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Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN I unidad 9:

BASES DE HORMIGÓN ARMADO. Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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CONTENIDO.

9.1 GENERALIDADES.

9.2 CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y PROFUNDAS. INDIVIDUALES Y COMBINADAS.

9.3 COMPORTAMIENTO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES.

9.3.1 CURVA PRESIÓN DEFORMACIÓN.

9.3.2 CRITERIOS DE PROYECTO.

9.3.2.1 RESTRICCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS.

9.3.2.2 PRESIONES DE CONTACTO.

9.3.2.2.1 ZAPATAS RÍGIDAS.

9.3.2.2.2 ZAPATAS FLEXIBLES. PLATEAS. MODELACIÓN DEL SUELO.

9.3.2.2.3 CRITERIOS DE MODELACIÓN ANTE ACCIONES HORIZONTALES.

9.3.2.3 ASENTAMIENTO ADMISIBLE.

9.4 CRITERIOS DE DISEÑO EN FUNCIÓN DE CARGAS Y RESISTENCIAS DEL SUELO. EVALUACIÓN DE LAS PRESIONES.

9.5 ZAPATAS AISLADAS PARA COLUMNAS SOMETIDAS A CARGAS CENTRADAS.

9.5.1. GENERALIDADES.

9.5.2 ÁREA DE CONTACTO.

9.5.3 DISEÑO Y VERIFICACIÓN A CORTE O PUNZONADO.

9.5.3.1. INTRODUCCIÓN.

9.5.3.2 ACCIÓN DE VIGA.

9.5.3.3 ACCION EN DOS DIRECCIONES.

9.5.3.4 DISEÑO A FLEXIÓN.

9.5.3.5 TRANSFERENCIA DE FUERZAS EN LA BASE DE LA COLUMNA.

9.5.3.6 ANLAJES, EMPALMES.

9.6. ZAPATAS PARA MUROS.

9.7. ZAPATAS COMBINADAS.

9.7.1 INTRODUCCIÓN.

9.7.2 ZAPATAS PARA DOS COLUMNAS.

9.7.3 ZAPATAS CON VIGAS DE AMARRE.

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9.8. ZAPATAS RÍGIDAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE.

9.8.1 INTRODUCCIÓN.

9.8.2 COMPORTAMIENTO DE CONEXIONES LOSA-COLUMNA TRANSFIRIENDO CORTE Y MOMENTO NO BALANCEADO.

9.8.3 PROCEDIMENTO DEL ACI-318.

9.9. BIBLIOGRAFÍA.

Filename Emisión Revisión 1 Revisión 2 Observaciones FUNDACIONES.doc Febrero 2004 Septiembre 2007

Páginas 69 70

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A manera de prólogo:

Antes de comenzar con este capítulo es importante reflexionar sobre algunas consideraciones que hace Karl Terzaghi, considerado el padre de la Mecánica de Suelos. Si bien en la cátedra Hormigón I el objetivo es la introducción al diseño de hormigón armado de las fundaciones, partiendo ya del conocimiento de las características del suelo, es necesario reconocer que hay muchas limitaciones y aproximaciones en los resultados que el diseñador contará al momento de tomar decisiones. No se trata de buscar sofisticaciones, sino de aplicar los conceptos en la forma más simple y racional posible.

Terzaghi Quotes Sayings by Karl Terzaghi (1883-1963), the father of Soil Mechanics. The sayings are excerpts from the biography of Karl Terzaghi, written by Prof. D. Goodman, titled "Karl Terzaghi, the engineer as artist" and published by ASCE editions. -------------------------------------------------------------------------------- “Unfortunately, soils are made by nature and not by man, and the products of nature are always complex… As soon as we pass from steel and concrete to earth, the omnipotence of theory ceases to exist. Natural soil is never uniform. Its properties change from point to point while our knowledge of its properties are limited to those few spots at which the samples have been collected. In soil mechanics the accuracy of computed results never exceeds that of a crude estimate, and the principal function of theory consists in teaching us what and how to observe in the field.” “When utilizing past experience in the design of a new structure we proceed by analogy and no conclusion by analogy can be considered valid unless all the vital factors involved in the cases subject to comparison are practically identical. Experience does not tell us anything about the nature of these factors and many engineers who are proud of their experience do not even suspect the conditions required for the validity of their mental operations. Hence our practical experience can be very misleading unless it combines with it a fairly accurate conception of the mechanics of the phenomena under consideration.” “…Once a theory appears on the question sheet of a college examination, it turns into something to be feared and believed, and many of the engineers who were benefited by a college education applied the theories without even suspecting the narrow limits of their validity.” “… Any attempt to stop the settlement without making the proposed preliminary investigation would be an irresponsible gamble. Since I have witnessed many gambles of this kind I can state from personal experience that the savings associate with inadequate preliminary investigations are entirely out of proportion to the financial risks.”

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“These government organizations have a great reluctance to carry responsibilities; they always want to be covered by something, and a factor of safety-that is something tangible. So when the general asks the captain: ”How about the factor of safety of the dam?-“1.51” [is the answer] and then he is happy” “The one thing an engineer should be afraid of is the development of conditions on the job which he has not anticipated. The construction drawings are no more than a wish dream. I have the impression that the great majority of dam failures were due to negligent construction and not to faulty design.” “Soil Mechanics arrived at the borderline between science and art. I use the term “art” to indicate mental processes leading to satisfactory results without the assistance of step-for-step logical reasoning…to acquire competence in the field of earthwork engineering one must live with the soil. One must love it and observe its performance not only in the laboratory but also in the field, to become familiar with those of its manifold properties that are not disclosed by boring records…” 4th International Congress on Soil Mechanics, England, 1957 “I produced my theories and made my experiments for the purpose of establishing an aid in forming a correct opinion and I realized with dismay that they are still considered by the majority as a substitute for common sense and experience.” When Yves Lacroix asked Terzaghi how much time he ought to spend on writing his report, he got the following advice: “Spend on it as much time as necessary to inform the reader with as few words as practicable about all the significant findings and about the essential features of the construction operations which have been performed” “Proving the old adage that results depend not on the perfection of the equipment but on the truth of the proposition… The simper and cheaper the apparatus, the better it expresses the purpose and accordingly one can gain insight into a process being investigated, approving or rejecting and postulating anew, without wasting time and money. Costly, sensitive instruments belong to the situation where one already has a clear hold of the natural phenomena and where there is value in obtaining refined numbers. When one begins experiments with costly apparatus, he becomes a slave to that apparatus and the experiment, rather than serving to establish the truthfulness of a valuable idea, serves merely to establish a fact-but never to establish a law.” “Theory is the language by means of which lessons of experience can be clearly expressed.” “Theory -and even very rigorous theory- is required for training and developing our capacity for correctly interpreting what we observe; but at the same time, with theory alone we could not accomplish anything at all in the field of earthwork engineering, an the more plain facts we can accumulate, the better. I always lose my temper with people who think they have grasped the very core of the substance after they have succeeded in representing some artificially simplified phase of it by means of complicated triple integrals; while at the same time, they have forgotten how the soil really looks. Keen observation is at least as necessary as penetrating analysis”

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9.1. GENERALIDADES

Prácticamente todas las superestructuras, sean de edificios, puentes, túneles, carreteras, muros, torres, canales, diques, etc., necesitan transmitir sus esfuerzos al terreno. La subestructura o cimentación es aquella parte de la estructura que estando en la misma superficie del suelo o dentro del mismo transfiere las cargas al suelo adyacente. Con superestructura en general se designa a toda parte de la estructura que no corresponde al sistema de fundación. Sin embargo, debe tenerse mucha precaución al usar los términos pues en realidad la estructura es una sola, las fundaciones son parte de ellas y como tal se las debe considerar desde el mismo inicio del proceso de diseño. Si el proyectista no considera la forma en que va a transmitir las cargas y acciones, sísmicas incluidas, desde el planteo inicial estructural global, las hipótesis planteadas en la superestructura podrían resultar poco válidas y podría ser necesario una reformulación de todo lo proyectado. Por ejemplo, la rigidez de las fundaciones ante acciones sísmicas es un requisito fundamental a ser evaluado al menos en forma cualitativa o conceptual antes de asignar acciones y diseñar los elementos.

El suelo en sí mismo es una estructura, la cual se deforma e interactúa con las fundaciones y construcciones que sobre ella descansan. En general, son raras las fallas de fundaciones por cargas verticales, y cuando ocurren no suelen ser espectaculares ni repentinas. Han ocurrido casos de asentamientos que se traducen en agrietamientos en la superestructura. Esto lleva a detectarlas y si es posible repararlas, con ciertos costos que pueden ser importantes. Sin embargo, cuando en zonas sísmicas las fundaciones no han sido correctamente diseñadas y detalladas, las mismas pueden conducir a la falla total de la construcción. Las Figs. 9.1 y 9.2 muestran dos casos de viviendas que aún siendo livianas sus fijaciones al suelo fueron subestimadas y las llevaron al colapso durante el terremoto de Northridge del 17 Enero de 1994.

Fig.9.1. Falla en una vivienda de madera Fig. 9.2. Este edificio de departamentos tuvo que no fue correctamente anclada en una falla por piso flexible pero además las sus fundaciones. Terremoto de Northridge fundaciones eran deficientes. 17 Enero 1995.

Cuando la estructura del suelo mismo reúne ciertas características como la de ser granular de cierta finura y suelto, ante la presencia de agua puede saturarse resultando en lo que se llama licuación o licuefacción del suelo que lo lleva a la

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pérdida de su capacidad portante con consecuencias como las que se muestra en la Fig. 9.3.

Fig. 9.3. Inclinación de Edificios de departamentos como cuerpos rígidos durante el terremoto de Niigata, Japón, 1964. Si el suelo consiste de materiales granulares sueltos la tendencia a la compactación resulta en el desarrollo de un exceso de presión hidrostática de poros o intersticiales que causa la pérdida casi total de la capacidad de resistencia al corte del suelo y por ello de su capacidad portante.

Las normas en general piden que se verifiquen si pueden existir condiciones de suelos dinámicamente inestables para evitar estas graves consecuencias.

Una ubicación inadecuada de la construcción puede llevar a una falla espectacular como la derivada del deslizamiento del suelo con arrastre de lo que

soporte como el caso que se muestra en la Fig. 9.4, ocurrido durante el sismo de Northridge antes mencionado.

Como se dijo, el suelo es una estructura y se deforma. El problema funda-mental a resolver con las fundaciones es que por un lado el asentamiento total de la estructura esté limitada a una cantidad pequeña y tolerable (se verán más adelante ciertos criterios) y por otro a que se traten de minimizar o eliminar los asentamientos diferenciales entre las distintas partes de la estructura. Por ello entonces es necesario transmitir la carga a un estrato de suelo con cierta rigidez y resistencia y por otro distribuir la carga sobre un área suficientemente grande para minimizar las presiones de contacto y reducir las deformaciones.

Fig.9.4. Deslizamiento de tierra y colapso consecuente de parte de una vivienda durante Northridge, 1995.

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Cuando las condiciones del suelo de fundación no son buenas o por razones económicas o de falta adecuada de estudios no se detectan las falencias del terreno, se pueden producir asentamientos muy importantes con daños sobre las estructuras que soportan. Quizás el caso más clásico de malas condiciones de cimentación sea el de la Ciudad de México. Por ejemplo, el edificio del palacio de Bellas Artes, que se muestra en la Fig. 9.5, se mantiene en servicio, pero se ha hundido más de 3.50 metros respecto al terreno circundante. Quienes antes tenían que subir escaleras para ir a planta baja ahora las tienen que bajar. El valor de los asentamientos depende de las condiciones de diseño. Tal vez sean tolerables asentamientos de varias decenas de centímetros en caso de estructuras flexibles como depósitos o en terraplenes, pero otras veces desplazamientos de décimas de milímetro pueden ser inadmisibles para estaciones de radar o apoyos de equipamiento de transmisión de rayos en centrales nucleares.

Fig. 9.5. Palacio de Bellas Artes, Ciudad de México. Tomada de Ref.[1]. El asentamiento diferencial de 2.0 m entre la calle y el edificio de la derecha hizo preciso construir una escalinata a la que se le iban agregando peldaños según progresaban los asentamientos. El hundimiento general en esta parte de la ciudad alcanza los 7 m.

9.2 CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y PROFUNDAS. INDIVI DUALES Y COMBINADAS.

Cuando el terreno firme está próximo a la superficie, se puede adoptar una cimentación superficial, sea para transmitir al suelo cargas de columnas o muros. La Fig. 9.6 muestra en forma esquemática el esquema para un edificio. Antiguamente se empleaban como zapatas entramados de madera o metal, capas de grava, etc., pero actualmente las zapatas son casi siempre de hormigón armado.

Fig. 9.6.

Esquema de Edificio fundado con cimentación superficial.

Si el terreno firme no está próximo a la superficie, un sistema muy utilizado para

transferencia de esfuerzos al suelo es el de cilindros, pilotes, cajones, pozos de fundación, etc. Un esquema se muestra en la Fig. 9.7. En general se designa con pilotes a las estructuras generalmente cilíndricas que se hincan por golpeo o martilleo.

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En nuestro medio es común el uso de cilindros o pozos colados in situ, de diámetro necesario para ser excavado por pozeros, del orden de 1.0 metro, con ensanchamiento, si el terreno lo permite, en la base para lograr mayor superficie de apoyo, y que dependiendo del tipo de terreno pueden trabajar de punta y/o por fricción lateral en la superficie de contacto. En ciertos sectores de la ciudad de Mendoza se han debido utilizar pozos de fundación de alrededor de 15 metros de profundidad dependiendo del sector involucrado y las cargas a transmitir.

Fig.9.7.

Esquema de Edificio con fundación profunda a través de pilotes que atraviesan el manto de suelo blando y se introducen y apoyan en el manto de suelo firme. En Mendoza es común el uso de pozos excavados a mano a cielo abierto, en mantos arcillosos, de diámetro cercano a 1.0 m y ensanche en la base. La excavación es a mano por razones de costo. En otros países, donde la mano de obra es cara, el desarrollo de máquinas adecuadas para practicar los agujeros ha substituido el procedimiento manual. La misma técnica es utilizada en los pozos a cielo abierto para estudio de suelos.

Las cimentaciones superficiales pueden ser individuales o combinadas. Pueden

además ser corridas bajo un muro. Las zapatas individuales son por lo general cuadradas, pero en muchos casos resultan rectangulares por necesidad de proyecto. Para columnas exteriores que se deban ubicar en el límite de terrenos linderos el uso de bases aisladas presenta la dificultad de excentricidades por lo que se suelen utilizar zapatas combinadas como se muestra en la Fig. 9.8. Se verá su solución más adelante. Las zapatas combinadas también se usan cuando en el caso de columnas interiores con cargas considerables las zona de descarga tomadas como aisladas se superponen por lo que es más conveniente agruparlas y considerar las acciones de conjunto.

Fig. 9.8.

Esquema en planta de parte de las fundaciones de un edificio. Se distinguen las zapatas aisladas, combinadas entre columnas interiores, combinadas con columnas exteriores y corridas bajo muros.

Si el suelo es blando y las bases de todas las columnas y muros necesitan de

un área de apoyo considerable, a menos que se requiera de fundación profunda, se puede adoptar la solución de una losa de hormigón armado. Esta se extiende bajo todo el edificio y distribuye la carga sobre el máximo área disponible. Dada su gran rigidez, minimiza los asentamientos diferenciales. Puede ser una loza maciza, un

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sistema de losa con vigas invertidas o bien un sistema muy rígido de doble losa superior e inferior con vigas en ambas direcciones, como se muestra en la Fig. 9.9. Las vigas se ubican en las líneas de columnas o muros.

Fig. 9.9. Sistema de Viga-Losa Platea de Fundación.

Se puede lograr también materializar un sistema de cimentación superficial con

platea por el sistema de flotación, que puede ser parcial o total. Fig. 9.10. Edificio con cimentación superficial por placa. Peso del Edificio : 32 000 ton Cargas vivas : 5 000 ton Total : 37 000 ton Peso del terreno excavado : 29 000 ton Carga neta sobre la arcilla : 8 000 ton

La Fig. 9.10 muestra un caso que se presenta en la ref.[1]. Se trataba de fundar un edificio con peso muerto o permanente total D= 32000 ton, y una sobrecarga viva estimada en L= 5000 ton. A partir de la superficie se contaba con una capa de 4.50 m de relleno blando y limo orgánico, una capa de 6 m de arena y grava, 22.50 m de arcilla blanda y luego el suelo muy firme y roca. Se debía estudiar la alternativa de fundar con pilotes de más de 30 m de longitud, o bien intentar algo superficial. Si se construía el edificio directamente sobre la superficie con la carga total de 37000 ton se estimó que se produciría un asentamiento cercano a 30 cm, debido a la consolidación del terreno blando superior. Este asentamiento era inadmisible por los daños asociados. Se optó por hacer una excavación abierta extrayendo unas 29000 ton de terreno blando. Una vez ejecutado el edificio en forma completa, la carga neta aplicada a la profundidad excavada fue de sólo (37000-29000) ton= 8000 ton. De esta manera el asentamiento estimado era aproximadamente 5 a 8 cm. Dado que se reduce la carga neta por eliminación de terreno el método se llama de flotación. El principio se basa en el mismo que rige la flotación de un barco. El barco desplaza un peso de agua igual al suyo propio, de modo que las presiones en el agua a una profundidad bajo el barco (en este caso en el suelo debajo del edificio) son las mismas independientemente de la presencia de éste. Como el edificio tenía una densidad aproximadamente igual a la mitad del agua (densidad = peso total edificio / área de apoyo x altura del edificio ≅ 0.5 ton/m3) y el peso específico del terreno excavado era aproximadamente el doble del agua (2.0 ton/m3), el edificio debía enterrarse aproximadamente un cuarto de su altura total para obtener una compensación o flotación completa. Este procedimiento también lo menciona la ref.[2] al decir que puede extenderse el principio al caso de edificios sobre terrenos firmes cuando en el

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mismo se utilizan sótanos. Si los edificios poseen subsuelos suficientemente profundos, al excavar el suelo se compensa en parte la carga que aporta el edificio. La ref. [2] menciona que algunos edificios que contaban con importantes volúmenes de sótano han sido provistos con costosas fundaciones sobre pilotes al desconocer el

efecto de flotación.

Fig. 9.11. Edificio con cimentación profunda. Centro de Materiales del M.I.T, Instituto Tecnológico de Massachussets, EEUU. Peso del Edificio : 15 650 ton Carga Viva : 12 200 ton Peso Máximo total ≅ 28 000 ton

La Fig. 9.11, de ref.[1], muestra el esquema de fundación profunda sobre

pilotes, con suelo similar al descrito en la Fig. 9.10, pero sin la arena y grava intermedia. En este caso era inconveniente que la planta baja quedara bajo la superficie del terreno, y además no existía la capa intermedia más firme sobre la cual colocar la placa de hormigón armado, por lo que se optó por fundar con 537 pilotes de capacidad de carga cada uno de unos 70 ton. Los pilotes de tubos de acero de unos 32 cm de diámetro se hincaron por percusión y luego se llenaron con hormigón.

Fig. 9.12. Losa de hormigón apoyada sobre el suelo.

En edificios industriales es común el uso de losas estructurales para el apoyo de equipamiento, maquinarias, etc. Estas losas están directamente apoyadas sobre la superficie del terreno natural o sobre una subbase preparada y compactada sobre la subrasante, tal como se ilustra en la Fig. 9.12. En Mendoza, los pisos de las bodegas son un caso típico, donde las losas deben soportar el peso de los tanques de vino. Los pavimentos de carreteras y pistas de aeropuertos son también casos de losas apoyadas sobre terreno.

9.3. COMPORTAMIENTO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES.

En general, el proyecto de cimentaciones suele hacerse por tanteos. Se seleccionan tipos y dimensiones de las fundaciones, en función del tipo de estructura y del suelo que se cuenta. En muchos códigos de construcción se dan tablas con presiones admisibles para los suelos. Estas tablas están basadas en la experiencia

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general de los suelos en la zona en estudio. Estas presiones máximas permitidas suelen dar lugar a dimensionamientos muy conservadores pero pueden llevar a situaciones peligrosas en otros casos.

En la ref.[2] se menciona que las tablas de los códigos con “tensiones admisibles” en general no proporcionan indicación alguna de los valores, ni tampoco explican el significado de “presión admisible de suelo”. Esto ha fomentado la creencia de que el asentamiento de un edificio será uniforme y no tendrá consecuencias toda vez que la presión que las zapatas transmiten al suelo sea igual o menor la tensión admisible. Hay ingenieros que incluso creen que un edificio con zapatas diseñadas por presiones admisibles no sufren asentamiento alguno. A veces se utilizan ensayos de carga para corroborar la presión admisible. Sin embargo, los ensayos suelen ser complicados y la interpretación de los resultados también, los cuales en general tienen mucha variabilidad. Los ensayos con platos de carga sólo reflejan las características del suelo situado a una profundidad menor de dos veces el ancho del plato, mientras que el asentamiento de las zapatas depende de las propiedades de un espesor de suelo bastante mayor. Las dimensiones del plato son cercanas a 30 cm. Dadas estas limitaciones, como es práctica casi universal elegir la presión admisible sin considerar para nada el tamaño de las zapatas, ni del tipo de la superestructura, ni de otros factores importantes, no resulta sorprendente, ref.[2], que la aplicación cada vez más extendida de ensayos de carga no redujeron en forma significativa la frecuencia con que se proyectaban fundaciones inadecuadas. Para reducir el riesgo de un proyecto defectuoso, la presión admisible, dice la citada referencia, debe elegirse no solamente en función de ensayos sino también de las características del perfil del subsuelo. Juega un papel importante la experiencia constructiva que se posea.

Siempre es recomendable un estudio del suelo tanto por razones económicas como por seguridad. El estudio de suelo será tan sofisticado como lo requiera el tipo de construcción. Sin embargo, a veces con simples excavaciones previas se puede, para el caso de construcciones bajas y relativamente livianas o de poca presión para el suelo, obtener datos que con más seguridad no resulten en sobre dimensiones innecesarias a las fundaciones. En cuanto a profundidad activa del suelo, es decir el que afecta el comportamiento de las fundaciones, depende no sólo del tamaño de las zapatas y carga que soporta sino también en alto grado del perfil del subsuelo y de las propiedades físicas de sus estratos. Si el módulo tangente inicial longitudinal del suelo, que en cierta forma está asociado a su rigidez, aumenta con la profundidad, a contar a partir de la cota de fundación, la profundidad activa no excede el ancho de la zapata; si por el contrario el suelo se hace cada vez más blando con la profundidad, la zona activa o de influencia puede resultar igual a varias veces la dimensión de la zapata.

Más adelante se verá que existe una tendencia a trabajar con capacidad portante del suelo y no con tensiones admisibles. El uso de métodos basados en resistencia para el diseño de la superestructura, y por lo tanto de definición de estados de carga, lo justifica. De todas maneras, la ref.[2] menciona que el coeficiente de seguridad de la fundación con respecto a falla por hundimiento del terreno no debería tomarse, por varias razones, como menor de 3.0.

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9.3.1. CURVA PRESIÓN DEFORMACIÓN. En la ref.[1] se da una descripción detallada del comportamiento de una zapata

superficial sobre un material elástoplástico, de la cual se extraen para este trabajo algunos conceptos. La Fig. 9.13 muestra un esquema del estudio analítico que fue resuelto por el método de diferencias finitas, donde se aplica un incremento de presión ∆qs sobre una superficie de un material ideal.

Fig. 9.13. Esquema de un modelo tomado de ref.[1] de carga uniforme en faja sobre un material elastoplástico perfecto.

Fig.9.14. (a) Curva carga-asentamiento en el eje; (b) Desplazamiento y primer fluencia bajo carga de 4.40Kgr/cm2; (c) propagación de la plastificación y campo de desplazamientos para carga de 6.80Kgr/cm2; (d) Extensión de la zona plastificada para carga de 8.30Kgr/cm2.

La Fig. 9.14(a) indica la curva de comportamiento. Cuando ∆qs aumenta el

material se comporta elásticamente hasta que, en este caso para una presión cercana a 4.40 Kgr/cm2 = 0.44 MPa, se produce una primer fluencia, aunque no ocurre falla pues, como en el caso de hormigón o acero u otros materiales, si la zona crítica está rodeada de material que puede soportar esfuerzos adicionales, se produce una expansión de la plastificación local. Los puntos circundantes comienzan entonces a

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fluir. La Figs. 9.14(b), (c) y (d) muestran a través de las flechas las direcciones y magnitudes relativas de los desplazamientos de los diversos puntos bajo la acción de la carga. Ya en el punto A se nota una falla local, rotura o falla por corte, pero aún confinada. La curva se inclina, se pierde rigidez. Cuando la presión ha alcanzado cerca de 6.8 Kgr/cm2, se alcanza el punto B, la zona plastificada se ha propagado como muestra la Fig. 9.14(c), la rigidez sigue decreciendo con aumento considerable de los asentamientos, hasta que para un incremento de presión ∆qs cercana a 9 Kgr/cm2 se produce una falla general de corte, con plastificación muy extendida, como muestra la Fig. 9.14(d) y la carga asociada se llama de hundimiento o capacidad de carga final. Lo importante es que ante esta carga, el suelo fluye bajo la carga tanto lateralmente como hacia arriba.

Fig. 9.15. de ref.[1].

Curvas carga-asentamiento y zonas de fallas observadas en pruebas en modelo sobre arena.

(a) arena compactada (b) arena de compacidad media (c) arena muy suelta.

La Fig. 9.15 muestra curvas carga-asentamiento que se han observado para

pruebas sobre el suelo de arena seca con distintos grados de compactación efectuadas con placas circulares de 5 a 20 cm de diámetro. Para el caso de arenas de compacidad media la curva es similar a la que se mostró en Fig. 9.14(a). Existe un quiebre muy notorio en la curva luego de la falla local, pero se sigue absorbiendo carga a costa de asentamientos importantes hasta la falla general. Si la arena es muy suelta se producen zonas de corte muy marcadas a los lados de la zapata y no existe prácticamente levantamiento lateral. Es un caso de falla por penetración. Cuando la zapata asienta sobre una arena muy compacta, existe un alargamiento de la zona de comportamiento elástico y la falla general se produce muy poco después de la falla local. 9.3.2 CRITERIOS DE PROYECTO. 9.3.2.1 Restricción de desplazamientos.

Como antes se expresó, la condición a cumplir en el diseño de una cimentación es que el asentamiento no debe superar cierto valor límite. Los valores dependen del problema a resolver. Como se vio en forma muy resumida, para cualquier cimentación

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existe un valor de la presión aplicada para el cual los asentamientos son inadmisibles y difíciles de calcular. Dicho valor corresponde a la capacidad de carga o portante. La fundación debe proyectarse de forma tal que la presión real aplicada sea inferior a la capacidad con un margen de seguridad adecuado para cubrir las inevitables incertidumbres. Por otro lado el proyectista debe determinar el asentamiento que se producirá y compararlo con el valor límite admisible. El diseñador debe entonces: (i) elegir el factor de seguridad con relación al tipo de falla y al tipo de excitación con respecto a la que diseña; (ii) determinar la capacidad de carga y el factor de seguridad real con el que cuenta, y (iii) estimar el asentamiento y comparar el valor admisible. 9.3.2.2 PRESIONES DE CONTACTO. 9.3.2.2.1 Zapatas rígidas.

El proyecto de zapatas de fundación requiere de un análisis de la distribución de las presiones en el contacto de las mismas con el terreno. Se sabe que dicha distribución no es lineal. La aplicación de la teoría de la elasticidad aplicada al estudio de la distribución de tensiones en un cuerpo semi infinito cargado parcialmente en su superficie a través de un elemento rígido muestra dos respuestas muy distintas según al suelo sea o no cohesivo. Además, debe diferenciarse entre zapata rígida y flexible.

Fig. 9.16.

Distribución de las presiones de contacto entre la zapata y el terreno de fundación.

(a) zapata rígida sobre material ideal elástico, cohesivo.

(b) Zapata rígida sobre material no cohesivo (c) Y (d) respuestas en suelos intermedios y

más reales.

Como el asentamiento de una zapata perfectamente rígida debe ser uniforme, la distribución de presiones bajo la misma debe ser idéntica a la que se requiere para provocar dicha uniformidad de desplazamientos. Si la subrasante es un material perfectamente elástico, o una arcilla, o arena con espesas capas de arcilla, es decir con resistencia a tracción, las presiones de contacto deben ser máximas en los bordes y mínimas en los centros, similar a lo que expresa la Fig. 9.16(a), para provocar el descenso constante. La presión que se alcanza en los bordes depende de la tensión de fluencia del material, y en teoría puede llegar a ser infinita. En estos suelos la carga produce una resistencia al cortante alrededor del perímetro. Es decir, es como que se necesita desplazar parte de la carga desde el centro hacia las orillas o bordes para lograr el asentamiento uniforme de la placa rígida. La Fig. 9.17 muestra los resultados teóricos para este caso indicando que la presión de contacto varía de una valor cercano a 0.7 qa, siendo qa la presión uniforme, hasta infinito en los bordes.

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Fig. 9.17 . Distribución de la presión de contacto en la cota de fundación de una zapata rígida de longitud muy grande cargada en forma uniforme y que descansa sobre un subsuelo perfectamente elástico, homogéneo e isótropo.

Fig. 9.18 . Resultados experimentales de la distribución de presiones de contacto bajo bases circulares de 30 cm de diámetro y asentadas en suelo con y sin cohesión.

Si la misma zapata rígida se asienta sobre un suelo como arena o grava, no cohesivos, con carga uniforme el asentamiento es mayor en los bordes que en el centro. Como los granos están sueltos, el suelo localizado en los bordes tiende a desplazarse hacia fuera en la dirección donde no hay restricciones al movimiento. Un asentamiento uniforme sólo es posible

distribuyendo la carga de tal modo que su intensidad disminuya desde un máximo en el centro a un mínimo en los bordes, lo cual representa también la distribución de las presiones de contacto en la base de zapatas rígidas. Esto se representa según la Fig. 9.16(b). De tomas maneras, si el cuerpo en lugar de estar cargado en la superficie lo está a cierta profundidad, de modo que en los bordes se produce un efecto de restricción al desplazamiento o confinamiento lateral, las diferencias entre las presiones máximas y las mínimas se atenúan como en forma esquemática lo muestran la Fig. 9.16(c) y (d).

La Fig. 9.18 muestra resultados experimentales con placas circulares de 30 cm de diámetro, que certifican lo antes dicho. Sin embargo, la experimentación tiene limitaciones importantes como: (i) se hacen sobre suelos artificiales, en laboratorio, donde generalmente se busca homogeneidad del suelo; y (ii) son experiencias de corta duración en las que no han podido ser incorporados los efectos de

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deformaciones lentas que conducen a asentamientos, como así también los efectos de deformaciones de fluencia que con el tiempo tienden a redistribuir las tensiones y a atenuar los picos de las mismas.

Por lo expuesto es que en la práctica lo corriente en el diseño de zapatas rígidas es suponer una distribución lineal de tensiones, pues a más de ser la más simple es en definitiva la que más se acerca a las posibles variantes que se puedan desarrollar. Una mayor sofisticación no garantiza mejores resultados. La simplificación con respecto a la determinación de la magnitud de momentos flectores y cortes en la zapata es despreciable frente a otras incertidumbres.

La hipótesis de zapata rígida supone para una carga centrada un hundimiento uniforme de su plano de asiento. Tal situación sólo es posible cuando la elástica de la zapata produce deformaciones muy pequeñas respecto a la compresión que experimenta el suelo. Por ello, si la zapata es flexible, existe una tendencia a concentrar la reacción del suelo en el centro de la zapata a medida que la rigidez de ésta disminuye, con distribución de presiones similar a la de Fig. 9.16(b), sea para suelos cohesivos como no cohesivos. En este caso la hipótesis de distribución uniforme coloca al proyectista del lado de la seguridad, pues los esfuerzos internos sobre la sección de hormigón son mayores que en la realidad. De todas maneras, en la práctica, la mayoría de las zapatas aisladas tienen rigidez suficiente como para hacer razonablemente válidas las hipótesis supuestas.

9.3.2.2.2 Zapatas flexibles. Plateas. Modelación d el suelo.

Cuando la zapata es relativamente rígida en general se supone, como se dijo antes, una distribución de tensiones bajo la base de variación lineal. Trasladar esta suposición a bases flexibles, como el caso de plateas no rígidas, puede llevar a aproximaciones muy groseras y soluciones muy alejadas de la realidad. Si determinar las presiones en bases aisladas rígidas para distintos tipos de suelo, que son nada homogéneos, constituye un problema complejo, tal cual se vio en figuras anteriores, el problema es aún más difícil en zapatas compuestas y en plateas.

Los pavimentos para carreteras, pistas de aeropuertos y otro tipos de losas apoyadas sobre el terreno que están sometidas a cargas concentradas, aún el caso de losas de fundación de edificios, históricamente han sido analizados sobre la base de teorías desarrolladas para vigas sobre cimentaciones elásticas y desarrolladas por Westergaard por el año 1926. La losa se supone homogénea, isotrópica y elástica y para el suelo se consideran dos posibilidades:

(a) que el suelo se comporta como un líquido denso, es decir que la reacción de la subrasante es vertical, proporcional a la deformación y en cada punto es independiente de las fuerzas y desplazamientos en los otros puntos. En otras palabras, cada porción de área de contacto se modela como un resorte sometido a esfuerzo axial, y la rigidez de este resorte se expresa como el módulo o coeficiente de la reacción de la subrasante o coeficiente de balasto. Representaría el cociente entre una presión y el descenso resultante, es decir la relación:

ks = q / δ (9.1)

donde q es la presión en unidades de, por ejemplo, ton/m2, y δ el asentamiento, en m, por lo que la unidad resultante sería en este caso ton/m3. Esta suposición ignora

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entonces la interacción de cada porción de suelo con sus adyacencias: no hay deformación de corte, ni de flexión del suelo. La Fig. 9.19 de ref.[3] muestra algunos valores estimativos de ks para distintos suelos y distintos grados de consolidación.

Fig. 9.19. Clasificación de los suelos y valores estimativos del módulo de reacción de la

subrasante. Tomado de ref.[3]. Multiplicando por 16 los valores resultan en ton/m3.

(b) la otra suposición consiste en que la subrasante se comporta como un sólido elástico semi infinito, de manera que una carga concentrada en cualquier punto de la superficie produce desplazamientos verticales en los demás puntos. En este caso hay una interacción de todos los elementos del sólido suelo elástico para resistir las fuerzas y los desplazamientos. Por ello no se comporta como un líquido, el cual carece de resistencia al corte.

En términos de modelación del suelo por programas computacionales, por ejemplo el SAP 2000, la hipótesis (a) sería modelar una losa de fundación como una placa de hormigón armado apoyada en resortes de rigidez axial, en la que dicha rigidez es el producto del área de suelo modelado (por ejemplo un área de 1mx1m= 1m2) por el coeficiente de balasto (digamos por ejemplo 5000 ton/m3) , es decir la rigidez expresada en ton/m (por ejemplo en este caso la rigidez del resorte equivalente es de 5000 ton/m). Con la hipótesis (b), en el SAP 2000 habría que introducir el suelo dentro del modelo, el cual si es tridimensional debe usar elementos del tipo “brick”, ver por ejemplo Fig. 9.20, y al cual hay que asignar rigidez a través del módulo de elasticidad longitudinal del suelo, Es, el cual está a su vez relacionado con el módulo de corte, G, a través de la conocida ecuación:

)1(2 ν+

= EG (9.2)

en la cual el coeficiente de Poisson ν puede tomarse como 0.35 para suelos no saturados y 0.50 para suelos saturados.

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Fig.9.20. Ejemplo de modelación del suelo como sólido a través de elementos tipo brick. Sobre los mismos se colocaron elementos shell para representar la losa platea de hormigón. Se indican la posición de las cargas concentradas. Abajo se aprecia la deformación resultante. Se trata de una losa para apoyo de guías de rayos en un reactor nuclear, con requerimientos muy estrictos de deformaciones.

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Para ambos tipos de modelación se requiere de ensayos geotécnicos que

permitan modelar en forma adecuada los parámetros del suelo. En todos los casos hay grandes incertidumbres y las normas, ref.[5], aconsejan hacer análisis basados en el principio del límite superior y límite inferior. Esto implica que a partir del valor medio aconsejado por los geotécnicos de un determinado parámetro, se deben hacer los análisis para un límite inferior, digamos la mitad del valor medio, y otro análisis con el parámetro tomando un límite superior, digamos el doble del valor medio. La Fig. 9.21 muestra un simple esquema de modelación con resortes de una base aislada, y un par de respuestas con valores inferiores y superiores de los parámetros del suelo.

Fig. 9.21.

(a) Respuesta de suelos en términos de carga vs. deformación para modelos ideales linealmente elásticos perfectamente plásticos.

(b) Modelos de resortes desacoplados para representar fundaciones rígidas.

9.3.2.2.3 Criterios de modelación ante acciones hor izontales.

Ante solicitaciones horizontales como las inducidas por el sismo, las diferentes suposiciones adoptadas para la modelación del suelo resultarán en diferentes respuestas. El diseño de las fundaciones afectará, como se dijo al principio de este trabajo, la respuesta de la superestructura. La Fig. 9.22, ref.[6], muestra dos casos bien diferenciados de fundación rígida y fuerte vs. flexible y débil. Las consecuencias en la superestructura se aprecian claramente y el proyectista las debe contemplar. La Fig. 9.23 muestra distintas alternativas de modelación con resortes.

Como dice la ref.[6], los ingenieros geotécnicos deben reconocer que no siempre rígido y fuerte es necesariamente mejor que flexible y débil. A su vez, suposiciones de suelo blando no son siempre conservativas para el diseño de la estructura. Lo más aconsejable es hacer una serie de análisis con un rango de valores que permitan hacer una envolvente de situaciones posibles. Una estimación con gran precisión de los parámetros de suelo es muy cara y muchas veces aún así la dispersión es enorme. Por lo tanto, el diseñador debe tomar decisiones a partir de estudios paramétricos con información muy estimativa que lo lleven a formarse una idea de la importancia de la interacción de la estructura y el suelo. A partir de allí podrá ir haciendo más sofisticado su modelación, manteniendo en mente que aún así los resultados pueden ser muy cuestionables.

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Fig. 9.22. Distintas respuestas de la superestructura en función de distintas modelaciones de la fundación.

Uno de los requerimientos básicos en el diseño de fundaciones de estructuras

sismo resistentes es que el sistema de fundación debe ser capaz de soportar las cargas gravitatorias mientras que se mantienen los mecanismos de disipación de energía que han sido seleccionados.

En este contexto se incluyen fundaciones de mamposterías, de pórticos, de tabiques, y sean zapatas aisladas, pilotes, plateas, etc. Hay que definir los tipos de respuesta que se espera de las fundaciones. Se debe distinguir entre una respuesta elástica y una dúctil de las fundaciones. Será elección del diseñador. En general se tiende a que la respuesta de la superestructura sea dúctil y la de la fundación elástica. Se deben aplicar principios de diseño por capacidad. Sin embargo, hay casos en que la resistencia potencial de la superestructura es excesiva en relación a las cargas especificadas de código y se decide que sea la fundación la principal fuente de disipación de energía. Sin embargo, el diseñador debe ser conciente que inspección y reparación de las fundaciones es difícil y costosa.

22

Fig. 9.23. Diversas alternativas para modelar el suelo con resortes a partir del conocimiento de los

parámetros del suelo.

23

9.3.2.3 Asentamiento admisible.

Como se dijo antes, el diseñador debe verificar los posibles asentamientos. Estos pueden tener importancia por varias razones, entre ellas: (i) aspecto, estética de la construcción; (ii) funcionalidad y condiciones de servicio; (iii) posibles daños de elementos estructurales y no estructurales (el daño en carpinterías es típico); (iv) deformaciones que modifican el comportamiento ante acciones sísmicas; etc.

Los asentamientos pueden provocar por ejemplo grietas en los muros, y dar lugar también a que la estructura se incline lo suficiente como para que este defecto sea apreciable a simple vista. También puede verse afectada la funcionalidad de la construcción: por ejemplo, las grúas y otros equipos. Además, el asentamiento puede provocar incluso el fallo de un edificio y su colapso. La Fig. 9.24 indica diversos tipos de asentamientos. El caso (a) es de asentamiento uniforme. Puede ser el caso de un edificio sobre una placa muy rígida. La Fig. 9.24(b) representa un giro o vuelco uniforme en el que toda la estructura tiene la misma distorsión angular; ante acciones sísmicas se suele dar lo que se llama rocking o giro de cuerpo rígido: a veces este efecto es utilizado para disipación de energía. El caso de la Fig. 9.24(c) es uno que representa asentamientos no uniforme o diferenciales, los cuales se originan por diversas causas como: (a) presiones uniformes sobre un suelo no homogéneo; (b) presiones diferentes sobre el terreno relativamente uniformes; (c) modificación de las condiciones del suelo por humedad; (d) acciones no simétricas; etc. Tal cual se indica en la Fig. 9.24, ρmáx indica el asentamiento máximo y ρmín el mínimo. El asentamiento diferencial entre los dos puntos es ∆ρ y la distorsión angular δ/l es también un parámetro de verificar en el diseño.

Fig. 9.24. Distintos tipos de asentamientos: (a) uniforme; (b) vuelco; (c) no uniforme. Lo que se conoce como asentamiento admisible depende de muchos factores,

incluyendo la forma, tipo, finalidad y situación de una estructura como así también la forma, velocidad y causa del asentamiento.

El asentamiento total en general puede no representar un factor crítico. A veces es cuestión de conveniencia. Si el asentamiento total es superior a los 15 o 20 cm pueden presentarse problemas con los servicios (gas, agua, alcantarillas, etc). La Fig. 9.25 y 9.26 muestran respectivamente tablas tomadas de ref.[1] con valores de asentamientos y distorsiones admisibles.

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Fig. 9.25. Valores de asentamientos admisibles, tomada de Ref.[1].

Fig. 9.26. Distorsiones angulares límites (según Bjerrum, 1963). Tomada de Ref.[1].

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Uno de los casos más famosos de inclinación por defecto de fundación es la Torre Inclinada de Pisa, la cual se muestra en la Fig. 9.27(a). La torre tiene 55 metros de altura, y si se incluyen las fundaciones alcanza 58.40 metros. Como se indica en la Fig. 9.27(b), la curva tiempo asentamiento indica que en más de 800 años, el lado Norte ha asentado más de 1 metro mientras que del lado Sur el asentamiento ha alcanzado aproximadamente 3 metros, es decir con un asentamiento diferencial de casi 1.80 metros. Este asentamiento produce un aumento de las presiones sobre el lado Sur, agravando aún más la situación. Un asentamiento de esta magnitud representa una situación muy peligrosa, potencialmente inestable. El peso total de la torre se estima en 14500 ton. Se han estado estudiando formas de detener este asentamiento. John Burland del Imperial College de Inglaterra logró detener el proceso de inclinación y por compensación de pesos lograba recuperar 1.5 mm por día, disminuyendo la inclinación de 5.50 grados que equivalen a una distorsión del 10 %. Esto permitiría que la torre se recuperara pero al cabo de unos 350 años volvería a la situación actual.

Fig. 9.27 (a) Torre de Pisa.

Fig. 9.27 (b) Gráfico Asentamiento vs. tiempo para la torre de Pisa, tomada de Ref.[1], y que fue dada en la Conferencia sobre Asentamientos, ASCE 1964.

9.4 CRITERIO DE DISEÑO EN FUNCIÓN DE CARGAS Y RESISTENCIAS DEL SUELO. EVALUACIÓN DE LAS PRESIONES.

En la ref.[10], que sigue los lineamientos del Reglamento ACI-318-2002, en el capítulo 10 se establecen los criterios para el diseño de zapatas aisladas, cabezales de pilotes, zapatas combinadas y plateas de fundación.

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En general en la mayoría de las normas se trabaja con el método de tensiones admisibles, es decir trabajando con las cargas en estado de servicio (sin mayorar) y adoptando como tensión máxima del suelo la que corresponde a la de capacidad de carga del suelo dividido por un factor de seguridad. Por ejemplo, se suele usar un factor de 3.0 a 3.5 para el caso de cargas verticales solamente, ver ref.[11], y el factor pasa a 1.50 cuando se considera acciones de servicio y sismo. Sin embargo, el diseño de la superestructura se hace a través del método LRFD, Load Resistance Factor Design, es decir, por el método de resistencia. Implica mayorar las cargas de servicio por factores y trabajar con los materiales a nivel de sus resistencias nominales, afectadas por un factor de reducción, si correspondiera. En otras palabras, las combinaciones de carga para método por resistencia para obtener las demandas son:

U = 1.4 D (9.3.a) U = 1.2 D + 1.6 L (9.3.b) U = 1.0 D + ηL ± E (9.3.c) U = 0.9D ± E (9.3.d)

donde D indica la carga muerta, L la viva y E el sismo, para seguir la notación del ACI-318. Lo más conveniente y lógico sería diseñar las fundaciones siguiendo con el método de resistencia. Para ello, siguiendo con el criterio adoptado para la superestructura, se debe fijar un factor de reducción de capacidad del suelo y con él obtener la resistencia de diseño a partir de la resistencia nominal del suelo que se obtenga por el análisis de suelo respectivo. Esto es lo que propone por ejemplo el reglamento NZS:4203:1992, ref.[12], el cual en su sección 2.5.3.3 especifica que la resistencia confiable o dependiente o de diseño de los suelos que actúen como soportes de la superestructura deberá ser determinada a partir de los parámetros de resistencia del suelo obtenidos como consecuencia de las investigaciones geotécnicas del sitio o de datos confiables de la zona, y afectada por un factor de reducción de resistencia del suelo que no puede ser mayor de 0.60.

Utilizar el método convencional de tensiones admisibles tiene el inconveniente de que habría que trabajar con las cargas en estado de servicio cuando en realidad toda la estructura está siendo diseñada por un método de resistencia. El problema se agrava si fuera necesario utilizar el diseño por capacidad.

Una vez determinadas las demandas para estado último, es decir las resistencias últimas, Su, y contando con la resistencia nominal del suelo, Sn, habiendo adoptado el factor de reducción de resistencia φ, de debe determinar un área necesaria de apoyo de forma tal que se satisfaga la ecuación básica de diseño:

Sd = φ Sn ≥ Su (9.4)

donde S en general denota resistencia, y Sd es la resistencia confiable o de diseño.

Si con Pu se designa la carga que corresponde al estado límite último de diseño, para el caso de bases cargadas concéntricamente, el área de apoyo requerida sobre un suelo cuya capacidad de carga, en términos de presión de diseño, es qd= φ qc, debe ser tal que:

d

ureq q

PA ≥ (9.5)

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Una zapata se considera cargada excéntricamente si la columna soportada no es concéntrica con el área de apoyo de la zapata, o si la columna transmite no solamente una carga Pu sino también un momento flector Mu. En ese caso, siguiendo con la hipótesis de distribución lineal de presiones bajo la zapata, pueden resultar dos casos, según la excentricidad e= Mu/Pu sea menor o mayor que 1/6 de la dimensión de la zapata en el plano en que actúa el momento. Las expresiones de las tensiones máximas y mínimas vienen dadas por, en referencia a la Fig. 9.28(a) y (b) respectivamente:

I

cM

A

Pq uu

máx ±=min, (9.6)

donde A= B.l es el área de apoyo, de ancho B y largo l, c distancia a bordes desde el eje baricéntrico e I=B.l3/12 el momento de inercia de la superficie de apoyo, para el primer caso, y:

Bm

Pqmáx 3

2= (9.7)

para el segundo caso, Fig. 9.28(b).

Fig. 9.28 . Zapatas sometidas a cargas excéntricas.

Cuando se utiliza el método de tensiones admisibles, el valor de tensión qmáx

corresponde a la capacidad portante del suelo dividida por el factor de seguridad. Con ello se verifica que el área de apoyo sea suficiente. Las cargas demandas son las de servicio. A continuación, para la verificación al corte, momento y aplastamiento se deben obtener las presiones del suelo asociadas con las cargas últimas, según ecuaciones (9.3), dado que se debe aplicar el diseño por resistencia.

Cuando se utiliza el método de resistencia en forma completa, incluyendo el suelo, las presiones que se obtienen corresponden al estado de cargas U ya definidas para la superestructura, y las presiones sobre el terreno se comparan con la resistencia de diseño del suelo, es decir la nominal por el factor de reducción que como se dijo puede estar entre 0.5 a 0.6. Este será el procedimiento que se llevará a cabo en los ejemplos que más adelante se presentan en este trabajo. Es de hacer notar que en la mayoría de la bibliografía el método que se emplea es el de tensiones

28

admisibles, y que además los coeficientes para llevar las presiones a estado último son los de la versión anterior del ACI, es decir 1.4 para D y 1.7 para L.

9.5. ZAPATAS AISLADAS PARA COLUMNAS SOMETIDAS A CAR GAS CENTRADAS.

9.5.1. GENERALIDADES.

En general se las construye de forma cuadrada o rectangular. Pueden fallar por punzonamiento, por flexión, por aplastamiento o por adherencia. Para evaluar los esfuerzos de corte y momentos flectores se supone una distribución uniforme de la reacción del suelo. En su forma más simple constan de una losa de altura uniforme, tal cual se muestra en la Fig. 9.29(a). A veces se interpone un pedestal o dado, como muestra la Fig. 9.29(b), o varios escalones entre la columna y la losa para una mejor transferencia de cargas y en casos para suministrar una longitud de desarrollo adecuada de las barras de la columna o barras de espera (ver más adelante) dentro de la base; se conoce como zapata escalonada, y sus partes deben ser construidas en forma monolíticas, sec. 15.9.2 del ACI-318, si esa va a ser la suposición de diseño. Otras veces se le da a la cara superior de la losa una inclinación, la cual se puede lograr si la consistencia del hormigón lo permite colocando el encofrado lateral o exterior más bajo. Esta forma tiende a ubicar más material donde los esfuerzos son mayores. Si la pendiente es pronunciada se necesita más mano de obra aunque el material hormigón se reduzca. En general, las zapatas de altura constante son más económicas cuando la altura requerida es menor de 1.0 metro. Sin embargo, la ref.[13], a través de la Fig. 9.30, muestra un detalle a tener en cuenta con el contrapiso cuando es apoyado sobre discontinuidades bruscas.

Fig. 9.29. Tipos de bases aisladas.

(a) de losa con altura constante (b) Con pedestal. (c) De altura variable.

Fig. 9.30.

Interacción entre losa de piso y base con losa de altura constante.

Las bases para columnas individuales se comportan como losas en voladizos sometidas a la presión vertical de abajo hacia arriba inducida en el suelo sobre el que apoyan. En la superficie de contacto de apoyo se producen tracciones en ambas direcciones por lo cual se deben reforzar con acero en ambas direcciones. La cantidad de esta armadura responderá a requisitos de flexión pero deben verificar además las cantidades de cuantía mínima para controlar efectos de retracción y temperatura.

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Al trabajar para el diseño de fundaciones también por el método de resistencia, se puede suponer un comportamiento teórico elasto-plástico del suelo soporte, por lo que las tensiones bajo la zapata pueden tener las distribuciones que, por ejemplo, indica la Fig. 9.31 para el caso de un tabique con base de ancho w y largo l. Como se aprecia, es posible adoptar distintos grados de plasticidad sobre el suelo, en función de la excentricidad de la carga P.

Fig. 9.31 Distintas configuraciones de presiones bajo el suelo en la suposición de comportamiento LE-PP para distintas excentricidades.

En el diseño de bases se deben considerar básicamente los siguientes

aspectos asociados con los tipos de fallas posibles del sistema suelo-fundación: área de contacto, esfuerzos de corte o punzonamiento, flexión de la losa y aplastamiento en la transición columna-base. A los efectos de comprender el fenómeno físico y los requerimientos de la norma, el ACI-318-2002 en este caso, se desarrollará un ejemplo sencillo a medida que se resuelven cada uno de los aspectos antes mencionados.

Ejemplo N o 1. Base cuadrada con carga centrada. Se trata de diseñar una

base cuadrada con carga concéntrica. La misma debe soportar una columna cuadrada

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de c1= c2 = 50 cm, armada con 8 barras de diámetro 25 mm, cuyas características de materiales son f´c= 21 MPa y fy= 420 MPa, que soporta una carga D= 100 ton y L= 70 ton. El suelo a una profundidad de 1.50 metros tiene una capacidad de carga qc = 50 ton/m2. Adopte φ= 0.60. Suponga que el peso específico del suelo es γs= 2.0 ton/m3. Diseñe la base con losa de altura constante. 9.5.2 ÁREA DE CONTACTO.

Tal cual se expresó con la ecuación (9.5), el área de contacto requerida se obtiene dividiendo la carga total última demanda, incluyendo el peso propio de la zapata y el del suelo por encima, mayorados por sus coeficientes, por la capacidad del suelo expresada como presión de diseño qd. Sobre la capacidad del suelo nos referiremos luego.

d

ureq q

PA ≥ (9.8)

Para el ejemplo: Pu = 1.2 D + 1.6 L + 1.2(Pp(base + suelo) qd = φ qc = 0.60 x 50 ton/m2 = 30 ton/m2.

Una primera aproximación, suponiendo peso propio como 10% de la carga actuante, daría un área de apoyo cercana a (230 ton + 0.10 x 230 ton) / (30 ton / m2)= 8.43m2. Se adopta una base de 3.0 m x 3.0 m, y se verifica a continuación.

Dado que el hormigón tiene un peso específico de 2.3 ton/m3, y el suelo de 2.0 ton/m3, se adopta en forma preliminar, y hasta que se determine la altura de la base, un peso propio de 3m x 3 x 1.50m x 2.1 ton/m3= 28 ton. Entonces:

Pu = 1.2 x 100+ 1.6 x 70 + 1.2 x 28 = 266 ton

2

286.8

/30

266m

mton

tonAreq =≥

por lo que, para el ejemplo que se desarrolla, con la base adoptada se verifica que no se excede la capacidad de carga del suelo. 9.5.3 DISEÑO Y VERIFICACIÓN A CORTE O PUNZONADO.

9.5.3.1. Introducción El corte generalmente no es crítico en losas que soportan cargas distribuidas o

cargas sobre franjas, o cuando dichos elementos se apoyan sobre vigas o tabiques, porque en estos casos el corte por unidad de longitud en la losa es relativamente pequeño. El esfuerzo que controla en esos casos es el de flexión. Sin embargo, el corte puede ser crítico en las losas en las zonas adyacentes a cargas concentradas, porque allí el cortante por unidad de longitud puede resultar muy elevado. En las losas las cargas concentradas pueden ser aplicadas por transferencia de fuerzas: (i) de la losa a la columna en el caso de losas placas o planas; (ii) de las columnas a las losas

31

de las bases y (iii) de cargas aplicadas sobre las losas como el caso de ruedas de equipos, de camiones, etc.

Para la resistencia al corte de bases, es de aplicación la ecuación ya vista en el capítulo de corte:

ruscnd VVVVVV =≥+== )(φφ (9.9)

donde φ= 0.75 en la nueva versión ACI-318-2002. Una vez determinada la superficie de contacto, se debe determinar la altura de la losa de la zapata. La altura efectiva d, idéntica en significado a la de miembros sometidos a flexión, es controlada generalmente por los esfuerzos de corte o punzonado. Agregando el recubrimiento de las barras a este valor d se obtiene la altura total, h. El proyecto CIRSOC 201-2002 en su sección 15.7 establece que la altura de las zapatas por encima de la armadura inferior debe ser como mínimo de 150 mm. Dado que el recubrimiento a dicha armadura debe ser no menor de 50 mm por tratarse de estructura en contacto con la tierra, sección 7.7.1 de la norma citada (el recubrimiento NO es parte del hormigón de limpieza), resulta que la altura total mínima debe ser de 200 mm.

La resistencia al corte de losas, sea de entrepisos o fundaciones, en la vecindad de cargas concentradas es controlada por la más severa de estas dos condiciones: acción de viga (una dirección) o acción de losa (dos direcciones). La Fig. 9.32 muestra en forma esquemática los planos de falla en cada caso.

9.5.3.2 Acción de viga.

Si es este el caso que controla el diseño, la losa falla como una viga ancha con la sección crítica extendiéndose a lo largo de una sección en un plano que atraviesa el ancho total de la losa o base. Para tal situación el plano de falla se indica en la Fig. 9.32(b) por la línea discontinua e-f. El código supone que la sección crítica está ubicada a una distancia d desde la cara de la columna o de la carga aplicada (o de la cara de una línea de carga o pared soporte). El valor d es la distancia de la fibra comprimida extrema al centroide de la armadura traccionada. En la realidad, la sección crítica pasa a través de la fisura de tracción diagonal crítica donde se espera que ocurra la falla. Para este tipo de falla, es de aplicación la teoría convencional de corte. Por lo general no es económico utilizar refuerzo de acero para absorber el corte, por lo que de la resistencia nominal en la ecuación (9.4) se diseña para que la componente del hormigón, Vc, sea la única que resiste el cizallamiento.

(a) (b)

Fig. 9.32. (a) Falla a cortante por punzonamiento; (b) Secciones críticas para cortante.

32

Para el ejemplo que se analiza, suponiendo una altura total de h= 60 cm, corresponde altura útil d= 55 cm, B= ancho= 3.00 m, el suministro al corte por acción de viga sería:

BxdfxVVV ccnd´)6/1(75.075.075.0 ===

tonKNNmmmmxxxxVd 50.9494594515855030002116667.075.0 ====

Tanto para calcular los momentos flectores Mu demandas y los esfuerzos de corte, Vu, únicamente se considera la presión generada hacia arriba por la carga axial que transmite la columna Pu, sin tener en cuenta el peso propio de base y suelo sobre ella, pues estas presiones se auto eliminan al efecto de dichos esfuerzos internos. La demanda sería en este caso:

tontonxtonxPu 232706.11002.1 =+=

22 /80.259/232/ mtonmtonAreaPq apoyouu ===

tonxmxmtonxAreaqV efghuu 18.54)55.025.050.1(3)/(80.25 2 =−−==

con lo cual la ecuación(9.4) queda satisfecha con un margen en exceso de 75 %.

9.5.3.3 Acción en dos direcciones.

Cuando la losa trabaja en dos direcciones la falla por corte es local y alrededor de la carga concentrada o la columna. La falla por punzonamiento ocurre a lo largo de un cono o pirámide truncada, dependiendo de la forma de la columna, causada por el desarrollo de la fisura diagonal de tracción. La superficie se aprecia en la Fig. 9.32(a), y como lo indica la Fig. 9.32(b), las normas en general consideran que la sección crítica está localizada a una distancia d/2 del perímetro de la columna. La Fig. 9.33(a) muestra que el antiguo concepto de falla de la losa en las caras coincidentes con la columna no es válido, sino que el esquema de Fig.9.33(b) es el que más se ajusta a los resultados experimentales. La Fig. 9.34 muestra un ensayo de columna-losa con falla de corte. Se puede apreciar claramente la pirámide truncada de hormigón alrededor de la columna una vez que se ha producido la falla por tracción diagonal.

La resistencia a rotura de zapatas cuadradas y rectangulares ha sido motivo de extensas investigaciones en EEUU, en particular en la Universidad de Illinois. Las prescripciones del ACI-318 están basadas en dichos resultados y en otros obtenidos en diversas partes del mundo. El comportamiento real de la región que falla es extremadamente complejo, tanto debido a la combinación de flexión con fisuración por tracción diagonal como a la naturaleza tridimensional del problema. Las previsiones de diseño utilizadas han sido derivadas necesariamente de simplificaciones empíricas del comportamiento real.

En la primer parte del trabajo se tratará el caso de losas que deben transferir corte uniforme alrededor de la sección crítica. Es el caso de las bases simétricas con carga sin excentricidad, es decir tensiones del terreno constantes. Cuando existen cargas excéntricas o momentos, que es el caso más común, la distribución de tensiones de corte deja de ser uniforme.

33

Fig. 9.33. Falla de corte por punzonamiento en una conexión columna-losa de hormigón armado con carga axial en la columna. (a) falla por corte en la cara de la columna: no existe este mecanismo; es un error. (b) Suposición de la ubicación de la sección crítica y modo real de falla.

Fig.9.34. Resultado de la experimentación sobre un espécimen de columna-losa que falló por punzonamiento de corte debido a la carga axial de la columna. Note la forma de pirámide truncada

Una vez que la fisura diagonal de tracción ha ocurrido en las adyacencias de la

sección crítica de una losa alrededor del perímetro del área cargada, cuando la losa no tiene armadura de corte sino sólo de flexión, la losa soporta el corte por los mecanismos ya descriptos de corte en zona de compresión, interacción de agregados

34

y acción de taco o dovela. Sin embargo, la situación es bastante diferente al caso de acción en una dirección o de viga.

Cuando hay flexión en dos direcciones aparecen esfuerzos que comprimen en dos direcciones a la zona adyacente a la crítica, y además hay esfuerzos de compresión concentrados que provienen de la columna y se distribuyen en la zapata. De este modo el hormigón que rodea la sección crítica está prácticamente sometido a un estado de compresión triaxial o tridimensional, por lo que por un lado el tipo de falla es de pirámide o cono truncado y por otro hay una situación más favorable para resistir corte por la acción de compresión. Esto es reconocido en las normas y por ello, para evaluar la capacidad nominal de la losa al punzonamiento sin armadura de corte se dan valores más generosos tanto para el para área resistente movilizado como para el valor del factor Vc de la ecuación (9.9).

Fig. 9.35. Secciones críticas, Perímetro

crítico y áreas tributareas para la

evaluación de momentos y cortantes

Como se indica en la Fig. 9.32(a), el esfuerzo de corte promedio puede

considerarse actuando en planos verticales través de la zapata y alrededor de la columna sobre un perímetro a una distancia d/2 desde la cara de la columna, es decir perímetro abcd en la figura.

Es entonces necesario determinar el “perímetro crítico”, el cual se indica también en la Fig. 9.35, ref.[14]. El perímetro se designa con bo y se evalúa en función de lo que se llama área cargada real y área cargada efectiva, las cuales quedan interpretadas para una sección en L en la Fig. 9.36.

35

Fig. 9.36. Concepto de áreas

cargadas y críticas en una sección no rectangular.

Se ve que la superficie cargada efectiva es aquella que encierra totalmente a la superficie cargada real y para la cual el perímetro es mínimo. En la Fig. 9.37 se indican los casos más comunes de secciones críticas en losas sin armaduras de corte.

Fig. 9.37.

Secciones críticas en losas para distintas secciones transversales de columnas.

36

En definitiva, el ACI-318-2002 establece en su sección 11.12.2.1 que en losas y zapatas no pretensadas, el valor de Vc debe ser el menor obtenido a partir de las siguientes expresiones:

a) 6

21

´ dbfV oc

cc

+=

β (9.10a)

b) 12

2´ dbf

b

dV oc

o

sc

+=

α (9.10b)

c) 3

´ dbfV oc

c = (9.10c)

en donde αs es una constante cuyo valor es 40, 30 y 20 para columnas interiores, de borde y de esquina respectivamente. En la primera de las ecuaciones anteriores se ve que aparece además el factor βc, que representa la relación entre las longitudes de los lados mayor y menor de la columna rectangular, βc= c1/c2 en la Fig. 9.38, o de una superficie de carga βc= a/b en la Fig. 9.36.

Fig. 9.38

Variación de la contribución del hormigón al corte en función de la relación βc, para el caso de acción de losa en dos direcciones.

La razón es la siguiente: en columnas cuadradas para acción en dos

direcciones controla la ecuación 9.10(c). Sin embargo, los ensayos han demostrado que dicho valor no es conservador cuando la relación βc es mayor que 2. A medida que βc crece, la resistencia al corte disminuye. Esto quedó demostrado en ensayos en los que se mantenía la longitud del perímetro de la columna cargada constante y se comenzaba a incrementar la relación entre el lado mayor y el lado menor, es decir βc , la resistencia al corte disminuía porque se tendía a la situación de flexión en una dirección y por lo tanto a corte en una dirección, es decir se acercaba al

37

comportamiento de viga. La Fig. 9.38 muestra que para valores muy elevados de βc la resistencia al corte toma el valor de acción de viga. Esto refleja además la tendencia del corte a concentrarse en los extremos de la columna alargada, es decir que las tensiones de corte no están uniformemente distribuidas alrededor de la columna. Debe observarse que en la Fig.9.38 los valores de las ordenadas corresponden a resistencias de corte dadas en p.s.i., libras por pulgada cuadrada (motivo por el cual se multiplica por 12).

Los ensayos han demostrado también que la resistencia al corte disminuye a medida que la relación entre el perímetro crítico y el espesor efectivo, bo/d, aumenta (ver también Ref.[15], pág. 503).

El factor αs tiene en cuenta el número de secciones críticas que tienen las columnas, según sean interiores, de borde o de esquina.

Para el ejemplo que se desarrolla, el perímetro crítico es:

mcmcmb 20.4420)5550(40 ==+=

y para la altura útil adoptada d= 55 cm= 0.55 m, la resistencia de diseño está dada por:

tonKNNmmmmxxxVd 4.26426442643800550420021333.075.0 ====

la cual ya resulta mayor que Pu= 232 ton, aunque no es este el corte demanda, ya que según se indica en la Fig. 9.35, para obtener Vu hay que considerar el área tributaria. Esta se indica en esa figura con rayado, por lo que en este caso:

tonmxmtonxAreaqV tribuu 198)15.13(/80.25 2222 =−==

Es decir que la condición se cumple con un margen en exceso cercano al 35 %. Se ve que hay más reserva para el caso de falla por acción de viga.

Se aclara que el procedimiento establecido es para el caso en que exista un corte uniforme alrededor de la zona crítica. Cuando no existe esa situación, como el caso de transferencia de axial y momento, es decir axial con excentricidad, como indica la ref.[15], sección 10.3.1, el corte y momento deben ser transferidos por la combinación de flexión, torsión y corte en las caras de la sección crítica de la losa alrededor de la columna.

9.5.3.4 Diseño a flexión.

Los ensayos de zapatas donde la falla es por flexión han demostrado que ésta se produce a lo largo de secciones de fractura que pasan bordeando las caras de las columnas, como lo indica la Fig. 9.39. El momento flector producido en esta sección se encuentra por simple estática como el producido por la presión última qu (la debida sólo a la carga axial de la columna, en estado último). Los ensayos han demostrado que, al igual que en entrepisos sin vigas, la armadura en cada dirección debe resistir todo el momento estático producido por dicha presión. Por ello, se debe dimensionar a flexión simple en cada dirección y en forma independiente. El estado real por supuesto es mucho más complejo, hay flexión biaxial, las presiones pueden en diversos estados no ser uniformes, pero en definitiva, para la capacidad a flexión, cualquiera de las dos fallas, asociadas a cada dirección de armado, puede suceder, por lo que se estudian

38

ambas. Si la parte superior de la losa es inclinada, la norma establece que tanto para el corte como para la flexión debe tenerse en cuenta la variación de la altura, por lo que es necesario investigar todas las secciones.

Fig. 9.39.

Columna cuadrada sometida a carga centrada. Ubicación de las zonas y planos críticos para el diseño a flexión. Note que si la losa es de altura variable la norma exige, sección 15.9.1, la verificación de todos los requerimientos del capítulo 15 para cada sección de la losa.

Fig. 9.40. Ubicación de secciones críticas para momento máximo en zapatas y cabezales, en función del elemento a resistir y su material.

El ACI-318-2002 establece en su sección 15.4.2 cuáles son las secciones

críticas a considerar para flexión, en función del elemento que transmite el axial y del diseño de la base, tal cual se expresa en la Fig. 9.40.

En la sección 15.4.3 especifica que para zapatas que trabajan en una dirección, sean cuadradas o rectangulares, y en zapatas de planta cuadrada que soportan momentos en dos direcciones, la armadura se debe distribuir en forma uniforme a través del ancho total de la zapata. Para el caso de bases rectangulares, que soportan momentos en las dos direcciones, para ubicar las barras en la dirección más corta se debe tener en cuenta que el soporte suministrado por la columna a la zapata se concentra cerca de la mitad; por lo tanto la curvatura de la zapata es más pronunciada, es decir el momento por unidad de longitud, es mayor inmediatamente

39

bajo la columna y disminuye hacia los extremos de la dirección larga. Por ello la distribución de armaduras se hace según se muestra en la Fig. 9.41.

Fig. 9.41. Distribución de la armadura de flexión en zapatas.

Para el ejemplo, resulta:

tmmmm

m

toncBqMM uuyux 15.20

8

5.00.380.258/)(

2

22

11 =

−=−==

por cada metro de ancho de base. En el ancho total de 3.0 metros y en cada dirección, el momento total es 60.50 tm.

La cuantía mínima que establece el ACI-318 para el caso de losas es el que corresponde a temperatura y contracción, y es de 0.0018 para el acero ADN-420. Por lo tanto, en este caso:

2

min 30553000018.0 cmcmcmxxA ==

por lo que se adoptan para una verificación inicial 15 barras de diámetro 16mm separadas cada 20 cm que da un área total de 30.15 cm2. De simple estática, para sección con armadura simple, la altura del bloque de tensiones equivalentes es:

cmcmtonxcmx

cmtonxcma 36.2

/21.085.0300

/2.415.302

22

==

por lo que el eje neutro es entonces cmc 80.285.0/36.2 == .

La deformación en la armadura extrema traccionada es:

40

056.080.2

20.52003.0 ==cm

cmxsmáxε

por lo cual supera ampliamente el límite del 0.005 y puede considerarse como controlado por la tracción, con lo cual φ= 0.90. En consecuencia:

tmmxcmtonxcmxMM nd 33.615382.0)/(20.415.3090.0 22 === φ que supera en apenas un 1.5 % el momento de resistencia requerida. La separación máxima entre barras, sección 7.12.2.2 ACI-318, debe ser de 3 veces el espesor de la losa y no mayor de 300 mm. Ambas condiciones son satisfechas. 9.5.3.5 Transferencia de fuerzas en la base de la c olumna.

Cuando una columna descansa sobre una zapata transfiere su carga sólo a una parte del área total del elemento de soporte. El hormigón adyacente que rodea esta zona de transferencia suministra apoyo lateral al hormigón cargado. Esto produce esfuerzos triaxiales de compresión, efecto de confinamiento, que aumentan la resistencia del hormigón sometido a carga en forma directa bajo la columna. Este efecto es reconocido por el ACI-318-2002, el cual en la sección 10.17 establece las condiciones para verificación al aplastamiento.

De nuevo entonces, la ecuación básica de diseño es:

u´cnd P

A

A x x A x f. x .φ PP ≥==

1

21850650 (9.11)

en donde el factor de 0.85 tiene la misma razón de ser que en resistencia máxima de columnas, por la diferencia entre un ensayo de probeta cilíndrica y una columna, y:

Pu = carga demanda última o requerida a transferir.

Pd = suministro o resistencia de diseño al aplastamiento.

φ = factor de reducción de resistencia por aplastamiento, igual a 0.65, sección 9.3.2.4

f´c = tensión característica del hormigón de la base.

A1 = área cargada.

A2 = área de la base inferior del mayor tronco de cono, pirámide o cuña contenida completamente dentro del apoyo, que tiene como base superior el área cargada A1 y pendiente de los lados iguales a 1 vertical por 2 horizontal (p. 50 %, ángulo 26.5o). La norma permite tomar una superficie mayor de transferencia para verificar el aplastamiento, pero impone la condición que el factor 2/ 12 ≤AA , es decir que el área resistente debe ser como máximo el doble del área directamente cargada. Este factor la norma lo designa como grado de confinamiento, y tiene el significado que se aprecia en la Fig. 9.42(a), (b) y (c).

41

Fig. 9.42(a) Esquemas para interpretar los factores asociados a la resistencia nominal al aplastamiento

del hormigón.

Fig. 9.42 (b) Ejemplos típicos para determinar el grado de confinamiento para la resistencia al aplastamiento en la interacción columna-base.

42

Fig. 9.42 (c) Vista en planta y elevación de una zapata de losa escalonada para interpretar el significado de las áreas A1 y A2 en la determinación del factor de confinamiento para la resistencia al aplastamiento.

Es claro que si la parte superior de la zapata es plana, y la columna es interior,

A2 es simplemente el área máxima de la porción de la superficie de apoyo que es geométricamente similar y concéntrica con el área cargada. Note el caso de columna de borde, Fig. 9.42(b). La pirámide de confinamiento tiene poca pendiente en las caras laterales justamente para asegurar que existe hormigón rodeando inmediatamente las zonas de altas tensiones en el área de apoyo. Para el caso en que la parte superior esté escalonada, caso de Fig. 9.42(c), se pueden tomar ventajas del hecho que el elemento de apoyo es mayor, pero se debe observar que un escalón de mayor altura o más cercano al área cargada que el que se muestra, puede generar una reducción en el valor de A2.

Para el ejemplo que se desarrolla:

tonxcmxcmtonxxPd 58025050)/(21.085.065.0 22 == >232 ton

9.5.3.6 Anclajes, empalmes.

El p-C-201-2002 especifica que para transferir los esfuerzos de compresión y tracción a la base, las barras se deben anclar y empalmar siguiendo las especificaciones de su capítulo 12.

En la sección 15.8.2.1 aclara que la sección de armadura que atraviesa la superficie de contacto debe ser al menos 0. 5 % del área transversal del elemento apoyado. Esto es para asegurar la integridad de la unión entre la columna y la zapata. El requisito anterior se puede lograr sea prolongando parte o todas las barras de la columna en la base, o bien colocando barras de espera o arranque ancladas en la base y con longitud suficiente fuera de la misma para ejecutar el empalme con las barras de la columna. La Fig. 9.43 muestra el caso en que se colocan barras de espera y luego de la unión se empalman con las barras de las columnas. Se debe recordar que en zonas sísmicas, si esa región de las columnas ha sido diseñada como zona potencial de rótula plástica, el empalme de barras no es permitido.

43

Fig. 9.43. Detalles de armado, anclajes y empalmes, según el ACI-318 en la unión de la columna con la base.

Es de destacar que el ACI-318-2002 aclara en la sección 12.14.2.1 que en

general las barras de diámetro mayor de 36 mm no se pueden empalmar por traslape, dado que los ensayos han demostrado que para esos diámetros grandes se requieren de soldadura o conectores mecánicos para desarrollar la resistencia. Sin embargo, como resultados de muchos años de experiencia satisfactoria empalmando barras de gran diámetro de columnas con barras de menor diámetro de arranque en zapatas, dicha norma hace en forma explícita la excepción en este caso, y permite que se utilicen barras con diámetros menores de 32 mm para transferir esfuerzos por yuxtaposición de barras de diámetros mayores. Esto es a los efectos de reducir la longitud de desarrollo de la barra dentro de la base, con lo cual se pueden obtener ahorros en la altura de la misma.

Para el caso del ejemplo que se está desarrollando, se deben anclar las barras de 25 mm de diámetro que tiene la columna. La cuantía de armadura de la columna es (4x4.91cm2/50x50cm2= 0.0157), es decir del 1.57 %. La norma exige que la cuantía en esa zona sea al menos de 0.005 por lo que al menos deberían pasar las 4 barras de esquina, o suplir el área de 12.5 cm2 con armadura equivalente (4 hierros de diámetro 20 mm, por ejemplo).

La longitud de desarrollo, para el caso de barra nervurada en compresión, como se vio en el capítulo 8, debe ser la mayor entre:

b

c

yd d

f

fl

´24.0=

y byd dfl 04.0=

y a su vez mayor de 8db y de 150 mm.

Note que la primera de las expresiones coincide con el caso de barra nervurada en tracción y con extremo con ganchos, para el caso en que los coeficientes que acompañan la expresión de sección 12.5.2 del ACI-318 sean unitarios. En el ejemplo, para el caso de atravesar con barras de 25 mm de diámetro, corresponde:

44

mmmml d 5502521

42024.0 ==

o mmmmxxl d 4202542004.0 ==

En definitiva, como el recubrimiento mínimo es de 50 mm, la altura total de la

base seleccionada es adecuada, pero sin margen en exceso. Se aprecia que si la columna tuviera diámetros mayores de las barras, por ejemplo de 32 mm, ya la altura disponible no hubiera sido suficiente. En ese caso, si no se aumenta la altura de la base (que de hacerlo podría ser antieconómico), se podría utilizar la opción de empalmar o colocar barras de espera de menor diámetro (del 20 mm, por ejemplo).

La otra verificación de longitud de desarrollo que hay que efectuar, es la que corresponde a la armadura de flexión de la base. La sección crítica de desarrollo es la misma que la de máximo momento, es decir en la cara de la columna. Para el caso de barra nervurada, en tracción, sin gancho, ld siempre debe ser mayor de 300 mm, y:

50.0=dl

cf

f y

´αβλ db

donde para el caso de coeficientes α, β y λ unitarios resulta en este caso:

50.0=dl

21

420 db = 46 db = 46x16mm = 735 mm

Por lo que se necesitaría (ld+d) según NZS, es decir (735mm + 550mm) = 1285mm, y la longitud disponible es:

mmmm 1200502

500

2

3000 =−− , por lo que habría que colocar ganchos.

Fig. 9.44. Modelo de bielas y tensores que demuestra lo importante de anclar correctamente los extremos de las barras inferiores sometidas a tracción.

45

La Fig. 9.44 muestra lo que ya se mencionó en el capítulo de adherencia y anclaje: las barras a tracción deben estar correctamente ancladas para que pueda desarrollarse el mecanismo de bielas de compresión y tensores de acero. El concepto a aplicar en los extremos sería el de prolongar las barras a partir de la sección donde no se las necesita un valor de 1.3d, para seguir el criterio del NZS:3103. 9.6. ZAPATAS PARA MUROS.

La Fig. 9.45 muestra las fuerzas que actúan sobre una zapata que sostiene a un muro. Si el muro es de hormigón, dada su alta rigidez, la sección crítica se presenta en la cara del mismo, por lo que el momento flector debe calcularse con respecto a dicha sección 1-1 de la figura. Este modelo fue demostrado como bueno a través de ensayos. En esos experimentos se formaron fisuras de tracción en los lugares que marca la figura, es decir bajo la cara del muro, en vez de presentarse en la mitad del ancho. Por ello la disposición de la norma que se mostró con la Fig. 9.40. Dado que la mampostería es menos rígida que el hormigón, el momento máximo se calcula en la mitad de la distancia entre el centro y la cara del muro.

Fig. 9.45.

Zapata para muros. Ubicación de fisuras observadas en ensayos, sección crítica según la norma.

Para ese caso, con la notación de la figura, el momento demanda o resistencia

requerida, por metro de largo de fundación es:

( )2

8

1abqM uu −= (9.12)

Para los esfuerzos de corte, se calcula la fuerza de corte vertical en la sección

2-2 que se localiza, como en vigas, a una distancia d de la cara del muro. La resistencia requerida de corte es entonces:

−−= dab

qV uu 2 (9.13)

Para la determinación de la longitud de desarrollo se debe tomar la sección 1-1

como sección donde el acero debe desarrollar toda su resistencia, y la extrema debería anclarse al menos la distancia d. Así por ejemplo, el código NZS:3103, en la sección 15.3.5 especifica condiciones de anclaje, y en la sección 15.3.5.4 aclara que se deben respetar los criterios para interrupción de barras ya mencionados en la sección 7.3.23 y 7.3.24 de dicha norma, lo que obliga a prolongar las armaduras más

46

allá del punto donde teóricamente, de acuerdo al diagrama de momentos, la armadura ya no es más requerida. Ejemplo de N o2 . Zapata bajo muro:

Un muro de hormigón de espesor 40 cm soporta una carga permanente D= 20

ton/m y accidental L=15 ton/m. La capacidad del suelo 55 ton/m2 a una profundidad de 1.50 m por debajo del nivel del terreno, con γs=1.90 ton/m3. Diseñe la fundación con un hormigón de f´c= 21 MPa y acero ADN-420. Adopte φ= 0.50.

Un tanteo preliminar da un ancho de zapata necesario cercano a 1.90 m. Adoptamos 2.00 m de ancho. Tomamos como promedio de peso entre suelo y base 2.10 ton/m3.

Pu = 1.2 D + 1.6 L + 1.2(Pp(base + suelo) Pu = 1.2 x 20 + 1.6 x 15 + 1.2x2x1.50x2.1)= 24 + 24 + 7.6= 55.60 ton qd = φ qc = 0.50 x 55 ton/m2 = 27.50 ton/m2.

2

202.2

/50.27

60.55m

mton

tonAreq =≥

la cual verifica la condición de no exceder la presión de diseño, por cada metro de base del muro.

La presión de contacto mayorada para calcular momento y corte es:

mtontonxtonxPu /48156.1202.1 =+= 22 /242/48/ mtonmtonAreaPq apoyouu ===

El Momento requerido es entonces:

mtmtmab

qM uu /40.152

4.0224

2

22

=

−=

−=

Suponiendo d= 25 cm, resulta una resistencia demanda de corte de:

mtonmtonVu /20.13/25.02

4.0224 =

−−=

Para la resistencia al corte, como se trata de flexión en una dirección, se

considera el caso de acción de viga, por lo que:

tonKNNxmmmmxxdbf

V occ 1919010190

6

250100021

63

´

=====

por lo que:

tontonxVV cd 25.141975.0 === φ > 13.20 ton

47

por lo que verifica la condición de punzonamiento sin necesidad de armadura de corte.

Para el armado a flexión, la magnitud del momento hace que no tenga sentido comenzar con la cuantía mínima sino una aproximación a la requerida por cálculo. Una aproximación da un requerimiento de 18 cm2/m, por lo que correspondería barras de 16 mm cada11 cm. De simple estática, para sección con armadura simple, la altura del bloque de tensiones equivalentes es:

cmcmtonxcmx

cmtonxcma 30.4

/21.085.0100

/2.427.182

22

==

por lo que el eje neutro está a una profundidad entonces de c= 4.30/0.85= 5.05 cm La deformación en la armadura extrema traccionada es:

0118.005.5

95.19003.0 ==cm

cmxsmáxε

por lo cual supera ampliamente el límite del 0.005 y puede considerarse como controlado por la tracción, con lo cual φ= 0.90. En consecuencia:

mtmmxcmtonxcmxMM nd /80.152285.0)/(20.427.1890.0 22 === φ suministro de diseño que supera en apenas un 2% el requerimiento de

resistencia. Se ve que por el voladizo necesario de la base, el problema estaría más controlado en este caso por flexión que por corte.

La longitud de desarrollo es la que corresponde a la armadura de flexión de la base. La sección crítica de desarrollo es la misma que la de máximo momento, es decir en la cara del tabique. Para el caso de barra nervurada, en tracción, sin gancho, ld siempre debe ser mayor de 300 mm, y:

50.0=dl

cf

f y

´αβλ db

donde para el caso de coeficientes unitarios resulta en este caso:

50.0=dl

21

420 db = 46 db = 46x16mm = 735 mm

y la longitud disponible es:

mmmm 750)502

400

2

2000( =−− , por lo cual verifica con poco margen.

Note que si se aplicara el código NZS:3101, en el extremo habría que anclar

con un gancho, preferible a 90o, de una longitud no menor, en este caso, de ld= 200

48

mm, a los efectos de cumplimentar con el concepto del modelo de biela-tensor que se mostró en la Fig. 9.44.

Para el aplastamiento, en este caso es A2= 1.0, por lo que:

mtoncmxcmtonxxPd /46410040)/(21.085.065.0 22 == >48 ton

lo cual verifica la condición de diseño con gran margen. 9.7. ZAPATAS COMBINADAS.

9.7.1 INTRODUCCIÓN.

Cuando las bases soportan más de un elemento estructural, columna o muro, se llaman zapatas combinadas, y pueden en general abarcar dos columnas como muestra la Fig. 9.8, o varias columnas o muros, como indica la Fig. 9.46, donde todas las columnas de la construcción están conectadas trabajando en dos direcciones y conformando lo que se llama cimentación reticular.

Fig. 9.46

Esquema de cimentación reticular, en planta y sección transversal.

Puede ocurrir que las columnas estén en el límite de la propiedad y para que se

conserve aún el criterio de presión uniforme sea necesario combinar la base lindera con la de una columna interior. Podría también ser el caso que debido a las dimensiones necesarias para las bases centradas de columnas interiores, éstas estén muy cerca de solaparse por lo cual es más conveniente combinarlas en una sola fundación.

Es necesario reconocer que es muy raro que el diseñador deba resolver el caso muy simple de base aislada sometida a carga centrada. Generalmente los elementos estructurales verticales deben transmitir también momentos y esfuerzos de corte, provenientes no solamente de cargas verticales sino también de acciones horizontales como el sismo y el viento. Por ello el caso de zapatas combinadas y de aisladas sometidas a cargas excéntricas serán analizadas a continuación. Se hará referencia a la norma ACI-318-2002.

También es importante recordar que en zonas sísmicas en general se trabaja con lo hipótesis de que todo lo enterrado sufre las mismas deformaciones y aceleraciones, es decir el sistema de fundación-suelo trabaja como un elemento rígido que no permite deformaciones relativas entre sus componentes, similar a la hipótesis de diafragma rígido que se hace en la superestructura. Es por ello que el código CCSR-Mza-87, ref.[11], en la sección 5.5.5, y el Reglamento INPRES-CIRSOC 103-II-

49

1983, sección 17.5.3, establece que las fundaciones debe ser arriostradas para minimizar los desplazamientos relativos durante un terremoto. Así entonces, salvo los casos que la norma especifica, las bases deben estar arriostradas en el plano del terreno según dos direcciones en ángulo no menor de 45 grados entre sí. Dichos arriostramientos deben ser capaces de resistir esfuerzos asociados a los esfuerzos verticales que deben transmitir y a las características del suelo de fundación.

Fig. 9.47 Esquemas de zapatas combinadas para dos columnas. Plantas típicas y expresiones geométricas asociadas.

9.7.2 ZAPATAS PARA DOS COLUMNAS.

En el diseño de zapatas combinadas se trabaja en general con la hipótesis de fundación rígida que implica, como antes se explicó, una distribución lineal de las tensiones en el suelo. Si la resultante de las presiones del suelo, centro de gravedad del área de contacto efectivo de la fundación, coincide con la resultante de las cargas de la superestructura a transferir, se obtiene una distribución uniforme de presiones en el suelo. La fundación real no es infinitamente rígida y tampoco es la presión uniforme bajo el suelo, pero la experiencia ha demostrado que ante un diseño racional siguiendo este modelo de comportamiento, los resultados han sido satisfactorios. Esta

50

hipótesis conduce a diseños conservadores. Hay casos sin embargo, mencionados antes, en que es conveniente considerar la posibilidad de fundación no rígida.

Trabajando con la hipótesis de fundación rígida y buscando distribución uniforme de presiones, se busca el diseño que permita la coincidencia del centroide del área efectiva de contacto y de la resultante de acciones externas. Pueden buscarse diseños como los que se indican en la Fig. 9.47, de forma rectangular, trapezoidal, T, etc, y en la misma se presentan relaciones sencillas que permiten su resolución. En general, las distancias indicadas con n y m son datos. Una vez determinadas las dimensiones de la zapata, incluida una estimación de la altura útil d, se pueden trazar los diagramas de cargas, cortes y momentos y verificar las dimensiones adoptadas. En general, se verifica que para el corte no sea necesario armaduras (por razones de economía) y se diseñan los refuerzos necesarios para absorber los esfuerzos de flexión, con los conceptos antes vistos para bases aisladas. También se debe verificar el aplastamiento del hormigón y los requerimientos de anclajes y empalmes de barras.

Las cargas de las columnas pueden tomarse como concentradas a los efectos de evaluar los esfuerzos sobre las fundaciones. Para el diseño de todas maneras se pueden obtener los valores de los esfuerzos en las secciones críticas según correspondan para corte y flexión. Aún para el caso de zapatas combinadas con tres o más columnas, el problema es estáticamente determinado pues las reacciones de las columnas (cargas de la superestructura) son conocidas y la presión del suelo es la que se ha obtenido como cociente entre la carga axial neta (no incluye peso propio de fundaciones ni suelo por encima) sobre el área de contacto.

Longitudinalmente la zapata se puede interpretar como una viga de uno o varios tramos, cargada hacia arriba con la presión neta del suelo y soportada por las reacciones de las columnas. Puede tener tramos en voladizo como muestra la Fig. 9.47. Como la viga es más ancha que las columnas, las cargas de éstas se distribuyen en dirección transversal mediante vigas transversales, en las zonas de más rigidez, es decir bajo las columnas. Cuando las zapatas tienen un ancho B de cierta consideración las presiones de suelo pueden producir momentos importantes en esas vigas en voladizos. Estas vigas representan franjas transversales que deben resistir los momentos y cortes transversales. Por supuesto que la franja que está directamente bajo la columna no se deforma en forma independiente sino es ayudada por las franjas adyacentes en lo que se llama ancho efectivo transversal. Es claro que el ancho efectivo será mayor que el ancho de la columna. También es obvio que nunca será mayor que el ancho limitado por el borde libre y la el eje entre columnas. El problema es definir un ancho razonable para cada columna al que se le va a asignar la responsabilidad de resistir el momento inducido por la carga de esa columna en particular. La ref.[3] sugiere tomar como ancho efectivo transversal el que resulta de suponer que las cargas se distribuyen hacia fuera desde las columnas y dentro de la zapata con una pendiente 1:2 (1 medida horizontal y 2 verticales), es decir con un ángulo de 26.50o a partir de la cara externa de la columna. El ancho efectivo es entonces la dimensión de la columna perpendicular en dirección longitudinal más la altura útil d. Sin embargo, la ref.[8], sugiere usar 1.5d más el ancho de la columna, es decir la pendiente de transmisión sería ahora 3:4, con ángulo de 36.9o. Estimo que ambos criterios son conservadores, como se verá en el ejemplo que se desarrolla a continuación, y tal vez se podría tomar un ancho d a cada lado de la cara de la columna, es decir pendiente 1:1, con ángulo de transmisión de 45o. Sin embargo, si se aplican la sección 15.4.4 del ACI-318 la distribución sería aún diferente y estimo que más racional. Lo que habría que aclarar es cómo se aplica dicho artículo

51

al caso de zapatas combinadas, donde el código ACI en su sección 15.10 no lo aclara. En definitiva, las franjas de anchos efectivos bajo las columnas deben tener armadura para resistir los momentos asociados a cada carga de columna en particular, y el resto, entre los anchos efectivos deben contener la armadura mínima de código.

Ejemplo N 0 3. Base combinada. Sección Rectangular.

Se pide el diseño de una base combinada para dos columnas, similar a la de Fig. 9.47 con sección rectangular, que debe soportar una carga P2 asociada a D2= 30 ton y L2= 30 ton, proveniente de una columna de 30x30 cm con 4 barras de diámetro 20 mm, y una carga P1 debida a D1= 55 ton y L1 = 45 ton transmitida por una columna de 40x40cm con 6 barras de 20 mm. La distancia entre ejes de columnas C1 y C2 es de s= 4.60m. Se adopta un hormigón de f´c= 21 MPa, acero con fy= 420 MPa y suelo con capacidad de carga qn= 30 ton/m2 a una profundidad de 1.00 m. Adoptar φ= 0.50 para el suelo, con una densidad del mismo de 1.90 ton/m3.

Paso 1. Obtener las resistencias últimas o requeridas si los datos son cargas de servicio. Nu1 = 1.2 x 55 t + 1.6 x 45 t = 138 t Nu2 = 1.2 x 30 t + 1.6 x 30 t = 84 t NuT = 222 t Paso2. Encontrar largo l= L de la fundación. La base tiene como borde el borde exterior de la columna C2, por lo que m= 0.15m. Nu1 x s= 138 t x 4.60m = R x n = 222 t x n n= 2.85 m

A los efectos de tener presión uniforme: L= 2(m + n) = 2 (2.85 + 0.15)m = 6.00 m Paso 3. Obtener el ancho b= B.

Para verificar la presión máxima de suelo se debe tener en cuenta también el peso propio de la fundación y suelo por encima. Dado que la base estará enterrada cierta profundidad, el mismo se estima en 15 % de Nu= R, y luego se verifica. B= 1.15 Nut /(qd x L) = 255 t / (15t/m2 x 6.0 m) = 2.85 m Resistencia de diseño del suelo qd = φ qn = 0.50 x 30t/m2 = 15 t/m2 Se adopta un ancho de B= 3.0 m Paso 4. Verificación de la presión máxima del suelo.

Se estima la altura útil de la losa de altura constante en d= 0.45 m, es decir h= 50cm. Por la condición de anclaje en la base se necesita al menos una longitud de desarrollo:

mmmml d 4302021

42024.0 ==

52

Fig. 9.48 Sección transversal con dimensiones, esquema de cargas, diagrama de esfuerzos de corte y diagrama de momentos flectores longitudinales para el ejemplo No. 3.

(Note que si las barras hubieran sido de 25 mm de diámetro, la longitud ld requerida hubiera sido 540mm, es decir mayor de la adoptada).

En consecuencia el peso propio de base y suelo es:

Pp = (3.0mx6mx0.5mx2.4t/m3) + (3.0mx6mx0.5x1.9t/m3)= 38.70 t Peso propio mayorado ∆Nu = 1.2 x 38.70t = 46.50 t (resultó cerca del 20%). Verificación de resistencia del suelo: qu = (222 + 46.50)t /(3 x 6 m2) = 14.90 t/m2 < qd = 15 t/m2, O.K. Paso 5. Cálculo de la presión neta última de suelo para verificar la fundación. qB

u= 222 t / 18 m2 = 12.33 t/m2

Esta es la presión para verificar al corte y flexión, pues el peso propio de la fundación y del suelo no produce esfuerzos. Paso 6.

Obtener los diagramas de carga, cortes y momentos, por simple estática.

La Fig. 9.48 muestra en (a) la carga lineal uniforme sobre la losa de ancho constante, igual a 12.33 t/m2x3.0 m= 37 t/m; Verificamos: 37t/m x 6m = 222 ton. O.K.

53

(b) la distribución de esfuerzos de corte, que tienen variación lineal por ser la carga constante. El punto para corte nulo está a 2.27 m del borde libre cercano a la columna C2, ya que:

x

45.78

60.4

20.170 = , por lo que x=2.12 m, y V=0 para x1 = 2.12m + 0.15m = 2.27m

(c) el diagrama de momentos flectores a lo largo de L, con variación parabólica por ser el corte lineal. El momento flector máximo está en x1, y vale: Mmáx= 84t x 2.12m – 37 x 2.272 / 2 tm = 82.75 tm. Paso 7. Seleccionar y verificar la altura útil d. Verificación al corte.

Se había adoptado d= 45 cm, es decir h= 50 cm para contemplar el recubrimiento mínimo de 50 mm que exige el código para estructuras enterradas.

(i) Acción de viga: por lo que expresa la Fig. 9.48, se ve que en la Fig. 9.49 la sección crítica para corte por acción de viga está sen la sección 1-1, a una distancia d a la derecha de la cara de la columna C2. El corte demanda es allí: V1-1= 91.75 t – 37t/m x 0.65 m = 67.70 t, o bien evaluado de esta forma: V1-1= 138.0 t – 37t/m x 1.90 m = 67.70 t.

El corte suministro para este mecanismo es, por acción de viga:

Vd = φVn = φVc = ttKNNxx 70.677977377300045030006

2175.0 >===

La otra posibilidad de falla por corte como acción de viga está en la dirección

transversal, el el trabajo como vigas en voladizo. En la sección 2-2, a una distancia de 45 cm de la cara de las columnas, se da este corte: V2-2= 6m x 0.90m x 12.33 t/m2 = 66.60 t < 79 t. (ii) Acción en dos direcciones. Se debe verificar alrededor de las columnas C1 y C2.

(a) alrededor de C2

Perímetro crítico de 3 lados alrededor de C2, dado por: bo = (0.30 +0.45/2)mx2 + (0.30 + 0.45/2 + 0.45/2)m = 1.80m

El corte demanda o resistencia requerida es la carga en la columna menos la presión del suelo dentro del perímetro crítico, es decir: Vu = 84 t – 12.33 t/m2 x 0.525m x 0.75m = 84 t – 4.85 t = 79.15 t.

54

Fig. 9.49. Planta de la fundación y ubicación de las secciones críticas de Ejemplo No 3.

El corte suministro o de diseño sale a partir del valor de Vc que sea el menor de

las siguientes tres posibilidades, como antes se explicó:

a) 6

21

´ dbfV oc

cc

+=

β (9.10a)

b) 12

2´ dbf

b

dV oc

o

sc

+=

α (9.10b)

c) 3

´ dbfV oc

c = (9.10c)

que se pueden expresar en esta forma:

dbvV occ = en la cual se busca el menor valor de cv , tensión de corte nominal del hormigón, y que

en este caso, corresponde para el primer caso, como βc= 1.0 un valor de: ´50.0 cc fv =

para el segundo caso, por ser αs= 30, corresponde:

´625.0 cc fv =

y para el tercer caso, directamente es:

55

´3333.0 cc fv =

que es el que controla (note que es exactamente el doble que el corte aceptado para acción de viga). Entonces:

y la resistencia al corte es entonces:

ttmmxxmtxVV cd 15.7934.9245.080.1/15275.0 2 >=== φ

(b) alrededor de C1 Perímetro crítico de 4 lados alrededor de C1, dado por: bo = 4 x 0.85m = 3.40m

El corte demanda o resistencia requerida es la carga en la columna menos la presión del suelo dentro del perímetro crítico, es decir: Vu = 138 t – 12.33 t/m2 x 0.85m x 0.85m = 138 t – 8.90 t = 129.10 t. y de nuevo, usando las ecuaciones (11), el primer caso, como βc= 1.0 un valor de:

´50.0 cc fv =

para el segundo caso, por ser αs= 40, corresponde:

´607.0 cc fv =

y para el tercer caso, directamente es:

´3333.0 cc fv =

que es el que nuevamente controla. Entonces:

y la resistencia al corte es entonces:

ttmmxxmtxVV cd 10.12917445.040.3/15275.0 2 >=== φ Paso 8. Diseño de la armadura a flexión. A) Sentido Longitudinal. (i) Armadura superior. A partir de la cuantía mínima la armadura necesaria para todo el ancho B es: Amin = 0.0018 x 300cm x 45 cm= 24.30cm2

Pero a partir del momento máximo, la armadura necesaria, usando una fórmula aproximada, es:

2/15252.1213333.0 mtMPavc ===

2/15252.1213333.0 mtMPavc ===

56

22 54

452.49.0

9.0/8275cmcm

xxAnec ==

por lo que se ve que se va a necesitar bastante más que el requerimiento de mínima.

Se adoptan 17 barras de diámetro 20 mm, que dan una armadura total de

53.40cm2. Se verifica resistencia: a x 0.85 x 0.21 t/cm2 x 300 cm= 52.40 x 4.2 t = 224 t de donde a = 4.19 cm, y la altura del eje neutro sería entonces c= 4.19/0.85= 4.93 cm. Mn = 224 t (45 – 4.19/2) cm = 96.10 tm

La deformación en la fibra traccionada de acero es: εs = 0.003x40/4.93 = 0.024, mayor de 0.005, por lo que entonces: Md = 0.90 x 96.10 tm = 86.50 tm > 82.75 tm (excede en 4.5 %). O.K.

En definitiva, para los 288 cm disponibles (dejando 6 cm libres desde cada borde) se adoptan 17 barras de diámetro 20 mm separadas cada 18 cm. (ii) Armadura inferior. Momento a cara exterior de columna interior C1:

tmmtM u 40.202

20.025.1/37

2

=

−=

22 30.13452.49.0

9.0/2040cmcm

xxAnec ==

Por lo que controla el requerimiento de cuantía mínima, o bien colocar un 33 %

más de la armadura necesaria, es decir 18 cm2. De nuevo, adoptamos 17 barras, en este caso de diámetro de 12 mm que dan 19.21 cm2, con separación de 18 cm, y enfrentadas con la armadura superior. B) Sentido Transversal.

En el sentido transversal, tal cual se aclaró antes, cada franja transversal bajo cada columna debe resistir con su ancho efectivo el momento asociado a la carga puntual de cada columna. El ancho efectivo, siguiendo a Bowles, ref.[8], sería: Bc1 = 0.40 m + 1.5 x 0.45m = 1.075 m y la presión neta a resistir en ese ancho será: Qu-c1= 138 t / (1.075m x 3m) = 42.79 t/m2

El Momento a cara de columna C1 es entonces: Mu = 42.79 t/m2 [(3 – 0.40)/2]2 m2 = 73.32 tm en el ancho de 1.075m.

57

La armadura necesaria resulta:

22 47

452.49.0

9.0/7332cmcm

xxAnec ==

para el cual se adoptan 10 barras de diámetro 25 mm, separadas cada 12 cm.

Como se puede apreciar, resulta bastante armada esa franja. Para reducir esa cantidad de acero lo que se podría hacer es aumentar la altura útil, o bien utilizar otro criterio para definir el ancho efectivo, con base a lo especificado por el ACI para zapatas de una columna.

Para la columna C2, en forma similar: Bc2 = 0.30 m + 1.5 x 0.45m = 0.975 m y la presión neta a resistir en ese ancho será: Qu-c1= 84 t / (0.975m x 3m) = 28.72 t/m2

El Momento a cara de columna C2 es entonces: Mu = 28.72 t/m2 [(3 – 0.30)/2]2 m2 = 56.30 tm en el ancho de 0.975m.

La armadura necesaria resulta:

22 37452.49.0

9.0/5630cmcm

xxAnec ==

lo cual nuevamente requiere de barras de 25 mm de diámetro separadas 12 cm, con un total de 8 barras en el ancho de 97.5 cm.

La Fig. 9.50 muestra cómo se distribuyen las armaduras longitudinales y transversales antes determinadas. En las franjas transversales que no han sido objeto de diseño por momentos, se coloca la armadura mínima de código. Tomando una separación de 20 cm, la armadura mínima es:

Amín = 0.0018 x 20 cm x 45 cm = 1.62 cm2 para lo cual se dispone de una barra de diámetro 10 mm arriba y otra abajo, que sirven además como armaduras de repartición a las colocadas longitudinalmente. La opción es colocar barras de 12 mm separadas 28 cm. Paso 9. Verificación al aplastamiento.

Para columna C2, con 3 lados efectivos solamente por lo que no hay incremento de A1, la resistencia de diseño es: Nd = 0.65 x 0.85 x 0.21 t/cm2 x 30 cm x 30 cm = 104 ton > 84 t.

Para la columna C1, con 4 caras efectivas, se toma en este caso 2/ 12 =AA , por lo cual:

58

Nd = 0.65 x 0.85 x 0.21 t/cm2 x 2 x 40 cm x 40 cm = 371 ton > 138 t.

Fig. 9.50. Esquema de ubicación de armaduras longitudinales y transversales para el Ejemplo N3 3 en

la sección longitudinal. Ejemplo N o 4. Base combinada. Sección Trapezoidal.

Se trata de una base combinada en la que la columna exterior lleva ahora la carga mayor. La resultante de las fuerzas debe estar más cerca de la columna externa, que lleva la mayor carga, y para tener presión uniforme al duplicar la distancia del centroide de la base, ésta puede no ser suficiente como para alcanzar la otra columna. Por ejemplo, en el ejemplo anterior si la columna exterior soportara los 138 t y la interior 84 t, el centroide se ubicaría a 1.74 m de la columna exterior, por lo que el largo necesario para presión uniforme debería ser de (1.74+0.2)x2 = 3.88 m, que no alcanza a cubrir la columna interior. Por ello se adopta una forma trapezoidal como la que muestra la Fig. 9.47(b). Se dan como datos:

Para columna C1:

D1 = 80 t L1 = 60 t sección 50cmx50cm At = 8 barras 20 mm

Para Columna C2:

D2 = 120 t L2 = 90 t sección 50cmx50cm At = 8 barras 20 mm

Separación entre columnas S= 5.50 m

m= 0.25 m, es decir que el borde de columna coincide con el borde de base.

Resistencia nominal del suelo qn= 60 t/m2. Coeficiente φ= 0.50. Suponer suelo con esa resistencia en la misma superficie, o sea a nivel de terreno natural. Paso 1. Determinación de cargas últimas. Nu1 = 1.2 x 80 t + 1.6 x 60 t = 192 t. Nu2 = 1.2 x 120 t + 1.6 x 90 t = 288 t NuT = 480 t.

59

Paso 2. Ubicación del centroide. R x n = 480 t x n = Nu1 x S = 192 t x 5.50 m n= 2.20 m Por lo tanto c2 = 2.20 m + 0.25 m = 2.45m Paso 3. Área necesaria y geometría. A= (b1 + b2)/2 x L = R / qd = 480 t / 30 t/m2 = 16 m2

Adoptando L = 5.50 m + 0.25 m + 0.25 m + 0.50 m = 6.50 m es decir la distancia entre filos externos de columnas más una distancia estimada igual a la profundidad efectiva d, más allá del filo externo de la columna interior. Por lo tanto, resulta: (b1 + b2) = 16 m2 x 2 / 6.50 m = 4.923 m.

Como c2 es conocido e igual a:

mbb

bb

bbLmc

+=

++

==923.4

217.2

2

345.2 21

21

212

resulta entonces que (2b1 + b2) = 5.563 m, y combinando con la suma de los lados: b1 = 0.643 m y b2 = 4.28 m.

A partir de estas determinaciones, se procede a evaluar los esfuerzos de corte y momentos a lo largo de la base, teniendo en cuenta ahora que, aunque la presión de suelo es uniforme, la carga por unidad de longitud varía linealmente, por lo que el diagrama de corte es una función parabólica y el momento una función cúbica. Así por ejemplo en el filo menor la ordenada de la carga es 30 t/m2 x 0.643 m = 19.30 t/m, y en el filo mayor es 30 t/m2 x 4.28m = 128.40 t/m.

Una alternativa, por ejemplo, hubiera sido elegir L= 6.0 m, es decir de filo a filo de columnas, con lo cual resulta b1 = 1.20 m y b2 = 4.12 m. Se deja al lector su comprobación, como así también el resto de verificaciones y diseño de la base. 9.7.3 ZAPATAS CON VIGAS DE AMARRE.

Otra variante cuando la zapata individual no puede resultar centrada con una columna exterior consiste en conectar la zapata excéntrica con la de una columna interior mediante una viga bastante rígida. Esta viga, llamada a veces de amarre o de equilibrio, tiene la función de resistir la tendencia a inclinación de la zapata exterior e induce tensiones uniformes bajo ésta. La viga transmite el momento inducido por la excentricidad en la base exterior hacia el extremo donde se conecta con la columna interior. En la Fig. 9.51 se muestra un esquema posible para soportar las excentricidades que crea un muro lindero.

En general, dado que la viga se diseña a flexión, la viga se construye de modo de no hacer contacto con el suelo, o bien se coloca suelo suelto debajo de ella en varios centímetros, a los efectos de que no actúe presión de suelo sobre ella. Se sigue

60

trabajando en la hipótesis de presión uniforme, por lo cual hay que proporcionar la fundación de modo que las resultantes de acciones de columnas coincida con el centroide de la base completa.

Fig. 9.51 Esquema de una fundación combinada que conecta a la columna exterior con otra interior con viga de equilibrio

Ejemplo N o 5. Base combinada con viga de amarre.

Se trata de resolver el diseño de una base con viga de equilibrio en una situación como la que se muestra en la Fig. 9.52. Datos: Columna exterior: Columna interior De = 40 t Le = 20 t Di = 60 t Li = 30 t Capacidad nominal del suelo qn = 30 t/m2 . γs=1.9 t/m3 f´c= 21 MPa γho =2.3 t/m3 fy= 420MPa Separación entre ejes de columnas S = 6.0 m Paso 1. Determinación de cargas últimas. Nue= 1.2 x 40t + 1.6 x 20 t = 80 t Nui= 1.2 x 60t + 1.6 x 30 t = 120 t NuT = 200 t

Se pueden adoptar varias soluciones. Todo dependerá de las suposiciones que se adopten. Por ejemplo, para una excentricidad e= 1.0m, S´= L - e = 6.0 m – 1.00 m = 5.0 m

Tomando momentos respecto a eje de columna interior, y estimando el peso propio de la viga en un 5 %, y asignándolo por partes iguales a cada columna, es como si en la interior el axial fuera de 80 t x1.05 = 84 t y en la interior 1.05 x 120 t= 126 t, es decir carga total de 210 t. Entonces: Ne x S – Re x S´ = 0, por lo que: Re = 84 t x 6 m / 5.0 m = 101 t

61

Fig. 9.52 Esquema en vista y planta para el caso de una zapata combinada con viga de equilibrio que corresponde al Ejemplo No 5.

Por lo que la reacción en la base interior será: Ri = 210 t – 101 t = 109 t.

La longitud de la base externa para presión uniforme en base a la excentricidad adoptada debe ser: Le = 2(1.0 m + 0.20 m) = 2.40 m y el área requerida, asumiendo que el peso propio de base y suelo sobre ella será del orden del 15 %: Ae = 101 t x1.15 / (0.5 x 30 t/m2) = 7.75 m2 de donde el ancho de la base será: Be = 7.75 m2 / 2.80 m = 3.20 m.

Para la base interior, el área necesaria es: Ai = 109 t x 1.15 / 15 t/m2 = 8.35 m2 por lo cual se adopta una base cuadrada de 3.0 m de lado.

Como se ve, la presiones en la base externa e interna serán aproximadamente iguales y cercanas a 15 t/m2. Se debe tratar de que ambas tensiones sean casi iguales para no provocar o minimizar asentamientos diferenciales.

62

Para diseñar la altura útil d de la losa de la base, suponemos un valor a verificar d= 45 cm, es decir h= 50 cm, con perímetro crítico entonces de:

bo = 4 x 0.85 m = 4.20 m y verificamos al corte, teniendo como demanda: Vu = 15 t/m2 x (3.0x3.0 m2 – 0.85x0.85m2) = 15 x 8.3 t= 125 t y el suministro es: Vd = 0.75 x 0.333 x (21)1/2 x 4.2 x 450 KN = 2165 KN = 220 t > 125 t.

Adoptando un ancho de viga de 55 cm, y altura total hv= 1.20 m, Bowles sugiere que para que la hipótesis de base rígida sea valedera, debe ser Iviga /Ibase > 2.0. En este caso:

que cumple la condición de ser mayor que 2.0 Verificación de tensiones en el terreno.

El peso propio de la viga es entonces, al quedar 2.30 m como distancia libre entre bases: (0.55 x 1.2 x 2.3 m3 + 0.55 x 0.5 x 3.5 m3) x 2.3 t/m3 = 5.7 ton. y el peso total de las bases: (3.2 x 2.4 x 0.5 + 3.0 x 3.0 x 0.5) x2.3 t/m3 = 19 t, mientras que el peso del suelo por encima de las bases es:

(3.2 x 2.4 x 0.7 + 3.0 x 3.0 x 0.7 – 2 x 0.402 x 0.70) x 1.9 t/m3 = 22 t

que mayorado por el factor 1.2 resulta en ∆D= (5.7+19+22) t = 56 t.

La presión total sobre el suelo es entonces:

2/34.150.30.32.34.2

56200mt

xx=

++

por lo cual habría que hacer un pequeño ajuste de dimensiones de la base para bajar la tensión al valor 15 t/m2 fijada como tensión confiable (de todos modos el autor de este trabajo considera que eso no es necesario pues la diferencia es de apenas 2.3%, es decir insignificante).

El paso siguiente es completar la verificación de las bases a corte, que sólo se hizo para la columna interior, y luego se pueden trazar los diagramas de cargas finales, de corte y de flexión a lo largo de la viga de equilibrio, calculando los esfuerzos en hipótesis de viga rígida. Para estas verificaciones, se deben calcular las presiones

38.250.020.3

2.155.03

3

==x

x

I

I

losa

viga

63

o reacciones netas en el suelo, es decir sin la inclusión del peso propio de bases y suelo pues estas no generan esfuerzos internos.

que= 101 t / 3.2 x 2.4 m2 = 13.15 t/m2 qui= 109 t / 3.0 x 3.0 m2 = 12.15 t/m2

es decir prácticamente iguales, pero menores a la presión de diseño.

En definitiva se determinan los esfuerzos internos en la viga, en este caso de un solo tramo, estando sometida a una presión hacia arriba de 13.15 t/m2 a lo largo de 2.40 m en la zona de la base exterior, y además a una presión de 12.15 t/m2 en la zona de la base central. El equilibrio se completa con las cargas concentradas de 101 t en el eje de la columna exterior y 109 t en la columna central. Se deja al lector la determinación de los esfuerzos. 9.8. ZAPATAS RÍGIDAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE.

9.8.1 INTRODUCCIÓN.

Las zapatas están sometidas frecuentemente a momentos de vuelco y a cargas axiales, por lo cual la resultante de la presión de suelo no coincide con el centroide de la base, como se mostró en la Fig. 9.28. Lo que resulta es una distribución de presiones, ya no uniforme, en el suelo que varía linealmente, y cuya resultante coincide con la carga axial P como se mostró en la figura citada. Podría ocurrir un cierto giro de la base.

Las consecuencias más importantes a tener en cuenta son:

(i) al no haber distribución uniforme de presiones, tampoco las tensiones de corte serán uniformes alrededor de la sección crítica. Se deben aplicar otros criterios para su verificación, que más adelante se verán.

(ii) Habrá que revisar las condiciones de columna empotrada si se hubiera hecho esta suposición en el diseño. El giro de la base se traducirá en una redistribución de esfuerzos.

(iii) El suelo no resiste tracción, por lo que el equilibrio se debe lograr con el área en compresión.

Las ecuaciones (9.6) y (9.7) dan las expresiones de las tensiones del terreno, según la resultante tenga una excentricidad menor o mayor que L/6.

Si la columna está sometida a momentos según los dos ejes, la presión del suelo tendrá esta expresión:

x

uy

y

xuumáx I

yM

I

xM

A

Pq ±±=min, (9.14)

donde Ix e Iy son los momentos de inercia de la base respecto al eje X e Y respectivamente, con x e y como las distancias de los ejes hasta donde se evalúan las presiones.

64

En ref.[8] se menciona que ensayos realizados sobre placas cuadradas de 15, 20 y 25 cm sobre arena y mantos de arcilla, demostraban que cuando se incrementaban las presiones más que ocurrir separación de las placas del suelo, lo que estaría asociado a signo negativo de tensiones, lo que pasaba era que el suelo entraba en plastificación y se producía una redistribución de la presión del suelo hacia zonas donde uno computaría como de “tracción”. Es por eso que los códigos aceptan distribuciones de presiones como la que se mostró en la Fig. 9.31, con zonas elásticas y plásticas, o directamente todo en plasticidad, con el modelo de suelo LE-PP que se mencionó antes.

El caso de tensiones de corte no uniformes es contemplado en el ACI-318-2002 en su sección 11.12.6, en donde se trata el tema de uniones de columnas y losas. En estos casos se habla de “momento flector no balanceado”, y en el caso de losas tipo placas, sin vigas, hay que transferir momentos entre las losas y las columnas, que pueden surgir ya sea por cargas gravitatorias no simétricas o por acciones de viento o sismo. Para comprender el tema se lo analizará a partir del comportamiento de entrepisos de losas apoyados en columnas.

9.8.2 COMPORTAMIENTO DE CONEXIONES LOSA-COLUMNA TRA NSFIRIENDO CORTE Y MOMENTO NO BALANCEADO.

En el caso de una losa placa o plana soportando cargas gravitatorias generalmente existirá la necesidad de transferir cortes y momentos no balanceados en las columnas de borde y en algunas interiores. Este aspecto del diseño se torna particularmente importante cuando por acciones horizontales debidas al viento y/o sismo los momentos no balanceados resultan de valor considerable. La transferencia del momento no balanceado causa que la distribución de tensiones de corte en la losa alrededor de la columna no sea uniforme y reduce la resistencia de la conexión.

Si en la losa se alcanza la resistencia al corte, la losa fallará en tracción diagonal sobre el lado de la columna donde actúan las tensiones de corte verticales más elevadas, resultando en una falla de punzonamiento a través de la losa y las barras de la armadura superior producen la destrucción del recubrimiento de hormigón. La Fig. 9.53 (a) muestra la unión losa-columna en un dispositivo de ensayo después de una falla de corte por transferencia de corte y momento no balanceado. En la Fig. 9.53(b) está una vista más cercana de la zona de falla de la losa habiéndose removido el hormigón fallado, mostrando el la extensión de área afectada del recubrimiento superior de hormigón.

Una falla alternativa a la de corte es falla por flexión a partir del desarrollo de un mecanismo que involucra varias líneas de fluencia, como por ejemplo se muestran en la Fig. 9.54. Sin embargo, aplicando la teoría de líneas de fluencia generalmente se subestima la capacidad a flexión debido a que como se explicó antes, en la conexión se inducen fuertes fuerzas de compresión en el plano que la losa inducidos por las zonas elásticas que rodean a las plásticas y que crean efecto de confinamiento que aumentan la resistencia a flexión. Esta mejora de la capacidad a flexión no es tenida en cuenta por la dificultad para estimar las fuerzas de membrana, que incluyan efectos de confinamiento, fisuración y la geometría de desplazamientos de los segmentos de losa.

65

Fig. 9.54. Placa lo losa plana (sin vigas cargada

uniformemente con modo local de falla de forma cónica en los puntos de apoyo.

Fig. 9.53 Modelo físico de una conexión losa-columna transfiriendo corte y momento no balanceado después de haber sido ensayado hasta su falla (de Ref.[15]. (a) Vista general; (b) vista cercana y ampliada de la falla.

En el caso de entrepisos de losas sin vigas, se dispone de armadura de corte en la losa alrededor de la columna a los efectos de incrementar tanto la resistencia al corte como la ductilidad de la conexión. Se hace notar que el uso de entrepisos sin vigas en zonas de alta sismicidad debe limitarse a los casos en que se verifique que las condiciones de rigidez son adecuadas como para no provocar colapso por excesiva flexibilidad de los sistemas sismorresistentes.

Durante un terremoto, las uniones losa-columnas de losas placas pueden verse sometidas a varias reversiones de momentos no balanceados lo cual puede conducir a la falla por degradación de la resistencia al corte. Por ello se debe incorporar necesariamente armadura de corte en la unión.

En el caso de bases, se las diseña para que permanezcan en el rango elástico, para evitar disipación de energía en las fundaciones y evitar el uso de armadura de

66

corte pues, en general, es más económico colocar mayor cantidad de hormigón y absorber todo el corte sin armaduras.

9.8.3 PROCEDIMENTO DEL ACI-318.

El presente procedimiento ha sido desarrollado para losas que no cuentan con armadura de corte. Sean Vu y Mu respectivamente los cortes y momentos no balanceados para cargas mayoradas, estado U, que actúan respecto al eje centroide de la sección de la columna. La sección crítica está ubicada de forma que el perímetro es un mínimo pero no necesita estar más cerca que d/2 del perímetro de la columna, donde d es la altura útil de la armadura de flexión de la losa. Del total de momento no balanceado, Mu, un parte que es γvMu se supone que es transferido por excentricidad de corte con respecto al centroide de la sección crítica de la losa y el resto, (1 - γvMu), se supone que se transfiere por flexión de la losa, y donde:

( ) )/()3/2(1

11

21 dcdcv +++

−=γ (9.15)

En esta expresión c1 es la dimensión de la sección rectangular o rectangular

equivalente medida en la dirección del momento y c2 la dimensión en la dirección transversal. Se ve que γv= 0.4 para el caso de columnas cuadradas (c1=c2). En secciones rectangulares γv > 0.4 si (c1 > c2) y a la inversa.

La fracción del momento no balanceado transferido por flexión de la losa, (1 - γvMu), se supone que se transmite por la resistencia de diseño de la losa sobre un ancho efectivo cuyos límites son las líneas ubicadas a una distancia 1.5h por fuera de las caras de las columnas. En consecuencia se debe colocar armadura de flexión suficiente en ese ancho para transferir el momento. Esto implica que puede ser necesario agregar armadura a la losa en el ancho mencionado además de la que se requiera para soportar todos los otros estados de carga. La capacidad nominal al corte se debe evaluar en función de las ecuaciones (9.10).

La evaluación de las tensiones máximas de corte en la sección crítica para varios tipos de conexiones se desarrollan a continuación y se muestran en la Fig. 9.55.

(i) Conexión de columna interior. En la Fig. 9.55(a) se muestra la sección crítica y la distribución de tensiones de corte para este caso, que para las caras AB y CD son:

c

ABuv

c

uAB J

cM

A

Vv

γ+= (9.16)

y

c

ABuv

c

uCD J

cM

A

Vv

γ−= (9.17)

donde cAB y cCD son respectivamente las distancias desde las caras AB y CD de la sección crítica al eje centroide cc, Ac es el área de hormigón de la sección crítica, y Jc es una propiedad de la sección similar a un momento de inercia polar.

67

)2(2 21 dccdAc ++= (9.18)

2

12

31

31

2)(2

12

)(2

12

)(2

+++

++

+=

dcdcd

ddcdcdJc (9.19)

Fig. 9.55. Suposición de ubicación y dimensiones de las secciones críticas y distribución de las tensiones de corte para transferir corte y momentos no balanceados. (a) conexión a columna

interior; (b) conexión de columna de borde y (c) conexión a columna de esquina. Estas expresiones son las que aparecen en la sección C.11.12.6.2, comentarios

del ACI-318, y asociados a la figura de sección 11.12.6.2 de dicha norma.

(ii) Conexión de columna de borde. En la Fig. 9.55(b) se muestra la sección crítica y la distribución de tensiones de corte en la losa cuando el momento es transferido perpendicular al borde. La dimensión g es la distancia entre el eje centroide cc de la sección crítica y el eje centroide de la columna. Puesto que Mu es el momento no balanceado actuando con respecto al eje de la columna, el momento no balanceado que actúa con respecto al eje cc de la sección crítica es (Mu - Vug). Las tensiones de corte para este caso en la cara AB y en los puntos C y D de la sección crítica vienen dadas por:

68

c

ABuuv

c

uAB J

cgVM

A

Vv

)( −+=

γ (9.20)

y

c

CDuuv

c

uDC J

cgVM

A

Vvv

)( −−==

γ (9.21)

donde:

)22( 21 dccdAc ++= (9.22)

porque es perímetro de sólo 3 lados, y la ecuación (9.23) es ahora:

2

11

22

31

31

2

)2/())2/(((2)(

12

))2/((2

12

))2/((2

−+

+++++

++

= ABABc cdc

dcddcdcddcdcd

J

con:

( )[ ]

cAB A

ddcc

21 2/+

= (9.24)

y

ABCD cd

cc −+=21 (9.25)

(iii) Conexión de columna esquina.

La Fig. 9.55(c) muestra la sección crítica supuesta y la distribución de tensiones de corte en la losa cuando se transfiere un momento biaxial (en las direcciones x e y). Las dimensiones gx y gy son las distancias en la dirección x y dirección y entre los ejes centroides cc y dd de la sección crítica y los ejes centroides de la columna. Puesto que Mux y Muy son los momentos no balanceados en las respectivas direcciones actuando con respecto a los ejes de la columna, los momentos no balanceados que actúan con respecto a los ejes cc y dd de la sección crítica son (Mux - Vu gx) y (Muy - Vu gy) . Las tensiones de corte en la losa para este caso en la en los puntos A, B y D de la sección crítica vienen dadas por:

cy

ACyuuyvy

cx

ABxuuxvx

c

uA J

cgVM

J

cgVM

A

Vv

)()( −−

−+=

γγ (9.26)

cy

BDyuuyvy

cx

ABxuuxvx

c

uB J

cgVM

J

cgVM

A

Vv

)()( −−

−+=

γγ (9.27)

cy

BDyuuyvy

cx

CDxuuxvx

c

uD J

cgVM

J

cgVM

A

Vv

)()( −−

−+=

γγ (9.28)

donde:

69

)( dccdA yxc ++= (9.29)

y las ecuaciones (9.30) y (9.31), con los momentos de inercia son respectivamente:

22

33

2

)2/())2/((()2/(

12

))2/((

12

))2/((

−+

+++++

++

= ABx

xAByxx

cx cdc

dcddcdcddcdcd

J

2

233

2

)2/())2/((()2/(

12

))2/((

12

))2/((

−

+++++

++

+= BD

yyBDx

yycy c

dcdcddcdc

ddcdcdJ

( )[ ]

c

xAB A

ddcc

2

2/ 2+= (9.32)

( )[ ]

c

yBD A

ddcc

2

2/ 2+= (9.33)

ABxCD cd

cc −+=2

(9.34)

BDyAC cd

cc −+=2

(9.35)

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9.9. BIBLIOGRAFÍA. [1] “Mecánica de Suelos”, T. William Lambe y R. V. Whitman. Instituto Tecnológico de Massachussets. Limusa-Noriega Editores. John Wiley & Sons. 2001.

[2] “Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica”, K. Terzaghi & R. Peck. Versión española por Oreste Moretto. Segunda edición. El Ateneo. 1973.

[3] “Diseño de Estructuras de Concreto”, Arthur Nilson. 12ma. Edición. Mc Graw Hill. 2000. C

[4] “Curso de Hormigón Armado”, Oreste Moretto. 2da. Edición. El Ateneo. 1970.

[5] “FEMA 273: Guidelines for the Rehabilitation of Buildings”, Octubre 1997, capítulo 4.

[6] “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”, Applied Technology Council, ATC Noviembre 1996, capítulo 10.

[7] “Mecánica de Suelos y Cimentaciones”, Carlos Crespo Villalaz. Limusa. 1991.

[8] “Foundation Analysis and Design”, Joseph E. Bowles. McGraw-Hill Int. Book Ltd. 1977.

[9] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”, Tomas Paulay & M.J.N. Priestley, John Wiley & Sons, Inc. 1992.

[10] “Proyecto de Reglamento CIRSOC 201”. Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón. Noviembre 2002. INTI.

[11] “Código de Construcciones Sismo Resistentes para la Provincia de Mendoza”. CCSR. Mendoza, 1987.

[12] “Code of Practice for General Structural Design and Design Loading For Buildings”. NZS:4203:1992. Volume 1 and 2. New Zealand Standards. Wellington.

[13] “Estructuras de Hormigón Armado”, de Fritz Leonhardt, tomos III. El Ateneo. 1977.

[14] “Notes on ACI-318-2002 Building Code Requeriments for Structural Concrete”, edited by D. A. Fanella & Basile G. Rabat. P.C.A., Portland Cement Association.

[15] “Reinforced Concrete Slabs”, R. Park and W. L. Gamble. John Wiley & Sons, Inc. 1980.

[16] Proyecto de Reglamento CIRSOC 201 y Anexos. Tomos 1 y 2. 2005.

[17] Proyecto de Reglamento INPRES-CIRSOC 103. Tomo 2. 2005. [18] Proyecto de Reglamento CIRSOC 101 y Anexos. Tomos 1 y 2. 2005.