BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN

MATEMATİKSEL TEMELİ

Prof.Dr.Necdet BİLDİK

necdet.bildik@bayar.edu.tr

CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ

MATEMATİK BÖLÜMÜ

OCAK, 2012

BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL

TEMELİ

1.1. BİLİM NEDİR?

Genel geçerlik ve kesinlik nitelikleri gösteren yöntemli ve dizgisel

bilgi.

Belli bir konuyu bilme isteğinden yola çıkan, belli bir ereğe yönelen

bir süreci

Evrenin ya da olayların bir bölümünü konu olarak seçen, deneysel

yöntemlere ve gerçekliğe dayanarak yasalar çıkarmaya çalışan

düzenli bilgi.

Türlü duygusal yaşantıların mantıkça bir örnek düşünce dizgesine

uydurulması için gösterilen çabalara verilen ad.

Neden, merak ve amaç besleyen bir olgu olarak günümüze kadar

birçok alt dala bölünmüş, insanların daha iyi yaşam koşullarına

kavuşmasına, var olmayan olguları bulmasına ve yeni şeyler

öğrenmesine ön ayak olan genellemedir.

Sanat tarafından temelleri atılmış olan ve her aşamada sanat ve

yaratıcılıkla beslenerek insanların hayat koşullarını iyileştirmek için

yapılan çalışmaların bütünüdür.

Temelde, deney ve gözleme dayalı bilgi bütünüdür.

Araştırma bulgularına dayanarak, neden-sonuç niteliğinde ilişkiler

bulmaya çalışan, olay ve olguları yöntemlere dayalı olarak

çözümleyip genellemelere ulaşmaya çalışan sistematik bilgiler

bütünüdür.

Her türlü düzenden yoksun duyu verileri ile düzenli düşünceler

arasında uygunluk sağlama çabasıdır.

Gözlem ve gözleme dayalı akıl yürütme yoluyla dünyaya ilişkin

olguları birbirine bağlayan yasaları bulma çabasıdır.

1.2. TEKNOLOJİ NEDİR?

“Teknoloji (Latince texere fiilinden türetilmiştir; örmek, oluşturmak

(construct ) anlamına gelir ).

İnsanın bilimi kullanarak doğaya üstünlük kurmak için tasarladığı

rasyonel bir disiplindir (Simon, 1983, s.173 ).

Somut ve deneysel anlamda temel olarak teknik yönden yeterli

küçük bir grubun örgütlü bir hiyerarşi yardımıyla bütünün geri

kalanı (insanlar, olaylar, makineler vb. ) üzerinde denetimi

sağlamasıdır (McDermott, 1981, s.142 ).

Bilimin uygulamalı bir sanat dalı haline dönüşmesidir.

Uygulamalı sanat terimi Fransız sosyolog Jackques Ellul

tarafından kullanılmış ve kısaca technique olarak isimlendirilmiştir.

O, teknolojiyi bir technique uyarınca yapılmış bir makine olarak

görmüş ve bu technique’nin ancak küçük bir bölümünün makine

tarafından ifade edilebildiğinden bahsetmiştir. Belirli bir teknik

sayesinde sadece makinenin değil, bu makineye ait öğretimsel

uygulamalarında gerçekleştirilebileceğinden söz etmiştir. Sonuç

olarak davranış bilimi ile öğretim teknolojileri arasındaki ilişki, doğal

bilimlerle mühendislik teknolojisi arasındaki ya da biyoloji ile Sağlık

teknolojisi arasındaki ilişkiyle benzer hatta aynıdır” (Saettler, 1968,

ss. 5-6 ).

Sistemler, işlemler, yönetim ve kontrol mekanizmalarıyla hem

insandan hem de eşyadan kaynaklanan sorunlara, bu sorunların

zorluk derecesine, teknik çözüm olasılıklarına ve ekonomik

değerlerine uygun çözüm üretebilmek için bir bakış açısıdır (Finn,

1960, s.10 ).

Bilim ve Teknolojinin farklılığını belirtmek için ilk nükleer denizaltıyı

yapan ve serbest bir eğitim eleştirmeni olan Amiral Hyman Rickover

şöyle söylüyor: “Bilim ve Teknoloji birbirine karıştırılmamalıdır. Bilim

doğadaki görüngülerin (fenomenlerin ) gözlenerek, zaten var olan doğru

ve gerçeklerin ortaya çıkarılması ve bu gözlemler sonucunda elde edilen

verilerin düzenlenerek gerçeklerin ve bunlar arasındaki ilişkilerin ortaya

konulduğu teorilerin oluşturulmasıdır. Teknoloji asla bilim için bir otorite

olamaz. Teknoloji insan aklını ve vücudunu güçlendirmek, üstün kılmak

için geliştirilecek aletler, teknikler ve yöntemler üzerinde durur. Bilimsel

yöntem insan faktörünün tamamen dışlanmasını gerektirir, şöyle ki;

gerçeği arayan kimse, kendinin ya da diğer insanların hoşlanacağı veya

sevmeyeceği şeylerle, popülist değerlerle ve herhangi bir çıkar uğruna

çalışmaz. Diğer yandan teknoloji fikir (bilim) değil de hareket

olduğundan, eğer insani değerler göz ardı edilirse tamamıyla tehlikeli bir

sonuca da yol açabilir (Knezevich & Eye, 1970, s.17 ).

İnsanlık tarihi matematiğin tarihi ile birlikte başlamıştır. Eğer matematik

tarihi içerisinde gelişmemiş olsa idi bu gün muhtemelen insanlık da

yerinde sayıyor olacaktı. Matematik; aklın kullanımında önemli bir araç

olup hem aklı disipline etmekte önemli bir oynar hem de bütün bilimlerin

yol göstericisi rolündedir. Sonuçta matematiğin gelişmesi insan aklının

gelişmesine neden olmaktadır.

Günümüz ileri teknolojisine ancak matematik sayesinde

ulaşılabilmektedir. Örneğin uzaya ve gezegenlere gidiş, uydular aracılığı

ile dünyanın her tarafı ile ses ve görüntü bağlantısı, her türlü geometrik

dizaynda planları çizilen evler, gökdelenler, vb.

Ancak tüm teknolojik gelişmeler genelde matematiğin önemli bir dalı

olan uygulamalı matematik sahasında sürdürülebildiği gibi fizik, kimya,

biyoloji, ekonomi, sosyalbilimler, tıp(psikiyatri, kardiyoloji,

mühendisliğinin çeşitli dallarında (fizik, kimya, jeoloji, jeofizik, harita,

bilgisayar, elektik-elektronik, endüstri, çevre, vb.) alanların yanı sıra

askeri alanlarda da yer almaktadır. Diğer yandan teorik ve soyut

matematik sahasında yapılan bazı çalışmaların uygulama alanları

bulunmaya çalışılmakta hatta beklenmedik bir anda uygulanabileceği

ortaya çıktığında ise tartışılmaktadır. Bunlara yine somut bir örnek ise

Topoloji sahasında son zamanlarda oldukça önem kazanmaya başlayan

digital topolojinin ortaya çıkışıdır. Bunun yanında topolojide oldukça

önemli olan sabit nokta teorisi ekonomi sahasında uygulama alanı

bulmaktadır. Teorik olarak yapılan çoğu araştırmalar uygulama alanı

bulunmayan veya olduğu düşünülmeyen çalışmalar olarak kalmaktadır.

Hangi bilim dalında olursa olsun yapılması istenen çalışmalar önce kâğıt

üzerinde düşünülmekte daha sonra uygulamada yerini almaktadır.

HİÇBİR ARAŞTIRMA, MATEMATİK İSPATTAN GEÇMEDİKTEN

SONRA BİLİM ADINI ALMAYA LAYIK OLAMAZ.

LEONARDO DA VINCI

MATEMATİK NEDİR?

Matematik Terimleri Sözlüğü'nde Matematik; "Biçim, sayı ve

çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim

yoluyla inceleyen, sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim"

olarak tanımlanmaktadır. Ancak Matematik nedir? sorusunu tek bir

tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür.

O halde evrensel bir dil olan Matematiği tanımını bir cümle ile ifade

etmek o kadar da kolay olmasa gerek!

Bu düşünüş ile;

Matematik bir disiplindir.

Matematik bir bilgi alanıdır.

Matematik, bir iletişim aracıdır. Her bir bilim dalının bir dili olduğu

gibi matematiğinde kendine özgü bir dili vardır.

Matematik, ardışık ve birebirine bağlı bir zincirdir. Dolayısı ile birbiri

üzerine kurulur.

Matematik, varlıkların kendileriyle değil, aralarındaki ilişkilerle

ilgilenir.

Matematik, birçok bilim dalının kullandığı bir araçtır.

Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattığı bir

soyutlamadır.

Matematik, bir düşünce biçimidir.

Matematik, mantıksal bir sistemdir.

Matematik, matematikçilerin oynadığı bir oyundur.

Matematik, kapalı bir kutu olup, içine girilmeyi bekleyen bir

hazinedir.

Matematik, bir anahtardır.

Matematik, bir değerdir.

Matematik; dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara

zenginleşerek geçen sağlam, kullanışlı evrensel bir dildir. Birey

için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir.

Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir

sanattır.

Matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği

onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır. Çağları aşarak, yeni

kuşaklara da ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek;

her zaman taptaze ve doğru kalacaktır.

Matematik, insanın düşünce sistemini düzenler.

Matematik, insanın doğru düşünmesini, analiz ve sentez

yapabilmesini sağlar.

Matematik, doğruyu, gerçeği görmek, iyi düşünmek, sonuca

giderek kazanmak, yani rahat bir hayat geçirmek demektir ve

hayatımızda devamlı olarak mevcuttur.

Kısaca Matematik bir yaşam biçimidir.

MATEMATİK VE YAŞAM

Öğrenciler genelde oldukça sıkıcı olduğu iddia edilen matematik

hakkında "Hali hazırda öğretilen ya da öğretilmeye çalışılan bu soyut

bilgiler ileride ne işime yarar? " diye düşünür. Hatta kimi zaman bazı

soruları anlayarak çözme yerine, daha kolay nasıl sonuca ulaşılır

tarzında pratik yollar aramaya çalışılır. Bazen problemin sonuçları arzu

edildiği gibi çıkmadığında yani çözüme ulaşılamadığında ise öfkelenir,

hatta sık olmasa da o problemi bir daha ele bile almayız. Ama gerçekte

durum hiç de öyle olmamalıdır. Mantıksal bir zincir takip edilebilinirse

problemin çözümü rahatlıkla yapılabilecektir. Buradan hareket ile

matematik hayatın ta kendisidir diyebiliriz. İnsanoğlunun genlerinde,

DNA’ların dizilişinde bile matematiksel bir düzen vardır. Terzi elbiseyi

diker iken bir model ortaya koymakta, fırıncı ekmeği yaparken tüm katkı

malzemelerini belli bir ölçüde katmakta, ayakkabıcı kalıbı belli boyutta

yapmakta, tornacı tüm hünerini göstererek ve geometri ve simetriyi

kullanarak malzemelere şekil vererek üretmektedir. Adını sayamadığımız

onlarca mesleklerin hepsinde matematik iyi bilinmek zorundadır. Tüm

alışverişlerimizde ödenecek tutarlarda ve onların karşılaştırmalarında

hep ölçülerle karşılaşırız. Zaman birimleri ise tamamen hayatımızın bir

parçası durumuna gelmiştir. Hatta ordularımızın onluk düzeni bile başlı

başına bir matematiktir.

Evlerimizin mimarisi, trafik akışı, köprü, kanalizasyon ve su şebekeleri,

elektrik-su tesisatı bile matematiğe bağlıdır. Tıpta Sinirbilim alanında üç

boyutlu uzayda fonksiyonel beyin görüntülemesi yine matematik ile

gerçekleştirilmektedir. Yani matematiğin felsefesi hayatın ta kendisidir.

Sonuçta matematik böyle bir bakış açısından değerlendirilerek ortaya

konulmalı ve tüm öğrenicilere bu tarzda aktarılmalıdır. Bu yönde bir

uygulama gerçekleştirildiği takdirde bir pek çok yanlış da kendiliğinden

ortadan kalkacaktır.

Bilindiği üzere uygulamalı bilim dallarının pek çoğunda, örneğin,

mühendislik, fizik v.b. pek çok dalda ele alınan problemlerin

matematiksel modellenmesine bir diferansiyel denklem karşılık gelir.

Ayrıca, pek çok fiziksel olayda bir sistemin mevcut andaki durumu

geçmiş durumuna bağlı kalınarak da ifade edilebilir. Söz konusu

sistemin hareketi hakkında yorum yapabilmek için onu temsil eden

diferansiyel denklem ve denklemin çözümleri hakkında bilgi sahibi olmak

gerekir. Aşağıdaki denklemler gecikmeli diferansiyel denklemler için birer

örnektir:

GENEL ÖRNEKLER

( ) ( , ( ), ( ( ))x t f t x t x t t ; ( ) 0t

1 2( ) ( , ( ), ( ))x t f t x t x t ; 1 2, 0

( ) ( , ( ), ( ), ( ( ), ( ( ))x t f t x t x t x t t x t t

ÖRNEKLER

2

3'( ) 2 ( ) ( 1)

2

'( ) ( cos ) 1

'( ) 5 ( ) 2 ( )2

''( ) 3 '( 2) 7 ( 3) 2 5

x t x t x t

x t x t t

tx t x t x

x t x t x t t

Yukarıdaki örneklere bakıldığında gecikmeli diferansiyel denklemler,

bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri (en yüksek türev hariç) t ve t

anından önceki anlara bağlı olarak ortaya çıkan diferansiyel

denklemlerdir. Bu saha ile ilgili matematik literatürüne bakıldığında

1960’lardan bu yana gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin

kararlılık ve sınırlılık durumlarını ele alan değişik çalışmalar yapılmıştır.

Krasovskii(1963),Yoshizawa(1966),Hala(1977), Burton(1985), …

Ancak literatür tarandığında bu uygulama alanlarının çok daha geniş

alana yayıldığı rahatlıkla görülebilir. Bulaşıcı hastalıkların yayılımını

inceleyen modellemesiyle Kermack ve McKendrick (Hairer et al.2000),

makinelerin çalışırken çıkardığı gürültülerin giderilmesi amacıyla yaptığı

modellemeyle (Asl & Ulsoy, 2003), enzimlerin kinetiğini inceleyen

çalışmalarıyla Okamoto ve Hayashi (Hairer et al.2000), bir virüs tipine

karşı bağışıklık sisteminin gösterdiği tepkiyi modelleyen çalışmasıyla

Marchuk (Hairer et al. 2000), Solow (1966)’un bir şehrin ekonomik

büyümesini inceleyen çalışması (Boucekkine et al. 1996), Grossman

(1998)’ın HIV’in bulaşıcılığını modelleyen çalışması (Baker et al. 1999),

Glass ve Mackey (1979)’in memelilerde solunum bozukluğundan

kaynaklanan rahatsızlıklar üzerindeki çalışmalarında yaptıkları

modellemeleri (Kuang,1993), Caberlin (2002), biyolojik sistemlerin

matematiksel modellemeleri ile ilgili çalışması gibi pek çok uygulama

alanı mevcuttur.

UYGULAMA ALANLARI

Bu kısımda gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanıldığı fiziksel

ve biyolojik sistemler üzerine örnekler verilerek neden gecikmeli

diferansiyel denklem teorisine ihtiyaç duyulduğu açıklanmaya

çalışılacaktır. Literatürde sıkça kullanılan örnekler üzerinde durulacaktır.

Gecikmeli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için pek çok

yazılım gerçekleştirilmiştir. [Paul,1991, 1995,2000; Shampine

&Thompson,2000a,b]

KARIŞIM PROBLEMİ

Gecikmeli diferansiyel denklemler üzerinde literatürde yapılacak

araştırmalarda karşımıza ilk çıkacak problem, Driver(1964)’ın tuzlu su

karışım problemidir. İçinde B litre tuzlu su karışımı bulunan bir tank

düşünelim. Tankın üstünden dakikada q litre saf su tanka

boşaltılmaktadır. Karışım sürekli karıştırılıp, tankın altında bulunan bir

musluktan, yine dakikada q litre olmak üzere dışarı akmaktadır. ( )y t , t

anında karışımdaki tuz miktarını ( )kg olarak göstersin. Karıştırma

işleminin sürekli ve tank içinde homojen bir biçimde gerçekleştiği kabul

edilirse, tank içinde litre başına ( )

( )y t

kgB

oranında tuz bulunur. Dakikada q

litre karışım tanktan boşaltıldığına göre, belli bir  t anında tank içindeki

tuz miktarının değişimini ( )

( ) ,y t

y t qB

diferansiyel denklemi ile

modelleyebiliriz.

Ancak Driver’ın da belirttiği üzere, gerçekte karıştırma işlemi yapılırken

depo içinde her yerde tuz oranının sabit olmayacağı, yani homojen bir

dağılımın asla mümkün olmayacağı açıktır. Bu durumda t anında

depoyu terk eden tuz oranı da daha önceki bir andaki ( ) , orana bağlı

olacaktır. Sistem yeniden modellendiğinde,

( )( )

y ty t q

B

gecikmeli denklem elde edilir.

POPÜLASYON DİNAMİĞİ

İzole edilmiş bir ortamda, bir hayvan kolonisinin herhangi bir t anındaki

popülasyonu ( )y t ile gösterilirse, popülâsyonun büyümesi matematiksel

olarak aşağıdaki gibi belirlenir.

0

0 0

'( ) ( ) ,

( )

y t y t t t

y t y

(3)

Bu diferansiyel denklemin çözümü, 0( ) . ty t y e şeklindedir ve

popülasyonun üstel sınırsız artış sağladığı açıkça görülmektedir. Bundan

dolayı, belli bir zaman sonra aşırı artan popülasyon sonucu kıtlık

oluşacak ve kolonide ani ölümler görülecektir. Bu popülasyon

modellemesinin sadece doğumlarla ilgili olduğu düşünülmektedir. Ancak

kolonideki ölümlerin popülasyon dinamiğini etkileyeceği düşünülmelidir.

Bu nedenle sistemi,

0

0 0

( )'( ) 1 ( ) ,

( )

y ty t y t t t

p

y t y

(4)

biçiminde modellemek daha doğru olacaktır. (4) denkleminde ( )

1y t

p

değeri, biyolojik anlamda sistem dengesini sağlayan faktör olarak verilir.

Bu başlangıç değer probleminde ve p değerleri pozitif sabit olarak

kabul edilirse çözüm aşağıdaki gibi olacaktır.

0

0

( ).( )

1 ( 1)

t

t

y t ey t

ye

p

(5)

bu çözümde 0 1y

p ise, 0t iken çözümün 0( ) ty t y e haline dönüştüğü

kolaylıkla görülebilir. Ancak 0 0y başlangıç değeri için t iken ( )y t

denge noktası p ’ye yakınsar.

Şimdi topluluktaki nüfus değişiminin o andaki nüfus ile değil de, belirli

bir süre ( ) önceki nüfus ile orantılı olduğunu kabul edelim. Bu durumda

aşağıda verilen gecikmeli diferansiyel denklem elde edilir.

0

0 0 0 0

( )'( ) ( ) 1 ,

( ) ( ) , , 0

y ty t y t t t

p

y t t t t t

(6)

Bu denklemi literatürde sıkça geçmektedir. Wright (1946), 1 ve 1p

için bu denklemin özel halini aşağıdaki gibi alarak incelemiştir.

0

0

'( ) ( ) 1 ( 1) ,

( ) ( ) , 0 , 0

y t y t y t t t

y t t t

(7)

Burada Wright (1946), ’nın almış olduğu özel değerler için, (7)

denkleminin bir çözümünün bulunabileceğini göstermiştir.

Diğer yandan 1

0,e

için, (7) denkleminin çözümlerinin monoton

olduğu görülür. Ayrıca 1

,2e

olduğunda bu 1p etrafında salınım

göstermektedir. Her iki durumda da t iken çözüm p ’ye yakınsar.

Şekil 1 ve Şekil 2 bu iki durumu açıkça göstermektedir. Bunun yanında

Wright (1946), ’nın her değeri için çözüm bulmanın da mümkün

olmadığını ispatlamıştır.

Şekil1 ( ) 0.1y t ve ( ) 2y t ve 1

0,e

için (7) Denkleminin Çözümleri

Şekil2 ( ) 0.1y t , ( ) 2y t ve 1

,2e

için (7) Denkleminin Çözümleri

Popülâsyon dinamiğinde av-avcı problemi olarak tanımlanan

modellemeler içinde gecikmeli diferansiyel denklem sistemleri kullanılır.

Şimdi izole bir ortam içerisinde, belli bir t anındaki av olarak belirlenen

bir türün popülâsyonu 1( )y t ile avcı popülasyonu da 2 ( )y t ile gösterilsin.

Eğer ortamda avcı olarak belirlenen türün hiç bulunmadığı farz edilirse,

av olarak belirlenen türün popülâsyonunda bir artış olacağı mutlaktır.

Eğer artış oranı 11 0c olarak kabul edilirse av türünün popülasyondaki

değişimi

1 11 1'( ) ( )y t c y t

ile ifade edilebilirdir. Şimdi avcı olarak belirlenen türün, besin

kaynağının av olarak belirlenen tür olduğunu varsayalım. Bu durumda

avcı olarak belirlenen türün popülasyondaki artışı, av olarak belirlenen

türün popülasyonuyla ters orantılıdır. Bu durumda modelleme 12 0c

olmak üzere,

1 11 1 12 1 2'( ) ( ) ( ) ( )y t c y t c y t y t

biçiminde yazılabilir. İzole ortamda av olarak belirlenen türün hiç

olmadığı varsayılırsa, buna karşın avcı olarak belirlenen türün

popülâsyonunda mutlak bir azalma olacaktır. Bu durum 21 0c olmak

üzere 2 21 2'( ) ( )y t c y t şeklinde ifade edilebilirdir. Benzer biçimde av-avcı

popülâsyonu arasındaki ilişki göz önünde bulundurulduğunda 11c , 12c , 21c

ve 22c pozitif sabitler olmak üzere

1 11 1 12 1 2

2 21 2 22 1 2

'( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) ( )

y t c y t c y t y t

y t c y t c y t y t

biçiminde gösterilir.

Böylece en basit haliyle av-avcı probleminin modellemesi bu diferansiyel

denklem sistemi ile yapılmış olur. Bu denklemde 1(0) 0y ve 2 (0) 0y dır.

Son olarak av-avcı türlerinin sadece belli bir t anındaki popülâsyonlarını

değil de, belli bir süre önceki popülâsyonları göz önüne alınırsa, daha

gerçekçi bir modelleme yapılmış olur. Bu durumda denklem sistemi

11 11 1 12 1 2

2 21 2 22 1 2

( )'( ) 1 ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) ( )

y ty t c y t c y t y t

p

y t c y t c y t y t

(8)

şekline dönüşür.

TIP

American Cancer Society’e göre sadece Amerika’da her yıl bir

milyonun üzerinde insana kanser teşhisi konulmakta ve 500.000’in

üzerinde insan kanser nedeniyle hayatını kaybetmektedir. Bu nedenle

tüm dünyada bilim adamlarının kanser hücrelerinin çoğalmasını ortaya

koyan modelleme yapma çalışmaları hiç de şaşırtıcı değildir. Bu konuda

Villasana & Radunskaya(2003) tarafından yapılan bir çalışma, kanser

hücrelerinin çoğalması ve bağışıklık sistemi hücreleri ile Hy-droxy AraC

ve Paclitaxel gibi özel bazı ilaçların kanser hücrelerinin çoğalması

üzerindeki etkilerini inceleyen bir matematiksel modelleme sunmaktadır.

Bu çalışmanın daha önceki çalışmalara göre en önemli farkı, modelleme

yapılırken gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır.

KONTROL SİSTEMLERİ

Geri beslemeli kontrol sistemlerinin hemen hemen tümünde gecikme

zamanı bulunur. Bu nedenle kontrol sistemlerinin tasarımında gecikmeli

diferansiyel denklemlerin kullanılması çok sık rastlanılan bir durumdur.

Gecikmeli diferansiyel denklem kullanılarak bir kontrol sisteminin

modellenmesine ilk örneklerden biri, Minorsky’nin II. Dünya Savaşı

sırasında gemilerin dalgalardan dolayı sağa sola yalpalanmasını

önleyebilmek için yaptığı çalışmadır. Bu modele göre, , geminin denge

durumunda bulunduğu normal pozisyon ile yana yatma durumunda ki

pozisyonu arasındaki açıyı göstermektedir. Ayrıca Minorsky’nin yaptığı

modellemeye göre; gemi, denge durumunda kalabilmek için ağırlık

sağlaması amacıyla içi suyla doldurulup boşaltılabilen tanklar

içermektedir. Bununla birlikte geminin yana yatmasını engelleyebilmek

için suyun bir tanktan diğerine pompalanarak boşaltılmasını sağlayan bir

mekanizma bulunmaktadır. Böylece dalgaların gemi üzerindeki etkisi

ortadan kaldırılmaya çalışılmıştır. Doğal olarak, bu mekanizmanın

çalışması belli bir t anında aniden gerçekleşen bir olay değildir. Yani

suyun bir tanktan diğerine boşaltılabilmesi için belli bir süre geçmesi

gerekir. Bu süre ile gösterilecek olursa, geminin dengede kalabilmesi,

geminin t anındaki durumuna bağlıdır. Minorsky, tüm bunları göz

önünde bulundurarak yapmış olduğu modelleme sonucu aşağıdaki

denklemi elde etmiştir.

( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0

( ) ( ) , 0

m t b t q t k t t

t t t

ELEKTRODİNAMİK

Aralarında belli bir mesafe bulunan iki elektronun birbiriyle etkileşimi ele

alındığında elektronların ışık hızıyla ( )c , bir yörünge etrafında hareket

ettiklerini düşünelim. Bundan dolayı elektronların hareketlerini belli bir t

anında gerçekleşen anlık bir olay gibi düşünmek mümkün değildir. Bu

nedenle belli bir t anında elektronlardan birinin diğeri üzerindeki etkisi,

daha önceki bir t anındaki etkisi tarafından üretilir. Daha kolay

anlaşılabilmesi için, bu iki elektronun yörüngelerinin sadece x ekseni

doğrultusunda olduğunu düşünelim ve sırasıyla 1( )x t ile 2 ( )x t de bu iki

elektronun t anındaki konumlarını belirtsin. Şimdi ikinci elektronun birinci

elektron üzerindeki etkisini inceleyelim.

Şekil3 İki Elektronun Birbirleri Üzerindeki Etkisi

Şekil’de gösterildiği gibi t anında, ikinci elektronun etki alanı, bu

elektronun 21t anındaki konumunun etkisiyle 1( )x t konumuna erişir.

Burada 21 gecikme miktarının sabit olmadığı ve t ’ye bağlı olarak

değiştiği açıktır. Bu durumda aşağıdaki denklem sağlanır.

21 1 2 21. ( ) ( )c x t x t

Aynı şekilde birinci elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisi göz önüne

alındığında benzer bir denklem üretilir. Bu durumda 12 , birinci

elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme miktarı ve

21 de ikinci elektronun birinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme

miktarı ise bu takdirde modelleme aşağıdaki gibidir.

21 1 2 21

12 2 1 12

. ( ) ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )

c t x t x t

c t x t x t

TOPOLOJİ NEDİR, BİLİM VE TEKNOLOJİYE NASIL UYGULANIR?

Topoloji matematiğin tümünde en aktif alanlardan biridir. Geleneksel

olarak, topoloji, cebir ve analizin yanı sıra teorik matematiğin üç önemli

alanından biri olarak kabul edilmektedir. Topoloji kısa bir süre önce

uygulamalı matematiğin önemli bileşenlerinden biri haline gelmiş ve pek

çok matematikçi ve bilim adamı gerçek dünyadaki yapıları ve

fenomenleri modellendirmek ve anlamak için topoloji kavramlarından

faydalanmaya başlamışlardır.

Topoloji kelimesi Yunanca bir yer anlamındaki ó (topus)

kelimesinden türetilmiştir. Matematik teki topoloji eskiden yer çalışması

olarak tanımlanırdı; diğer adı da analysus situstu. Kelime anlamıyla

topoloji pozisyonun veya lokasyonun incelenmesi anlamındadır. Topoloji

şekilleri ve bu şekillerin özelliklerini, bunlara uygulanan deformasyonları,

bunların arasındaki eşlemeleri ve bunlardan oluşan kompozisyonları

inceler.

Başlangıçta topoloji, Geometrinin branşı olarak kabul edilmiş ve

ilerlemesini de bu dalda gerçekleştirilmeye çalışmıştır. Geometride katı

cisimler üzerinde çalışılırken topolojide esneyebilen köşesi kesin

olmayan şekiller üzerinde yoğunlaşmıştır. Geometride mukayese

yapmak için önce iki cismin büyüklüğü göz önüne alınır. Geometride iki

cisim eğer yer değiştirme sonucunda aynı kalıyorsa iki cismin denk

olduğunu söylenir. Bir cisim; yırtmadan, kesip çıkarma yapmadan eğerek

bükerek esneterek veya büzerek bir şekilden diğer şekle

dönüştürülüyorsa bu takdirde topolojik olarak bunların denk olduğu ifade

edilir. Böylece günümüzden bir örnek verecek olursak evlerimizde

kullanılan çamaşır makineleri ve fırınlarda yapılan ekmekler birer

topolojik yapılardır. Topoloji genellikle lastik-levha geometrisi olarak

tanımlanır. Geleneksel geometride çemberler, üçgenler, düzlemler ve

polihedralar gibi nesnelerin sert olduğu ve noktaların arasında iyi

tanımlanmış mesafeler ve kenarları veya yüzeyleri arasında iyi

tanımlanmış açılar olduğu kabul edilir. Ancak topolojide mesafelerin ve

açıların konuyla ilgisi yoktur. Topolojide nesneler deforme olabilen

lastikten yapılmış gibi kabul edilir. Nesnelerin eğrilmesine, bükülmesine,

esnetilmesine, küçültülmesine veya bir şekilde deforme olmasına

müsaade edilir ancak nesnelerin parçalanmasına müsaade edilmez.

Şekil1.1’de geometrik açıdan birbirinden çok farklı dört şekilde

görülmektedir, ancak topolojide bu dört şekil de birbirine eşdeğer kabul

edilir. Lastikten yapılmış olursa bu dört şekilden herhangi biri

deformasyonla diğeri haline gelebilir.

Şekil4 Bir topolog açısından bu dört nesne denktir

Şekil 5’de topolojik açıdan farklı iki nesne (halka ve küre) yer almaktadır.

Müsaade edilen topolojik bir şekilde bir küreyi bir halka haline

getiremeyiz bu yüzden bu iki nesne topolojik açıdan birbirinin eşdeğeri

değildir.

Şekil5 Halka ve küre topolojik açıdan denk değildir.

Genellikle bir topoloğun bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt

edemediği söylenir. Burada söylenmek istenen, topolojide bir kahve

fincanının bir simidin şeklinde deforme edilebileceğidir (Bkz. Şekil 6). Bu

nesneler topolojik açıdan denktir.

Şekil6 Bir kahve fincanı ve bir simit topolojik açıdan denktir.

Bu lastik-levha geometrisinin gerçek dünya uygulamalarında nasıl bir işe

yarayabileceğini merak edilebilir bir konudur. Buradaki fikir son derece

basittir. Genellikle, belli bir durumda, önemli olan özellikler, bir nesneyi

sert kabul ettiğimizde muhafaza olan özelliklerin aksine bir nesneyi

deforme edilebilir bir nesne olarak kabul ettiğimizde muhafaza edilen

özelliklerdir. Bir topolog bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt

edemez ancak bir topolog bu şekillerin ortak olan özelliklerini tespit

edebilir ve kullanabilir.

Şimdi kısaca topolojideki birkaç konuya ve bu konuların bu metinde

sunulan uygulamaların bazılarında nasıl bir rol oynadığına bakalım.

Topolojik Uzaylar ve Fenotip Uzaylar: Topolojide incelenen nesneler

topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Bu uzaylar, açık cümleler ile noktalar

arasındaki yakınlık kavramının ele alındığı noktalar kümeleridir. Doğru,

çember, düzlem, küre, halka ve Mobius şeridi topolojik uzayların

örnekleridir (Bkz. Şekil 7).

Şekil7 Farklı topolojik uzaylar.

Evrimsel biyolojide genotip ve fenotip kavramları önemli kavramlardır.

Her canlı organizma, içeriden kodlanmış, kalıtsal bilgilerin (genotip)

fiziksel gerçekleşmesidir (fenotip). Bir fenotipten diğerine evrimsel

değişim, karşı gelen genotiplerde meydana gelen ve mutasyon adını

alan değişikliklerle ortaya çıkar. Bir fenotipin diğerine ne kadar yakın

olduğunu ve bir genotip mutasyonunun bir fenotipi bir başka fenotipe

dönüştürmesi ihtimalinin ne olduğu sıkça ele alınan problemlerdir.

Bir Coğrafi Bilgi Sistemindeki İç Sınır ve Bölge İlişkiler: Bir topoloji

uzayında verilen bir küme ile bağlantı kurulan iki önemli küme, o

kümenin içi ve sınırıdır. X uzayında bir A kümesi varsa A kümesinin

içini A ’daki yakın noktaların çevrelediği noktalar olarak düşünürüz, A ’nın

sınırını ise hem A ’nın içindeki noktaları hem de A ’nın dışındaki noktalar

cümlesini düşünürüz. (Bkz. Şekil 1.5).

Şekil8 A kümesinin içi ve sınırı

Bir coğrafi bilgi sistemi (GIS)(Geographic Information System), coğrafi

verileri saklayan ve manipüle eden bir bilgisayar sistemidir. Bir GIS,

“Planlanan Coltonian Deponisi Alexandria koruma alanı ile çalışmakta

mıdır?” gibi soruları yanıtlayabilmelidir. Bir GIS’in böyle bir soruya yanıt

verebilmesi içinde GIS’in arazi bölgeleri arasındaki ilişkiler spektrumunu

ayırt edebilmesi ve belli bir bölge çiftinin yerine getirdiği belli bir ilişkiyi

tespit edecek araçlara sahip olması gereklidir. Örneğin A ve B

kümelerinin yalnızca sınırları kesişiyorsa bu takdirde A ve B ’nin birbirine

“temas ettiğini” söyleriz. Şekil 8’ de bu ilişki açıkça gösterilmektedir.

,A B ’den ayrıdır.

,A B ’ye temas eder.

,A B ’ye eşittir.

,A B

’nin içindedir.

,A B ’yi içerir.

A ile B çakışır.

Şekil9 A ve B kümeleri arasındaki muhtemel ilişkiler

MANİFOLDLAR VE KOZMOLOJİ

Bir n boyutlu manifold yerel olarak n boyutlu Öklid uzayına benzeyen bir

topolojik uzaydır. Örneğin, 1 boyutlu manifold yerel olarak bir doğruyu, 2

boyutlu manifold yerel olarak bir düzlemi ve 3 boyutlu manifold ise yerel

olarak 3 boyutlu uzayı andırır ve bu şekilde devam eder.

2 boyutlu manifolda yüzey de denir. Küre ve halka yüzeye örnek

olarak verilebilirdir. Bir yüzeydeki her bir nokta topolojik olarak

düzlemdeki bir açık kümeye eşdeğer olan bir açık kümenin içindedir

(Bkz.Şekil 10).

Şekil10 Yerel olarak bir yüzey ve bir düzlem aynı görünürler.

Yüzeylerde yaşayanlar, aslında bir düzlemde yaşadıklarını

düşünebilirler. Çünkü yerel olarak onların gördükleri düzlemde olmasına

rağmen yüzeyde de bulunmalarıdır. (Bu durum, Edwin Abbot’un

eğlenceli On Dokuzuncu Yüzyıl kitabı Flatland: A Romance of Many

Dimension’da incelenmiştir). Bununla birlikte, yüzeyde yaşayanlar,

dünyalarının özelliklerini incelemiş olsalardı genel şeklini anlayabilir ve

bu yüzden bir yüzeyin düzlemden farkını düşünebilirlerdi.

Aynı şekilde, yaşadığımız evreni üç boyutlu Öklid uzayı olarak

hissetmemiz doğaldır. Çünkü bu evreni yerel olarak bu şekilde algılarız.

Kozmologlar, evrenin genel yapısının görünümünün tüm özelliklerini

inceleyerek tam şeklini tespit etmeye çalışırlar.

DNA

Deoksiribonükleik asit (DNA), milyonlarca atomdan meydana gelmiş

uzun, ince bir moleküldür. Bu uzun dizi hücrenin çekirdeğinin içine

doldurulur ve bu durum 200 kilometrelik dolaşmış bir misinanın bir

basket topunun içine doldurulmasına benzer.

Temel yaşam süreçlerinin işlemesi için hücrenin biyolojik

mekanizmasının DNA molekülüne erişmekte ve bu molekülü manipüle

etmekte serbest olması gereklidir. Bu nedenle, hücrenin DNA’yı etkin bir

şekilde çözme kabiliyeti beka açısından elzemdir. Hücrenin çekirdeğinin

içinde enzim adı verilen ve biyolojik araç görevini gören moleküller

vardır. Bu enzimlerden bazıları DNA içinde geçiş değişiklikleri yaparak

çözülmesine imkân tanırlar. Bir enzim, DNA dizisini kendi üzerinden

geçtiği bir yerde keser ve sonra tekrar kendisine bağlar ve bu şekilde

karşı türden bir geçiş olur. Son dönemde bulunan ve enzimlerin hareket

etmesini engelleyen yeni kemoterapi (kimyasal tedavi) maddeleri

kanserli DNA’ların kendilerini yeniden yaratmalarını önlemektedir.

SABİT NOKTALAR VE EKONOMİ

Uzayda kendisine fonksiyon ile eşleştirilmiş belli bir nokta varsa bir

topolojik uzayı kendisine eşleştiren bir fonksiyonun sabit bir noktası

vardır. Örneğin, Şekil 1.10’daki p noktası, aynı şekilde yer alan f

fonksiyonunun sabit noktasıdır.

Şekil11 Bir f fonksiyonunun p sabit noktası vardır.

Sabit nokta teorisi, topolojinin önemli bir alanıdır ve “Bir topolojik uzayı

kendisine eşleştiren hangi fonksiyonların sabit bir noktası vardır?” ve “

Hangi topolojik uzaylarda, uzayı kendisine eşleştiren her sürekli

fonksiyonun sabit bir noktası vardır?” gibi sorulara yanıt arar. Bu alanda

en iyi bilinen sonuç Brouwer Sabit Nokta Teoremidir. Bu teorem kapalı

bir n boyutlu topun üzerindeki her sürekli fonksiyonun sabit bir noktası

olduğunu ileri sürer. Örneğin, birinci boyutta kapalı bir aralıktan

kendisine giden her fonksiyonun sabit bir noktası olduğunu, ikinci

boyutta bir diskten kendisine giden her sürekli fonksiyonda sabit bir

nokta olduğunu söyler ( bkz. Şekil 12).

Şekil12 Aralığı aralığa veya diski diske eşleştiren sürekli fonksiyonların

sabit bir noktası olmalıdır.

Örnek bir ekonomi sisteminde tüketiciler ve mallar ve bunlarla

bağlantılı bir değişkenler kümesi vardır ve bu kümede malların arzı,

malların fiyatı ve mallara yönelik talep yer alır. Genel olarak,

değişkenlerin değerleri, şu andaki değerlerine bağlı olarak yakın

gelecekte değişir. Örneğin, uygulamalı topoloji metinlerinin şu anda az

miktarda bulunması yakın gelecekte bu metinlerin fiyatının daha yüksek

olması ile sonuçlanabilir. Ekonomistler, bir ekonomik sistemin dengede

olup olamayacağını daha açık bir ifadeyle tüketicilerin yeterince memnun

olduğu, her malla ilgili arz, fiyat ve talebin değişmediği bir durum olup

olamayacağını öğrenmek isterler. Bu ancak ekonomik modele Brouwer

Sabit Nokta teoremi uygulanarak denge durumlarının incelenmesi ile

mümkündür.

Geniş açıdan bakıldığında, topoloji şekillerin ve özelliklerini genel

olarak inceleyen bir alandır. Bunlar, gerçek dünyadaki sistemleri

incelerken ve bu sistemler hakkında sonuçlara varırken tespit ettiğimiz

ve incelediğimiz uygulamalı problemlerin topolojik yönleridir.

Sonuçta teorik açıdan bakıldığında topoloji, matematiğin soyut bir

dalıdır.

TOPOLOJİNİN TARİHİNE BİR BAKIŞ

Topolojinin, Leonhard Euler’in (1707-1783) ünlü Königsberg köprüleri

sorununa getirdiği çözümle başlamış olduğu düşünülmektedir.

On sekizinci yüzyılda, Pregel nehri, Prusya’nın Königsberg (şimdi

Rusya’daki Kaliningrad şehri) şehrinin içinden akarak şehri dört ayrı

bölgeye ayırıyordu. Şekil 1.12’de gösterildiği gibi nehrin üzerinde

bulunan yedi köprü bölgeleri birbirine bağlıyordu.

En sevilen eğlencelerden biri de Königsberg köprülerinin üzerinden

geçerek gezinmekti. İnsanlar “Her köprüden sadece bir kez geçerek tüm

şehri gezebilir misin?” sorusunu birbirlerine soruyorlardı. Şaşırtıcı bir

şekilde hiç kimse şehri bu şekilde, her köprüden sadece bir kez

geçmenin yolunu bulamamıştı.

Şekil13 Königsberg köprüleri ([New]’de yer alan bir çizimden adapte

edilmiştir.)

Köprülerden en fazla bir kez geçmek koşuluyla tüm köprüleri kullanmak

üzere başlangıç noktasına dönecek şekildeki seyahat yolu bulunur.

Köprüler Köşe, Yollar Kenar ise: Tüm köşelerden geçmek üzere en az

kenar kullanma problemine Hamilton Problemi denir.

Euler(1736) bu probleme denk olan: Köprüleri yol, yolları köşe olmak

üzere değiştirdi.

Soru (Euler Yolu): Her köşeden tam bir kez geçmek üzere tüm köşeleri

içeren, başlangıç noktasına dönmek koşuluyla en kısa seyahat nasıl

gerçekleşir?

Bu problem, Leonhard Euler’in dikkatini çekmiş ve bu problemin

“konumun geometrisi” adı verilen yeni bir matematik yaklaşımını

içerdiğini fark etmişti. Euler bu konu hakkında;

Kısa bir süre önce kesinlikle geometri problemi olarak gözükse de

büyüklük tespiti gerektirmediğinden ve niceliksel hesaplama ile

çözülemediğinden dolayı bu problemi bir konum geometrisi problemi

olarak adlandırmakta tereddüt etmedim, zira çözümü bulmak için

yalnızca konumun dikkate alınması gerekiyor ve hesaplama yapılmasına

hiç gerek yok diyordu.[New]

MATEMATİKSEL MODELLER

Bir matematiksel model aşağıdaki yöntemleri içerir:

1. Bir gerçek-dünya probleminin matematik formüllerle ifade edilmesi

yani bir matematiksel modelin kurulması.

2. Ortaya çıkan matematiksel problemin çözümü veya analizi

3. Matematiksel sonuçların, orijinal gerçek-dünya olayı açısından

yorumu; örneğin, orijinal olarak konulmuş soruların cevaplandırılması.

Matematiksel modelleme süreçleri.

MATEMATİK VE MÜZİK

Bağlamanın tellerinden bizi bize bağlayan, aramızda gönül bağı

oluşturan ezgiler çıkar. aynı sesler başka bir çalgıda tınılasa aynı

duyguyu uyandırmayabilir, ama değişik bir tını müziğe bambaşka

anlamlar, duygular yükleyebilir. İnsanlığın bir parçası ve yaşamımızın

rengi olan müzik, bayramlarda çalan marşlarda, statlarda coşturan

tezahüratta, savaşta cesaretlendiren trampette, argo deyişle “damardan

vurup” geçerek içkimize kimi zaman zevk kimi zaman acı veren

şarkılarda, görselliğe fon olarak sanatsal etkinliklerde, ağıtlardaki sızıda,

ninnilerdeki huzurda, aşktaki heyecanda, ezan ya da çan seslerindeki

çağrıda, kıvrak Roman ezgilerinde ve burada sayamadıklarımdadır…

Yani insanın bulunduğu her yerde vardır müzik. İnsanı insan yapan en

önemli kültürel öğelerden biridir.

İnsanın en önemli keşiflerinden biri olan müzik yalnızca sanatsal

bir öğe midir? Sanatın ötesinde acaba müziğin müzik olmasında

matematiksel bir öğe, herkesin sezemediği bir başka ahenk yok mudur?

Kaçımız piyano tuşlarının ya da mırıldandığımız ezgilerin oluştuğu süreci

merak etmiştir? Ezgilerdeki notalar hangi diziler içinde, hangi tanım

aralığında dolaşırlar?

Tarihsel olarak, ilk önce ritim, daha sonra müziğin ikinci önemli

unsuru olan ezgi keşfedilmiştir. Modern müziğin temelini oluşturan

armoni ise geçen bir yılın ikinci yarısında olgunlaşmıştır. Yıllar yılı müzik

kimi sanatçının ekmek kapısı, kimi antropologun araştırma konusu, kimi

meraklı fizikçi ve matematikçinin kafasını kurcalayan gizemli bir problem

olmuştur.

Ne ilginçtir, müziğin tarihsel gelişimiyle matematiğin tarihsel gelişimi

paralellik göstermektedir. Her ikisi de önce somut bir düşünceyle ortaya

çıkmış daha sonra soyut-somut arasında salınıp durmuştur. Örneğin

matematik nesne saymayla başlamışken, müzik, ilkel toplumlarda dinsel

ayinlerde çalınan ritim olmuştur. Kimbilir belki de o zamanın müzisyenleri

sayı saymayı ilk keşfedenlerdi!

Kimi görüşe göre tanrı tamsayıları, insan da matematiği

yaratmıştır. Müzikte, seslerle notalar arasındaki ilişki bu görüşe

benzetilebilir. Ancak birinin bir sanat diğerinin ise bir bilim dalı olduğunu

da kabul etmek gerekir. İnsan, müziğin ham maddesi olan sesleri

yüzyıllar içinde yoğurarak günümüz tonal müziğini oluşturmuştur. Bu

tarihsel gelişimde dönemin büyük matematik dehalarına taş çıkaracak

matematiksel zekâya sahip J.S. Bach ve W.A. Mozart’ın payı büyük

olmuştur. Özellikle Bach’ın en büyük hobisinin matematik olması ilginç

bir tespittir. Bach müzikte devrimsel nitelikli füg sanatını geliştirirken

matematiksel yaklaşımlardan destek almış ve müzikte yeni bir çığır

açmıştır. Öte yandan matematik tarihinde müzisyen matematikçilere de

rastlamak mümkündür. Örneğin matematikçiliğinin yanında iyi bir

müzisyen olduğu da bilinen Pisagor oktavı bulmuştur; bir teli iki eşik

parçaya bölerek aynı sesin incesine (ince DO-kalın DO) elde ettiğini

gözlemiştir.

Çok az kişi besteciyle tanışma fırsatı bulmuştur. Bu fırsatı bulanlar,

eğer matematikçileri biraz tanımışlarsa aralarındaki benzerlikleri hemen

fark ederler. Besteciler, yakaladıkları ezgiyi düzenlerken sürekli sayarlar,

dillerinden düşmeyen rakamlar mırıldandıkları ezgiye güfte olurken

parmak hesabı bir şeyler sayıp ince bir tahtanın üstünde dengede

durmaya çalışan birinin psikolojisini sergilerler. Eminim o sırada

beyinlerinin matematikle uğraşan bölümünü yoğun olarak

kullanıyorlardır. Gündelik hayatları da matematikçilerinkine çok benzer,

analiz yetenekleri çok kuvvetlidir.

Kötü şarkı söyleyen birinin sesinin kötü olmasının asıl nedeni çoğunlukla

ton dışına çıkması ya da, matematiksel bir ifadeyle, kullanılan tanım

aralığının dışındaki notaları kullanmasıdır. Şarkılardaki ezgiler belirli

dizileri takip ederler. Bu dizilerin çok bilinen bazı matematiksel dizilere

benzediklerini söyleyebiliriz. Modüler aritmetiğin güzel uygulamalarından

olan müzik dizileri toplumdan topluma değişiklik gösterir. Örneğin batıda

tam ve yarım seslerden oluşan majör ve minör diziler kullanılırken,

doğuda komalı seslerden de yararlanılarak oluşturulmuş makamlar

kullanılır. Müzikal çeşitlilik açısından oldukça şanslı olan Anadolu hem

doğu hem de batı dizilerini kaynaştırarak kendi ezgilerini oluşturmuş,

doğuyla batı arasında müzikal bir köprü olmuştur. Ancak hızla

küreselleşen dünyamızda müzik için de değişim kaçınılmaz olmuş,

yavaş yavaş özgünlüklerini kaybetmeye başlayan etnik müzikler modern

armoniyle kaynaşarak yeni müzik formlarına dönüşmeye başlamışlardır.

Heyecan uyandıran bir diğer önemli nokta LA notasıdır. Fiziksel

olarak 440 khz frakanslı ses dalgası olarak bilinan LA “doğanın sesi”

olarak bilinir. Telefonu ilk açtığınızda kesiksiz düüüt sesi ya da elektrik

tellerindeki uğultu genellikle LA notasıdır. Doğada birçok yerde rastlanan

bu özel ses müzikte referans nota olarak kabul edilmiştir. Bunun içindir ki

müzisyenler akortlarını bu değişmez referans sese göre yaparlar. Öyle ki

klasik müzik konserleri başlamadan önce, başkemancı ayağa kalkarak

tüm orkestraya LA sesini vererek ona olan saygısını gösterir ve böylece

orkestranın bütünlüğünü ve uyuşumunu sağlar.

Basit sayısal matematiğin müzikteki varlığını ilkokulda müzik dersi

almış hemen hemen herkes bilir. Rakamları bu kadar aşikâr kullanan tek

sanat dalı olan müziğin asıl ilgi çekici yönü, armoninin gelişmesiyle

ortaya çıkmıştır. Farklı seslerin aynı andaki birlikteliğinden doğan uyum

anlamına gelen armoni, aslen doğanın içinde hep vardır. Karar sesle

uyum içinde bulunan bu seslere doğuşkanlar adı verilir. Doğanın

muhteşem geometrisi içinde söz sahibi olan armoniyi iyi müzik kulağına

sahip herhangi biri, doğanın birçok seslenişinde, belki kuşların ötüşünde

ya da elektrik tellerinin uğuldamasında bu doğuşkan sesleri sesleri

duyabilir. Örneğin tınılayan bir gitar telinin ardına daha az şiddetteki

armonik sesleri (doğuşkanları) iyi müzik kulağına sahip herkes

algılayabilir. Örneğimizi daha somut bir hale getirmek için deneysel

müzik tekniklerinden yararlanalım: Eğer karar sesimiz DO notasıyla

başlayan majör diziyse, ilk önce en şiddetli olarak DO, ince DO, SOL,

tekrar ince DO ve Mİ notalarını duyarız. Aslında bu dizi sonsuza kadar

ıraksar, ancak biz diğer sesleri duyamayız. Peki bu ne demek? Bu

durumu matematiksel olarak nasıl ifade ederiz ve matematik, armoniyi

geliştirmede ne işimize yarar? Doğadaki bu ahenkli seslenişi keşfeden

müzisyenler, yaptıkları matematiksel yaklaşımlarla ve gönüllerinin de

sesini dinleyerek modern armoninin temellerini attılar. Yukarıdaki

deneysel müzik sonuçlarına göre armonide 1-3-5 kuralı gelişmiştir. Yani

basit bir akort oluşturmak için dizinin birinci, üçüncü ve beşinci seslerini

tınlatmamız gerekir. Eğer evinizde bir müzik aleti varsa DO-Mİ-SOL

seslerini aynı anda tınlatarak siz de basit bir akort oluşturabilirsiniz. Ya

da derinlik hissi uyandıran modern bir caz akordu elde etmek isterseniz

buna bir de Sİ notasını eklemenizi öneririm. Öte yandan DO-FA sesi (1.

ve 3. sesler) ise uyumsuz sesler olduğundan insanda bir gerilim hissi

uyandırır. Orta çağda kilise tarafından yasaklanan bu gerilimli uyumsuz

sesler şeytan sesleri olarak nitelendirilmiştir. Ancak günümüz müziği,

kuralları yıkan bir yaklaşımla, uyumsuz sesleri güncel kültürümüzle

uyuşturmayı başarmıştır. Bugün profesyonel müzisyenler modern

müzikte kullanılan akortların hepsini basit matematiksel gösterimlerle

ifade ederek anlaşmaktadırlar.

Matematik ve Müzik, herkes ayrımsayamasa da tarih boyunca el

ele dünyamızı güzelleştirmişlerdir. Kimi matematikçilerin matematiğin bir

çeşit sanat, kimi müzisyenlerin ise müziğin bir çeşit bilim olduğunu iddia

etmeleri, herhalde birbirlerine duydukları hayranlıktan

kaynaklanmaktadır. Matematik yüzyıllar boyunca kendi evrensel dilini

oluşturarak akla hitap etmiş, müzikse aynı evrensellikte gönüllerin ortak

dilini oluşturmuştur. Bir de matemüzikçiler vardır: Hem gönülden hem de

akılla aynı anda konuşurlar, ya da en azından konuşulanları

dinleyebilmek isterler. Ne mutlu onlara…

ŞİFRELEME VE ASAL SAYILAR

Herkesin gizliliğe ve özel yaşama ihtiyacı vardır. Kimse, yazdığı bir

mektubun alıcısından başkası tarafından okunmasını istemez. Şifreleme

bilimi ve kriptoloji bu aşamada devreye girer. Yunanca gizlim anlamına

gelen kryptos sözcüğünden gelen kriptoloji, iletilecek bir mesajın, bir

fonksiyon kullanılarak değiştirilmesi ve sadece bu fonksiyonu bilen alıcı

tarafından okunabilmesi üzerine yapılan çalışmaları kapsar.

Bilinen en eski şifreleme yöntemi Sezar şifrelemesidir.

Komutanlarına göndereceği mesajların düşmanları tarafından

okunmasını istemeyen imparator, mesajlarında “harf atlama” yöntemi

kullanmıştır.

Jül Sezar (MÖ 100-MÖ44)

Her harfin yerine bir başka harf kullanan Sezar’ın mesajlarını,

sadece yöntemi bilen komutanları okuyabiliyordu. Sezar’ın yöntemini, “1

harf atlama” ile örneklendirelim. İletilecek mesaj “herkes matematik

dünyası okusun” ise, her harfi bir atlayarak yazdığımızda,

BİLİM VE TEKNOLOJİDE MATEMATİĞİN ÖNEMİ

CJMJNEFYF UFLOÖMÖKJEF NBUFNBUJHJO POFNJ

gibi anlaşılmaz bir cümle çıkar ortaya. Daha da karmaşık hale getirmek

istersek, aradaki boşlukları silip, mesajımızı

CJMJNEFYFUFLOÖMÖKJEFNBUFNBUJHJOPOFNJ

şeklinde yazabiliriz.

M yollayacağımız mesajı, E de şifreleme algoritmasını

simgeliyorsa, karşı tarafa, M yerine,

E(M)=C

mesajını yollarız. C, mesajın şifreli halidir. Deşifreleme algoritması, yani

şifreli mesajı anlamlı mesaja dönüştürme yöntemimizi de D ile

gösterelim. M mesajını E(M), yani C olarak alan kişi, E(M)’ye D

algoritmasını uygulayarak M’y bulmalı, yani,

D(E(M))=M

olmalı.

Sezar yöntemini alfabemize uygulayalım.

0, 1, 2,..., 28A B C ZM M M M

olsun. Atlama değerini p kabul edersek (yukarıdaki örnekte 1p idi;

p yi 1’den 28’e kadar herhangi bir tamsayı alabiliriz), o zaman, şifreleme

algoritması olan E ,

( ) (mod 29)i iE M M p

kuralıyla yazılabilir. Deşifreleme algoritması da aynı biçimde

açıklanabilir. Yukarıdaki p yi 29q p ile değiştirin:

( ) (mod 29)i iD M M q

olsun. Böylece, her i harfi için

( ( )) (mod 29)i iD E M M

olur.

Bu yöntemle en fazla 28 farklı şifreleme yapılabilir. ama her dilde

daha çok kullanılan harflerin ve bazı kalıpların olduğunu düşünürsek, bu

şifreleme yöntemini çözmek o kadar zor değildir.

Sezar, bu şifreleme yönteminin yeterli olmadığını düşünerek,

başka bir yöntem geliştirme çabasına girmiştir. Bulduğu ikinci yöntem,

ilkine göre daha güvenli olan, bir anahtar kullanarak metni şifrelemektir,

örneğin, anahtar 265314 olursa, birinci harfi ikinci konuma, ikinci harfi

altıncı konuma, üçüncü harfi beşinci konuma... koyarak mesaj

şifrelenecektir. BİLİM kelimesi bu anahtar ile MBİVLİ haline dönüşür.

Sezar’ın biraz önce komutanlarına gönderdiği mesajı anahtarla şifreler-

sek elde edeceğimiz metin, sözcükler arasındaki boşlukları kaldırırsak

MBİVLİNEKOETDLİEJOMMEATANTİÖĞİNİME gibi “anlamsız” bir şifreli

mesaj çıkar karşımıza. Elbette ki Sezar’ın komutanlarının 265314

anahtarına sahip olduğunu biliyoruz.

Sezar’ın devrini geride bırakıp günümüze dönelim. Bilgisayar çağında

şifreleme ve deşifreleme, bir bilgisayar ağında haberleşmede ve bilgi

güvenliğinde kullanılır. Hepimiz az çok interneti kullanıyoruz. İnternette

yol alan veri paketleri halka açık birçok ağdan geçer. Bu da, aktarılan

veri paketlerini ulaşılabilir kılar. Bu yüzden gönderilen verinin

şifrelenmesi gerekir. Ancak bu şifreleme yönteminin güvenilirliği de

önem kazanır. Çünkü günümüzün güçlü bilgisayarları, Sezar’dan kalma

şifreleri çözmekte hiç zorlanmıyorlar.

Günümüzde kullanılan modern ve güçlü şifreleme algoritmaları,

şifreleme yöntemi bilinmesine rağmen kolay çözülememektedir. Bu

algoritmaları güçlü kılan da budur. Bu algoritmalar, güvenliklerini farklı

uzunluk ve yapılardaki anahtarlarla sağlar. Hemen hemen tüm modern

algoritmalar şifrelemede ve şifre çözmede anahtarları kullanır.

Kullanıcı mesajını (M) göndermeden önce bir anahtar ile (K1) şifreler.

Şifreli mesaj (ŞM) ulaşılabilir kanallardan alıcıya gider. Alıcı mesajı

okumak için (K2) anahtarıyla şifreyi çözer ve (M) mesajını elde eder.

Kötü niyetli dinleyiciler şifreli mesaja erişebilirler ancak, kimileyin K1’e

sahip olsalar dahi, K2 ‘ye sahip olmadıkları sürece mesajı okuyamazlar.

Eğer K1 ve K2 eşitse sistem simetriktir. Aksi taktirde asimetrik sistem

olarak adlandırılır. Asimetrik sistemler daha güvenlidir elbet. Güvenliğin

garantilenmesi için K2 her zaman gizli olmalıdır. Eğer K1 kullanılarak K2

kolay kolay elde edilemiyorsa, K1 in açıklanmasının da bir sakıncası

yoktur. Bu durumda sisteme açık anahtarlı sistem adı verilir.

Mesajda kullanılan her simgeye (harfe) karşılık gelecek bir doğal sayı

bulunursa, yollanacak mesajın bir doğal sayı olduğunu varsayabiliriz.

Harflere karşılık gelen doğal sayıları dünya âlem bilebilir, bu önemli

olmayacak.

Birçok açık anahtarlı şifreleme yöntemi vardır. En yaygın kullanılanı

1977’de Ron Rivest, Adi Shamir ve Len Adleman tarafından yaratılan

RSA algoritmasıdır. RSA bu üç kişinin soyadlarının ilk harflerinin

biraraya getirilmesiyle oluşturulmuştur. RSA algoritmasıyla anahtar

üretme yöntemi şöyledir:

1. Birbirinden farklı iki p ve q asal sayı seçilir. Bu asallar ne kadar

büyük olursa, şifrenin kırılması da o kadar zor olacaktır.

2. n = pq çarpımı hesaplanır.

3. (p -1 )(q - 1) tane n’den küçük ve n’ye asal olan doğal sayı vardır.

( ) ( 1)( 1)n p q olsun.

4. 1 < e < < ( )n eşitsizliğini sağlayan ve ( )n ’ye asal olan bir e sayısı

bulunur. (Eğer p = 2, q = 3 ise, ( )n = 2’dir ve böyle bir e sayısı yoktur,

ama dediğimiz gibi p ve q büyük asallar olacak.)

5. de = 1 (mod ( )n ) denkliğini ve 1 < d < ( )n eşitsizliğini sağlayan

bir d doğal sayısı bulunur. Bu özellikleri olan bir ve bir tek d doğal sayısı

vardır.

Böylece p ve q asallarından, n, ( )n , e ve d sayılarını türetilir. Bu

sayıların özelliği şudur: x, hangi tamsayı olursa olsun, (mod )edx x n

denkliği sağlanır. Mesajı yollayan kişi, x yerine xe (mod n) sayısını yollar.

Mesajı alan kişi de aldığı xe (mod n) sayısının e’inci gücünü modülo n

hesaplayarak x’e en azından modülo n ulaşır. Eğer x < n ise o zaman

tam olarak x’i bulabilir, (p ve q çok büyük olduklarından, n de çok çok

büyüktür, örneğin Çin alfabesi de dahil olmak üzere, tüm dünya

dillerinde kullanılan simge sayısından çok daha büyüktür ve böylece

yollanacak x sayısının n'den küçük olmasını sağlamak sorun yaratmaz.)

Yollanan xe (mod n) mesajına/sayısına ulaşan kişi, n’yi bilse bile, eğer

d’yi bilmiyorsa x’i bulamaz.

Şifreleme için kullanılan anahtar (açık anahtar) n ve e yi içerir. Şifreyi

çözmek için kullanılan özel anahtar ise n ve d yi içerir.

Aslında n ve e yi bilen biri, teorik olarak kolaylıkla d yi bulabilir. Şöyle

yapar: n yi asallarına ayırarak p ve q yü bulur. Sonra ( )n yi hesaplar.

SERBEST SÖNÜMSÜZ HAREKET

Eğer biz sadece ne sönümlü ne de dış kuvvet etkisi olan, bir yaya

bağlı bir kütleye sahipsek, (3) denklemi,

0mx kx

basit formunu alır. Genellikle

0

k

m

alınıp (8) denklemi

2

0 0x x

formunda yeniden yazılır. (8’) denkleminin genel çözümü

0 0( ) cos sinx t A t B t

olur.

SERBEST SÖNÜMLÜ HAREKET

Üzerinde çalıştığımız diferensiyel denklem dış kuvvetsiz, sönümlü

hareket durumunda 0mx cx kx şeklini alır. Alternatif olarak,

2

02 0x px x (15)

dir. Burada 0 /k m karşılık gelen sönümsüz dairesel frekans ve

02

cp

m

(16)

dir. (15) denkleminin 2 2

02 0r pr karakteristik denkleminin kökleri

2 2 1/2

1 2 0, ( )r r p p

(17)

dir. Bu kökler,

2 2

2 2

0 2 2

4

4 4

c k c kmp

m m m

ifadesinin işaretine bağlıdır. crc kritik sönümü, 4 /crc k m ile verilir ve

crc c , crc c veya crc c için üç durum vardır.

SÖNÜMSÜZ ZORLANMIŞ SALINIMLAR

0( ) cosF t F t dış kuvveti altında sönümsüz zorlanmış harmonik

hareketi incelemeye, (1) ile verilen denklemde 0c konduğunda elde

edilen

0 cosmx kx F t (4)

denklemi ile başlayabiliriz. Bu denklemin tamamlayıcı çözümü

1 0 2 0cos sincx c t c t dir. Burada

0

k

m

kütle yay sisteminin (dairesel) doğal frekansıdır. Öncelikle, dış ve doğal

frekansların eşit olmadığını varsayalım. 0 . Özel çözümü bulmak için

(4) denkleminde cospx A t koyalım ( px de sinüslü terime ihtiyaç yoktur.

Çünkü (4) denkleminin sol tarafında x nü içerek terim yoktur). Buradan

2

0cos cos cosm A t kA t F t

ve böylece

0 0

2 2 2

0

/F F mA

k m

(5)

elde edilir. Sonuç olarak

0

2 2

0

/( ) cosp

F mx t t

(6)

dir. Dolayısıyla c px x x genel çözümü

01 0 2 0 2 2

0

/( ) cos sin cos

F mx t c t c t t

(7)

ile verilebilir. Denklemdeki 1c ve 2c sabitleri 0x ve 0x başlangıç

değerlerinden hesaplanabilirdir. Denklem yeniden düzenlenirse

00 2 2

0

/( ) cos( ) cos

F mx t C t t

(8)

elde edilir. Sonuçta elde edilen hareketin, doğal dairesel frekansı 0 ve

dış kuvvet frekansı da olan iki salınımın üst üste eklenmesi olduğu

görülür.

UZAY GEMİSİNİN İNİŞİ

Uzay gemisi sabit V hızıyla dünyadan uzakta M kütleli ve R

yarıçaplı bir gezegene yaklaşıyor. Fren sistemi harekete geçtiğinde

gezegenin yüzeyine çarpana kadar sabit T itme kuvveti sağlanmaktadır.

Frenleme sırasında gezegenin merkezine olan ( )x t uzaklığı

2

2 2

d x GMT

dt x (1)

diferensiyel denklemini sağlamaktadır. Burada 116.6726 10G N.(m/kg)2

dir. Burada şu soru karşımıza çıkmaktadır: Yüzeyden ne kadar

yükseklikte frenleme sistemi harekete geçsin ki yumuşak bir iniş

yapılabilsin? Makul bir problem için

24

6

4

2

5.97 10 ( )

6.38 10 ( )

10 ( / )

( / )

M kg

R m

V p km h

T g q m s

alınabilir. Burada 2/g GM R gezegenin yerçekimi ivmesidir. Kimlik kartı

numaranızdan p yi sıfır olmayan en küçük ondalık sayı q yu sonraki sıfır

olmayan en küçük ondalık sayı olarak seçilirse, doğru “ateşleme

yüksekliği” metre yakınlığında ve “iniş zamanı” ise saniyenin onda biri

yakınlığında olmak üzere bulunmuş olur.

KEPLER’İN GEZEGENLERİN(VEYA UYDULARIN) HAREKET

KANUNU

M kütleli bir gezegenin çevresine eliptik yörüngeli bir uyduyu göz

önünde bulundurunuz ve fiziksel birimlerin GM=1 (Burada G yerçekimi

sabiti) olacak şekilde seçildiğini kabul ediniz. Eğer gezegen xy-

düzleminde orijinde ise uydunun hareket denklemleri

2 2

2 2 2 3/2 2 2 2 3/2,

( ) ( )

d x x d y y

dt x y dt x y

(2)

dir. T, uydunun dönme periyodu olsun. Kepler’in üçüncü kanununa göre

T nin karesi, uydunun eliptik yörüngesinin büyük yarı ekseninin kübü ile

orantılıdır. Eğer özel olarak GM=1 ise

2 2 34T a (3)

dür. Böylece uydudaki sistem dört tane birinci mertebeden diferensiyel

denkleme sahip olan bir sisteme dönüşür.

a) 4 X 4 lük bir sistemi

(0) 1, (0) 0, (0) 0, (0) 1x y x y

başlangıç şartları ile sayısal olarak çözebiliriz. Bu teorik olarak 1a

yarıçaplı dairesel yörüngeye karşılık gelir. Böylece Denklem (3), 2T

sonucunu verir.

b) Şimdi sistemi

1

(0) 1, (0) 0, (0) 0, (0) 62

x y x y

başlangıç şartları ile sayısal olarak çözülebilirdir. Bu, 2a büyük yarı

eksenli bir eliptik yörüngeye karşılık gelir. Böylece Denklem (3), 4 2T

ifadesini verir.

HALLEY KUYRUKLU YILDIZI

Halley kuyruklu yıldızı yörüngesindeki güneşe en yakın noktaya en

son 9 Şubat 1986’da ulaşmıştır. O andaki kuyruklu yıldızın konumu ve

hız bileşenleri sırasıyla

0

0

(0.325514, 0.459460,0.166229)

( 9.096111, 6.9116686, 1.305721)

p

v

şeklindeydi. Burada konum AU’daki konum ve (Astronomik birim, ki

burada birim uzaklık, dünyanın yörüngesinin büyük yarı eksenidir) ve

zaman ise yıl bazındadır. Bu sistemde kuyruklu yıldızın hareketinin üç-

boyutlu denklemleri

2 2 2

2 3 2 3 2 3, ,

d x x d y y d z z

dt r dt r dt r

(4)

şeklinde olup, burada

24 ve 2 2 2r x y z

dir.

KUYRUKLU YILDIZ

1997 de doğum gününüzden bir gece önce, teleskopunuzu bir

dağın tepesine yakın bir yere yerleştiriniz. Eğer o gece hava açık ise o

takdirde şans size güldü demektir: Saat 00:30’da yeni bir kuyruklu yıldız

gördüğünüzü kabul edersek, onu takip eden gecelerdeki

gözlemlerinizden sonra, kuyruklu yıldızın ilk gecedeki 0 0 0 0( , , )p x y z

güneş sistemi koordinatlarını ve 0 0 0 0( , , )v vx vy vz hız vektörünü

hesaplayabilirsiniz. Bu bilgileri kullanarak;

Kuyruklu yıldızın yörüngesi üzerinde güneşe en yakın olduğu

perihelyon nokta ve güneşten en uzak olduğu afelyon nokta,

Kuyruklu yıldızın güneşe en yakın ve en uzak olduğu noktadaki

hızı,

Kuyruklu yıldızın güneş etrafındaki dönme periyodu ve

Kuyruklu yıldızın güneşe en yakın iki geçiş tarihi belirlenebilirdir.

ALTIN ORAN

Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklid’in

Stoikheia ("Öğeler") adlı yapıtında "aşıt ve ortalama oran" adıyla kayda

geçirilmiştir. Eldeki veriler, bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısır’da

İ.Ö. 3000 yılına kadar dayandığını göstermektedir. Grek dünyasına da

Pythagoras ve Pythagoras’cular tarafından tanıtıldığı ileri sürülür.

Altın oran, (Fi) sayısı olarak bilinir. Bu sayı, Eski Yunan düşünürleri

tarafından bulunmuştur, ancak Fi sayısını kimin tanımladığı kesin olarak

belli değildir. Eski Yunan düşünürlerinin bazılarının, Fi sayısının yerine

(to) sayısını kullandıkları da bilinmektedir.

İ.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük

matematikçilerinden biri olan Pisagor, altın oranla ilgili aşağıdaki

düşüncelerini dile getirmiştir:

Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin

oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin

uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir?

Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük

parçaya oranına eşittir.

Altın oran, günlük yaşantımızda, matematiğin estetik güzelliğe etki

ettiği her alanda karşımıza çıkan bir kavramdır. Altın oranın çok çeşitli

tanımları verilebilir ama altın oran, neticede matematiksel bir kavramdır

ve değeri de 1,618033.... olarak devam eden ondalık bir sayıdır. Altın

oranın matematiksel anlamına geçmeden önce altın oranın karşımıza

çıktığı bazı alanlara değinelim.

Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için

uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki orandır. Buna benzer olarak, bir

doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma

oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse

tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir.

Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir:

Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki

sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık

sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da -

0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.

Altın Oranın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve

soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir

altın oran mevcuttur.

3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden

fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu

noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak

çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize

altın oranı verecektir.

4) İnsan Vücudu: İnsan vücudunda Altın Oran'ın nerelerde

görüldüğüne bakalım:

a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme

ayırır.(Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst

bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun

tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var

diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt

boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst

boğuma oranı yine altın oranı verir.

5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.

6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri...

Şimdi ne alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri?

Alaka şu; Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın

oranı veriyor.

7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri

ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları

inceleyelim.

a) Mona Lisa: Mona Lisa'nın başının etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde

ortaya çıkan dört kenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz

hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran

elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.

b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı

verir.

8) Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve

resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

9) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit

bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru

spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın

orandır.

10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına

dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz

kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin

tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz

konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.

12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

13) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu

düzlem bir dikdörtgen oluşturur. İşte bu dikdörtgenin boyunun enine

oranı yine altın oranı verir.

15) Mimar Sinan: Mimar Sinan'ın da birçok eserinde bu altın oran

görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin

minarelerinde bu oran görülmektedir.

MOİRE MOTİFLERİ

Moire motiflerinin, matematiksel çözümlemesi en basit olanları, paralel

doğrulardan oluşan iki şablonun üst üste getirilmesiyle elde edilenlerdir.

Hesap yaparken, bu türden bir şablon için bilmemiz gereken tek şey,

paralel doğruların adımı, ya da bir başka deyişle, dalga boyudur. Bunu g

simgesiyle adlandıralım. Bir adım, siyah çizgilerden birinin başlangıcıyla,

bir sonrakinin başlangıcının aralığıdır. Siyah çizgiler ve boşlukların eşit

kalınlıkta olduğu alışıldık şablonlar için g, siyah çizgilerin kalınlığının iki

katına eşittir.

Elimizde, adım değerini bilmediğimiz bir şablon varsa, olabildiğince

hassas bir cetvelle, bize tam sayı ölçümü veren en az sayıdaki çizgiyi

ölçelim: Cetvelin sıfır noktası, siyah çizgilerden birinin başlangıç

sınırında olmalı. Çizgilerin cetvele tam dik olmalarına da dikkat etmeliyiz.

Sıfırdan sonraki birkaç çizgiyi atlayıp, milimetre ya da santimetre

işaretlerinden biriyle tam olarak çakışan ilk siyah çizgi başlangıcını

bulalım. Önceki e sonraki çizgileri incelediğimizde, gözümüze

kestirdiğimiz çizginin, en iyi çakışanı olduğundan emin olabilmeliyiz.

Cetvelden okuduğumuz uzunluğu, saydığımız adım adedine bölerek, bir

adımın uzunluğunu yani g değerini bulabiliriz.

Paralel doğru şablonlarıyla elde edilebilecek en basit moire motifi,

adım değerleri arasında biraz fark olan iki şablonun üst üste

bindirilmesiyle oluşur. Küçük adım değerine g1 ve bundan biraz daha

büyük olana da g2 diyelim. Ortaya, adım değeri daha büyük olan, yeni

bir paralel doğru motifi çıkar. Elde ettiğimiz motifin adım değerine de G

diyelim. Sağduyumuz, G değerinin, g1 ve g2 üzerinden

h9esaplanabileceğini söylüyor. Gerçekten de öyle… Ama, öncelikle

neler olup bittiğine biraz daha yakından bakalım: Testere dişi grafiği,

elimizdeki moire motifinin katmanlarını gösteriyor. Grafiğin tepe noktaları

beyaz, çukurları siyah alanlar. En alttaki grafik, elde edilen motife aittir.

Başlangıçta, iki şablonun siyah alanları çakışmış. Bu, aralıklardan

beyaz alanların kolayca seçilebildiği anlamına geliyor. İlerledikçe, siyah

çizgiler yaklaşıp, beyaz alanları kapatıyor. Siyahın en yoğun olduğu

noktadan sonra, beyaz yavaş yavaş yeniden beliriyor. Her şeyin başa

döndüğü nokta, iki şablonun yeniden kesiştiği noktadır.

Bunu daha hızlı koşan bir atın, diğerine tekrar tekrar tur

bindirmesine benzetebiliriz. Tur bindirme noktaları, en beyaz alanlardır.

Bizim Örneğimizde tur bindirme noktaları, aynı zamanda, yarışın

başlangıç noktasına denk geliyor. Bir tur süresi de, oluşan motifin

adımına, yani G değerine. Bir tur boyunca uzun adımlı şablonlarda n

adım atılmışsa, kısa adımlıda, n+1 adım atılmıştır. Bunun matematiksel

gösterimi basitçe şudur:

G=ng2 = (n+1)g1

Burada 1/g2 = n/G ve 1/g1 = (n+1)/G olduğuna dikkat edip n’lerden

kurtulursak:

1/G = 1/g1 -1/g2

eşitliğini elde ederiz. Peşinde olduğumuz matematiksel ilişkiye ulaştık.

Ama bunu daha şık biçimde yazmak hala olası. Eşitlikteki g’lerin adımı,

yani dalga boyunu gösterdiğini hatırlayalım. Hemen aklımıza

gelebileceği gibi, dalga boyunun tersi, frekansı verir. Eşitliği, frekans

ifadeleriyle yeniden yazarsak:

F = f1 – f2

eşitliği ortaya çıkar. Kolayca akılda kalacak ve güzel görünen bir ilişki…

Farklı adımlara sahip paralel doğru şablonlarıyla oynayacak

olursanız, ilk olarak dikkatinizi çekecek şeylerden biri, şablonlardan birini

hafifçe ilerlettiğinizde, oluşan motifteki çizgilerin çok daha hızlı hareket

edeceğidir. Moire motiflerinin ününün, küçük sapmaları büyüterek

yansıtmaları olduğunu başta zaten söylemiştik. Acaba, şablonlardaki

kadarlık bir kayma, oluşan motifte ne büyüklükteki bir harekete yol açıyor

dersiniz?.. Demin başvurduğumuz testere grafiğine yeniden göz atıp,

ikinci şablonu g2/2 kadar oynattığımızı düşünürsek, motifin, G/2 kadar

oynayacağını öngörebiliriz. Şablonu, g2/4 kadar oynatırsak, bu kez de

motif G/4 kadar ilerleyecektir. Bunu genelleyecek olursak, şablondaki

kadarlık hareketin, motifteki ∆ kadarlık hareketle ilişkisi

2( / )G g

olur.

MONTE CARLO YÖNTEMİ

Tarihçesi 16. yüzyıla kadar uzanan olasılık teorisi, 20. yüzyılda

temellendirilmiştir. Ancak bu yüzyılda, fizikçiler ve mühendisler, gerçel

dünyada ve doğada meydana gelen rastgele olayların ve bunları

yöneten yasaların öneminin farkına vardılar.

sayısı, diğer tüm matematik dallarında olduğu gibi, olasılık

teorisinde de sıklıkla görülür. “Buffon’un İğne Deneyi” buna iyi bir

örnektir.

Buffon kontu G. Louis Leclerc, 1777’de şu problemi ortaya attı:

“L uzunluğunda bir iğne, üzerinde iğne uzunluğundan daha uzun

bir d aralığında çizgiler olan yatay bir düzleme rastgele atılsın. İğnenin

çizgilerden birine değme olasılığı nedir?” (Burada “rastgele”, iğnenin orta

noktasının, her konumunun eşit olasılıkta olduğu anlamındadır).

İğnenin orta noktasının en yakın çizgiye uzaklığı x, ve iğnenin

çizgilere göre yönü olsun (Şekil a). Şekilden anlaşılacağı gibi

1sin

2x L

koşulu sağlandığında iğne çizgiye değer. x in bu koşulu

sağlama olasılığını bulmak için ( , )x Kartezyen koordinat sisteminde,

0<x<d/2 ve 0< < koşullarını sağlayan noktalardan oluşan bir

diktörtgen tanımlanabilir (Şekil b). İğne rastgele atıldığı için, diktörtgen

içindeki her nokta eşit olasılıktır. İğnenin çizgiye değmesi ise

1sin

2x L

eğrisinin altındaki noktalarda olasıdır.

Tercih edilen olayların, tüm olaylara oranı P’yi, yani olasılığı

verirse:

lgtaralı bö enin alanıP

diktörtgenin alanı

yani:

0

1sin

2 2

2

L dL

Pd d

ve bu bağıntıdan

2L

dP

elde edilir.

P, deneyin sürekli yinelenmesiyle ve çizgiye değen iğnelerin tüm

deney sayısına bölünmesiyle bulunabilir. L ve d bilindiğine göre, için

yaklaşık bir değer hesaplanabilir.

Pek çok uygulama alanı bulan bu tür yöntemlere, şansa

dayanması nedeniyle “Monte Carlo Yöntemi” adı verilir.

PERVANE NİYE KENDİNİ YAKAR?

Işık kaynağı etrafında dönerek uçuş yapan böcek pervane,

uçuşunu yönlendirmek için Ay ışığından istifade eder. Pervane bu

özelliğini uzun bir evrimsel süreç sonucunda kazanmıştır. Bilinen odur ki,

pervanenin gözü çok sayıda borucuklardan meydana gelmiştir. Bu

borucuklardan her biri ışığı yalnız bir yönden alır. Pervane uçtuğu

zaman, Ay’ı bir borucuğun içinde muhafaza eder, yani uçmak istediği

yön ile Ay7a olan yön arasındaki açıyı sabit tutar. Bu yüzden, pervane A

noktasından F noktasına uçarken uçuş yörüngesinin her noktasında

(Şekil 1) açısı sabittir. Ay olabildiğince uzakta olduğu için yörüngenin

her bir noktasından Ay’a doğru istikametler birbirine paraleldir. buna

göre pervanenin A noktasından F noktasına uçuşu en kısa mesafede

düz bir hat olur.

Şekil 1

Ancak pervane uçuşunu yönlendirmek için yanlışlıkla Ay yerine başka bir

ışık kaynağını (örneğin, mum veya lamba) seçerse o zaman pervanenin

uçuş yörüngesi artık düz bir hat olmaz. Çünkü ışık kaynağı yakın

mesafede olduğu ve uçarken pervane açısını sabit koruduğu için uçuş

yörüngesi eğrilik.

Şekil 2

Açıktır ki, pervanenin uçuş yörüngesi üzerinde alınmış herhangi M

noktasında;

, tan( ) tan( ) tan( ) ,

tan tan( ) tan , tan , tan( )

1 tan tan

m

yy x

x

Bunları dikkate alırsan sonuncu formülden pervanenin hareket

yörüngesinin aşağıdaki şekilde diferansiyel denklemini buluruz:

(1 )y y

y m yx x

Bu denklem, y-değişkenini u = y/x ile değiştirmekle değişkenlerine

ayrılan diferansiyel denklem haline gelir:

2

(1 )

(1 )

mu duy dx

m u x

Bu denklemde her iki tarafın integralini alarak,

2 21arctan ln ln

yx y C

m x

elde edilir. Polar koordinat sistemine geçip,

2 2 , arctany

r x yx

C sabitini pervanenin başlangıç anında, yani 0 da A noktasında

olması şartından bulabiliriz. C = OM.

Pervanenin ışık kaynağı (lamba, mum, vb.) etrafında böyle

uçuşlarını pek çok kez görmüşüzdür. Bu uçuş esnasında sprilavari

yörüngeden bazen sapmaların meydana geldi dikkatimizi çekmiş olabilir.

Bunun sebebi, pervane ışık kaynağına yaklaştıkça, ışık kaynağında bazı

değişikler olduğunu hissediyor. Işık kaynağının büyüklüğüyle beraber

sıcaklığının da arttığını fark edince uçuş açısını değiştiriyor. 90

seçerek ışık kaynağından uzaklaşır. Sonra 90 seçerek pervane

muma yaklaşır. Işık kaynağına olan mesafe azalınca açışı değiştirerek

tekrar ışık kaynağından uzaklaşır ve bu olay böyle devam eder. Işık

kaynağına veya ateşe karşı “aşkı” sonsuz olan pervaneler ise uçuş

yörüngelerini değiştirmezler ve kendilerini ateşe atıp yakarlar. Spiralvari

yörüngeden pervaneyi uzaklaştıran diğer bir sebep ise, eğri hat boyunca

uçan pervaneye etki eden eylemsizlik kuvvetidir.

alırsak bu durumda hareket yörüngesinin denklemi aşağıdaki şekle dönüşür: r = C exp(- j / m) (Bu formül ile belirlenen eğriye “logaritmik spiral” denir. Eğer pervane hareket açısını a > 90 alarak uçuşa başlarsa ışık kaynağından uzaklaşır. a > 90 alırsa spiral eğrisi boyunca ışık kaynağına yaklaşır. a > 90 alırsa ışık kaynağı etrafında çember boyunca döner).

ORGANİK BİR “YAP BOZ” DNA

Yıllardır, bilim adamları bir atomdan pek de büyük olmayan

cisimler tasarlamayı ve yapmayı hayal ediyor. Kimilerine göre, bilim

adamları bunu başardıklarında, ortaya çıkacak mucizelerin listesi sonsuz

olacak: tek bir molekülün içine bilgi depolayabilen mikroskopik

bilgisayarlar, kendilerini milyarlarca kez çoğaltabilen makineler, virüsleri

yok etmek için hastanın vücudunda dolaşan minyatür tıbbi robotlar…

Seeman’ın basit DNA düzenlemeleri, geleceğe ait bu tür

uygulamalardan oldukça uzak, ancak belki de bu uzak hedefe

ulaşabilmek için atılacak en önemli adımdır.

Çok küçük yapıtaşları olan yapım projelerinde DNA kullanımını uygun

yapan bir özellikler vardır: DNA kendi kendine birleşiyor. Uygun koşullar

altında doğru DNA zincirleri bir deney tüpüne koyulduğunda

kendiliğinden birbirlerine tutunacaklardır. Gerçekten de, test tüpüne

konulan DNA miktarına bağlı olarak milyonlarca ya da milyarlarca farklı

yapı kendiliğinden oluşuyor. DNA’nın genetik şifreyi taşıyabilme

becerisinin temelinde bu kendiliğinden birleşmenin getirdiği kolaylıklar

vardır. Her biyoloji öğrencisinin bildiği gibi, DNA doğal olarak ikili sarmak

şeklindedir –birbirine fermuar gibi tutunarak, sarmal bir merdiven

biçiminde kıvrılmış olan iki uzun molekül. Hücre bölünmesi sırasında ya

da DNA’nın kopyalanmasının gerektiği özel durumlarda, bu çift sarmak

fermuar açılarak iki zincire ayrılır; ancak bu zincirler ilk fırsatta

kendiliğinden birbirlerine bağlanır. bu karşılıklı çekim, zincirlerin

yapısından kaynaklanır. Her bir DNA zinciri baz olarak adlandırılan

birimlerden oluşan diziler içerir. A, T, G ve C (adenin, timin, guanin ve

sitozin) olarak adlandırılan bu dört çeşit bazdan A ile T arasında ve G ile

C arasında kimyasal bir çekim vardır.

Ünlü Problemler

Yeryüzünde henüz cevabını kimsenin bilmediği sorular şunlardır.

Goldbach Kestirimi

Asal Sayılardan Karışık

Mükemmel Sayı Sorusu

Palindromik Sayılar

Collatz Problemi

Riemann Hipotezi

Binyılın Problemleri

Goldbach Kestirimi

1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift

sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya

doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek

göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi

olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi.

Bu heyecan o gün bugündür tüm matematik severleri sardı. Yine de

henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2′den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı)

ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin:5=2+3;

7=4+3; 9=6+3…) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da

üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek)

Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yoktur.

Asal Sayılardan Karışık

Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı

sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte

bunlardan birkaçı:

* n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır?

* İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz

tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..???

* Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan

(ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal

çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği

sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da

Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen

aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman

içerir mi?

* (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

* Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen

Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu

katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler

de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir

asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal

olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5′e kadar tüm doğal

sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan

fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının

641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması

beklenen önermelerden bir diğeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir”

kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5

tane Fermat asalının bulunmasıdır.

*Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu

çağdaşı Mersenne 2n – 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu.

Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal

olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11′e kadar

doğru çalışan fikir 11′de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de

yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n – 1′in asal olması için n’nin asal

olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların

peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen

Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

Mükemmel Sayı Sorusu

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini

veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki

çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer

örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek

mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının var

olup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup

çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat

çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip

olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan

sayılardır:

1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.

Bu alandaki açık soru ise şöyle:

Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılacak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz

sayı1′dir.

Örneğin 8 sayısını ele alalım:

8-(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1

5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1

Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1

sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç

basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece

bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde

koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da var olabilir ve

bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

Riemann Hipotezi

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman

matematikçi G.F.B. Riemann (1826 – 1866) asal sayıların dağılımlarının

Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili

olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

Bu fonksiyon s’nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm

önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine

düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu

doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için

doğru olduğunun ispatlanması. Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül

konulduğunu unutmayın!

Binyılın Problemleri: 1 milyon dolar kazanmak isteyenlere!

1 milyon dolar, yani bugün yaklaşık 1,5 milyon YTL (1,5 trilyon TL)

kazanmak ister misiniz? Bunun için yapmanız gereken tek şey,

belirlenmiş 7 sorudan birinin doğru cevabını vermeniz lazım. Defter,

kitap serbest; süre sınırlaması da yok! Cevabı ilk veren siz olun da

isterseniz aradan 100 yıl geçsin. Dikkatli olun, çünkü söz konusu sorular,

yeryüzünde henüz yanıtını kimsenin bilmediği ve uzun yıllar boyu

çözülmeye ısrarla direnen cinsten sorular. Aynı zamanda, cevabı

bulanın da yaşam standartlarını değiştirecek sorular bunlar. İlginç olansa

başarıya ulaşan insanlar, özellikle de matematikçiler, bu paranın hayalini

kurdukları için değil matematik yapmayı sevdikleri ve bu alanda başarı

istedikleri için kolları sıvıyorlar. Para, bu başarının sonunda gelen bir

ödülden başka birşey değil, onlar için.

Cambridge Massachusetts ‘de kurulan Clay Matematik Enstitüsü, 24

Mayıs 2000′de çözülmekte inatçı, matematiğin farklı branşlarındaki 7

problemini Milenyum Problemleri olarak adlandırdığını ve her bir

problemi ilk çözen kişiye 1′er milyon dolar vereceğini ilan etti. Bu soruları

anlamak, bir parça matematik temeli gerektiriyor. Bu durum matematiğin,

hızla büyümesinin ve lise eğitiminin onu yakalamaya yetmemesinin bir

sonucu olabilir. Soruları anlamak için üniversitede matematik okumak

şart değil elbette, sadece Fermat’ın son teoremini, Goldbach ya da ikiz

asallar kestirimini anlamaktan daha fazla çaba sarf etmek lazım. Eğer

Riemann Hipotezi, P, NP’ye karşı Hodge Kestirimi, Yang-mills Kuramı,

Poincare Kestirimi, Navier Stokes denklemleri, Birch ve Swinnerton-Dyer

Kestirimi başlıklı sorulardan birinin yanıtını bulduysanız bu

organizasyonu yapan Clay Matematik Enstitüsü’ne yollamadan önce

uluslararası kabul gören hakemli bir dergide yayınlamanız gerekiyor.

Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org

*Clay Enstitüsü’nün belirlemiş olduğu bu 7 problemin 1 tanesi, Pointcaré

Kestirimi 2006′da resmi olarak teorem haline geldi. Petersburg’daki

Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grişa Perelman’ın 2002′de

yayınladığı ispatın doğru olduğu resmen 2006 Dünya Matematikçiler

Birliği’nin Madrid’teki kongresinde açıklandı. Diğer taraftan, Navier-

Stokes Denklemleri’nin de 2006 içinde çözüldüğü duruldu. Ancak

değerlendirmeler devam ediyor. Şu an için 1000 yılın problemlerinden

çözüm bekleyenlerin sayısı 5 taneye düşmüş gözüküyor.

GÖRÜNTÜNÜN MATEMATİĞİ

Grafik yazılımı, kullanım amacına göre ikiye ayrılır. Bunlar genel

grafik paketleri ve özel amaçlı uygulamalar için kullanılan paketlerdir.

Genel grafik program paketleri geniş kapsamlı grafik uygulamaları için

kullanılır. Bunlar C veya benzeri üst düzeyli programlama dilleri inden

kullanılırlar. Genel grafik program paketleri için bir örnek Silicon

Graphics iş istasyonlarında bulunan GL (Graphic Library) sistemidir.

Genel amaçlı paketlerin sağladığı işlemler temelde şunlardır: Düz

çizgiler, çokgenler, daireler, diğer geometrik şekil örneklerini oluşturmak,

renk ve yoğunluk değerleri, görüntülerin seçimi ve dönüşüm

uygulamaları. Boyama-tonlama-aydınlatma yöntemlerinden bir kısmı da

artık genel amaçlı yazılım sistemlerinde bulunmaktadır. Bu tür yazılımları

kullanacak kişinin bilgisayar grafiği ile programlama bilgisi olması

beklenir. Özel amaçlı grafik yazılımları ise kullanıcılardan grafik

işlemlerinin nasıl yapılacağı ve nasıl program yazılacağı bilgisini

beklemeden rahatça kullanılmak üzere hazırlanmıştır. Bu tür paketlerde

ara birimler, kullanıcının kendi istekleri doğrultusunda programlarla

bağlantı kurmasını sağlar. Bu uygulamalara boyama-aydınlatma

programları, çeşitli işletmecilik, tıbbi ve bilgisayar destekli tasarım (CAD)

yazılımları örnek verilebilir.

Koordinat Tanımları

Genel grafik paketleri, ç k azı dışında, kartezyen koordinatları ile

kullanılmak üzere tasarlanmışlardır. Eğer koordinat değerleri başka

şekillerde (küresel, parabolik, vb.) alındıysa, bu değerler grafik

paketlerine girilmeden önce kartezyen koordinatlarına çevrilmelidir. Özel

amaçlı paketler, uygulamalara elverişli hale getirilmiş diğer koordinat

türleri kullanma olanağı verir. Genelde ekranı oluşturmak ve

görüntülemek için değişik hiyerarşik koordinat düzenlemeleri kullanılır.

Ekranda gösterilecek ağaç, mobilya gibi birçok nesne, önce model veya

yerel koordinat ile şekillendirilebilir. Nesnenin şekli belirlendikten sonra

“dünya” veya gerçek koordinat olarak adlandırılan sistem içinde alması

gereken uygun konuma getirilir. Son olarak gerçek koordinat sistemi

ekranda görüntülenmek için ekran koordinat sistemine dönüştürülür.

Ekran koordinat sistemi, ekranı oluşturan görüntü elemanları

birimindedir. Model veya gerçek koordinatlar ise, uzunluk birimleri,

zaman birimleri gibi gösterilecek nesnelerin hakiki boyutları ile ilintilidir.

Grafik Fonksiyonları

Genel amaçlı grafik yazılımlar çeşitli işlemler kullanarak resimleri

yaratmayı ve uyarlama yapmayı sağlar. Bu işlemler girdi, çıktı, özellikler,

dönüşümler, bakış, gösterim veya genel denetimleri içerir.

En temel yapı blokları çıktı işlemleri olarak adlandırılırlar. Bunlar

bazı karakter biçimleri, noktalar, düz çizgiler, eğri çizgiler ile bazı alanlar

(çokgenler, daireler) gibi geometrik şekilleri ve renkli noktalarla

doldurulabilen alanları içerirler. Çıktı işlemleri resimlerin ortaya

çıkarılması için en temel yazılım parçalarıdır.

Özellikler, çıktı işlemleri öğelerinin nasıl gösterileceğini açıklar.

Bunlar yoğunluk ve renk bilgileri, çizgi türleri, yazı stilleri ve alan

doldurma desenleri içerir. Bu kategorideki işlemler her bir çıktı öğesi için

gerekli vasıf ve özellikleri oluşturmayı sağlar.

Geometrik dönüşümler kullanarak ekran içinde nesnenin boyutu,

konum veya yönlerini değiştirebiliriz. Benzer olarak, model dönüşümleri,

model koordinatlarındaki nesne tanımları kullanılarak ekranının içinde

nesnenin boyutu, konum veya yönlerini değiştirebiliriz. Benzer olarak,

model dönüşümleri, model koordinatlarındaki nesne tanımları

kullanılarak ekranın oluşturulması için kullanılır.

Model ve gerçek koordinatlarda görüntülenecek sahne

hazırlanınca, grafik yazılımlar bakış yönü ve bakış uzaklığına göre

gösterim dönüşümlerini yaparlar. Bu dönüşümler ortaya çıkacak

görüntüleri, kullanılacak çıktı aygıtına göre izdüşüm alarak ekran veya

ekran parçasına yerleştirirler.

Resimler gerekirse belirli parçalara bölünebilirler. Bu parçalara

yapı, bölüm veya nesne adı verilir. Her bir yapı, resmin bir mantıksal

birimini tanımlar. Bu birimler bölüm veya nesne diye tanımlanan alt

birimlerden oluşur.

Apollonius

YAKAN AYNALAR

Diocles de konikleri çalışmıştır. Eserinin adının “Yakan Aynalar”

olması boşu boşuna değildir. Parabolün odak noktasından çıkan bir ışık

huzmesini eksenine paralel olarak yansıttığını (araba farlarının modelini)

ilk o keşfetmiştir. Ayrıca parabolün odak noktası ve doğrultmanla

tanımını da ilk o bulmuştur.

Apollonius’un da “Yakan Aynalar Üzerine” başlıklı bir kitabı vardır.

Apollonius’tan önce küresel bir aynanın güneş ışınlarını tek bir noktaya

yansıtacağı düşünülüyordu. Bu kitabında Apollonius bunun yanlış

olduğunu göstermiştir. Doğru yanıtı (parabol ayna) her ne kadar

Apollonius’un bulduğu söylense de Diocles’in bulduğu kesindir.

Apollonius’un Konikler’i yeryüzünün en uzun süre okunan

kitaplarındandır. En azından 17’nci yüzyıla kadar, yani 2000 yıl boyunca

okunmuştur.

REFERANSLAR [1] Doç. Dr. Ali MUTLU, Genel Topolojiye Giriş Ders Notları, Celal Bayar Üniversitesi, 2011. [2] Meryem AYGÜN, Gecikmeli Diferansiyel Denklemlerin Farklı Tipte Nümerik Çözümleri, Yüksek Lisans Tezi, 2012, Manisa. [3] C. Henry Edwards, David E. Penney’den çeviri, Bilgisayar Destekli Matematiksel Modellemeli Diferansiyel Denklem ve Sınır Değer Problemleri, 2006, Palme Yayıncılık, Ankara. [4] Matematik Dünyası Dergisi. [5] Bilim ve Teknik Bilim Dergisi. [6] L. Adleman. Molecular computation of solutions to combinatorial problems. Science v.266, Nov.1994, 1021– 1024. [7] L. Adleman. On constructing a molecular computer, DNA computers, tomorrow’s reality. Lila Kari.

Bu çalıştayı düzenleyen Sayın Prof. Dr. Mehmet AY ile Ekibine ve destekleri için TÜBİTAK-BİDEB’e, bununla

birlikte dinleme zahmetini

gösteren sizlere

Teşekkür Ederim.