bab 10.1, 10.2, irisan kerucut & 10.4 fungsi...
TRANSCRIPT
Calculus Purcell
ππΉ = π ππΏ
dengan π disebut eksentrisitas.
0 < π < 1 Elips
π = 1 Parabola
π > 1 Hiperbola
ππΉ = ππΏ
π₯ β π 2 + π¦ β 0 2 = π₯ + π 2 + π¦ β π¦ 2
π¦2 = π₯ + π 2 β π₯ β π 2
π¦2 = π₯2 + 2ππ₯ + π2 β (π₯2 β 2ππ₯ + π2) Maka diperoleh persamaan umum untuk parabola
π¦2 = Β± 4 π π₯
π₯2 = Β± 4 π π¦
π¦2 = Β± 4 π π₯, π₯2 = Β± 4 π π¦
ππΉ = π ππΏ
π₯ β ππ 2 + π¦ β 0 2 = π π₯ βπ
π
2
+ π¦ β π¦ 2
π¦2 = π2 π₯ βπ
π
2
β π₯ β ππ 2
π¦2 = π2π₯2 β 2πππ₯ + π2 β (π₯2 β 2πππ₯ + π2π2)
π¦2 = β 1 β π2 π₯2 + π2(1 β π2)
Maka diperoleh persamaan umum untuk irisan kerucut(dengan π = ππ):
π₯2
π2+
π¦2
π2 1 β π2= 1
Persamaan standar:
π₯2
π2+π¦2
π2= 1
dengan π = π 1 β π2,
π = ππ dan
π2 + π2 = π2
Persamaan standar:
Β±π₯2
π2βπ¦2
π2= 1
dengan π = π π2 β 1, π = ππ, dan π2 + π2 = π2 Asimtot:
π¦ = Β±π
ππ₯
ππΉ = π|ππΏ|
ππΉβ² = π π₯ +π
π
ππΉ = ππ
πβ π₯
Elips ππΉβ² + ππΉ = 2π
Hiperbola
ππΉβ² β |ππΉ| = 2π
Parametric equations
π₯ = π π‘ , π¦ = π π‘ , π‘ in πΌ
Istilah-istilah (dengan πΌ = [π, π]):
Parameter π‘
Titik awal π₯ π , π¦ π
Titik akhir (π₯ π , π¦ π ) Kurva sederhana vs tak-sederhana
Kurva tertutup vs tak-tertutup
Eliminasi parameter kemudian sketsa grafik dari:
π₯ = π‘2 + 2π‘, π¦ = π‘ β 3, β2 β€ π‘ β€ 3
Dari persamaan untuk π¦, diperoleh:
π₯ = π¦ + 3 2 + 2 π¦ + 3 = π¦2 + 8π¦ + 15
βΉ π₯ + 1 = π¦ + 4 2
π₯ = π cos π‘ , π¦ = π sin π‘ , 0 β€ π‘ β€ 2π
What do we have?
cos π‘ =π₯
π, sin π‘ =
π¦
π
Ingat bahwa sin2 π‘ + cos2 π‘ = 1. Maka
π₯2
π2+π¦2
π2= 1
Jadi persamaan parameter diatas akan membentuk elips, atau lingkaran ketika π = π.
Lingkaran/Elips
sin2 π‘ + cos2 π‘ = 1 βΊ π₯
π
2
+π¦
π
2
= 1
Hiperbola
sec2 π‘ β tan2 π‘ = 1 βΊ π₯
π
2
βπ¦
π
2
= 1
cosh2 π‘ β sinh2 π‘ = 1 βΊ π₯
π
2
βπ¦
π
2
= 1
Misal π₯ = π(π‘), π¦ = π(π‘), dan π, π continuously differentiable dengan πβ² π‘ β 0. Maka
ππ¦
ππ₯=ππ¦/ππ‘
ππ₯/ππ‘
Contoh: π₯ = 5 cos π‘ , π¦ = 4 sin π‘ , 0 < π‘ < 3
βΉ ππ¦
ππ₯=
ππ¦ππ‘ππ₯ππ‘
=4 cos π‘
β5 sin π‘= β
4
5cot π‘
βΉ π2π¦
ππ₯2=ππ¦β²
ππ₯=
ππ¦β²
ππ‘ππ₯ππ‘
=
45csc2 π‘
β5 sin π‘ = β
4
25csc3 π‘
Hitung
π¦3
1
ππ₯
jika π₯ = 2π‘ β 1 dan π¦ = π‘2 + 2.
π¦3
1
ππ₯ = (π‘2 + 2)2
1
2 ππ‘ = 2π‘3
3+ 2π‘
1
2
=26
3