 10 probabilidad de que sett correcto un intervalo de conficrnza calculado con el metodo indicado, esto es, que r~almente inciuya -entre sus limites a 10 tosa del universo; En este ejem. plo. 10 seguridad es de 95%. La confianza del intervalo esta determinada por el valor z que hayamos elegido. que en este caso ha sido 1.96.

Por otro parte. con esto confianzo qe 95% afirmamos que la taaa de 10 muestra no debe diferir de 10 toso del universo en maS de 1.96. En este ejemplo. en mas de 1.96 (5) '" 9.8%,. Este valor mide la PRECISIO" de 10 estimacion. Diriamos que una eatimaaion de 10 v.rdadera ta.a d. morta-lided n.onato1 d. 10 pohlac16n .o~etlda a programa'serla ma. precisa sr. por ejempl o. pudieramos afirmar que 10 taso de 10 muestra no difiere de la tasa del uni verso en mas de 5% .

La conFianza del intervalo puede aumentarse utilizando mayores valores para z. Por ejemplo, para lim~te9 de conFianza de 99%,

z = + 2.58 z '" - 2.58

puesto que dentro de estos limites se encuentran aproximadame:n,te el 99% de las muestras. El intervalo es ahora:

p + 2.58

2.58 p

s '" 20 + 2.58(5) p = 32,9 %0 s '" 20 - 2.58(5) '" P

7.1 r~

78

.!. 33%0

7 %0

Hernos qanadc que ahora:

en tan to que en

zs '" 1. : p

El modo de g' tar el tamano de tasas varla inve: gamos que 10 expE

Se ve que au. eate error stand( raiz cuadrado.

Los limites d

95 %

99 %

EN IIESUJrE". 1, 8on:

Confianza

95 %

Determinacion del

De todo es to t decidir sobre el objetlvos que se h intervalo de conf j masludo ampllo par clones. Podria pI taria. lCU61 serra

Supongamos que mac ion de la verda - Segur idad : i n te - Precision: que

en m

.... --~-~-- --.... -.. -. -~--.-- - -~--.-~~.~----~-----.... -----....

I

.. ---.. - ... ---.... - .... _____ """. "'~."'.'t#.", ..... .",,..-,:u,, .. ,.

t erminer e1

valor de p. lS obligados Ird es tlmado

1.95 - 5

ejemplo por

podemos de-II en fa po-.2%.y 29.8%.

la taea del eo cor recto sto es, que

este ejem ... deter . ,ada 16.

tasa de la 3. En este ~ECISION de a de morta_ )recisa sr, fiere de la

res valores

el 99% de

Hemos ganado aSI seguridad. pero a costa de sacrificar precision. por. que ahora:

zs = 2.58(5) = 12.9 p en tanto que en los Ifmites de confianza de 95% era:

zs = 1.96(5) = 9.8 P

El modo de ganar precision sin perder seguridad (y viceversa) es aumen-tar el tamano de la muestra. puesto que la magnitud del error standard de tasas varia inversamente a~ dondeo es e1 tamono de 10 muestra. Supan-games que 10 experiencia se hubiera hecho con 3.200 nines:

20 x 980

3.200 = V12.6OO =\ I6.l =

3.200 V 2.47 :!: 2.5

Se ve que aumentar la muestra en 4 veces " (3.200/800) ha hecho reduelr este error standard a la mitad (5/2.5) debido a que n se encuentra bajo la rai.z cuadrado.

Los limites de confianza son ahora:

son:

(20 + 1.96(2.5) ,; 25 95 % .

(20 - 1.96 (2.5) 15

(20 + 2.58(2.5) .. 26.45 ; 26 99 %

(20 2.58(2.5) = 13.55 ~ 14

EN ltESUJrEN, los ~n tervalo de conf ianza para las si tuaciones es tudiadas

Confianza

95 %

99 %

n = am 10 - 30

7 - 33

n = 3.200 15 - 25

14 - 26

Determinacion del tamano necesario de 13 muestra

De todo esto resulta que es conveniente. al iniciar una investigacion. decidir sobre e1 tomano que deberfa tener la muestra para satisfacer los ohjetivos que se han determinado. Por ejemplo. podria considerarse que e1 intervalo de confianza que se ha calculado basado en BOO ninos. parece de-maslado ampllo para reBolver sobre la exten.16n del programa Q otrdft pobla-olon... Podria planearse entonce. hacer una segunda experiencia complemen-taria. LCUal seria el numero de observaciones que deberiamos realizar?

Supongamos que se especifican las siguientes condiciones para 10 esti macion de la verdadera tasa de mortalidad neonatal: _ Seguridad: intervalo de confianza de 95% - Precision". que la tasa de la m t d'f' d 1 t d 1 ues ra no ~ ~era e a asa e universe

en mas de 4%QI

79

I , i' '.

:' i.'

El requisito de seguridad 0 confianza se cumple utilizando un valor d. z tal que el 95% de las muestros esten incluidas entre (P - z U ) y (P + z up)' f~ este coso: p

z= 1.96=2

El requisite de precision se sati.fac~ haclende

p-P=4 %.

Es necesario ademas tener alguna idea sobre el posible valor dp. 1u U1S0 de mortalidad neonatal que se trata de estimar

lD valor de ,l y

de 10 Lusa in 10 expe .. acion de P.

requisi tos

LA PRUEBA DE SIGNIFICACION ESTADISTICA DE UIFERENCIAS ENTRE TASAS EL METODO GENERAL SEGUIOO EN LA PRUEBA

Problema

En e1 proceso de investigar 1a veracidad de llna hipOtesis, con frecuen .. cia se trata de comprobar s1 existen 0 no diferencias en alguna 0 algunas caracteristicas de dos 0 mas grupos. Estos grupos son habitualmente mues-tras de universes en estudio. Cuando 10 investigocion comprueba diferen ... cias. e1 problema que resta es pronunciarse, per iqduccion. sobre 10 reali ... dad de tales diferencias en los universos de origen. puesto que e1 error de mU8streo puede producir dlferencios fl)ueatralee que no Gorreaponden a dire .. renolas realea en 1aa poblaclones e unlversos orlginales. Este es el pro. blema que resuelve 10 PRUEBA DE SIGNTrICACION ESTADIS1'ICA. usando de la teoria de la probabilidad.

Requisito previo a 10 prueba de significacion es 10 similitud de los grupos que se comparan.

Si los grupos difieren ademas del factor que es motivo de investiga-cion, en otros atributos, es evidente que no podemos establecer cual de ellos es responsable de la diferencia observada.

En general aceptamos 10 similit.ud de los grupos 8i los "tratamientos" han sido adjudicodos aleatoriamente a las unirlades de observacion y si son semejantes en ambos grupos las definiciones. metodos de medicion, condicio-nes de observocion. etc. Estos requisitos son mas fociles de cumplir cuon-do se trata de- un experimentol esto eSt cuando e1 .investigodor ha provoco-do las observaciories.

Existen muchas si tuaciones practicas en que no es posible 10 asignacien aleatorio de los tratamientos a las unidades de observacion. Solo es fae-tible entonces buscar un grupo de control tan parecido al grupo "tratado" como Beo poaible. En tal caso, Be requlere Investlgar 10 similitud de los grupes en los atributos reglstrables y que sean at1ngentes 01 fenemeno en estudio. Por ejemplo, 81 se deseo evaluar 10 acelen de un programo sanita-ria. padria utilizaree una poblaci6n testlgo en 10 que no se desarrol1e tal programa y que tenga similores caracteiisticas demograficas, sanitarian. sociales. economicas. etc. 0 bien utilizar la misma comunidad. comparando con el perfodo anterior al programa. siempre que todo indique que los res-tantes footores q\le influyen en el nivel de salud no hayan tenido varia-cion.

Aun osl. es posible que se encuentre que los grupos no son enterarnente iguoles. Por ejemplo. supongamos que se investiga 10 aecion de una nueva drogo A en 10 tosa de eurocian de una determinada enfermedod par compara-cion con un grupe de control que recihe 10 droga convencional B. Suponga-mos que se observa una mayor toea de eurocian con A que can B.

8i sucediero ooemas que los cases tratados con A fueran menos graves que los del grupo de control, no podriomos precisar si 10 diferencia se de ... be (1 10 mayor ClCcion del tratcrmiento A 0 01 caracter mas benigno de lOB tratados con elf En este caso e1 factor que perturba e1 experlmento opera en e1 rnismo sentido que el efecto que se intenta detector.

Por e1 contrario, si los casos tratados con A fueran mas graves y aun aSI el grupo tuviera una tosa de curacion maS alta que el control, lcr prue-ba de significaci6n. si se cumplen las condiciones que se establecen mas

"Convencionalmente se habla de '"Tratamie,tlto" para referirse q .los (actores cura aecl&n S8 In~8stlga per comparac16n de grupos.

81

\ 'I i

(" i, " '; ;1

!.

t' "

1.:.1.,~."';! \.;\

,s posible Iversa 01 perimento

08 grupos stablec .. r ue se co-'parar las

lOS de una I es-tudio: en 10 si-

letro) ell_ , :m es con-

>. Por 10 :mcias en-

.crobianos la tasa de

a A. a B.

bas cepas. as dos ce-

nta que 10 que la vi-

siguiente. Es posible ,al 0 mayor

\ , '.

magnitud que 10 observoda. puesto que se conoee 10 distribucion teorica de muestras aleatorias obtenidos en las condiciones que establece la hip6te-sis, Si la probabilidad es muy baja, rechazamOB 10 hipotesis de nulidad. Si la probabilidod es mayor no rechazamo8 10 hipotesis de nulidad y 10 dis-yuntiva queda sin resolver.

2) Hivel de signi ficacion De acuerdo oeste razonamiento la decision que se tomo no es de certezo

sino de probabi.lidad; en consecuencia. esta sometida a error. Aechozare mos 1.a hip6tesis de nutided si 10 pr,ueba da un valor cuya pro-

ba bilidud asociado de ocurrencia bajo H es igual 0 mellor que alguna peque-no probahilidad simbolizada por u. que llamaremos nivel de significacion. El hecho de que e1 volor sea poco probable, no quiere decir imposibilidad de que ocurra par azar, luego, corremos un riesgo conocido de rechazar H siendo esta verdadera. Este es e1 e rror t ipo I. que designamos como n. a

El nivel de significacion es fijado par e 1 investigador. considerando entre otras factores. los consecue'ncias del e rror. Habitualmente se fija un nive l de 5% ( a _ 0,05) 0 de 1% (ll._ 0.01). En todo coso, el criterio para' rechazar la hip6teaiB nu1a debe establecerse previamente a1 examen de los datos y no subordinaTse a los hal1azgos de .La investigacion.

Podria pensarae que e1 procedimlento mae segura es reduclr a un minima 8ste error, pero este requisito signiflcaria aumentar 10 probabilidad de cometer un segundo tipo de error. designado ~, que es e1 error de no recha-zar una hip6tesis nula siendo esto falsa. El esquema de las situaciones posibles es el siguiente:

Decision Realidad de hip6tesis de nulidad

Verdadera FalBO

No rechazar Ho Decision correct a Error f3

Rechazar Ho Error a ~cisi6n correcta

J) Determinaci6n de la regi6n de rechazo de ~ hip6tesis nula La region de rechazo con_iate en un eonjunto de valoree poalbl tan

extremos que, cuando Ho ' es verdadera, es muy pequena la probabilidad (~) de que la muestra observada produzca un valor que este entre el10s.

La localizacion de la region de rechazo es afectada por 10 naturalezQ de H

l Si HI indica la direccion predicha de 10 diferencio. (HI: PA> PB)

entonces se requiere una prueba unilctteral. si no indica 10 direccion de 10 diferencia. (Hi: P A t Ps) entonces se requiere una prueba bilateral. Ej emplo:

l0/2

Ho : PA = PH

Hi : PA " P B

-l (J/ 2

Ho: P" = PH HI : P

A > PB

E1 area sombreada muestra 1a region de rechazo de Ho' Th ambos casos.

83

. ~

'I , ", 11 ~ :

1"1 . ~.: ' II '.'" ;f 'i~' J" .

I'; . ,;1::. , , , ,

, . ... . ,

i

La determinacion de 10 zona de "recha~o" de 10 hlpot h nula a. baaa en 1e dlotrlbuoion t.6rloa d. 10 dlf.ronaia entre mueotra ia auai d.pend. d. lae condiciones del experimento. E. diferente. por eJempio. Ii 101 di. fereneia on entre proporeionel. promediol. eoefieientea de regreli6n. etc ai las muestras son dependiente. 0 independientea: .1 Ie comparan dOl o ma. grupos: .i 10 de.viaeion standard del universo eS conocida 0 descono. cida, etc.

4. Interpretacion de los resultados de la prueba Oiferencias estadfsticamente significativas:

Interpretacion correcta

5i la hipotesis nula fuera verdadera. es improbable. de aeuerdo al ni-vel de significacion establecido t que se hubiera obtenido una diferencia igucrl 0 mayor que 10 diferencia obR~rvado. Por 10 tanto, aceptamos que 'se origina en el efeeto de un factor difereneial entre los grupo

Interpretaclones Incorrectas

a) "Es imposible que diferen~ias de esto magnitud se produzcan por error de muestreo.

b) La significacion estadistica prueba que el factor en estudio ha causado la diferencia registrada:

01 ferencias estadfsticamente no signi ficativas:

Interpretacion correcta

De acuerdo al nivel de s'ignificacion que se ha preestableeido, no hay suficiente evideneia para reehazar la posibilidad de que 10 diferencia ob. servada se debo a error de muestreo. es decir. 10 posibilidad de que no exista realmente en los universos en estudio.

Interpretaciones incorrectas

a) El experimento prueba que e1 factor en estudio no tiene ereeto diferen-cial en los grupos. A continuacion veremos algunos pruebos de significacion estadistica.

Prueha de significacion estadlstica de diferencias entre la tesa del uni-~erso (P) y la tasa de una muestra (p)

EI problema

La tasa de 1etaiidad de 11] Hebre tif:>idea antes del usa de 10 clorcnli .. ceti na era de HJ!b (P.,). segun 10 muestra una larga experiencia hospitala-ria. Los primE'ros 1& casos tratados con este antibi6tico revelan una Ie. talidad de 2% (Pt) ,Puede aceptarse la dlferencia lOY. - 2% = 8% como una evidencia del mejor .efecto del nuevo tratamiento?

An~I Isis previo de los datos 'disponlbles

Deberiamos estor ciertos que e1 grupo tratado can cldromicetina no di-f i ere de 10 'experiencia hespitalaria anterior en ningun factor atingente a 10 letolidad. excepto en at heche de no haber recibido e1 antibiotico. Po .. drlan ser factores de no eomparabilidad. entre otros, la menor gravedad de

84

108 cas os t.n 1a virulenclo

La simiJi vidido en gru lldad. Por, los ca~os P!JE las tasas de cad a grupo.

Si los fa do~. r-d. exper .t a df'! h abo, r' I" que sera odmi to a 10 mi tad

SnUsfed], Fp.duc(' .La 1(' t r.ond.ir.ir)nn~ ~

cion a portir expuest.a 0] e A~T ClIIP linn 11' posihle .imrJqi l sualmel1te. "I'" Clar if i.cor e" I ha de signific

La prueba de ~ I. Form,,1

Hipotesis de n

La taAD d l 10J;;. iguol qlli' It] c lOTom ice lj

En simbolc

H P ,-o' t

Esto es p-error de muest

Hipotesis aile

La tOS(1 df. menor que 1.0 t-

En s.i.mbolo: Hl : PI: <

Es to es erp vas di f ere'lc io:

2. N I ve I I Podemos elf

re deci r que f: decl r. recllaz( aceptor que .10 realmente no 1<

Si somos ' m 1%, par e j empl

1a bala a1 depende ai la8 di-oeqredon. mparan d08 o descono-

rdo al ni-liferencia nos C" " ' se

r error de

1Q causado

10. no hay ~encia ob-de que no

:> diferen ..

lstic'-...

I del uni-

lciororo i-lospitala-tn una 1" .. ; como una

ina no di-:inqente a tieo. Po-:avedad de

I

:'

los casos tratados: diferencias entre criterios diognosticos 0 cmnbios en 10 virulenc i a del germen.

La similitud de los grupos podria ser establ~cid(] si e 1 JlHll f' rial es di~ vidido en grupos segun e1 factor ajeno 01 tratamienlo que Ctf l1{'L'1 (I Ja leta .. lided. Por ejemplo, si s e trata de 10 gravedad inlciill de lu I.":, nfermedad, los casos pueden ser c lnsificados en leves. de medinnn grl'Jvednd y graves: las tasas de letolidod para trat.adoa y con troles podr.ltJll flar comparadoll en cado qr.upo.

Si los fac toTes que hacen clisimi les a los grupos no pueden ser detecta-dos. el expe r.imen to no pue de 11egar a una cone I usian uti 1. Sa ve 10 Yen to .. j a de haber 10 d iseiiCldo me j or : par e j emp.la. de f inienda un grupo de en fermos que sera adln it ida en 10 expe r iencia y as ignondo oleo tor iamen te e1 t ratamien .. to a 10 tnilad de elIas para dejar 1" otra mitod como grupo testigo.

Satisfechas estas condiciones, ~'podriamos asegurar que 10 c 1oromicetino reduce 10 letolirlad 0 Z'-6 en cuolqujer CQSO de {jehre tif oid(-~a trntaclo en condiciones similares? La i de a de "cualquier casq" implieD una generalize ... cion a partir de una muelStra de 100 COBOII. Sabemoa que toda mU9atra @lItd expuesta a1 error de muestreo . aunque sea uno muestra alea toria. Podrio ser que una nueva experiencia mostrora una letalidad de 4% 0 de 1%. Aun es posible imaginar que el antibi6tico no fuera realmente efectivo y que, co ... sualmente, hemos obtenido una muestra con una tasa excepcionalmente. bajo. Clarif icar es ta duda. en terminos de probabliidad. es e1 objeto de 10 prue-ba de signiflcacion estad is tica. .

La prueba de significacion esladfsllca

1. formulacion de hipolesis

Hipolesi s de nul idad:

La tasa de letolidod de tifoideos tratadas con clorornicetino (Pt

) es laC;. iguo1 que 10 tasa de letalidad de 10 fiebre tifoidea antAs del lISC de 10 clor om i~etino (Pc)'

.En ,elmboloB:

Esto es equivolente a decir que 10 diferenclo abservada se debe 01 error de muestrea.

Hipolesis aiternat'iva

La toso de l e talidod de tifoideas tratados c-on c loromice tino (Pt ) es menor que In to sa de letlllidod de l os no tratados (Pc )'

En s;rnbolos: Hl : Pt < Pc 0 bien HI: Pt - Pc < 0

E:;t:o os equivalente a decir que 10 dif e rencia observada traduce efecti-vas di ferEmcias en las poblaciones ol"iginales.

2. Hivel de significacion Pade mos eleqir un nivel de signifieac ion de 5% (l = 0.05). Esto quie-

re decir que fijalilos en 5% e 1 riesgo de comete r el primer t i po de error, es deeir, rechazar 10 hipotesis nul a siendo esto verdadera, en este coso, aceptor que 10 cloromicetincr es mejor tratamiento que e1 antiguo. cuando realmente no 10 es.

Si somos mas exigentes y trabajamos con un nivel de significacion de 1%, . por ejemplo, habremos reducido el primer tipo de error pero aumentado

85

I ' ' ; I.

;. j (,

i

el legundo Upo de error, que conlilte en declarar qua a1 nuevo tratamlento no eR efectivo, "cuando en la realldad eR meJor que e1 antiguo.

3. Determlneclon de Ie zone de rechno de HQ Aoeptamo. por un momento que Ho (Pt = Pc = l~) e. verdadera. En tal

caso podemos tomar 10& 100 tratados con cloromicetlna como una mu tra d, un universo con tasa de letalidad para 10 fiebre tifoidea de 10V0.

Teorema

La distribucion de porcentajes (tasas) de muestras de tamafio n. extrai. das de un universo con una tasa igual a P, es aproximadamente una normal con!

promedio -= taMa d"l universe == P

error standard = ap= \/ ~ donde Q = 1 P

En este ejemplo. de acuerdo con 10 hipotesis de nulidad:

P = tosa de 1etalidad de tifoideas, tratados o no con cloromicetina = 1m: (0.10)

Q = tosa de sobrevivencia de estes enfermos = SCF

tratatlll.nto

'a, En tal mueotra de

n. extraf .. una normal

.tina = 1~

normal, e. contrar que a1 magnitud no menor en

de 10 dis-

~1.1it I de ~nlf lcoc16n a,

I

, ,

Por 10 tanto redwzaremos It sj el 7. que c alc HlamoA CJ partir de hues. tre e datos es menor 0 i gual que _1.6 5 .

4. Resolviendo sobre la diferencia observada. Solo resta ahora establecer si 10 diferenc ia observada cae en 10 zona

de rechazo de H calc ulando el c orrespontiie nte z: o

z ~ p-p

cr p

2 - 10

3

= -8 ~ - 2.6

3

El zobs es menor 4 ttP. ... 1,65 .por 10 tanto, de cicuerdo obj e tivos p[ eestahlec idos . rechazamos 10 hipcSte sis nula .

Sobre la conclusl6n alcanzada

C~" los criterios (P

t ~ P = l~).

, C

Esta conc lusion. Qunque obtenida por una bue~a me t odologia. tiene va-rias limitaciones que deben tene rse s iempre pr e sentee

Desde 111ego, 01 oceptor lin real efecto de 10 cloromicetino en 10 tHoi-deo y rechazar 10 hip6tesis que 10 diferencla observada s ea casual. corre .. mas un rie sgo calculado de error. Basados solo en una experiencia de 100. A8 posible. aunque sen poco probable. que 10 dlfel'encia fuera simple error

de muestreo . La inducc ion basada en 10 muestra no liene caracter de certi-dumbre y es s o lo tm in i cio de probabilidmi. La repetlclon de exper l enclos similares, que coinc idon ~n similar c onclusio n. afia'1zaron coda vez mas es-t e juicio: e s to e~ 10 que ha sucedido en 10 practica con 10 clarom icetino de tal modo que no panemas ahara en duda 10 e fi caciade este tratamiento en 10 tifoideo .

La prueba de significacion t rabaja can e l supuesto impl.icito que ambos grupos s on en teramen t e i guales. 5i e 1 grupo tes t ~go no c umple rozonable-mente las condiciones de similaridad con el grup9 tratodo. esta teoria no tiene aplicacion. Por eso e1 di.ena del experimento y e1 estudio de loe terminos de c omparacion son asuntos previos a la prueha de significaci6n.

'De igual modo, 108 e rrores de observacion,definiciones deticientes, rna .... las medieiones. criterios no uniformes. sesgo de los observadores. etc. pueden 11e vclr a una conc lusion e rronea, qu e 10 teor.ia de 10 prueba de sig .. nificacion no pu~de evitar.

N6tese.por otra pa rte, que se juzga en este ejemplo e1 efecto de 10 droga en terminos' de reduce ion Je 10 letalidad. Pudiera se r que una droga no modificatcr est a toso. PbCO sin embargo fuero efectiva en otros aspectos (reduccion de l tiempo de enfermedad. menor frecuencia de secuelos. ,etc.). El juicio sobre,la dr~ga. en consecuencia. depende del indicador usado.

Prueba d'eo sigllificacion estadisti ca rle dilerencia 'entre ta sas de dos mues-t r as.

Problema

En un coosultori o se deseohn estudiar e l impacto que tiene e1 trabajo de terreno en e 1 es tado nutri.tivo de l iac t an t e. Con tal objetivo . en los aeetares tln que no hay programa de terreno, se tomb un a muestra de laetan .. tes, a los cnales se califico su eslado nutritivo, 10 mi sma se hizo en sec-tores en q~le las auxiliares de enferrneria hacen visitas pe riodicas 01 darnl .. ci1io de los 10ctantes .

Los r e sultados fueron los siglJientes:

81

oj

I

i II

\I (' (! ., ~ j

I .l \ >' .'

~

:-",:,

Sectores

Con programa

Sin .programa

Tot 0 i

E.tado nutritivo de lactante. en .ectore. con y sin programa de terreno

Estado Nutritivo

Eutr6fico. De.nutrido.

N % N %

120 80.0 30 20.0

126 70.0 54 30.0

246 74.5 84 25.5

Total

N %

150 100.0

180 100.0

330 iOO.O

;,Es realmente mayor 10 tasa de desnutricion en los sectores sin progra-ma?

Anal isis previo de los datos disponibles

Antes de prooeder a lopruebo d. oiQnificooicn tad tioo d.bt.ra existir una razonable aeguridacl de que los sectores con y sin programa no difieren en otros aspectos que pueden influir en e1 estado nutritivo del lactonte. El hecho de existir tales dlferencias podria impedir .oear con-c lusiones respecto 01 fact or trabajo de terreno que es e1 que n08 in,teresa en es teo caso.

La prueba de signi licacion estadislica

I. Formulacion de hipotesis

Hlpotesis de nulidad

La tdsa de desnutricion en el universe de lactantes sin programa: PI' es igual a 10 del universo de lactantes con programa: P .

Esto equivale a decir que 10 diferencia observad~se debe a1 error de muestreo.

En simbolos:

Ho : PI '= P2

Hlpotesis alternatlva

o bien:

In tasa de desnutricion real de los loctantes sin programa es mayor que 10 de los lactantes con programa.

Esto equivale a decir que 10 diferencia observada traduce diferencias recles entre las poblaciones oriqinales.

En simbolos:

HI : PI > P2 o bien

2. Hlvel de signilicacion Podemos elegir un nivel de significacion de 5%. esto equivale a decir

que estamos aceptando un riesgo de un 5%. de rechazar 10 hipotesis nula slendo esta verdadera.

88

, ,

-----,--

3. Deter Suponien

PI = P2 = P

Teorerna

Al extral renclas entt'l Como una non

promedio

error st l

En eete ejem}

n = numero 1

O2

= numero

p = tasa d. CanUel. co1're8f

De eata m

DefioidoB tobia de area en tre taaDa mt bilidad de obi cion Hjndo). derecho de 10 En 10 tabla c (Zcrit) es igt

tal

% "

100.0

100.0

IcY' 'J

8in progra-

'co dehiera rograma no ritivo del BaCor con-s in,teresa

)groma ~ PI'

al error de

8 mayor que

Hferencias

Ie a dee!r ;tesis nula

..

_ .1 . "';"

3. Delerminaciin de la zona de rechazo de la hip61esis nula Suponiendo que la hipotesis nula fuera verdadera tendriamos que,

PI = P2 = P. Teorema

Al extraer pares de muestras de un universe con porcentaje P. las dife-reneias entre los porcentaje8 de las mueBtras Se di.tr~en aproximadamente como una normal can :

promedio = 0 error standard =

En eete ejemp1o:

n 1

n2

p

=

=

=

numero de lactantes en la muestra del sector sin programa = 150

numero de 1actantes en 1a muestro del sector con proqroma = 180

taea d. deanutricion en el universe de lactantes con 0 sin programa. Cantidad desconocida y que habria que estimar. La mejor estimacion corresponde a 10 tasa de desnutricion del total de ninDs estudiados.

x 100 = 25.5 %

De esta manera a PI-P2 queda estimado por:

= +

= 25.5 74.5 + 25.5 74.5 = 4.8 ISO 180

Definidos el promedio y la desviacion standard. es posible utilizar la tabla de area de la euna normal. Se trata de encontrar que diferenc ias entre tasas muestrales. mayo res que 0 tienen una magnitud tal que 1a proba-bi1idad de obtenerlas por simple azar sea menor que 5% (nivel de signifiea-cion fiJado). Se requiere determinar por 10 tanto un area en 81 extremo darecho de 10 distribucion que equivale al 5% del area total bajo 1a curva. En 1a tabla correspondiente se observa que el area a la derecha de 1.65 (Z "t) es igual a 5%. en

89

,

I

\ , . , " 1

'. i \ 1

I.'.i' I 1~

"

',',1:;;,.1 1:; 'I' '-1 iI,' )'

I

Zona de Rechazo

"0

1,65 Z

Por 10 tanto para todo z '(observado) ~ 1.65 rechazaremoo Ho'

4. Resolviendo sobre I a di lerencia observada Necesitamos saber si 10 diferencia observada cae en 10 zona de rechazo,

,por 10 tanto, es nece.ario calcular el z (observado).

= 10

4.8 = 2,29

El Z b > Z it par 10 tanto se rechaza 1,0 hipoteds nula. La tdsa de desnufrfcion e;rmaYor en lao sectores oin programa.

90

Las prueba miten tornar de 10 menos una, menudo nos en mas de dos tas Ejemplo. : 1. Comparar I

Sant 1090 . 2. Comparar e 3. E~tudiar,.

troles dp. 4. Estudiar s

fumat. 5, Estudiar s

Problemas nificacion est U 80 de 1a "db Pi.alamo. a ac

Distribution

A. Caract , 1. Es una 2. S610 t

las x I 3. Est" c

lib .. rt 4. El 6r .. En ia figu l

nos val ore. de

8. Api i eae Entre las 0

de 10 ."lud, po B.lo Prueb B.Z. Prueb

P r u eba de Asoc i

Esta prueba nados anterior

(., Esttr pruebc

br. de "t ob J

, . de rechazo.

ala. La tdsa

I

PRUEBA "X,2 (J I CUADRADO)

Las pruebas de significacion estadistica presentadas anteriormente per-miten tamar decisiones sobre diferencias entre "dos" tosas, de las euoles a 10 menos una, es una tasa muestral, sin embargo en el campo de 10 salud. a menudo nos enfrentdmos con problemas en los cuales es necesario comparar mas de dos tasas. Ejemplos: 1. Comparar porcentajes de desnutridos de las distlntas comunas del Gran

Santiago. 2. Comparar efectiviclad de varies tratamientos para una misma enfermedad. 1. Estudiar 8i 10 mortalidad neonatal es independiente del numere de con-

troles de la madre durante el embarazo. 4. Estudiar si hay asociacion entre muerte par, cancer pulmonar y habito de

fumat. 5. Estudiar si hay asociacion entre tipo de ulceras y ubicacion de elIas.

Problemas de estQ naturalezQ son resueltos mediante una prueba de sig-nificacion estadistica denominada "Prueba Ji-cuadrado" y en 10 eual Be hace U80 de la "distribucion Ji-cuadrado". cuyas caracteristicas principales. senalanoB a con tinuacion:

Oistribucion 'X,2

A. Caracterlsticas 1. Es una distribueion asimetrlca 2. Solo toma valores poaiilvos y es asintotiea con respecto al eje de

las x posi ti vas (0 < ~ < ro ) 3. EstCi: caracterizada por un unieD param~tro ;'n" llamado "grados de

libertad" 4. El orea comprendida entre 10 curva y el eje de leis x eB 1 " lCXlY.. En la figura adjunta. aparecen grafico8 de esta distribuciori para algu-

nos valoree de "n".

K! dl muutru

n =

B. Api icaciones Entre las aplicaciones mas frecuentes de esta distribucion. en el ' orea

de la salud. podemos senalar: B.l. Prueha de aoociacion B.Z. Prueba de "bondad de ajuste"

Prueha de ASDciacion

Esta prueba, como se nados anteriormente"

puede visualizer 0 troves de los ejemplos menclo. permite 01 el1nleo 0 Investigador determinar s1

(., e.ta pru.ha t ta.hif" Gpar.~. en 1a 1Jt.ratora tadlstJ~a con .1 no.~

br. 4. tobJ~. d. eontJagencJo-.

91

::

, ' ;

'1 .

i, I ,

j':'; .

Ii' :

" ~"", t ; , il\' , ;y, ~ ~;,i : .: ~ :

exlste a.oelaeion entre dos variables con eseala de medieion nominal u or. dinal.

Estudlaremos 10 aplieaelon de esta prueba. a troves de 10 resolueion de un problema.

Problelll8

Los datos que Be presentan a continuacion corresponden a un estudio anat6mico de ulceraciones gastricos benignas y malignas realizadas entre 1940 y 1950 en el Boston City Hospital.

UBlCACICN T i 0 , d e U 1 c era I:E lA Beni

lominal u or-

:,esolucion de

a un esttidio izadas entre

JfAL %

)

100

100

100

, 10 ulcera y

,

~.

,.

.'

,

;.

I 10 , de :10n

\ ulcera y ulceras

de 8ata

10 ulcera y taje de ulce-Lo menos una

'/0

,~;,'

/ ,

,.,

0 1 = frecuencla ob.arvada en 10 caldo 1 E i = frecuendo esperada en 10 calcla 1 f c = numero de celdo se obtlene multipl1cando numero de fllao (f) por

numaro de columnaa (c). En este problema. fc .6

I) Celculo de 1L2 obsefvado

r---------,------ --,-.-------,------. .,-------, ULCERA fRECUENCIA

r-----------+-----------i(~ - ~) (0. E. ) 2 (). _ E. ) 2 1 1 1 1 UBlCACHN TIro Observoda Esperada

O. E. E, 1 1 1

prep1l6ri- benigno 100 101 .7 .6.7 44.9 0.42

co del maligne 60 53.3 6.7 44.9 0.84

cuerpo benigna 70 66.7 3.3 10.9 0.16

cordial maligna 30 33.3 -3.3 10.9 0.33

benigna 30 26.7 3.7 13.7 0.51

maligna 10 13.3 .3.1 13.7 1.03

JUrAL 300 300 0.0 X 3.29 .. 2 = '" ob 3.29

NOTA: Bajo 10 hipOtesis nul a no hay asociacion entre tipo de ulcera y ubi-cacion de eata, por 10 tanto a1 pomntaje de uleeraa maliqnaa, deb er e1 liame para las tree ubicaciones ( 33,l% Y 10 frecuencia esperada (E.) en coda celda la obtenemos aplic 0 este porcentaje a 160. 100 y 40 re~pectivamente. La frecuencia esperada para las oenignas se pueden obtener por diferencia 0 aplicando a las mismas frecuencias anteriores 66.7%.

b) 1L 2 c f i ti co

El 1,2 edtieo se observa en 10 tabla de 1.2 (1-1804) ell la ' interseccion de 10 fila n con 10 columna probabilidad. En que: -) n: son los grados de libertad (g.I.). En una tabla de alociacion. 101 grados de 1ibertad oe ob-tienen multip11cando el numero de columnas menos 1 (c 1) pOT el numero de lil08 menos 1 If - 1).

I g.l " If - 1) . Ie - 1) I , para este problema: g.1 " (3 - 1) (2 1)

g.1 := 2

-) probabi lidad : corresponde al nivel de significacion a

... 2 't' -2 ~ crl lCO, .para n - y a " 0.05 es 5.991

.. 2 't' = 5 991 IV cn leo

93

I

i !

i

I i ,

I

.'I~I ': i I~ ~. .

r,' r i'

".'

Iv) Reglon ,de Rechazo : R

La reg ion2

de rechazo. R. esta const itu ldo par todos 108 valoree de 1t2 mayores que ~ crl.tico.

N~ de muestlBs

R = { 'X2 1,2 > ':f.v2 critioo }

R = { 1.J 'X.,2 > 5.991 } 'X 7. t R oL

v) Conclusion

Como 'Xl b es menor que 'X,2 critico. concluimos que no hay evidencia para rechazar 1& hlp6tesis nula. p.s ~ decir. 'pora aflrmar que &1 tlpo de ulcera. dependa de 10 ubicaci(,n de ella.

B.2. Prue.ba de bondad de ajuste

La prueba de bondcrd de ajuste. permite afirmar can un cierta nivel de confianza. si lasdistr ibuciones de lOB universos de orlgenes de muestro8 en estudio. se "ajustan" ,a algun" distribucion de inten's tal como: normal t. binomial. 9 : 3 : 3 : I; etc. a f i n de utili"or las propiedades de eB-

gq

tal clhtrlbJo tener un numt! en una generc EJempl"l

1. Sa podri< dl.trlbuc es normal coda que norlllOlida

2. En genetJ de origen dos eston Veremos c resolucic

Problema

'Segun una y ri zado8 ex t zado .extremo.

iSi en un suave y ' 20 DC Mendel?

Solucion

i . Plant l Hipot,

Hipot

i i. Hivel

iii. Es t ad

'X} ~L i

E. = fre 1

i = fre k = num

alores de 'YJ

ridencia parc::i o de ulc;:'era,

rta nivel de de muestras

'omo : normal clades de es-

taa diltribucionas 0 como en ganetioa. conducir experimental de modo de ob-tener un numero dado de fenotipol a predac1r la estructura de 10 poblacion en una generaeion dada. . EJemplol

1. Se pod ria realizar una prueba de bondad de ajuste para estudiar si la distribucien de los pesos de hombres sanos de una esttitura determinada es normal con peso promedio igual aMY desviacion standard ~. Verifi -cado que 10 diatribucion es normal, Be podrio establecer l!mitea de normolidad para el peso.

2. En genetica es usual verificar 8i las distribuciones de 108 universos de origenes de las muestras son mendelianos 0 si los resultados obteni-dos estan de Qcuerdo a los modelos geneticos. Veremos como se resueive un problema de bondad de ajuste. ~ediante 10 resoInden de un problema del segundo tipo:

Problema

'Sequn una de 10. leyes de Mendel. e1 cruzam~ento entre pollos normales y rizados extremo. debeproducir en 10 segundo generacion (FZ) pollos : ri-zado,extremo, rizado suave y normal en 10 proporcion I : 2 : 1.

~Si en un cruzamiento, se obtuvo en F2 : 23 rizado extremo. 50 rizudo suave y 20 normal. se pod rio decir que esta distribucion es 10 dada por Mendel?

Solucion

i. Planteamiento de las hipotesis HipoteaiB nula: La mueatra proviene de un univerBo. donde laB pro_

(Ho). babilidades de ocurrencia de los diversos fenbti-pos es tan en 10 proporcion 1 : _2 : 1.

Hipotesis Alternativa: La muestra proviene de un universa, donde las probabilidades de ocurrencia de los

(HI) diversos fenot~pos. no est

C< NorA:" La frecuencia esperada de cada fenotipo. se obtiene tal observado. las proporciones. predicha por 10 teoria. 10 proporcion del. fenotipo : rizado extremo e. 1.

4

rizado suave es ~ 4

normal es 1 4

(0. - E. j2 1 . 1

Ei

0.0027

0.1899

0.4543

0.6449

aplicando al to-En este ejemplo

luego. las frecuencias esperadas. se obtienen multiplicando por 9~f cada una de es tas propoiciones ..

b) t 2 cd tico

En general. en problemas de bondad de ajuste. en que no hay ~ue estimor parametros. los grados de liberta:l eston dados por e1 numero de closes me-nos uno.

g.! = k - 1 En este problem9 k = 3 y po~ tanto g.l = 2. . ,

EJ x,2 critico, se observo" en la tabla de 't2 en 10 intereeccion de .la r Ua n=2 con la columna a = 0 .01

. 'Y 2 ,. 9 210 IV cntlco = .

Iv) R'egion de rech~zo: R

La re~i6n de rechazo esto constituida por todos los valoree de J3 mayo-res .. que 'X. err ticos.

96

o.

v. Conclusion

Como X. 2 < que la distr"lbu.

ObserV3ciones

1. La estructu yor sea 10 ( yor sera e1 zar 10 hipa!

2. Tambien oe I cerD 0 cere ningUn vale clases adyc

3. Como~2es, ta resolver i ~e pacas . ?br j

correCClon la mul tin om:

4. Siempre que de que 1a 9' las r recuen<

s. Para el calc absolutas y

" - E. i 2 " 1

.0027

.1899

.454::'

.6449

cando al to-late. ejemplo

lor 9~ coda

que estimar ! closes me-

ccion de lo

de 'X3 mayo-

I

N de muestrss

R = {X} I x., 2 > 9.210} -x. 2ob 4 R

Y. Conclusion

Como x.,20b < ~2 critico, concluimos que no hay evidencia para suponer. que la distribucion de los fenotipos sea diferente de I : 2 : 1

Obse rvac i ones

1. La estructura de 10 estadi8tica, nos permits ob~ervar que mientros ma-yor sea 10 dlferencia entre los valoree observados y los esperados. ma-yor sera el valor del? y aumentara por tanto la probabilidad de recha-zar la hip6tesis nula.

2. Tambien S6 puede observar, que 81 en alguna close e1 valor esperado es cero 0 cercano acero, el valor d .. 12 tendera a 00. Se recomienda que ningUn valor esperado sea menor que 5. y cuando esto suceda. juntar closes adyacentes.

3. Como 'X,2 es una variable aleatoriC- continua. y 10 e~tC!IlO~ utilizando pa-~o r~801ver problemas de variable discrete, es nece80r10, para e1 caso de pOCOS observaciones. usar una correccion de continuidad, denominada "correccion de Yates" 0 bien utilizar 10 distribucion exacta, que sera 10 multinomial, 0 una prueha no parametrica.

4. Siempre que se utiliza alguna de las prue