biasanya dipergunakan pada konstruksi...
TRANSCRIPT
Biasanya dipergunakan pada konstruksi jembatan,
dengan kondisi sungai dengan lebar yang cukup berarti dan dasar sungai yang dalam, sehingga sulit untuk
membuat pilar di tengah jembatan.
Tiang penyangga
Pelengkung
Gelagar jembatan
Konstruksi utama dibuat pelengkung sehingga tidak memerlukan pilar. Gelagar memanjang, tempat dimana kendaraan kendaraan lewat, bisa tertumpu pada tiang-tiang penyangga yang terletak pada pelengkung itu.
RAH A
RAV
RBHB
RBV
RAH A
RAV
RBHB
RBV
TUMPUAN A SENDI 2 REAKSI
TUMPUAN B SENDI 2 REAKSI 4 REAKSI
Terdapat 3 persamaan keseimbangan ∑∑∑ === 0M;0V;0H
Perlu tambahan satu persamaan lagi agar struktur bisa diselesaikan secara statis tertentu. S adalah
sendi yang terletak di busur / portal antara kedua perletakan. Sehingga total sendi = 3 buah.
Struktur Pelengkung atau Portal 3 Sendi ∑ = 0Ms
ss
Bagaimana cara mencari reaksi-reaksi perletakannya (RAH, RAV, RBH dan RBV )…??
! Pendekatan 1 : RAV dan RAH atau RBV dan RBH dicari bersamaan S
A
B
a
P1
S1
a1
b1
RAV
RBV
RAH
RBH
b
L
hA
hB
RAV dan RAH dicari dengan persamaan
∑MB = 0 dan ∑MS = 0 (bagian kiri)
(1) ...... 0 b . P - )h - (h . R - L . R 0 M
11BAAHAV
B
=
=Σ
(2) ....... 0 S . P - h . R - a . R 0 M
11AAHAV
S
=
=Σ
......(4).................... 0 h . R - L . R 0 M(3) ..... 0 a . P - )h - (h . R - L . R 0 M
BBHBVS
11BABHBVA
=→=Σ
=→=Σ
RBV dan RBH dicari dengan persamaan ∑MA = 0 dan ∑MS = 0 (bagian kanan)
! Pendekatan 2 : RAV dan RBV dicari dulu, baru RAH dan RBH kemudian S
A
B
a
P1
S1
a1 b1RBV
RAB
RBA
b
L
RAV
f
RAH dan RBH ditiadakan kemudian diganti
menjadi RAB dan RBA , yang arahnya menuju
ke arah perletakan yang lainnya.
......(2) L
a . P R
0 a . P - L . R 0 M
(1) ...... L
b . P R
0 b . P - L . R 0 ΣM
11BV
11BVA
11AV
11AVB
=
=→=Σ
=
=→=
( )
)3......(L
S .P - a . A R
0 f . R - S . P - a . R 0 kiri M
1 1VAB
AB11AV
S
=
=
=Σ ( )
)4......(f
b . R R
0 f . R - b . R 0 kanan M
BVBA
BABV
S
=
=
=Σ
Posisi RBA dan RAB merupakan reaksi yang arahnya miring RBA (↙) dan RAB (↗).
Kedua reaksi ini harus diuraikan menjadi gaya-gaya yang vertikal dan horizontal.
RABRAB Sin α
RAB Cos ααRBA
RBA Sin α
αRBA Cos α
Dari uraian di atas, dapat diketahui bahwa :
# RAH = RAB cos α (→)
# RBH = RBA cos α (←)
# RAV = RAV + RAB sin α (↑)
# RBV = RBV + RBA sin α (↓)
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]2 Pendekatan 1 Pendekatan sin R R R ABAVAV ↑+↑=↑ α
( ) ( ) ( )[ ] [ ] 2 Pendekatan 1 Pendekatan
sin R R R BABVBV ↓+↑=↑ α
Lihat contoh soalnya yaaa….
1). Struktur pelengkung seperti tergambar.
Ditanyakan :
1. Reaksi perletakan
2. Besar M, D, dan N di titik T
T
A
B
q = 1 t/m’
10
10
10
25 25
Ø Mencari Reaksi Perletakan di titik B
( )( )
( )( ) ton1220 R
25102100 R
0.1021.102510R
0.102q.102510R0M
B
B
B
BA
−=
+=
=−+
=−+→=∑
( )( ) ( )( )( ) ( )←−=
−=→=
↑−=
−=→=
ton....2210R
221.1220R
RR45Sin
ton....2210R
221.1220R
RR45Cos
BH
BHB
BH0
BV
BVB
BV0
T
A
B
q = 1 t/m’
10
10
10
25 25
25
045
RB
RBV
RBH
RAV
RAH
( ) ( )
( )( ) ( )↑−=
−−=
=+−→=
→−=
=−→=
∑
∑
.........ton1220
221021.10R
0R2q.10R0V
.........ton2210R
0RR0H
AV
BVAV
AH
BHAH
( ) ( )
( ) tm1721225M
2521002002002200211.50..102210.101220
2.521.2q.5.10R.10RM
T
AHAVT
−=
−+−−=
−−−−=
−−=
Ø Mencari Reaksi Perletakan di titik A
Ø Mencari M di titik T ( sebelah kiri T)
T
A
B
q = 1 t/m’
10
10
10
25 25
25
045
RB
RBV
RBH
RAV
RAH
( )
( )
( ) kan/-).......(teton2210
RRN
ton4235D
20251
25.11220
2q.5RD
BHAHT
T
AVT
−=
==
−=
−=
−−=
−=
Ø Mencari D dan N di titik T
T
A
B
q = 1 t/m’
10
10
10
25 25
25
045
RB
RBV
RBH
RAV
RAH
2). Soal seperti tergambar. A, B dan C adalah sendi.
Ditanyakan : berapakah besarnya reaksi-reaksi perletakan dan M maximum….??
q = 1 t/m’
C
A B
x
6 m
y
K
6 m 6 m 6 m 6 m
Ø Mencari Reaksi Perletakan
( )
( )↑=
=
=−
=
↑=
=
=−
=
∑
∑
....ton3246.12.1R
0q.12.624.R0M
....ton9R2418.12.1R
0q.12.18.24R0M
BV
BV
A
AV
AV
AV
B
RAH
q = 1 t/m’
C
A B
6
y
K
x
6 m 6 m6 m6 m
RAV
RBH
RBV
( )
( )→=
=−+−
=−+−→=
←=
=−→=
∑
∑
....ton6R01.12.612.9R.60q.12.612.R6.R0M
....ton6R0.6R.12R0M
AH
AH
AVAHC
BH
BHBVC
Ø Mencari Momen Maksimum (Mmax)
2
2AHAV
.1.x216y9x
q.x21.yR.xRMx
−−=
−−=
y dicari dengan menggunakan persamaan parabola
( ) ( )
( )
2
2
22
x241x
24x2424xy
lx244.6x
lxl4fxy
−=
−=
−=
−=
RAH
q = 1 t/m’
C
A B
6
y
K
x
6 m 6 m6 m6 m
RAV
RBH
RBV
# dari sebelah kiri bentang
x3x41Mx
x416x
219x
24161.x
21.x9Mx
2
22
22
+−=
+−−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−=
x
xx
A) kiri (dari m6x
0x213
0dx
dMxMmax
=
=−
=⇒
tm96.416.3
413Mmax
2
2
=−=
−= xx
# dari sebelah kanan bentang
…..untuk potongan di sebelah kanan C dicari dari titik B.
y’ = x m dari B, dengan tinggi = y
xx
xxx
.y.x
xxyy
'
'
341
24163
RRMx241:diket
2
2
BHBV
2
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
−=
−==
B) (dari m6
0321
0dx
dMxMmax
=
=−
=⇒
x
x
tm96.3641
341Mmax
2
2
−=−=
−= xx
# Gambar bidang M
Ternyata bentuk diagram M pada
bagian AC dan BC sama, tetapi MAC
positif (+) dan MBC negatif (-).
q = 1 t/m’
C
A B
x
6
y
K
6 m
+
--9 tm
9 tm
6 m6 m6 m
M
# Reaksi di C
t6RR0H
t3RR0V
kananbagian setimbang0Mc
BHCH
BVCV
==→=
==→=
→=
∑∑∑
t6RR0Ht36.19
6.RR0V
kiribagian setimbang0Mc
AHCH
AVCV
==→=
=−=
−=→=
→=
∑
∑∑
qRAH
q = 1 t/m’
C
A B
6
y
K
x
6 m 6 m6 m6 m
RAV
RBH
RBV
3). Diketahui pelengkung 3 sendi
Ditanyakan : berapakah besarnya reaksi-reaksi di A (RAV, RAH) dan B (RBV, RBH)
dan gaya-gaya dalam di C (Mc, Dc, dan Nc)…??
3 t/m’
S
A B
f = 3m
yc
C
xc = 2.5 m
5 m 5 m
αc
( )2
4ylxlfx −
=
y = jarak pelengkung dari garis
horizontal dasar
x = aksis yang bergerak secara
horizontal dari A ke B
l = bentang pelengkung
f = tinggi pelengkung
Persamaan parabola:
Ø Mencari Reaksi Perletakan ( )
( )
( )
( )
( )←=
=→=
→=−
=
=−−
=
↑==
=−→=
↑==
=−→=
∑
∑
∑
∑
t
t
t
t
5,12RRR0H
5,123
.3.515.5R
0.q.53.R5.R
S kiribagian 0M
1510
3.10.5R
0q.10.510.R0M
1510
3.10.5R
0q.10.5.10R0M
BH
AHBH
22
1
AH
22
1AHAV
S
BV
BVA
AV
AVB
RAH
3 t/m’
S
A B
f = 3m
yc
C
xc = 2.5 m
5 m
RAV
RBH
RBV
5 m
αc
PENYELESAIAN:
Ø Mencari Mc, Dc, Nc
0.3.2,525,2.5,125,2.15
q.x.yR.xRM2
21
2C2
1CAHCAVC
=
−−=
−−=
( ) ( ) cm25,201
2,5104.3.2,5lxl4fxy 22C =
−=
−=
# Mencari Mc (dihitung dari kiri C)
# Mencari ordinat titik C
RAH
3 t/m’
S
A B
f = 3m
yc
C
xc = 2.5 m
5 m
RAV
RBH
RBV
5 m
αc
Menentukan nilai αc
( )
0CC
2C
30,96α0,6αtgarc
0,6l0
5l04.3dxdy
2,5mxuntuk
=→=
=−
=→
=
( )←==→=
==
=
∑ t12,5RR0Hton7,53.2,5-15
q.x -RR
AHCH
AVCV
RAH
S
A B
f = 3m
C
xc = 2.5 mRAV
RBH
RBV
αcRCH
RCV
( )
( )c2
c
2C
tgαl2xl4f
dxdy
lxl4fx
=−
=⇒
−=y
( ) ( )0
30,9612,5.Sin30,967,5.Cos
.SinαR-.CosαRD00
CCHCCVC
=
−=
=
( )( )
t14,5774,9612,5.Cos30967,5.Sin30,
.CosαR.SinαRN00
CCHCCVC
−=
+−=
+−=
# Mencari gaya lintang dan gaya normal di C
RAHA
C
RAV
ac
RCV Sin ac
RCV
RCV Cos ac
RAHA
C
RAV
ac
RCH Cos ac
RCH
RCH Sin ac
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
1). Tentukan rekasi-reaksi perletakan dan gambarlah bidang M, D, dan N.
Σ MA = 0 - 6 RBV + 2RBH - P.4 + q.L.2 = 0 - 6 RBV + 2RBH - 2.4 + 2.4.2 = 0 - 6 RBV +2RBH - 8 + 16 = 0 ............ (1)
Σ MC = 0 (dari kanan) - RBV . 4+ RBH . 6 = 0
4RBV = 6RBH 2RBV = 3RBH ............ (2)
) ton(78 R
8- 7R- 8- 2R )(3R 3-8- 2R )(2R 3-
0 8 R 2 R 6 -(1) pers ke (2) pers Substitusi
BH
BH
BHBH
BHBV
BHBV
←=
=
=+
=+
=++
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
RAH
RAV
RBHRBV
) ton(7
12 R
772 6R
0 7
56 16 6R-
0 8 782 6R-
0 8 R 2 R 6 -(1) pers ke R Substitusi
BV
BV
BV
BV
BHBV
BV
↑=
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=++
RBV dan RBH dicari dengan persamaan ∑MA =
0 dan ∑MC = 0 (bagian kanan)
Σ MB = 0 - 2 RAH - 6 RAV + q . L . 4 – P . 6 = 0 - 2 RAH - 6 RAV + 2 . 4 . 4 – 2 . 6 = 0 - 2 RAH - 6 RAV + 32 – 12 = 0 - 2 RAH - 6 RAV =- 20 ............(3)
Σ Mc = 0 (dari kiri) 4 RAH - 2 RAV – q . L . 2 = 0 4 RAH - 2 RAV – 2 . 4 . 2 = 0 4 RAH - 2 RAV = 16 2 RAH - RAV = 8
RAV = 2RAH - 8 ............(4)
) ton(7
34 R
68 14R 20- 48 12R - 2R-20- 8) -6(2R - R 2-
(3) pers ke (4) pers Substitusi
AH
AH
AHAH
AHAH
←=
=
=+
=
)ton(7
12 8 - 734 2
8 - R 2 R AHAV
↓=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
RAH
RAV
RBHRBV
RAV dan RAH dicari dengan persamaan
∑MB = 0 dan ∑MC = 0 (bagian kiri)
)( ton 34 R
8- R 6-0 2 . 4 . 2 2 . 4 - R 6-0 2 . L . q 4 . P -R 6 -
0 M
BV1
BV1
BV1
BV1
A
↑=
=
=+
=+
=Σ 324
32 4
x 4 y 32
64 x
62
2x xPanjang
x 4 y
=+=
+=
==→=→
+=
)( ton 78 R
0 324 . R
34 . 4 -
0 y . R R 4 -C)kanan sebelah bentang(untuk 0 M
BH
BH
BHBV1
C
←=
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=+
=Σ
q=2t/m’
C P=2t
Y
XRAH1
RAH
RAV2RAV1
RBHRBV2 RBH1
RBV1
A
B
D E
C’
4
2 4
6
RAH dan RBH ditiadakan kemudian diganti menjadi RAH1 dan RBH1 , yang arahnya menuju ke arah perletakan yang lainnya.
)( ton 3
10 R
20- R 6-0 32 12 - R 6-0 4 . 4 . 2 6 . 2 - R 6-0 4 . L . q 6 . P -R 6-
0 M
AV1
AV1
AV1
AV1
AV1
B
↓=
=
=+
=+
=+
=Σ
)( ton 734- R
3102 16 R
314-
16 R 2 - R 3
14-
0 2 . 4 . 2 - 2 . R -3
14 . R -
0 2 . L . q 2 . R -y . R -C) kirisebelah bentang(untuk 0 M
AH
AH
AVAH
AV1AH
AV1AH
C
←=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
=Σ
−
q=2t/m’
C P=2t
Y
XRAH1
RAH
RAV2RAV1
RBHRBV2 RBH1
RBV1
A
B
D E
C’
4
2 4
6
)( ton 2134-
2 42
734
tan R R AH AV2
↑=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
= α
) ton(7
12 2134
310
R R R AV2AV1 AV
↓=−=
+=
RAV2
RAH
αC’
ton218
2 42
78
tan R R BH BV2
=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
= α
) ton(7
12 218
34
R R R BV2BV1 BV
↑=+=
+=
RBV2
RBHα
y -y 734 y . 2 .
21 -y
734
y . q . 21 -y R My
22
2 . AH
==
=
717
1434 y 2y
734
0 dy
dMyMmax
==→=
=→
49289
1434 -
1434
734 Mmax
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
( ) tm724 4 - 4
734 )4(y M
2 DA ===
tm724 M M DA DE ==
tm748 6 .
78 L .R M BH EB ===
tm748 M M EB ED ==
-
711
717
49289
724
6
+
748
724
+
2 4
748
-
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
RAH
RAV
RBHRBV
y
Bidang M
Bidang D
ton734 R D AH AD ==
ton722- 4 . 2 -
734
L . q - R D
AHDA
==
=
ton7
12 R D D AV ED DE ===
ton78 R D D BH EB BE ===
-
+
-
+
711
717
734
722
712
78
6
6
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
RAH
RAV
RBHRBV
ton7
12 R N AV AD ==
ton722 2
78 P R N BH DE =+=+=
ton7
12 R N BV BE ==
712
722
6
6
-+
712
-4
2 4
6
P=2t
q=2t/m’
A
B
C
4
D E
RAH
RAV
RBHRBV
Bidang N
2). Tentukan rekasi-reaksi perletakan dan gambarlah bidang M, D, dan N.
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
PENYELESAIAN:
ton2 R 8 R 4-0 2 . 4 . 1 R 4-0 2 . L . q R 4-
S2)kanan sebelah (daerah 0 M
C
C
C
C
S2
=
=
=+
=+
=Σ
ton2 R 1.4 2 RL . q R R
S2)kanan sebelah (daerah 0 V
S2
S2
CS2
==+=+
=Σ
ton4
13 R 26 R 8
0 4 2 32 - R 80 2 . 2 1 . 2 . 1 4 . 8 . 1 R 80 2 . R 1 . L . q 4 . L . q R 8
S2) kirisebelah (daerah 0 M
AV
AV
AV
AV
S2AV
B
=
==++
=++=++
=Σ
−
−
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
( )→=
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
=Σ
−
−
ton 45 R
8 - 13 R 4
0 4 . R - 2 . 4 . 1 4
13 4
0 4 . R - 2 . L . q R 4S1) kirisebelah (daerah 0 M
AH
AH
AH
AHAV
S1
ton4
35 R
201832 8R0 .10Rq.2.9q.8.4 R 8 -
)S kirisebelah (daerah 0 M
BV
BV
S2BV
2A
=
++=
=+++
=Σ
( )←=
=+++
=+++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=+++
=Σ
ton 45 R
0 12 10 8 R 4
0 6 . 2 5 . 2 . 1 2 . 4 . 1 4
35 4 R 4
0 6 . R 5 . L . q 2 . L . q R 4 -R 4S1)kanan sebelah (daerah 0 M
BH
BH
BH
S2BVBH
S1
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
ok!14t14t
14t4
83513
14t4
83513
.14.12438
413
q.l.RRR0V
CBVAV
→=
=++
=++
=++
=++
=∑
tm5- 4 45
4 . R M AHDA
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=
x. 21 - 4
45 -x
413
x. q . 21- 4R -x R Mx DE bentang padaMomen
2
2 . AH . AV
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
( ) tm11- 821 -
420 - 8
413 )8(x M
2 ED =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==
3,25 x 0 x - 4
130
dxdMxMmax
=→=
=→
( ) ( ) tm329 25,3
21 -
420 - 25,3
413 Mmax 2 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
tm5- 0)(xM DE ==
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
x
Bidang M
tm5 4 45 4 . R M BH EB =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
x. 21 -2x
x. q . 21-x R Mx
C) titik daridilihat (x EC bentang padaMomen
2
2 . C
=
=
2 x 0 x -20
dxdMxMmax
=→=
=→
( ) ( ) tm2 221 -
420 - 22 Mmax 2 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
tm6 18 12 0.5.6 6 . 2 6)(xM
2
EC
−=−=
−==
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
x
++
--
--
4
8
3,25 24
6
4
2.5
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
5
5
11
6
2
5+
+-
--
-4
8
3,25 24
6
4
2.5
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
5
5
329
11
6
2
5
ton4,75 43 1 1.8
R- L . q D
AV ED
=−=
=
ton45 R D BH BE ==
ton45 R D AH AD ==
ton4
13 R D AV DE ==
ton4 75.4 8.75 4.75 R D
B EC
=−=
−=
ton2 R D CE CE ==
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
Bidang D
4
3,25
1,25 1,25
4,75
4
2
8
3,25 4.75 24
6
- +
+-
+
-
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
4
3,25
1,25 1,25
4,75
4
2
8
3,25 4.75 24
6
- +
+-
+
-
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
ton4
13 R N N AVDA AD ===
ton4
13 R N N AHED DE ===
ton4
35 R N N BVEB BE ===
q=1t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
Bidang N
8 6
4 ---
8,75
1,25
3,25
q=2t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc
8 6
4 ---
8,75
1,25
3,25
q=2t/m’
A B
C
4
D ES1 S2
4244
RAH
RAV RBV
RBH
Rc